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第十章 因式分解

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2013年初中数学第一轮复习专题第十章 因式分解10.1 提公因式法1.（2012北京，9，4）分解因式：269mn mn m ++= ．2.（2012广州市，13， 3分）分解因式a 2－8a 。

3.（2012浙江省温州市，5，4分）把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4a a -B. (2)(2)a a +-C. (2)(2)a a a +-D. 2(2)4a --4.（湖南株洲市3,9）因式分解：22a a -= .5.（2012四川成都，1l ，4分）分解因式：25x x -=________．6.（2012湖北随州，11,4分）分解因式：249x -=______________________。

7.（2012湖南湘潭，10，3分）因式分解：mn m -2= .8. (2012广东汕头，9，4分)分解因式： 2x 2﹣10x= 2x （x ﹣5） ．9. (2012江苏苏州，12，3分)若a=2，a+b=3，则a 2+ab= 6 ．10.（2012四川泸州，15，3分）分解因式ab a -2= .11.（2012湖北咸宁，9，3分）因式分解：=-a a 22 ．10.2 公式法1.（2012福州，11，4分，）分解因式：x 2-16= .2.（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A.n m +2B.12+-m mC.n m -2D.122+-m m3.（2011山东省潍坊市，题号13，分值3）13、分解因式：=--x x x 124234.（2012浙江省义乌市，11，4分）因式分解:x 2-9= .5.（2012福州，11，4分，）分解因式：x 2-16= .6.（2012江苏盐城，10，3分）分解因式：a 2-4b 2= .7.（2012江苏泰州市，15,3分）分解因式：a 2-6a +9= ．8.（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（）A.n m +2B.12+-m mC.n m -2D.122+-m m9.（2012浙江省湖州市，12，4分）因式分解：=36-x 2 。

10.（2012呼和浩特，4，3分）下列各因式分解正确的是A .–x 2+(–2)2=(x –2)(x +2)B .x 2+2x –1=(x –1)2C .4x 2–4x +1=(2x –1)2D .x 2–4x =2(x +2)(x –2)11.( 2012年四川省巴中市,11,3)因式分解：x 2-9=__________.10.3 综合法1.（2012浙江丽水4分，12题）分解因式：2x 2-8=________.3.(2012四川省南充市，12，4分) 分解因式：2412x x --=________________________.4.（2011江苏省无锡市，3，3′）分解因式2(1)2(1)1x x ---+的结果是（ ）A.(1)(2)x x --B.2xC.2(1)x +D.2(2)x -5.（2012浙江省绍兴，11，5分）因式分解：a 3－a = .6.（2012浙江丽水4分，12题）分解因式：2x 2-8=________. 39.(2012四川省南充市，12，4分) 分解因式：2412x x --=________________________.10.（2012山东泰安，21，3分）因式分解：3269x x x -+= 。

11.（2012湖南益阳，10，4分）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ． 12. (2012贵州六盘水，12，4分)分解因式：2x 2+4x+2= ▲ .13.（2012黑龙江省绥化市，3，3分）分解因式32232a b a b ab -+= ．14.（2012陕西12，3分）分解因式：3223-2+=x y x y xy ．15.（2012北海,13，3分）13．因式分解：－m 2＋n 2＝___________。

16（2012深圳市 13 ，3分）分解因式：a ab -=32 。

17.（2012四川宜宾，9，3分）分解因式：3m 2-6mn+3n 2=18.（2012山东东营，14，4分）分解因式：x x 93-= ．19. (2012贵州黔西南州，19，3分)分解因式：a 4－16a 2=__________．20.（2012·湖南省张家界市·9题·3分）因式分解：8a 2-2=________.21.（2012，湖北孝感，13，3分）分解因式：a 3b -ab =________．22.(2012广安中考试题第11题，3分)分解因式3a 2-12=_____________________．23.（2012江苏省淮安市，12，3分）分解因式：a 2+2a +1 = ．24.（2012，黔东南州，12）分解因式34x x -=25.（2012云南省，11 ，3分）分解因式：2363x x -+= 。

26.（2012·哈尔滨，题号14分值 3）把多项式a 3—2a 2+a 分解因式的结果是27（2012·湖北省恩施市，题号25 分值 3）b a b a b a 23496+-分解因式的正确结果是（ ）28.（2012湖北黄冈，10，3）分解因式x 3-9x=__________.29.（2012四川宜宾，13，3分）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x ≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y 的值为2013年初中数学第一轮复习专题第十章 因式分解解析答案10.1 提公因式法1.【解析】原式=m (n 2+6n +9)=m (n +3)2【答案】m (n +3)2【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。

2.【解析】提取公因式即可分解因式。

【答案】:a(a －8).【点评】本题考查了因式分解的方法。

比较简单。

3.【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式．【答案】A【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．4.【解析】22(2)a a a a -=-【答案】(2)a a -【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解．5.解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。

本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。

观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。

答案：x(x-5)。

点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。

6.解析：22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。

答案：(2x+3)(2x-3)点评：本题考查了因式分解。

对于多项式若其由两项组成，且为可化为平方差的形式，则可利用公式法直接进行因式分解。

7.【解析】提取公因式m ，得mn m -2=m(m-n).【答案】m(m-n).【点评】此题考查因式分解的方法，有公因式时，先提取公因式。

8. x 2式是答案：).(2b a a ab a -=-点评：分解因式要分解到不能分解为止.分解遇到公式时，注意公式结构与意义.11.【解析】直接提取公因式a 即可．【答案】)2(-a a【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．10.2 公式法1.解析：直接用平方差公式将因式分解。

答案：（x+4）（x-4）点评：等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。

2.解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就能判断出只有D 项可以. 解答：解：22)1(12-=+-m m m 故选D ．点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.3.考点：多项式的因式分解解答：()()()26124124223+-=--=--x x x x x x x x x 点评：多项式分解因式时，应先提取公因式，后利用公式法或十字相乘法，最后要分解彻底。

