中考数学试卷分类汇编：整式与因式分解(含答案)

2020年中考数学试题分类汇编之十八整式及其运算与因式分解一、选择题1．（2020安徽）（4分）计算63()a a -÷的结果是( ) A ．3a -B ．2a -C ．3aD ．2a【解答】解：原式633a a a =÷=． 故选：C ．2．（2020成都）（3分）下列计算正确的是( ) A ．325a b ab +=B ．326a a a =C ．3262()a b a b -=D ．233a b a b ÷=【解答】解：A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、325a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、3262()a b a b -=，原计算正确，故此选项符合题意；D 、233a b a ab ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．3.（2020福建）下列运算正确的是（ ） A. 2233a a -= B. 222()a b a b +=+ C. ()222436-=-ab a bD. 11(0)-⋅=≠a a a【答案】D4．（2020陕西）计算：（﹣x 2y ）3＝（ ） A ．﹣2x 6y 3B ．x 6y 3C ．﹣x 6y 3D ．﹣x 5y 4【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【解答】解：（﹣x 2y ）3＝＝．故选：C ．5．（2020哈尔滨）（3分）下列运算一定正确的是( ) A ．224a a a +=B ．248a a a =C ．248()a a =D ．222()a b a b +=+【解答】解：A 、2222a a a +=，原计算错误，故此选项不合题意；B 、246a a a =，原计算错误，故此选项不合题意；C 、248()a a =，原计算正确，故此选项合题意；D 、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故此选项不合题意．故选：C ．6．(2020杭州)（3分）（1+y ）（1﹣y ）＝（ ） A ．1+y 2B ．﹣1﹣y 2C ．1﹣y 2D ．﹣1+y 2解：（1+y ）（1﹣y ）＝1﹣y 2．选：C ． 7.（2020河北）墨迹覆盖了等式“3x 2x x =（0x ≠）”中的运算符号，则覆盖的是（ ） A. ＋ B. －C. ×D. ÷【答案】D 【详解】∵3x 2x x =（0x ≠）， 32x x x ÷=，∵覆盖的是：÷． 故选：D ．8.（2020河北）对于∵3(13)x xy x y -=-，∵2(3)(1)23x x x x +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解B. 都是乘法运算C. ∵是因式分解，∵是乘法运算D. ∵是乘法运算，∵是因式分解【答案】C【详解】∵左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ∵左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C ．9.（2020河北）若()()229111181012k--=⨯⨯，则k =（ ）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【详解】原等式()()229111181012k--=⨯⨯变形得：()()229111181012k --=⨯⨯()()()()919111111181012-+-+=⨯⨯810101281012⨯⨯⨯=⨯⨯10=．故选：B ．10.（2020河北）若k 为正整数，则()kk kk k k ++⋅⋅⋅+=个（ ） A. 2k k B. 21k k + C. 2k k D. 2k k +【答案】A【详解】()kk kk k k ++⋅⋅⋅+=个()()2k k k k k ⋅==2k k， 故选A ．11.（2020河南）电子文件的大小常用, ,,B KB MB GB 等作为单位，其中10101012,12,12GB MB MB KB KB B ===，某视频文件的大小约为1,1GB GB 等于( )A. 302BB. 308BC. 10810B ⨯D.30210B ⨯【答案】A【详解】依题意得1010101010101222222GB MB KB B ==⨯=⨯⨯=302B 故选A ．12.（2020江西）下列计算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．32a a a -=C ．326a a a ⋅=D ．32a a a ÷= 【解析】由于3a 和2a 不是同类项，故A ，B 选项均错误，同底指数幂相乘，底数不变指数相加，故C 选项正确答案应为52323a aa a ==⋅+，D 选项正确，故答案为D 13.(2020苏州）下列运算正确的是（ ） A. 236a a a ⋅=B. 33a a a ÷=C. ()325a a =D.()2242a b a b =【答案】D【详解】解： A 、235a a a ⋅=，此选项错误； B 、32a a a ÷=，此选项错误； C 、()326a a =，此选项错误；D 、()2242a ba b =，此选项正确；故选：D ．14.（2020乐山）已知34m =，2432m n -=．若9n x =，则x 的值为（ ）A. 8B. 4C. D.【详解】∵()()()222-224-233=3=39=m n m n m nm n-÷，依题意得：242x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x>．∵4x= ∵x 故选：C ．15．（2020南京）（2分）计算322()a a ÷的结果是( ) A ．3a B ．4aC ．7aD ．8a选：B ．16.（2020有意义，则a 的取值范围是（ ） A.1a ≥ B. 1a ≤ C. 0a ≥ D. -1a ≤【解析】本题考查二次根式的意义。

