全国高考历年概率与统计

全国高考历年概率统计2010文（19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

附：P(K≧≧k)k 0.0503.8410.0106.6250.00110.828K2=n (ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2010理（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（A）100 （B）200 （C）300 （D）40019)(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：2011文6.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.13 B. 12 C. 23 D. 3419.（本小题12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A 分配方和B 分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<-=102,410294,294,2t t t y估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润.2011理（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解析：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3100+，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

历年高考录取率统计一览表历年高考录取率统计表2010年参加高考人数946万，高考录取人数657万，高考录取率69%2011年参加高考人数933万，高考录取人数975万，高考录取率72%2012年参加高考人数915万，高考录取人数685万，高考录取率75%2013年参加高考人数912万，高考录取人数684万，高考录取率75%2014年参加高考人数939万，高考录取人数697万，高考录取率74.3%2015年参加高考人数942万，高考录取人数700万，高考录取率74.3%2023年参加高考人数940万，高考录取人数705万，高考录取率75%2023年参加高考人数940万，高考录取人数700万，高考录取率74.46%2023年参加高考人数975万，高考录取人数790.99万，高考录取率81.13% 2023年参加高考人数1031万，高考录取人数820万，高考录取率79.53%2023年参加高考人数1071万，高考录取人数967.5万，高考录取率90.34% 2023年参加高考人数1078万，高考录取人数1001.32万，高考录取率92.89% 2023年高考，全国内地31个省、市、自治区总报名人数是1193万人。

比2023年高考1078万人，净增长约115万人。

而实际上，参加2023年夏季高考的总人数是947万多人，约占全国高考总报名人数的79.38%。

即45左右。

高考录取率的影响因素是什么录取率的高低受到多种因素的影响，包括但不限于以下几点：大学招生计划：每所大学都会设定招生计划，规定录取的人数。

计划的大小与录取率密切相关。

如果招生计划较大，录取率可能相对较高;如果招生计划较小，录取率则可能较低。

考生竞争状况：高考是一个竞争激烈的选拔过程，考生之间的竞争非常激烈。

录取率与考生的整体竞争水平密切相关。

如果考生整体水平较高，录取率可能较低;如果考生整体水平相对较低，录取率则可能较高。

大学排名与声誉：一些知名的大学因其声誉和优秀的教育质量而受到更多申请者的青睐，导致录取率相对较低。

专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。

高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。

在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。

为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。

1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。

2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。

连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。

3) 某音乐社有男生40人，女生60人。

从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。

2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。

2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。

现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。

3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。

求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。

现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。

（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。

在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。

祝同学们取得优异的高考成绩！。

2024全国高考真题数学汇编概率与统计章节综合一、单选题1．（2024上海高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势2．（2024天津高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2024全国高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x ，样本方差20.01s ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布 2N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布 2,N，()0.8413P Z ）A ．(2)0.2P XB ．(2)0.5P XC ．(2)0.5P Y D ．(2)0.8P Y 三、填空题4．（2024上海高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．5．（2024天津高考真题）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．6．（2024全国高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.四、解答题7．（2024全国高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p ，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p 150件产品的数据，能否认为生12.247 ）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d2P K k0.0500.0100.001k3.8416.63510.8288．（2024上海高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：22(),n ad bc a b c d a c b d 其中n a b c d ， 2 3.8410.05P ．）9．（2024北京高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望 E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中 E X 估计值的大小．（结论不要求证明）10．（2024全国高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q (1)若0.4p ，0.5q 5分的概率．(2)假设0p q ，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？参考答案1．C【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB ，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB 错误.对于CD ，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C 正确，D 错误.故选：C.2．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 3．BC【分析】根据正态分布的3 原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ，所以 2.1,0.1Y N ，故 2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y ，C 正确，D 错误；因为 1.8,0.1X N ，所以 2 1.820.1P X P X ，因为 1.80.10.8413P X ，所以 1.80.110.84130.15870.2P X ，而 2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X ，B 正确，A 错误，故选：BC ．4．0.85【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212，则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p ．故答案为：0.85．5．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为 2435C 3C 5P M ；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 133524351C 2C C P MN C P N M P M故答案为：35；126．12/0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .该轮得分的概率 631448k P X，所以 31,2,3,48k E X k .从而 441234113382k k k E X E X X X X E X .记 0,1,2,3k p P X k k .如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p .而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p ， 1233232p p p E X .所以121112p p，1213282p p ，两式相减即得211242p，故2312p p .所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p .故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.7．(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p ，根据题意计算p .【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得2215026302470754.687550100965416K，因为3.841 4.6875 6.635，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150，用频率估计概率可得0.64p ，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p ，则0.50.50.5 1.650.56812.247p ，可知p p所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 8．(1)12500(2)0.9h(3)有【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比17943282558058，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为25 290001250058．（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为10.50.511 1.5 1.522 2.51391911794328580222220.9 ．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.（3）由题列联表如下：1,2其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设0H ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中0.05 ．22580(4530817750) 3.976 3.84195485222358．则零假设不成立，即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．9．(1)110(2)(i)0.122万元；(ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i ）中 E X 估计值【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求 的分布列及数学期望，从而可求 E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求 E Y ，从而即可比较大小得解.【详解】（1）设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得 603010180010060301010P A.（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得 800410010,0.810005100010P P ，603( 1.6)100050P ，303( 2.4)1000100P ，101(3)1000100P，故 4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E故 0.40.2780.122E X （万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255，故 0.1220.40320.40.1252E Y （万元），从而 E X E Y .10．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q 甲，331(1)Pq p 乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率 3310.610.50.686P .（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q 甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p 乙，0p q ，3333()()P P q q pq p p pq 甲乙2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq2222()333p q p q p q pq 3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q ，P P 甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q， 3213511C 1P X p q q ，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ，33(15)1(1)P X p q ，332()151(1)1533E X p q p p p q记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理 32()1533E Y q q q p()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q 15()(3)p q pq p q ，因为0p q ，则0p q ，31130p q ，则()(3)0p q pq p q ，应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.。

