《二次函数》小结与复习(1)-教学设计

二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图象特征。

2. 掌握二次函数的解析式、顶点式及标准式之间的转换。

3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

4. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 二次函数的定义与性质1.1 二次函数的定义：一般式为y=ax^2+bx+c（a≠0）1.2 二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等。

2. 二次函数的图象特征2.1 开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2.2 对称轴：x=-b/(2a)2.3 顶点：(-b/(2a), c-b^2/(4a))2.4 与y轴的交点：x=0时，y=c。

3. 二次函数的解析式3.1 一般式：y=ax^2+bx+c3.2 顶点式：y=a(x-h)^2+k3.3 标准式：y=a(x-α)^2+β4. 二次函数的转换4.1 一般式与顶点式的转换：4.2 顶点式与标准式的转换：5. 实际问题中的应用5.1 抛物线与坐标轴的交点问题5.2 实际问题转化为二次函数问题，求最值等。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质及图象特征。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象与性质之间的关系。

3. 运用小组合作探究法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

4. 结合实际例子，让学生感受二次函数在生活中的应用。

四、教学准备1. PPT课件：二次函数的性质、图象、实际应用等。

2. 练习题：涵盖本节课的主要知识点。

3. 小组讨论：分组安排。

五、教学过程1. 导入：复习一次函数和反比例函数，引出二次函数。

2. 讲解：介绍二次函数的定义、性质、图象特征等。

3. 演示：利用PPT展示二次函数的图象，让学生直观地感受开口方向、对称轴等。

4. 练习：让学生完成一些简单的练习题，巩固所学知识。

5. 小组讨论：布置一道实际问题，让学生分组讨论，运用二次函数解决问题。

第22章二次函数小结与复习一、教学目标1.通过复习二次函数的图象和性质，运用二次函数解决实际问题等内容，梳理本章知识，形成有关二次函数的知识体系.2.通过回顾探究二次函数的图象和性质的过程，再次体会类比归纳和数形结合的数学思想，形成分析和解决函数问题的一些基本方法.3.通过利用二次函数解决实际问题，再次体会建模思想，增强应用意识.二、教学重点、难点重点：复习二次函数的定义、图象和性质.难点：用二次函数解决实际问题.三、教学过程知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.注意：(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数.二、二次函数的图象与性质三、二次函数图象的平移四、二次函数表达式的求法五、二次函数与一元二次方程的关系(1)如果抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x =x 0时，函数的值是0，因此x =x 0就是方程ax 2+bx +c =0的一个根.(2)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．六、二次函数的应用1.二次函数的应用包括以下两个方面：(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大(小)化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.2.一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义.考点讲练考点一 求抛物线的顶点坐标、对称轴、最值例1 求抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标.解法一：配方，得y =x 2-2x +3=(x -1)2+2，则顶点坐标为(1，2)解法二：由顶点公式，得，则顶点坐标为(1，2)方法总结解决此类题目可以先把二次函数y =ax 2+bx +c 配方为顶点式y =a (x -h )2+k 的形式，得到：对称轴是直线x =h ，最值为y =k ，顶点坐标为(h ，k )；也可以直接利用公式求解.针对训练1.对于y ＝2(x ＋3)2＋2的图象下列叙述正确的是( )A.顶点坐标为(3，2)B.对称轴为直线x ＝3C.函数的最大值为2D.函数的最小值为2考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2 二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1＜x 2＜1，则y 1与y 2的大小关系是( )A.y 1≤y 2B.y 1＜y 2C.y 1≥y 2D.y 1＞y 2针对训练2.下列函数中，当x ＞0时，y 随x 增大而减小的是( )A. B.y ＝x －1 C. D.y ＝－3x 2考点三 二次函数的图象与系数a ，b ，c 的关系例3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a －b ＜0；③4a －2b ＋c ＜0；④(a ＋c )2＜b 2.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4方法总结11222=⨯--=-=a b x 21423144422=⨯-⨯⨯=-=a b ac y 232x y =x y 43=1.根据图象开口方向及与y 轴交点位置来确定a 、c 符号.2.根据对称轴的位置确定b 的符号：b =0⇔对称轴是y 轴；a 、b 同号⇔对称轴在y 轴左侧；a 、b 异号⇔对称轴在y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.3.当x =1时，函数y =a +b +c . 当图象上横坐标x =1的点在x 轴上方时，a +b +c ＞0；当图象上横坐标x =1的点在x 轴上时，a +b +c =0；当图象上横坐标x =1的点在x 轴下方时，a +b +c ＜0.