中考数学总复习学案：第7课时 一元二次方程

《一元二次方程》复习学案学 习目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、 分解因式法），一元二次方程根的判别式. 实际问题与一元二次方程.考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)1．以下方程中①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③2．关于x 的方程(a 2-a-2)x 2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）A ．a≠-2且a=1B ．a≠2C ．a≠2且a≠-1D ．a=-1考点二、一元二次方程的根1．已知关于x 的一元二次方程（k+4）x 2+3x+k 2+3k-4=0的一个根为0，求k 的值．2．已知t 是方程x 2－x －1=0的一个解，则－t 3＋2t 2＋2 002的值为（ ）．A ．2 001B ．2 002C ．2 003D ．2 0043．设t 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实数根，则24N b ac =-与2(2)M at b =+的大小关系是（ ）．A ．N M <B ．N M =C ．N M >D ．不能确定考点三、一元二次方程的解法直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)配方法公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=01．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x2．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --= （2）0152=++y y3．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --= （2）2227x x +=4．用因式分解法解下列各方程：（1）04542=-+y y （2）2(1)2(1)3x x +-+=考点四、一元二次方程根的判别式知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，注意分类讨论；2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；4．解决一元二次方程的整数根问题.5．进行有关的证明,1．已知关于x 的二次方程0962=+-x kx ，那么：（1）当k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）当k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）当k 满足 时,方程无实数根.2．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是 ． 3．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；4．已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点五：实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。

