北京理工大学849量子力学05-08年真题

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2010年北京理工大学843控制工程 基础考研真题（回忆版）
2008年北京理工大学843控制工程 基础考研真题
2007年北京理工大学443控制工程 基础考研真题
2006年北京理工大学443控制工程 基础考研真题
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2005年北京理工大学443控制工程 基础考研真题
目 录
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20082009 郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷）
题号 一 二 三 得分
总分
（说明：考试时间 120 分钟，共 6 页，满分 100 分）
计分人：
复查人：
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
得分 评卷人
1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量 E、动量 P 与频率、波长之间的关系，其表达式为：
[Lˆ x , Lˆ y ] [ ypˆ z zpˆ y , zpˆ x xpˆ z ]
[ ypˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zpˆ y , zpˆ x xpˆ z ]
[ ypˆ z , zpˆ x ] [ ypˆ z , xpˆ z ] [zpˆ y , zpˆ x ] [zpˆ y , xpˆ z ]
1、（10 分）设氢原子处于状态
(r, , )
1 2
R21 (r)Y10
( ,)
3 2
R21 (r)Y11 (
,)
求氢原子能量 E、角动量平方 L2、角动量 Z 分量 LZ 的可能值及这些可能值出现的几率。
解：在此状态中，氢原子能量有确定值
E2
e
2 s
2 2n2
e
2 s
8 2
角动量平方有确定值为
L2 ( 1) 2 2 2
[ ypˆ z , zpˆ x ] [zpˆ y , xpˆ z ]
y[ pˆ z , zpˆ x ] [ y, zpˆ x ] pˆ z z[ pˆ y , xpˆ z ] [z, xpˆ z ] pˆ y
y[ pˆ z , zpˆ x ] [z, xpˆ z ] pˆ y
yz[ pˆ z , pˆ x ] y[ pˆ z , z] pˆ x x[z, pˆ z ] pˆ y [z, x] pˆ z pˆ y

3. a = b时，写出第一激发态波函数，并求系统处于第一激 发态的量子涨落 ∆x。 2 nxπx nyπy a = b时 ψn (x, y) = sin sin
a a a
设沿x方向处于第一激发态，沿y方向处于基态， 2 2πx πy ψ1 (x, y) = sin sin a a a a a a a 4 2πx πy 1 4πx 2 2 )dx = x = 2 ∫ xsin dx∫sin dy = ∫ x(1− cos
久期方程 得到
cosθ − λ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ − cosθ − λ
=0
λ = ±1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
2
同理
sin 2 θ W(σn = −1) = 2(1+ cosθ)
3.在 σz 本征值为-1的态下，计算 σn 的平均值
σn = −1σn −1
cosθ sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ0 = (0 1) 1 − cosθ sin θ cosϕ + i sin θ sin ϕ
λ = +1
λ = +1
(cosθ −1)a + (sin θ cosϕ −i sin θ sin ϕ)b = 0 (sin θ cosϕ +i sin θ sin ϕ)a −(cosθ +1)b = 0
1 1− cosθ ψ+1 = a sin θ cosϕ − i sin θ sin ϕ

= σ x cos2 λ −σ x sin 2 λ − 2σ y cosλ sin λ
= σ x cos 2λ −σ y sin 2λ
12
四、（40分）设体系处于归一化波函数ψ = c1Y11 + c2Y20 ,求 、（40分 40 1. Lz 的可测值及相应的概率。 2. L2 的可测值及相应的概率。 3.计算 (∆Lz )2 4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。 5.在 ψ = Y11 态下，求 (∆Lx )2 的平均值。 解：1.
a a 2
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而 − a < x < a 势阱中粒子波函数
′ 将 ψ1(x) 按 ψn (x)展开， ψ1 (x) =
a 2 a
′ ψn (x) =
1 nπ sin (x + a) a 2a
∑c ψ′ (x)
n n n
a
2 2 πx π πx π ′ c1 = ∫ψ1 *ψ1dx = sin( + )sin( + )dx a −∫ 2a 2 a 2 −a a
2 z
(∆Lz ) = c1 (1− c1 )ℏ = c1 c2 ℏ2
2 2 2 2 2 2
4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。
ˆ = 1 (L + L ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 利用升降算符 L± = Lx ± iLy ，得 Lx + − 2
ˆ L± l, m = (l ∓ m)(l ± m+1)ℏ l, m±1
求基态能量一级修正。 5.当粒子处于基态时，设阱宽突然变为 2a，粒子波函数来 不及改变，求粒子仍处在基态的概率。
2
解： 1. 粒子能量本征值和本征函数为：

