联合体一模数学模拟试题及答案

2024年南京市联合体中考一模试卷数 学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1.2024年1月17日，国家统计局公布：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人．140967用科学记数法可表示为（）A.60.14096710⨯ B.61.4096710⨯ C.51.4096710⨯ D.41. 4096710⨯2.整数aa <<a 的值为（）A.3 B.4 C.5D.63.已知10a ->，则下列结论正确的是（）A.11a a -<-<<B.11a a-<-<<C.11a a -<-<< D.11a a-<-<<4.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，连接,OC OD ，则BAE COD ∠-∠=（）A.60︒ B.54︒ C.48︒D.36︒5.若k 为任意整数，则22(23)4k k +-的值总能（）A .被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除6.如图，在ABC 中，90302B A BC ∠=︒∠=︒=，，，D 为AB 的中点．若点E 在边AC 上，且AD DE AB BC=，则AE 的长为（）A.1 B.2 C.1D.1或2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）2024 年7.计算：|=2|-__________________．8.若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．9.计算(－a )3÷(－a 2)的结果是_________．10.方程220x mx m -+=的两个根为12,x x ．若12·4x x =-，则12x x +=____________．11.分解因式a 3-4a 的结果是______________．12.若正比例函数y kx =与函数1y x=的图像没有交点，则k 的取值范围是_________．13.若一组数据2，3，4，5，x 的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差小，则x 可以为__．（例举一个满足条件的值）14.如图，直线y kx b =+经过点(1,2)-，则关于x 的不等式(2)0k x b ++>的解集是_______．15.如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF 的长度为_______16.如图，在⊙O 中，点C 在优弧 ACB 上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O ，AB ＝4，则BC 的长是_____．三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17.化简：21(111x x x ÷--+18.解不等式组20132x x -<⎧⎪⎨+<⎪⎩，并写出不等式组的整数解．19.如图，在菱形ABCD 中，AC 是对角钱，E ，F 分别为边AB AD ，的中点，连接EF ，交AC 于点G．（1）求证EF AC ⊥；（2）若30DAC ∠=︒，2AB =，则EF 的长为________．20.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm ），数据整理如下：a .16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m ，n 的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生。

一、单选题二、多选题1.已知函数，其中为不小于x 的最小整数，如，，则关于性质的表述，正确的是（ ）A．定义域为B ．在定义域内为增函数C ．函数为周期函数D ．函数为奇函数2.某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（）A ．，20B ．，40C ．，60D ．，803.已知复数，则（ ）A．B．C．D．4. 若函数与函数互为反函数，则（ ）A ．9B ．11C ．16D ．185. 在公比q 为整数的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和.若a 1·a 4=32，a 2+a 3=12，则下列说法中，正确的是（ ）①数列{}是等比数列；②a 3=4；③数列{S n +2}是等比数列；④数列{log 2a n }是等差数列A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④6.函数满足，且，则的最小值为（ ）A ．B ．1C．D．7. 已知，则（ ）A．B．C．D．8. 已知（i 是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．四B ．三C ．二D ．一9. 为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分）．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是（ ）东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题(3)东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题(3)三、填空题四、解答题A ．甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值B ．甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值C ．甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值D ．甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平10. 若，则（ ）A．B．C．D．11. 在正四面体中，，，分别是，，的中点，则（ ）A．//平面B．C ．平面平面D ．平面平面12. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 10＝S 20，则（ ）A ．d ＜0B ．a 16＜0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n ＜0时n ≥3213. 已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_______．14. 某课外研究小组利用课余时间对某超市2020年6月至10月的销售额进行调查，发现月份与销售额的关系可用函数来拟合，设，得到如下表格：6789101.11.31.822.3若，则____________.15. 已知，则________(填“>”或“=”或“<”).16. 如图，在四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面PAD 与平面ABCD 垂直，E 为AP 中点，F 为CD 中点.(1)求证：平面PBC.(2)求点C到平面ABP的距离.17. 已知函数．（1）证明：恰有两个极值点；（2）若，求a的取值范围．18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且，，，．(1)求的值；(2)求AM的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 已知在中，.（1）求角的大小；（2）若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为4，求周长的最大值.20.如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.(1)证明：平面；(2)设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.21. 如图，在圆锥OP中，底面的半径为2，是底面的内接等边三角形，三棱锥的体积为.(1)求圆锥OP的表面积；(2)若为的直径，求二面角的余弦值.。

一、单选题1.已知，直线与圆相切，则是的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2. 已知点，，向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．3. 若，则（ ）A．B．C ．3D ．24. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A ，C 和B ，D 四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为（）A．B ．2C．D．5.已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）A．B．C．D．6. 函数在上的图象大致是A．B．C．D．7. “”是“函数在区间上存在零点”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件8. 在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角处前往最东南角处，则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点到点的最短距离走法种数为（）A ．60B ．70C ．80D ．909. 设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则不与垂直D ．不与垂直10. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）A．B．C．D．11. 已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是（ ）A．B．C．D．12. 设，，为实数且，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．13. 某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．14. i 是虚数单位，则复数______.15. 已知AD 是的内角A 的平分线，，，，则AD 长为________．16. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，，点为左顶点，且，过右焦点作直线交椭圆于，两点，当直线垂直于轴时，．（1）求椭圆的标准方程;（2）证明：原点总在以为直径的圆内；（3）若（点在轴上方），求直线的方程．17.如图，在四棱柱中，，底面是菱形，，平面平面，．（1）证明：平面．（2）求四棱锥的体积．18. 党的二十大报告提出，要推进健康中国建设，把保障人民健康放在优先发展的战略位置，完善人民健康促进政策.《国务院关于印发全民健身计划（—年）的通知》中指出，深入实施健康中国战略和全民健身国家战略，加快体育强国建设，构建更高水平的全民健身公共服务体系，充分发挥全民健身在提高人民健康水平､促进人的全面发展､推动经济社会发展､展示国家文化软实力等方面的综合价值与多元功能.如图为年~年（年的年份序号为）我国健身人数（百万人）变化情况的折线图：统计学中的样本点具有二重性，样本是可以观测的随机变量，本题将和视为两个随机变量且以上数据图中的每个样本点的产生的概率都是，已知，其中表示的平均数.参考数据及公式：.和两个随机变量之间的皮尔逊相关系数为，线性回归方程中，.(1)求回归方程的皮尔逊相关系数（保留位有效数字）；(2)求关于的回归方程.19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，.（1）证明：平面；（2）若是的中点，是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.20. 已知数列满足我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝时，得到有穷数列：，﹣1，0.（1）求当a为何值时；（2）设数列满足，求证：a取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；（3）若，求a的取值范围.21. 已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点.(1)求的标准方程：(2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.。

吉林省普通高中友好学校联合体2025届高三一诊考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．602．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤4．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．55．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2B ．3C ．4D ．57．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5C D8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <9．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．71710．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=< D ．{|12}AB x x =-<<11．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年辽宁省沈阳市民办联合体中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（3分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将5450000这个数据用科学记数法表示为（）A．545×10B．0.545×10C．5.45×106D．54.5×105 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣2a）3＝﹣6a3B．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2C．2m4+5m2＝7m6D．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m54．（3分）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A．B．C．D．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．26．（3分）已知A（﹣1，a），B（2，b）两点都在关于x的一次函数y＝﹣x+m的图象上，则a，b的大小关系为（）A．a≥b B．a＞b C．a＜b D．无法确定7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，交BC于点E，则弧DE的长为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（）A．2B．1C．D．4二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)11．（3分）|﹣2|＝．12．（3分）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是．13．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，连接OA，OB．过点A 作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为2，点B的坐标为（m，3），则m的值为．14．（3分）如图，边长为4的正方形ABCD，点E是边BC上的一点，连接AE，将射线AE 绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F，连接EF，取EF中点G，连接DG．若DF＝2DG，则BE的长为．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝12，BC＝10，∠C为锐角，且sin C＝．点P是边CD上的一动点，边AB绕点P按顺时针方向旋转90°得到线段EF，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．连接DE，DF．当△DEF是直角三角形时，CP的长为．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）计算：（1）求不等式的正整数解；（2）已知，，求代数式a2b﹣ab2的值．17．（8分）为鼓励实习员工工作积极性，某公司提供了两种实习员工月工资方案，方案一如图所示，方案二每生产一件产品25元，实习员工可以任选一种方案与公司签订合同．（1）方案一中，当x≥30时，求月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式；（2）某实习员工发现，当月选择方案一比选择方案二月工资多450元，求该实习员工生产产品的件数．18．（9分）探索浩瀚太空，永无止境；攀登科技高峰，任重道远，航天梦是强国梦的重要组成部分，是强国梦的题中之义，某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（满分100分）进行分组整理，各小组的成绩x （单位：分）分段为：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100，信息如下：Ⅲ．