六年级奥数讲义分数应用题之工程问题2

工程问题（二）教学目标1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具.工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难.在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键.一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题.工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题——变速问题【例 1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分钟比晚饭前多打32个字．前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（）字．【例 2】工厂生产一批产品，原计划15天完成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有件.【例 3】甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？【例 4】甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高110，乙的工作效率比单独做时提高15．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的25，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的1330尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？【巩固】一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的45，乙只能完成原来的910．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?【巩固】要发一份资料，单用A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送，要8分钟；若A、B同时发送，由于相互干扰，A、B每分钟共少发0.2页.实际情况是由A、B同时发送，5分钟内传完了资料（对方可同时接收两份传真），则这份资料有________页.【例 5】甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快13，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？【例 6】甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的12时，乙完成了任务的12还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？【例 7】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？【例 8】一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成14时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?【例 9】甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是天．【例 10】一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍，上午在甲工地工作的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的512在乙工地工作.一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天.这批工人有人. 模块二、工程问题方法与技巧整体分析法【例 11】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的12，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的13，丙生产了50个.这批玩具共有_________________个.【例 12】几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？【巩固】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？【例 13】有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则丙帮甲小时，帮乙小时．【巩固】搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【例 14】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加14，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？【例 15】甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙在A仓库搬了多长时间？【例 16】一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【例 17】一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时.甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用________小时.【例 18】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？【巩固】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【例 19】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例 20】为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水.水池建成后，发现水池漏水.这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满.则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过小时池水就会漏完.【例 21】蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)【巩固】一项工程，甲、乙合作3125小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多13小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【例 22】甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多14．甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?【例 23】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有16的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【例 24】一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？【例 25】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？【例 26】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？。

第四讲分数应用题之工程问题教学目标工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。

1.工程问题的基本数量关系与一般解法；2.工程问题中的常见解题方法；3.工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。

经典精讲工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。

1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。

2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。

抛开“工作总量”，和“时间” ，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠” ，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

基本题型【例 1】 一项工程，甲单独做 20天完成，乙单独做 30天完成。

甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。

乙请假多少天 ?【分析】（法一）甲一共干了16 天，完成了 1164，还有 141，是乙做的，乙干了了2055 51 1 （天），休息了（天），请假天数为： 1611 1（天）。

16 6 1616 6 105 30 6102030（法二）假设乙没有请假，则两人合作16 天，应完成 ( 11 ) 16 4 ，20 303 超过单位“ 1”的411，则乙请假 11 10（天）。

333 30【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了 8 天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单 独做 15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？【分析】甲的工作效率：1 ，甲的工作量： 1 82 ，2020 5 乙的工作量： 1 2 3，乙的工作效率： 3 15 1 ，5 5 525 所以乙单独完成这项工作需 25 天。

百度文库- 让每个人平等地提升自我六年级奥数第三讲工程问题顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量 =工作效率×工作时间，工作时间 =工作量÷工作效率，工作效率 =工作量÷工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。

甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。

甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。

问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。

这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。

工程问题（二）工程应用问题的特点是题目中不直接给出具体的总量，通常需设工作总量为单位“1”，所以工程问题是小学数学中较复杂的分数问题。

解答工程问题要抓住工作效率、工作时间和工作总量三者之间的关系。

这种题与工作问题、相遇问题、分数问题和比例问题之间有内在的联系，在解题时要自觉地进行知识间的联系，以拓宽解题思路，综合灵活地解题。

例1、加工一批了零件，甲、乙合做24天可以完成；由甲先做16天，然后由乙再做12天后，还剩下这批零件的52没有完成。

已知甲每天比乙多加工3个零件，求这批零件共有多少个？做一做：甲、乙共同铺一段路，经过2小时24分完成，完成时甲比乙多铺9.6米。

已知甲单独铺完这条路需要4小时30分，问甲和乙的功效各是多少。

例2、某水池用甲、乙两个水管注水，单开甲管10小时可把空池注满，单开乙管20小时可把空池注满。

现在要求用8小时把空池注满，并且甲、乙两管合开的时间要尽可能少，那么，甲、乙两管合开最少要几小时？做一做：一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需15天完成。