同理，可由图象上横坐标x =-1的点判断a -b +c 的符号.针对训练3.已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是( )A.b ≤1B.b ≥1C.b ≥－1D.b ≤－1考点四 抛物线的几何变换例4 将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y ＝(x －4)2－6B.y ＝(x －4)2－2C.y ＝(x －2)2－2D.y ＝(x －1)2－3针对训练4.若将抛物线y ＝－7(x ＋4)2－1通过平移得到y ＝－7x 2，则下列平移方法正确的是( )A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位考点五 二次函数表达式的确定例5 已知关于x 的二次函数，当x ＝－1时，函数值为10，当x ＝1时，函数值为4，当x ＝2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，由题意得：，解这个方程组得∴ 这个二次函数的解析式为y =2x 2-3x +5.针对训练5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与抛物线y ＝－x 2－3x ＋7的形状相同，顶点在直线x ＝1上，且顶点到x 轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.解：∵ 抛物线y =ax 2+bx +c 与抛物线y =-x 2-3x +7的形状相同∴ a =1或-1又∵ 顶点在直线x =1上，且顶点到x 轴的距离为5∴ 顶点坐标为(1，5)或(1，-5)∴ 其表达式可以为：(1) y =(x -1)2+5 (2) y =(x -1)2-5 (3) y =-(x -1)2+5 (4) y =-(x -1)2-5考点六 二次函数与一元二次方程例6 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是直线x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A.x 1＝0，x 2＝6B.x 1＝1，x 2＝7C.x 1＝1，x 2＝－7D.x 1＝－1，x 2＝7针对训练6.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为____________________.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-724410c b a c b a c b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c ba考点七 二次函数的应用例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得，解得故所求一次函数的表达式为y =-x +120.(2)w =(x -60)(-x +120)=-x 2+180x -7200，配方得w =-(x -90)2+900∵ 抛物线的开口向下∴ 当x ＜90时，w 随x 的增大而增大∵ 60≤x ≤60×(1+45%)，即60≤x ≤87∴ 当x =87时，w 有最大值，此时w =-(87-90)2+900=891故销售单价定为87元时，商场可获得最大利润891元.针对训练7.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析.解：(1)因图象过原点，则设函数解析式为y =ax 2+bx ，由图象的点的含义，得，解得故所求一次函数的表达式为y =-x 2+14x(2)y =-x 2+14x =-(x -7)2+49∴ 当x =7时，y 最大=49故第7个月时，利润最大为49万元.(3)没有利润，即-x 2+14x =0解得x 1=0(舍去)或x 2=14而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.例8 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝30，BC ＝x ，其中15＜x ＜30.作DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在F 处，DF 交BC 于点G.(1)用含有x 的代数式表示BF 的长；(2)设四边形DEBG 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式；(3)当x 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30∴ BF=2x -30(2)∵ ∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°∴ ∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x -30⎩⎨⎧=+=+45755565b k b k ⎩⎨⎧=-=1201b k ⎩⎨⎧=+=+242413b a b a ⎩⎨⎧=-=141ba∴ S=S △DEF -S △GBF =DE 2-BF 2=x 2-(2x -30)2=-x 2+60x -450(3)∴ S=-x 2+60x -450=-(x -20)2+150∵ a =-＜0，15＜20＜30∴ 当x =20时，S 有最大值，最大值为150.针对训练8.张大伯准备用40m 长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m 的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.解：(1)由题意，得羊圈的长为25m ，宽为(40-25)÷2=7.5(m )，故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m 2)(2)设羊圈与墙垂直的一边为x m ，则与墙相对的一边长为(40-2x )m ，羊圈的面积：S=x (40-2x )=-2x 2+40x =-2(x -10)2+200 (0＜x ＜20)∵ 0＜10＜20∴ 当x =10时，S 有最大值，最大值为200.∴ 张大伯的设计不合理合理的设计是：羊圈与墙垂直的两边长为10m ，而与墙相对的一边长为20m ，此时羊圈的面积最大为200m 2.2121212123232323。