卜人入州八九几市潮王学校2021年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第3章整式与因式分解一、选择题1.〔2021，3，3分〕分解因式2x 2−4x +2的最终结果是 〔〕A ．2x (x −2)B ．2(x 2−2x +1)C ．2(x −1)2D ．(2x −2)2【答案】C2.〔2021，3，2分〕以下分解因式正确的选项是〔〕A ．）（23a 1-a a a-+=+ B ．2a-4b+2=2〔a-2b 〕 C ．()222-a 4-a = D ．()221-a 1a 2-a =+【答案】D3.〔2021，10，3分〕如图，下面是按照一定规律画出的“数形图〞，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝〞，图A 3比图A 2多出4个“树枝〞，图A 4比图A 3多出8个“树枝〞，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝〞〔〕A.28B.56C.60D.124【答案】C4.〔2021，7，3分〕下面的计算正确的选项是〔〕．A ．3x 2·4x 2=12x 2B ．x 3·x 5=x 15C ．x 4÷x =x 3D ．(x 5)2=x 7 【答案】C5.〔2021，2,3分〕以下计算正确的选项是〔〕A.632a a a =•B.(a+b)(a-2b)=a 2-2b 2C.(ab 3)2=a 2b 6D.5a —2a=3【答案】C6.〔2021，2，3分〕以下等式一定成立的是〔〕〔A 〕a 2+a 3=a 5〔B 〕〔a +b 〕2=a 2+b 2〔C 〕〔2ab 2〕3=6a 3b 6〔D 〕〔x -a 〕〔x -b 〕=x 2-〔a +b 〕x +ab 【答案】D7.〔2021，2，3分〕以下运算正确的选项是〔〕A ．3a 3+4a 3=7a 6B ．3a 2-4a 2=-a2 C ．3a 2·4a 3=12a 3D ．(3a 3)2÷4a 3=a 2 【答案】B8.〔2021，5，3分〕以下等式不成立．．．的是〔〕 22+4m=m(m+4)2-8m+16=(m-4)22+3m+9=(m+3)2【答案】D9.〔2021，4，3分〕以下运算正确的选项是〔〕A ．326aa a ⋅= B ．336()x x = C ．5510x x x += D ．5233()()ab ab a b -÷-=-【答案】D10．〔2021，3,4分〕以下计算正确的选项是〔〕A.a 2＋a 3＝a 5B.a 6÷a 3＝a 2C.4x 2－3x 2＝1D.(－2x 2y )3＝－8x 6y 3【答案】D11.〔2021，1，3分〕计算a+(－a)的结果是〔〕〔A 〕2a 〔B 〕0〔C 〕－a 2〔D 〕－2a 【答案】B12.〔2021，9，3〕假设2,2a b a b +=-≥且，那么〔〕A ．b a 有最小值12B ．b a 有最大值1C ．a b 有最大值2D ．a b 有最小值98- 【答案】C13.(2021，2，3)计算23a a ，正确的结果是 A ．62aB ．52aC ．6aD ．5a 【答案】D14.〔2021，2，3分〕以下计算正确的选项是A ．〔a 2〕3＝a 6B ．a 2＋a 2＝a 4C ．(3a )·(2a )＝6aD ．3a －a ＝3 【答案】A15.〔2021，12，3分〕把四张形状大小完全一样的小正方形卡片〔如图〕不重叠的放在一个底面为长方形〔长为m cm ，宽为n cm 〕的盒子底部〔如图〕盒子底面未被卡片覆盖的局部用阴影表示，那么图中两块阴影局部的周长和是A ．4m cmB ．4n cmC ．2(m ＋n )cmD ．4(m －n )cm【答案】B16.〔2021，4,4分〕计算32)(a的结果是〔〕 A.23a B.32a C.5a D.6a【答案】D17.〔2021，3，3分〕以下计算正确的选项是〔〕A ．246x x x +=B ．235x y xy +=C ．632x x x ÷=D ．326()x x =【答案】D18.〔2021，2，4分〕计算(a 3)2的结果是() A ．a B ．a 5 C ．a 6 D ．a 9【答案】C19.〔2021，4，4分〕以下计算正确的选项是〔〕〔A 〕32x x x =⋅ 〔B 〕2x x x =+ 〔C 〕532)(x x = 〔D 〕236x x x =÷ 【答案】A20．〔2021HY ，5〕计算x 2(3x ＋8)除以x 3后，得商式和余式分别为何？ A ．商式为3，余式为8x 2B ．商式为3，余式为8C ．商式为3x ＋8，余式为8x 2D ．商式为3x ＋8，余式为0 【答案】B21.〔2021HY ，7〕化简41(－4x ＋8)－3(4－5x )，可得以下哪一个结果？ A ．－16x －10B ．－16x －4 C ．56x －40D ．14x －10【答案】Ｄ22.〔2021HY ，13〕假设a ：b ：c ＝2：3：7，且a －b ＋3＝c －2b ，那么c 值为何？A ．7B ．63C ．221D ．421 【答案】C23.〔2021HY ，24〕以下四个多项式，哪一个是733＋x 的倍式？A ．49332－xB ．493322＋xC ．x x 7332＋D ．x x 14332＋【答案】C24.〔2021HY 全区，3〕化简)23(4)32(5x x ---之后，可得以下哪一个结果？A ．2x －27B ．8x －15C ．12x －15D ．18x －27【答案】Ｄ25.〔2021HY 全区，8〕假设949)7(22+-=-bx x a x ，那么b a +之值为何？A ．18B ．24C ．39D ．