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70ㅤ71ㅤ72ㅤ72ㅤ74ㅤ77ㅤ78ㅤ78ㅤ78ㅤ79ㅤ79ㅤ79根据以上信息，回答下列问题：（1）求60≤x＜70，80≤x＜90这两个分数段的学生人数，并直接补全频数分布直方图；（2）求扇形统计图中成绩“90≤x≤100”对应扇形的圆心角的度数；（3）求这次测试成绩的中位数；（4）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分，乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．19．（8分）某学校准备购进一批足球和篮球，从体育商城了解到：足球单价比篮球单价少25元，用250元购买足球与用375元购买篮球的数量相等．（1）求足球和篮球的单价各是多少元；（2）若该学校准备同时购进这两种足球和篮球共80个，并且足球的数量不多于篮球数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．20．（8分）时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的．某移动公司在一处坡角为30°的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图，已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得通信塔的塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方78米的点B处测得P点的俯角为12°，求该通信塔的塔杆PD的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.208，cos12°≈0.978，tan12°≈0.213）21．（8分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上一点（点C，D在直径AB同侧），点E在AB延长线上，且∠ACE＝∠ADC，连接BC．（1）求证：∠BCE＝∠CAB；（2）若CE＝8，tan E＝，求AE的长．22．（12分）【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE＝4．动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG ⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S．【初步感知】如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P的坐标为（3，t），与y轴的交点N的坐标为（0，16），与x轴的交点为点M．（1）求矩形ABCD的边AB和AD的长；【深入探究】（2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式；【拓展延伸】（3）是否存在3个路程x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等．23．（12分）【问题提出】在数学活动课上，数学王老师给出了如下的问题：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且∠ADE ＝∠ACB．求证：∠AED＝∠ABC．【问题探究】王老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．（2）如图2，“勤奋小组”增加条件：过点B作BF⊥ED交ED的延长线于点F．求证：∠FBD＝∠ABC．（3）在“勤奋小组”增加条件的基础上，“智慧小组”增加条件：BF＝EF．求证：BC ＝BF+FD．【问题解决】（4）“梦想小组”在前面学习的基础上，创编了新的问题，请你解答．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠D＝90°+∠C，BE平分∠ABC 交AD于点E，若AE＝2，AB＝4，求CD的长．2024年辽宁省沈阳市民办联合体中考数学一模试卷参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C；2．A；3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．B；10．C 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)11．2﹣；12．；13．；14．；15．6或8+或8﹣三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（1）不等式的正整数解是1，2；（2）﹣2．；17．（1）y＝40x﹣600（x≥30）；（2）70件．；18．（1）60≤x＜70，80≤x＜90这两个分数段的学生人数分别为10人，15人；补全频数分布直方图见解答．（2）43.2°．（3）78分．（4）不正确，理由见解答．；19．（1）足球的单价是50元，篮球的单价是75元；（2）购买足球60个，篮球20个最省钱，理由见解答．；20．该通信塔的塔杆PD的高度约为56.3米．；21．（1）证明过程见解答；（2）AE的长为4+4．；22．（1）AB＝8；AD＝20；（2）S＝﹣x2+36x﹣224；（3）存在；当x3﹣x2＝x2﹣x1时，3个路程对应的面积S均相等．；23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）．。

一、单选题二、多选题1. 函数的定义域为（ ）A．B．C．D．2.在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），则的最大值为A ．1B．C．D．3. 已知抛物线的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，，若的面积为，则（ ）A ．4B ．3C ．5D ．24. 已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的体积为（ ）A．B．C．D．5. 我国南宋数学家杨辉126l 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（）A ．11B ．12C ．13D ．146. 复数，则（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．27. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．8. 函数的定义域是（ ）A．B．C．D．9. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法正确的是（）A．不存在某个位置，使B．存在某个位置，使东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题C．当三棱锥体积取得最大值时，AD 与平面ABC成角的正弦值为D ．当时，的最小值为10. 下列命题中，正确的有（ ）A ．数据93，92，92，89，93，94，95，96，100，99的极差为11B ．已知一组样本数据，，…，的平均数为5，方差为0.1，则由这组数据得到的新样本数据，，…，的平均数为11，方差为0.2C ．一元线性回归模型，变量增加一个单位时，则平均减少1.5个单位D ．已知随机变量，且，则11. 如图，在三棱锥中，，，，为中点，，，下列结论中正确的是（）A．在棱上有且仅有一个点，使得平面B ．存在某个位置，使得点到平面的距离为C ．当时，直线与平面所成角的正弦值为D ．当时，12.函数满足，，函数的一个零点也是其本身的极值点，则可能的表达式有（ ）A．B．C．D．13. 设x R ，则“”是“”的_______条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”之一）14. 对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．15. 在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .16. 如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.(1)求证：四点共面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.17. 某外卖平台为提高外卖配送效率，针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案，为比较两种配送方案的效率，共选取50名外卖骑手，并将他们随机分成两组，每组25人，第一组骑手用甲配送方案，第二组骑手用乙配送方案．根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量（单位：单）绘制了如图茎叶图：甲配送方案乙配送方案9 79 9 8 8 7 0 9 7 6 4 4 4 3 3 3 3 21 12 1 0 034567 8 9 93 3 5 7 7 7 8 8 9 9 992 3 4 4 7 8 80 2（1）根据茎叶图，求各组内25位骑手完成订单数的中位数，已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52，结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高，并说明理由；（2）设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数，将完成订单数超过记为“优秀”，不超过记为“一般”，然后将骑手的对应人数填入如表列联表；优秀一般甲配送方案乙配送方案（3）根据（2）中的列联表，判断能否有95%的把握认为两种配送方案的效率有差异．附：，其中.0.050.0100.0053.841 6.6357.87918. 在中，设.（1）求证：为等腰三角形；（2）若且，求的取值范围.19. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．(1)证明：；(2)若，四棱锥P－ABCD 的体积为，求二面角P－BC－A的余弦值．20. 已知双曲线的离心率为2，右焦点F 到渐近线的距离为，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一象限，O为坐标原点．(1)求双曲线E的方程；(2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求的取值范围．21. 设数列，及函数（），（）．（1）若等比数列满足，，，求数列的前（）项和；（2）已知等差数列满足，，（、均为常数，，且），（）．试求实数对(，)，使得成等比数列．。

2023年辽宁省沈阳市私立联合体中考数学一模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每题2分，共20分）1．（2分）﹣2023的倒数是（）A．﹣2023B．2023C．D．2．（2分）北京时间2022年12月4日11时01分，神舟十四号载人飞船与空间站组合体成功分离．航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲在空间站出差了183天返回家园，数据183用科学记数法表示为（）A．0.183×103B．1.83×103C．18.3×102D．1.83×102 3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）下列运算中，正确的是（）A．a5+a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（a2）3＝a5D．（﹣a）2•（﹣a）＝﹣a35．（2分）下列说法正确的是（）A．检查神舟十五号载人飞船零件的质量采用抽样调查B．调查“浑河水库”水质问题采用抽样调查C．打开电视机正在播放世界杯决赛是必然事件D．掷一枚质地均匀的硬币落地时正面朝上是必然事件6．（2分）已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A．y2＜y1＜0B．y1＜y2＜0C．0＜y2＜y1D．0＜y1＜y2 7．（2分）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，若∠EAD＝48°，则∠BCE的度数为（）A．48°B．45°C．42°D．132°8．（2分）国务院联防联控机制公布进一步优化疫情防控的二十条措施后，国民增强了自我防控意识，一段时间N95口罩需求量增大，某工厂6个生产车间日生产量（万只）如图所示．因任务需要，现决定再组建一个生产车间，若新车间的日生产量为4500万只，则下列关于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是（）A．平均数不变，方差变大B．平均数不变，方差变小C．平均数不变，方差不变D．平均数变小，方差不变9．（2分）直线l1和l2在直角坐标系中的位置如图所示，则直线l1和l2与x轴围成的图形的面积为（）A．4B．3C．2D．110．（2分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE．连接AE，BD交于点O，则图中的角等于60°的个数为（）A．6B．8C．9D．10二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：2m3﹣8m＝．12．（3分）如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则图中与α互补的角是．13．（3分）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为．15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0），B（2，0），若点C在一次函数的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有个．16．（3分）如图，四边形OABC是矩形，OC在x轴上，OA在y轴上，函数y＝x的图象与AB交于点D（3，3），点E是射线BC上一点，沿DE折叠点B恰好落在函数y＝x的图象上，且BE＝2CE，则点B的坐标为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：．18．（8分）沈阳市教育局为了丰富九年级学生线上教学内容，开展了沈阳“名师在线”公益活动，深受广大学生和家长的赞誉．首先开展的是语文、数学和物理三个学科，学生可以自愿参加．（1）李亮随机选择一个学科，则他选择的是数学学科的概率是；（2）张军和李亮各随机从三个学科中选择一个学科，用画树状图或列表的方法，求两个人选择的是不同学科的概率．19．（8分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝BC，将△ABC沿着BA的方向平移，使点A，B，C对应点分别为点E，A，D，连接DC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DE＝8，，求四边形EBCD的面积．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）国务院联防联控机制综合组2022年11月11日公布《关于进一步优化新冠肺炎疫情防控措施科学精准做好防控工作的通知》，即防控工作的二十条．又于2022年12月7日公布的新十条措施，明确要求，各地各部门要不折不扣把各项优化措施落实到位．为了使学生在新形势下提高防控意识，某校将“1，正确佩戴N95口罩：2．勤洗手，勤漱口；3．不去人多的公共场所聚集；4．熟知几种中药对预防新冠的用途．”几个问题，对学生进行防疫知识教育．并随机抽取部分学生的防范意识进行测试，测试结果分为A：非常优秀，B：优秀，C：良好，D：一般四个等级，并依据测试成绩绘制了如两幅尚不完整的统计图．（1）这次抽样调查的学生人数是人，并补全条形统计图；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为，在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为°；（3）该校学生有1800人，请你估计其中A等级的学生人数．21．（8分）为营造绿色、优美、生态、宜居的城市环境，2022年沈阳市政府有关部门继续积极推进“口袋公园”规划建设工作，“口袋公园”如玉珠般散落在沈阳市的大街小巷，成为一张靓丽的城市名片．在中央广电总局“中国美好生活大调查”中，沈阳市名列第2名，公园城市建设取得了里程碑式的成绩．某区的一个“口袋公园”工程中，甲队单独施工50天可以完成该项工程，若甲队施工23天之后乙队加入，两队还需同时施工12天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，则需要多少天才能完成该项工程；（2）由于甲队有其他任务，所以参与该项工程施工的时间不超过15天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程．五、（本题10分）22．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接DB，且∠DBE＝∠DBA．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，，求图中阴影部分的面积．六、（本题10分）23．（10分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，3）与x轴交于点B（4，0），C是线段AB的中点，连接OC．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；（2）将线段OC绕着点C顺时针旋转，点O的对应点D落在y轴的正半轴上，点Q在射线BO上，连接AD、CQ，若以B、C、Q为顶点的三角形与△ADC相似，则点Q的坐标为，并求出它们的相似比；（3）在（2）的条件下，若点P在直线OC上，连接AP、DP，当AP+DP的值最小时，则点P的坐标为．七、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为3，现将正方形ABCD绕点C顺时针旋转α得正方形CB′A′D′．A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．