2023－2024学年第一学期学科质量检测高三数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1.集合{}R 2A x x =∈≤，{}2R 30B x x x =∈-≤，则()RA B ⋂=ð（）A .{}02x x ≤≤ B.{}23x x ≤＜C.{}23x x ≤≤ D.{}0x x ＞2.不等式：20.1x x -<成立的一个必要不充分条件是（）A .0.1 1.1x -<< B.01x <<C.0.50.7x << D.0.52x <<3.关于函数2,02(),2x a x f x b x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，其中a ，R b ∈，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程5()2f x =有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲B.乙C.丙D.丁4.如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC 的最大值为（）A.32-B.14C.12D.15.已知0.22a =，0.2log 0.5b =，2c =）A .b c a>> B.c a b>> C.a b c>> D.a c b>>6.已知半径为1的圆经过点()2,3，则其圆心到直线3440x y --=距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.47.如图，单位圆上角x 的始边为x 轴正半轴，终边射线OP 交单位圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，将点M 到射线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()f x 在[]0,π上的图象大致为（）A. B.C. D.8.已知函数()2121x x f x -=+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A.x ∀∈R ，()()f x f x -= B.x ∀∈R ，()0f x '<C.若120x x <<，则()()1122x f x x f x < D.若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +<+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数()2i 6i z =-+，则（）A.i z +B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.2z -为纯虚数D.在复数范围内，z 是方程²4400x x -+=的一个解10.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.18ab ≤B.122a b +<C.129a b+≥ D.log 0a b <11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，下列说法正确的有（）A.该圆台轴截面ABCD 面积为2；B.AD 与DC的夹角60°；C.该圆台的体积为3cm 3；D.沿着该圆台侧面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm.12.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线()1y k x =-（k ∈R 且0k ≠）交C 与A 、B 两点，直线OA 、OB 分别与C 的准线交于M 、N 两点，（O 为坐标原点），下列选项错误的有（）A.k ∀∈R 且0k ≠，OM OA ON OB⋅=⋅B.k ∀∈R 且0k ≠，OM ON OA OB ⋅=⋅ C .k ∀∈R 且0k ≠，2OM ON OF ⋅=D.k ∃∈R 且0k ≠，2OM ON OF⋅= 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数223y x ax =-+在[]1,3x ∈上的最大值为6，则实数=a __________．14.已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，310S =，则96323S S S -+的最小值为________.15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC的面积为π3B =，223a c ac +=，则b =_____.16.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，120APD ∠=︒，2AB PA PD ===，则该四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，22cos c b A a =-.（1）求B ；（2）若8,7a c b +==，且C A >，求BC 边上的高.18.已知数列{}n a 的前n 项和(){}2*11N ,22n n S n n n b =+∈是公比大于0的等比数列，且满足1323,36b a b b =+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求证：12n T <；（3）对任意的正整数n ，设数列{}n C满足n C =，求数列{}n C 的前n 项和n D .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 为AD的中点．（1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（3）在线段PC 上是否存在点M ，使得DM 平面PEB ?请说明理由．20.已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（3）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．21.已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆G 的方程；（2）若过点M （1，0）的直线与椭圆G 交于两点A ，B ，设点1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，求NA NB + 的范围．22.已知函数()()1ln ,ln f x x g x x x x=+=-．（1）若对任意()0,x ∈+∞时，()f x a ≥成立，求实数a 的最大值；（2）若()1,x ∈+∞，求证：()()f x g x <；（3）若存在12x x >，使得()()12g x g x =成立，求证：121x x ⋅<．2023－2024学年第一学期学科质量检测高三数学试题注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1.集合{}R 2A x x =∈≤，{}2R 30B x x x =∈-≤，则()RA B ⋂=ð（）A.