二次函数小结与思考（1）教学设计
课型：复习课
一、教学目标：1、掌握二次函数的概念
2、理解并能熟练运用二次函数的图像及性质
3、会根据条件灵活求解二次函数的表达式
4、通过相互合作与探讨，培养学生应知应会、举一反三的思辨能力
二、教学重点：1、二次函数的图像及性质
2、求解二次函数的表达式
三、教学难点：1、二次函数表达式求解方法选用
四、教学方法：讨论法，讲授法
五、教学过程
给出例1、根据已知信息填表学生自行思考，完成表格，
此题可集体回答
自变量x的取值范围．
教学反思:本节课是基于学习完二次函数这一章的基础上进行的第一节复习课，针对二次函数的概念，图像的性质及二次函数表达式的求解方法展开教学。

在授课过程中，有部分学生缺乏结合二次函数图形来分析问题的技巧，本人也为强调二次函数的增减性问题，毕竟在实际问题中要结合自变量的取值范围进行思考，整堂课节奏相对紧凑，教学内容也基本完成，需要在后续的复习课中进一步培养学生数形结合的能力。

二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。

二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。

2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。

二次函数复习（—）教学设计一、教材分析二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不但考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题水平的考查。

1．地位和作用（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不但是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。

在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。

（2）二次函数的图像和性质表达了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。

2．中考要求：（1）能描绘二次函数的特征和由来；能明确地阐述二次函数与相关对象之间的区别和联系。

（2）能在理解的基础上，把二次函数的图像及性质使用到新的情境中。

（3）参加特定的数学活动，在具体情境中初步理解二次函数的特征，获得一些经验。

3、教学目标（1）能熟练画出二次函数的图像，并能准确说出二次函数图像的顶点、开口方向、对称轴、最大（小）值。

（2）会利用二次函数平移的性质求二次函数的解析式。

（3）能根据二次函数图像，判断a、b、c的符号及△的符号及与坐标轴的交点情况。

（4）让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。

教学重点：掌握二次函数的定义，会求他们的对称轴，顶点坐标，a.b.c.△符号，应用这些知识解决一些简单的问题。

教学难点：灵活使用知识解决问题。

教学方法：师生互动归纳总结、讲练法。

教具准备：为使教学活动有序高效实行，本节课通过多媒体辅助教学，将一些重难点实行分化演示，加深学生的理解掌握二、教材的处理针对初三复习时间紧，任务重的实际情况，我采用纲题替换的复习方法，以问题组的形式展开复习。

26章小结与复习题（一）教学内容：课本P31~32教学目标1、形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；2、形成二次函数的方法体系；教学重难点重点：形成二次函数的知识结构，能够根据知识结构解读知识要点；难点：形成二次函数的方法体系；教学准备：课件教学方法：讲练法教学过程一、展示知识结构二、解读知识点（一）知识点一：二次函数的解析式1、定义：一般要，形如的函数，叫做二次函数。

2、二次函数的解析式（1）一般式：；其中二次函数的对称轴是，顶点坐标是；（2）顶点式：；其中二次函数的对称轴是，顶点坐标是；（3）交点式：；其中二次函数的对称轴是，顶点坐标是；3、利用图象平移求解析式（1）平移条件：两个二次函数的a相等，就可以通过平移其中一个函数图象得到另一个函数图象。

（2）平移方法：先把一般式转换成顶点式，再确定顶点坐标，最后按要求平移顶点。

（3）平移规律：h满足正右移，负左移；k满足正上移，负下移。

即左加右减，上加下减。

（二）知识点二：二次函数的图象及性质1、当△>0时，抛物线与x轴有2个交点，两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个不相等的实数根。

2、当△＝0，抛物线与x轴有1个交点，交点是顶点，一元二次方程有两个相等的实数根；3、当△<0时，抛物线与x轴没有交点，一元二次方程没有初数根。

（四）知识点四：二次函数的图象与字母a、b、c之关系。

（1）抛物线开口向上，a>0，开口向下，a<0；（2）对称轴在y轴左侧，a,b同号；对称轴在y轴右侧，a,b异号；对称轴在y轴，b＝0.简记：左同右异中间0.（3）抛物线与y轴的交点在x轴上方，c>0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c<0，抛物线与y轴交点在原点，c＝0.简记：上正下负中间0.（4）判断2a-b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；判断2a+b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；（5）判断a+b+c与0的关系，需看x=1时，函数值与0的大小；判断a-b+c与0的关系，需看x=-1时，函数值与0的大小。

