七年级下册几何知识点及典型例题

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。

七年级下册数学几何知识点归纳
以下是七年级下册数学几何的一些主要知识点归纳：
1. 图形的认识与分类：点、线、面的基本概念；平面图形的分类，如三角形、四边形、多边形等。

2. 三角形与四边形：三角形的分类（等腰三角形、等边三角形、直角三角形等）；四边形的分类（矩形、正方形、菱形、梯形、平行四边形等）。

3. 角的认识与性质：角的基本概念；角的分类，如锐角、钝角、直角等；相邻角、对顶角等角的性质。

4. 相似与全等：两个图形的相似性质（对应角相等，对应边成比例）；全等图形的性质（对应边相等，对应角相等）。

5. 直线与平行线：直线、射线、线段的定义；平行线的性质及判定方法。

6. 三角形的面积：三角形面积的计算公式；利用底边和高计算三角形面积。

7. 四边形的面积：矩形、正方形、平行四边形、梯形的面积计算公式。

8. 圆的认识与性质：圆的基本概念，圆心、半径、直径等；圆的周长和面积计算。

9. 平移、旋转和翻折：图形的平移、旋转和翻折变换，以及相应的性质。

10. 坐标系与图形：坐标系的建立和使用；点的坐标，直线和图形的坐标表示。

这些是七年级下册数学几何的主要知识点，你可以根据自己的学习进度和课本内容深入学习和理解这些概念和性质。

七年级数学下册知识点汇总 第五章 相交线与平行线一、知识网络结构二、知识要点 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ，垂直是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。

如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 ，另一条边互为反向延长线的两个角是邻补角。

邻补角的性质： 邻补角互补 。

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。

垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。

6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：①在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样 的两个角叫 同位角 。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧平移命题、定理的两直线平行：平行于同一条直线性质角互补：两直线平行，同旁内性质相等：两直线平行，内错角性质相等：两直线平行，同位角性质平行线的性质的两直线平行　：平行于同一条直线判定直线平行　：同旁内角互补，两判定线平行　：内错角相等，两直判定线平行　：同位角相等，两直判定定义平行线的判定平行线，不相交的两条直线叫平行线：在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个角叫 内错角 。

七年级下册几何知识点七年级下册的几何部分主要包括平面图形、立体图形和几何变换三个方面。

本文将逐一介绍这些知识点，帮助读者全面理解这个阶段的几何学习内容。

一、平面图形1. 三角形三角形是由三条线段组成的图形。

三角形的种类包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形等等。

根据三角形的性质，我们可以学习到三角形内角和为180度、直角三角形满足勾股定理等基本知识点。

2. 四边形四边形是由四条线段围成的图形。

包括矩形、正方形、平行四边形、梯形等等。

四边形具备的性质有相邻两个内角互补、对角线互相平分等等。

圆是由圆心和圆周组成的图形。

圆上的任意一点到圆心的距离都是相等的，这个距离称为半径。

圆的直径是通过圆心，并且等于半径的两倍。

圆的周长和面积是我们需要了解的基本概念。

二、立体图形1. 三棱锥三棱锥是由一个三角形和三条棱围成的立体图形。

三棱锥的侧棱的长度均相等时，它是一个正三棱锥。

三棱锥的表面积和体积也是我们需要掌握的内容。

2. 三角柱三角柱是由两个相等的平行三角形和三条连通两个平行三角形的线段围成的立体图形。

三角柱的表面积和体积的计算方法也是我们需要掌握的知识点。

球是由所有到固定点距离相等的点组成的图形。

球具有的性质包括球心到任意一点的距离相等、球面的面积和体积等等。

三、几何变换几何变换是指平移、旋转、对称和放缩等操作。

通过这些操作可以将一个图形变换成另一个图形。

了解几何变换的基本概念和方法，对我们理解几何图形的结构与性质，具有重要的意义。

以上是七年级下册几何知识点的简单介绍，希望本文能够帮助读者在几何学习中更好的上手和理解。

七年级下册数学几何知识点数学是一门非常重要的科学，而几何则是数学中重要的分支之一。

几何涵盖了平面几何、立体几何等方面，今天我们就来讲述一下七年级下册数学几何知识点。

一、平面图形
1.三角形：三角形是最基本的平面图形之一，不同的三角形有不同的分类，例如按照边长分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2.四边形：四边形是具有四个顶点和四条边的平面图形。

不同的四边形有不同的分类，例如按照对边平行分为平行四边形和梯形，按照内角和分类可以分为矩形、正方形、菱形等。

3.正多边形：正多边形是所有边和角相等的多边形。

例如正三角形、正方形等。

二、空间图形
1.立体图形：立体图形有三个基本要素：面、棱、顶点。

按照形状分类可以分为正四面体、正六面体、正八面体等。

2.截面：截面是在立体图形内部平行于某个面的切面。

根据所截图形不同，可以分为正方形截面、圆形截面等。

三、几何运算
1.加、减、乘、除：这些是我们最基本的算术运算，也可以在几何运算中使用。

例如计算两个图形的面积之和或差。

2.相似与全等：相似和全等是两个非常重要的几何概念。

全等的两个图形必须在形状、大小、面积等方面完全相同，而相似的两个图形只是形状相似，大小不同。

3.投影：投影是指图形在某个方向上的投影。

例如，一个正方体在某个方向上的投影就是一个正方形。

本文介绍了七年级下册数学几何的一些知识点，其中包括平面图形、空间图形和几何运算。

这些知识点是学习数学和几何的基础，希望能够通过本文的介绍，对同学们的学习有所帮助。

七年级下数学知识点几何
在七年级数学中，几何是其中一个重要的知识点。

几何是研究空间形状、大小、度量和相互位置关系的学科。

以下是七年级下数学中几何部分的知识点：
1. 基本图形
在七年级下，会学习到各种不同的基本图形，包括点、线、线段、射线、角、三角形、矩形、平行四边形、梯形和圆等。