{}02x x ≤≤B.{}23x x ≤＜C.{}23x x ≤≤ D.{}0x x ＞【答案】B 【解析】【分析】根据集合补集和一元二次不等式解法化简集合，再根据交集运算法则求解答案.【详解】因为{}R 2A x x =∈≤，所以{}R R 2A x x =∈＞ð，因为{}2R 30B x x x =∈-≤，所以(){}{}R 30R 03B x x x x x =∈-≤=∈≤≤，所以(){}R 23A B x x ⋂=≤＜ð.故选：B2.不等式：20.1x x -<成立的一个必要不充分条件是（）A.0.1 1.1x -<<B.01x <<C.0.50.7x <<D.0.52x <<【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合2()0.1f x x x =--零点分布、2 1.1x x -<的解判断各项是否为必要不充分条件.【详解】由()()20.110.1 1.10x x x x --=+-<，即20.11x x -<，对应为0.1 1.1x -<<，而20.1x x -<必有20.11x x -<，当20.11x x -<不一定20.1x x -<，所以0.1 1.1x -<<是20.1x x -<成立的一个必要不充分条件；对于2()0.1f x x x =--，则(0)0.10f =-<且()f x 开口向上，对称轴12x =，所以()f x 由两个异号零点，故01x <<、0.50.7x <<、0.52x <<不是20.1x x -<成立的必要不充分条件.故选：A3.关于函数2,02(),2x a x f x b x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，其中a ，R b ∈，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程5()2f x =有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】【分析】由已知函数的单调性判断甲､乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得a 与b 的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.【详解】当[0x ∈，2]时，()2x f x a =-为增函数，当[2x ∈，)∞+时，()f x b x =-为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确.由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则0(0)20f a =-=，得1a =，若甲正确，则(6)0f =，即60b -=，6b =，可得21,02()6,2x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，由5()2f x =，可得025212x x ≤<⎧⎪⎨-=⎪⎩或2562x x ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得27log 2x =或72x =，方程5()2f x =有两个根，故丁正确.故甲正确，乙错误.若乙正确，甲错误，则(4)0f =，则40b -=，4b =，可得21,02()4,2x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩，由5()2f x =，可得025212x x ≤<⎧⎪⎨-=⎪⎩或2542x x ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得27log 2x =或32x =（舍去），方程5()2f x =只有一个根，则丁错误，不合题意．.故选：B.4.如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且π.3AOB ∠=若C 是圆O 上的任意一点，则·OA BC 的最大值为（）A.32-B.14C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】根据向量的运算可得···OA BC OAOC OAOB =-，由数量积的定义可得1·2OA OB = ，·cos OAOC AOC =∠ ，当cos AOC ∠取最大值时，·OA BC取得最大值.当OA 与OC 同向时，cos AOC ∠取得最大值为1，代入求解即可．【详解】因为()····OA BC OA OC OB OA OC OA OB =-=-，11··cos 1122OA OB OA OB AOB =∠=⨯⨯= ，··cos cos OA OC OA OC AOC AOC =∠=∠，所以1·cos 2OA BC AOC =∠-即当cos AOC ∠取最大值时，·OA BC取得最大值．当OA与OC同向时，cos AOC ∠取得最大值为1，此时，·OA BC 取得最大值12．故选：C ．5.已知0.22a =，0.2log 0.5b =，c =）A.b c a >> B.c a b>> C.a b c>> D.a c b>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法进行比较即可.【详解】因为0.20221a =>=，0.20.2log 0.5log 0.21b =<=，0.50.222c a ==>=，所以c a b >>.故选：B.6.已知半径为1的圆经过点()2,3，则其圆心到直线3440x y --=距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心的轨迹方程，然后结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】由于半径为1的圆（设为圆A ）经过点()2,3，所以圆A 的圆心的轨迹是以()2,3为圆心，半径为1的圆，()2,3到直线3440x y --=距离为612425--=，所以圆A 的圆心到直线3440x y --=距离的最大值为213+=.故选：C7.如图，单位圆上角x 的始边为x 轴正半轴，终边射线OP 交单位圆于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，将点M 到射线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()f x 在[]0,π上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定.【详解】由三角函数定义及POM 的面积可得：()()[]()sin cos 1sin 20,π2212x x f x OP PM OMf x x x ⨯⨯⨯=⇒==∈，由正弦函数的图象可知B 项正确.而对于A 、C 项，显然()12f x ≤可排除；对于D 项，显然当π2x =时，M 与O 重合，此时()0f x =，可排除.故选：B.8.已知函数()2121x x f x -=+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A.x ∀∈R ，()()f x f x -= B.x ∀∈R ，()0f x '<C.