如果两人合做，甲的工作效率要降低51，乙的工作效率也要降低101。

现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数要尽可能少，那么，两人合做最少要多少天？例3、5个工人加工735个零件，2天加工了135个零件。

已知这2天中有1个人因故请假1天，照这样的工作效率，如果以后几天中无人请假，还要多少天才能完成任务？做一做：一件工作，甲独做需要10小时完工，乙独做需要30小时完工，现两人合做，其间甲休息2小时，乙休息8小时（不在同一时间休息），那么从开始到完工共用多少小时？例4、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。

若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，完成工作共要用多少小时？做一做：一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要9小时完成。

若甲先做1小时，然后再由乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，完成任务共要用多少小时？例5、一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入水池的水量是固定的。

第十八讲工程问题（二）月日姓名【知识要点】顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

工程问题是分数应用题特例，因此解分数应用题的基本思路和解工程问题是一致的。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。

在工程问题中，要学会相互转化的方法和是等效的方法。

同一个问题，我们可以将他转化为更加简单的理解思路。

【典型例题】例1、甲、乙两队工程队合修一条公路，甲队单独修要15天修完，乙队单独修要20天修完。

现在两队同时修了几天后，由甲队单独修了8天修完。

问乙队修了几天？例2、一项工程，甲、乙两队合作12天完成。

乙、丙两队合作18天修完。

甲、丙两队合作需9天就修完。

现在三队合作需多少天才能修完？例3、一件工作，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天。

若甲先做若干天后乙接着做，共用了18天完成。

求甲工作了多少天？例4、唐僧和悟空合做一件袈裟，要20天完成。

如果让悟空先做8天，剩下的工作有唐僧单独做，还要26天才能完成，唐僧单独做需要几天完成？例5、加工一批零件，甲、乙合做要24天才能完成。

现在由甲先做16天，然后乙再做了12天，还剩下这批零件的40% 没有完成，已知甲每天比乙多加工5个零件。

这批零件共有多少个？【经典练习】1、一项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要12天。

现在甲乙两人合作若干天后，乙有事请假，由甲单独干了3天完成。

甲共干了多少天？2、一项工程，甲乙两人合作需要24天完成，乙丙两人合作需要40天完成，甲丙两人合作需30天完成，若由甲乙丙单独做需要多少天完成？3、一项工作，甲单独做要30天完成，乙单独做要20天完成。

如由甲做了若干天后，由乙接着做完，从开始到完工共用了26天，甲、乙两人各做了多少天？4、一件工作，甲、乙两人合作30天完成。

工程问题一、知识点概括工程问题属于分数应用题中的一种种类。

它是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。

工程问题是分数应用题中较为特别的一种。

在解答工程问题的时候，当工作总量没有供给详细数目时，一般把它看作单位“ 1”。

二、要点知识概括及解说( 一 ) 工程问题的特色工程问题是一种特别的分数应用题，主要研究工作效率、工作时间和工作总量三者之间的关系。

工程问题中的工作总量一般都能够看作单位“ 1”。

( 二 ) 工程问题中基本的数目关系工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率( 三 ) 工程问题仍旧切合分数应用题中的基本数目关系比较量÷单位“ 1”的量＝分率（几分之几）单位“ 1”的量×分率（几分之几）＝比较量比较量÷分率（几分之几）＝单位“1”的量三、难点知识解析例1、星光小学进行校内植树活动，共植树300 棵。

假如全由六年级同学植树， 3 天能够达成；假如全由五年级同学植树，则 6 天能够达成。

假如先让六年级植树1 天，再由两个年级的同学合作，还需几日能够达成？解：答：两个年级合作还要天达成。

贯通融会：1、有一批部件，由师傅独做需 12 天达成，假如和徒弟合作 8 天能够达成，假如徒弟独做，需要多少天才能达成任务？例2、甲、乙两人装饰一间房屋。

假如甲独自工作要 8 天达成，假如乙独自工作要 12 天达成。

此刻两人同时工作了几日后，乙走了，余下的甲用了 3 时节间达成。

乙工作了多少天？解：＝3( 天)答：乙工作了 3 天。

贯通融会：2、一项工程，甲独做需15 天，乙独做需12 天，此刻由甲乙合作若干天后，乙再接着做了3 天，就达成了所有工程，问甲乙合作几日？3、修一条公路，甲队独修要 15 天竣工，乙队独修要 12 天竣工。

