2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)一、填空题：(每题7分，共70分)1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a , b , c )的个数是__________个.2、过定点P (2, 1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小， 则l 的方程为_________________3、若方程cos 2x ＋3sin 2x ＝a ＋1在[0, π2]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是___________ 4、数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, …的第2011项是__________5、在1, 2, 3, 4, 5的排列a 1, a 2, a 3, a 4, a 5中，满足条件a 1<a 2, a 2>a 3, a 3<a 4, a 4>a 5的排列的个数是________6、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程 12·[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ． 7、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．8、在△ABC 中，∠A ＝π3，sinB ＝513，则cosC ＝ ． 9、数(5＋24)2012（n ∈N *）的个位数字是 ．10、数799被2550除所得的余数是 ．二、解答题：(20分＋30分＋30分，共80分)11．(20分) 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→CB ．（Ⅰ）判断△ABC 的形状，并求sinA ＋sinB 的取值范围；（Ⅱ）若不等式a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )≥kabc ，对任意的满足题意的a ，b ，c 都成立，求k 的取值范围．12、(30分) △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 三边于D 、E 、 F ，M求证：DM 平分∠BMC13、(30分) 给定无理数a 、b ，证明：满足方程 |x ＋ay ＋13|＋|ax －y ＋a 3|＝b 的整数x, y 至多只有一组。

全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1229x <+的解集为 ．3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______. ．5．所有的满足条件11aba b a b a b a b ---=⋅++的正整数对(,)a b 的个数为 ．6．设,,a b c 为方程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. ．8．已知A , B , C 为△ABC 三内角, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M , 使得|||,||,|MB AB MA 成等差数列, ||AB __ ___.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2全国高中数学联赛模拟卷(1)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD , △ABC 的内心，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ， 且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.2011年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案1． 由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845<x 故原不等式的解集为145,00,28⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中心对称图形，且②⑤可以截得3．提示：44[2,)(,2]33--⋃, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，−2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ⋅，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满足条件，当 0z ≠时，2120z z +-=设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ⎧-+-=⎨+=⎩ ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代入(1) 整理得：2(1)01a a -=⇒=2）0b ≠，则 1a =- 代入(1) 得：242b b =⇒=±，经检验复数1,12z i =-±均满足条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--.5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->⋅1b a b -⇒>11b a b -⇒≥+，从而有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --⋅++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-⋅()11a b a a b --=⋅-1a a -≥，从而()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满足本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=--7．提示：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a −2b +10>0得2b <a +10，于是，当b =1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b =6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b =7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b =8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b =9时，a 只能取9，有1种。

高一（2）班2011年全国高中数学联赛预赛备战训练（满分：300分）一．选择题（225110⨯=分）1． 设集合{}Z x x x x A ∈<-+=且,062，则集合A 的非空真子集的个数为 （ ）（A ）13（B ） 14 （C ） 15 （D ） 162．在公差为4的正项等差数列中，3a 与2的算术平均值等于3S 与2的几何平均值，其中3S 表示数列的前三项和，则10a 为（ ）（A ）38（B ） 40 （C ） 42 （D ） 443．设函数,86)(2++=x x x f 若,15164)(2++=+x x c bx f 则b c 2-的值等于（ ）A ．3B ．7C ．-3D ．-74．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是（ ）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-5.,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；6.设 ()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2007f x =（ ）A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-；7．若()()200634554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．20078．满足20073+++=x x y 的正整数数对(,)x y （ ）（A ）只有一对 （B ）恰有有两对 （C ）至少有三对 （D ）不存在9．函数()f x =的值域为（ ）[]3. 1, . 1, C. 1, D. 1, 22A B ⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎣⎣⎣⎦10．已知)2,2(,-∈y x ，且1xy =，则224422y x -+-的最小值是（ ）A 、720 B 、712C 、72416+D 、72416-11. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，则（ ）A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形12.设)2,0(πα∈则ααααsin cos cos sin 33+的最小值为 （ ） （A ）6427 （B ）253 （C ） 1 （D ）36513. 已知函数y = 2sin(ωx )在［3π-，4π］上单调递增，则实数ω的取值范围是（ ） A ．（0，23] B ．（0，2] C ．（0，1] D ．]43,0(14. 的最大值为，则设βαβα2cos sin 31sin sin -=+( )A.34 B.94 C.1211- D.32-15．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是（ ）(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[-16．若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2kkkx kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）.A 、6；B 、5；C 、4；D 、3．17. （2007年全国高中数学联赛湖北省预赛）定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )B. -12 D. 12-18.（2007年全国高中数学联赛湖北省预赛） 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =u u u r u u u r ,25AP AD BC =+u u u r u u u r u u u r ，则APD ABC SS =△△ ( )A.310 B. 25 C. 715 D. 81519．已知，是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅，4=⋅。