数学高考概率与统计历年真题精选2024概率与统计是高中数学的重要内容之一，在高考中占有相当的比重。

为了帮助广大考生更好地备考概率与统计，本文整理了数学高考概率与统计的历年真题，并进行了精选，希望对考生的备考有所帮助。

1. 选择题精选1）（2015年广东高考）设事件A、B独立，P(A)=0.3，P(A∪B)=0.7，则P(B)为（）A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5解析：由独立事件的性质可得，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B)，代入已知条件可得，0.7 = 0.3 + P(B) - 0.3·P(B)，整理得P(B) = 0.4，故选C。

2）（2016年江苏高考）某人参加驾驶证考试，第一道选择题有5个选项，有且只有1个正确选项，则某人随机选择答案的通过率为（）。

A. 5%B. 20%C. 25%D. 80%解析：某人随机选择答案的通过率为正确答案的比例，即为1/5，转换成百分数为20%，故选B。

2. 解答题精选1）（2017年北京高考）某地下车库共有4层，每层有16个停车位，小明停车习惯于停在第1层，而小红停车习惯于停在第2层，他们同时来到车库停车，请问小明和小红停在同一层的概率是多少？解析：小明停在第1层的概率为1/4，小红停在第2层的概率为1/4，由于小明和小红是同时来到车库停车的，因此小明和小红停在同一层的概率为(1/4)·(1/4) = 1/16。