若120x x <<，则()()1122x f x x f x < D.若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +<+【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性概念判断A ，根据导函数的符号判断B ，利用函数的单调性结合不等式的性质即可判断C ，利用特例法排除选项D.【详解】对于A ，函数定义域为R ，211221()211221x x x x xxf x ------===-+++，所以()()f x f x -=-，错误；对于B ，因为()21212121x x x f x -==-++，所以222ln 2()(21)x x f x '⨯=+，由ln 20>知()0f x '>，错误；对于C ，因为x ∀∈R ，()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上递增，0x >时，()()00f x f >=，故对120x x <<，()()120f x f x <<，由不等式的性质可得()()11220x f x x f x <<，正确；对于D ，211(1)213f -==+，22213(2)215f -==+，2214(3)1533f -==+，取121,2x x ==，则123x x +=，()()()1212144,155f x f x f x x +=+=，此时，()()()1212f x f x f x x +>+，错误.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数()2i 6i z =-+，则（）A.i z +B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.2z -为纯虚数D.在复数范围内，z 是方程²4400x x -+=的一个解【答案】BCD 【解析】【分析】化简z ，利用共轭复数的概念及模长公式判断A ；利用复数的几何意义判断B ；利用纯虚数的概念判断C ；解方程²4400x x -+=判断D.【详解】因为()2i 6i 26i z =-+=-，所以i 27i z +=+=，A 错误；z 在复平面内对应的点的坐标为()2,6-，在第四象限，B 正确；26i z -=-为纯虚数，C 正确；()224402360x x x -+=-+=，得26i x -=±，即26i x =±，则z 是方程24400x x -+=的一个解，D 正确.故选：BCD.10.已知0a >，0b >，且21a b +=，则（）A.18ab ≤B.122a b +<C.129a b+≥ D.log 0a b <【答案】AC 【解析】【分析】根据基本不等式，以及代入特殊值，即可判断选项.【详解】A.12a b =+≥18ab ≤，当且仅当122a b ==，即12a =，14b =时等号成立，故A 正确；B.当13a b ==时，1212a b +=>，故B 错误；C.()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当22b a a b =，即13a b ==时，等号成立，故C 正确；D.当13a b ==时，log 10a b =>，故D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，下列说法正确的有（）A.该圆台轴截面ABCD 面积为2；B.AD 与DC的夹角60°；C.该圆台的体积为373πcm 3；D.沿着该圆台侧面，从点C 到AD 中点的最短距离为5cm.【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据已知条件求出圆台的下底面半径和高，利用梯形的面积公式即可求解；对于B ，根据已知条件及图形，结合向量夹角的定义即可求解；对于C ，利用圆台的体积公式即可求解；对于D ，将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心，利用勾股定理即可求解.【详解】对于A ，由2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，得24CD AB ==，∴圆台高为12h O O ===∴圆台轴截面ABCD 面积为()21242S =⨯+=，故A 正确；对于B ，由已知及题图知，1cos 2ADC ∠=且090ADC ︒<∠<︒，∴60ADC ∠=︒，AD 与DC的夹角120°，故B 错误；对于C ，圆台的体积()223112cm 33V =⨯++=，故C 正确；对于D ，将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD ，且E 为AD 中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD ，且4OC =，∵2ππ42COD ∠==，∴在Rt COE △中，5cm CE ==，即C 到AD 中点的最短距离为5cm ，故D 正确.故选：ACD12.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线()1y k x =-（k ∈R 且0k ≠）交C 与A 、B 两点，直线OA 、OB 分别与C 的准线交于M 、N 两点，（O 为坐标原点），下列选项错误的有（）A.k ∀∈R 且0k ≠，OM OA ON OB⋅=⋅B.k ∀∈R 且0k ≠，OM ON OA OB⋅=⋅C.k ∀∈R 且0k ≠，2OM ON OF ⋅= D.k ∃∈R 且0k ≠，2OM ON OF ⋅= 【答案】ACD 【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得22222(2)0k x k x k -++=，设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，由韦达定理可得121=x x ，124y y =-，1(OA x = ,1)y ，2(OB x = ,2)y ，11(1,y OM x =-- ，22(1,y ON x =-- ，再由向量的数量积逐一判断．【详解】由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，则21222(2)k x x k ++=，121=x x ，1212124(1)(1)()2y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=，2212121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x =-⋅-=-++=-，直线OA 的方程为11y y x x =，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，可得11(1,)y M x --，同理可得22(1,)y N x --，所以1(OA x = ,1)y ，2(OB x =,2)y ，11(1,)y OM x =-- ，22(1,)y ON x =-- ，对于A ，(1OM OA ⋅=- ,111(y x x -⋅,2111111114)4y xy x x x x x =--=--=--，(1ON OB ⋅=- ,222(y x x -⋅,2222211)4y y x x x =--=--，只有当11x =时，11144x x --=--，此时21x =，直线与x 轴垂直，不存在斜率，不满足题意，所以，11144x x --≠--，故A 错误；对于B ，因为(1OM ON ⋅=-,11)(1y x -⋅-,212212)1143y y yx x x -=+=-=-，1(OA OB x ⋅= ,12)(y x ⋅,21212)143y x x y y OM ON =+=-=-=⋅，故B 正确；对于C ，由B 得3OM ON -⋅= ，而21OF = ，所以2OM ON OF ⋅≠ ，故C 错误；对于D ，由C 可知不存在R k ∈且0k ≠，使2OM ON OF ⋅= 成立，故D 错误．