2. 角
角是由两条射线以一个公共端点组成的图形。

在七年级中，会研究角的种类和计算角度的方法。

特别是直角、锐角和钝角等角度的基本知识。

3. 三角形
三角形是几何学中的一种基本图形。

七年级下的重点将会是三角形的基本特征和分类方法。

学生需要掌握等腰、等边和直角三角形的知识，以及计算三角形的周长和面积的方法。

4. 四边形
四边形是由四条线段组成的图形。

在七年级下，将会学习到特殊的四边形，如矩形、正方形和平行四边形。

此外，还需要掌握计算四边形周长和面积的方法。

5. 圆
圆是几何学中的一种基本图形。

在七年级下，需要掌握圆周、圆心、弧和扇形等圆的基本属性。

其中，计算圆的周长和面积需要掌握公式。

6. 直线和平面
直线和平面是最基本的几何元素。

他们在七年级中的重要性在于，学生需要掌握它们的基本性质，并且能够在图形中正确地划分直线和平面。

综上所述，七年级下学期的几何部分是涉及基本图形、角、三角形、四边形、圆、直线和平面等知识点。

学生需要掌握这些基本概念，并且能够运用他们来解决实际问题。

同时，注意掌握基本公式，以便能够准确地计算图形的面积和周长。

第02讲平行线的判定和性质(10类热点题型讲练)1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件，并能解决一些问题；3．掌握平行线的性质与判定的综合运用；4．体会平行线的性质与判定的区别与联系．知识点01同位角、内错角、同旁内角的概念1.同位角、内错角和同旁内角：填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角.(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.知识点02平行线的定义及表示(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行(2)相交2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.知识点03平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.知识点04平行线的判定方法平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【总结】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.知识点05平行线的性质(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别【例题】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（）A ．5∠与4∠是对顶角B ．1∠与3∠是同位角C ．2∠与3∠是同旁内角D ．1∠与2∠是同旁内角【答案】D 【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握各角的定义是解题的关键．【详解】A 、5∠与23∠+∠是对顶角，故本选项错误，不符合题意；B 、1∠与34∠+∠是同位角，故本选项错误，不符合题意；C 、2∠与3∠没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；D 、1∠与2∠是同旁内角；故本选项正确，符合题意；故选：D ．【变式训练】1．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①1∠和4∠是同位角；②3∠和5∠是内错角；③2∠和6∠是同旁内角；④5∠和2∠是同位角；⑤1∠和3∠是同旁内角；其中正确的是（）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①②③④⑤D ．①②④⑤【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论．【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法．①1∠和4∠是同位角，即①正确；②3∠和5∠是内错角，即②正确；③2∠和6∠是内错角，即③不正确；④5∠和2∠是同位角，即④正确；⑤1∠和3∠是同旁内角，即⑤正确．故选：D ．2．（2023下·广东河源·七年级期中）如图，a ，b ，c 三条直线两两相交，下列说法错误的是（）A ．1∠与2∠是同位角B ．2∠与4∠是内错角C ．3∠与4∠是对顶角D ．1∠与3∠是同旁内角【答案】B 【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相关概念和判断方法．【详解】解：A ．1∠与2∠是直线a 、直线b 被直线c 所截，所得到的同位角，因此选项A 不符合题意；B ．2∠与4∠是直线a 、直线c 被直线b 所截，所得到的同位角，因此选项B 符合题意；C ．3∠与4∠是对顶角，因此选项C 不符合题意；D ．1∠与3∠是直线b 、直线c 被直线a 所截，所得到的同旁内角，因此选项D 不符合题意；故选：B ．题型02同位角相等，两直线平行【例题】根据要求完成下面的填空：如图，直线AB ，CD 被EF 所截，若已知12∠=∠．23∠=∠ （______），又12∠=∠ （已知），∴∠______=∠______，∴______∥______（______）．【详解】23∠=∠ （对顶角相等），又12∠=∠ （已知），13∠∠∴=，AB CD ∴∥（同位角相等，两直线平行），故答案为：对顶角相等，1，3，AB ,CD ，同位角相等，两直线平行．【变式训练】1．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：如图，129023,,AB BC ⊥=︒∠+∠∠=∠，BE 与DF 平行吗？为什么？解：BE DF ∥．理由如下：∵AB BC ⊥（已知），∴ABC ∠=________°即34∠+∠=________°（）又∵1290∠+∠=︒（），且23∠∠=（已知）∴14∠=∠（）∴BE DF ∥（）【详解】解：BE DF ∥．理由如下：∵AB BC ⊥（已知），∴90ABC ∠=︒，即3490∠+∠=°（等量代换）又∵1290∠+∠=︒（已知），且23∠∠=（已知）∴14∠=∠（等角的补角相等）∴BE DF ∥（同位角相等，两直线平行）．故答案为：90,90，等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行．2．如图，已知AC AE ⊥，BD BF ⊥，135∠=︒，235∠=︒．AC 与BD 平行吗？AE 与BF 平行吗？阅读下面的解答过程，并填空或填写理由．