（1）如图，当正方形CB′A′D′的对角线CA'落在CD的延长线时，B′A′与AD相交于点E，连接AB′，则旋转角α＝；△AB′E的周长＝；（2）当旋转角α＝60°，B′A′与AD相交于点E，B′A′，D′A′的延长线分别与CD的延长线相交于点F，H．求的值；转角α的正切值；（4）当旋转角α＝90°，点P在直线DD′上，点Q在射线CD上，点K在与直线CD的距离为2的直线上时，若以点D，P，Q，K四点为顶点的四边形是菱形，直接写出菱形的周长．八、（本题12分）25．（12分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），，C（3，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过△ABC的三个顶点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）点M是抛物线在第一象限上一点．①连接AM与BC相交于点E，即将△ABC分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为1：2时，则点M的坐标为，直线AM的函数表达式为；②将△ABO沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为A'，点O的对应点为点O'．求出△A'MO'与△BOC重合部分的图形的周长；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上取一点K，连接CK，使∠ACK+∠BAO ＝90°，延长CK交抛物线于点P，连接AK．动点Q从C点出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使∠AQP＝∠AKP？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．2023年辽宁省沈阳市私立联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每题2分，共20分）1．【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．【解答】解：﹣2023的倒数是．故选：C．【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：183＝1.83×102．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】根据整式的乘法，幂的乘方运算、完全平方公式以及合并同类项法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2a5，故A不符合题意．B、原式＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意．C、原式＝a6，故C不符合题意．D、原式＝﹣a3，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查整式的乘法，幂的乘方运算、完全平方公式以及合并同类项法则，本题属于基础题型．5．【分析】根据“全面调查与抽样调查的特点，事情发生可能性大小”逐一判断即可解答．【解答】解：A、检测“神舟十五号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故本选项不符合题意；B、调查“浑河水库”水质问题采用抽样调查，故本选项符合题意；C、打开电视机正在播放世界杯决赛是随机事件，故本选项不符合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币落地时正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了全面调查和抽样调查，必然事件，确定事件，熟练掌握它们的定义和特点是解答本题的关键．6．【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵k＝3＞0，∴当x1＞x2＞0时，y随x的增大而减小，∴0＜y1＜y2，故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．7．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，继而求得∠B＝∠EAD＝48°，然后由CE⊥AB，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝48°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝42°．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．【分析】根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数与方差，从而得出答案．【解答】解：原数据的平均数为×（4000×2+4500×2+5000×2）＝4500，方差为×[2×（4000﹣4500）2+2×（4500﹣4500）2+2×（5000﹣4500）2]＝，新数据的平均数为＝4500，新数据的方差为×[2×（4000﹣4500）2+3×（4500﹣4500）2+2×（5000﹣4500）2]＝，所以新数据的平均数不变，方差变小，故选：B．【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．9．【分析】利用待定系数法求得两直线的解析式，进一步求得两直线的交点，然后利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：设直线l1的解析式为y＝k1x+b，∵直线l1经过点（2，0）和（0，2），∴，解得，∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2；设直线l2的解析式为y＝k2x，∵直线l2经过点（﹣2，1），∴1＝﹣2k2，解得k2＝﹣，∴直线l2的解析式为y＝﹣x，解得，∴两直线的交点为（4，﹣2），∴直线l1和l2与x轴围成的图形的面积为：＝4，故选：A．【点评】本题是两条直线的相交或平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．10．【分析】由“SAS”可证△DCB≌△ACE，再利用三角形内角和定理可求∠AOH＝∠DCH ＝60°，即可解决问题．【解答】解：如图：AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴∠CAE＝∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC＝180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOH＝∠BOE＝60°，∵两个等边三角形有6个60°角，∴一共有8个60°角．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用三角形内角和定理证明角相等，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，共18分）11．【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．【解答】解：2m3﹣8m＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2）．故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．【分析】根据垂直定义可得∠CAB＝∠ADC＝∠ADB＝90°，从而可得∠B+∠ACD＝90°，α+∠B＝90°，根据同角的余角相等可得α＝∠ACD，再根据平角定义可得结论．【解答】解：∵CA⊥BE，AD⊥BF，∴∠CAB＝∠ADB＝90°，∴α+∠B＝90°，∠B+∠ACD＝90°，∴α＝∠ACD，∵α+∠EAD＝180°，∴α与∠EAD互补，∵∠ACD+∠ACF＝180°，∠ACD＝α，∴α与∠ACF互补，∴图中与α互补的角是∠EAD和∠ACF．故答案为：∠EAD和∠ACF．【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．13．【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，∴它停在白色地砖上的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查的是几何概率，熟记概率公式是解答此题的关键．14．【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），由此求出a﹣b+c的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为（﹣1，0）是解题的关键．15．【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．【解答】解：由题意知，直线y＝﹣x+1与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，1），∴直线y＝﹣x+1过点B，如图，过点A作垂线与直线的交点C（﹣6，4），过AB中点E（﹣2，0），作垂线与直线的交点为F（﹣2，2），则EF＝2＜4，所以以4为半径，以点E为圆心的圆与直线必有1个交点∴共有2个点能与点A，点B组成直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，利用了直角三角形的性质和直线与圆的位置求解．16．【分析】设沿DE折叠点B落在函数y＝x的图象上的点为B′，连接B′E，作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如图，则EN＝BM，BE＝MN，设B′（m，m），BM＝DM ＝3﹣m，NE＝B′N＝2﹣（3﹣m）＝m﹣1或NE＝B′N＝6﹣（3﹣m）＝m+3，由勾股定理得BN2+NE2＝B′E2，即可得到2（m﹣1）2＝22或2（m+3）2＝62，解得m的值，即可求得OC的长，从而求得点B的坐标．【解答】解：设沿DE折叠点B落在函数y＝x的图象上的点为B′，连接B′E，作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如图，则EN＝BM，BE＝MN，∵点D（3，3），∴BC＝3，∵BE＝2CE，∴BE＝2或6，∴B′E＝2或6，设B′（m，m），∴BM＝DM＝3﹣m，NE＝B′N＝2﹣（3﹣m）＝m﹣1或NE＝B′N＝6﹣（3﹣m）＝m+3，∵BN2+NE2＝B′E2，′∴2（m﹣1）2＝22或2（m+3）2＝62，解得m＝1+或m＝3﹣3，∴NE＝或3，∴OC＝1+2或6﹣3，∴B（1+2，3）或（6﹣3，3）．故答案为：（1+2，3）或（6﹣3，3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，表示出线段的长度是解题的关键．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：＝5﹣3+×+1＝5﹣3++1＝3+．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．18．【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两个人选择的是不同学科的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵有语文、数学和物理三个学科，∴他选择的是数学学科的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两个人选择的是不同学科的结果有：（语文，数学），（语文，物理），（数学，语文），（数学，物理），（物理，语文），（物理，数学），共6种，∴两个人选择的是不同学科的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．19．【分析】（1）根据平移的性质得到AD＝BC，AD∥BC，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）过A作AH⊥DE于H，设AH＝3x，EH＝4x，根据平移的性质得到AE＝AB，AD＝BC，根据菱形的性质得到S△ABC＝S△ACD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿着BA的方向平移，使点A，B，C对应点分别为点E，A，D，∴AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过A作AH⊥DE于H，∵，∴设AH＝3x，EH＝4x，∵将△ABC沿着BA的方向平移，使点A，B，C对应点分别为点E，A，D，∴AE＝AB，AD＝BC，∵AB＝BC，∴AE＝AD，∴DH＝EH＝DE＝＝4，∴x＝1，∵四边形ABCD是菱形，＝S△ACD，∴S△ABC＝3×＝36．∴四边形EBCD的面积＝3S△ADE【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行的性质，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．【分析】（1）用A等级学生人数和已知百分比求出总人数，计算B等级的频数即可补全条形统计图；（2）用D等级学生人数除以样本容量可得D等级学生人数占被调查人数的百分比；用360°乘以C等级所占的比例可得在扇形统计图中C等级所对应的圆心角度数；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）这次抽样调查的学生人数是：26÷32.5＝80（人），B等级人数为：80﹣26﹣4﹣20＝30；补全条形统计图如下：故答案为：80；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为＝5%；在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为360°×＝90°．故答案为：5%；90；（3）1800×＝585（人），答：估计其中A等级的学生人数大约为585人．【点评】本题考查条形统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（1）设乙队单独施工x天可以完成该项工程，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）设乙队需施工y天才能完成该项工程，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，结合甲队参与该项工程施工的时间不超过15天，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设乙队单独施工x天可以完成该项工程，根据题意得：+＝1，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工40天可以完成该项工程；（2）设乙队需施工y天才能完成该项工程，根据题意得：+≥1，解得：y≥28，∴y的最小值为28．答：乙队至少施工28天才能完成该项工程．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．五、（本题10分）22．【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合题意推出∠DBE＝∠ODB，根据直角三角形的性质推出∠EDB+∠DBE＝90°，则∠EDB+∠ODB＝90°，根据切线的判定定理求解即可；（2）连接OC，解直角三角形求出BD＝2，∠EDB＝30°，∠DBE＝∠DBA＝60°，进而推出△OBD是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC＝AB＝2，再图中阴影部分的面积＝S扇形OBC﹣S△OBC求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB，∵∠DBE＝∠DBA，∴∠DBE＝∠ODB，∵DE⊥CB交CB的延长线于点E，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠DBE＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE＝3，＝，∠E＝90°，∴tan∠EDB＝＝，BD＝＝2，∴∠EDB＝30°，∴∠DBE＝∠DBA＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵OB＝OD，∠DBA＝60°，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝OD＝BD＝2，∴AB＝4，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝2，∴图中阴影部分的面积﹣S△OBC＝S扇形OBC＝﹣×2×3＝2π﹣3．【点评】此题考查了切线的判定与性质，熟记切线的判定与性质、扇形面积计算公式是解题的关键．六、（本题10分）23．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当以B、C、Q为顶点的三角形与△ADC相似时，存在△BCQ∽△ACD和△BCQ∽△ADC，①当△BCQ∽△ADC时，则，解得：BQ＝，即可求解；②△BCQ ∽△ACD时，同理可解；（3）作点D关于直线OC的对称点R，连接AR交直线OC于点P，则点P为所求点，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式为：y＝﹣x+2；（2）将线段OC绕着点C顺时针旋转，点O的对应点D落在y轴的正半轴上，则点D （0，3），∵点A、D的纵坐标相同，则AD∥x轴，∴∠DAC＝∠CBO，当以B、C、Q为顶点的三角形与△ADC相似时，存在△BCQ∽△ACD和△BCQ∽△ADC，由点A、C、D的坐标得，BC＝＝AC，AD＝2，①当△BCQ∽△ADC时，则，即，解得：BQ＝，则点Q（﹣，0），△BCQ和△ADC相似比为：＝3：4；②△BCQ∽△ACD时，则，解得：BQ＝2，即点Q（2，0）；②△BCQ和△ACD相似比为：1：1；综上，点Q的坐标为：（﹣，0）或（2，0）；相似比为：3：4或1：1，故答案为：（﹣，0）或（2，0）；（3）作点D关于直线OC的对称点R，连接AR交直线OC于点P，则点P为所求点，理由：根据点的对称性，PR＝PD，则AP+DP＝AP+PR＝AR为最小．