初三数学 班级 姓名一元二次方程（复习课导学案）复习目标1．了解一元二次方程的有关概念。

2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。

5． 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。

重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。

复习流程考点呈现考点1：一元二次方程的概念例1 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.3（x+1）2=2(x+1)B.02112=-+x xC.ax 2+bx+c=0D.x 2+2x=x 2-1 解析：构成一元二次方程（一般形式）必须同时满足以下条件：①整式方程；②二次项系数不为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.选项B 不满足①，C 不满足②，D 不满足④.故选Ａ.考点2：一元二次方程的根例2已知x=-1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222-n mn m +的值为 ．解析：把x ＝-1代入一元二次方程，得m-n ＝1, 则m 2-2mn+n 2＝(m-n) 2＝1．考点3：一元二次方程的解法例3 方程x(x －1)＝2的解是（ ）A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x 1＝1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝2解析：将原方程化为一般形式为x 2-x-2＝0，用公式法解得x 1＝-1，x 2＝2. 故选D.例4方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．解析：方法一：去括号，整理得 x 2－x －6＝0.用公式法解得x 1＝－2，x 2＝3.方法二：移项，提取公因式x ＋2，得 (x ＋2)(x －3)＝0.解得x 1＝－2，x 2＝3．点评：解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用，讲究解法技巧，准确、迅速．考点4：一元二次方程根的判别式例5已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．解析：一元二次方程有实数根，即满足b 2-4ac ≥０且a ≠0.由题意，得1-4(m-1)≥0且m-1≠0.解得m ≤54且m ≠1. 例6若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.解析：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，∴b 2-4ac=244121680k k -⨯⨯=-≥.解得2k ≤.∴k 的非负整数值为0,1,2.考点5: 一元二次方程的应用问题例7 20XX 年5月，中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到20XX 年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元.（1）求从20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率.（2）若20XX 年至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元.解析：（1）设从2010至20XX 年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意，得 ()2518.45x +=.解得x 1=0.3=30%,x 2=-2.3(不合题意,舍去).答略.（2）这三年共投资()5518.45x +++=5+5×(1+0.3)+8.45=19.95(亿元). 答略.误区点拨一、概念理解不清致错例1 关于x 的方程（m +2）22m x -+2（m -1）x-1=0，当m= 时，该方程是一元二次方程.错解：当m ²-2=2， 即m=±2时，原方程是一元二次方程.剖析：错解忽视了一元二次方程定义中二次项系数不等于0这一条件.正解：m=2.二、解方程出错例2用公式法解方程4722=+x x ．错解：∵a=2,b=7,c=4,b 2-4ac=72-4×2×4=17,∴x=22177⨯±-. 4177,417721--=+-=∴x x .剖析：用公式法解方程时应先将方程化为一般形式，错解忽视了这一点，出现常数项c 错误.正解：原方程化为.04-722=+x x∵a=2,b=7,c=-4,b 2-4ac=72-4×2×（-4）=81,∴x=22817⨯±-. ∴12142x x =-=，． 三、思维定势例3若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围.错解：由 m 2－1≠0 ， 解得 m ≠±1，b 2-4ac =［－2（m+2）］2－4（m 2－1）≥0 ， m ≥ 54-. 所以m 的取值范围是m ≥54-且m ≠±1. 剖析：题设中的方程没有明确指出是一元二次方程，因此方程也有可能为一元一次方程，此时有 m 2－1=0且－2（m+2）≠0， 解得m=±1 .正解：m ≥54- 时，原方程有实数根. 四、忽视检验根是否符合题意致错例4 新华中学八年级同学参加“手拉手”活动，甲班同学（人数不超过60人）全体都参加此项活动，共捐书300本；乙班同学有30人参加此项活动，共捐书260本，这两个班参加此活动的同学人均捐书比甲班人均捐书多1本，甲班有多少名同学？错解：设甲班有x 名同学.依题意,得300300260130x x +=-+．化简整理，得 223090000x x -+=．解得 1250180x x ==，．所以，甲班有50名或180名同学．剖析：方程的根没有检验是否符合题意，忽视了“甲班同学（人数不超过60人）”这个已知条件．正解：在错解的基础上，求得x 1=50,x 2=180.由于甲班同学人数不超过60人，所以50=x ，即甲班有50名同学．跟踪训练1．方程（k+2）x |k|+3kx+1=0是关于x 的一元二次方程，那么k 的值是（ ）A ．k=±2 B．k=2 C ．k=－2 D ．k≠±22.用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t 2-7t-4=0化为1681)47(2=-t D. 3y 2-4y-2=0化为910)32(2=-y3．如果方程x 2＋mx ＋12=0的一个根是4，则另一个根和m 的值分别是( )A ．3 -7B ．3 7C ．-3 7D ．-3 -74．用公式法解方程x 2－3x －1=0，正确的解为（ ）A ．x 1=2133+-，x 2=2133--B ．x 1= 253+-，x 2= 253-- C ．x 1= 253+ ，x 2= 253- D ．x 1=2133+，x 2=2133- 5.如果关于x 的方程220x x a -+=有两个相等的实数根，那么a= .6．定义新运算“*”，规则：()()a ab a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩，如122*=，(=若x 2+2x-3=0 的两根为12,x x ，则12x x *＝ ．7．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场.设共有x•个队参加比赛，则可列方程为__________．8．等腰△ABC 中，BC=8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．解：（1）当AB 或AC 的长为8时，64－10×8+m=0，所以m=_____；（2）当AB=AC 时，方程x 2－10x+m=0有两个相等的实数根，则b 2－4ac=0，即______，所以m=____．9．阅读下列解题过程，并解答后面的问题．用配方法解方程2x 2－5x －8=0．解：原方程化为x 2－5x －8=0． ①配方，得x 2－5x+（－52）2=8+（－52）2． ② 所以（x －52）2=574． ③解得x 1，x 2④ （1）指出每一步的解题根据：①______；②______；③_______；④_______．（2）上述解题过程有无错误，如有，错在第______步，原因是_________．（3）写出正确的解答过程．10. 一块矩形耕地大小尺寸如下图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？中考零距离1.(20XX 年芜湖市)关于x 的方程（a-5）x 2-4x-1=0有实数根，则a 满足（ ）A.a ≥1B.a>1且a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠52.（20XX 年毕节市）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人3.（20XX 年眉山市）一元二次方程2260x -=的解为_______．4.（20XX 年清远市）方程2x(x-3)=0的解是 .5.（20XX 年新疆维吾尔自治区）解方程：2x 2－7x ＋6＝0.6.（20XX 年武汉市）解方程:x 2+x-1=0.7.（20XX 年天津市）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻20XX 年平均每公顷产8 000 kg ，20XX 年平均每公顷产9 680 kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x.（Ⅰ）用含x 的代数式表示：① 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为 ；② 20XX 年种的水稻平均每公顷的产量为 ；（Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ；（Ⅲ）解这个方程，得 ；（Ⅳ）检验： ；（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.8.（20XX 年安徽省）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m 2 ,下降到5月份的12600元/m 2.1）问：4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m 2？请说明理由．跟踪训练答案1.B2.B3.A4.D5.16. 1 7．x （x －1）=90 8. （1）16 （2）100－4m=0 259．（1）①二次项系数化为1 ②移项，方程的两边都加上一次项系数一半的平方 ③方程左边化为完全平方式 ④用直接开平方法解方程（2）① 常数项和一次项系数未同时除以2（3）x 1，x 2（过程略） 10. 解：设水渠应挖x 米宽.根据题意，得(162-2x)(64-4x)=9600 ,即x 2-97x+96=0.解得 x 1=1,x 2=96(不合题意，舍去) .答：水渠应挖1米宽.中考零距离答案1.A2.B3.x=4.x 1=0，x 2=35.21=x ,232=x .6.251-1+=x , 25-1-2=x . 7.解：（Ⅰ）①8000(1)x + ②28000(1)x +（Ⅱ）28000(1)9680x += （Ⅲ）10.1x =，2 2.1x =- （Ⅳ）10.1x =，2 2.1x =-都是原方程的根，但2 2.1x =-不符合题意，所以0.1x = （Ⅴ）108.解：（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为x.根据题意，得12600)1(140002=-x . 化简，得9.0)1(2=-x . 解得95.1,05.021≈≈x x （不合题意，舍去）.因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%（2）如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为10000113409.012600)1(126002>=⨯=-x ,所以7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m 2.。

