抽屉原理

抽屉原理一、抽屉原理定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

二、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝x ()()11x n - ，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里三、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。

分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。

这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。

根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。

观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。

”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

四、应用抽屉原理解题例举1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同则最少要取出多少个球？解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。

这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。

试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 六种。

共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。

如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜试证明：一定有两个运动员积分相同证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理２。

解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。

以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9＝5 (5)由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。

所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。

许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。

”这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。

如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。

考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。

根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。

如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。

不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

例1．A、3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。

B、5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了（）块手帕。

C、6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有一个鸽笼至少飞进（）只鸽子。

例2、三个小朋友在一起玩，请说明其中必有两个小朋友是同性别。

例 3. 三年一班有13名女生，她们的年龄都相同，请说明，至少有两个小朋友在一个相同的月份内出生。

例4. 任意三个整数中，总有两个整数的差是偶数。

例5．有10个鸽笼，为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子（可以不住鸽子），那么鸽子总数最多能有几只？请用抽屉原理加以说明。

例6. 某班有37个学生，最大的10岁，最小的8岁，问：是否一定有4个学生，他们是同年同月出生的？例7、有红袜2双，白袜3双，黑袜4双，黄袜5双，（每双袜子包装在一起）若取出9双，证明其中必有黑袜或黄袜2双.1．6只鸽子飞进了5个鸟巢，则总有一个鸟巢中至少有（）只鸽子；2．把三本书放进两个书架，则总有一个书架上至少放着（）本书；3．把7封信投进3个邮筒，则总有一个邮筒投进了不止（）封信。

4．1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有（）只鸽子。

5．从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。

我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了（）个苹果。

6．从（）个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果。

7、有红袜2双，白袜3双，黑袜4双，黄袜5双，（每双袜子包装在一起）若取出9双，证明其中必有（）袜或（）袜.8、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，一定有至少（）个学生，他们是同年同月出生的。

9、黑、白、黄三种颜色的袜子各有很多只，在黑暗处至少拿出( )只袜子袜子就能保证有一双是同一颜色的？10、一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽（）张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。

11、在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么。

12、学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？13、11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同14. 王叔叔参加飞镖比赛，投了6镖，成绩是49环。

张叔叔至少有一镖不低于9环。

为什么？15、对于数据2、4、4、5、3、9、4、5、1、8，其众数、中位数与平均数分别为（）。

A 4, 4, 6B 4, 6, 4.5C 4, 4, 4. 5D 5, 6, 4.516、对于数据2，2，3，2，5，2，10，2，5，2，3，下面的结论正确有（）。

①众数是2 ②众数与中位数的数值不等③中位数与平均数相等④平均数与众数数值相等。

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个17、下面记录的是六（1）班第一组学生期中考试成绩（单位：分）83、89、81、55、62、70、78、94、84、97、86、100、66、75请根据上面的记录的分数填写下表，并回答问题。

（1）该小组的平均成绩是（）分。

（2）优秀率（接满分80分以上计算）是（）%。

（3）及格率是（）%。

（4）优秀学生比其他学生多（）人，多（）%。

18、培英小学六年级一班第一小组在一次数学测验中，有3人得100分，4人得96分，其余5人共得348分。

第一小组这次数学测验的平均成绩是多少分？19、全班45人，教师至少拿来（）本书，才能保证至少有1 人得到 2本或2本以上？20、有红、黄、蓝三种颜色各10个，放在口袋里，为保证一次取到2颗颜色相同的珠子，至少一次取几个？21、红、黄、绿、白四种颜色纸花若干，扎成花束，每一枝花束上扎任两种颜色各一朵，扎几朵才能保证有2束或2束以上花色相同？22、一副扑克，至少抽几张，才能保证有4张同一花色？（包括大、小王）23、从1-12这12个数中任意取6个，两数之差是6的至少有（）对。

24、某省4千万人，每人头发不超过15万根，至少（）人头发根数一样？25、红、白、蓝木块各10块，至少取几块，才能保证至少3块颜色相同？26、5个同学练习投篮，共投41个球，投球最多的投进几个？。