由点C的坐标得，直线OC的表达式为：y＝x①，则直线DR的表达式为：y＝﹣x+3，联立上述两式得：﹣x+3＝x，解得：x＝，即PR和OC的交点坐标为（，），则点（，）是RD的中点，由中点坐标公式得，点R（，），由点R、A的坐标得，直线AR的表达式为：y＝﹣（x+2）+3②，联立①②得：﹣（x+2）+3＝x，解得：x＝，即点P（，）．【点评】本题考查了一次函数综合应用，涉及到三角形相似、一次函数的性质、点的对称性等，有一定的综合性，其中（2），分类求解是本题解题的关键．七、（本题12分）24．【分析】（1）利用旋转变换的性质，正方形的性质，解直角三角形求出AB′，EB′，AE即可；（2）证明△FA′H∽△FDE，推出＝，求出FH，EF，可得结论；（3）如图3中，延长CD交A′B′于点J，连接CE．设DJ＝x，EJ＝y，利用相似三角形的性质，勾股定理，构建方程组求解；（4）分DQ是菱形的边或对角线，分别画出图形求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝3，∠B＝∠BAD＝90°，∠CAD＝∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝45°，∴AC＝＝＝3，由旋转变换的性质可知CB＝CB′＝3，∠A′B′C＝90°，∴∠AB′E＝90°，∴∠AEB′＝∠CAE＝45°，∴AB′＝B′E＝3﹣3，∴AE＝AB′＝6﹣3，∴△AEB′的周长＝2（3﹣3）+6﹣3＝3．故答案为：45°，3；（2）如图2中，由旋转变换的性质可知∠BCB′＝∠HCD′＝60°，∵∠BCD＝∠B′＝∠D＝90°，∴∠DCB′＝30°，∴CF＝＝2，∴DF＝CF﹣CD＝2﹣3，∵CH＝CD′•cos60°＝6，∴FH＝CH﹣CF＝6﹣2，∵∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，∴EF＝＝4﹣6，∵∠A′FH＝∠EFD，∠FA′H＝∠EDF＝90°，∴△FA′H∽△FDE，∴＝＝＝+1；（3）如图3中，延长CD交A′B′于点J，连接CE．∵∠B′＝∠CE＝90°，CE＝CE，CD＝CB′，∴Rt△CEB′≌Rt△CED（HL），∴DE＝EB′，由题意2××DE×CD＝3，∴DE＝EB′＝1，设DJ＝x，EJ＝y，∵∠EJD＝∠CJB，∠EDJ＝∠CB′J＝90°，∴△EDJ∽△CB′J，∴＝，∴＝，∴x＝3y﹣3，∵y2＝x2+1，∴y2＝9y2﹣18y+9+1，∴y＝或1（舍弃），∴x＝，∵CD′∥A′B′，∴∠DJE＝∠DCD′＝α，∴tanα＝＝＝；（4）如图当DQ是菱形的边时，菱形DQKP，菱形DQK′P′的周长都是8．菱形DK1P′Q″的周长为8，当DQ′是菱形的对角线时，菱形DP′Q′K″的周长为8．综上所述，满足条件的菱形的周长为8或8．．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，菱形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．八、（本题12分）25．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）①运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+，根据题意可得点E为线段BC的三等分点，即E1（1，1），E2（2，），分别运用待定系数法求出直线AM的解析式，联立方程组即可求得点M的坐标；②由题意得△ABO沿着x轴正方向平移2个单位，即A′（1，0），O′（2，0），利用勾股定理可得AB＝，CB＝，再由△CFO′∽△CBO，可求得FO′＝，CF ＝，由△CGA′∽△CBA，可得CG＝，A′G＝，即可求得答案；（3）设K（1，m），分两种情况：①如图3，当点K在x轴下方时，过点P作PH⊥x 轴于点H，设抛物线对称轴交x轴于点L，则L（1，0），由△CKL∽△BAO，可得K（1，﹣），运用待定系数法可得直线CK的解析式为y＝x﹣2，联立方程组可求得P（﹣，﹣），由题意得Q（3﹣t，0），根据∠AQP＝∠AKP，可推出PQ＝CQ＝t，利用勾股定理建立方程求解即可求得t的值；②当点K在x轴的上方时，如图4，过点P作PH ⊥x轴于点H，同①的方法即可求得t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），，C（3，0）三点，∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+d，∵，C（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，∵直线AM将△ABC分为两个三角形的面积之比为1：2，∴点E为线段BC的三等分点，∵OC＝3，∴点E的横坐标分别为1或2，如图1，取线段BC的三等分点E1、E2，当x＝1时，y＝﹣×1+＝1，当x＝2时，y＝﹣×2+＝，∴E1（1，1），E2（2，），设直线AM的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），E1（1，1）分别代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，得：，解得：（舍去），，∴M1（2，）；把A（﹣1，0），E2（2，）分别代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，得：，解得：（舍去），，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为M1（2，）、M2（，），直线AM的函数表达式为y＝x+或y＝x+；故答案为：M1（2，）、M2（，），y＝x+或y＝x+；②将△ABO沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，∵B（0，），M1（2，），∴△ABO沿着x轴正方向平移2个单位，∴A′（1，0），O′（2，0），在Rt△ABO中，OA＝1，OB＝，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，在Rt△CBO中，OC＝3，OB＝，∠COB＝90°，∴CB＝＝＝，又CA＝4，CO′＝1，CA′＝2，∵O′B′∥OB，∴△CFO′∽△CBO，∴＝＝，即＝＝，∴FO′＝，CF＝，∵A′B′∥AB，∴△CGA′∽△CBA，∴＝＝，即＝＝，∴CG＝，A′G＝，∴FG＝CG﹣CF＝﹣＝，A′O′＝2﹣1＝1，∴四边形A′GFO′的周长＝A′O′+FO′+FG+A′G＝1+++＝，故△A'MO'与△BOC重合部分的图形的周长为；（3）存在．∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线对称轴为直线x＝1，设K（1，m），①如图3，当点K在x轴下方时，过点P作PH⊥x轴于点H，设抛物线对称轴交x轴于点L，则L（1，0），∴CL＝2，LK＝﹣m，∵∠ACK+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠ACK＝∠ABO，∵∠CLK＝∠BOA＝90°，∴△CKL∽△BAO，∴＝，即＝，解得：m＝﹣，∴K（1，﹣），设直线CK的解析式为y＝k′x+b′，则，解得：，∴直线CK的解析式为y＝x﹣2，联立方程组得：，解得：（舍去），，∴P（﹣，﹣），H（﹣，0），由题意得Q（3﹣t，0），∴CQ＝t，∵A、C关于对称轴对称，∴∠ACK＝∠CAK，∵∠AKP＝∠ACK+∠CAK，∴∠AKP＝2∠ACK，∵∠AQP＝∠AKP，∴∠AQP＝2∠ACK，当点Q位于点A的右侧时，∠AQ1P＝∠ACK+∠Q1PC，∴∠ACK＝∠Q1PC，∴PQ1＝CQ1＝t，∴Q1H＝3﹣t﹣（﹣）＝﹣t，PH＝，∵Q1H2+PH2＝Q1P2，∴（﹣t）2+（）2＝t2，解得：t＝，∴Q1（﹣，0），当点Q在点A的左侧时，∠AQ2P＝∠AQ1P，∴Q2P＝Q1P，∵PH⊥Q1Q2，∴Q2H＝Q1H＝﹣﹣（﹣）＝，∴Q2（﹣，0），∴3﹣t＝﹣，解得：t＝；②当点K在x轴的上方时，如图4，过点P作PH⊥x轴于点H，由（3）①知∠ACK＝∠ABO，△CKL∽△BAO，∴＝，即＝，解得：m＝，∴K（1，），设直线CK的解析式为y＝k″x+b″，则，解得：，∴直线CK的解析式为y＝﹣x+2，联立方程组得：，解得：（舍去），，∴P（，），H（，0），∵∠AQP＝∠AKP，∴∠AQP＝2∠ACK＝∠ACK+∠CPQ，∴∠ACK＝∠CPQ，∴PQ＝CQ＝t，∵HQ＝﹣t，PH＝，∴（﹣t）2+（）2＝t2，解得：t＝；综上所述，t的值为或或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点，三角形面积，平移变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，本题综合性很强，难度较大，解题关键是运用方程思想和分类讨论思想思考解决问题。

2023年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）2的相反数是（）A．B．C．﹣2D．2 2．（2分）（﹣2a2）3的计算结果是（）A．8a6B．﹣8a6C．6a6D．﹣6a6 3．（2分）与最接近的整数是（）A．2B．3C．4D．5 4．（2分）若0＜a＜1，则a，a2，的大小关系是（）A．＜a＜a2B．a＜a2＜C．a2＜a＜D．a2＜＜a 5．（2分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A．B．πC．2πD．3π6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，经过A（0，6）的一次函数y1的图象与经过B（0，2）的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y＝y1•y2的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）成人血管首尾相连的总长度大约是96000000米，将96000000用科学记数法表示为．9．（2分）计算的结果是．10．（2分）方程x2﹣mx+3m＝0的两个根为x1，x2．若x1•x2＝﹣6，则x1+x2＝．11．（2分）若正比例函数y＝kx与函数的图象没有交点，则k的值可以是（写出一个即可）．12．（2分）若一组数据2，3，4，5，7的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则（填“＞”“＜”或“＝”）．13．（2分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若AB∥DE，则∠AGF＝°．14．（2分）如图，在⊙O中，C为上的点，．若∠ACB＝120°，则∠OBC＝．15．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，将△ADE沿AE翻折至△AD′E，延长ED′交BC于点F．若AB＝15，DE＝10，则BF的长是．16．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D，E分别是射线AB，射线AC上的点，AD，AE的垂直平分线交于点O，当点O落在BC上时，DE长的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（6分）化简：．18．（8分）解不等式组，并写出它的整数解．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线与AD，BC分别相交于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：四边形EBFD为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，则四边形EBFD的面积是．20．（8分）某学校开设四门社团课程：A美术创作、B音乐欣赏、C跨学科实践、D劳动教育．为了解学生喜欢的课程，学校随机抽取部分学生进行调查，每名学生只能选择一门课程，并将调查结果整理数据，绘制成如下不完整的统计图．（1）补全条形统计图；（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为°；（3）已知该校有800名学生，请估计该校学生选择“C跨学科实践”课程的人数．21．（8分）某公司开展4种户外拓展活动，分别记为A，B，C，D．现甲、乙两人各自从4种活动中随机选择2项．（1）求甲选择“A，B”的概率；（2）甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的概率是．22．（7分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？23．（8分）如图，为了测量某山坡上电线杆AB的高度，小明在C处测得杆顶A的仰角为45°，向前走10m到达D处，测得杆顶A和杆底B的仰角分别是68.2°和37°，求电线杆AB的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，tan68.2°≈2.5）24．（8分）A、B两地相距120km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发mh．设甲车行驶的时间为x（h），甲、乙两车离A地的距离分别为y1（km）、y2（km），图中线段OP表示y1与x的函数关系．（1）甲车的速度为km/h；（2）若两车同时到达目的地，在图中画出y2与x的函数图象，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；（3）若甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，直接写出m的范围．25．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E．（1）求证AC＝BC；（2）连接BE，若BE为直径，BC＝3，AE＝8，求⊙O的半径．26．（9分）已知函数y1＝ax2+3ax+1与y2＝ax+5（a为常数，且a≠0）．（1）若a＞0，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点；（2）若a＜，当0＜x＜2时，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，直接写出a的取值范围．27．（10分）【初识模型】（1）如图①，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝∠ACE，，连接DE．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）∠B＝∠ADE．【再研模型】（2）如图②，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝∠ADE＝∠ACE．求证：．【应用模型】（3）如图③，直线AM与BN交于点O，∠AOB＝60°，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两处沿AM，BN方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m时，慢车到定点P 的距离为m．2023年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：C．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．【解答】解：（﹣2a2）3＝（﹣2）3a6＝﹣8a6．故选：B．【点评】考查了积的乘方，注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．3．【分析】运用算术平方根的知识进行估算求解．【解答】解：∵32＜11＜3.52，∴3＜＜3.5，即与最接近的整数是3，故选：B．【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．4．【分析】取a＝，求出a2和的值，再比较即可．【解答】解：0＜a＜1，不妨取a＝，则a＝，a2＝，＝2，∴a2＜a＜，故选：C．【点评】本题考查了有理数的大小比较，能选择适当的方法进行比较是解此题的关键，采用取特殊值法．5．【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．【解答】解：连接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的长为：＝π，故选：B．【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．6．【分析】根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2，由一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C，求得k1＝﹣，k2＝，即y1＝﹣x+6，y2＝x+2，得到y＝y1•y2＝（﹣x+6）（x+2）＝﹣x2+12，然后根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：根据题意设C（m，3），y1＝k1x+6，y2＝k2x+2，∴一次函数y1的图象与一次函数y2的图象相交于点C，∴3＝mk1+6，3＝mk2+2，∴k1＝﹣，k2＝，∴y1＝﹣x+6，y2＝x+2，∴y＝y1•y2＝（﹣x+6）（x+2）＝﹣x2+12，∴函数y是二次函数，∵﹣＜0，∴函数y图象开口向下，顶点为（0，12），故选：C．【点评】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，根据题意得到y＝y1•y2＝（﹣x+6）（x+2）＝﹣x2+12是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．【分析】根据分式有意义的条件解答即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣2≠0．