45 【答案】Ｄ26.〔2021HY 全区，10〕假设(a －1)：7＝4：5，那么10a ＋8之值为何？A ．54B66 C ．74D ．80【答案】Ｃ27.〔2021HY 全区，22〕计算多项式536223++-x x x 除以(x －2)2后，得余式为何？A ．1B ．3C ．x －1D ．3x －3【答案】Ｄ28.〔2021，4，3分〕以下运算正确的选项是〔〕.第3题图A.a +b =abB.a 2·a 3=a 5C.a 2+2ab -b 2=(a -b )2D.3a -2a =1【答案】B29.〔2021，2，3分〕假设□×3ab =3a 2b ，那么□内应填的代数式是〔〕A.ab ab C.a D.3a【答案】C30.〔2021，4，4分〕以下计算正确的选项是Ａ．()222x y x y +=+ B ．()2222x y x xy y -=--C ．()()22222x y x y x y +-=- D ．()2222x y x xy y -+=-+【答案】D31.〔2021，2，3分〕计算x 2·4x 3的结果是〔〕 A ．4x 3 B ．4x 4 C ．4x 5D ．4x 6【答案】C32.〔2021，2，3分〕a 2·a 3〔〕A.a 5B.a 6C.a 8D.a 9【答案】A33.〔2021，3，3分〕计算〔x +2〕2的结果为x 2+□x +4,那么“□〞中的数为〔〕A ．－2B ．2C ．－4D ．434.〔2021，4,3分〕假设m ·23=26，那么m= A.2B.4 C【答案】D35.〔2021,4,3分〕计算(－a 3)2的结果是〔〕 A ．－a 5B ．a 5 C ．a 6D ．－a 6【答案】C36.〔2021，2，3分〕计算2a 2·a 3的结果是 A ．2a 6B ．2a 5 C ．4a 5D ．4a6【答案】B 37.〔2021，2，3分〕以下等式成立的是A ．a 2＋a 2＝a 5B ．a 2－a 2＝aC ．a 2⋅a 2＝a 6D ．〔a 2〕3=a 6【答案】D38.〔2021，5，3分〕以下运算不正确的选项是〔〕A ．5552a a a+=B ．()32622a a -=- C ．2122aa a -⋅=D ．()322221a a a a -÷=-【答案】B 39.〔2021，10，3分〕如图，用围棋子按下面的规律摆图形，那么摆第n 个图形需要围棋子的枚数是〔〕A ．5nB ．5n －1C ．6n －1D ．2n 2＋1 【答案】C40.〔2021，5,3分〕以下计算正确的选项是D〔A 〕2x x x =+ (B)x x x 2=⋅ (C)532)(x x = (D)23x x x =÷41.〔2021,3,3分〕以下运算正确的选项是〔〕A ．3a-2a=1B ．632a a a =⋅C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222)(b a b a +=+ 【答案】C42.〔2021，4，3分〕以下运算正确的选项是〔〕.A.a +b =abB.a 2·a 3=a 5C.a 2+2ab -b 2=(a -b )2D.3a -2a =1【答案】B43.〔2021，3，3分〕以下运算正确的选项是A.a·a 3=a 3B.(ab)3=ab 33+a 3=a 6D.(a 3)2=a 6【答案】D44.(2021，2，2分)以下运算正确的选项是A ．a 2＋a 3=a 5B ．a 2•a 3=a 6C ．a 3÷a 2=aD ．(a 2)3=a 8【答案】C45.〔2021，2，3分〕以下运算中正确的选项是〔〕A ．〔－ab 〕2＝2a 2b 2B ．〔a ＋1〕2＝a 2＋1C ．a 6÷a 2＝a 3D ．2a 3＋a 3＝3a 3【答案】D46.〔20212，3〕以下运算正确的选项是A.a+a²=a³B.2a+3b=5abC .(a³)2=a 9 D.a 3÷a 2=a【答案】D47.〔2021，9,4分〕如图，从边长为〔a ＋4〕cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余局部沿虚线又剪拼成一个矩形〔不重叠无缝隙〕，那么矩形的面积为〔〕.A ．22(25)cm a a +B ．2(315)cm a +C ．2(69)cm a +D ．2(615)cm a +【答案】D48.〔2021，5，3分〕以下计算，正确的选项是〔〕A ．()32628x x =B ．623a a a ÷=C ．222326a a a ⨯=D ．01303⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭ 【答案】A49.〔2021，2，3分〕假设□×3ab =3a 2b ，那么□内应填的代数式是〔〕 A.ab abC.aD.3a【答案】C 50.〔2021，2，3分〕以下运算正确的选项是A.a a a =-2B.632)(a a -=-C.236x x x =÷D.222)(y x y x +=+ 【答案】B51.〔2021，3，3分〕假设x ，y 为实数，且011=-++y x ，那么2011)(yx 的值是 A.0B.1C.－1D.－2021 【答案】C 52．〔2021，9，3分〕以下运算正确是〔〕A ．1)1(--=--a aB ．222)(b a b a -=-C ．a a =2D ．532a a a =⋅【答案】D ．53.〔2021，2，3分〕以下运算正确的选项是A ．x 2+x 3=x 5B ．x 4·x 2=x 6C ．x 6÷x 2=x 3D ．(x 2)3=x 8【答案】B54.〔2021，4，3分〕a -b =1，那么代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．5【答案】A55.〔2021，2，3分〕以下运算正确的选项是〔〕A 3362x x x +=B ．824x x x ÷=C ．m n mn x x x =D ．