一元二次方程中考复习学案一、考纲要求1、了解一元二次方程及其相关概念，掌握一元二次方程的一般形式。

2、理解配方法，能用配方法、公式法、分解因式法解数字系数的一元二次方程。

3、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。

4、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

5、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

二、教学重、难点：重点：理解配方法，能用配方法、公式法、分解因式法解数字系数的一元二次方程和利用一元二次方程解决实际生活中的问题。

难点：利用一元二次方程解决实际问题和转化思想方法的运用.三、教法与学法：教法：针对九年级学生复习时的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索归纳法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。

引导学生自主探索，合作交流，归纳总结。

提高学生的思维能力，激发学生的思维积极性，基本教学流程是：总体感知—分类探讨—问题解决—课堂小结—布置作业五部分。

学法：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，回顾和获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

三、教学过程设计（一）整体感知（知识结构）：（二）专题复习：专题一：一元二次方程的概念1、下列方程是一元二次方程的是（ ）A 、x =0B 、3x² - y -1=0C 、4x-x²=0D 、ax² +ｂx+c=02、将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x 2-5化为一般形式为________________,其中二次项系数是_________ ，常数项是__________。

3、 当m_________时，方程mx 2-3x=2x 2-mx+2 是一元二次方程， 当m__________时，方程(m 2-4)x 2-(m+2)x-3=0是一元一次方程。

专题二：一元二次方程的解法：1、解方程x 2+12x=0时，最合适的解法是（ ）A 、直接开平方法B 、配方法C 、公式法D 、因式分解法2、用配方法解方程4y 2+8y-4=0，在将二次项系数化为1后，应做的变形是（ ）A 、方程两边同加上2y 2B 、方程两边同加上2yC 、方程两边同加上1D 、方程两边同减去13、方程（x-2)2=12的解是______________中考链接：解方程3x(x-2)=2(2-x)专题三：一元二次方程的根的判别式1、下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A 、04322=-+x xB 、y y 249162=+ C 、()07152=-+x x D 、5322=-x x 2、关于x 的方程x 2-(k+1)x-k=0根的情况是_________________。