∴x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：96000000＝9.6×107．故答案为：9.6×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】根据二次根式的混合运算的法则计算即可．【解答】解：＝﹣＝﹣＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．10．【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝m，x1•x2＝3m，结合x1•x2＝﹣6，可得出3m＝﹣6，解之即可得出m的值，进而可得出x1+x2＝﹣2．【解答】解：∵方程x2﹣mx+3m＝0的两个根为x1，x2．∴x1+x2＝m，x1•x2＝3m，又∵x1•x2＝﹣6，∴3m＝﹣6，∴m＝﹣2，∴x1+x2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．11．【分析】根据正比例函数与反比例函数图象与系数的关系解答即可．【解答】解：∵正比例函数y＝kx与函数的图象没有交点，∴k＜0，∴k的值可以是﹣1（答案不唯一）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．（1）正比例函数y＝kx（k≠0），①k＞0时，正比例函数图象过第一、三象限；②k＜0时，正比例函数图象过第二、四象限．（2）反比例函数y＝（k≠0），①k＞0时，反比例函数图象在第一、三象限；②k＜0时，反比例函数图象在第二、四象限．12．【分析】先计算两组数据的平均数，再计算两组数据的方差比较即可．【解答】解：∵1＝（2+3+4+5+7）＝4.2，2＝（11+12+13+14+15）＝13，∴＝[（7﹣4.2）2+（2﹣4.2）2+（3﹣4.2）2+（4﹣4.2）2+（5﹣4.2）2]＝2.952，＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，∴＞．故答案为：＞．【点评】本题考查方差的计算，能熟练的计算一组数据的方差是解题关键．13．【分析】根据平行线的性质得到∠E＝∠AFG＝45°，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠E＝∠AFG＝45°，∵∠A＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠A﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查对平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解此题的关键．14．【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OC，∵∠ACB＝120°，∴∠D＝180°﹣∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠D＝120°，∵，∴∠BOC＝2∠AOC，∴∠BOC＝80°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．15．【分析】连接AF，由折叠可得AD＝AD′＝15，DE＝DE′＝10，∠D＝∠AD′E＝90°，易通过HL证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF＝D′F，因此设BF＝D′F＝x，则CF＝15﹣x，EF＝10+x，在Rt△EFC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到结果．【解答】解：连接AF，如图，∵四边形ABCD为正方形，AB＝15，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝15，根据折叠的性质可得，AD＝AD′＝15，DE＝DE′，∠D＝∠AD′E＝90°，∴AB＝AD′，∠AD′F＝90°，在Rt△ABF和Rt△AD′F中，，∴Rt△ABF≌Rt△AD′F（HL），∴BF＝D′F，∵DE＝10，∴D′E＝DE＝10，CE＝CD﹣DE＝15﹣10＝5，设BF＝D′F＝x，则CF＝BC﹣BF＝15﹣x，EF＝D′E+D′F＝10+x，在Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，∴52+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝3，∴BF＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，利用HL定理证明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF＝D′F是解题关键．16．【分析】以O为圆心，OD长为半径作△ADE外接圆⊙O，连接OD，OE，OA，由圆周角定理推出△ODE是等腰直角三角形，得到DE＝OD＝OA，当OA⊥BC时，OA 长最小，由锐角的正弦求出OA长即可解决问题．【解答】解：∵AD，AE的垂直平分线交于点O，∴OD＝OA＝OE，∴点O是△ADE外接圆的圆心，以O为圆心，OD长为半径作△ADE外接圆⊙O，连接OD，OE，OA，∵∠BAC＝45°，∴∠DOE＝2∠BAC＝90°，∵OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形，∴DE＝OD＝OA，∴当OA长最小时DE长最小，当OA⊥BC时，OA长最小，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝＝，∴AO＝2，∴DE长的最小值是OA＝2．故答案为：2．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角函数定义，关键是由作出辅助圆，应用圆周角定理得到DE＝OA．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．【分析】首先计算括号内的式子，然后对第二个分式的分子分母分解因式，转化成乘法运算，最后进行约分解求解．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．18．【分析】先解不等式组，再找出整数解．【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣2，解第二个不等式得：x＜，所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜，所以x的整数解为：﹣1、0、1、2、3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．19．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；（2）由EF垂直平分BD，得到EB＝ED，由AD﹣ED＝AE，在直角三角形ABE中，设AE＝x，表示出BE，再由AB的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长．则DE的长也可求出，进而可求出四边形EBFD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O是BD中点，∴BO＝DO，∵∠EOD＝∠BOF，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形；（2）∵四边形EBFD是菱形，∴ED＝EB，设AE＝x，∵AD＝BC，∴ED＝EB＝8﹣x，在Rt△ABE中，BE2﹣AB2＝AE2，即（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴AE＝3．∴DE＝5，∴四边形EBFD的周长为：4×5＝20．故答案为：20．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定及性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用，熟练掌握勾股定理及菱形的判定及性质定理是解本题的关键．20．【分析】（1）根据D课程的人数和所占的百分比求出样本容量，用总人数减去A、B、D 的人数，求出C的人数，从而补全统计图；（2）用“B音乐欣赏”所占的百分比乘360°即可；（3）用800乘样本中“C跨学科实践”课程的人数所占比例即可．【解答】解：（1）由题意得，样本容量为：48÷24%＝200，故C的人数为：200﹣36﹣60﹣48＝56，补全条形统计图如下：（2）“B音乐欣赏”课程所对应扇形圆心角的度数为360°×＝108°，故答案为：108；（3）800×＝224（人），答：估计该校选择“C跨学科实践”课程的人数大约为224人．【点评】本题考查了条形图和扇形图及用样本估计总体等知识，正确记忆计算公式是解题关键．21．【分析】（1）列出所有可能出现的结果，利用概率公式求出概率即可；（2）设六种结果分别为1，2，3，4，5，6，用列表法展示所有36种等可能的结果数，再找出甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的结果数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）所有可能出现的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D）共6种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“甲选择A、B”（记为事件M）的结果有1种，所以P（M）＝（2）设六种结果分别为1，2，3，4，5，6，列表如下：共有36种等可能的结果数，其中甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的结果数有6种，所以甲、乙各自选择2项活动，结果完全相同的概率是．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：先用列表法或树状图法列出所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，求出概率．22．【分析】设未知数根据数量关系直接列方程求解即可．【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg化工原料．依题意可得：，解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，则x+30＝90．答：B型机器人每小时搬运60kg化工原料，则A型机器人每小时搬运90kg化工原料．【点评】此题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，易错点是得到方程的解需要检验．23．【分析】延长AB，交CD的延长线于点E，根据题意可得：AB⊥CD，CD＝10m，设DE 为xm，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而根据CD＝CE﹣DE，列出关于x的方程，进行计算可求出DE，AE的长，最后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：延长AB，交CD的延长线于点E，由题意得：AB⊥CD，CD＝10m，设DE为xm，在Rt△ADE中，∠ADE＝68.2°，∴AE＝DE•tan68.2°≈2.5x（m），在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∴CE＝＝2.5x（m），∵CD＝CE﹣DE，∴2.5x﹣x＝10，∴x＝，∴DE＝m，AE＝2.5x＝（m），在Rt△BDE中，∠BDE＝37°，∴BE＝DE•tan37°≈0.75×＝5（m），∴AB＝AE﹣BE＝﹣5＝（m），答：电线杆AB的高度约为m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）甲车的速度为120÷2＝60（km/h）；（2）求出乙车比甲车晚出发0.5h，即可画出图象，再求出y1＝60x，y2＝﹣80x+160，联立解析式解方程组即可得到答案；（3）求得y1＝60x，y2＝120﹣80（x﹣m）＝﹣80x+120+80m，联立解方程组可得y1＝y2＝60（+m），根据甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，可列60＜60（+m）＜72，即可解得答案．【解答】解：（1）由图可得，甲车的速度为120÷2＝60（km/h），故答案为：60；（2）∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，∴乙车行驶时间为120÷80＝1.5（h），∵2﹣1.5＝0.5（h），∴乙车比甲车晚出发0.5h，画出y2与x的函数图象如下：图象CD即为y2与x的函数图象，由题意得y1＝60x，设CD的函数表达式为y2＝﹣80x+b，将（2，0）代入y2＝﹣80x+b，得b＝160，∴y2＝﹣80x+160，由﹣80x+160＝60x，解得x＝，∴甲车出发后h与乙车相遇，答：甲车出发后h与乙车相遇；（3）根据题意得y1＝60x，y2＝120﹣80（x﹣m）＝﹣80x+120+80m，由60x＝﹣80x+120+80m得：x＝+m，当x＝+m时，y1＝y2＝60（+m），∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，∴60＜60（+m）＜72，解得＜m＜，∴m的范围是＜m＜．【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合数形的应用．25．【分析】（1）连接CO并延长交AB于点F，连接BE，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据平行线的性质得到∠OFB＝∠OCD＝90°，即OF⊥AB，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到OF＝AE＝×8＝4，设OB＝OC＝r，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接CO并延长交AB于点F，连接BE，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵CD∥AB，∴∠OFB＝∠OCD＝90°，即OF⊥AB，∴AF＝BF，∴CF是AB的垂直平分线，∴AC＝BC；（2）解：∵AF＝BF，OB＝OE，∴OF＝AE＝×8＝4，设OB＝OC＝r，在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理得：BF2+CF2＝BC2，BF2+OF2＝OB2，即BF2＝（3）2﹣（r+4）2，BF2＝r2﹣42，∴（3）2﹣（r+4）2＝r2﹣42，解得r1＝5．r2＝﹣9（舍去）．∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．26．【分析】（1）令y1＝y2，得ax2+3ax+1＝ax+5，证明Δ＞0，即可得y1与y2的函数图象总有两个公共点；（2）设y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4，可得图象的对称轴为直线x＝﹣1，故y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，而当x＝2时，y＜0，当x＝0时，y＝﹣4＜0，即可知y1＜y2；（3）由（2）知y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，根据当﹣4＜x ＜1时，y1＜y2，可知当﹣4＜x＜1时，y的最大值为负数，分两种情况：当a＞0时，y ＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在x＝﹣4时取最大值，有16a﹣8a﹣4≤0，当a＜0时，y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在顶点处，即x＝﹣1时取最大值，有a﹣2a﹣4＜0，解不等式可得答案．【解答】（1）证明：令y1＝y2，得ax2+3ax+1＝ax+5，∴ax2+2ax﹣4＝0，∴Δ＝（2a）2﹣4a×（﹣4）＝4a2+16a，∵a＞0，∴Δ＞0，∴方程ax2+2ax﹣4＝0有两个不相等的实数根，即y1与y2的函数图象总有两个公共点；（2）解：设y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4，∵函数y＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，∴函数y＝ax2+2ax﹣4的图象在0＜x＜2时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，当x＝2时，y＝4a+4a﹣4＝8a﹣4，∵a＜，∴8a﹣4＜0，即x＝2时，y＜0，∴y1＜y2，当x＝0时，y＝﹣4＜0，∴y1＜y2，综上所述，当0＜x＜2时，y1＜y2；（3）解：由（2）知y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，∵当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，∴当﹣4＜x＜1时，y的最大值为负数，当a＞0时，∵﹣1﹣（﹣4）＞1﹣（﹣1），∴y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在x＝﹣4时取最大值，∵x＞﹣4，∴16a﹣8a﹣4≤0，解得a≤，∴0＜a≤；当a＜0时，y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在顶点处，即x＝﹣1时取最大值，∴a﹣2a﹣4＜0，解得a＞﹣4，∴﹣4＜a＜0，综上所述，a的范围是0＜a≤或﹣4＜a＜0．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及不等式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质．27．【分析】（1）（Ⅰ）证明△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出结论；（Ⅱ）证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质得出结论；（2）证明△AFD∽△EFC，得出∠DAF＝∠CEF，，证明△ABD∽△ACE，则可得出结论；（3）作△OAB的外接圆，在圆O'上取点P，且使PA＝2PB，连接PA，PB，由（1）（2）知△PAB∽△PA'B'，△PAA'∽△PBB'，过点A'作A'G⊥B'P，交B'P的延长线于点G，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】（1）证明：（Ⅰ）∵∠B＝∠ACE，，∴△ABD∽△ACE，∴；（Ⅱ）∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE．∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵，∴，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠ADE；（2）证明：∵∠ACE＝∠ADE，∠CFE＝∠DFA，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠CEF，∴，即，又∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴∠ACB＝∠AEF，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠ACB+∠DAF＝∠ADB，又∠ACE＝∠ABC，∴△ABD∽△ACE，∴；（3）解：作△OAB的外接圆，在圆O'上取点P，且使PA＝2PB，连接PA，PB，若快车行驶到A'，慢车行驶到B'，AA'＝2BB'，连接PA'，PB'，A'B'，由（2）可知△PAB∽△PA'B'，△PAA'∽△PBB'，∴＝2，过点A'作A'G⊥B'P，交B'P的延长线于点G，由题意可知，A'B'＝700m，∵∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠A'PB'＝120°，∴∠A'PG＝60°，设PG＝xm，则PB'＝xm，A'G ＝x（m），在Rt△A'B'G中，A'G2+B'G2＝A'B'2，∴，∴x＝100（负值舍去），∴PG＝PB'＝100（m），故答案为：100．【点评】本题是相似形综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题的关键。