山 东 省2011年高考押题卷（二）数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．集合{|2}x A y R y =∈=,,则下列结论正确的是 （ ） A ．{0,1}A B = B ．(0,)A B =+∞C ．()(,0)R C A B =-∞D ．(){1,0}R C A B =-2．复数Z =Z 对应的点在 （ ）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．x 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上3．（理）已知二项式2(n x （n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为 （ ）A ．45256B ．47256 C ．49256 D ．51256（文）2log 3，3log 5，23-的大小关系是 （ ） A ．223log 3log 53->> B ．223log 33log 5->> C ．232log 5log 33->>D ．2323log 5log 3->>4．（理）设随机变量(1,1)N ξ ，(2),(0)P p p ξ>=>，则(01)P ξ<<的值为 （ ）A ．12p -B ．1p -C ．122p -D ．12p -（文）抛物线216y x =的准线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交点的纵坐标为4，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 （ ）A B C ．2D5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且0x >时,()(2)(3)0.02f x x x =--+,则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是 （ ） A ．有4个零点其中只有一个零点在（-3，-2）内B ．有4个零点,其中两个零点在（-3，-2）内，两个在（2，3）内C ．有5个零点都不在（0，2）内D ．有5个零点,正零点有一个在（0，2）内，一个在（3，+∞）内 6．已知实数x 、y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 7．下图所示的算法被称为“趋1数字器”，它输出的数字都是分数，且随着运算次数的增加，输出的分数会越来越接近于1．该程序若想输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A ．i<4?B ． i<5?C ． s<2？D ．s<3？8．已知正项等比数列{}n a 满足：2012201120102a a a =+14a =，则116m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．23B ．2C ．4D ．69．若定义行列式a b ad bc c d=-，则125620092010347820112012+++= （ ）A ．1006B ．－1006C ．2012D ．－201210．对于命题p ：5412ππα<<；命题q ：tan ()log f x x α=在(0,)+∞内是增函数，则q 是p 的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．曲线C ：211ln 22y x x =++上斜率最小的一条切线与圆221x y +=的位置关系为 （ ） A ．相切 B ．相交但不过圆 C ．相交且过圆心 D ．相离 12．（理）任意连接正方体6个面的中心构成15条直线，对于其中两条直线垂直，我们则称它们构成“钻角”．若甲从这15条直线中任选一条，乙再从剩下的14条直线中任选一条，试问他们所选直线构成“钻角”的概率为 （ ） A ．935B ．1135C ．1335D ．1735（文）近日，一种化学名为“尼美舒利”的儿童退热药，被推上药品安全性疑虑的风口浪尖．国家药监局调查了这种药的100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在[6,11),[21,26)两组内的数据按分层抽样方法抽取8个数据，然后再从这8个数据中抽取2个，则最后所得这两个数据来自两组的概率是 （ ）A ．12B ．1528C ．47D ．1728第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

（1）设集合2{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 解析：{32}M x x =-<<，[1,2)M N =I ，答案应选A 。

（2）复数2(2iz i i-=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：22(2)34255i i i z i ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.（3）若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为（ ）A.0B.C. 1D.解析：2393a ==，2a =，tan tan 63a ππ== D.（4）不等式5310x x -++≥的解集是（ ）A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞UD. (,4][6,)-∞-+∞U解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。

