正切函数

1.4.3正切函数的性质与图象
嘉鱼一中：吴自强
教学分析：
在本节课之前，我们已经学习了正弦函数和与余弦函数的性质.一般来说，对函数的性质研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材从一个新的角度，采取了现根据已有的知识（如正切函数的定义，诱导公式，正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理，一方面给学生提供了研究数学问题更多的视角，另一方面，在性质的引导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性的成分，使数形结合的思想体现得更加全面.
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究之中，因此，引导学生利用前面的学习经验研究正切函数的性质，可以让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.
课型：新课（ 1课时）
教学目标:
1、知识与能力
（1）从解析式入手，探讨正切函数的有关性质；增强学生数学交流能力和数学语言的应用能力.
（2）会用正切线作正切函数的图象；增强学生动手能力.
（3）会利用正切函数解决相关简单问题；增强学生解决问题能力.
2、过程与方法
在学习正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，通过对正切函数的性质的探讨过程，培养学生类比思维能力和知识迁移能力.
运用正切函数的图象来验证和巩固正切函数的性质，让学生体会数形结合的思想方法.
3、情感态度与价值观
通过正切函数图象的学习，培养学生欣赏对称美的能力，激发学生热爱科学，努力学好数学的信心.
教学重点：
正切函数性质的探讨与图象的简单应用.
教学难点：
正切函数性质的深刻理解及简单应用.
教学过程:
一、导入
问题1：正弦函数、余弦函数分别有哪些性质？
研究一类新的函数，通常要研究定义域、值域、单调性、奇偶性等内容.(回顾正弦函数、余弦函数的性质，让学生大脑中呈现正、余弦函数图象，为后面与正切函数类比作准备.)
问题2：研究一类函数，要研究哪几个方面的性质，一般都采用什么方法来研究？
先用描点法作出函数图象，通过观察函数图象，猜想性质，再做证明.(引入课题，并从一个新的角度来研究正切函数的性质.)
二、正切函数的性质
1 周期性
问题3：正切函数的周期与正、余函数周期一样吗？为什么不一样？
?)sin(=+πk x ?)cos(=+πk x ?)tan(=+πk x
问题4：正切函数是周期函数吗？它的周期是什么？
()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫
+=∈≠+∈ ⎪
⎝⎭ 且 ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+
∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。

正切函数是周期函数，它的最小正周期是π.
2 奇偶性
问题5：正切函数的定义域是什么？定义域关于原点对称吗？
定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ
；关于原点对称. 问题6：正切函数具有奇偶性吗？它是奇函数还是偶函数？为什么？
由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数.
3 单调性
正切函数是以为π最小正周期的周期函数，所以我们只需要研究在区间长度为一个周期的区间内的单调性.
下面我们先看一下正切线随自变量的变化规律.
问题7：在每一个象限内，正切线是如何变化的？
在一、三象限，正切线都为正值，且正切值随自变量增大而增大； 在二、四象限，正切线都为负值，且正切值随自变量增大而增大.
问题8：在每一个象限内，正切值都增大，那么正切函数的单点区间应该如何写呢？
讨论：以哪个区间来研究方便一些？理由是什么？ 引导学生考虑区间⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ 正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增.
问题9：正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？正切函数会不会在某一个区间内是减函数？
正切函数在每个区间上都是增函数，但不可以说正切函数在整个定义域内是增函数，如
在区间),0(π上就没有单调性.
不会.任意区间A ：（1）不含有
ππ
k +2
这样的数，那么函数是增函数；否则在直线
)(2
Z k k x ∈+=
ππ
两侧的图象都是上升的.
4 值域
问题10：正切函数的值域是什么？你是如何得到的？
值域：R
观察正切线在一、四象限的变化.
正切线的值域是实数集R. 5 利用正切线画正弦函数在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛-
2,2ππ的图象
（1）回顾利用正弦线作正弦函数的方法步骤，结合正切函数的性质，课下自己动手完成. （取点、等分、平移、连线）
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。

（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π
π=+
∈所隔开的无穷多支曲线组
成的。

问题11：得到正切函数的图象后，前面探究的性质都正确吗？
三、正切函数性质的简单应用
例1 （课本例6）求函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32tan ππ
x y 的定义域、周期和单调区间.
应满足解：函数的自变量
x ,
,2
3
2Z k k x ∈+
≠+
π
ππ
π
例2 比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5
17tan π
的大小.
四、归纳小结 （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan （3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增.
五、课堂小结
回顾本节学习了哪些知识，有哪些启发.在研究了正余弦函数的图象与性质后，我们研究了有一个具体的三角函数，它与正余弦函数有什么不同.
六、作业布置
教材习题1.4 A 组 6、7、8；B 组 2 .
七、设计感想
本节课的研究过程是由性质到图象，再到性质，这是研究函数的基本方法。

在整个探讨的过程中，运用了类比、数学结合、化归的思想方法。

由于刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此整个设计紧紧抓住类比这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也容易接受。