高考数学一轮复习 11.1 随机事件及其概率抢分训练 理 新人教A版

高考数学一轮强化训练 11.1随机事件的概率文新人教A版第一节随机事件的概率强化训练当堂巩固1.下列事件中,随机事件的个数为( )①物体在重力的作用下会自由下落;②方程2x+2x+3=0有两个不相等的实根;③某传呼台某天的某一时段内收到传呼要求10次;④下周日会下雨.A.1B.2C.3D.4答案:B解析:①是必然事件,②是不可能事件,③④是随机事件.2.给出下列命题:x≤”是必然事件;①“当x∈R时,sinx+cos1x≤”是不可能事件;②“当x∈R时,sinx+cos1③“当x∈R时,sinx+cosx<2”是随机事件;④“当x∈R时,sinx+cosx<2”是必然事件,其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:B3. 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8答案:B解析:因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3.4.从装有5只红球和5只白球的袋中任意取出3只球,有如下几对事件:①取出“两只红球和一只白球”与“取出一只红球和两只白球”;②“取出两只红球和一只白球”与“取出3只红球”;③“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有一只白球”;④“取出3只红球”与“取出3只白球”,其中是对立事件的有 (只填序号).答案:③解析:从5红5白的10个球中任取3个,其所有结果为:3白,2白1红,1白2红,3红共4种情况,其中取出3球至少有一只白球包括:1白2红,2白1红,3白,故只有③为对立事件.课后作业巩固提升见课后作业B题组一随机事件的概念1.从6个男生、2个女生中任选3人,则下列事件中是必然事件的是( )A.3个都是男生B.至少有1个男生C.3个都是女生D.至少有1个女生答案:B解析:因为只有2个女生,任选3人,则至少有1人是男生.2.下列说法不正确的是( )A.不可能事件的概率是0,必然事件的概率是1B.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的概率约为0.8C.“直线y=k(x+1)过点(-1,0)”是必然事件D.先后抛掷两枚大小一样的硬币,两枚都出现反面的概率是1 3答案:D解析:先后抛掷两枚大小一样的硬币,两枚都出现反面的概率是14,而不是13.题组二对立事件与互斥事件3.某人打靶,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶答案:C解析:“至少有1次中靶”包括中1次或中2次,故选C.4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有1个白球,都是白球B.至少有1个白球,至少有1个红球C.恰有1个白球,恰有2个白球D.至少有1个白球,都是红球答案:C解析:结合互斥事件和对立事件的定义知,对于C中恰有1个白球,即1白1红,与恰有2个白球是互斥事件,但不是对立事件,因为还有2个都是红球的情况.5.某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 .答案:0.5解析:依题意知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5.题组三频率与概率的计算6.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现一枚正面,两枚反面的概率等于( )A.14 B.13 C.38 D.12答案:C解析:出现一枚正面,两枚反面的情况为:正反反;反正反;反反正3种可能,所以其概率38P=.7.从一篮子鸡蛋中任取1个,如果其重量小于30克的概率为0.3,重量在[30,40]克的概率为0.5,那么重量不小于30克的概率为( )A.0.3B.0.5C.0.8D.0.7答案:D解析:由对立事件概率加法公式知:重量不小于30克的概率为1-0.3=0.7.8.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A.0.12B.0.20C.0.60D.0.80答案:D解析:令“能上车”记为事件A,则3路或6路车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.9.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为3 7,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .答案:19 28解析:中国队夺得女子乒乓球单打冠军包括两种情况:一是甲队员夺得单打冠军,二是乙队员夺得单打冠军,故31917428P=+=.10.某射击运动员进行双向飞碟射击训练的成绩如下表所示:(1)将各次记录中飞碟的频率填入表中;(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少? 解:(1)射击次数100,击中飞碟数是81,故击中飞碟的频率是810100=.81,同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82,0.82,0.793,0.794,0.807. (2)击中飞碟的频率稳定在0.8,故这个运动员击中飞碟的概率约为0.8. 11.在数学考试中,小明的成绩在90分及以上的概率是0.18,在80 -89分的概率是0.51,在70 -79分的概率是0.15,在60- 69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于60分)的概率.解:设小明的数学考试成绩在90分及以上,在80 -89分,在70 -79分,在60 -69分分别为事件B,C,D,E,这4个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率加法公式,小明的考试成绩在80分及以上的概率为()()(P B C P B P ⋃=+C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率,即成绩在60分及以上的概率为()()(P B C D E P B P ⋃⋃⋃=+C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件,所以小明考试不及格的概率为P=1-()P B C D E ⋃⋃⋃=1-0.93=0.07.12.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为13,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率也是512,试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?解:从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”“取到绿球”为A 、B 、C 、D,则有()P B C ⋃=P(B)5()12P C +=; 5()()()12P C D P C P D ⋃=+=; 12()1()133P B C D P A ⋃⋃=-=-=, 解得111()()()464P B P C P D =,=,=. 故取到黑球、黄球、绿球的概率分别是14、16、14.高考资源网（ ）您身边的高考专家。

§ 随机事件的概率最新考纲考情考向分析.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别． .了解两个互斥事件的概率加法公式.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.．概率和频率()在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例()＝为事件出现的频率．()对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件的概率，记作()． ．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件(或称事件包含于事件)⊇(或⊆)相等关系若⊇且⊇＝并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)∪(或＋)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)∩(或)互斥事件若∩为不可能事件(∩＝∅)，则称事件与事件互斥∩＝∅对立事件若∩为不可能事件，∪为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件∩＝∅，()＋()＝.概率的几个基本性质()概率的取值范围：≤()≤.()必然事件的概率()＝.()不可能事件的概率()＝.()概率的加法公式如果事件与事件互斥，则(∪)＝()＋()．()对立事件的概率若事件与事件互为对立事件，则()＝－()．知识拓展互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．。