解：AC 与BD 平行；AE 与BF 平行，理由如下：135∠=︒，235∠=︒∴12∠=∠∴（________）∥（________）（________________________）；又 AC AE⊥∴EAC 90∠=∴1EAB EAC ∠=∠+∠=（________）o同理可得2FBG FBD ∠=∠+∠=（________）o∴（________）∥（________）（_____________________________）．【详解】解：AC 与BD 平行；AE 与BF 平行，理由如下：135∠=︒，235∠=︒∴12∠=∠∴AC ∥BD (同位角相等，两直线平行)；又 AC AE⊥∴90EAC ∠=︒∴1125EAB EAC ∠=∠+∠=︒同理可得2125FBG FBD ∠=∠+∠=︒∴AE ∥BF (同位角相等，两直线平行)．题型03内错角相等，两直线平行【例题】如图，EF 交AD 于O ，AB 交AD 于A ，CD 交AD 于D ，12∠=∠，34∠∠=，试判断AB 和CD 的位置关系，并说明为什么．【详解】解：AB CD ．理由：12∠=∠ ，34∠∠=，23∠∠=，14∴∠=∠，∴AB CD ．【变式训练】1．推理填空：已知：如图AB BC ⊥于B ，CD BC ⊥于C ，12∠=∠，求证：BE CF ∥．证明：∵AB BC ⊥于B ，CO ∴139024∠+∠=︒∠+∠=，∴1∠与3∠互余，2∠与4∠又∵12∠=∠（），(1)求BOF ∠的度数；(2)试说明AB CD ∥的理由．【详解】（1）∵OA OB ，分别平分∴12AOE AOC COE ∠∠∠==，∵180COE DOE ∠+∠=°，题型04同旁内角互补，两直线平行【例题】如图，已知直线AB CD 、被直线EF 所截，GE 平分AEF ∠，GF 平分EFC ∠，1290∠+∠=︒，AB CD ∥吗？为什么？解：∵GE 平分AEF ∠，GF 平分EFC ∠（已知），∴2AEF ∠∠=___________，2EFC ∠∠=___________，∴AEF EFC ∠∠+=___________（），∵1290∠+∠=︒（），∴AEF EFC ∠∠+=___________°，∴AB CD ∥．【详解】解：GE 平分AEF ∠，GF 平分EFC ∠（已知），21AEF ∴∠=∠，22EFC ∠=∠，2(12)AEF EFC ∴∠+∠=∠+∠（等量代换）1290∠+∠=︒ （已知），180AEF EFC ∴∠+∠=︒，AB CD ∴∥．【变式训练】1．如图，160,260,3120︒︒︒∠=∠=∠=．试说明,DE BC DF ∥∵160260,︒∠=∠=∴12∠=∠（等量代换）∴________//_________∵,AB DE 相交，∴4160∠=∠=︒（∵3120∠=︒∴34180∠+∠=︒∴ （___________________【详解】∵160∠=∴12∠=∠（等量代换）∴DE BC ∥(同位角相等，两直线平行）∵AB ，DE 相交，证明：∵12180∠+∠=︒，∴a ∥______（______）．∵13∠=∠，∴a ∥______（______）．∴b c ∥（______）．【详解】证明：∵12180∠+∠=︒，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行）．∵13∠=∠，∴a ∥c （同位角相等，两直线平行）．∴b c ∥（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．题型05平行线及平行公理【详解】解：因为∠13∠=∠（对顶角相等）所以∠2=∠3（等量代换）所以a ∥c （同位角相等，两直线平行）又因为a b ∥（已知）1．如图所示，直线AB CD ，相交于点O ，OD 平分EOB ∠，OF 平分AOE ∠，GH CD ⊥，垂足为点H ，GH 与FO 平行吗？说明理由．【详解】解：GH FO ∥，理由如下：(1)判断CD与AB的位置关系；(2)求证：DF BE∥．⊥【详解】（1）解：∵AB MN∥．∴CD AB题型06添加一条件使两条直线平行∠=∠【答案】EAB【分析】本题主要考查了平行线的判定．要判断的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可．∠=∠（答案不唯一）．故答案为：EAB C【变式训练】【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①12∠=∠，能判断∠=︒．（答案不唯一）【答案】250【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【详解】解：可以添加条件∠⊥，∵EF MN∠=︒90EFM线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．题型07根据平行线的性质求角度【例题】（2023下·新疆阿克苏·七年级校考期末）如图，AB CD ∥，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF ∠，135∠=︒，求2∠的度数．【答案】110︒【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解．【详解】解：如图所示，∵AB CD ∥，135∠=︒∴3135∠=∠=︒∵EG 平分AEF∠∴3435∠=∠=︒∴21803535110∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、求出3135∠=∠=︒是关键．【变式训练】1．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）如图，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，作CED ∠的角平分线分别交线段AD ，DC 于点F ，点G ，已知AB CD ∥，AD BC ∥．(1)试说明2BED DFE ∠=∠；(2)若105B ∠=︒，28DFE ∠=︒，求CDE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)19CDE ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的性质得出2BED BEF ∠=∠，根据平行线的性质可得DFE BEF ∠=∠；（2）根据平行线的性质可得105DCE B ∠=∠=︒，根据平行线的性质得出105ADC DCE ∠=∠=︒，180ADE BED ∠+∠=︒，根据（1）的结论得出256BED DFE ∠=∠=︒，180124ADE BED ∠=︒-∠=︒，进而根据CDE ADE ADC ∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）解：∵EF 平分CED ∠，∴2BED BEF ∠=∠，∵AD BC∥∴DFE BEF ∠=∠，（2）解：∵AB CD ∥，105B ∠=︒，∴105DCE B ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴105ADC DCE ∠=∠=︒，180ADE BED ∠+∠=︒．