山西省2017高三下学期适应性考试数学试题(文)(word版含答案)
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山西省2017届高三下学期适应性考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,5A =，则U A ð的子集的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12.设z 是复数z 的共轭复数，若11z i i=+-，则z z ⋅=（ ）A B ．52 C D ． 3.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”（即乙领取的钱数不少于其他任何人）的概率是（ ） A ．34B ．13C ．310D ．254.已知向量(1,2)a = ，(3,4)b = ，则()b a b -⋅=（ ） A ．6-B ．6C ．14D ．14-5.在ABC ∆中，D 为边AB 上一点，且DA DC =，3B π=，2BC =，BCD ∆则边AC 的长是（ ）A ．2B ．C ．4D ．6.过抛物线C ：2y x =的焦点且垂直于y 轴的直线与C 交于A ，B 两点，关于抛物线C 在A ，B 两点处的切线，有下列四个命题，其中的真命题有：①两切线互相垂直；②两切线关于y 轴对称；③过两切点的直线方程为14y =；④两切线方程为1y x =±-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．13B ．43C ．83D ．1038.已知P 是圆222x y R +=上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E ，若曲线C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且222R a b =+，则点E 的轨迹方程为2222x y a b+=，若曲线C ：22221x y a b -=（0a b >>），且222R a b =-，则点E 的轨迹方程为（ ）A ．2222x y a b-=B ．2222x y a b-=C ．2222x y a b +=D ．2222x y a b +=9.已知3cos()sin 65παα++=，则cos(2)3πα-的值是（ ） A ．725-B ．2325-C ．725D ．232510.运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD 表示取余数，如1121MOD =）．下列数中的“水仙花数”是（ ）A ．100B ．153C ．551D ．90011.已知函数2ln y a x =+（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）A ．23,e ⎡⎤⎣⎦B ．2[,)e +∞C ．2214,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．13,4e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦12.如图，在ABC ∆中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．πB ．3πC ．5πD ．7π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数3()12f x ax x a =-+的单调递减区间为(2,2)-，则a = ．14.已知x ，y 满足123,121,x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．15.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，将函数()y f x =的图象向左平移43π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =在区间5,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．16.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且2F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，设点M 为两曲线的一个公共点，且1||21MF =，2||15MF =，12F F M ∠为钝角，则双曲线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足222cos2n n a π=+，*n N ∈，等差数列{}n b 满足112a b =，22a b =． （Ⅰ）求n b ；（Ⅱ）记212122n n n n n c a b a b --=+，求n c ； （Ⅲ）求数列{}n n a b 前200项的和200S ．18.在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，D 为11A B 的中点．（Ⅰ）证明：1//AC 平面1BC D ；（Ⅱ）若11A A AC =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB的面积为求三棱锥11A BC D -的体积．19.某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1,2,3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．为检验某批玩具是否合格，制定检验标准为：多次抛掷该玩具，并记录朝上的面上标记的数字，若个数字出现的频率的极差不超过0.05，则认为该玩具合格．（Ⅰ）对某批玩具中随机抽取20件进行检验，将每个玩具各面数字出现频率的极差绘制成茎叶图（如图所示），试估计这批玩具的合格率；（Ⅱ）现有该种类玩具一个，将其抛掷100次，并记录朝上的一面标记的数字，得到相应数据如表：（i ）试判定该玩具是否合格；（ii ）将该玩具抛掷一次，记事件A ：向上的面标记数字是完全平方数（能写成整数的平方形式的数，如293=，9为完全平方数），事件B ：向上的面标记的数字不超过4．试根据表中的数据，完成列联表（其中A 表示A 的对立事件），并回答在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能否认为事件A 与事件B 有关．（参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2( 6.635)0.01P K ≥=）20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点P ，且E ． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的顶点(0,)A b 作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于B ，C 两点，若BAC ∠的角平分线方程为31y x =-+，求ABC ∆的面积及直线BC 的方程．21.已知函数,0,()'(),0,x ae x f x f x x ⎧≥=⎨-<⎩曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20ebx y a -+-=．（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若存在实数m ，对任意的[]1,x k ∈（1k >），都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b θθ=⎧⎨=⎩（0a b >>，θ为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为r ρ=（0r >）．