5420()x x -=【答案】D56.(20211,2,2分)以下计算正确的选项是()A.236a a a •=B.33y y y ÷=C.3m+3n=6mnD.()236x x = 答案【D 】57.〔2021内蒙古，2，3分〕以下计算正确的选项是〔〕A.()236a a =B.2232a a a =+C.623a a a =•D.339a a a =÷【答案】A58.〔2021潼南,2,4分〕计算3a ⋅2a 的结果是A ．6aB ．6a 2 C.5a D.5a 2【答案】B 59．〔20217,3分〕以下计算正确的选项是 A 235a a a =B 2a a a +=C 235()a a =D 22(1)1a a a +=+【答案】A60.〔2021，4，2分〕以下运算中，正确的选项是〔〕A ．2x-x=1B ．54x x x =+C ．()33x 6-x 2-=D ．22x y y x =÷【答案】D61.〔2021，9，3分〕如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余局部可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，假设拼成的矩形一边长为3，那么另一边长是〔〕A ．m +3B ．m +6C ．2m +3D ．2m +6【答案】C62.〔2021，3，3分〕将代数式142-+x x化成q p x ++2)(的形式为 A ．3)2(2+-x B ．4)2(2-+x C ．5)2(2-+x D ．4)2(2++x【答案】C63.〔2021，7，3分〕以下计算正确的选项是(). A.3a －a=3B.2a.a 3=a 6 C.(3a 3)2=2a 6D.2a÷a=2 【答案】D64.〔2021，3，3分〕以下各式能用完全平方式进展分解因式的是〔〕A ．x 2+1B.x 2+2x －1 C.x 2+x +1D.x 2+4x +4 【答案】D65.〔2021，4，3分〕把代数式322363xx y xy -+分解因式，结果正确的选项是〔〕 A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．2(3)x x y - D ．23()x x y -【答案】D66.〔2021，3，3分〕以下各式能用完全平方式进展分解因式的是〔〕A ．x 2+1 B.x 2+2x －1 C.x 2+x +1 D.x 2+4x +4【答案】D67.〔2021HY 全区，5〕以下四个多项式，哪一个是3522-+x x的因式？ A ．2x －1B ．2x －3 C ．x －1D ．x －3【答案】A68.〔2021，4，3分〕以下计算正确的选项是〔〕〔A 〕32x x x =⋅ 〔B 〕2x x x =+〔C 〕532)(x x = 〔D 〕236x x x =÷ 【答案】A 69.〔2021，9，4分〕如图，从边长为〔a ＋4〕cm 的正方形纸片中剪去一个边长为()1a +cm 的正方形(0)a >，剩余局部沿虚线又剪拼成一个矩形〔不重叠无缝隙〕，那么矩形的面积为〔〕.A ．22(25)cm a a +B ．2(315)cm a +C ．2(69)cm a +D ．2(615)cm a +【答案】D70.二、填空题1.〔2021，11，4分〕“x 与y 的差〞用代数式可以表示为. 【答案】x –y2.〔2021，8,4分〕按下面程序计算：输入x =3，那么输出之答案是___．【答案】263.〔2021，12，3分〕假设代数式26xx b -+可化为2()1x a --，那么b a -的值是． 【答案】54.〔2021，12，4〕当7x =-时，代数式(2x +5)(x +1)-(x -3)(x +1)的值是．【答案】－65.〔2021，14，3分〕某计算程序编辑如下列图，当输入x=时，输出的y=3.【答案】12或者32-6.〔2021，15，3分〕定义新运算“⊕〞如下：当a≥b时，a⊕b=ab+b,当a<b时，a⊕b=ab-a；假设(2x-1)⊕(x+2)=0,那么x=．1【答案】-1或者27.〔2021，15，5分〕汛期降临前，滨海区决定施行“海堤加固〞工程，某工程队承包了该工程，方案每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风〞袭击滨海区，于是工程队改变方案，每天加固的海堤长度是原方案的倍，这样赶在“台风〞降临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a米，那么完成整个任务的实际时间是比原方案时间是少用了天〔用含a的代数式表示〕．a【答案】1808.〔2021，11，4分〕“x与y的差〞用代数式可以表示为.【答案】x–y9.〔2021，10，3分〕当x=10，y=9时，代数式x2-y2的值是．【答案】1910．〔2021，12，3分〕多项式与m2＋m－2的和是m2－2m．【答案】－3m+211.〔2021，16，3分〕定义新运算“⊗〞，规定：a⊗b=a－4b，那么12⊗(－１)＝．【答案】812.〔2021，9，3分〕计算：a4·a2=.【答案】a6a a⋅=__________．13.〔2021，7，4分〕计算：23a【答案】514.〔202112，3分〕体育HY带了500元钱去买体育用品，一个足球a元，一个篮球b元。