课题：第7讲一元二次方程教学目标：1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法解一元二次方程；2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等；3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题；4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 教学重点与难点：重点：熟练用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程.难点：会用根的判别式，根与系数的关系解决有关根的问题.课前准备:教师准备：设计导学案、制作多媒体课件．学生准备：尝试完成导学案、阅读课本九（上）第二章．教学过程：一、激趣导入，预习展示[师]知识在于积累，能力在于训练，这节课我们一起来重点回顾一元二次方程的概念、解法和应用，查缺补漏，以求厚积薄发.希望人人达标过关！大家有没有信心？〖适时课题板书：第7讲一元二次方程.〗【设计意图】本环节主旨在于激起学生学习的积极性，语言中有对章节复习的重要性的渗透，有复习重点的渗透，有树立学生信心的目标，旨在调动学生的积极性和学习的欲望，实现了导入的目的．【活动内容】请大家在5分钟内阅读《丛书》29页考试要求，独自完成问题填空，再小组合作交流，形成小组的研讨成果.【处理方式】学生独立完成问题填空，对本讲进行知识梳理，明确自我知识漏洞.再积极的小组内交流收获,弥补知识、方法漏洞，共同构建知识结构网络.展台展示.【设计意图】通过课前导学案学生先独自回忆了本专题知识，课上再和小组交流，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系，教师选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做课本知识面面俱到．为后面的题组训练打好基础，以帮助学生更好的掌握本章知识．一元二次方程是初中数学学习的重要内容,是通过数学建模(方程模型)解决实际问题的重要手段．考查涉及一元二次方程的定义、解法以及运用一元二次方程解决实际问题,并根据新课标的补充规划,对一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数的关系进行了适当考查；考查一元二次方程与函数、几何综合运用也是本章的热点考题．考试类型小到填空与选择,中到简答,大到综合与压轴．新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.（让学生了解、明确中考对本知识点的要求，使学生复习过程中明确复习的方向.）二、典题尝练，互查反馈【活动内容】[师]同学们表现得真棒!我们再来完成“A 组：（必做题）”，看谁表现的优秀．(限时7分钟独立完成).1．（2011•江苏南通）已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是（ ）A.－5B. 6C. －6D. 52．（2014年•云南省）一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（ ）A ．x 1=1，x 2=2B ．x 1=1，x 2=﹣2C ．x 1=﹣1，x 2=﹣2D ． x 1=﹣1，x 2=2 3．用配方法解关于x 的一元二次方程2230x x --=，配方后的方程可以是（ ）A 、()214x -=B 、()214x +=C 、()2116x -=D 、()2116x +=4．（2014•四川自贡）一元二次方程x 2﹣4x +5=0的根的情况是（ ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 只有一个实数根D ． 没有实数根5．（2014·昆明）已知1x 、2x 是一元二次方程0142=+-x x 的两个根，则21x x ⋅等于（ ）A . 4-B . 1-C . 1D . 46．（2014年山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A ．（3+x ）（4﹣0.5x ）=15B ．（x +3）（4+0.5x ）=15C ．（x +4）（3﹣0.5x ）=15D ．（x +1）（4﹣0.5x ）=15【处理方式】 学生先独立完成再小组交流，做错的题小组内帮助分析原因并纠错.老师巡视必要时给与精当点拨．具体处理时，第3、4题可让学生板书，其余题目口述考查的知识点以及解题思路和方法．【设计意图】A 题组主要是帮助学生复习回忆一元二次方程的解，一元二次方程的解法、应用，以及根的判别式和根与系数的关系公式.这些都是基础知识和基本技能的再现，所以，处理的方式都是让学生自行完成，并学生总结归纳知识点和方法，其中第1题考查学生对定义的掌握情况，第2、3题考查一元二次方程的解法，第4题是根的判别式求解字母的取值范围，第5题是根与系数的关系公式训练，第6题涉及一元二次方程在实际中的应用问题．【活动内容】 [师]同学们表现都很棒！我们再来完成“B 组：（选做题）”．1．已知关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为______.2．（2011•甘肃兰州）关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x 1=－2，x 2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 ．3．（ 2014•广西贺州）已知关于x 的方程x 2+（1﹣m ）x +=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是 ．【 处理方式】 各小组代表，黑板板演.小组间批阅、错误剖析.教师鼓励评价各组表现情况.【设计意图】设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，要求独立限时完成.这样的设计，不是简单的让学生重复概念及其做法，而是通过题组检查的形式以题代知识点．