共形映像的Hausdorff 测度及其算法
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s β1 H s (E )
H s (f (E ))
s β2 H s (E ).
Rn 中子集族 V 叫做一个集合 E 的 Vitali 覆盖族, 如果对所有 x ∈ E 和 δ > 0, 存在 U ∈ V 使得 x ∈ U 和 0 < |U | < δ . 下面的 Vitali 覆盖定理在本文定理 1.1 的证明中起到重要作用.
|Dx f − Dy f | ϵ|Dx f |, (3)
则集合族
V = {B (x, r) : x ∈ K, 0 < r < δ/2, B (x, r) ⊂ V }
是 K 的 Vitali 覆盖, 这里 B (x, r) 是一个中心在 x 且半径为 r 的闭球 (见 [5]). 据引理 2.2, 则存在可 数或有限不相交闭球 Bi ∈ V 使得 ( \∪ ) Hs K Bi = 0. (4)
∪
i
Bi ) = 0, 我们有 ∫
∪
i
∫ |Dx f |s dµ(x) =
Ki K
|Dx f |s dµ(x).
(16)
所以由 (12), (14), (16) 三式得 ∫ (1 − ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s dµ(x)
K
H s (f (K )) ∫ (1 + ϵ) H (K ) ·
i i
因此, 我们有
H
s
(∪
i
) f (Ki ) =H
s
(∪
i
) f (K ∩ Bi )
)) ( (∪ f (Bi ) = H f (K ) ∩
s
( \( \∪ )) s f (K ) = H f (K ) f (Bi ) ( \∪ ) = H s (f (K )) − H s f (K ) f (Bi )
中国科学 : 数学
2012 年 第 42 卷
第 7 期 : 699 ∼ 709
共形映像的 Hausdorff 测度及其算法
李浩x , 汪沁x ∗ , 周作领y
x 浙江万里学院计算机与信息学院, 宁波 315100; y 中山大学岭南学院, 广州 510275 E-mail: kevinlee9809@, qinwang@, lnszzl@ 收稿日期: 2011-03-30; 接受日期: 2012-03-26; * 通信作者 国家自然科学基金 (批准号: 11071224, 10971236), 教育部新世纪优秀人才, 浙江省自然科学基金, 江苏省博士后科研计划 (批准号: 1001080c) 和宁波市自然科学基金 (批准号: 2011A610176) 资助项目
李浩等: 共形映像的 Hausdorff 测度及其算法
本文讨论 Euclid 空间中的紧致集合与其共形映像这两者的 Hausdorff 测度之间的关系. 下面的定 理 1.1 是我们的主要结果: 定理 1.1 设 K ⊂ Rn 是一个紧致集合, 满足 0 < H s (K ) < ∞, 而 f 是定义在 K 的一个开邻域 上的共形的单射. 则我们有 ∫ H s (f (K )) = H s (K ) · |Dx f |s dµ(x), (1)
地毯经 f (z ) = z + εz 2 的共形映像 (ε = 0.1)
700
中国科学 : 数学 第 42 卷 第 7 期
2
2.1
共形映像的 Hausdorff 测度
定理 1.1 的证明
众所周知, Hausdorff 测度 H s 是一个 Borel 测度 (例如, 见 [5, 推论 4.5]). 设 E 是 Rn 的一个子集. 称映射 f : E → Rn 是双 Lipschitz 的, 假如存在两个正常数 β1 , β2 使得 对所有 a, b ∈ E , 成立 β1 |b − a| |f (b) − f (a)| β2 |b − a|. (2) 引理 2.1 [3] 如果 f : E → Rn 是一个满足 (2) 式的双 Lipschitz 映射, 则
(1 − ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s · H s (Ki ) H s (K ) H s (f (Ki )) (1 + ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s · H s ( Ki ) . H s (K ) (10)
因为 Dx f 是连续的且 Ki 紧致, 我们可以把 (10) 式写作 ∫ s s (1 − ϵ) H (K ) · |Dx f |s dµ(x) H s (f (Ki ))
i
令 Ki = K ∩ Bi . 事实上, 对任意两点 a, b ∈ Ki , 简单的计算表明 (∫ 1 ) f (b) − f (a) = Da+t(b−a) f dt (b − a),