可编辑修改精选全文完整版习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。

解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得p ===h pλ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。

解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmEh 12220107.722ph-⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。

已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410p m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。

22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。

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详情请查阅理硕教育官网849 量子力学1、考试要求①一般性了解：早期量子论，守恒量与对称性的关系，全同粒子系，粒子在中心力场中的一般规律，氢原子的波函数与能级结构的一般特性，原子的壳结构与元素周期律，狄拉克符号，角动量的耦合。

②要求掌握：波函数的统计解释，含时与定态Schrodinger方程，波函数的随时间演化，态叠加原理，一维无限深势阱和线性谐振子，一维散射， 势，算符与力学量的关系，算符对易关系的计算，厄米算符的本征值和本征函数问题，力学量的取值概率分布以及平均值的计算，共同本征函数，角动量算符的对易关系、本征值与本征函数，不确定性关系，守恒量，Schrodinger图像和Heisenberg图像，氢原子的基态波函数及物理量计算，态的表象，态与力学量的矩阵表示，量子力学的矩阵形式，电子的自旋算符和自旋函数，定态非简并和简并情况下的微扰理论。

2、考试内容①基本概念：早期量子论，波函数及其几率诠释，定态，态叠加原理，力学量算符，厄米算符，对易关系，简并，角动量，不确定性关系，守恒量，Heisenberg 图像，Heisenberg方程，径向Schrodinger方程，表象，自旋，微扰论。

②计算能力：定态和含时薛定谔方程的求解，波函数的几率诠释及其运用，定态和非定态波函数随时间的演化，一维定态薛定谔方程的求解，力学量算符的对易关系计算，算符的本征值问题的求解，共同本征问题的求解，力学量的取值概率分布以及平均值的计算，角动量算符的本征值与本征函数的有关计算，Heisenberg 图像下求解Heisenberg 方程，氢原子基态波函数及有关物理量计算，量子力学的矩阵形式及其运用，电子自旋算符和波函数的有关计算，定态非简并和简并情况下的微扰理论计算。

目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。

1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。

（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。

（2）请推导电子的径向运动方程。

并讨论其在时的渐近解。

提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。

（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。

如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。

（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。

如果粒子间互作用能为，计算基态能量。

（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。

有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。

请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。

总角动量，是的共同本征态。

现有一电子处于态，且。

（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。

（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能 级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。（10 分）
（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波
函数。如果粒子间互作用势为
，计算基态能级到一级微扰项。（15 分）
。总角动量
，
是
的共同本征态 。现有一电子处于 态，且
。
（1） 在一基近似下， 可用 代替，请问电子的能量与
态差多少？
（2） 请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在 z 方向均匀磁场 B 中电子的能量改
变多少？（
）
，当，更多物理资料加云 应作如是观grh，当，
5．（20 分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋 1/2）处于 z 方向强磁场 中。自
） 提示：谐振子能量本征函数可以写成
求激发电子到
，
，
2.（30 分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为 ）。 （1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电下
3．（50 分）两个质量为 的粒子，被禁闭在特征频率为 的一维谐振子势场中，彼此无相 互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：
旋朝下（z 轴负方向）。此时加上一个 y 方向交变弱磁场
。其频率 可调。自
旋朝上与朝下态的能量差可写成 。在 间 后粒子自旋朝上的几率。
的条件下，用微扰方法求出很短时
参考解
一．由 在 态下
或：由维里定理： 即
二．（1）
（2）。二维中心力场（卷 I p347 ）,
守恒量完全集
，能量本征态为
其中 2005 年招收硕士研究生入学考试试题

在很多年之前我从来不认为学习是一件多么重要的事情，那个时候我混迹于人群之中，跟大多数的人一样，做着这个时代青少年该做的事情，一切都井井有条，只不过，我不知做这些是为了什么，只因大家都这样做，所以我只是随众而已，虽然考上了一个不错的大学，但，我的人生目标一直以来都比较混乱。