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数223y x ax =-+在[]1,3x ∈上的最大值为6，则实数=a __________．【答案】1【解析】【分析】由于函数223y x ax =-+定区间不定轴，可根据对称轴相对于区间的位置关系讨论对称轴，进而求出相应的最大值,进而求出1a =.【详解】 ()222233y x ax x a a =-+=-+-，[]1,3x ∈，∴当2a ≤时3x =，max 9636y a =-+=，解得1a =，当2a >时1x =，max 1236y a =-+=，解得1a =-，又2a >，故不成立.综上,1a =.故答案为：1.14.已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，310S =，则96323S S S -+的最小值为________.【答案】54-## 1.25-【解析】【分析】按公比q 是否为1分类讨论，在1q ≠时，用q 表示出9663,S S S S --，再列式并借助二次函数最值求解作答.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，31310S a ==，则963111231818310S S S a a a -+=-+=，当1q ≠时，666967891233()10S S a a a q a a a q S q -=++=++==，3363456123()10S S a a a q a a a q -=++=++=，于是63329639663155232()()201020()444S S S S S S S q q q -+=---=-=--≥-，所以当314q =时，96323S S S -+取得最小值54-.故答案为：54-.15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为π3B =，223a c ac +=，则b =_____.【答案】4【解析】【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为ABC 的面积为所以11sin 8222ac B ac ac =⇒⋅=⇒=，于是有22324a c ac +==，由余弦定理可知：4b ===，故答案为：416.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，120APD ∠=︒，2AB PA PD ===，则该四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______．【答案】20π【解析】【分析】由题意，作图，分别找出侧面PAD 与底面ABCD 外接圆的圆心，计算其半径，根据球的性质，作平面垂线，找出球心，根据勾股定理，可得答案.【详解】由题意，作图如下：在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，记AC BD F ⋂=，即点F 为矩形ABCD 的外接圆圆心，在PAD 中，因为2PA PD ==，且2222cos AD PA PD PA PD APD =+-⋅⋅⋅∠，所以AD ==，PAD 的外接圆半径为122sin ADAPD⨯=∠，记PAD 外接圆圆心为G ，即2GP =，取AD 中点为E ，在矩形ABCD 中，可得EF AD ⊥，112EF AB ==，在PAD 中，可得PE AD ⊥，且,,P E G 共线，过G 作GH ⊥平面PAD ，令GH EF =，连接FH ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，EF ⊂底面ABCD ，所以EF ⊥平面PAD ，且PE ⊥平面ABCD ，由GH ⊥平面PAD ，则//GH EF ，即四边形EFHG 为矩形，因为//FH PG ，所以FH ⊥平面ABCD ，根据球的性质，可得点H 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，在Rt PGH △中，PH ===，四棱锥P ABCD -外接球的表面积24π20πS PH =⨯=.故答案为：20π.【点睛】方法点睛：求多面体的外接球问题，首先找到多面体的两个表面的外接圆圆心与半径，过圆心作表面的垂线，找出球心，构造直角三角形，利用勾股定理，可得答案.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，22cos c b A a =-.（1）求B ；（2）若8,7a c b +==，且C A >，求BC 边上的高.【答案】（1）2π3；（2）2.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦公式可求cos B 的值，由B 的范围即可求解；（2）由余弦定理求出,a c ,过A 作CB 延长线的垂线，垂足为D ，在Rt △ABD 中求AD 即可.【小问1详解】由22cos c b A a =-及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C B A A =-，即()2sin 2sin cos sin A B B A A +=-，即2sin cos 2cos sin 2sin cos sin A B A B B A A +=-，所以2sin cos sin A B A =-.因为()0,πA ∈,所以sin 0A ≠,所以1cos 2B =-.因为()0,πB ∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为8,7a c b +==，2π3B =，所以由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，所以2249a c ac +-=-，即()249a c ac +-=，所以644915ac =-=.因为C A >，所以c a >.因为8a c +=，所以3,5a c ==.过A 作CB 延长线的垂线，垂足为D ，则BC 边上的高π53sin 5sin32AD AB ABD =⋅∠=⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和(){}2*11N ,22n n S n n n b =+∈是公比大于0的等比数列，且满足1323,36b a b b =+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈，求证：12n T <；（3）对任意的正整数n ，设数列{}n C满足n C =，求数列{}n C 的前n 项和n D .