热门高三数学课件：曲线的方程与方程的曲线课件

y)=0表示的曲线C上.
(2)从方程的解的角度：若f(x0，y0)=0，则M(x0，y0)在方程f(x， y)=0所表示的曲线C上；或若M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲 线C上，则f(x0，y0)≠0.
类型二：曲线与方程关系的应用 【典例2】证明以原点为圆心，半径为3的圆的方程是x2+y2=9.
x2+y2=9(y≥0).
2.(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0)，则它表示的轨迹是什 么？ 【解析】以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心，以3为半 径的圆上，当满足xy>0时，说明这些点的横、纵坐标同号，即这些点 应该在第一象限或第三象限内，所以方程表示的曲线是以原点为圆心，
O
M ( x0 , y0 )
以 ( x 0 , y 0 )为 坐 标 的 点 在 直 线 上 .
x
问题2：方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 表示如图的圆， 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 图象上的点M与此方程 ，
有什么关系？
（1）圆上任一点
第二章
圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问 题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方 程吗？
【探究】 曲线的方程与方程的曲线 问题 1 ：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系？ (1)在直线上任找一点 M ( x 0 , y 0 ),则 x 0 y 0， 即 （ x 0 , y 0） 是方程x-y=0的解； x-y=0 y (2)如果 ( x 0 , y 0 ) 是 x y 0的解，那么

一、新知探究
1.在直角坐标系中，圆心为C(a,b) ,半
径为r的圆C的方程为_(_x_-a__)2_+_(_y_-b__)2_=_r_2_.
2.①若点M(x0,y0)在圆C上，则点M的坐标 (x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解吗？
y
②若(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，
3.“以这个方程的解为坐标点都在曲线上”,阐明符合条 件的所有点都在曲线上而毫无遗漏——完备性.
4.由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在
曲线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0.
三、精典例题
例1 判断下列命题是否正确： (1)过点A(3，0)且垂直x轴的直线的方程为︱x︱=3. (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1. (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为 ︱xy︱=1. (4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC 中点，则中线AD的方程x=0.
的关系:
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M
①若点M(x0,y0)在圆C上，则点M的坐标
(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为
也可以说成曲线f(x,y)=0
由题意得( )2+(-m-1)2=10
没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都
曲线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0.
例1 判断下列命题是否正确：
②若(x0,y0)是方程x-y=0的解，则M(x0,y0)
M
②若(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，

第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
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课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
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课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
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由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
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归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
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2.方程的曲线与曲线的方程的关系:

方法博览(七)
利用参数法求轨迹方程 在求点的轨迹方程时，有时求动点应满足的几何条件 不易求得，也无明显的相关点，但却较易发现(或经过分析 可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(如斜 率、比值、截距或坐标等)的制约，即动点坐标(x，y)中的 x，y分别随另外变量的变化而变化，我们称这些变量为参 数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．
解析：选D 当a＝3时，点P的轨迹是线段，当
a≠3时，点P的轨迹是椭圆．
考点一 定义法求轨迹方程
[例 1] (2014·台州模拟)已知 A(－5,0)，B(5,0)，动点 P
满足 ,
，8 成等差数列．
(1)求点 P 的轨迹方程；
(2)对于 x 轴上的点 M，若满足
，则
称点 M 为点 P 对应的“比例点”．问：对任意一个确定
1．直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要 方法，也是高考考查的重要内容．
2．直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命 题角度：
(1)明确给出等式，求轨迹方程； (2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹 方程．
[例 3] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的一个焦 点为( 5，0)，离心率为 35.
1 个主题——坐标法求轨迹方程 通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究， 明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任 务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一． 3 种方法——求轨迹方程的三种常用方法 明确求轨迹方程的适用条件是求轨迹方程的关键． (1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹 的类型，应用定义法，这样可以减少运算量，提高解题速度．
常数)，动圆 C1：x2＋y2＝t12，b<t1<a.点 A1，A2 分别为 C0 的左、 右顶点，C1 与 C0 相交于 A，B，C，D 四点，则直线 AA1 与直 线 A2B 的交点 M 的轨迹方程为________________．

xy＝＝－0－2＋23＋30＋y1.x1，xy11＝＝33xy＋＋22.， 代入 y1＝3x12－1， 得 3y＋2＝3(3x＋2)2－1. ∴y＝9x2＋12x＋3，即为所求轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．

2 2 2
(7)( x y 1)( x y 1) 0 2 2 2 (8)( x y 1) x y 1 0 -1 O
O
x
2
x
例5.已知两个定点 A、 B，动点P到A的距离是到B的距离的两倍， 则P的轨迹是什么样的曲线。 解：以A为原点，AB所在直线为x为轴建立坐标系，设|AB|=1 设P(x,y),
的( B
)
(D) 非充分也非必要条件
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件
例4.请作出下列方程所对应的曲线
(1) x y 0
y
(2)x2y2=0
y
(3)y=|x-1|
y
O
x
O
x
O
x
（4）y=2x2(1 x 2)
y 8
（5）xy=1
y
( 6) x 1 y
2 2 2 2 ( y0 2)2 | y0 |, x0 y0 4 y0 4 y0 , x0
பைடு நூலகம்
P M
则|MP|=|y0|， M 是曲线C上的点. 2 x 根据(1),(2)得，曲线C的方程为 y 1 4 练习： 到点P(1,0)距离与到原点距离之差为1的点的轨迹为C， 曲线C的方程是否为y=0？ ( x 1)2 y 2 x 2 y 2 1,
曲线与方程
坐标法：对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用
坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研 究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法。
解析几何的本质：用代数的方法来研究几何问题。
解析几何的两大基本问题：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（由

P ( x12 y12 , x1 y1 )的轨迹方程. 的轨迹方程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 + 4 y2 = 1
�
(4)参数法: (4)参数法: 参数法
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标,纵坐标之间的关系, 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标,纵坐标之间的关系, 借助中间变量(参数), x,y之间建立起联系 之间建立起联系, 则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再 得出动点的轨迹方程. 从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.
小结: 小结:求轨迹方程的一般方法
(1)直接法: (1)直接法: 直接法
如果动点运动的条件是关于x,y的等量关系,用直接法求动点轨迹, 如果动点运动的条件是关于x,y的等量关系,用直接法求动点轨迹, x,y的等量关系 建系,设点,列式,化简, 五个步骤, 一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明 可以省略,但要注意" 可以省略,但要注意"挖"与"补".
(2)定义法: (2)定义法: 定义法
运用解析几何中的一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),从曲线 运用解析几何中的一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),从曲线 圆锥曲线的定义), 定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式, 定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而 求出轨迹方程. 求出轨迹方程.
2.求轨迹方程的一般方法: 2.求轨迹方程的一般方法: 求轨迹方程的一般方法
Ex: Ex:已知点 A ( 2, 0 ) , B ( 4, 0 ) ,动点 P ( x , y )满足 PA PB = 0,
2 以AB为直径的圆 AB为直径的圆 则点P的轨迹为____________. 则点P的轨迹为____________. ( x 1) + y = 9 2