2）（2018年福建高考）某地区的夏季天气，可以分为晴天、多云、阴天三种情况，以往观测数据表明：晴天、多云、阴天的概率分别为0.4、0.3、0.3。

今有一天这个地区天气为晴天，已知当天多云、阴天的概率为x和y，求概率x与y之和的最大值。

解析：根据题意，晴天的概率为0.4，多云和阴天的概率之和为0.6，因此x+y=0.6。

根据概率的性质，x和y的取值范围为[0, 0.3]，且x+y的最大值为0.6。

历届高考录取率1995年高考录取率1995年的高考录取率是一个非常受关注的话题，因为这一年的录取率创下了一个新的纪录。

根据统计数据显示，全国共有100万名考生参加高考，而取得录取资格的人数只有20万。

换句话说，这意味着仅有20%的考生有机会进入大学。

1998年高考录取率1998年的高考录取率也是一个备受关注的话题。

当年，全国共有120万名考生参加高考，而录取资格的人数为30万，录取率为25%。

可以看出，与前几年相比，1998年的录取率有所上升，这对于当时求学压力较大的考生来说是一个好消息。

2003年高考录取率2003年的高考录取率再次成为公众关注的焦点。

据统计，全国共有150万名考生参加高考，而仅有40万人获得录取资格，录取率约为27%。

这一数据显示，尽管参加高考的考生数量不断增加，但录取比例并未有明显提高。

2009年高考录取率2009年的高考录取率引起了广泛的讨论。

当年，全国共有200万名考生参加高考，而录取资格的人数为50万，录取率为25%。

尽管录取率维持在25%左右，但由于考生数量的增加，实际上录取的人数大幅度增加。

2015年高考录取率2015年的高考录取率同样备受关注。

根据统计数据显示，全国共有240万名考生参加高考，而录取资格的人数为60万，录取率为25%。

这一数据再次表明，尽管参加高考的人数不断增加，但录取率相对稳定，考生竞争依然激烈。

2020年高考录取率2020年的高考录取率也成为大众热议的话题。

根据最新统计，全国共有270万名考生参加高考，而录取资格的人数为70万，录取率为26%左右。

这一数据显示，尽管疫情的影响导致高考延期，但考生的竞争依然十分激烈，录取率相对稳定。

高考是我国学生一生中非常重要的考试，对于每一位考生来说都是一次挑战。

而每一年全国高考的人数和录取率也是备受关注的重要数据。

本文将对历年全国高考人数及录取率进行一览，以便读者了解高考的整体情况。

二、历年全国高考人数统计1. 2010年2010年全国高考报名人数为1032万人，实际参加考试的人数为953万人。

高考录取率为63，录取人数为600万人。

2. 2011年2011年全国高考报名人数为1080万人，实际参加考试的人数为1003万人。

高考录取率为62，录取人数为625万人。

3. 2012年2012年全国高考报名人数为1105万人，实际参加考试的人数为1028万人。

高考录取率为61，录取人数为630万人。

4. 2013年2013年全国高考报名人数为1130万人，实际参加考试的人数为1053万人。

高考录取率为60，录取人数为635万人。

2014年全国高考报名人数为1157万人，实际参加考试的人数为1076万人。

高考录取率为58，录取人数为625万人。

6. 2015年2015年全国高考报名人数为1182万人，实际参加考试的人数为1095万人。

高考录取率为57，录取人数为620万人。

7. 2016年2016年全国高考报名人数为1206万人，实际参加考试的人数为1112万人。

高考录取率为56，录取人数为615万人。

8. 2017年2017年全国高考报名人数为1230万人，实际参加考试的人数为1131万人。

高考录取率为55，录取人数为610万人。

9. 2018年2018年全国高考报名人数为1255万人，实际参加考试的人数为1153万人。

高考录取率为54，录取人数为605万人。

10. 2019年2019年全国高考报名人数为1280万人，实际参加考试的人数为1174万人。

高考录取率为53，录取人数为600万人。

三、历年高考录取率分析根据以上数据可以看出，历年全国高考的报名人数呈现逐年增长的趋势，2010年至2019年的报名人数分别为1032万人至1280万人。

【1977—2017+历年全国高考人数和录取率统计】随着我国教育改革的不断深化，高考作为我国学生接受高等教育的重要标准，其影响力逐渐扩大。

自1977年恢复高考以来，高考人数和录取率发生了翻天覆地的变化。

通过对历年全国高考人数和录取率的统计，我们可以看到高考制度在过去40年间的变化和发展，也可以从中窥探我国教育发展的脉络和趋势。

一、1977—1997年全国高考人数和录取率统计1977年，我国恢复了高考制度，首次举行了现代意义上的高考。

这一年，全国高考人数约为500万人，录取率不到5。

高考人数相对较少，录取率也较低，反映了当时我国教育水平和普及程度的不足。

1987年，高考人数上升至1500万人，录取率略有提高，但仍不足10。

这一时期，我国正值教育事业蓬勃发展的阶段，高考人数增长迅猛，录取率逐步提高，但仍面临着教育资源不足的难题。

1997年，高考人数进一步上升至2200万人，录取率约为20。

在此期间，由于教育资源的不均衡分布和城乡差距，高考录取率的提高并未带来教育公平的改善，反而加剧了社会不公平现象的恶化。

二、1998—2007年全国高考人数和录取率统计1999年，我国教育部对高考政策进行了重大改革，提出“综合素质招生”的理念，旨在全面评价学生的综合素质和能力。

这一变革带来了高考人数和录取率的新变化。

1998年至2007年，高考人数继续上升，平均每年增长约百万人，录取率也持续提高，平均每年增长1左右。

综合素质招生的政策使得高考录取率更加公平和公正，为学生提供了更多展现自我能力的机会。

三、2008—2017年全国高考人数和录取率统计2008年，我国高考继续保持稳定增长的趋势，高考人数逼近3000万人，录取率达到30左右。

其中，农村地区和中西部地区的高考人数增长更为明显，高考录取率也有了一定的提高。

2012年，我国教育部提出了“高考综合改革试点方案”，加大对综合素质招生政策的推广力度，试图通过改革高考录取机制和考试内容，实现高考录取率的更大提高和教育公平的更好实现。

2024年高考数学概率与统计真题深度解读2024年高考数学考试中的概率与统计题目是考生们备受关注的重要部分。

本文将对该年份的真题进行深度解读，帮助考生们更好地理解并应对这类题型。

以下是对主要题目的详细解析。

第一题：概率计算【题目】某游乐园的过山车共有10个座位，游客依次排队入座。

已知第一个游客会坐在左边或者右边的两个座位之一，之后的每个游客都会选择一个尚未坐人的座位，并以1/2的概率选择坐在剩下的左边或右边座位。

那么，最后一个游客坐在左边座位的概率是多少？【解析】根据题目给出的排队规则，我们可以逐步分析游客入座的情况。

首先，第一个游客的入座位置有两种可能，坐在左边座位的概率为1/2，坐在右边座位的概率也为1/2。

接下来，第二个游客入座时，如果第一个游客坐在左边座位，那么第二个游客只能选择右边座位，因此第二个游客坐在左边座位的概率为0；同理，如果第一个游客坐在右边座位，那么第二个游客也只能选择左边座位，因此第二个游客坐在左边座位的概率为1/2。

类似地，我们可以继续推理，得到如下表格：游客编号坐在左边座位的概率第1个游客 1/2第2个游客 0第3个游客 1/2第4个游客 1/4第5个游客 1/8...第10个游客 1/512最后一个游客坐在左边座位的概率等于所有游客选择左边座位的概率之和，即：1/2 + 0 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/512 = 1 - 1/512 = 511/512因此，最后一个游客坐在左边座位的概率为511/512。

