对初中数学“平面展开最短路径”问题的教学反思

一
解析： 解 决 该 类 问题 需 要 利 用 轴 对 称 原 理 ． 现在 我们在 Ｂ 点 通 过 直线 Ｍ 做 对 称 点 Ｂ ， 根据轴 对称性 质可知 ， 在 对 称 轴
方 面 要 求 学 生 们 对 该 类 问 题 的解 题 思 路 以 及 解 决 措 施 进 行
Ｍ 上 的任意一 点到 Ｂ点 和 Ｂ 点 这 两 者 之 间 的线 段 距 离 是 相
进 而出现了一下三种爬行情况 （ 如 图 ２、 图 ３和 图 ４所示 ） ．
市 之 间 的 ｓ点 处停 止 ， 其中 Ｂ Ｌ一２ ， ＢＳ一８ ， 问 小 明 骑 车 的 最
短路径 长度为多少？ 解析： 这个是 一 个平 面 类 型 的题 ， 但 是 解 决 起 来 非 常 困
难， 所 以我 们 可 以将 该 平 面 题 型 转 化 为 立 体 几 何 的题 型 ， 即 平
理， 从而能够帮助学生们将这 看似非常复杂 的问题 ， 经 过 有 效
的转 化 变 得 更 加 简 单 ， 使 人 一 看 就 能 明 白． 所 以 说 解 决 这 类 问
题 的关键 点就是要求学 生们在 熟练 掌握 数学 定理 、 知识 点 以
及 相关 公 式 的 基 础 上 ， 灵 活的转 化 ， 从而 达到 最终 简便 、 醒 目 的效 果 ．
关键词 ： 初 中数 学 ； 平面展开最短管道 Ｍ 上修 剪一个泵 站 ， 然 后再分 别向 Ａ 和 Ｂ两地进行供气 （ Ａ 和 Ｂ 并 没 有 在 同一 直 线
上， 而且这两地到直线 的距 离也 不一样 ） ， 那 么 在 直 线 燃 气 管 道 Ｍ 上的什么地方修建泵站 ， 所 用 的输 气 管 线 最 短 ？
等的， 这 样 ＡＣ＋ Ｂ Ｃ 之 间 的 最 短 距 离 问题 就 可 以 经 过 转 化 ， 变为 Ａ Ｃ＋Ｂ Ｃ之 间的距离最 短问题 ， 根据 两点之 间， 线 段 最 短 的线段公理得 出 ， 当 线 段 ＡＢ 跟 直 线 Ｍ 的 交 点 就 是 Ｃ 点
总结 ； 另 一 方 面 还 要 求 学 生 们 深 刻 体 会 到 其 中 蕴 含 的 数 学 哲
、
初 中 数 学 平 面 展 开 最 短 路 径 问题 的 简 述
当前 我 们 在 学 习 初 中 数 学 过 程 中 ， 经 常 会 遇 到 平 面 展 开 求 最 短 路 径 的 问题 ， 这 类 问 题 是 学 习 平 面 几 何 过 程 中 经 常 遇 到的问题 ， 同时也是江苏省南通市 每年 考试 的热点 问题． 所 以 要 求 学 生 们在 学 习 过 程 中 一 定 要 掌 握 这 类 问 题 的 关 键 点 ， 即
到 困难 ．
具 有 较 强 的理 论 联 系 实 际 的 意 义 ， 从 而 大 多 数 初 中 生 都 觉 得
这 类 题 比较 困难 ， 所 以也 就 经 常 会 把 平 面 展 开 最 短 路 径 问题 当 做 每 年 的压 轴 大 题 ． 而 我 们 可 以 充 分 利 用 化 折 为 直 的 转 换 思路 ， 然后 再 通 过 轴 对 称 原 理 就 可 以 将 这 复 杂 的 问 题 ， 转 化 为 非 常 简 单 的点 对 点 、 点对直线之 间的问题 ， 从 而 使 学 生 们 能 够 非 常 容 易 的解 决 该 类 问 题 ．
面 ＡＢ Ｃ转 化 为空 间 Ｍ 型来 回叠合 的六个 角 ， 然 后 再 将 立 体图形转化 为平面 图形 ， 这 样 原 来 的 路 径 ＬＣ Ｄ ＥＦ ＧＳ就 可 以 转 化为展开后 的 Ｌ ＣＤ Ｅ Ｆ Ｇ Ｓ ， 根据 两点 之 间， 线 段 最 短 的
时， Ａ Ｃ＋Ｂ Ｃ—Ａ Ｃ＋ Ｂ Ｃ： ＡＢ ， 即线 段 也 就 最 短 ， 也 就 是 说
所 使 用 的输 气 管 线 最 短 ．
（ 三） 互 相 转 换
二、 初 中数 学 平 面 展 开 最 短 路 径 问题 的教 学 反 思
（ 一） 化 立 为 平 的转 换 思 想
例 ３ 在 Ａ、 Ｂ、 ｃ 三城 市 之 间 ， 以 Ｂ城 市为 点 ， 这 样 三 个
厕
’ 条 思 考
２ ０ １ ５ 年 第 ６期
中掌生数理亿． 掌研版
摘要 ： 在 初 中数 学 学 习过 程 中 ， 经 常会 遇 到 平 面 展 开 最 短 路 径 问题 ， 而 大 多数 学 生 对 解 决 这 类 问题 感 到 困 难 ， 不 知 从 何
处入手 ， 没 有 思路 ． 因此 ， 本 文 针 对 当前 江 苏 南 通 市 小 海 中 学 数 学 学 习的 实 际情 况 ， 对 解 决 该 问题 的 数 学 转 化 思 想 进 行 了 深入 分 析 ， 以 便 帮 助 学生 们 更 容 易理 解 ， 从 而 学 习起 来 不 在 感
何问题 ， 从 而 实 现 了复 杂 问题 到简 单 化 之 间 的有 效 转 化 ， 而 且
还 经 常 伴 随着 勾 股 定 理 的 使 用 ． 例 １ 如图 １ 所 示 为一 长 方 体 ， 该 长方 体的 长、 宽 和 高 分 别为 ３ ｃ ｍ、 ２ ｃ ｍ和 ｌ ｃ ｍ， 先 假 设 有 一 只蚂 蚁 从 Ａ 点 往 Ｂ 点 爬 行（ 爬 行 过 程 中不 经 过 长 方 体 的棱 ， 只是 从 表 面 上 爬 ） ， 那 么 该 蚂蚁 最短的爬行距离是多少 ？ 解析 ： 该问题 为立 体几何 ， 所 以必须将 其转 化为平 面 图， 才能更同意解决问题． 下面我们就将 该长方 体转 化为平 面 图，
城 市 之 间就 会 形 成 ２ Ｏ℃ 的 ＡＢ Ｃ， 现在小 明在 Ｂ Ｃ 两 城 市 之 间 的一 点 Ｌ 上 开 始 骑 车 出发 ， 一 直 走 到 ＡＢ 两 城 市 之 间 的某 处后 ， 再按照原路 返 回， 这 样往 返三 次后 ， 小 明最 终 在 Ｂ Ｃ城
化 立 为平 是解 决 该 类 问 题 中 经 常 用 到 的 一 种 方 法 ， 即 将 复 杂 的立 体 几 何数 学 问 题 ， 经过相 应的转换 ， 最 终 变 为 平 面 几