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（Ⅱ）若b r a <<，求由两曲线1C 与2C 交点围成的四边形面积的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式||2x x m m --≥． （Ⅰ）当0m =时，求该不等式的解集；（Ⅱ）当[]2,3x ∈时，该不等式恒成立，求m 的取值范围．文科数学答案一、选择题1-5:ABDCB 6-10:CDBAB 11、12：AD二、填空题13.1 14.12 15.216.221927x y -= 三、解答题17.解：（Ⅰ）由题意知3cos n a n π=+，当n 为奇数，2n a =；当n 为偶数，4n a =， 于是112b =，11a =，224b a ==，故数列{}n b 的公差为3， 故1(1)332n b n n =+-⋅=-．（Ⅱ）[][]23(21)243(2)23618n c n n n =--+-=-． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，数列{}n c 为等差数列， 故11002001220022n c c S c c c +=+++=⨯…180000=． 18.（Ⅰ）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ． 则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点，所以1//DE AC ，且DE ⊂平面1BC D ，1AC ⊄平面1BC D ， 则1//AC 平面1BC D ．（Ⅱ）解：取AC 的中点O ，连接1AO ，过点O 作OF AB ⊥于点F ，连接1A F ． 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A A AC =， 所以1AO ⊥平面ABC ，∴1AO AB ⊥，1AO OF O = ，∴AB ⊥平面1AOF ，则1A F AB ⊥． 设1AO h =，在ABC ∆中，2AC BC ==，120ACB ∠=︒，∴AB =12OF =，1A F =由11A ABB S ==1AO h ==．则111111113A BC D B A C D A C D V V AO S --∆==⨯⨯111122sin12032224=⨯⨯⨯⨯︒=． 所以三棱锥11A BC D -的体积为14．19.解：（Ⅰ）由题意知，20个样本中，极差为0.052,0.071,0.073的三个玩具不合格，故合格率可估计为170.8520=，即这批玩具的合格率约为85%． （Ⅱ）（i ）由数据可知，5点或9点对应最大频率为0.10,4点对应最小频率0.06，故频率极差为0.040.05≤，故该玩具合格． （ii ）根据统计数据，可得列联表：于是2K 的观测值2100(15601510)10014.2857 6.635307025757k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯0k =， 故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，能认为事件A 与事件B 有关．20.解：（Ⅰ）把点P 代入E 中，得221112a b +=，又c a =，∴2212b a =，解得22a =，21b =，∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）设过A 斜率为k （0k ≠）的直线为1y kx =+，代入椭圆方程22220x y +-=得22(21)40k x kx ++=，①则2421B kx k =-+，∴||0|B AB x =+=，② 在直线31y x =-+上取一点1(,0)3Q ，则Q 到直线1y kx =+1|1|k +，点Q 到直线11y x k =-+1||k -，11|1|||k k +-=，解得2k =或12-．代入②得||9AB =，||3AC =，∴ABC ∆的面积1140||||2227S AB AC =⋅==， 由①得87(,)99B --，41(,)33C ，∴BC 的方程为114()323y x -=-，即3620x y --=．21.解：（Ⅰ）0x >时，'()xf x ae =，'(1)f ae =，(1)f ae =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)'(1)(1)y f f x -=-，即y aex =． 又曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20ebx y a -+-=， 所以2a b ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,0,()2,0,x x e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩显然()()f x f x -=对于任意x R ∈恒成立， 所以()f x 为偶函数，||()2x f x e =．由()2f x m ex +≤，得||22x m e ex +≤，两边取以e 为底的对数，得||ln 1x m x +≤+，所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立，设()ln 1g x x x =-++， 则11'()10x g x x x-=-+=≤（因为[]1,x k ∈）， 所以min ()()ln 1g x g k k k ==-++，设()ln 1h x x x =---，已知()h x 在[]1,k 上单调减，∴max ()(1)2h x h ==-，故2ln 1m k k -≤≤-++，要此不等式有解，必有ln 3k k -+≥-，又1k >，所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2． 22.解：（Ⅰ）1C ：22221(0)x y a b a b+=>>，2C ：222x y r +=（0r >）． 当r a =或b 时，两曲线有两个公共点；当b r a <<时，两曲线有四个公共点；当0r b <<或r a >时，两曲线无公共点．（Ⅱ）由于曲线1C 与曲线2C 关于x 轴、y 轴以及原点对称，所以四边形也关于x 轴、y 轴以及原点对称，设四边形位于第一象限的点为(cos ,sin )a b θθ，则四边形的面积为4cos sin 2sin 22S a b ab ab θθθ=⋅=≤．当且仅当sin 21θ=，即4πθ=时，等号成立．23.解：（Ⅰ）当0m =时，原不等式化为||20x x -≥，等价于20,2,x x ≥⎧⎨≥⎩或20,2,x x <⎧⎨-≥⎩解得x ≥所以所求的不等式的解集为{|x x ≥．（Ⅱ）∵[]2,3x ∈，∴0x >，∴原不等式化为2||m x m x +-≥，① 当2m ≤-，即20m +≤时，①式恒成立，所以2m ≤-；当2m >-，即20m +>时，①式化为2m x m x +-≥或2m x m x +-≤-． 化简得22(1)x m x -≥+，或22(1)x m x +≤-，∵[]2,3x ∈，∴10x +>，10x ->， ∴221x m x -≤+，或221x m x +≥-， 又221111x x x x -=--++，2231211x x x x +=-++--， 所以当[]2,3x ∈时，2min 22()13x x -=+，2max 2()61x x +=-， 所以23m ≤或6m ≥， 所以223m -<≤或6m ≥， 综上，实数m 的取值范围为2|63m m m ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或．。