第二题：统计分析【题目】某班级有50名学生，其中30人会打篮球，20人会踢足球，10人既会打篮球又会踢足球。

现在从班级中随机选择一名学生，问他/她既不会打篮球也不会踢足球的概率是多少？【解析】根据给出的信息，我们可以利用概率的加法原理和减法原理来求解该题目。

首先，既会打篮球又会踢足球的学生人数为10人，因此会打篮球的学生人数为30-10=20人，会踢足球的学生人数为20-10=10人。

ʏ湖南省郴州市第一中学 李 强概率是高考必考内容,着重考查同学们的阅读能力与获取信息能力,考查热点问题主要有古典概型,互斥事件,对立事件,相互独立事件的概率求法,条件概率,离散型随机变量的分布列,二项分布,超几何分布,正态分布等㊂近几年的概率与统计试题,大多以现实生活为背景,注重知识的综合应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集㊁整理㊁分析数据,能从大量数据中提取有用的信息,建立数学模型,从而利用数学原理与数学工具解决实际问题㊂考查同学们的逻辑推理㊁数据分析㊁数学运算㊁数学建模等核心素养㊂考向一㊁古典概型的概率计算与相关概念例1 (多选题)如图1所示,是一个3ˑ3九宫格,现从这9个数字中随机挑出3个图1不同的数字,记事件A 1:恰好挑出的是1,2,3;记事件A 2:恰好挑出的是1,4,7;记事件A 3:挑出的数字里含有数字1㊂下列说法正确的是( )㊂A.事件A 1,A 2是互斥事件B .事件A 1,A 2是独立事件C .P (A 1|A 3)=P (A 2|A 3)D .P (A 3)=P (A 1)+P (A 2)解析:对于选项A :挑出的是1㊁2㊁3和挑出的是1㊁4㊁7两个事件不可能同时发生,故A 正确;对于选项B :事件A 1,A 2不是独立事件,故B 错误;对于选项C :P (A 1|A 3)=P (A 1A 3)P (A 3)=1C 39P (A 3),P (A 2|A 3)=P (A 2A 3)P (A 3)=1C 39P (A 3),所以P (A 1|A 3)=P (A 2|A 3),故C 正确;对于选项D :因为P (A 3)=C 11C 28C 39,P (A 1)=1C 39,P (A 2)=1C 39,所以P (A 3)ʂP (A 1)+P (A 2),故D 错误㊂故选A C ㊂评注:本题以古典概型概率的计算,以及概率中互斥事件㊁独立事件的概念为载体,结合排列组合有关知识,解答的关键是对概念的清晰理解和条件概率公式的掌握,主要考查同学们的运算求解与推理论证能力㊂考向二㊁条件概率公式㊁全概率公式例2 (多选题)已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒内装有两个1号球,一个3号球;3号盒内装有三个1号球,两个2号球㊂若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下列说法正确的是( )㊂A.如果将10个相同的小球放入这三个盒子内,允许有空盒子,则不同的放法有36种B .第二次抽到3号球的概率为1148C .如果第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大D .在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为13解析:对于选项A :把10个小球和三个盒子排成一列有12个空(不含两端),再用2根棍插入其中两个空,所以不同的放法有C 212=66(种),故A 错误;对于选项B :设A 1表示第一次抽取到1号球,A 2表示第一次抽取到2号球,A 3表示第一次抽取到3号球,所以P (A 1)=12,P (A 2)=P (A 3)=14,设B 3表示第二次抽到3号球,则P (B 3)=P (A 1B 3)+P (A 2B 3)+P (A 3B 3)=P (B 3|A 1)P (A 1)+P (B 3|A 2)P (A 2)+P (B 3|A 3)P (A 3),而P (B 3|A 1)=P (B 3|A 2)=14,P (B 3|A 3)=16,所以P (B 3)=14ˑ12+14ˑ14+16ˑ14=1148,故B 正确;对于选项C :第二次抽到的是3号球来自1号盒子的概率为P (A 1|B 3)=P (B 3|A 1)P (A 1)P (B 3)=611,第二次抽到的是3号球来自2号盒子的概率为P (A 2|B 3)=P (B 3|A 2)P (A 2)P (B 3)=311,第二次抽到的是3号球来自3号盒子的概率为P (A 3|B 3)=P (B 3|A 3)P (A 3)P (B 3)=211,所以第二次抽到的是3号球来自1号盒子的概率最大,故C 正确;对于选项D :设B 2表示第二次抽到2号球,则在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为P (B 2|A 3)=13,故D 正确㊂故选B C D ㊂评注:本题以最常见的取球游戏为出发点,重点考查条件概率的计算,结合排列组合知识进行求解,具有很强的综合性㊂解答的关键是重点理解取球的游戏规则,分情况讨论,求出对应的条件概率,主要考查同学们的逻辑推理与数学运算等核心素养㊂考向三、离散型随机变量的分布列例3 (江西省南昌市2024届高三摸底测试)迎 七一 党建知识竞赛,竞赛有两关,某学校代表队有四名队员,这四名队员若有机会参加这两关比赛,通过的概率如表1所示:表1队员第一关第二关甲3423乙3423丙2312丁2312比赛规则是:从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛,每个队员通过第一关可以得60分,且有资格参加第二关比赛,若没有通过,得0分且没有资格参加第二关比赛;若通过第二关可以再得40分;若没有通过,不再加分㊂两名参赛队员所得总分为该代表队的得分,代表队得分不低于160分,可以获得 党建优秀代表队 称号㊂假设两名参赛队员不相互影响㊂(1)求这次比赛中,该校获得 党建优秀代表队 称号的概率;(2)若这次比赛中,选中了甲乙两名队员参赛,记该代表队的得分为X ,求随机变量X 的分布列和期望㊂解析:(1)记选出甲乙两名队员参赛为事件A 1,选出甲乙㊁丙丁各一人参赛为事件A 2,选出丙丁两名队员参赛为事件A 3,获得 党建优秀代表队 称号为事件B ㊂所以P (A 1)=C 22C 24=16;P (A 2)=C 12C 12C 24=23;P (A 3)=C 22C 24=16㊂所以P (B )=P (A 1B +A 2B +A 3B )=16ˑ342ˑ232+2ˑ23ˑ13+23ˑ34ˑ23ˑ23ˑ12+13ˑ12+23ˑ12+16ˑ23 2ˑ12 2+2ˑ12ˑ12 =112+518+118=512㊂(2)由题意知X 的所有可能取值为0,60,100,120,160,200㊂则P (X =0)=142=116;P (X =60)=2ˑ34ˑ13ˑ14=18;P (X =100)=2ˑ34ˑ23ˑ14=14;P (X =120)=342ˑ132=116;P (X =160)=34 2ˑ2ˑ23ˑ13=14;P (X =200)=342ˑ232=14㊂所以随机变量X 的分布列为表2:表2X 060100120160200P11618141161414所以E (X )=0ˑ116+60ˑ18+100ˑ14+120ˑ116+160ˑ14+200ˑ14=130㊂评注:本题以离散型随机变量的分布列为载体,以现实生活中知识竞赛为素材,提出概率的实际应用问题,具有较强的综合性,需要同学们具有较强的逻辑推理和数学运算能力㊂本题解答的关键是合理的分类讨论,并能准确运算㊂考向四、二项分布与正态分布例4 (山东省临沂市2024届高三开学摸底联考)在 飞彩镌流年 文艺汇演中,诸位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛宴㊂现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得样本平均数μ=45.75㊂(1)若所有参赛者的年龄X 服从正态分布N (μ,15.752),请估计参赛者的年龄在30岁以上的人数㊂(2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者的作品有a %(0<a <100)的概率被评为A 类,(1-a %)的概率被评为B 类,每位参赛者作品的评级结果相互独立㊂记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A 类作品的概率为p (a ),求p (a )的极大值点a 0㊂(3)以(2)中确定的a 0作为a 的值,记上述幸运嘉宾的作品中的A 类作品数为Y ,若对这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式:甲:A 类作品参赛者获得1000元现金,B 类作品参赛者获得100元现金;乙:A 类作品参赛者获得3000元现金,B类作品参赛者不获得现金奖励㊂根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式,成本可能更低㊂附:若X ~N (μ,σ2),则P {|X -μ|<σ}=0.6827㊂解析:(1)因为X ~N (45.75,15.752),所以P (X >30)=0.5+12P (|X -μ|<σ)=0.84135㊂所以参赛者的年龄在30岁以上的人数约为2000ˑ0.84135ʈ1683(人)㊂(2)记x =a %,0<x <1,p (a )=f (x ),设a 0=100x 0,其中x 0为f (x )的极大值点㊂依题意可得f (x )=C 240x 2(1-x )38,则f '(x )=C 240[2x (1-x )38-38x 2(1-x )37]=2C 240x (1-x )37(1-20x )㊂令f '(x )=0,又0<x <1,得x 0=120㊂所以当0<x <120时,f'(x )>0;当120<x <1时,f'(x )<0㊂所以f (x )在0,120上单调递增,在120,1上单调递减㊂所以p (a )在(0,5)上单调递增,在(5,100)上单调递减㊂故p (a )的极大值点a 0=5㊂(3)由题意知Y ~B 40,120,E (Y )=40ˑ120=2㊂记Z 1㊁Z 2分别为甲㊁乙两种颁奖方式各自所发奖金总额㊂因为Z 1=1000ˑY +100ˑ(40-Y )=4000+900Y ,Z 2=3000Y ,所以E (Z 1)=4000+900E (Y )=4000+900ˑ2=5800,E (Z 2)=3000E (Y )=6000,所以E (Z 1)<E (Z 2)㊂故选择甲种颁奖方式成本更低㊂评注:本题以正态分布与二项分布为载体,综合函数与导数知识,结合生活中的具体事例,具有较强的综合性㊂第一问是已知具体的正态分布,求指定区间的概率,结合正态曲线图像,数形结合,考查同学们的直观想象能力;第二问求二项分布中概率的极大值点,关键是弄清楚概率分布类型,借助导数这一重要工具,考查同学们的逻辑推理与数学运算能力;第三问结合实例,作出决策,借助二项分布,求出两种颁奖方式的成本期望值,为后面的决策提供数据支撑与依据,考查同学们的数学运算能力㊂考向五、超几何分布例5 (湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024届高三月考)统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,通过对数据的收集㊁整理㊁分析㊁描述及对事件发生的可能性进行刻画,来帮助人们作出合理的决策㊂(1)现有池塘甲,已知池塘甲里有50条鱼,其中A 种鱼7条,若从池塘甲中捉了2条鱼㊂用ξ表示其中A 种鱼的条数,请写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望E (ξ)㊂(2)另有池塘乙,为估计池塘乙中的鱼数,某同学先从中捉了50条鱼,做好记号后放回池塘,再从中捉了20条鱼,发现有记号的有5条㊂①请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数㊂②统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法 最大似然估计,其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树,即在什么情况下最有可能发生已知的事件㊂请从条件概率的角度,采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数N (X 表示捞出的20条鱼中有记号的鱼的数目,即使得P (X =5)最大的N 的值)㊂解析:(1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2㊂则P (ξ=0)=C 243C 250=129175;P (ξ=1)=C 143㊃C 17C 250=43175;P (ξ=2)=C 27C 250=3175㊂故ξ的分布列为表3:表3ξ012P129175431753175所以E (ξ)=0ˑ129175+1ˑ43175+2ˑ3175=725㊂(2)①设池塘乙中的鱼数为m ,则50m=520,解得m =200,所以可以估计池塘乙中的鱼数为200条㊂②设池塘乙中的鱼数为n ,令事件B = 再捉20条鱼,5条有记号 ,事件C = 池塘乙中的鱼数为n ,则P n =P (B |C )=C 550㊃C 15n -50C 20n㊂由最大似然估计法,即求p n 最大时n 的值,其中n ȡ65,所以p n +1p n=(n -49)(n -19)(n -64)(n +1)㊂当n =65, ,198时,p n +1p n >1;当n =199时,p n +1p n=1;当n =200,201, 时,p n +1p n<1㊂所以池塘乙中的鱼数为199或200条㊂评注:本题以超几何分布与试验观察法为载体,结合函数的性质,以科学研究统计实例为背景,体现数学的基础性㊂第一问考查具体的超几何分布,理清概率分布借助组合知识即可解决;第二问的第一小问考查分层等比例抽样,第二小问考查条件概率,巧用相邻两项概率的大小,得出函数的单调性,综合性较强㊂本题着重考查同学们的逻辑推理与数学运算等能力㊂最后,建议同学们在复习时,理清概念,结合具体案例,注意对比记忆,性质和公式需要理解性记忆,在平时的练习中重视错题,善于积累,勤于思考,不断提升数学解题能力,从而提高高考竞争力,最终实现自己的目标㊂(责任编辑 王福华)。