∵28DFE ∠=︒，∴256BED DFE ∠=∠=︒，∴180124ADE BED ∠=︒-∠=︒，∴12410519CDE ADE ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023下·贵州黔南·七年级统考期末）如图，已知AB CD ∥，AD BC ∥，90DCE ∠=︒，点E 在线段AB 上，90FCG ∠=︒，点F 在直线AD 上，90AHG ∠=︒．(1)图中与D ∠相等的角有__________；(2)若25ECF ∠=︒，求BCD ∠的度数；(3)在（2）的条件下，点C （点C 不与B ，H 两点重合）从点B 出发，沿射线BG 的方向运动，其他条件不变，求BAF ∠的度数．【答案】(1)DCG ∠，ECF ∠，B∠(2)155︒(3)25︒或155︒【分析】（1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与D ∠相等的角；（2）根据25ECF ∠=︒，90DCE ∠=︒，可得65FCD Ð=°，再根据90BCF ∠=︒，即可得到6590155BCD Ð=°+°=°；（3）分两种情况讨论：当点C 在线段BH 上；点C 在BH 延长线上，根据平行线的性质，即可得到BAF ∠的度数为25︒或155︒．【详解】（1）解：AD BC ∥ ，D DCG ∴∠=∠，90FCG ∠=︒ ，90DCE ∠=︒，ECF DCG ∴∠=∠，D ECF ∴∠=∠，AB DC ∥，DCG B ∴∠=∠，D B ∴∠=∠；∴与D ∠相等的角为DCG ∠，ECF ∠，B ∠；（2）解：25ECF ∠=︒ ，90DCE ∠=︒，65FCD ∴∠=︒，90BCF ∠=︒Q ，6590155BCD ∴∠=︒+︒=︒；（3）解：分两种情况进行讨论：①如图a ，当点C 在线段BH 上时，点F 在DA 的延长线上，此时25ECF DCG B ∠=∠=∠=︒，AD BC ∥ ，25BAF B ∴∠=∠=︒；②如图b ，当点C 在BH 的延长线上时，点F 在线段AD 上．25B ∠=︒ ，AD BC ∥，18025155BAF ∴∠=︒-︒=︒，综上所述，BAF ∠的度数为25︒或155︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．题型08平行线的性质在生活中的应用【答案】120︒/120度【分析】首先过B作BF AE∥，根据100∠=︒，A∴∠=∠=︒，100ABF A又160ABC ∠=︒ ，16010060FBC ∴∠=︒-︒=︒，AE CD ∥ ，FB CD ∴∥，180********C FBC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：120︒．【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】【答案】17︒/17度【分析】由平行线的性质可知DBC MBC MBD ∠=∠-∠求解即可．【详解】解：∵MN EF ∥∴160MBC ∠=∠=︒．【答案】30︒/30度【分析】过点B 作BF CE ∥．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出CBF ∠，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．【详解】解：过点B 作BF CE ∥．CE l ∥ ，BF l ∴∥．190ABF ∴∠=∠=︒．140ABC ∠=︒ ，1409050CBF ∴∠=︒-︒=︒．BF CE ∥ ，50ECB CBF ∴∠=∠=︒．DCE DCB BCE∴∠=∠-∠8050=︒-︒30=︒．故答案为：30︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键．题型09平行线的性质与判定综合应用【答案】（1）见解析；（2）F BMF DNF∠=∠-∠；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF AB∥，根据平行线的性质可求解；∥，根据平行线的性质即可得到结论；（2）如图②，过F作FH AB∥，根据平行线的性质即可得到结论．（3）如图③，过C作CG AB【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF AB∥，则MEF BME∠=∠，∥，又∵AB CD∥，∴EF CD∴∠=∠，NEF DNEMEN MEF NEF∴∠=∠+∠，∠=∠+∠；即MEN BME DNE（2）解：BMF MFN FND∠=∠+∠．，证明：如图②，过F作FK AB∴∠=∠，BMF MFK∥，∵AB CD，∴FK CD∴∠=∠，FND KFN∴∠=∠-∠=∠-∠，MFN MFK KFN BMF FND即：BMF MFN FND ∠=∠+∠．故答案为：BMF MFN FND ∠=∠+∠；（3）如图③，过C 作CG AB ∥，18060GCA BAC ∴∠=︒-∠=︒，∵AB DE ∥，∴CG DE ∥，80GCD CDE ∴∠=∠=︒，20ACD ∴∠=︒，故答案为：20．【变式训练】1．（2023上·湖南岳阳·八年级校考开学考试）如图，12∠=∠，BAE BDE ∠=∠，点F 在DE 的延长线上，点C 在AB 的延长线上，且EA 平分BEF ∠．(1)求证：AB DE ∥；(2)若40BAE ∠=︒，求EBD ∠．【答案】(1)见解析(2)40︒【分析】（1）根据对顶角相等结合题意推出1ABE ∠=∠，根据“同位角相等，两直线平行”即可判定AB DE ∥；（2）根据平行线的性质结合题意推出AEF BDE ∠=∠，即可判定AE BD ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．【详解】（1）证明：∵2ABE ∠=∠（对顶角相等），又12∠=∠（已知），∴1ABE ∠=∠（等量代换），∴AB DE ∥（同位角相等，两直线平行）；（2）解：由（1）已证AB DE ∥可得：40BAE AEF ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等），又∵BAE BDE ∠=∠，∴AEF BDE ∠=∠（等量代换），∴AE BD （同位角相等，两直线平行），∴AEB EBD ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵EA 平分BEF ∠，∴AEB AEF ∠=∠，∴40EBD AEB AEF BAE ∠=∠=∠=∠=︒，∴40∠=︒EBD ．