第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选人教版九年级上第26章《二次函数》小结与复习(1)教案设计０），对称轴是y 轴，即直线x=0。

(１)使4m m2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，则ｍ2＋m-4=2，且m ＋2≠0，即:ｍ２+ｍ-４＝2，m+2≠0，解得；m=２或m ＝－3,m ≠-２(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2>0，(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即ｍ＋２＜0。

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

强化练习:已知函数m m 2x )1m (y ++=是二次函数,其图象开口方向向下，则m ＝_____,顶点为_____，当x ＿_＿＿_０时,y 随ｘ的增大而增大，当ｘ_＿＿＿_0时,y 随x 的增大而减小。

2.用配方法求抛物线的顶点，对称轴;抛物线的画法，平移规律，例:用配方法求出抛物线y ＝-3x 2-6ｘ+8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象,说明通过怎样的平移，可得到抛物线y=-3x ２。

学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。

充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。

教师归纳点评：(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系: y=ax 2+bx ＋c ————→y=a(ｘ＋b ２a)２＋错误! (2）强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。

（３)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳;投影展示:强化练习：(1)抛物线y＝x2＋bx+c的图象向左平移2个单位。

再向上平移３个单位，得抛物线y=ｘ2－2ｘ+１,求:b与c的值。

(2)通过配方，求抛物线ｙ＝＼ｆ(１,2）x２-4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。

3．知识点串联,综合应用。

《二次函数》的复习教学设计数学《二次函数》优秀教案篇一一、教材分析本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像的基础上对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质进行研究。

主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)转化，体会知识之间在内的联系。

在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a0和a0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质。

二、学情分析本节课前，学生已经探究过二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图像和性质，面对一般式向顶点式的转化，让学上体会化归思想，分析这两个式子的区别。

三、教学目标（一）知识与能力目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程；2、能通过配方把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，从而确定开口方向、顶点坐标和对称轴。

（二）过程与方法目标通过思考、探究、化归、尝试等过程，让学生从中体会探索新知的方式和方法。

（三）情感态度与价值观目标1、经历求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标的过程，渗透配方和化归的思想方法；2、在运用二次函数的知识解决问题的过程中，亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣并获得成功的体验。

四、教学重难点1、重点通过配方求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标。

2、难点二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的性质。

五、教学策略与设计说明本节课主要渗透类比、化归数学思想。

对比一般式和顶点式的区别和联系；体会式子的恒等变形的重要意义。

六、教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）（一)提出问题(约1分钟）教师活动：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？那么对于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标和对称轴又怎样呢？图像又如何？学生活动：学生快速回答出第一个问题，第二个问题引起学生的思考。

二次函数小结与复习教学案一. 教学内容：二次函数小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.2. 难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．值＞0＝时，函数有最小值＜时，＜0＝时，函数有最大值＜时，3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．4. 、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.【典型例题】例1. 二次函数y=－x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.分析：y=－x2+2x－1的顶点为（3，2），y=－x2的顶点为（0，0），因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离.解：y=－x2+2x－1=－（x－3）2+2，∴把二次函数y=－x2+2x－1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，便得到y=－x2的图象．例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 2解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号.又a＞0，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c﹤O. ∴ab＞0，ac﹤0.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0.∵对称轴x=－=－1，∴b=2a. ∴2a+b﹥0当x=－1时，y=a－b+c﹤0. ∴选C.例3. 如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）A. －B. 0C. －或0D. 1分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，x A=OA；当点A在原点左侧时，x A+OA=0（注：点A在x轴上）.解：设OB=x，则OA=3x（x﹥0），则B（－x，0），A（3x，0）.∵－x，3x是方程－x2+2（m+1）x+m+3=0的根，∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.解得m1=0，m2=－.又∵x﹥0，∴m=－不合题意.∴m=0，因此选B.例4. 已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.分析：二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值a﹤0（a＞0）.解：∵二次函数y=mx2+（m－1）x+m+1有最小值为0，∴即解得m=1.例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.分析：这个函数是二次函数，应注意m+6≠0这个条件.解：∵二次函数y=（m+6）x2+2（m－l）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，∴∴m≤－且m≠－6.例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）分析：由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4. 9－2. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4－2. 4=1. 6时，求出x的值.解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为4. 9－2. 4=2. 5，C点坐标为（0，0），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x－5）2+2. 5.把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得a=－.∴y=－（x－5）2+2. 5.当y=4－2. 4=1. 6时，1. 6=－（x－5）2+2. 5.解得x1=8，x2=2（不合题意，舍去）.∴x=8，∴OC－x=10－8=2（米）.故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部.点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意（1）顶点纵坐标是（4. 9－2. 4）而不是4. 9；（2）求出的x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况），若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部”，则x1=2，x2=8都合题意.例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。