两队合修 5 天后，甲队调走，剩下的乙独自达成。

求乙一共工作了多少天？例3、调皮和笑笑合办一期校园宣传栏，要12 天可达成。

1课前热身312-15= 8.07-1.998= 0.045÷0.09= 912627÷13= 989×3= （512+413）×12×13= 114×17.6+36÷45+2.64×12.5= 3+13×13÷13= 37×1111+7777×9= 10415-（527-11115）-457= 专题简析工程问题是将一般的工作问题量化。

换句话讲，即从分率的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。

它的特点是将工作总量看做单位“1”，用分率表示工作效率，对所做工作的数量进行分析运算的题。

列方程解仍然适用！ 一、解工程问题的关键： 1、解答工程题，首先要明确把什么看做单位“1”，再找出完成这个单位“1”的量所需要的时间，从而直接得到“工作效率”。

2、把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等这些没有告诉具体数量的工作量看作“1”；几天完成，也就是把这个“1”平均分成几份；每天完成几分之几，也就是工作效率。

3、在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量”这个关系。

建立“数量间的对应关系”是解题的突破口。

关键：独立且完成。

4、运用常用的数学思想及解题方法。

如：假设法、转换法、代换法、列举法、分修合想、周期方法等来解答工程问题，只要恰当2A 级嘉题一某工程队修一条公路，三周修完，第一周修了全长的25，第二周修了全长的15，第三周修了120米，这条公路全长多少米？ 分析与解：120÷（1-25-35）=300（米）答：这条公路全长300米。

地选择解题方法，很多问题就迎刃而解了。

二、工程问题公式：工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率甲工作效率+乙工作效率=甲、乙合作工作效率之和（合作工效）一件工作-已完成的部分=剩下的部分25 15 120米第一周 第二周“1”嘉题二机器厂要加工一批零件，计划25天完成，实际每天加工73个，不但提前4天完成任务，还超额生产8个。

工程问题一、概念（1）工作总量：工作的总量，一般抽象成单位“1”（2）工作时间：工作的时间（3）工作效率：工作的快慢程度，也就是单位时间内完成的工作量二、数量关系（1）工作总量=工作效率×工作时间（2）工作效率=工作总量÷工作时间（3）工作时间=工作总量÷工作效率三、解题技巧（1）一般算术法，涉及的思想方法可能有：代换法、比例法、列表法、方程法（2）方程法典型例题例1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合作多少天才可完成全部的工程？【练习题1.1】某工程甲单独干20天完成，乙单独干5天完成，他们合作多少天才可完成全部的工程？【练习题1.2】某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合作多少天才可完成工程的一半？【练习题1.3】一条水渠，甲、乙两队合挖需10天完工。

已知乙单独挖需要30天，求问这条水渠由甲队单独挖需多少天？例2.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。

现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。

这条水渠由甲队单独挖需多少天？【练习题2.1】师徒二人加工一批零件，师傅单独加工要8小时完成，徒弟单独加工要10小时，师傅先加工2小时后，再与徒弟共同加工，还需多少小时？（答案请用分数表示，格式为A/B）【练习题2.2】某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。

求乙队在中间单独工作的天数。

【练习题2.3】一项工程，甲独做75天完成，乙独做50天完成，在合做过程中，甲中途离开了一些天数，结果整个工程40天才完成。

甲中途离开了几天？例3.甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。

走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。

出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。

甲再出发后多长时间两人相遇？【练习题3.1】甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。

甲走完全程需20分钟，乙需15分钟。

第22讲工程问题（2）讲义专题简析有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用综合转化、整体思考等方法来解题。