广东中考数学模拟试卷分类汇编整式乘法与因式分解易错压轴解答题(附答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2请你写出，，之间的等量关系是________；（3）根据（2）中的结论，若，，则 ________；（4）实际上我们可以用图形的面积表示许多恒等式，下面请你设计一个几何图形来表示恒等式．在图形上把每一部分的面积标写清楚．2．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为________．（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为________．（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=________．3．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2=－1，这个数i叫做虚数单位.那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：（2+i）+（3-4i）=5－3i.（1）填空：i3=________，i4="________"；（2）计算：① ；② ；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i=（1－x）－yi，（x，y为实数），求x，y的值.（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式4．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a²+5ab+2b²可以因式分解为________.（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积.5．（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b的等式表示）（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m2＝12+n2， 2m+n＝4，则2m﹣n的值为________.②计算：20192﹣2020×2018.________（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.6．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经知道，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1， a2， c1，c2，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1， c1位于图的上一行，a2， c2位于下一行.像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项的系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).（1）请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.（2）【理解与应用】请你仔细体会上述方法，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：Ⅰ.2x2+5x-7=________；Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .（3）【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .Ⅱ.若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式的积，求m的值.________Ⅲ.己知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意的x，y的值.________7．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0∴当x=-2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x=________时，代数式x2-6x+12的最小值是________；（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x=________时，y有最________值（填“大”或“小”）（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值8．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：________，方法2：________；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2， a2+b2， ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．9．问题发现：小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.（1）类比探究：如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来.（2）结论应用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值.（3）拓展延伸：如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=14，请求出阴影部分的面积. 10．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．11．著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．【阅读思考】在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式．