但是后来，对世界有了进一步了解之后，我忽而发现，自己真的不过是这浩渺宇宙中的苍茫一粟，而我自身的存在可能根本不能由我自己来把握。

认识到个体的渺小之后，忽然有了争夺自己命运主导权的想法。

所以走到这个阶段，我选择了考研，考研只不过是万千道路中的一条。

不过我认为这是一条比较稳妥且便捷的道路。

而事到如今，我觉得我的选择是正确的，时隔一年之久，我终于涅槃重生得到了自己心仪院校抛来的橄榄枝。

自此之后也算是有了自己的方向，终于不再浑浑噩噩，不再在时代的浪潮中随波逐流。

而这一年的时间对于像我这样一个懒惰、闲散的人来讲实在是太漫长、太难熬了。

这期间我甚至想过不如放弃吧，得过且过又怎样呢，还不是一样活着。

可是最终，我内心对于自身价值探索的念头还是占了上峰。

我庆幸自己居然会有这样的觉悟，真是不枉我活了二十多个春秋。

在此写下我这一年来的心酸泪水供大家闲来翻阅，当然最重要的是，干货满满，包括备考经验，复习方法，复习资料，面试经验等等。

所以篇幅会比较长，还望大家耐心读完，结尾处会附上我的学习资料供大家下载，希望会对各位有所帮助，也不枉我码了这么多字吧。

北京理工大学物理学的初试科目为：(101)思想政治理论和(201)英语一(624)电磁学和(849)量子力学参考书目为：1.《电磁学》（第三版），赵凯华，高等教育出版社2.《量子力学教程》、高等教育出版社、周世勋先聊聊英语单词部分：我个人认为不背的单词再怎么看视频也没用，背单词没捷径。

你想又懒又快捷的提升单词量，没门。

（仅供个人选择）我建议用木糖英语单词闪电版，一天200个，用艾宾浩斯曲线一个月能记完，每天记单词需要1小时（还是蛮痛苦的，但总比看真题时啥也看不懂要舒服多）。

【最新整理，下载后即可编辑】量子力学基础简答题1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。

6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。

8、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？9、简述定态微扰理论。

10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。

18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。

19何谓选择定则。

20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。

22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a N ˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。

爆轰理论2004 爆轰理论2005 物理光学2000 物理光学2003 物理光学2004 物理光学2005 物理光学2006 物理光学2007 物理光学2008 物理化学1999 物理化学2000A 物理化学2001A 物理化学2002A 物理化学2003 物理化学2004 物理化学2005 物理化学2006 物理化学2007 物理化学2008 物理化学（A）2008 环境微生物学2007 环境微生物学2008 环境生物学2007 理论2008 理论力学2000 理论力学2001 理论力学2002 理论力学2003 理论力学2004 理论力学2005 理论力学2006 理论力学2007 理论力学2008 生物化学1999 生物化学2000 生物化学2001 生物化学2002 生物化学2003 生物化学2004 生物化学2005 生物化学2005A 生物化学2006 生物化学2006A 生物化学2007（缺5、6页） 生物化学2008 生物化学（A）2008 电动力学2000
学校 北京理工大学
科目及年份 交通运输系统工程学2005 交通运输系统工程学2007 交通运输系统工程学2008 企业管理2004 会计学1999 会计学2000 会计学2001 会计学2002 会计学2004 会计学2004答案 会计学2006 会计学2007 会计学2008 传感与测试技术2004 传感与测试技术2005 传感技术2000 传感技术2001 传感技术2002 传热学2000 伦理学原理2008 信号与系统（信号处理导论）1996 信号与系统（信号处理导论）1997 信号与系统（信号处理导论）1998 信号与系统（信号处理导论）1999 信号与系统（信号处理导论）2000 信号与系统（信号处理导论）2001 信号与系统（信号处理导论）2002 信号处理导论2003 信号处理导论2004 信号处理导论2005 信号处理导论2006 信号处理导论2007 信号处理导论2008 信号理论基础2007 信号理论基础2008 信息管理与知识产权2008 分子生物学2002 分子生物学2007 分子生物学2008 分析化学2001A 分析化学2002B 分析化学2003 分析化学2004 分析化学2005 分析化学2006 分析化学2006A

试求（1）自旋角动量z分量 Sz 的可能值和相应概率。（2）轨 道角动量z分量 Lz的可能值和相应概率。（3） L2 的可能值和相 z 应概率。（4）Sz 和 Lz 的平均值。 解： （1）将ψ 按 Sz的本征函数系展开
0 1 R21(r)Y11(θ,ϕ) + ψ =2 3 − R21(r)Y (θ,ϕ) 10 0 2
πx
2a
+ cos
3πx ] ，求t 2a
时刻粒子归一化波函数、能量可能值及相应概率。 πx πx ψ (x,0) = Asin cos2 （3）若初始波函数 ，求t 时刻粒子归 a 2a 归一化波函数。 π 2ℏ2n2 En = 解： （1） 8µa2
1 nπ(x + a) sin , ψn (x) = a 2a 0, x ≤a x <0
n = 1,2,⋯
3
（2）若粒子初始波函数为 ψ (x,0) = A[cos
πx
2a
πx
2a
+ cos
3πx ] ，求t 2a
时
时刻粒子归一化波函数、能量可能值及相应概率。 （2）
cos = sin(
πx π
+ ) = sin (x + a) 2a 2 2a
π
所以
3πx 3πx 3π 3π = −sin( + ) = −sin (x + a) 2a 2a 2 2a πx 3πx 1 π 1 3π ψ(x,0) = A [cos + cos ] = A a[ sin (x + a) − sin (x + a)] 2a 2a a 2a a 2a cos
+
(