例1、修一条路，甲队每天修8小时，5天可以完成；乙队每天修10小时，6天可以完成。

两队合修，每天修6小时，几天可以完成?练习：1、修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。

现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时?2、一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。

现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成?3、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以运完，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。

现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。

问后两天需要多少辆小板车?例2、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。

甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。

中途丙又转向帮助乙搬运。

最后，两个仓库同时搬完，丙帮甲搬了多长时间，帮乙搬了多长时间?练习；1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的110，徒弟每小时加工自己任务的115。

师、徒同时开始加工。

师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务。

师傅帮徒弟加工了几小时?2、有两个同样的仓库A和B。

搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。

甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。

中途甲又转向帮丙搬。

最后，两个仓库同时搬完。

甲帮乙、丙各多长时间?3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲加工了全部零件的58，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个?例3、一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。

这件工作由甲先做了几天?练习：1、一项工程，甲独做需12天完成，乙独做需4天完成。

工程问题（1）工程问题是一类典型应用题，工程问题中的本质关系式是：工作效率×工作时间= 工作总量，解答工程问题常用的方法有三种，即一般算术方法，运用比例解答和方程方法。

例1：一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在甲.乙两队合做，中途乙队因故请假几天，完成全部工程共用了30天，求乙队中途请了几天假？例2：某工厂预计30天完成一批加工零件，先由18名工人做了12天完成了任务的1/3，现因任务紧急，需要提前6天完成全部的加工任务，问需要增加多少名工人？例3：甲.乙.丙三人合修一堵围墙，甲.乙合修6天完成了1/3，乙.丙合修2天完成了余下工程的1/4，剩下的再由甲.乙.丙三人合修5天完成，共领得报酬180元，按工作量分配，甲.乙.丙各应得多少元？例4：一件工程，甲独做需12小时完成，乙独做需18小时完成，如果甲.乙顺次各做1小时交替进行，那么完成任务共需多少小时？巩固练习1：一项工程，甲.乙两队合做需12天完成，乙丙两队合做需15天完成，甲.丙两队合做需20天完成，如果由甲乙丙三人合作需几天完成？2、一条公路，甲乙两个工程队12天可以修完，甲乙合修8天后，余下的乙队独修10天才可能修完，求甲乙两队单独修这条路各要多少天？3：一项工程，8人做需15天完成，先由18人做了3天，余下的由另一部分做3天，共完成了这项任务的3/4，，那么后三天有多少人参加？4：加工同一个零件，王师傅需要2小时完成，小张需3小时完成，小李需4小时完成。

现在有这种零件143个，如果三人同时加工，各要加工多少个才能同时完成？5：做一批儿童玩具，甲组单独做10天完成，乙队单独做12天完成，丙组每天可生产64件。

如果让甲乙两组合作4天，则还有256件没有完成。

现在决定三个组合做这批玩具，需要多少天完成？6：一件工程，甲5小时完成了1/4，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲乙合作，还需要多少小时才能完成？7、甲乙两人合作完成一批零件，甲独做要10小时完成，乙独做要12小时完成，甲每小时比乙多做3个，这批零件有多少个？甲每小时做多少个？8、一件工程，甲队独做要30天，乙队独做要20天，现在由甲乙两队合作，甲队在施工过程中离开了几天，使这次工程从开工到结束一共花了16天，求甲队离开了多少天？9、一条公路，甲独做要24天完成，乙独做要30天完成，甲乙两队合作若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天，甲队修了多少天？10、一件工程，甲独做要20天，乙独做要30天，，现在他们合作，甲在中途请了5天假，工程完工一共要多少天？11、甲乙丙三人合修一条公路，甲乙6天合修三分之一，乙丙2天合修余下的四分之一，剩下的再由甲乙丙三人合作5天完成，现在领工资2700元。