三、范例导航、方法总结[师]通过上面题组的研究，同学们能不能总结一下本节的考题类型呀？【活动内容】下面请同学们以小组为单位进行总结归纳.【处理方式】 小组合作探究后交流整理.并展示小组的成果．【设计意图】设计本环节目的是让学生自行研讨考题类型，以备学生有的放矢的进行复习和练习，以寻求应对策略，增强学习的针对性.[师]同学们表现得真棒!下面我们通过几个例题深入复习一元二次方程.（2014•襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x ﹣m=0的一个根，则a的值是．【点拨与解】[师]谁来介绍一下这题所考查的知识及做题思路.学生回答、补充完成.【反思回味】若已知方程的根，求其他字母或代数式的值，关键是将这个方程的根带入原方程，进而求得字母或代数式的值.（口诀：给解就代入）【跟踪练习】1.（2013•滨州）若x=2是关于x的方程2250--+=的一个根，则a的值为 .x x a2.（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【参考答案】1. 2.B【设计意图】通过学生口答互评的方式，复习巩固一元二次方程根的意义.由简单知识展开复习，激发了全体学生投入复习的热情，从而保证后续复习的开展.[师]很好！本节的重点是选择恰当方法正确解出一元二次方程，请大家完成例2.【活动内容】请在下式的横线处填入一个整式：26__0-+=，使它分别最适合用直x x接开平方法，因式分解法，配方法，公式法来解答.【点拨与解】[师]经过一元二次方程解法的探究，大家已经明确了一个一元二次方程的简便解法应根据所给方程的特点所决定的．你能快速的完成上题吗？请小组间竞赛完成．【处理方式】一组填值，一组解答.（思考并尝试解决，2分钟后各小组同学分组交流.）各小组的每一名组员都要分担一项任务．教师点评得分，鼓励学生学习的积极性.[师]请大家总结用公式法和配方法的关键点.学生独立思考，作答．【设计意图】一元二次方程的解法是本章的重点，通过设置开方型题目，让学生进一步熟悉根据方程特征采用适当的解法，让学生进一步体会各解法之间的联系及熟练地根据方程的特征选择适当解法．【跟踪练习】解方程：1．（浙江温州）225-=．x x2．（湖南永州）()2390x--=．3．（菏泽）(1)(1)2(3)8+-++=．x x x【反思回味】1．形如()2-=的方程可以用直接开平方法求解较为简便．x k h2．千万记住：①方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；②当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的时候可以用配方法求解；③当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的．公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先．．．．．考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）【教学建议】引导同学积极参与，数学成绩优秀的同学负责直接开平方法，因式分解法，数学成绩一般的同学负责配方法，公式法.经过这一轮的训练学生更加熟悉了一元二次方程的解法，能深刻把握各种解法的步骤和注意事项.[师]在一元二次方程的四种解法中，公式法及配方法是万能方法，直接开平方法和分解因式法是特殊方法，我们要选择恰当的方法解一元二次方程.有时我们不解方程也能判定方程根的情况，请大家思考下面的例题.已知关于x的方程()21230-+++=，当m为何值时，．（在横线m x mx m上试补充有关根的情况，然后完成计算．）【处理方式】教师：将题目分到各组完成、展示.学生：先独立思考解答，然后交流并派代表板演，做好展示准备.【设计意图】设计开放性题目,学生在参与题目的设计中，复习根的判别式与一元二次方程的关系，同时将方程的根全面扩充至一元一次方程，正因如此也锻炼了学生分类的数学思想，从而增强了学生思维的严谨性.【跟踪练习】1．（2014•广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．2．（四川广安改编）已知关于x 的方程．．2(1)210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、2a ＞B 、2a ＜C 、21a a ≠＜且D 、2a -＜【参考答案】1、13k ≥，且k ≠0. 2、B. 【反思回味】利用根的判别式解决问题，方程要先化为一般形式再求判别式，同时注意在这里二次项系数．．．．．k 不能为零．．．．；要注意运用分类的数学思想考虑全面；注意读题的重要性．．．．．．. [师]一元二次方程的根与系数有关系也是中考一重要考点，请大家完成例4巩固这一知识点.（1）设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①1211x x +＝ ； ② 2212x x +＝ ；③12(2)(2)x x ++＝ .（2）（2013•遵义）已知x=﹣2是方程x 2+mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 ．（3）（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn +3m +n = ．【 处理方式】 （1）题由三位同学自发板书，（2）题小组竞赛，几个学生分别回答不同的解题方法，渗透一题多解的思想.（3）题小组活动、探讨，交流激烈，气氛活跃.（留给学生足够的时间探索）[师]第（3）题考查一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值.想一想如何把223m n mn ++转化含m n +和m n ⋅的代数式？ 【设计意图】这三个题是根与系数关系的三个典型的应用．（1）题是利用根与系数的关系求有关根的代数式，三个小题代表了三个类型，遇到分母就通分，遇到括号就展开，遇到平方就用完全平方式；（2）题可以将根代入再求解，也可以利用根与系数的关系，体现了一题多解的思路；（3）题是利用根与系数的关系，求代数式的值，此类题要注意转化思想的训练。