【答案】（1）n a n =，3nn b =；（2）证明见解析；（3）223nn +-.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 关系求{}n a 通项公式，应用等比数列通项公式求基本量，进而写出{}n b 的通项公式；（2）应用裂项相消法求n T ，即可证结论；（3）由（1）得213n nn C +=，应用分组求和，结合错位相减法、等比数列前n 项和公式求n D .【小问1详解】由2111(1)(1)(1)222n n n S n n --=-+-=且2n ≥，则1n n n a S S -=-=(1)2n n +-(1)2n n n -=，而111122a =+=也满足上式，故n a n =；所以133b a ==，设{}n b 公比为q 且0q >，则22333612(4)(3)03q q q q q q q +=⇒+-=+-=⇒=（负值舍），所以3nn b =.【小问2详解】由（1）知：212111111()(21)(21)22121n n a a n n n n -+==--+-+，所以11111111(1...(1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++，而1021n >+，所以12n T <.【小问3详解】由213n nn C +==，则122242111(...( (333333)n n n n D =+++++++，令12242...333n n M =+++，则2311242(1)2 (33333)n n n n M +-=++++，所以23121112222221113...1 (1333)3333333313n n n n n n n n n M M +--=++++-⇒=++++=--，综上，1111(1)2333211331133n n n n nn n D --+=-+=---.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 为AD的中点．（1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（3）在线段PC 上是否存在点M ，使得DM 平面PEB ?请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在M 为PC 中点，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意PE AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，即可得证PE BC ⊥；（2）由PE ⊥平面ABCD ，所以PE CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，得CD AP ⊥，又PA PD ⊥，从而PA ⊥平面PCD ，即可得结论；（3）存在M 为PC 中点时，DM 平面PEB ．取PB 中点为F ，可得四边形EFMD 为平行四边形，因此DM EF ∥，即可证明．【小问1详解】因为,PA PD E =为AD 中点，所以PE AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，因此PE BC ⊥．【小问2详解】由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥．在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又因为AD PE E =I ，,AD PE ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD ．AP ⊂平面PAD ，所以CD AP ⊥．又因为,PA PD CD PD D ⊥⋂=，,CD PD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥平面PCD ．因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．【小问3详解】存在M 为PC 中点时，DM 平面PEB ．证明：取PB 中点为F ，连接,DM FM ，因为M 为PC 中点，FM BC ∴∥，且12FM BC =．在矩形ABCD 中，E 为AD 中点，所以ED BC ∥，且12ED BC =．所以ED FM ∥，且ED FM =，所以四边形EFMD 为平行四边形，因此DM EF ∥，又因为EF ⊂面,PEB DM ⊄面PEB ，所以DM 面PEB ．20.已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（3）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）π（2）[]0,3（3）5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，根据周期公式求得结果；（2）根据ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出整体角π26x +的取值范围，再根据正弦函数的单调性求出结果；（3）根据整体角的范围及正弦函数的零点求得结果.【小问1详解】()()cos cos 21f x x x x =++π2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 最小正周期π.【小问2详解】当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2πππ5π2,233666x x -≤≤-≤+≤，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，因此，函数()y f x =在区间ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3.【小问3详解】∵ππππ,,226666x m x m ⎡⎤∈--≤+≤+⎢⎥⎣⎦，由()()1g x f x =-得()2sin 2π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则π20,π6x +=，则ππ22π6m ≤+<，解得5π11π1212m ≤<.即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2P ⎛ ⎝⎭．（1）求椭圆G 的方程；（2）若过点M （1，0）的直线与椭圆G 交于两点A ，B ，设点1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求NA NB + 的范围．【答案】（1）2214x y +=（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意列方程解出,,a b c ，即可得出方程；（2）根据题意设直线AB 及交点,A B 坐标，联立直线与椭圆的方程得到12y y +，12y y ，表示出NA NB + ，再由向量的模长公式结合基本不等式求解即可.