第1 页(共6页)2023 2024学年浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试数学试卷参考答案一㊁单项选择题(本大题共20小题,1 10小题每小题2分,11 20小题每小题3分,共50分)1.D ʌ解析ɔȵA ɣB ={-1,0,1,3},ʑ2∉(A ɣB ).2.A ʌ解析ɔȵx =2,y =5,ʑx +y =7,反之不一定成立.3.D ʌ解析ɔ特殊值代入法或利用不等式的性质分析.4.C ʌ解析ɔȵA O ң=(0,0)-(2,0)=(-2,0),B O ң=(0,0)-(0,-1)=(0,1),ʑA O ң+B O ң=(-2,1).5.D ʌ解析ɔ由题意得4-x 2>0,x +1>0,{解得-1<x <2.6.C ʌ解析ɔ120ʎ-180ʎ=-60ʎ.7.D ʌ解析ɔP 44=24(种).8.C ʌ解析ɔ根据指数函数㊁对数函数的图像和性质进行比较.9.A ʌ解析ɔ画图或化为0ʎ~360ʎ范围内的角.10.B ʌ解析ɔ斜率k =-63-12+3=-33.11.D ʌ解析ɔ由题意得m +1ɤ0,解得m ɤ-1.12.C ʌ解析ɔȵ函数t (x )=c x 是减函数,ʑ0<c <1.令x =1,则g (1)=b >f (1)=a .ʑb >a >c .13.C ʌ解析ɔP =18.14.A ʌ解析ɔȵt a n α㊃s i n α=s i n αc o s α㊃s i n α=s i n 2αc o s α>0,且s i n 2α>0,ʑc o s α>0.15.C ʌ解析ɔȵT 4=C 36x 3(-2x )3=(-2)3C 36x 3㊃x -32,ʑ第4项的系数为-23C 36=-160.16.D ʌ解析ɔȵ点P (4,0),且|MP |=3,ʑ动点M 的轨迹方程为(x -4)2+y 2=9.17.D ʌ解析ɔȵf (1)=f (3)=0,ʑ对称轴方程为x =1+32,即x =2.又ȵ二次函数f (x )的图像开口向下,ʑf (6)<f (-1)<f (2).18.B ʌ解析ɔA 项中,A 1B 与B 1C 成60ʎ角;B 项中,A D 1与B 1C 是异面垂直关系,即成90ʎ角,正确;C 项中,A 1B 与底面A B C D 成45ʎ角;D 项中,连接A C (图略),A 1C 与底面A B C D 所成的角为øA C A 1ʂ30ʎ.故选B .19.B ʌ解析ɔȵa =|A F 1|=2,c =|O F 1|=1,ʑb 2=3,ʑ椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.第2 页(共6页)20.D ʌ解析ɔ由题意得2b =a +c ,c -a =2,c 2=a 2+b 2,ìîíïïïï解得a =3,b =4,c =5,ìîíïïïïʑ双曲线C 的标准方程为x 29-y 216=1.二㊁填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)21.-22 ʌ解析ɔȵx >0,ʑx +2x ȡ2x ㊃2x =22,ʑ-(x +2x)ɤ-22.当且仅当x =2x (x >0),即x =2时,等号成立.22.1 ʌ解析ɔȵf (-1)=-(-1)2+1=0,ʑf [f (-1)]=f (0)=0+1=1.23.1103 ʌ解析ɔS 10=(1+2+4+ +29)+(-1+1+3+ +17)=1ˑ(1-210)1-2+10ˑ(-1+17)2=1023+80=1103.24.4π3 ʌ解析ɔȵV 圆柱=πr 2h =πˑ22ˑ4=16π,V 圆锥=13πO A 2㊃O B =13πˑ22ˑ11=443π,ʑV 圆柱-V 圆锥=16π-44π3=4π3.25.20 ʌ解析ɔȵ抛物线y 2=16x 的焦点为F (4,0),代入直线方程得2ˑ4+0+m =0,解得m =-8,即y =8-2x .将其代入y 2=16x 得x 2-12x +16=0,由韦达定理得x 1+x 2=12.ʑ|A B |=(x 1+p 2)+(x 2+p 2)=x 1+x 2+p =12+8=20.26.31250 ʌ解析ɔȵs i n α=45,c o s α=-35,ʑs i n 2α=2s i n αc o s α=2ˑ45ˑ(-35)=-2425,c o s 2α=c o s 2α-s i n 2α=(-35)2-(45)2=-725,ʑs i n (2α+5π4)=s i n 2αc o s 5π4+c o s 2αs i n 5π4=(-2425)ˑ(-22)+(-725)ˑ(-22)=24250+7250=31250.27.(-ɕ,-2)ɣ(4,+ɕ) ʌ解析ɔ由题意得(m +2)(4-m )<0,ʑ(m +2)(m -4)>0,解得m <-2或m >4.三㊁解答题(本大题共8小题,共72分)(以下评分标准仅供参考,请酌情给分)28.(本题7分)解:原式=223ˑ32+l o g 225-l o g 334+1+C 19-4ˑ3ˑ2ˑ1=2+5-4+1+9-24每项正确各得1分,共6分 =-11.结果正确得1分29.(本题8分)解:(1)ȵs i n (π+α)=32,且αɪ(-π2,0),ʑα=-π3.1分第3 页(共6页)ʑf (x )=s i n (2x -π3)+c o s (2x +π3)+1=s i n 2x c o s π3-c o s 2x s i n π3+c o s 2x c o s π3-s i n 2x s i n π3+1=12s i n 2x -32c o s 2x +12c o s 2x -32s i n 2x +1=1-32s i n 2x +1-32c o s 2x +1=2-62s i n (2x +π4)+1,1分 ʑ函数f (x )的最小正周期T =2π2=π.1分 (2)当s i n (2x +π4)=1时,函数f (x )取最小值,最小值为2-6+22,2分 此时2x +π4=2k π+π2(k ɪZ ),解得x =k π+π8(k ɪZ ),2分 即函数f (x )取最小值时x 的集合为x x =k π+π8(k ɪZ ){}.1分 30.(本题9分)解:(1)联立x +y -5=0,2x -y -1=0,{解得x =2,y =3,{ʑ圆心Q (2,3).1分 又ȵ坐标原点(0,0)到直线y =2的距离d =2,ʑ半径r =2.1分 ʑ圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -3)2=4.2分 (2)ȵM Q ʅMP ,ʑ直线MP 为圆C 的切线.1分①当直线MP 的斜率存在时,设直线MP 的方程为y -6=k (x -4),即k x -y +6-4k =0.由r =d 得|2k -3+6-4k |k 2+1=2,解得k =512,ʑ此时,直线MP 的方程为y -6=512(x -4),即5x -12y +52=0.2分 ②当直线MP 的斜率不存在时,直线MP 的方程为x -4=0.1分 综上所述,直线MP 的方程为5x -12y +52=0或x -4=0.1分 31.(本题9分)解:(1)在әA B C 中,由正弦定理得a s i n A =b s i n B ,即2s i n A =2s i n B,ʑs i n B =2s i n A .1分 又ȵc o s A =32,ʑøA 是әA B C 的一个内角,ʑøA =30ʎ.ʑs i n A =12,ʑs i n B =22.1分 ȵb >a ,ʑøB =45ʎ或135ʎ.1分第4 页(共6页)当øB =45ʎ时,øC =105ʎ,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C =(2)2+22-2ˑ2ˑ2㊃c o s 105ʎ=6-42ˑ2-64=4+23,ʑc =3+1.1分 当øB =135ʎ时,øC =15ʎ,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C =(2)2+22-2ˑ2ˑ2ˑ2+64=4-23,ʑc =3-1.1分 注:只要答案正确,用其他方法解答也可得分.(2)当øC =105ʎ时,S әA B C =12a b s i n C =12ˑ2ˑ2ˑ6+24=3+12;2分 当øC =15ʎ时,S әA B C =12a b s i n C =12ˑ2ˑ2ˑ6-24=3-12.2分 32.(本题9分)解:(1)ȵA C =1,A B =2,B C =3,ʑA B 2=A C 2+B C 2,ʑәA C B 是直角三角形,且øA C B =90ʎ.1分 ȵP A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,ʑP A ʅB C ,又ȵB C ʅA C ,且P A 与A C 交于点A ,ʑB C ʅ平面P A C ,ʑP B 与平面P A C 所成的角为øB P C .1分ȵP A =A C =1,P B =P A 2+A B 2=5,ʑP C =2,ʑ在R t әP C B 中,c o s øB P C =P C P B =25=105,1分 ʑP B 与平面P A C 所成角的余弦值为105.1分 (2)由(1)得B C ʅP C ,又ȵA C ʅB C ,ʑøP C A 为二面角P B C A 的平面角.1分 ȵ在R t әP A C 中,A P =A C =1,P A ʅ平面A B C ,ʑøP C A =45ʎ,即二面角P B C A 的大小为45ʎ.2分(3)V C P A B =V P A B C =13S әA B C ㊃P A =13ˑ12ˑ1ˑ3ˑ1=36.2分 33.(本题10分)解:(1)ȵa 2和a 3是一元二次方程x 2-3x +2=0的两个实数根,且数列{a n }单调递增,ʑa 2=1,a 3=2,ʑ公差d =a 3-a 2=1,首项a 1=a 2-d =0,ʑa n =n -1.1分 又ȵb 1=l o g 2a 3=l o g 22=1,b 2=l o g 2a 5=l o g 24=2,1分 ʑ公比q =b 2b 1=2,ʑb n =b 1q n -1=2n -1.1分第5 页(共6页)(2)ȵc n =a n +1+1b n,ʑc n =n +21-n .1分 ʑT n =c 1+c 2+ +c n=(1+2+3+ +n )+(1+12+14+ +12n -1)=n (n +1)2+1-12n 1-121分=n 2+n 2+2-12n -1.1分 (3)ȵd n =(2+a n )b n =(n +1)㊃2n -1,1分 ʑM n =d 1+d 2+d 3+ +d n ,即M n =2ˑ20+3ˑ21+4ˑ22+ +(n +1)㊃2n -1①ʑ2M n =2ˑ21+3ˑ22+4ˑ23+ +(n +1)㊃2n ②由①-②得-M n =2ˑ20+21+22+ +2n -1-(n +1)㊃2n 1分 =2+2(1-2n -1)1-2-(n +1)㊃2n =-n ㊃2n ,1分 ʑM n =n ㊃2n .1分 34.(本题10分)解:(1)ȵәA B F 2的周长为|A F 1|+|A F 2|+|B F 1|+|B F 2|=4a =8,ʑa =2.1分 又ȵe =c a =12,ʑc =1,ʑb 2=a 2-c 2=22-12=3.1分 ʑ椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.1分 (2)ȵ椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F 2(1,0),ʑ抛物线y 2=2p x 的焦点为(1,0),1分 ʑp =2,ʑ抛物线的标准方程y 2=4x .1分 ȵ直线l 的倾斜角为135ʎ,ʑ斜率k =t a n 135ʎ=-1,ʑ直线l 的方程为y =-x +1,联立y =-x +1,①y 2=4x ,②{将①代入②并消去y 得x 2-6x +1=0,ʑΔ=(-6)2-4ˑ1ˑ1=32,ʑ弦长|MN |=1+1ˑ321=8,1分第6 页(共6页)又ȵ坐标原点O 到直线y =-x +1的距离d =12=22,1分 ʑS әO MN =12|MN |㊃d =12ˑ8ˑ22=22.1分 (3)联立y =-x +1,①x 24+y 23=1,②ìîíïïïï将①代入②并消去y 得7x 2-8x -8=0,ʑΔ=(-8)2-4ˑ7ˑ(-8)=288,ʑ|P Q |=1+1ˑ2887=247,1分 ʑ247-8=-327<0,ʑ|P Q |<|MN |.1分 35.(本题10分)解:(1)设D C =2x ,则A B =2x ,D C ︵=A B ︵=πx ,1分 ʑA D =B C =l -(4x +2πx )2=l 2-(π+2)x ,2分 ʑS =S 矩形A B C D +πx 2=2x ˑ[l 2-(π+2)x ]+πx 21分=l x -2(π+2)x 2+πx 2=-(π+4)x 2+l x .2分 (2)由(1)得S =-(π+4)x 2+l x .由二次函数的性质得:当x =l 2(π+4)米时,S 取得最大值,S m a x =l 24(π+4)平方米.4分。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$在区间$[0, +\infty)$上单调递增，则其导数$f'(x)$的符号为：A. 总是大于0B. 总是小于0C. 有时大于0，有时小于0D. 无法确定2. 已知复数$z = 2 + 3i$，则$|z|$的值为：A. 5B. $\sqrt{13}$C. 1D. 23. 在平面直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$x + y = 5$的对称点$B$的坐标为：A. $(1, 2)$B. $(3, 2)$C. $(2, 1)$D. $(1, 3)$4. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 48$，则该数列的公差$d$为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$在$x = 1$处取得极小值，且$a > 0$，则下列选项中正确的是：A. $b > 0$B. $b < 0$C. $c > 0$D. $c < 0$6. 在三角形$ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\cos A$的值为：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{3}$C. $\frac{2}{3}$D. $\frac{3}{4}$7. 若等比数列$\{a_n\}$的公比$q > 1$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 27$，则$a_1$的值为：A. 3B. 6C. 9D. 128. 已知函数$f(x) = \ln x$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，则$f(x)$的值域为：A. $(-\infty, +\infty)$B. $(-\infty, 0)$C. $(0, +\infty)$D. $(0, 1)$9. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的取值范围为：A. $(-1, 1)$B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$D. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$10. 已知函数$y = e^{ax} + b$在$x = 0$处取得极小值，则$a$的取值范围为：A. $(-\infty, 0)$B. $(0, +\infty)$C. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$D. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。