第7课时：二次方程（组）【课前预习】 （一）知识梳理1、一元二次方程，二元二次方程（组）的定义。

2、一元二次方程的解法，基本思想是降次，常用方法是直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法。

3、二元二次方程组（一个是二元一次方程、一个是二元二次方程）的解法，基本思想是消元、降次，常用方法代入消元法。

（二）课前练习2221.3(1)2(2)40 .2. .3.7100 .4.1)(21x x x x x x x x m x m --+-==-+=-++将方程化成一元二次方程的一般形式，得，一次项系数是，二次项系数是方程的根是若一个三角形的三边长均满足方程，那么此三角形的周长是关于的一元二次方程（2)100 .x m m +-=的一个根为，那么的值是 5.下列关于x 的方程：2232223(1)230,(2)20,(3)5,(4)1x x x x x x y x--=-+=+=+= 其中是一元二次方程的有 . 6.用规定方法解下列方程：（1）()22132x -=（开平方法与因式分解法） （2）242x x +=（配方法与公式法）【解题指导】2221.1310 (2)3 (3)3250x x x x x +-=+=--=例解下列方程：（）2261102.210x y y x y ⎧-+-=⎨--=⎩例解二元二次方程组：3.2)340x ( ). . . . mm x mx m m m m -+-==±==-≠±A 2B 2C 2D 2例方程（是关于的一元二次方程，则例5.m 为何值时，方程组 2y 12xy 3x m ⎧=⎨=+⎩有两个相同的实数解.【巩固练习】()2222221.150 .2.210,4 .3.1 5 (2)( (3)(4)(32)110m x mx m a a a a x x y x x -+-=-+=-=-=+=+-+=方程是关于x 的一元二次方程，则满足的条件是若则2解下列方程：（）4.请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．22520111; (2) 2830x y x y xy x y -=+=⎧⎧⎨⎨=-+=⎩⎩.解下列方程组：（）【课后作业】 班级 姓名一、必做题:1、已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．0 D ．0或3 2、用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ） A ．（1)22=+x B ．1)2(2=-x C ．9)2(2=+x D ．9)2(2=-x 3、一元二次方程2520x x -=的解是（ ）A ．x 1 = 0 ，x 2 =25B ． x 1 = 0 ，x 2 =52-C ．x 1 = 0 ，x 2 =52D ． x 1= 0 ，x 2 =25-4、下列说法中，正确的是（ ）A ．如果a b c d b d ++=，那么a cb d= B 3C ．当1x <D ．方程220x x +-=的根是2112x x =-=，5、方程(x-1)2=4的解是 .6、请你写出一个两根分别为2，3的一元二次方程： ．7、若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．8、若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.9、用配方法解方程542=-x x 时，方程的两边同加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 10、解方程：（1）2(3)4(3)0x x x -+-=． （2）2230x x --=（3）2310x x --=． （4）0)3(2)3(2=-+-x x x（5）2213x x +=. （6）x 2－6x ＋1＝0．11、解方程组：（1）27x 6xy 82x 3y 5⎧-=⎨-=⎩ （2）二．选做题：1、若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-22、方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =3、2(3)5(3) .x x x -=-一元二次方程的根为4、2222()4()120,1 .x x x x x x x ----=-+已知实数满足则代数式的值为5、用适当的方法解关于x 的方程（1）064)94(32=+--x x （2）032)26(2=+++x x6. 222222)(1)-120,+y x y x y x +-+=已知（求的值。

九年级数学《一元二次方程》小结与复习学案学子教育一对一辅导九年级数学《一元二次方程》小结与复习学案一元二次方程的概念教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax?bx?c?0（a≠0） 2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。

3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2．理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：一、做一做：问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。