解：原式﹒（1）【动手一试】试将改成两个整数平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；（2）【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出详细的推导过程﹒12．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：________；（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是________，并请你在图3位置画出拼成的长方形________；（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1．（1）(b-a)2（2）（3）±5（4）解：符合等式 (a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2 的图形如图所示，【解析】【解答】解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b-a解析：（1）（2）（3）±5（4）解：符合等式的图形如图所示，【解析】【解答】解：（1）阴影部分为一个正方形，其边长为b-a，∴其面积为：，故答案为：；（2）大正方形面积为：小正方形面积为： = ，四周四个长方形的面积为：，∴，故答案为：；（3）由（2）知，，∴，∴ = ，故答案为：±5；【分析】（1）表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；（2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；（3）将（x-y）2变形为（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，画出相应的图形，如图所示．2．（1）-11（2）63.5（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0∴a=-3．解析：（1）-11（2）63.5（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0∴a=-3．（4）2021．【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．3．（1）-i；1（2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，∴x+y=1-x，3=-y，解析：（1）-i；1（2）解：①（2+i）（2-i）=4-i2=5②（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i；∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，∴x+y=1-x，3=-y，∴x=2，y=-3；原式=i.（3）∵（x+y）+3i=(1-x)-yi，∴x+y=1-x，3=-y，∴x=2，y=-3；（4）【解析】【解答】解：（1）∵i2=-1，∴i3=i2•i=-1•i=-i，i4=i2•i2=-1•（-1）=1【分析】（1）由于i3=i2•i，i4=i2•i2，将i2=－1代入计算即可；（2）①利用平方差公式计算可得（2+i）（2-i）=4-i2，然后代入计算即可；②利用完全平方公式计算可得（2+i）2=i2+4i+4，然后代入计算即可；（3）由（x+y）+3i=(1-x)-yi，可得x+y=1-x，3=-y，据此解出x、y的值即可；（4）利用平方差公式及分式的基本性质进形解答即得.4．（1）（a+2b）（2a+b）（2）解：由已知得： {2(a2+b2)=2426a+6b=78化简得②平方的：化简得：将①代入③得到：ab=24∴空白部分的面积为解析：（1）（a+2b）（2a+b）（2）解：由已知得：化简得②平方的：化简得：将①代入③得到：ab=24∴空白部分的面积为 5ab=120（）【解析】【解答】（1）2a²+5ab+2b² = （a+2b）（2a+b）解：由已知得：化简得∴∴ab=24∴空白部分的面积为 5ab=120（平分厘米）【分析】（1）利用等面积法即可得到答案。

=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2
=4ab.
当 a=-2,b= 时,
原式= 4×(-2)×
=-4
19.[2018·吉林] 某同学化简 a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2.(第三步)
(1)该同学解答过程从第
步开始出错,错误原因是
;
(2)写出此题正确的解答过程.
解:(1)二 去括号时没有变号
2)原式= a2+2ab-(a2-b2) =a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2.
20.[2018·德州] 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图
K2-3 的三角形解释二项式(a+b)n 的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三
13.[2018· 成 都 ] 已 知 x+y=0.2,x+3y=1, 则 代 数 式 x2+4xy+4y2 的 值
为 0.36 .
14.[2018·临沂] 已知 m+n=mn,则(m-1)(n-1)= 1
.
15.[2017·安顺] 若代数式 x2+kx+25 是一个完全平方式,则 k= 5,—5 .
第三节整式与因式分解
主讲人：明川教育
一、相关概念
1、单项式：由数字或 字母的积组成的式子。 单个数字或字母也是单项式 例如：π/2, -m, 9/7 ,7, -abcd, -62a2
2、单项式的系数和次数： 单项式的系数：单项式中的数字因数。 单项式次数：单项式中所有字母的指数的和