全国高考是每年的重要考试，是我国升学选拔的重要方式之一、每年的全国高考拥有数百万考生参加，而每年的录取率也是广大考生和家长关注的焦点，下面是历年全国高考人数统计和录取率的分析：
1.历年全国高考人数
根据教育部的数据，自2006年起，每年全国共有约980万考生参加高考，随着我国人口数量的不断增长和教育普及水平的提高，每年参加高考的人数也在不断增加。

2019年，全国高考人数首次突破了1000万人，达到了1001.78万人，创下历史新高。

2.历年全国高考录取率
每年的全国高考的录取率也是广大考生和家长非常关心的问题。

根据数据，历年的全国高考录取率呈现出波动上升的趋势。

以2019年为例，全国的普通高校共招收了617.82万人，录取率为61.64%，较2018年上升了1.85个百分点，这意味着越来越多的考生能够进入到高等教育的阶段。

值得注意的是，全国高考录取率不同于各省份之间的录取率。

各省份的录取率受到省份经济水平和高考难度等因素的影响，因此各省份的录取率可能会有所不同。

3.全国高考人数和录取率的趋势
从整体趋势来看，随着我国教育普及水平的提高和人口数量的不断增长，每年的全国高考人数会逐步增加，并且录取率也会逐渐上升。

考生们需要更加努力学习，提高自己的成绩，才能在激烈的竞争中脱颖而出。

此外，政府对教育事业的投入也会影响录取率，政府进一步加大对教育事业的投入，有望进一步提高录取率。

总体来说，全国高考是考生们走向成功的重要一步，每年的高考人数和录取率也是评估我国教育水平的重要指标之一、考生们要积极备考，争取在考试中取得优异的成绩，铸就自己的未来。

全国历年本科录取率统计一、平均录取率统计根据全国各省市的招生情况及高考成绩分布，经过多年的数据统计和分析，可以得出各省市本科录取率的平均值。

以下是全国历年本科录取率的统计结果：1.北京：根据历年统计数据显示，北京本科录取率始终位居全国前列，平均录取率约为80%。

2.上海：上海的本科录取率也一直保持较高水平，平均录取率约为75%。

3.广东：广东省的本科录取率一直稳定在全国前列，平均录取率约为70%。

4.浙江：浙江省的本科录取率也一直保持较高水平，平均录取率约为65%。

5.江苏：江苏省的本科录取率相对稳定，平均录取率约为60%。

6.四川：四川省的本科录取率逐年提升，平均录取率约为55%。

7.湖北：湖北省的本科录取率也呈现逐年上升的趋势，平均录取率约为50%。

8.湖南：湖南省的本科录取率相对较高，平均录取率约为45%。

9.山东：山东省的本科录取率相对稳定，平均录取率约为40%。

10.辽宁：辽宁省的本科录取率逐年提升，平均录取率约为35%。

二、录取率的影响因素本科录取率的高低与多个因素有关，以下是主要影响本科录取率的因素：1.高考难度：高考的难度越大，竞争越激烈，录取率相应下降。

2.生源质量：考生的整体素质和高考成绩分布会对本科录取率产生直接影响。

3.招生计划：各省市的招生计划，包括招生名额和专业设置，也会对录取率产生影响。

4.高校实力：高校的综合实力和声誉也会对本科录取率产生影响，排名靠前的高校录取率通常较低。

5.政策因素：各地的高考政策和录取政策对录取率有一定影响。

三、录取率的变化趋势随着社会发展和高等教育的普及，全国各省市的本科录取率呈现不同程度的上升趋势。

以下是一些典型省市本科录取率的变化情况：1.北京：北京的本科录取率逐年稳定在较高水平，变化不大。

2.上海：上海的本科录取率也一直保持较高水平，变化不大。

3.广东：广东省的本科录取率有所上升，但波动较大。

4.浙江：浙江省的本科录取率逐年上升，变化较为明显。

2024高考数学概率与统计历年题目大盘点概率与统计作为高中数学的重要内容之一，一直以来都是高考中的必考内容。

掌握好概率与统计的理论知识，并通过做题来加深对知识点的理解和应用能力的培养，对于顺利应对高考数学考试至关重要。

本文将通过对2024年高考数学概率与统计部分的历年题目进行大盘点，帮助同学们更好地掌握和复习这一知识点。

一、选择题1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = kx^2，其中0<x<1，求k的值。

2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = cx(1-x)，其中0<x<1，求c的值。

3. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.4，事件B发生的概率为P(B) = 0.5，事件A与事件B独立，求事件A与事件B同时发生的概率P(A∩B)。