其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b222叫做一次项系数，c叫做常数项。

. 三、例题讲解与练习巩固例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

x?22?1?x222x?4?(x?2)x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4）例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：226y?y(x?3)(3x?4)?(x?2)（1）（2）（x-2）(x+3)=8 （3）说明：一元二次方程的一般形式ax?bx?c?0（a≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。

12学子教育一对一辅导例3、方程（2a―4）x ―2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2例4 、已知关于x的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

江苏省２017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程(组)与不等式（组）第7课时一元二次方程及及应用练习(含解析）编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2０17年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程(组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及及应用练习(含解析)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第二章方程(组)与不等式(组)第7课时一元二次方程及其应用（建议答题时间:60分钟)基础过关1。

（2016厦门)方程x2-2x＝0的根是（）A．x1=x2＝0 B。

ｘ1＝x２=２C. x1=0,x２＝2 Ｄ. ｘ1＝0,x２＝－2２。

（20１６昆明)一元二次方程ｘ2-４x＋4=0的根的情况是( )A。

有两个不相等的实数根Ｂ。

有两个相等的实数根Ｃ．无实数根D. 无法确定3。

(2016新疆)一元二次方程ｘ2-6ｘ-5＝０配方后可变形为（）Ａ。

(x－3)2=14 Ｂ．(ｘ-3)２＝４C. (ｘ+３）2＝14D. （x＋3）２=4４。

（2016潍坊)关于x的一元二次方程ｘ2-＼ｒ(2）x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于（）A．１5°B．30°C。

4５°D。

60°5。

(20１6绵阳)若关于ｘ的方程x2-2x＋ｃ＝0有一根为-1,则方程的另一根为（）A。

-1 B。

-３C．１D。

36. （201６烟台)若x１,ｘ2是一元二次方程ｘ２－2x-１＝０的两个根，则ｘ错误!-x1+x2的值为( ）Ａ。

中考数学复习第7课时《一元二次方程及其应用》教学设计一. 教材分析《一元二次方程及其应用》是中考数学复习的第7课时，主要内容是一元二次方程的解法、应用以及解一元二次方程的方法。

本节课的内容在初中数学中占据重要地位，是学生进一步学习高中数学的基础。

教材从实际应用出发，引导学生认识一元二次方程，并通过例题和练习使学生掌握一元二次方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、乘除以及不等式的解法等基础知识。

但部分学生在解决实际问题时，还不能很好地将数学知识与实际应用相结合。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导，帮助学生提高解题能力。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。

2.能够应用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的解法。

2.如何将一元二次方程应用于实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

2.通过例题讲解和练习，使学生掌握一元二次方程的解法。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的基础知识课件，以便在教学中进行复习。

2.准备一些实际问题，用于引导学生应用一元二次方程解决实际问题。

3.准备课堂练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件回顾一下之前学习过的基础知识，如整式的加减、乘除以及不等式的解法等。

然后，提出一个问题：“如何求解一个二次方程？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题，如“某商品的原价是100元，降价20%后，售价是多少？”引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

然后，通过讲解和示范，介绍一元二次方程的解法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，检验学生对一元二次方程解法的掌握程度。

九年级数学复习教案一元二次方程教学目标：1、能熟练的解一元二次方程2、能应用根的判别式和根与系数关系解决问题重难点：判别式和根与系数关系的应用教学过程：基础知识回顾一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax 2=b 则X 2= X1= X2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A. B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等数根②当时，方程看两个相等数根③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】四、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2则x1+x2= x1x2=【重点考点例析】考点一：一元二次方程的解例1 若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．2012对应训练1．已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是．考点二：一元二次方程的解法例2 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2例3 用配方法解方程x2-2x-2=0．例4 解方程：x2-3x-1=0．对应训练2．一元二次方程x2-3x=0的根是．3．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+ 5，若x★2=6，则实数x的值是．4．解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．考点三：根的判别式的运用例5已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．对应训练5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=06．若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2 B．1 C．0.5 D．0.257．已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠18．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．9．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC 的一个内角．（1）求sinA的值；（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC 的周长．考点四一元二次方程根与系数关系例六、已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．对应训练10．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是系统总结：达标检测：1．（3分）关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k≤0 C．k＜0且k≠﹣1 D．k≤0且k≠﹣12．（3分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是．3．（3分）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2= 4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于35．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是6．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．。