【小问1详解】依题意可得22222=+=213+=14a b c c a a b ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得=2=1a b c ⎧⎪⎨⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率为0时，:0AB l y =，()()2,0,2,0A B -，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()53,0,01,022NA NB ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1NA NB += ，当直线AB 斜率不为0时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：1x my =+，联立方程组可得22=+1+=14x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得到()224230m y my ++-=，()222412416480m m m ∆=++=+>，由根与系数的关系得到12224m y y m +=-+，12234y y m -=+，1,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1122121211,,1,22NA NB x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，而()21212222411144m m x x m y y m m m -+⎛⎫+-=++=⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以NA NB +===当0m =时，NA NB +=1=，当0m ≠时，NA NB +=，因为22168816m m ++≥+=，当且仅当2216m m =时取等，221230,1648m m⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++，221211,11648m m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭++1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故NA NB + 的范围为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.综上所述：NA NB + 的范围为：1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，再由基本不等式和向量的模长公式求解即可.22.已知函数()()1ln ,ln f x x g x x x x=+=-．（1）若对任意()0,x ∈+∞时，()f x a ≥成立，求实数a 的最大值；（2）若()1,x ∈+∞，求证：()()f x g x <；（3）若存在12x x >，使得()()12g x g x =成立，求证：121x x ⋅<．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求导得到极值，即可得到结果；（2）根据题意，构造()()()(),1,h x f x g x x =-∈+∞，然后求导得到()0h x <，即可证明；（3）方法一：由条件可得112122ln ln ln x x x x x x -=-=，令12x t x =，然后结合（2）中的结论即可证明；方法二：结合条件可得()12222112ln g x g x x x x ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，然后令()()12ln ,0,x x x x xϕ=--∈+∞，然后由函数()x ϕ的单调性即可证明.【小问1详解】()()1ln ,0,f x x x x=+∈+∞，()22111x f x x x x-'∴=-=，∴令()0f x ¢>解得1x >，()f x \在()0,1单减，在()1,+∞上单增，()f x \在1x =取得极小值，也是最小值()11f =，()0,x ∞∈+ 时，()f x a ≥成立．∴只需1a ≤即可，∴实数a 的最大值为1．【小问2详解】证明：设()()()()12ln ,1,h x f x g x x x x x=-=+-∈+∞，()222222121(1)10x x x h x x x x x---∴=--=='-<，()12ln h x x x x ∴=+-在()1,x ∈+∞上单调递减，()()12ln 10h x x x h x ∴=+-<=，()()1ln 0h x x g x x ∴=+-<，即()()f x g x <．【小问3详解】法一：证明： 存在12x x >时，便得()()12g x g x =成立，1122ln ln x x x x ∴-=-，112122ln ln lnx x x x x x ∴-=-=，令t =120x x >>可知1t >，由（2）知()12ln h x x x x=+-在()1,x ∈+∞上单调递减，()()1h t h ∴<即0+<，∴<-，即12ln x x <，1122ln x x x x ∴-=<120x x >>知120x x ->，1>1<，121x x ∴⋅<.法二：()()ln ,0,g x x x x =-∈+∞ ，()()111,01x g x g x x x x'-∴=>'=-⇒>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．存在12x x >时，使得()()12g x g x =成立，1122ln ln x x x x ∴-=-，且122110,1x x x >>>>，()1112222222222111111ln ln ln ln 2ln g x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=---=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()()12ln ,0,x x x x xϕ=--∈+∞，()222221221(1)10x x x x x x x x ϕ-+-'∴=+-==≥，()12ln x x x xϕ∴=--在()0,x ∈+∞上单调递增，又201x << ，()()222212ln 10x x x x ϕϕ∴=--<=，即()1210g x g x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭即()121g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()121,1,,x g x x ∈+∞ 在()1,+∞上单调递增，121x x ∴<即121x x ⋅<.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去研究.。