0
(5)
对任意 x ∈ Ki ,
∫ Dx f −
0 1
Da+t(b−a) f dt
y ∈Ki
sup |Dx f − Dy f |
引理 2.2[5] 设 E ⊂ Rn 是 H s 可测的且 V 是 E 的一个由有界闭集构成的 Vitali 覆盖族. 则存 在 {Ui } ⊂ V 中可数或有限不相交元素使得 ( \∪ ) Ui = 0. Hs E
i
定理 1.1 的证明 假设 0 < H s (K ) < ∞, 共形映射 f 定义在开集 V 上且满足 K ⊂ V . 给定 ϵ > 0, 取 δ 使得对任意满足 |x − y | δ 的 x, y ∈ V,
K H |K 这里 µ = H s (K ) 是限制在 K 上的概率测度. 注记 1.2 如果 K 是满足开集条件的自相似集, 则定理 1.1 中的概率测度 µ 是对应于自相似集 ∫ 的自相似测度 (见 [4]), 因此存在计算 K |Dx f |s dµ(x) 的算法, 其误差估计见 2.2 节. 本文组织如下: 在 2.1 节中, 我们利用 Vitali 覆盖定理证明定理 1.1; 如图 1 和图 2 所示, 经典自 相似集具有线性多面体结构的凸闭包, 其共形映像往往不再是线性多面体, 尽管如此, 在 2.2 节中我们 证明对某些共形映像的 Hausdorff 测度的计算和估计, 具有积分形式的公式 (1) 是极为方便的; 在第 3 节中, 应用该公式, 我们计算了一类自共形集 f (K ) 的 Hausdorff 测度, 这里 K 是 λ-Sierpinski 地毯 (0 < λ 1/4), f (z ) = z + εz 2 , 其中 ε ∈ C 满足 |ε| 0.1.
|y −x| δ
sup |Dx f − Dy f | < ϵ|Dx f |.
(6)
所以,
|f (b) − f (a) − Dx f · (b − a)| ϵ|Dx f | · |b − a|, (7)
这给出估计
(1 − ϵ)|Dx f | · |b − a| |f (b) − f (a)| (1 + ϵ)|Dx f | · |b − a|, ∀ x ∈ Ki . (8)
s
2
f (z) = z 2
1
O (a)
1
1 -Sierpinski 4
−1
O (b)
1 -Sierpinski 4
1
图 1 (a)
地毯; (b)
地毯经 f (z ) = z 2 的映像
f (z) = z + εz 2
(a)
(b)
图 2 (a)
1 -Sierpinski 4
地毯; (b)
1 -Sierpinski 4
701
李浩等: 共形映像的 Hausdorff 测度及其算法
因此, 据引理 2.1, 我们有
(1 − ϵ)s |Dx f |s · H s (Ki ) H s (f (Ki )) (1 + ϵ)s |Dx f |s · H s (Ki ), ∀ x ∈ Ki . (9)
也就是说对所有的 x ∈ Ki ,
Ki
∑
H s (f (Ki )) (∪
i
) f ( Ki ) ∫
∪
i
=H
s
(1 + ϵ)s H s (K ) ·
∥Dx f ∥s dµ(x).
Ki
(12)
因为 f |V 是双 Lipschitz 映射, f (Bi ) 彼此不交的, 应用引理 2.1, 我们有类似于 (4) 式的结果: ( \∪ ) ( ( \ ∪ )) s s H f (K ) f (Bi ) = H f K Bi = 0. (13)
Ki
∫ (1 + ϵ) H (K ) ·
s s Ki
|Dx f |s dµ(x).
(11)
{Ki }i 和它的共形像 {f (Ki )}i 均为互不相交的闭集族. 因为 H s 是 Borel 测度, 我们可以对 (11) 式的所有 i 求和, 即得 ∫ (1 − ϵ)s H s (K ) ·
∪
i
∥Dx f ∥s dµ(x)
s
关键词
Hausdorff 测度
共形映射 28A80
自共形集
MSC (2010) 主题分类
1
引言
Hausdorff 维数与 Hausdorff 测度是分形几何的两个支柱性概念 (见 [1, 2]), 每一个分形都有自己
的 Hausdorff 维数与 Hausdorff 测度, 所以计算和估计分形的 Hausdorff 维数和 Hausdorff 测度, 是分 形几何的重要和基本问题. 对 Hausdorff 维数的计算和估计, 人们已经得到很多重要结果 (见 [3, 4]), 但 对 Hausdorff 测度而言却远非如此, 即使对相对较简单的分形, 例如满足开集条件的自相似集也远未 清晰.
i i
i
= H (f (K )).
s
H s (f (E ))
s β2 H s (E ).