第3讲　随机事件的概率 【2014年高考会这样考】 1．考查互斥事件、对立事件的概率求法． 2．考查条件概率的求法． 考点梳理 1．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 2．事件的关系与运算 定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且ABA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝对立事件若A∩B为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13.条件概率及其性质 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝. (1)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝. (2) 如果B和C是两互斥事件，则P(BC|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(AB)＝P(A)＋P(B)． 若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 【助学·微博】 一个关系 两个事件对立则一定互斥，两个事件互斥未必对立．两事件对立是这两事件互斥的充分而不必要条件． 两种方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便． 考点自测 1．(人教A版习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )． A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 解析　对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个互斥而不对立． 答案　D 2．(2013·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )． A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90 解析　一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4. 答案　A 3．(2011·陕西)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )． A. B. C. D. 解析　若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为. 答案　D 4．(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )． A. B. C. D. 解析　P(A)＝＝＝，P(A∩B)＝＝. 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝. 答案　B 5．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________(结果用最简分数表示)． 解析　所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P＝＝，则至少有1瓶为已过保质期饮料的概率＝1－P＝. 答案 考向一　随机事件的频率与概率 【例1】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数82042228B配方的频数分布表 指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润． [审题视点] 分别计算出相应的频率，由频率可估计概率． 解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42. (2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率． 【训练1】 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示： 射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率(1)计算表中击中10环的频率； (2)根据表中数据，估计该运动员射击一次命中10环的概率． 解　(1)表中击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93，0.89，0.906. (2)估计该运动员射击一次命中10环的概率为0.9. 考向二　条件概率 【例2】(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求： (1)工程延误天数Y的均值与方差； (2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． [审题视点] (1)先求出离散型随机变量的分布列，再根据期望、方差公式求解(2)利用概率性质及条件概率公式求解． 解　(1)由已知条件和概率的加法公式有： P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4， P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y的分布列为： Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3； D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7， 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值． (注：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数) [教你审题] 第1步 用厨余垃圾箱中的400除以厨余垃圾总数． 第2步 先求其对立事件的概率． 第3步 运用方差公式． [解法] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ＝＝. (2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确． 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7， 所以P(A)约为1－0.7＝0.3. (3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值． 因为＝(a＋b＋c)＝200， 所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000. 即s2的最大值为80 000. [反思] 概率统计综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算． 【试一试】 某小型超市发现每天营业额Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数X有关．据统计，当X＝700时，Y＝4.6；当X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值为：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的频率分布表： 近20天每天进超市顾客人数频率分布表 人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率(2)假定今天进超市顾客人数与近20天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率． 解　(1)在所给数据中，进超市顾客人数为1 100的有3个，为1 600的有7个，为1 900的有3个，为2 200的有2个．故近20天每天进超市顾客人数频率分布表为 人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率(2)由已知可得Y＝4.6＋×0.05＝X＋1.1， 4.6<Y<10.6，4.6<＋1.1<10.6， 700<X<1 900. ∴P(4.6<Y<10.6)＝P(700<X<1 900)＝P(X＝1 100)＋P(X＝1 400)＋P(X＝1 600)＝＋＋＝＝. 即今天营业额低于10.6万元高于4.6万元的概率为. A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )． A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对 解析　由于甲和乙有可能一人得到红牌，一人得不到红牌，也有可能甲、乙两人都得不到红牌，故两事件为互斥但不对立事件． 答案　C 2．(2013·日照模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )． A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3 解析　由对立事件可得P＝1－P(A)＝0.35. 答案　C 3．(2013·海口模拟)盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )． A. B. C. D. 解析　第一次结果一定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以第二次也取到新球的概率为. 答案　C 4．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于( )． A. B. C. D. 解析　法一　P(B|A)＝＝＝. 法二　A包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本事件为{正，正}，因此P(B|A)＝. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________． 解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝，A∩C＝，B∩C＝，B∩D＝.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝，BD＝I，故B与D互为对立事件． 答案　A与B、A与C、B与C、B与D　B与D 6．(2013·成都模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________． 解析　记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案　0.96 三、解答题(共25分) 7．(12分)某战士甲射击一次，问： (1)若事件A(中靶)的概率为0.95，事件(不中靶)的概率为多少？ (2)若事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数不大于6)的概率为多少？ 解　(1)事件A(中靶)的概率为0.95， 根据对立事件的概率公式得到的概率为1－0.95＝0.05. (2)由题意知中靶环数大于6与中靶环数不大于6是对立事件，事件B(中靶环数大于6)的概率为0.7， 事件C(中靶环数不大于6)的概率为1－0.7＝0.3. 8．(13分)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会． (1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2)求他不乘轮船去开会的概率； (3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？ 解　(1)记“他乘火车去开会”为事件A1，“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7. (2)设他不乘轮船去开会的概率为P， 则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5， 故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会． B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件．那么( )． A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析　根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件． 答案　B 2．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )． A. B. C. D. 解析　从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝. 答案　D 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如下图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________． 解析　由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5. 答案　32　0.437 5 4．(2013·浙江五校联考)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________． 解析　设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝ 答案　. 三、解答题(共25分) 5．(12分)(2013·长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型ABABO该血型的人所占比/%2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 解　(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)法一　由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36. 法二　因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36. 即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. 6．(13分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站． (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望． 解　(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， P(A1)＞P(A2)，甲应选择L1； P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)，乙应选择L2. (2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立， P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04， P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P() ＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54. X的分布列为 X012P0.040.420.54E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5. 。