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考期中）如图，在ABC 中，点D 、F 在BC 边上，点E 在AB 边上，点G 在AC 边上，EF 与GD 的延长线交于点H ，BDH B ∠=∠，AEH ADH ∠=∠．(1)EH 与AD 平行吗？为什么？(2)若40H ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)平行，见解析(2)40︒【分析】（1）EH AD ∥，理由如下：由已知条件，BDH B ∠=∠，根据平行线的判定可得AB GH ∥，根据平行线的性质得180BAD ADH ∠+∠=︒，等量代换得到180BAD AEH ∠+∠=︒，即可得出答案；（2）结合（1）根据平行线的性质即可得解．【详解】（1）EH AD ∥，理由如下：BDH B ∠=∠ ，AB GH ∴∥，180BAD ADH ∴∠+∠=︒，AEH ADH ∠=∠ ，180BAD AEH ∴∠+∠=︒，EH AD ∴∥；（2）180BAD ADH ∠+∠=︒ ，又EH AD ∥，180H ADH ∴∠+∠=︒，40，∠=︒H∴∠=︒．40BAD【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键．题型10根据平行线的性质与判定探究角的关系(1)123、、之间的关系为∠∠∠(2)如果点P在A、B两点之间运动时，(3)如果点P（点P和A、∠+∠=∠【答案】(1)123∠+∠=∠(2)123∠-∠=∠或2∠-∠(3)123∴123∠+∠=∠（等量代换）；故答案为：123∠+∠=∠；（2）解：由（1）的证明过程知，123∠∠∠、、之间的关系不发生变化；故答案为：123∠+∠=∠；（3）解：过点P 作1PQ l ∥，∵12l l ∥，∴21PQ l l ∥∥；当点P 在AB 延长线上时，如左图，则24∠∠=，134CPQ Ð=Ð=Ð+Ð，∴132∠=∠+∠，即123∠-∠=∠；当点P 在BA 延长线上时，如右图，∵21PQ l l ∥∥，∴14∠=∠，234DPQ Ð=Ð=Ð+Ð，∴231∠=∠+∠，即213∠-∠=∠；综上，123∠-∠=∠或213∠-∠=∠．故答案为：123∠-∠=∠或213∠-∠=∠．【变式训练】(1)图中CBD ∠=︒；(2)当ACB ABD ∠=∠时，ABC ∠=(3)随点P 位置的变化，图中APB ∠【答案】(1)60；(1)求证：AB CD(2)点G是射线MD上的一个动点EHN交直线AB于点N，设∠=αβ=︒①点G在点F右侧，且70∴HEF HEG ∠=∠，∵HN EM ∥，∴EHN HEM HEF FEM ∠=∠=∠+∠，∵FEM FME ∠=∠，∴EHN HEF FME α∠=∠+∠=，∵()180********EGF FME GEM FME FEM HEF FME HEF ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠+∠，∴1802βα=︒-，∵70β=︒，∴701802α︒=︒-，解得55α=︒．②α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=︒-．理由如下：当点G 在点F 的右侧，由（2）得1802αβ=︒-，当点G 在点F 的左侧时，如图2，∵EH 平分FEG ∠，∴HEF HEG ∠=∠，∵HN EM ∥，∴EHN HEM ∠=∠，∵FEM FME ∠=∠，∴()222EGF FME GEM FEM GEM GEM HEG GEM GEM HEG HEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠，∴2EGF EHN ∠=∠，即2βα=，综上所述，α和β之间的数量关系为2βα=或1802βα=︒-．【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．一、单选题1．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）如图，下列条件不能判定AB CD 的是（）A ．13∠=∠B ．35∠=∠C ．12180∠+∠=︒D ．15∠=∠【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可．【详解】解：A 、13∠=∠，根据同位角相等，两直线平行可判定AB CD ，故此选项不符合题意；B 、35∠=∠，对顶角相等，不能判定AB CD ，故此选项符合题意；C 、12180∠+∠=︒，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB CD ，此选项不符合题意；D 、15∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可判定AB CD ，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．2．（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图所示，以下说法错误的是（）A ．1∠与2∠是同位角B ．4∠与3∠是同位角C ．5∠与3∠是内错角D ．4∠与5∠是同旁内角【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、1∠与2∠是同位角，正确，不符合题意；B 、4∠与3∠是同位角，正确，不符合题意；C 、5∠与3∠不是内错角，错误，符合题意；D 、4∠与5∠是同旁内角，正确，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答的关键是理解定义：如果两条直线被第三条直线所截所形成的的角，在两条被截直线之间且在截线两侧的两个角互为内错角；在两条被截直线同一方且在截线同侧的两个角互为同位角；在两条被截线之间且在截线同侧的两个角互为同旁内角．3．（2023上·陕西铜川·八年级统考期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A ．∵AD BC ∥，180BAD D ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）B ．∥ AB CD ，180BCD ABC ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）C ．13∠=∠ ，AB CD ∴∥（内错角相等，两直线平行）D ．DAM CBM ∠=∠ ，AD BC ∴∥（同位角相等，两直线平行）【答案】A【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键．