考研真题大学物理08年考研真题考研真题：大学物理 08 年考研真题解析在考研的征程中，历年真题无疑是我们前行的重要指南。

大学物理作为理工科考研的重要科目之一，其 08 年的考研真题具有独特的研究价值。

首先，让我们来看看选择题部分。

这部分题目通常涵盖了物理学的各个基础概念和原理。

比如，有关于牛顿运动定律的应用，通过给出具体的物体运动情况，要求考生判断所受到的力的大小和方向。

还有热力学方面的问题，涉及到理想气体状态方程、热力学第一定律和第二定律的理解。

另外，电磁学中的电场、磁场的性质和相关定律的考察也必不可少。

这就要求考生对这些基本概念有着清晰而准确的把握，不能有丝毫的模糊。

填空题则更侧重于对公式和定理的直接运用。

例如，在波动光学部分，可能会让考生填写光程差与相位差的关系式；在近代物理领域，或许会问到某个粒子的能量、动量等物理量的表达式。

这就需要考生熟练掌握各种公式，并能在短时间内准确地进行计算和填写。

接下来是计算题。

这部分往往是考试的重点和难点，能够充分考察考生的综合运用能力和解题思路。

比如，在力学计算题中，可能会给出一个复杂的物体运动系统，要求考生运用牛顿定律、动能定理、机械能守恒定律等知识来求解速度、加速度、力等物理量。

在热学计算题中，可能会涉及到理想气体的绝热过程、等温过程或者等压过程，需要考生运用相应的热力学公式进行计算和分析。

电磁学的计算题通常会涉及到电场和磁场的叠加、电磁感应等问题，要求考生能够画出清晰的物理图像，运用麦克斯韦方程组等相关知识进行求解。

在 08 年的大学物理考研真题中，有一道关于相对论的计算题给很多考生留下了深刻的印象。

题目给出了一个高速运动粒子的相关参数，要求考生计算其在不同参考系下的能量和动量。

这道题不仅需要考生对相对论的基本原理有深入的理解，还需要具备较强的数学运算能力和逻辑推理能力。

另外，还有一道光学计算题，涉及到薄膜干涉的原理和应用。

题目给出了薄膜的厚度、折射率等参数，要求考生计算出干涉条纹的间距和明暗分布情况。

第 1 页, 共 1 页2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：×××科目名称：量子力学一、（20分）一个质量为 m 的粒子在一维无限深势阱 ()V x （0x a ≤≤）中运动，0t =时刻的波函数为()cos )sin .x xx a aππψ=+ 问：（1）在后来某一时刻 t ，粒子的波函数是什么？（2）体系在 t 时刻的平均能量是多少？（3）t 时刻在势阱的左半部 02x a ≤≤ 发现粒子的概率是多少？二、（15 分）对于 2(,)z L L 的共同本征态 lm ，计算 2x L 和 y L 的平均值。

三、（20 分）自旋为 0 的两个全同粒子在谐振子势中运动，22222201222121ˆ()()22H x x x x µωµ∂∂=−+++∂∂ 设粒子之间有相互作用 22012exp[()]H V x x β′−−，试用微扰论求体系基态能级的一级修正。

已知积分公式：22e d 0a xxa +∞−=>∫。

四、（20 分）一个沿 x 轴作一维运动的自由电子，波函数满足长度 L （L 足够大）的周期性边界条件。

（1）试写出体系的定态波函数和相应的能量本征值。

（2）若再加上微扰，cos H kx ε′=（2k N L π=，N 是一个大的整数，ε 为一个小常数），请计算波矢为 N L π 的电子的一级近似能量和微扰后的零级近似波函数。

五、（20 分）设电子处于自旋态 1()z S χ（1z σ=），求 n n ˆˆσ=⋅σe 的可能测量值及相应的概率，其中 n (sin cos ,sin sin ,cos )θϕθϕθ=e 是 (,)θϕ 方向的单位矢量。

六、（20 分）预先建立一个 Stern-Gerlach 实验，使得一个电子自旋 z 分量为 2− 。

在 0t = 时刻加入一个沿 x 方向的均匀磁场。

问：（1）经过时间 T 后测自旋 z 分量的结果是什么？ （2）如果不是测自旋 z 分量，而是 x 分量，则结果如何？。