4.【答案】(x +3)(x -3)5.解析：直接用平方差公式将因式分解。

答案：（x+4）（x-4）点评：等式变形是代数计算中的一个重要组成部分，熟练掌握平方差、完全平方公式是进行代数变形的基本能力。

6.【解析】本题考查了因式分解的方法.掌握平方差公式是关键.运用平方差公式分解即可【答案】a 2-4b 2=（a+2b ）(a-2b) .【点评】本题主要考查了因式分解，分解因式的步骤是：有公因式先提取公因式，提公因式后能运用公式分解，再运用公式进行分解．7.【解析】根据完全平方公式a 2+2ab+b 2=(a+b)2进行因式分解，a 2-6a +9=(a-3)2 ．【答案】(a-3)2【点评】本题考查了运用完全平方公式因式分解，也有部分同学没有理解因式分解的意义．8.解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就能判断出只有D 项可以. 解答：解：22)1(12-=+-m m m 故选D ．点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分解到每个因式不能再分为止.9.【解析】直接利用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)分解即可．【答案】．=36-x 2（x+6）（x-6）【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．10.【解析】A 选项–x 2+(–2)2=22–x 2=(2–x )(2+x )，所以A 错；B 选项，应是x 2–2x +1=(x –1)2，所以B 错；D 选项x 2–4x =x (x –4)，所以D 错。

【答案】C【点评】本题考查了因式分解中的平方差公式、完全平方公式和提公因式的运算。

11.【解析】用平方差公式分解得x 2-9=（x+3)(x-3)【答案】（x+3)(x-3)【点评】本题考查用平方差公式分解因式,是比较容易的知识点.熟记公式是解决问题的关键.10. 3 综合法1.【解析】：2x 2-8=2（x 2-4）=2（x+2）（x-2）.【答案】：2（x+2）（x-2）【点评】：提公因式法和运用公式法是初中分解因式的两种主要方法，本题旨在考查对这两种方法以及乘法公式的运用能力.难度较小.2.【解析】先提公因式得，)9b 6b -(196-a 22+=+a ab ab ；再利用完全平方式得，)9b 6b -(12+a =23b)-(1a 【答案】23b)-(1a【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方式进行二次分解，注意分解要彻底．3.解析：对于2()x a b x ab +++型二次三项式的因式分解，只要把常数项分解成两个因数的积，而一次项系数正好等于这两个因数的和，那么就可以把它分解成()()x a x b ++。

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初中因式分解讲义

初中因式分解讲义

初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。

通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。

本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。

一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。

在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。

因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。

二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。

通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。

举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。

2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。

举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。

然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。

三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。

下面我们介绍几个典型的应用场景。

1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。

通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。

2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。

通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。

人教版因式分解全内容完整课件

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这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
七楼A座办公家园
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
只需找到多项式中的公因式，然 后用原多项式除以公因式，把所得 的商与公因式相乘即可。往往与其 他方法结合起来用。
提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m) 2）4(x+y)+4(x–3y)
七楼A座办公家园
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将 符合其形式的公式套进去即可完 成因式分解，有时需和别的方法 结合或多种公式结合。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘七。楼A座办公家园
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公约数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的。
七楼A座办公家园
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
初中生因式分解

初中生因式分解

因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。

对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。

例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。

例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。

例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。

例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。

例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。

例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。

因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。

因式分解分类讲解

因式分解分类讲解

因式分解分类讲解因式分解-提公因式法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式，提公因式法是因式分解的一种方法。

确定公因式的方法：1.系数公因式：取多项式中各项系数的最大公因数。

2.字母公因式：取多项式中各项字母的最小次数。

注意点：1.结果应该是因式乘积的形式。

2.必须分解到每个因式都不能再分解为止。

3.如果结果有相同的因式，必须写成因式乘积的形式。

公因式是多项式时，可把这个因式作为一个整体提出。

提取公因式时的注意点：1.首项为负数，一般要提出“-”号；在括号内的多项式的各项都要变号。

2.公因式是多项式时，可把这个因式作为一个整体提出。

3.底数需调整为同底数幂。

4.提公因式后，括号内有同类项必须合并同类项。

5.提公因式后，括号内的项数，不增不减，特殊是某一项为1，千万不要漏掉此项。

例1：把下列各式分解因式1）2a(x-2y)-3b(x-2y)解：公因式为(x-2y)，因此：2a(x-2y)-3b(x-2y) = (x-2y)(2a-3b)2）4x^2-12xy+9y^2解：首先，可以看出括号内的公因式为(2x-3y)^2，因此：4x^2-12xy+9y^2 = (2x-3y)^23）2a(x-2y)^2+b(2y-x)^3解：公因式为(x-2y)，因此：2a(x-2y)^2+b(2y-x)^3 = (x-2y)^2(2a+b(2y-x))4）(x-y)^2-3(y-x)^3+2(y-x)^4解：公因式为(y-x)^2，因此：x-y)^2-3(y-x)^3+2(y-x)^4 = (y-x)^2(-2(y-x)+2(y-x)^2-3(y-x)^2) = (y-x)^2(-y+x)^222）a(x2y)3b(2y x)4c(x2y)4）15b(3a b)25(b3a)36）(a x)m1(b x)n1(a x)m(b x)n2.4xy-6x2y3+2xy4 can be factorized as 2xy(2-y)(y+1).2a(x-2y)-3b(2y-x)-4c(x-2y) can be simplified as (2a-3b-4c)x+(4b-2a)x.15b(3a-b)2+25(b-3a)3 can be factorized as 5b(3a-b)(13b-27a).To calculate 299-298 using n。