【详解】解：∵AD BC ∥，180BAD ABC ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），故A 符合题意；∥ AB CD ，180BCD ABC ∴∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），故B 不符合题意；13∠=∠ ，AB CD ∴∥（内错角相等，两直线平行），故C 不符合题意；DAM CBM ∠=∠ ，AD BC ∴∥（同位角相等，两直线平行），故D 不符合题意；故选A4．（2023上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠的度数为（）A ．35︒B ．55︒C ．125︒D ．145︒【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可．【详解】如图，∵a b ，155∠=︒，∴3155∠=∠=︒，∵34180,2+∠=︒∠∠+∠∴180324∠=∠故选A ．5．（2023上·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）平分BAC ∠，AC CE ⊥A ．1个【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；内角互补可得2BAC ∠+∠212180Ð+Ð=°，可求得结果；二、填空题【答案】①②④【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；【答案】B DAB∠=∠【分析】根据“内错角相等，两直线平行【详解】解：由“内错角相等，两直线平行【答案】36︒/36度【分析】由对顶角相等可得∠∠，即可求解．件可求得B【详解】解：如图，，1108∠=︒∴∠=∠=︒，31108∥，∵l AB∴∠+∠=︒，2BA3180∠=∠，【答案】3或7.5或12【分析】本题考查了平行线的性质．分类讨论∠的大小即可求解．性质确定旋转角AFE∥时，如图所示：【详解】解：①当DE BC30AFE ∠=︒∴30310t ==秒②当DE AB ∥时，如图所示：∵45FHD A ∠=∠=︒，∴45HFD ∠=︒45AFE HFD EFD ∠=∠+∠=︒+∴757.510t ==秒180120AFE E ∠=︒-∠=︒∴1201210t ==秒综上所述：t 的值为3或7.5或12三、解答题11．（2023上·新疆克孜勒苏·七年级统考期末）如图，已知12180∠+∠=︒，3B ∠=∠，试判断C ∠与AED ∠的大小关系，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．解：AED C ∠=∠．理由如下：∵12180∠+∠=︒（已知），1180DFE ∠+∠=︒（_______），∴2DFE ∠=∠（_______），∴AB ∥_______（_______），∴3ADE ∠=∠（_______），∵3B ∠=∠（已知），∴∠_______=∠_______（_______），∴_______∥_______（_______），C AED ∠=∠（_______）．【答案】平角的定义；等量代换；EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：ADE ；B ；等量代换；DE ；BC ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据证明的思路，把证明过程填写完整即可．【详解】AED C ∠=∠．理由如下：∵12180∠+∠=︒（已知），1180DFE ∠+∠=︒（平角的定义），∴2DFE ∠=∠（等量代换），∴AB EF ∥（内错角相等，两直线平行），∴3ADE ∠=∠（两直线平行，内错角相等），∵3B ∠=∠（已知），∴ADE B ∠=∠（等量代换），∴DE BC ∥（同位角相等，两直线平行），∴C AED ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故答案为：平角的定义；等量代换；EF ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：ADE ；B ；等量代换；DE ；BC ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．12．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）在下列解答中，填空（理由或数学式）．如图，已知直线b c ∥，1116∠=︒，3=4∠∠．(1)求AOB ∠的度数；(2)求证：直线a c ∥．解：（1）∵1116∠=︒（已知）∴2116∠=︒（）．∵b c ∥（已知），∴2AOB ∠=∠（）．∴AOB ∠=（等量代换）．证明：（2）∵3=4∠∠（）∴a b ∥（）．又∵b c ∥（已知），故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．13．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）如图，已知AB CD ，AC 与BD 相交于点E ，从点E 引一条射线EF 交线段AB 于点F ，若180AFE DCB ∠+∠=︒，A AEF ∠=∠，求证：DCA ACB ∠=∠．证明：∵AB CD （已知），∴180ABC DCB ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），又∵180AFE DCB ∠+∠=︒（已知），∴AFE ABC ∠=∠（____________________），∴EF ∥__________（____________________），∴∠=AEF __________（____________________），∵AB CD （已知），∴A DCA ∠=∠（____________________），∵A AEF ∠=∠（已知），∴DCA ACB ∠=∠（____________________）．【答案】见解析【分析】本题考查平行线的性质与判定，根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案．【详解】证明：AB CD （已知），∴180ABC DCB ∠+∠=︒（两直线平行同旁内角互补），又∵180AFE DCB ∠+∠=︒（已知），∴AFE ABC ∠=∠（同角的补角相等）；∴EF BC ∥（同位角相等，两直线平行），∴AEF ACB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∵AB CD （已知），∴A DCA ∠=∠（两直线平行，内错角相等），∴A AEF ∠=∠（已知），∴DCA ACB ∠=∠（等量代换），故答案为：同角的补角相等；BC ；同位角相等，两直线平行；ACB ∠；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．14．