2024年山东省青岛市九校联合体中考一模数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第III卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．第I卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列实数中是无理数的为（ ）A. B. 2 C. D. 0.9【答案】A【解析】【分析】根据无理数的定义解答即可．【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；B、2是整数，属于有理数，，故本选项不合题意；C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；D、0.9是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．2. 近几年，青岛汽车产业已经崛起为青岛工业当中第一大产业，2024年全市预计整车产能约125万辆．如图是4种常见的汽车轮胎的样式，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.3π2273π2273πC. D.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：BC ．3. 某市去年第四季度财政收入为亿元，用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为（ ）元A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，由于41.76亿=4 176 000 000，整数位数有10位，所以可以确定n=10-1=9．即可得到答案．【详解】解：41.76亿元=4 176 000 000元=4.176×109元≈4.2×109元，故选：C ．【点睛】较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a ×10n 中a 的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．4. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）180︒41.7684110⨯94.110⨯94.210⨯841.710⨯A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．【详解】俯视图如图所示．故选：A．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．5. 一个含有30°的直角三角板和一长方形纸条如图摆放，若∠1=37°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 53°C. 45°D. 37°【答案】B【解析】【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质列方程求解即可．【详解】解：如图所示：由题意可知，，且，，解得，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，以及三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角和，熟练掌握这两个知识点是解决问题的关键．6. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂乘除法运算法则，进行求解判断即可．【详解】解：A ．与不是同类项，不能合并，故A 错误；B ．，故B 错误；C ．，故C 正确；D ．，故D 错误．故选：C．30,60A D ∠=︒∠=︒1,2EBC A FCB D ∠=∠+∠∠=∠+∠ BE CF ∥180123037260EBC FCB A D ∴∠+∠=︒=∠+∠+∠+∠=︒+︒+∠+︒253∠=︒325a a a +=326a a a ⋅=()112222n n n n ---=≥()340a a a a ÷=≠3a 2a 325a a a ⋅=1111222222n n n n n -----==⨯-341-÷=a a a7. 如图，锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB 、AC 于D 、E 两点，且S △ADE :S 四边形DBCE ＝1:2，则cos A 的值是(　)A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】要求∠BAC 的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD ，通过AD 和AC 的比例关系来求∠BAC 的余弦值．AD ，AC 的比例关系可通过△ADE ∽△ACB 三来求解，这样就不难求得其余弦值了．【详解】解：如图，连接CD∵∠ADE=∠ACB ，∠DAE=∠CAB （四点共圆，外角等于内对角），∴△ADE ∽△ACB ，∵，∴，∴，∴故选D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键，掌握四点共圆，外角等于内对角是解题的关键．8. 如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对1213:1:2ADE DBCE S S ∆四边形＝1:3AD E ACB S S ∆∆=：:AD AC cos A =ABC A B C ''' ，ABC ()a b ，应点 的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可．【详解】解：由图可知，与关于成中心对称，设，，解得，．故选：C ．9. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分面积是（ ）A. 5B. 3C.D. 【答案】D【解析】P '()3,a b -()3,a b +()3a b --，()3a b --，3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC A B C ''' 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(),P x y '3,0222a xb y ++∴==3,x a y b =-=-()3,P a b '∴--365185【详解】过点G 作GH ⊥AD 于点H ，由题意知，AF=FC ，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 ， 即42+（8﹣AF ）2=AF 2 ，解得AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG ，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG ，∴△BAF ≌△GAE ，∴AE=AF=5，ED=GE=3，∵S △GAE=AG•GE=AE•GH∴GH=，∴S △GED =ED•GH= ×3×= ，故选D ．10. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有( )①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】12121251212125185()20y ax bx c a =++≠12x =-0abc >240b ac -<420a b c -+<20b c +<()11,x y ()22,x y 121122x x +>+12y y <【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题．【详解】解：由所给函数图象可知，，，，所以．故①错误．因为抛物线与轴有两个不同的交点，所以．故②错误．因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大，所以，所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小，则当时，函数值小于零，所以．故③正确．因为抛物线的对称轴为直线，所以，即又因为当时，函数值小于零，所以，所以．故④正确．因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小，又因为，所以．故⑤错误．故选：B ．,,a b c 0a >0b >0c <0abc <x 240b ac ->12x =-x 112122⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭x 2-2x =-420a b c -+<12x =-122b a -=-.a b =1x =0a bc ++<20b c +<121122x x +>+|12y y >第II 卷（共90分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11.__________．【解析】【分析】根据二次根式的计算和特殊角的三角函数值即可解答．=．．【点睛】本题考查二次根式的计算和特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．12. 若一组数据，， …，的平均数为4，方差为3，那么数据，，…，的平均数和方差分别是______，______．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题考查方差和平均数的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．本题可将平均数和方差公式中的a 换成，再化简进行计算．【详解】解：一组数据 ，， …，的平均数为，方差为，即 那么的平均数为； ，，…，的方差为；故答案为：；．2sin 45︒=2sin 45︒2-1a 2a n a 123a +223a +23n a +111232a -1a 2a n a 4324,3a s ==12323,23,2323n a a a a ++++ ，，()1231232323232323113n n a a a a n a a a a n +++++++++++++== 123a +223a +23n a +()()()()()()222222121214232323232323]4²12n n a a a a a a a a a a a a s n n ⎡⎡+--++--+++--=-+-++-=⨯=⎢⎢⎣⎣111213. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为_________．【答案】【解析】【分析】设乘公交车平均每小时走x 千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则乘公交车花的时间为小时，乘私家车所花的时间为小时，再利用乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，列方程即可.【详解】解：设乘公交车平均每小时走x 千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则故答案为：【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设适当的未知数，表示需要的代数式，确定相等关系都是解本题的关键.14. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围_______【答案】且【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解．【详解】解：根据题意得且，解得且；故答案为：且．15. 数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________．8812.54x x =+ 2.5x 8x 82.5x2.5x 8812.54x x =+8812.54x x =+()2204k kx k x +-+=1k <0k ≠20(0)ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<0k ≠2(2)44404k k k k ∆=--⨯=-+>0k ≠2(2)44404k k k k ∆=--⨯=-+>1k <0k ≠1k <0k ≠ABCDEF【答案】【解析】【分析】用阴影部分圆环的面积除以大⊙O 的面积即可．【详解】解：设大⊙O 的半径为2r ，则正六边形的边长为2r，即小⊙O ，．故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出大⊙O 的半径并表示出正六边形的边长及小⊙O 的半径，求出对应图形的面积．16. 如图，四边形是边长为的正方形，点E 在边上，，作，分别交，于点G 、F ，M ，N 分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F 、N 、C 共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．【答案】①②④⑤【解析】【分析】连接，根据矩形及正方形的性质即可判断①；利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再由直角三角形斜边上的中线的性质即可证明②；利用正方形的性质即可证明③；根据等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质即可证明④；利用全等三角形的判定和性质及等腰三角形141414ABCD 4cm CD 1cm DE =EF BC ∥AC AB AG BE 5cm 2MN =AC BE ⊥MNC 7845MEB ∠=︒FM FC ，BE FC ==5的性质即可证明⑤．【详解】解：连接，∵四边形是正方形，，∴四边形是矩形，∵N 是中点，为矩形的对角线，∴点F 、N 、C 共线；故①正确；∴，∴为等腰直角三角形，∵M 是的中点，∴，∴，∴是直角三角形，∵N 是的中点，四边形是矩形，∴点N 在上，且是的中点，∴，∵，∴，∴，∴；故②正确；连接，∵四边形是正方形，∴，∴错误，故③错误；∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，∴，的FM FC ，ABCD EF BC ∥BCEF BE FC BCEF 45BAC ∠=︒AFG AG AM MG =FM AG ⊥FMC BE BCEF CF CF 12MN FC =14DE BC DC ===，3CE=BE FC ===515cm 22MN FC ==BD ABCD AC BD ⊥AC BE ⊥ABCD 45BAC ∠=︒FM AG ⊥1AF DE ==45BAC AFM ∠∠==︒AM FM ==∴找的中点H ，连接，∴，，∴，∴，故④正确；连接，在与中，，∴，∴，由①得点N为矩形对角线的交点，∴点N 为等腰三角形底边的中点，∴，∵，∴，故⑤正确；综上可得：正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理解三角形、等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．三、作图题（本题满分4分）CM AC AM =-==CM NH 12NH FM ==NH FM ∥NH AC ⊥117228CMN S CM NH =⋅== BM ABM FEM 45AB FE BAM EFM AM FM ∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩(SAS)ABM FEM ≌ MB ME =FBCE MBE BE MN BE ⊥12MN CN BE NE ===45MEB ∠=︒用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 已知：如图△ABC （AB ＞AC ）．求作：△PAB ，使得PA ＝PB ，且∠C ＝∠APB ．【答案】见解析【解析】【分析】分别作AB ，BC 的垂直平分线，交点为O ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，在AB 的同侧，AB 的垂直平分线与⊙O 的交点即为P ，连接PA 、PB ，则△PAB 满足条件；接着作P 点关于AB 的对称点P ′，△P ′AB 满足条件．【详解】解：如图，△PAB 和△P ′AB 为所作．【点睛】本题考查了尺规作图--复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．四、解答题（本大题共8小题，共68分）18. (1)化简：(2)求不等式组的整数解．【答案】（1）；（2）-3，-2，-1，0，1，2【解析】【分析】(1)根据分式的运算法则即可求出答案．244411--+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭a a a a a a 43(1)3252x x x x -⎧⎪⎨--<⎪⎩ (22)a a +-(2)根据一元一次不等式组即可求出答案．【详解】解：(1)原式＝．(2)，由①得：x ≥﹣3，由②得：，∴该不等式组的解集为：﹣∴该不等式组的整数解为：-3，-2，-1，0，1，2．【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式组的解法，本题属于基础题型．19. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O 是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小红在E 处测得摩天轮顶端A 的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D ，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C ，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B 处（A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：）【答案】摩天轮的高度约68米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．