Rn 中子集族 V 叫做一个集合 E 的 Vitali 覆盖族, 如果对所有 x ∈ E 和 δ > 0, 存在 U ∈ V 使得 x ∈ U 和 0 < |U | < δ . 下面的 Vitali 覆盖定理在本文定理 1.1 的证明中起到重要作用.
|Dx f − Dy f | ϵ|Dx f |, (3)
则集合族
V = {B (x, r) : x ∈ K, 0 < r < δ/2, B (x, r) ⊂ V }
是 K 的 Vitali 覆盖, 这里 B (x, r) 是一个中心在 x 且半径为 r 的闭球 (见 [5]). 据引理 2.2, 则存在可 数或有限不相交闭球 Bi ∈ V 使得 ( \∪ ) Hs K Bi = 0. (4)
∪
i
Bi ) = 0, 我们有 ∫
∪
i
∫ |Dx f |s dµ(x) =
Ki K
|Dx f |s dµ(x).
(16)
所以由 (12), (14), (16) 三式得 ∫ (1 − ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s dµ(x)
K
H s (f (K )) ∫ (1 + ϵ) H (K ) ·
i i
因此, 我们有
H
s
(∪
i
) f (Ki ) =H
s
(∪
i
) f (K ∩ Bi )
)) ( (∪ f (Bi ) = H f (K ) ∩
s
( \( \∪ )) s f (K ) = H f (K ) f (Bi ) ( \∪ ) = H s (f (K )) − H s f (K ) f (Bi )
中国科学 : 数学
2012 年 第 42 卷
第 7 期 : 699 ∼ 709
共形映像的 Hausdorff 测度及其算法
李浩x , 汪沁x ∗ , 周作领y
x 浙江万里学院计算机与信息学院, 宁波 315100; y 中山大学岭南学院, 广州 510275 E-mail: kevinlee9809@, qinwang@, lnszzl@ 收稿日期: 2011-03-30; 接受日期: 2012-03-26; * 通信作者 国家自然科学基金 (批准号: 11071224, 10971236), 教育部新世纪优秀人才, 浙江省自然科学基金, 江苏省博士后科研计划 (批准号: 1001080c) 和宁波市自然科学基金 (批准号: 2011A610176) 资助项目
李浩等: 共形映像的 Hausdorff 测度及其算法
本文讨论 Euclid 空间中的紧致集合与其共形映像这两者的 Hausdorff 测度之间的关系. 下面的定 理 1.1 是我们的主要结果: 定理 1.1 设 K ⊂ Rn 是一个紧致集合, 满足 0 < H s (K ) < ∞, 而 f 是定义在 K 的一个开邻域 上的共形的单射. 则我们有 ∫ H s (f (K )) = H s (K ) · |Dx f |s dµ(x), (1)
地毯经 f (z ) = z + εz 2 的共形映像 (ε = 0.1)
700
中国科学 : 数学 第 42 卷 第 7 期
2
2.1
共形映像的 Hausdorff 测度
定理 1.1 的证明
众所周知, Hausdorff 测度 H s 是一个 Borel 测度 (例如, 见 [5, 推论 4.5]). 设 E 是 Rn 的一个子集. 称映射 f : E → Rn 是双 Lipschitz 的, 假如存在两个正常数 β1 , β2 使得 对所有 a, b ∈ E , 成立 β1 |b − a| |f (b) − f (a)| β2 |b − a|. (2) 引理 2.1 [3] 如果 f : E → Rn 是一个满足 (2) 式的双 Lipschitz 映射, 则
(1 − ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s · H s (Ki ) H s (K ) H s (f (Ki )) (1 + ϵ)s H s (K ) · |Dx f |s · H s ( Ki ) . H s (K ) (10)
因为 Dx f 是连续的且 Ki 紧致, 我们可以把 (10) 式写作 ∫ s s (1 − ϵ) H (K ) · |Dx f |s dµ(x) H s (f (Ki ))
i
令 Ki = K ∩ Bi . 事实上, 对任意两点 a, b ∈ Ki , 简单的计算表明 (∫ 1 ) f (b) − f (a) = Da+t(b−a) f dt (b − a),
0
(5)
对任意 x ∈ Ki ,
∫ Dx f −