二次函数复习课(第一课时)教学设计一、目标确定的依据（一）课程标准对《二次函数》的相关要求1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为()2=-+的形式，并能y a x h k由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题.4.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.（二）学情分析1.学生的已有基础初三学生在新课的学习中已通过经历探索的过程，总结出二次函数的定义、图象与性质及多种方法确定二次函数表达式等基本知识.2.已有的活动经验具备一定的学习能力，包括自学和合作交流，知道多向别人请教来解决问题.学习具有一定的主动性，具备分析问题和一定的表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象的材料来理解相关知识和概念。

3.课堂模式形成了独立解决问题→寻求帮助→敢于展示→总结升华的课堂模式.4.学生面临的问题（1）在研究函数图象时，用数形结合的方法来判断a＋b＋c，4a+2b＋c，4a－2b＋c等的取值范围有困难.（2）对于不在同一区间内，如何比较其函数值大小有困难.（3）从表格中读取有用信息有困难.二、复习目标；依据《课程标准》，根据教材内容和学生的实际情况，确定本节课的复习目标为：1、通过独立思考，结合二次函数定义，能从题意里说出二次项系数的范围，并能说出理由.2、通过向同伴求助，能利用数形结合，逆推等思想解决二次函数图象与性质问题.3、通过认真分析题意，同桌能合作建立恰当平面直角坐标系，得到有用信息，并选取恰当的方法求二次函数的表达式.4、通过小组合作，能说出每个题目的考点，数学思想，能总结出做题技巧. 复习重、难点：重点：函数图象与性质的综合运用 难点：数形结合思想的运用 评价设计1、通过题目1检测目标1的达成.2、通过题目2、3、4检测目标2的达成. 3、通过题目5检测目标3的达成.4、目标4贯穿始终.一、课前小测试1、用一根长50cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x cm ，面积为y 2cm ，写出y 关于x 的函数解析式：____________.2、当m ____时，函数()2245y m x x =-+-（m 是常数）是二次函数.3、2P (3,1y ),2P (5,2y ),都在二次函数22y x x c =-++的图象上，则12,y y 的大小关系是________4、将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.5、小聪做作业时不小心将题目：“已知二次函数y ＝x 2■x ■的图象如图所示”污染，则题目中二次函数的表达式为_____________________．【设计意图】在复习课设计之前进行，题目要基础，通过测试发现学生的问题比较多的类型，这样我们的复习会更有针对性和有效性.二、知识树【设计意图】学生依据知识树复习二次函数前三课时的主要内容，明确知识与考点，为本节课的复习做准备.三、聚焦中考考点一：二次函数的定义1、若关于x 的函数()234223m m y m x x -+=-++是二次函数，则m= ____问：（1）本题的考核点是？ （2）易错点是？为什么？ （3）用到了什么数学思想？（变式训练）若关于x 的二次函数2343232m m y m xx -+⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，开口向上，则m= ____ 问：开口向上，你能得到什么信息？【设计意图】二次项系数不能为0，学生是一个易错点.让学生体会检验的必要性.考点二：二次函数的图象与性质2、二次函数2y x bx c =-++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的函数表达式为()214y x =--+，则b 、c 的值分别是？ (逆向思维)3、点1P （-2,1y ),2P (3,2y ),2P (5,3y ),都在二次函数22y x x c =-++的图象上，则123,,y y y 的大小关系是________(一题多解，找到最佳方法）4、下图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则下列说法：①abc >0；②2a ＋b ＝0；③当－1<x <3时，y >0；④a ＋b ＋c >0.其中正确的是________变式训练：当x=___时，y=4a ＋2b ＋c,则4a ＋2b ＋c ___0； 当x=___时，y=4a-2b ＋c, 则4a-2b ＋c ___0. 问：如何确定x 的值，你能总结一下结论吗？ （总结提升:描点、画、数形结合）先独立完成2-4题.然后小组合作交流: 1、解决疑惑，并分享你的解题方法。