另解1：可以作出函数53y x x =-++的图象，令5310x x -++=可得4x -=或6x =，观察图像可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

另解2：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii n i i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为： （A ）0 （B ）3（C ）1 （D ）3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若6x ⎛- ⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察：()()12xf x f x x ==+f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= .（16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b.（Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(山东卷)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试用时120分钟． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．圆柱的侧面积公式：S ＝cl ，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长． 球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径． 球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径．用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx ---=-∑∑ ， ay bx =- . 如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A 、B 独立，那么P (AB )＝P (A )·P (B )．第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(理)设集合M ＝{x |x 2＋x －6＜0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1， 2) B ．[1，2] C ．(2，3] D ．[2，3]2．复数2i2iz -=+ (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan 6a π的值为 …( ) A ．0B ．33C ．1D ．34．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5，7] B ．[－4，6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)5．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，3π]上单调递增，在区间[3π，2π]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．32D ．237．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元)4 2 35 销售额y (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 y bx a =+ 中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元8．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．2222154x y -=B ．2222145x y -=C ．2222136x y -=D ．2222163x y -=9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是( )10．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．911．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．012．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ= (μ∈R )，且112λμ+=，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．执行下图所示的程序框图，输入l ＝2，m ＝3，n ＝5，则输出的y 的值是__________．14．若62()a x x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为__________．15．设函数()2xf x x =+ (x ＞0)，观察： 1()()2xf x f x x ==+， 21()(())34xf x f f x x ==+， 32()(())78xf x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝__________.16．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. (1)求sin sin CA的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .18．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF .(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；。