小学六年级奥数工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。

如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。

现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。

现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。

乙单独做完这件工作要多少小时？4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。

已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。

当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。

当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。

单份给男生栽，平均每人栽几棵？7．一个池上装有3根水管。

甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。

现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？10、一项工程,甲先做2天,乙在做3天,完成全工程的四分之一,甲再做3天完成余下的四分之一,最后再由乙做,完成这项工作还要多少天？小升初数学专题之解方程一.字母的运算 =+x x 2 =-x x 312 =-x x %3543=+x x 56=-x x 5.0%75 =+a a 5.23 =+x x %33%25 =-x x 533=++x t x 543 =-+t x t 243 =+--t x t x 27326 =-+x x 5367二.去括号（主要是运用乘法的分配律和加减法的运算性质） 1.=+)(c b a 2.=++)(c b a =-+)(c b a3.=+-)(c b a=--)(c b a应用上面的性质去掉下面各个式子的括号，能进行运算的药进行运算 =-)3(3x=-)326(21x =++)23(12x =-+)3261(65x =--)3(5x =+-)1(27x =++)123(4183x x =--)312(36x x x=+++)62(31)43(21x x =--+)212(21)58(41x x 三.等式的性质.1.等式的定义： ，叫做等式；2.等式的性质：(1).等号的两边同时加上或减去同一个数，等号的左右两边仍相等； 用字母表示为：若a=b ，c 为任意一个数，则有a+c=b+c(a-c=b-c); (2).等号的两边同时乘以同一个数，等号的左右两边仍相等； 用字母表示为： ; (3).等号的两边同时除以同一个不为零的数，等号的左右两边仍相等. 用字母表示为： ; 四.方程1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程；2.方程的解：满足方程的未知数的值，叫做方程的解；3.解方程：求方程的解的过程，叫做解方程. 五.解方程1.运用等式的性质解简单的方程，257575575=-=-=-+=+x x x x 解：3399345345443543=÷==+=+=+-=-x x x x x x 解：如果把画框的部分省略，我们把一个数从等号的左边移到右边的过程，叫做移项， 注意把一个数从方程的左边移到右边时，原来是加的变成减，原来是减的变成加号。

第十一讲工程问题例1 自行车轮胎安装在前轮上能行驶5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶3000千米。

为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后，将前后轮调换的方法，问：安装在自行车上的一对轮胎最多可能行驶多少千米？例2 5个工人加工735个零件，2天加工了135个零件。

已知这两天中有1人因事请假1天，照这样的工作效率，如果后几天中无人请假还要多少天才能完成任务？例3 甲、乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米，现有甲工程队先修3天，余下的路程由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？例4 师徒两人同时加工一批零件，1.5小时两人共加工了21个。

接着两人又同时加工了9小时，这时师傅比徒弟一共多加工了42个。

问师傅每小时加工多少个零件？例5 甲、乙两人加工零件，甲做4小时，乙做6小时，共加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时，共加工208个。

甲、乙两人每小时各加工多少个零件？例6 甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继续向C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。

如果甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总路程都是7.3米，所用时间分别是6分钟、7分钟和八分钟，则蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C爬行了多少米？蚂蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了多少米？例7 某项工程先由甲单独做40天，再由乙做28天可以完成。

现在甲、乙合做35天就完成了。

如果先由甲单独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？例8 A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三个工程队分别承担，同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙三个队的工作效率的比是多少？。

六年级奥数(Shu)工程问题(2)一：基本(Ben)类型工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有(You)关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。

模型一：工作效率(Lv)（和）×工作时间=工作总量模型(Xing)二：工作总量÷工作(Zuo)效率（和）=工作时间模型三：工作(Zuo)总量÷工作(Zuo)时间=工作效率（和）（一）先合作，后独作例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。

甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A）设乙x天（1/24+1/30）x+1/24*6=1 x=10例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。

现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。

乙队休息了几天？（B级）（二）丙先帮甲，再帮乙例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。

有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。

丙帮助甲搬运了几小时？（B级）（三）甲乙合作，中途有(You)人休息例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。

现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。

这(Zhe)样一共用了几天时间？（B级）（四）独做(Zuo)化合做例5、甲乙合做一项(Xiang)工程，24天完成。

如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做(Zuo)完成任务各需多少天？（B级）（五）合(He)做变独做例6、一项工(Gong)程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。