（2023上·重庆沙坪坝·八年级统考期中）已知：如图，在ABC 中，点D 在BC 边上，EF AD ∥分别交AB ，CB 于点E ，F ，DG 平分ADC ∠，12180∠+∠=︒，(1)求证：AB DG ∥；(2)若40B ∠=︒，60DAC ∠=︒，求DGC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)100︒【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【详解】（1）证明：∵EF AD ∥，∴1180BAD ∠+∠=︒．∵12180∠+∠=︒．∴2BAD ∠=∠．∴AB DG ∥；（2）解：∵AB DG ∥，40B ∠=︒，∴40GDC B ∠=∠=︒，∵DG 平分ADC ∠，∴240GDC ∠=∠=︒，又∵60DAC ∠=︒，∴2100DGC DAC ∠=∠+∠=︒．15．（2023上·四川遂宁·七年级射洪中学校联考阶段练习）如图1，直线AD EF ，点B C ，分别在EF 和AD 上，A ABC ∠=∠，BD 平分CBF ∠．【探索】如图②，AM 平分BAC ∠，CAM CMA ∠=∠，点E 在射线AB 上，点F 在线段CM 上，若AEF C ∠=∠，求证：EF AC ∥．【拓展】如图③，将【探索】中的点F 移动到线段CM 的延长线上，其他条件不变，若357CAM MEF ∠=∠=︒，请直接写出AME ∠的度数．【答案】感知：BAM ∠；BAM ∠；探索：见解析；拓展：76AME =︒∠【分析】感知：根据角平分线定义和平行线的性质进行解答即可；探索：先证明AB CD ，得出AEF EFD ∠=∠，在证明EFD C ∠=∠，根据平行线的判定得出结论即可；拓展：根据角平分线定义得出57BAM CAM ==︒∠∠，257114BAC =⨯︒=︒∠，根据平行线的性质求出18066C BAC =︒-=︒∠∠，求出661947AEM =︒-︒=︒∠，最后根据平行线的性质求出结果即可．【详解】解：感知：∵AM 平分BAC ∠，（已知），∴CAM BAM ∠=∠（角平分线的定义），∵AB CD （已知），∴CMA BAM ∠=∠（两直线平行，内错角相等）∴CAM CMA ∠=∠（等量代换）．故答案为：BAM ∠；BAM ∠．探索：∵AM 平分BAC ∠，∴CAM BAM ∠=∠，∵CAM CMA ∠=∠，∴A BAM CM =∠∠，∴AB CD ，∴AEF EFD ∠=∠，∵AEF C ∠=∠，∴EFD C ∠=∠，∴EF AC ∥．拓展：∵357CAM MEF ∠=∠=︒，∴根据探索可知：57BAM CAM ==︒∠∠，19MEF =︒∠，∴257114BAC =⨯︒=︒∠，根据探索可知：AB CD ，∴18066C BAC =︒-=︒∠∠，∴66AEF C ==︒∠∠，∴661947AEM =︒-︒=︒∠，∵AB CD ，∴57AMC BAM ==︒∠∠，47DME AEM ==︒∠∠，∴18076AME AMC DME =︒--=︒∠∠∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．17．（2023上·内蒙古乌海·八年级统考期末）综合与实践：问题：如图1，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 上，过点D 作DE BC∥交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．（1）若65ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空(理由或数学式)解：∵DE BC ∥，∴DEF ∠=______（______），∵EF AB ∥，∴______ABC =∠（______），∴DEF ABC ∠=∠（______），∵65ABC ∠=︒，∴65DEF ∠=︒．探究：如图2，直线AB 、BC 、AC 两两相交，交点分别为点A 、B 、C ，点D 在线段AB 的延长线上，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ．（2）在图2中，若65ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数并说明理由．（3）猜想：如果ABC ∠的两边分别平行于DEF ∠的两边，直接写出ABC ∠与DEF ∠这两个角之间有怎样的数量关系？【答案】（1）EFC ∠；两直线平行，内错角相等；EFC ∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）115DEF ∠=︒，理由见解析；（3）ABC DEF ∠=∠或180ABC DEF ∠+∠=︒【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．（1）由平行线的性质可得DEF EFC ∠=∠，EFC ABC ∠=∠，则有DEF ABC ∠=∠，即可得解；（2）由平行线的性质得65ABC ADE ∠=∠=︒，180ADE DEF ∠+∠=︒，则可求DEF ∠得度数．（3）根据平行线的性质分析，即可获得答案．【详解】解：（1）∵DE BC ∥，∴DEF EFC ∠=∠（两直线平行，内错角相等），∵EF AB ∥，∴EFC ABC ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴DEF ABC ∠=∠（等量代换），∵65ABC ∠=︒，∴65DEF ∠=︒．故答案为：EFC ∠；两直线平行，内错角相等；EFC ∠；两直线平行，同位角相等；等量代换；（2）115DEF ∠=︒，理由如下：∵DE BC ∥，∴65ABC ADE ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），∵EF AB ∥，∴180ADE DEF ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴180115DEF ADE ∠=︒-∠=︒；（3）ABC DEF ∠=∠或180ABC DEF ∠+∠=︒，理由如下：如图1，ABC ∠的两边分别平行于DEF ∠的两边时，ABC DEF ∠=∠；如图2，ABC ∠的两边分别平行于DEF ∠的两边时，180ABC DEF ∠+∠=︒．18．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，线段AB 与线段CD 平行，P 是平面内一点，连接PA PD ，，射线AM DN ，分别平分BAP CDP ∠∠，．(1)当点P 在线段DA 的延长线上时：①在图1中，依题意补全图形；②请直接写出直线AM 与直线DN 的位置关系：___________；(2)如图2，当点P 在直线AB 与直线CD 之间时，射线AM ，DN 交于点Q ，探究P ∠与AQD ∠的数量关系，。