4. 写出使得事件A、B、C相互独立的随机试验的条件。

5. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.3，事件B发生的概率为P(B) = 0.4，事件A与事件B互斥，求事件"A或B发生"的概率P(A∪B)。

6. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.3，事件B发生的概率为P(B) = 0.4，且P(A∪B) = 0.6，求事件"A与B互斥"的概率P(A∩B)。

7. 一批产品共100个，其中有4个次品。

从中任意取出5个，求取出的样本中有2个次品的概率。

8. 已知事件A、B独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A∪B)与P(A∩B)。

二、计算题1. 某汽车4个月出事故的概率为0.01，问8个月中出事故至少2次的概率是多少？2. 某商品的销售量服从正态分布N(400,100)，求销售量大于380的概率。

3. 某座城市的某个月的降水量服从正态分布N(150,25)，求该月降水量大于200的概率。

4. 某厂生产的电视机寿命服从正态分布N(1000,100^2)，求电视机寿命小于900的概率。

历年全国高考人数及录取率一览历年全国高考人数及录取率一览自1977年恢复高考以来，中国的高考制度已经走过了将近四十年的历程。

高考是中国教育体系中的一项重要制度，它作为选拔人才的重要方式，对于几代中国人的成长经历有着重要的意义。

本文将对历年全国高考人数及录取率进行一览。

首先，我们来看一下高考人数的变化。

高考人数是衡量中国教育整体水平的重要指标之一。

随着中国人口的增加和教育普及率的提高，高考人数也呈现出逐年增加的趋势。

据统计，从1977年到2021年，高考人数从不到200万人逐渐增长到近千万人。

尤其是近年来，高考人数呈现出爆发式增长的态势。

这主要得益于教育普及率的提高，城市化进程的加速以及人口红利的释放。

其次，我们来看一下高考录取率的变化。

高考录取率是高考考生最关心的指标之一，它反映了高考竞争的激烈程度。

根据数据显示，历年来高考录取率逐渐下降。

1977年的全国高考录取率约为28%，这主要是由于当时高等教育资源的相对匮乏所致。

随着中国高等教育体系的发展和教育资源的增加，高考录取率逐年提高。

但是，由于高考人数的快速增加，高考竞争也日益激烈，录取率在近年来再次出现下降的趋势。

高考人数和录取率的变化背后反映了中国教育改革的进展和社会发展的变化。

教育的普及使得更多的人可以接受高等教育，这是中国社会进步的一个重要方面。

同时，高考制度的不断改革也逐渐完善了选拔人才的方式。

例如，近年来的高考改革引入了综合素质评价等多元化的考核方式，这有助于减轻高考对学生的单一评价。

然而，高考制度也存在着一些问题和挑战。

一方面，高考竞争激烈，压力巨大，给考生和家长带来了很大的心理负担。

另一方面，高考录取率的下降也带来了教育资源分配的不均衡问题，优质高等教育资源主要集中在一线城市和一些名校，导致了教育不公平的问题。

综上所述，历年全国高考人数及录取率的一览显示了中国教育制度的发展和变化。

高考的人数逐年增加，录取率则逐年下降。

这一切背后反映了中国教育改革的进展和社会发展的变化。

专题15概率与统计（选择题、填空题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%+75%2>70%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以D错.故选:B.2．【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．23【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为615=25.故选：C.3．【2022年全国乙卷】分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，D选项结论正确.故选：C4．【2021年甲卷文科】为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.5．【2021年甲卷文科】将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.8【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.6．【2021年乙卷文科】在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A ．34B ．23C ．13D ．16【答案】B【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设Ω=“区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭随机取1个数”，对应集合为：102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为12，A =“取到的数小于13”，对应集合为：103x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为13，所以()()()10231302l A P A l -===Ω-．故选：B ．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．7．【2020年新课标1卷文科】设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.8．【2020年新课标3卷文科】设一组样本数据x 1，x 2，…，xn 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10xn 的方差为（）A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【答案】C 【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.9．【2019年新课标1卷文科】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.10．【2019年新课标2卷文科】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B 【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．11．【2019年新课标3卷文科】两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．12．【2018年新课标2卷文科】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D 【解析】【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率.13．【2018年新课标3卷文科】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++计算可得详解：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++=因为()()P A 0.45,P AB 0.15==所以()P B 0.4=，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．14．【2022年全国乙卷】从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C 53=10甲、乙都入选的方法数为C 31=3，所以甲、乙都入选的概率=310故答案为：31015．【2018年新课标3卷文科】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样.【解析】【详解】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．。

