选择题解答中的变量控制法

ab) > f (
2 ab ) > f( a +b
ab) > f (
a +b
2
(A ) 一定大于零 (B ) 一定小于零 ( C ) 等于零
3
2 ab a +b ) > f( ). a +b 2 1 +
x
(D ) 正负都有可能 .
解答 在函数 f ( x ) = 理化得 f ( x) = 而
( A )α < a < b < β ( B ) a < α < β < b ( C ) a < α < b < β ( D )α < a < β < b .
( - 1 ) k , 再求和 (如 A = { 1, 3, 6 } , 可求得和为 ( - 1 )
・1 + ( - 1 ) 3 ・3 + ( - 1 ) 6 ・6 = 2 ) , 则对 M 的所有非 空子集 , 这些和的总和是 ( ) .
( A ) - 2560 (B ) 2560
a +b >
1 +x 中 , 将分子有
解答 依题意可得 x1 > - x2 , x2 > - x3 , x3 >
- x1 , 又函数 f ( x ) = - 7 x - 5 x 在 R上为奇函数且单
1
x +1 - 1
, 它在 ( 0, + ∞) 上递减 ,
调递减 , 故可得一个整 体 关 系式 : f ( x1 ) + f ( x2 ) +
严谨地解决问题固然是一种比较到位的处理方 法 , 但有时会“ 费时不讨好 ” , 而通过特殊变量的控 制 , 借力使力 , 可达到以柔克刚之目的 . 例 11 已知函数 f ( x) = ( x - a) ( x - b) - 2 ( a β < b) , 并且 α 、 是方程 f ( x ) = 0的两个根 (α < β) , α β的大小关系是 ( ) . 则实数 a、 b、 、
t , 则 g ( - 1 ) ≥ 0 且 g ( 1 ) ≥ 0, 故选答案 C.
2
通过控制前几项 , 尝试 、 探索其中的规律 , 进而 发现整体问题的实质所在 , 问题也就能迎刃而解 , 可 谓抛砖引玉 . 例 8 已知数列 { an } 中 , a1 = 1, a2 = 2, an =
+ an - 1 - an - 2 ( n ∈ N , n ≥ 3 ) , 则 a2006 为 ( ) .
3 ( x + y) + 12, 等式右边可看成关于 x +
2006 年第 12 期 数学 教 学 研 究
2 y的二次函数 . 又由已知可得 3 ( x + y ) = ( x - y ) +
31 1 +
x
例 6 已知 f ( x) =
1 +x
, a、 b为两个不相
12 ≥ 12, 即 x + y ≥ 4 3, 因而当 x + y = 4 3时 , 4 xy
1 边界控制
圆满成功 .
2 局部控制
当一个问题从整体上一时难以突破时 , 常可化 整为零 , 通过局部的控制 , 从而可达到各个击破进而 全线告捷之目的 . 例 2 已知集合 M = { x | 1 ≤ x ≤ 10, x ∈ N } , 对它的非空子集 A, 可将 A 中的每个元数 k 都乘以
12 = 0, 则 xy 的最小值是 ( ) .
( A ) 12 (B )
度” 取最小值为
1 . 12
45 21 ( C) (D ) 不存在 . 16 4
解答 xy 与 x + y分别看成一个整体 , 得 4 xy =
( x + y) 2 -
点评 本题通过左右边界的控制 , 使解题得以
+ f ( x2 ) + f ( x3 ) 的值 ( ) .
等的正实数 , 则下列不等式正确的是 ( ) .
(A ) f ( (B ) f ( ( C) f ( (D ) f ( a +b
2
a +b
) > f(
ab) > f (
2 ab ) a +b
ab) )
2
) > f(
2 ab ) > f( a +b
+
解答 由 a1 = 1, a2 = 2, an = an - 1 - an - 2 ( n ∈
N , n ≥ 3 ) 可得 a3 = 1, a4 = - 1, a5 = - 2, a6 = - 1,
a7 = 1, a8 = 2, 由此发现规律 an +6 = an , 即周期为 6,
32
数 学 教 学 研 究 2006 年第 12 期
N ) , 集合 M 的所有非空子集中含有 n ( 1 ≤ n ≤ 10, n
3 } ,Ν = 4
∈ N ) 的集合个数为 29 , 因此对 M 的所有非空子集 , 这些和的总和是
9 2 3 2 [ - 1 + ( - 1 ) ・2 + ( - 1 ) ・3 + … 10 + ( - 1 ) ・10 ] = 2560.