0 1
Da+t(b−a) f dt
y ∈Ki
sup |Dx f − Dy f |
引理 2.2[5] 设 E ⊂ Rn 是 H s 可测的且 V 是 E 的一个由有界闭集构成的 Vitali 覆盖族. 则存 在 {Ui } ⊂ V 中可数或有限不相交元素使得 ( \∪ ) Ui = 0. Hs E
i
定理 1.1 的证明 假设 0 < H s (K ) < ∞, 共形映射 f 定义在开集 V 上且满足 K ⊂ V . 给定 ϵ > 0, 取 δ 使得对任意满足 |x − y | δ 的 x, y ∈ V,
K H |K 这里 µ = H s (K ) 是限制在 K 上的概率测度. 注记 1.2 如果 K 是满足开集条件的自相似集, 则定理 1.1 中的概率测度 µ 是对应于自相似集 ∫ 的自相似测度 (见 [4]), 因此存在计算 K |Dx f |s dµ(x) 的算法, 其误差估计见 2.2 节. 本文组织如下: 在 2.1 节中, 我们利用 Vitali 覆盖定理证明定理 1.1; 如图 1 和图 2 所示, 经典自 相似集具有线性多面体结构的凸闭包, 其共形映像往往不再是线性多面体, 尽管如此, 在 2.2 节中我们 证明对某些共形映像的 Hausdorff 测度的计算和估计, 具有积分形式的公式 (1) 是极为方便的; 在第 3 节中, 应用该公式, 我们计算了一类自共形集 f (K ) 的 Hausdorff 测度, 这里 K 是 λ-Sierpinski 地毯 (0 < λ 1/4), f (z ) = z + εz 2 , 其中 ε ∈ C 满足 |ε| 0.1.
|y −x| δ
sup |Dx f − Dy f | < ϵ|Dx f |.
(6)
所以,
|f (b) − f (a) − Dx f · (b − a)| ϵ|Dx f | · |b − a|, (7)
这给出估计
(1 − ϵ)|Dx f | · |b − a| |f (b) − f (a)| (1 + ϵ)|Dx f | · |b − a|, ∀ x ∈ Ki . (8)
s
2
f (z) = z 2
1
O (a)
1
1 -Sierpinski 4
−1
O (b)
1 -Sierpinski 4
1
图 1 (a)
地毯; (b)
地毯经 f (z ) = z 2 的映像
f (z) = z + εz 2
(a)
(b)
图 2 (a)
1 -Sierpinski 4
地毯; (b)
1 -Sierpinski 4
701
李浩等: 共形映像的 Hausdorff 测度及其算法
因此, 据引理 2.1, 我们有
(1 − ϵ)s |Dx f |s · H s (Ki ) H s (f (Ki )) (1 + ϵ)s |Dx f |s · H s (Ki ), ∀ x ∈ Ki . (9)
也就是说对所有的 x ∈ Ki ,
Ki
∑
H s (f (Ki )) (∪
i
) f ( Ki ) ∫
∪
i
=H
s
(1 + ϵ)s H s (K ) ·
∥Dx f ∥s dµ(x).
Ki
(12)
因为 f |V 是双 Lipschitz 映射, f (Bi ) 彼此不交的, 应用引理 2.1, 我们有类似于 (4) 式的结果: ( \∪ ) ( ( \ ∪ )) s s H f (K ) f (Bi ) = H f K Bi = 0. (13)
Ki
∫ (1 + ϵ) H (K ) ·
s s Ki
|Dx f |s dµ(x).
(11)
{Ki }i 和它的共形像 {f (Ki )}i 均为互不相交的闭集族. 因为 H s 是 Borel 测度, 我们可以对 (11) 式的所有 i 求和, 即得 ∫ (1 − ϵ)s H s (K ) ·
∪
i
∥Dx f ∥s dµ(x)
s
关键词
Hausdorff 测度
共形映射 28A80
自共形集
MSC (2010) 主题分类
1
引言
Hausdorff 维数与 Hausdorff 测度是分形几何的两个支柱性概念 (见 [1, 2]), 每一个分形都有自己
的 Hausdorff 维数与 Hausdorff 测度, 所以计算和估计分形的 Hausdorff 维数和 Hausdorff 测度, 是分 形几何的重要和基本问题. 对 Hausdorff 维数的计算和估计, 人们已经得到很多重要结果 (见 [3, 4]), 但 对 Hausdorff 测度而言却远非如此, 即使对相对较简单的分形, 例如满足开集条件的自相似集也远未 清晰.
i i
i
= H (f (K )).
s