人教版七年级下册数学各章知识点及练习题1.两条相交的直线所形成的四个角中，有一条公共边，而它们的另一条边则互为反向延长线。

如果两个角具有这种关系，那么它们互为相邻角。

2.两条相交的直线所形成的四个角中，有一个公共顶点，而一个角的两条边则分别是另一个角两条边的反向延长线。

如果两个角具有这种关系，那么它们互为对顶角，且具有相等的角度。

3.如果两条相交的直线中有一条直线与另一条直角，则这两条直线互为垂直线。

垂线的性质：⑴经过一点且垂直于已知直线的直线是唯一的。

⑵连接直线外一点与直线上各点的线段中，与已知直线垂直的线段长度最短。

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度称为该点到直线的距离。

5.如果两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同侧，并且都在第三条直线的同侧，那么它们互为内错角；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，那么它们互为同旁内角；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一侧，那么它们互为对顶角。

6.不相交的两条直线在同一平面内互为平行线。

同一平面内的两条直线的位置关系只有平行和相交两种。

7.平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么它们互相平行。

8.平行线的判定：⑴如果两条直线与第三条直线的对应角互为相等角，则这两条直线平行。

⑵如果一条直线与第三条直线平行，另一条直线与这条直线对应的内角为直角，则这两条直线平行。

⑶如果两条直线与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

9.平行线的性质：⑴平行线之间的距离相等。

⑵平行线与第三条直线所构成的内错角互为相等角。

⑶平行线与第三条直线所构成的同旁内角互为补角。

10.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，这种移动称为平移。

平移的性质：⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同。

新图形中的每个点都是原图形中某个点移动后得到的，这两个点是对应点。

七年级下几何部分知识点
几何是数学中的一个重要分支，与数学中其他分支一样，其知
识点千变万化，需要我们认真学习和掌握。

七年级下册的几何部
分主要涉及到以下几个知识点：
一、平面图形
1. 三角形：指三边之和为定值的一个图形，分为等边三角形、
等腰三角形、一般三角形等。

2. 四边形：指四条边的图形，包括矩形、正方形、菱形、平行
四边形、梯形等。

3. 多边形：指由若干个线段围成的一个封闭图形，如正多边形、不规则多边形等。

4. 圆：指平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。

二、空间图形
1. 立体图形：指有三个坐标轴的空间中的图形，包括立方体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、棱台等。

2. 圆锥、圆柱、球：指三个坐标轴上的图形。

三、基本几何元素
1. 点：指空间中不具有大小和形状的位置。

2. 直线：由无数个点连成的一条线，其中两点确定一条唯一的直线。

3. 平面：由无数个点和直线共同确定的一个平面。

四、基本几何问题
1. 直线段和角度的测量：包括角的度数制和弧度制的测量，以及直线段长度的测量。

2. 勾股定理：指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边平方的定理。

3. 三角形和四边形的周长、面积计算：包括利用各类公式计算其周长和面积。

综上所述，七年级下册的几何部分主要涉及到平面图形、空间图形、基本几何元素和基本几何问题等知识点，需要我们认真对待，不断学习和巩固。

只有这样才能在以后的学习中更好地应对几何问题。

七年级下册数学几何题大全
七年级下册数学几何题是中学生在学习数学时需要经常练习的基
础性难题。

它们能够帮助学生们掌握计算、演绎以及图形思维的技能。

下面就来介绍一些七年级下册数学几何题：
（1）带标号的线段：这是一项常见的几何练习，要求学生们判
断线段长度，标记出从远到近的道路段号。

（2）三角形面积计算：要求学生根据给定的三个边长的面积，
利用三角公式计算三角形的面积。

（3）多边形和圆形：这是一项数学考试中的普遍几何题，要求
学生计算出一个多边形或圆形的周长，或者求出多边形或圆形的面积。

（4）正方体面积、体积计算：要求学生根据给定的边长，利用
立体几何公式计算出正方体的面积和体积。

（5）求三维图形体积：要求学生根据给定的三维坐标，求出三
维图形的体积。

（6）平面图形综合练习：这个练习十分有益，不仅能帮助学生
掌握平面几何知识，而且还能熟悉坐标系统，可以算出二维和三维图
形的面积等指标，便于学生在算术和几何的实践和应用中进行合理的
推理。

以上就是七年级下册数学几何题的一些典型例子，是中学生在学
习数学时必不可少的练习题目，可以帮助学生更好地掌握几何知识，
并且在抽象思维和应用能力上有所提高。