2011年高考理科数学试题及详细答案(山东卷)2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第I卷（共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2011•山东）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]2．（2011•山东）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（2011•山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0 B．C．1 D．4．（2011•山东）不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是（）A．[﹣5，7] B．[﹣4，6] C．（﹣∞，﹣5]∪[7，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）9．（2011•山东）函数的图象大致是（）A．B．C．D．10．（2011•山东）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．012．（2011•山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A 3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（2011•山东）执行如图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是_________．14．（2011•山东）若（x﹣）6式的常数项为60，则常数a 的值为_________．15．（2011•山东）设函数f（x）=（x＞0），观察：f 1（x）=f（x）=，f 2（x）=f（f1（x））=，f 3（x）=f（f2（x））=，f 4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=_________．16．（2011•山东）已知函数f（x）=log a x+x﹣b（a＞0，且a≠1）．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n+1），n∈N*，则n=_________．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（2011•山东）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．18．（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（2011•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=2EF．（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求平面角A﹣BF﹣C的大小．20．（2011•山东）等比数列{a n}中．a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a1•a2•a3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行9 8 18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）如数列{b n}满足b n=a n+（﹣1）lna n，求数列b n的前n 项和s n．21．（2011•山东）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．22．（2011•山东）已知直线l与椭圆C：交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=，其中O为坐标原点．（Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3、第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按能上能下要求作答的答案无效.4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径. 球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题、每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的、 1、设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A 、[1,2）B 、[1,2]C 、[2,3]D 、[2,3]2、复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A 、0B 、3C 、1D 4、不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A 、[-5，7]B 、[-4，6]C 、(][),57,-∞-+∞ D 、(][),46,-∞-+∞5、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要6、若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A 、3B 、2C 、32D 、237、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9、4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A 、63、6万元B 、65、5万元C 、67、7万元D 、72、0万元8、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A 、22154x y -= B 、22145x y -= C 、22136x y -= D 、22163x y -= 9、函数2sin 2xy x =-的图象大致是10、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A 、6B 、7C 、8D 、911、右图是长和宽分别相等的两个矩形、给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图、其中真命 题的个数是 A 、3 B 、2 C 、1 D 、012、设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A 、C 可能是线段AB 的中点 B 、D 可能是线段AB 的中点C 、C ，D 可能同时在线段AB 上D 、C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分、13、执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14、若62(x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15、设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16、已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分、 17、（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 、已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b、（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S.18、（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.19、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小、20、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列、（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S 、21、（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥、假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元、 （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r 、22、（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1—12 ADDDBCBACBAD 二、填空题13、68 14、4 15、(21)2n nxx -+ 16、2 三、解答题 17、解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA = （II ）由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b ac ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a解得a=1. 因此c=2 又因为1cos ,.4B G B π=<<且所以sin B =因此11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=18、解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件. 因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 由对立事件的概率公式知()0.4,()0.5,()0.5,P D P E P F ===红队至少两人获胜的事件有：,,,.DEF DEF DEF DEF由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯=(1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=由对立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P0、10、350、40、15因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 19、（I ）证法一：因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒，所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ， 因此，BC=2FC ，连接AF ，由于FG//BC ，1,2FG BC =在ABCD 中，M 是线段AD 的中点， 则AM//BC ，且1,2AM BC =因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA.又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM//平面AB. 证法二：因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆由于AB=2EF ， 因此，BC=2FC ，取BC 的中点N ，连接GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形， 所以GN//FB ，在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ， 则MN//AB ， 因为,MNGN N =所以平面GMN//平面ABFE. 又GM ⊂平面GMN ， 所以GM//平面ABFE. （II ）解法一：因为90,ACB ∠=︒∠︒所以CAD=90，又EA ⊥平面ABCD ，所以AC ，AD ，AE 两两垂直，分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所法的空间直角坐标系， 不妨设22,AC BC AE ===则由题意得A （0，0，0，），B （2，-2，0），C （2，0，0，），E （0，0，1），所以(2,2,0),(0,2,0),AB BC =-= 又1,2EF AB =所以(1,1,1),(1,1,1).F BF -=- 设平面BFC 的法向量为111(,,),m x y z = 则0,0,m BC m BF ⋅=⋅=所以1110,,y x z =⎧⎨=⎩取1111,z x ==得所以(1,0,1),m =设平面ABF 的法向量为222(,,)n x y z =， 则0,0,n AB n BF ⋅=⋅=所以22222,1,1,0,x y y x z =⎧==⎨=⎩取得则(1,1,0)n =，所以1cos ,.||||2m n m n m n ⋅==⋅因此二面角A —BF —C 的大小为60.︒ 解法二：由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD ， 取AB 的中点H ，连接CH ， 因为AC=BC ， 所以CH AB ⊥， 则CH ⊥平面ABFE ，过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ， 则.CR BF ⊥所以HRC ∠为二面角A —BF —C 的平面角. 由题意，不妨设AC=BC=2AE=2. 在直角梯形ABFE 中，连接FH ， 则FH AB ⊥，又AB =所以1,HF AE BH ===因此在Rt BHF ∆中，3HR =由于12CH AB == 所以在Rt CHR ∆中，tan HRC ∠== 因此二面角A —BF —C 的大小为60.︒ 20、解：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意.因此1232,6,18,a a a ===所以公式q=3，故123.n n a -=⋅（II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以 21222(133)[111(1)](ln 2ln3)[125(1)]ln3,n n n n S n -=++++-+-++--+-+-++- 所以 当n 为偶数时，132ln 3132n n n S -=⨯+- 3ln 31;2n n =+- 当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 3132n n n S n --=⨯--+-- 13ln 3ln 2 1.2n n -=--- 综上所述，3ln 31,212n n n n n S n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数3-ln3-ln2-1,n 为奇数21、解：（I ）设容器的容积为V ， 由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又 故322248044203()333V r l r r r r rππ-==-=- 由于2l r ≥因此0 2.r <≤ 所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c r ππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤（II ）由（I ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m =则0m > 所以2228(2)'()().c y r m r rm m rπ-=-++ （1）当9022m c <<>即时， ∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点.（2）当2m ≥即932c <≤时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减，所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r = 当92c >时，建造费用最小时r = 22、（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上， 因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||2x y ⋅=②由①、②得11||| 1.2x y == 此时222212123,2,x x y y +=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +> …………（*） 又212122263(2),,2323km m x x x x k k -+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅=2|23m k =+又2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222*********(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立.（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率存在时，由（I）知11|||||2||2,OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅=⨯= （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x k m+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m mk m m PQ k k m m++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++ 所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m⋅=⨯-⨯⨯+ 2222211(3)(2)113225().24m m m m =-+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2 解法二：因为222222*********||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+- 222212122[()()]10.x x y y =+++= 所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤== 即5||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||OM PQ ==. 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5.2（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明：假设存在1122(,),(,),(,)2ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===满足， 由（I ）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3; 1.2,,,,,1,u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取 因此D ，E ，G只能在(1)2±±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按能上能下要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。

