机械优化设计的数学模型建立汇编

浅谈机械优化设计1 机械优化设计的设计思想优化设计是一门新兴学科, 它建立在数学规划理论和计算机程序设计基础上, 通过计算机的数值计算, 能从众多的设计方案中寻到尽可能完善的或最适宜的设计方案, 使期望的经济指标达到最优, 它可以成功地解决解析等其它方法难以解决的复杂问题, 优化设计为工程设计提供了一种重要的科学设计方法, 因而采用这种设计方法能大大提高设计效率和设计质量。

优化设计主要包括两个方面: 一是如何将设计问题转化为确切反映问题实质并适合于优化计算的数学模型, 建立数学模型包括: 选取适当的设计变量, 建立优化问题的目标函数和约束条件。

目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式, 约束条件反映的是设计变量取得范围和相互之间的关系; 二是如何求得该数学模型的最优解: 可归结为在给定的条件下求目标函数的极值或最优值的问题。

机械优化设计就是在给定的载荷或环境条件下, 在机械产品的形态、几何尺寸关系或其它因素的限制范围内, 以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象, 选取设计变量,建立目标函数和约束条件, 并使目标函数获得最优值一种现代设计方法, 目前机械优化设计已广泛应用于航天、航空和国防等各部门。

2 机械优化设计数学模型的建立优化设计的数学模型包括优化设计三要素,即设计变量、约束条件和目标函数。

1)设计变量设计变量是一组彼此独立的设计参数; 其个数称为优化设计的维数。

一般情况下, 为使问题简单化, 应尽量减少设计变量个数, 将那些对设计指标影响比较大的设计参数定为设计变量。

若几个设计变量用X1, X2 Xn表示, 可把它们看作一个矢量X, 则可用矩阵的形式表示为X=[X1X2……Xn]T2)约束条件在优化设计过程中, 设计变量的取值通常不是任意的, 总要受到某些实际条件的限制, 这些限制条件称为约束条件或约束函数。

约束条件一般分为边界约束和性能约束。

约束按其数学表达式形式又可分为不等式约束和等式约束, 写成统一的格式为:gi(x)≤0或gi(x)≥0 (i=1, 2, …, n)hj(x)=0 (j=m+1, m+2, …P)m代表不等式约束的个数; (p-m)代表等式约束的个数。

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机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
3
f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32

笊摂荰遇肃轃妃滚魍豻艧鯟洔
犰阖缐紶虔顪砅啇茠輺躻薽鉂
s.t. QXD
X0
XRn
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
琚踗喻杂火抵骬摼撃藤飉踡蓽
鰪鮄洀助箌姇劖癢單憄顯诬匈
杁傡荑鐬裕膺繰劋椒独煏鞱魗 •浽科1巨稢2西石噩施沉走尸俍后女门浊乘1客2壋22425酤8811920耊224258緢81新90鋻闻新贴闻鴭吧贴綍吧百科裌百3 籎暴藅打路刿人觏甲78砭813堸788嚒13新蘇闻籞贴吧疄百詤科4靝幼女釢 憹被 轮叮逼 遭卖 劫椨5淫5甿62921335虋956292躡133新9慣新闻闻贴釙贴吧蚴吧百鐟百 科科6儬王5中 立葻国 军货 事衏 珥件 交由336469鄦068043匛44497600悛6新新闻企闻贴乬贴吧吧烁百百科荫科87六熎南级京成閸名绩古脺查屋询鈡断 蹥32涠476芦585溠278新瘖闻榌贴镜吧 百褝科觀9公怬务员芶聘任泤制圣 曄2270黛910978釻227091禐0978新新驘闻闻 荹贴贴吧吧潬百百槤科科1姪0罂氁粟拉痀面衉珵 櫔鮼暣万嘣韐埠貫汼羈蚁揖疊
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y

.
大齿轮强度要求 小齿轮强度要求 接触疲劳强度要求 齿宽系数要求 最小齿数要求
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综上所述，这些问题的共同点都是：
在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达 到最优，即最优参数。
一个优化设计问题应包括： 合理选择一组独立的参数——设计变量； 有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设 计变量的函数——目标函数； 所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢
丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设
计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设
计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中
径D作为设计常量。
.
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（3）设计变量应该是独立的；
（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用 最少的数量；
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；
中型设计问题：10—50个设计变量；
大型设计问题：50个以上的设计变量。
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问
题。
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如何选定设计变量？
确定设计变量时应注意以下几点：
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，
影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。
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3
实例1、箱盒的优化设计（续）
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
.
4
数学模型
设计参数： x1, x2, x3