工程问题（二）教课目的娴熟掌握工程问题的基本数目关系与一般解法；工程问题中常出现独自做，几人合作或轮番做，剖析时必定要学会分段办理；依据题目中的实质状况能够正确进行单位“1的”一致和变换；工程问题中的常看法题方法以及工程问题算术方法在其余种类题目中的应用．知识精讲工程问题是小学数学应用题教课中的要点，是分数应用题的引申与增补，是培育学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量当作单位“1”的应用题，它拥有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教课中，让学生成立正确观点是解决工程应用题的要点。

一．工程问题的基本观点定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间互相关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内达成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，一定做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如观点、性质、法例、公式等宽泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵巧运用；③学会画线段表示图．线段表示图能直观地揭露“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，能够帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行剖析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思虑问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化无常，单靠一致的思路模式有时很难找到正确解题方法．所以，在解题过程中，要擅长掌握对应、假定、转变等多种解题方法，不停地开辟解题思路．三、利用常有的数学思想方法：如代换法、比率法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数目关系，转变出与所求有关的工作效率，最后再利用先前的假定“把整个工程当作一个单位”，求得问题答案．一般状况下，工程问题求的是时间．例题精讲模块一、工程问题——变速问题【例1】甲打一篇文稿，打完一半后吃晚餐，晚餐后每分钟比晚餐前多打32个字．前后共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（）字．【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答、【要点词】走美杯，三年级，初赛，四年级【分析】由“前25分钟比后25分钟少打640个字”，可知：多打这640个字需要的时间是：640÷32=20（分钟），那么就知饭前用了30分钟，饭后用了20分钟，假如这640个字所有吃饭前的速度打，则需要10分钟，故可知饭前的速度是64个字每分钟，饭后的速度是96个字每分钟，则文稿一共有：64×30+96×20=3840个字。

工程问题 学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。

本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。

知识梳理1.工程问题在主要概念定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。

在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。

工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，即：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=51，即为所求，同时51也是甲完成这项工作的速度，所以51就是这道题中甲的工作效率。

在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。

常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。

2.解决工程问题的基本思路(1)工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。

工程问题一般采用这种方法求解。

(2)先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。

(3)求剩余部分的工作量完成的时间。

工程问题1、一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。

甲先做了一些天后，余下的由甲、乙合做了9天完成了任务。

问甲先做了多少天？2、一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成。

乙做了10天后，甲才开始与乙合作，问完成这项工程后，乙共做了多少天？3、一项工程，甲、乙两队合做需要12天完成，乙队独做需要30天完成，那么甲队独做需要多少天完成？4、一项工程，甲独做需要20天完成，乙独做比甲多用1/2的时间，丙独做比乙少用18天，如果3人合作，多少天可以完成这项工程？5、一项工程，甲独做5天后，余下的乙独做15天完成了任务。

如果全部工程由乙独做30天可以完成，那么，全部工程由甲独做需要多少天完成？6、一项工程，甲单独做需要20天完成，乙独做需要30天完成，丙独做需要12天完成，现在先由甲、乙两人合作6天后丙加入三人合作，还要多少天才能完成这项工程？7、加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。

如果甲比乙每天多做36个，那么这批零件共有多少个？8、加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。

甲、乙两人合作6天，加工了1500个零件，问这批零件共有多少个？9、加工一批零件，甲独做需要20天完成，乙独做需要30天完成。

甲、乙两人合作，完成任务时，甲比乙多生产了36个，问这批零件共有多少个？10、加工一批零件，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成。

现在两人合做2天，还剩下2500个零件没加工，问在合做时间内乙加工了多少个零件？11、加工一批零件，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30天完成，现由甲、乙两人合做，完成任务时，甲给乙300个零件，两人做的零件个数就相等。

问这批零件共有多少个？12、甲、乙两人加工一批零件，规定两人各完成这批零件的一半，已知乙的效率相等于甲的2/3，工作了10天，甲完成了自己的任务，这时乙还差500个零件没完成。

问这批零件共有多少个？13、一项工程，甲单独做需要20天完成，甲、乙合做6天后，甲外出，余下的乙又用了15天才完成任务。