1 1 ( A ) - 2 ≤ t ≤ 2 ( B ) ≤ t≤ 2 2
( C) t ≥ 2 或 t ≤ - 2或 t = 0 (D ) t ≥
即
1
a +b
<
1
b +c
<
, a +c
1
化简后即得 c < a < b. 点评 例 6 与例 7 中的分子与分母都在变 , 不 易找出它的变化规律 , 设法控制其中的一半 , 而让另 一半在变 :分别通过有理化以及不等式的性质使分 子为常量 , 而只让分母在变 , 它的变化规律“ 顿现眼 前” .
1 b2 - 2 ) < 4, 即正确答案是 A. 2
点评 本题关键是通过控制中间量“4 ” , 从而 得 x > 4 > y, 这也是比较大小或不等式证明题型中 的常用技巧 .
8 通过特殊变量控制
解答 由已知得 a1 =
=
6 5 ,a = , 由此发现规律 : an +3 = an , 即周期为 7 5 7 6 . 7
+2 ≥
2 an - 1,
1 ≤ an < 1. 2
4 ( a > 2 ) , 而对于 y = (
- 2 > - 2, 故 y = (
1 b2 - 2 ) ( b < 0 ) 而言 , 由于 b2 2
若 a1 =
(A )
6 , 则 a2008 的值为 ( ) . 7 6 5 2 1 (B ) ( C) (D ) . 7 7 7 7 6 5 3 ,a = ,a = ,a 7 2 7 3 7 4
6 控制前几项
1 1 或 t ≤或 t = 0. 2 2
解答 题中的变元比较多 , 对于 f ( x ) ≤ t2 - 2 a t
+ 1而言 , 把 x当成主元 , f ( x ) 的最大值为 f ( 1 ) = 1,
得 t2 - 2 a t + 1 ≥ 1, 即 t2 - 2 a t ≥ 0; 再把 a看成主元 , 不等式左边可看成关于 a的函数 , 令 g ( a ) = - 2 a t +
2 2 例 3 实数 x、 y满足 x - 2 xy + y - 3 x - 3 y +
解答 由于 M 、 N 都是集合 { x | 0 ≤ x ≤ 1 } 的子 集 , 它们的长度分别是
3 [ 0, 1 ] 的“ 左端 ” , 即 M = [ 0, ], 而 N 处于区间 [ 0, 4 1 ] 的“ 右端 ” ,即 N = [ 2 , 1 ] 时 , 集合 M ∩ N 的“ 长 3
( A ) x > y ( B ) x < y. ( C) x = y ( D ) 不能确定 .
故 a2006 = a2 = 2. 例 9 已知数列 { an } 满足
2 an ,
an +1 =
0 ≤ an <
1 , 2
解答 x = a +
1
a - 2
= ( a - 2) +
1
a - 2
f ( x3 ) < - [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) ], 因此 f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) 的值一定小于零 .
2
ab >
2 ab , 故选答案 C. a +b
c a < < a +b b +c
点评 本题通过构造整体不等式 , 使它的两边 都含有 f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) 这个整体 .
. ( ii) m 的取值范围是 { m | ln (
12 a) < m < 5
8 a) }.Hale Waihona Puke 3选择题解答中的变量控制法
李太敏
(江苏省灌南县教育局教研室 222500 )
变量是数学的重要研究对象 , 多变量的干扰 , 常 常会令解题者陷入“ 剪不清 , 理还乱 ” 的头绪中 . 对 变量如何处理 , 这是每一位解题者经常思考的问题 , 而处理好变量进而提高解题能力 , 这更是每一位解 题者追求的目标 . 笔者经过探索发现 , 物理学中经常 采用的变量控制法在数学解题中也同样适用 , 它能 迅速架起变量之间的桥梁 , 沟通已知与未知之间的 联系 , 从而能迅速地判明解题方向 , 使解题得以圆满 成功 . 本文试以选择题为例 , 来说明如何利用变量控 制法来解题 .