专题15概率与统计（解答题）1．【2021·全国高考真题（理）】某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯=，=，y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.2．【2021·北京高考真题】为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望E (X )；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y 的期望为E (Y )，试比较E (X )和E (Y )的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）()()E Y E X >．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出()E Y ，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X 可以取20，30，()12011P X ==，()1103011111P X ==-=，则X 的分布列:X2030P1111011所以()1103202030111111E X =⨯+⨯=；（2）由题意，Y 可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为232981510020499C C P C ==，不在同一组的概率为19599P =，则()()49529502530=999999E Y E X =⨯+⨯>.3．【2021·全国高考真题】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）B 类．【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．【详解】（1）由题可知，X 的所有可能取值为0，20，100．()010.80.2P X ==-=；()()200.810.60.32P X ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以X 的分布列为X020100P0.20.320.48（2）由（1）知，()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=．若小明先回答B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100．()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=；()1000.80.60.48P X ==⨯=．所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=．因为54.457.6<，所以小明应选择先回答B 类问题．4．【2021·全国高考真题】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）利用公式计算可得()E X .（2）利用导数讨论函数的单调性，结合()10f =及极值点的范围可得()f x 的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【详解】（1）()00.410.320.230.11E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设()()3232101f x p x p x p x p =++-+，因为32101p p p p +++=，故()()32322030f x p x p x p p p x p =+-+++，若()1E X ≤，则123231p p p ++≤，故2302p p p +≤.()()23220332f x p x p x p p p '=+-++，因为()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+-≤，故()f x '有两个不同零点12,x x ，且1201x x <<≤，且()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上为增函数，在()12,x x 上为减函数，若21x =，因为()f x 在()2,x +∞为增函数且()10f =，而当()20,x x ∈时，因为()f x 在()12,x x 上为减函数，故()()()210f x f x f >==，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，若21>x ，因为()10f =且在()20,x 上为减函数，故1为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，综上，若()1E X ≤，则1p =.若()1E X >，则123231p p p ++>，故2302p p p +>.此时()()20300f p p p '=-++<，()230120f p p p '=+->，故()f x '有两个不同零点34,x x ，且3401x x <<<，且()()34,,x x x ∈-∞+∞ 时，()0f x '>；()34,x x x ∈时，()0f x '<；故()f x 在()3,x -∞，()4,x +∞上为增函数，在()34,x x 上为减函数，而()10f =，故()40f x <，又()000f p =>，故()f x 在()40,x 存在一个零点p ，且1p <.所以p 为230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，此时1p <，故当()1E X >时，1p <.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.5．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【解析】（1）甲连胜四场的概率为116．（2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18．所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684---=．（3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18．比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18．因此丙最终获胜的概率为111178168816+++=．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i iy==∑，2021)8(0ii x x =-=∑，2021)9000(i iy y =-=∑，201)()800(i i i y y x x =--=∑．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数)((iinx y r x y --=∑1.414≈．【解析】（1）由已知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20220.943(iix y y x r --=∑．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．7．【2020年高考全国III 卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：K 2=()()()()2) n ad bc a b c d a c b d -++++，P （K 2≥k ）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828．【解析】（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．8．【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：2SO [0,50](50,150](150,475]PM 2.5[0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：2SO PM 2.5[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．9.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为0p ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为2001200+4003=，该校女生支持方案一的概率为3003300+1004=；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：2121311313((1)()3433436C -+-=;（Ⅲ）01p p <【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．11．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．12．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333k k k P X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 1272949827随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== ．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y ===== (3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．13．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD ==()()()()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为X012P 0.240.520.24故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为X1-01P (1)αβ-(1)(1)αβαβ+--(1)αβ-（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+ 877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=．4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。

历年全国高考人数及录取率一览全国高考是中国教育系统中最重要的考试之一，也是决定学生升学和未来发展的一个重要标志。

随着年份的推移，全国高考的考生人数和录取率也在不断变化。

下面是历年全国高考人数及录取率的一览。

2010年，全国高考考生人数约为千万人，录取率约为%。

当年的录取率相对较低，主要原因是考生人数较多，而高等教育资源相对有限。

2011年，全国高考考生人数继续增加，达到千万人，录取率相比前一年略有下降，约为%。

考生的竞争压力进一步增加，大部分考生需要通过其他途径获取高等教育机会。

2012年，全国高考考生人数达到历史新高，超过千万人，录取率再次下降至%。

高考的竞争日益激烈，许多考生需要通过多种途径争取到高等教育机会。

2013年，全国高考考生人数继续增加，突破千万人，录取率再次下降至%。

高等教育资源的分配依然面临一定的困难，许多考生需要通过提高成绩和多渠道的录取方式来实现升学目标。

2014年，全国高考考生人数进一步增加，达到千万人，录取率继续下降至%。

此时高考的竞争已经达到了非常激烈的程度，许多优秀的考生无法进入自己理想的高校就读。

2015年，全国高考考生人数再次增加，达到千万人，录取率继续下降至%。

各省份的高考政策和录取标准的差异导致了考生录取率的差异，一些省份的录取率甚至低于全国平均水平。

2016年，全国高考考生人数继续增加，超过千万人，录取率再次下降至%。

考生的竞争压力非常大，很多考生需要通过自主招生和其他方式来增加自己的录取机会。

2017年，全国高考考生人数虽然略有下降，但依然超过千万人，录取率继续下降至%。

考生对于高等教育的需求与供给之间的矛盾依然存在，一定程度上制约了录取率的提高。

2018年，全国高考考生人数再次略有下降，录取率有所上升，达到%。

高校扩招政策的实施和高等教育资源的逐步增加为考生提供了更多的升学机会。

2019年，全国高考考生人数进一步下降，录取率有所上升，达到%。

高等教育资源的合理配置和政策的调整为考生提供了更多的录取机会。