球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。

球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0B ．3C ．1D 4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3B ．2C ．32D ．237．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若62(x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。

1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．【答案】{3,0,2,6}-.2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 【答案】2(,(1,)-∞+∞. 【解析】提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ． 设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 【答案】-1. 【解析】提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ① 于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a 故1log -=b a ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ.【解析】提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ)． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 【答案】15000.【解析】提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ． 【答案】3. 【解析】A BCDOPMN7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ． 【答案】)2,1(-或)6,9(-．【解析】提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ， 即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ， 即03161424=---t t t ， 即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ． 故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 【答案】15.【解析】提示：=n a C 65400320020023nnn --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数． 当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数． 因此，整数项的个数为15114=+．9．（本题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ． 10．（本题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（本题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．【解析】（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则1212223232PA PB y y k k x x --+=--122112(2)(32)(2)(32)(32)(32)y x y x x x --+--=--，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．所以1||||sin 602PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒132(331)32(331)32772+-=⋅⋅⋅1173.49=一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．【解析】 延长线段DP 与圆交于另一点E ，则BPA DPA CPE ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故⋂⋂=CE AB ，从而BDA CDP ∠=∠．又PCD ABD ∠=∠，所以△ABD ∽△PCD ，于是CDPCBD AB =，即BD PC CD AB ⋅=⋅ . 从而有 BQ AC BD AC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅=⋅)21(21，即CDBQ AC AB =． 又ACD ABQ ∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC QAB ∠=∠． 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF CAB ∠=∠，故⋂⋂=DF BC ． 又因为Q 为BD 的中点，所以DQF CQB ∠=∠．又DQF AQB ∠=∠，所以CQB AQB ∠=∠． 二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．因此，对任意)2(≥k k 个正整数k r r r ,,,21 ，有 )4(mod 02)()()(21≡≡k k r f r f r f ． 但对任意正整数m ，有)4(mod 2)(≡m f ，故)4)(mod ()()()(21k r f r f r f m f ≡/，从而)()()()(21k r f r f r f m f ≠．所以)(x f 符合题设要求．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <． 【解析】对给定的)1(n j j <<，满足n k j i ≤<<≤1，且r a a a a jk i j =-- ①的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r g j ．注意到，若j i ,固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因j i <，即i 有1-j 种选法，故1)(-≤j r g j ．同样地，若k j ,固定，则至多有一个i 使得①成立．因j k >，即k 有j n -种选法，故j n r g j -≤)(．从而},1min{)(j n j r g j --≤．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值. 【解析】首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为9,,2,1,,, =i c b a i i i ．记9,,2,1,0,)(,11=+==∑∑==k c b T a S ki i i k ki i k ，这里000==T S ．我们证明：三组数910,,,S S S ；910,,,T T T 及991100,,,T S T S T S +++ 都是模10的完全剩余系． 事实上，假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m S S ≡，则)10(mod 01≡-=∑+=m n nm i iS S a，即第1行的第1+m 至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾． 又假如存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n m T T ≡，则)10(mod 0)(1≡-=+∑+=m n nm i i iT T c b，即第2行至第3行、第1+m 列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾． 类似地，也不存在90,,≤<≤n m n m ，使)10(mod n n m m T S T S +≡+．因此上述断言得证．故)10(mod 59210)(9909≡++++≡+≡≡∑∑∑=== k k kk k k kT ST S，所以 )10(mod 055)(999≡+≡+≡+∑∑∑===k k k k k k k T S T S ，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．另一方面，构造如下一个93⨯的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．综上所述，“坏格”个数的最大值是25．。

2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= . 5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________ 8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211nn n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。