延长交的延长线于点M ,过点C 作于点N ，在中，求得22411(2)a a a a --=-- 2(2)(2)11(2)a a a a a +--=-- 22a a +-()4313252x x x x ⎧-⎪⎨--<⎪⎩①② (73)x <733≤<x AB 24︒122m 0.75i =40m AB 240.4240.91240.45sin cos tan °»°»°»，，AB AB ED CN MD ⊥Rt CND △，在中，利用三角函数解出即可求出结论．【详解】解：延长交的延长线于点M ,过点C 作于点N ，由题意得，，∴四边形是矩形，，在中，设，由勾股定理得，，，，在中，，，，，，答：摩天轮的高度约68米．20. 青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务．（1）求实际每天挖掘多少米？（2）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？【答案】（1）实际每天挖掘米；（2）每天还应多挖掘米．12,16CN BM ND ===Rt AME △AM AB ED CN MD ⊥90AMD CNM CBM ∠=∠=∠=︒BMNC 40,BC MN BM CN ∴===Rt CND △3,4CN x ND x ==5,520CD x x ==4x ∴=12,16CN BM ND \===4016122178ME =++=Rt AME △24E ∠=︒tan 240.45︒≈ 0.45AM ME ∴≈0.4517880.1AM ≈⨯≈80.11268.168AB ∴=-=≈AB 5001.5253007064【解析】【分析】（）设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务，列分式方程求解；（）设每天还应多挖掘米，根据完成该项工程的工期不超过天，列不等式即可求解；本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．【小问1详解】解：设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据题意得：，解得，经检验是原方程解，∴实际每天挖掘，答：实际每天挖掘米；【小问2详解】设每天还应多挖掘米，由题意，得，解得，答：每天还应多挖掘米．21. 青岛市九校联合体（山东省青岛超银四校、山东省青岛市实验初级中学、山东省青岛第七中学、山东省青岛第二十六中学、山东省青岛第三十九中学、山东省青岛五十九中学、山东省青岛海信学校、山东省青岛第二实验初级中学、山东省青岛大学附属中）中某校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；的1x 1.5x 253002y 70x 1.5x 300300251.5x x-=4x =4x = 1.546⨯=6y ()3007065003006y ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭4y ≥4（3）若该校有名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）这次被调查的学生共有名；（2）画图见解析； （3）全校学生中喜欢体育节目的约有名；（4）恰好选中甲、乙两位同学的概率为．【解析】【分析】（）用喜欢动画节目的人数除以其所占的百分比可得这次被调查的学生人数；（）求出喜欢体育节目的人数，补全条形统计图即可；（）根据用样本估计总体，用乘以本次调查中喜欢体育节目的人数所占的百分比，即可得出答案；（）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲、乙两位同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．【小问1详解】这次被调查的学生共有（名），答：这次被调查的学生共有名；【小问2详解】喜欢体育节目的人数为：（名），补全条形统计图如图所示，【小问3详解】（名），答：全校学生中喜欢体育节目的约有名；【小问4详解】画树状图如下：300025060021126=123300041530%50÷=505041518310----=10300060050⨯=600共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．22. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（1）求证： △ABE ≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE=OB ，DF=OD ，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，12221126=2AC AB =1212AB CD ABE CDFBE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA ，AC=2AB ，∴AB=OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG=AE ，OA=OC ，∴OE 是△ACG 中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.23. 如图，已知是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标.【答案】（1）， 的(SAS)ABE CDF ∴≅ (3,2),(,3)A B n --y kx b =+m y x=AOB P AOP P 6y x =-1y x =--（2） （3）、、或【解析】【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．（1）先把点A 的坐标代入反比例函数求得m 的值，再把点B 的坐标为代入反比例函数的解析式求得n ，最后把A ，B 两点代入即可求解；（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；（3）存在，在x 轴和y 轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点P ，即可求解．【小问1详解】解：∵点A 的坐标为在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为，又∵点B 的坐标为也在上，∴，∵A 的坐标为，B 的坐标为都在一次函数的图象上，∴ ，解得 ，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：∵直线与x 轴交于点，52()30-，1303⎛⎫- ⎪⎝⎭，()02，1302⎛⎫ ⎪⎝⎭，m y x=()3n -，y kx b =+C AOB AOC BOC S S S =+ 90OAP ∠=︒90APO ∠=︒A AP x ⊥()32-，326m =-⨯=-6y x=-()3n -，6y x =-2n =()32-，()23-，y kx b =+3223k b k b -+=⎧⎨+=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--1y x =--C∴，∴，∵A 的坐标为，B 的坐标为，∴；【小问3详解】解：当点P 在x 轴上，设点，则，若时，如图所示，∵A 的坐标为，∴点P 的坐标为；当时，如图，∴，，()10C -，1OC =()32-，()23-，()()1111512322222AOB AOC BOC S S S OC yA OC yB OC yA yB =+=⋅+⋅=+=⨯⨯+= ()0P m ，OP m =-90OPA ∠=︒()32-，()30-，90OAP ∠=︒2223213OA =+=()()222302AP m =--+-∵是直角三角形，∴，即，解得，∴点的坐标为；当点在y 轴上时，设点，则，若时，如图所示，∵A 的坐标为，∴点P 的坐标为；当时，如图，∴，，∵是直角三角形，∴，即，解得，∴点的坐标为；AOP 222OA AP OP +=()()22213302m m +-+-=133m =-P 1303⎛⎫- ⎪⎝⎭P ()0P n ，OP n =90OPA ∠=︒()32-，()02，90OAP ∠=︒2223213OA =+=()()222203AP n =-++AOP 222OA AP OP +=()()22213203n n +-++=132n =P 1302⎛⎫⎪⎝⎭，综上可得点P 的坐标为、、或．24. 如图，点在四边形的边上．（1）如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：；（2）当四边形是矩形，，时，①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值；②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点，当时，请直接写出的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．【解析】【分析】（1）由正方形的性质及可得，，，则≌，即可证明；（2）过作于点，于点，可证明∽，则，再证，得出即可；连接、，证明∽、∽，推得，再证明∽，然后由相似三角形的对应边成比例求出的长．【小问1详解】证明：四边形是正方形，，，于点，()30-，1303⎛⎫- ⎪⎝⎭，()02，1302⎛⎫ ⎪⎝⎭，F ABCD AB 1ABCD B BE CF ⊥O AD .E BE CF =ABCD 6AD =8AB =2P BC P PE CF ⊥O O BD OC OE 3P BC P PE CF ⊥O O BD EP AB G 2BG =DE 3483BE CF ⊥AB BC =A FBC ∠=∠∠=∠ABE BCF ABE BCF △BE CF =①O OM AD ⊥M ON CD ⊥N ONC OME OC ON OE OM =ON BC OM AB =34OC BC OE AB ==②CE CG BPG OPC OPB CPG △90ECG ∠=︒CBG CDE DE ABCD AB BC ∴=90A FBC ∠=∠=︒BE CF ⊥ O，，≌，．【小问2详解】解：如图，过作于点，于点，则，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，于点，，，，∽，，，，∽，，同理，，90BOC ∴∠=︒90ABE OBC BCF ∴∠=︒-∠=∠ABE ∴ ()BCF ASA BE CF ∴=①2O OM AD ⊥M ON CD ⊥N 90OMD OND ∠=∠=︒ ABCD 6BC AD ∴==8AB CD ==90MDN A BCD ∠=∠=∠=︒∴OMDN 90MON ∴∠=︒PE CF ⊥ O 90COE ∴∠=︒90CON EOM EON ∴∠=∠=︒-∠90ONC OME ∠=∠=︒ ONC ∴ OME OC ON OE OM∴=OND BCD ∠=∠ //ON BC ∴DON ∴ DBC △ON OD BC BD∴=OM OD AB BD=ON OM BC AB ∴=，；如图，连接、，，，，，∽，，，，∽，，，；，，∽，，，，，，∽，ON BC OM AB∴=6384OC BC OE AB ∴===②3CE CG 90ABC ∠=︒ 18090PBG ABC ∴∠=︒-∠=︒90PBG POC ∴∠=∠=︒BPG OPC ∠=∠ BPG ∴ OPC PB PG PO PC∴=PB PO PG PC ∴=OPB CPG ∠=∠ OPB ∴ CPG △CBD OGC ∴∠=∠34OC OE = 6384CB CD ==OC CB OE CD∴=90COE BOD ∠=∠=︒ COE ∴ BOD CDB OEC ∴∠=∠90OGC OEC CBD CDB ∴∠+∠=∠+∠=︒90ECG ∴∠=︒90BCG DCE BCE ∴∠=∠=︒-∠90CBG CDE ∠=∠=︒ CBG ∴△CDE，．【点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题．25. 如图1，已知二次函数的图象与y 轴交于点，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为，连接、．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）如图2，若点N 在线段上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作，交于点M ，当面积最大时，求此时点N 的坐标；（4）若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标．【答案】（1）； （2）是直角三角形．理由见解析；（3）当面积最大时，N 点坐标为；（4）点N的坐标分别为、、、．【解析】分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得，，，然后根据勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形；（3）设点N 的坐标为，则，过M 点作轴于点D ，根据三角形相似对应边成比【34BG CB DE CD ∴==4482333DE BG ∴==⨯=()2302y ax x c a =++≠()0,4A ()8,0AB AC ()2302y ax x c a =++≠ABC BC NM AC ∥AB AMN 213442y x x =-++ABC AMN ()3,0()8,0-()8-()8+()3,0220AB =280AC =10BC =ABC (),0n 2BN n =+MD x ⊥例求得，然后根据得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可；（4）分别以A 、C 两点为圆心，长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标．【小问1详解】二次函数的图象与y 轴交于点，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为，，解得，抛物线表达式：．【小问2详解】解：是直角三角形．令，则，解得，，点B 的坐标为，由已知可得，在中，在中，又，中；是直角三角形．【小问3详解】解：设点N 的坐标为，则，过M 点作轴于点D ，，，在()225MD n =+-AMN ABN BMN S S S = AC AC ()2302y ax x c a =++≠()0,4A ()8,0464120c a c =⎧∴⎨++=⎩144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴213442y x x =-++ABC 0y =2134042x x -++=18x =22x =-∴()2,0-Rt ABO △222222420AB BO AO ==++=Rt AOC 222224880AC AO CO =+=+=2810BC OB OC =+=+= ∴ABC 2222208010AB AC BC +=+==ABC ∴ (),0n 2BN n =+MD x ⊥MD OA ∴∥BMD BAO ∴ ∽，，，，，，，，，当面积最大时，N 点坐标为．【小问4详解】解：，，，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：； ；； 当时，作图如下：BM MD BA OA∴=M N A C ∥BM BN BA BC∴=MD BN OA BC ∴=4= OA 10BC =2BN n =+()225MD n ∴=+()()()22-11··221122422251355AMN ABN BMNS S S BN OA BN MD n n n ==-=+⨯-⨯+=--+ ∴AMN ()3,0()0,4A ()8,0C AC ∴== ∴①AC AN =②AC CN =③AN CN =①AC AN =∵，，∴，∴此时点N 的坐标为；当时，作图如下：则，又∵，∴N 的坐标为或当时，作图如下：AC AN =AO CN ⊥8ON OC ==()80-，②AC CN=CN AC ==()8,0C ()8-()8+③AN CN =设，则，在中，，即，解得：，所以此时N 的坐标为综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为、、、．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键．ON x =8AN CN x ==-Rt AON △²²²AO ON AN +=()22248x x +=-3x =()3,0()8,0-()8-()8+()3,0。

2023年江苏省南京市联合体学校中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．9的算术平方根是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．2．计算()32a b 的结果是（）A ．23a b B ．6a bC ．53a b D ．63a b 3．下列几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）A ．球体B ．圆柱C ．三棱锥D ．三棱柱4πa <<，下列结论中正确的是（）A ．13a <<B ．14a <<C ．23a <<D ．24a <<5．若一组数据2，3，4，5，x 的方差比另一组数据5，6，7，8，9的方差大，则x 的值可能是（）A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，A B C ''' 是由ABC 经过轴对称得到的，A B C ''' 还可以看作是ABC 经过怎样的图形变化得到？下列结论：①2次平移；②1次平移和1次轴对称；③2次旋转；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题7．计算：3-=________；22-=________．8．若式子1x x-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________．9．某粒子的直径约为0.00000021米，用科学记数法表示0.00000021是_____________．10的结果是________．11．分解因式2416x -的结果是_____________．12．设1x 、2x 是方程220x mx +-=的两个根，且12122x x x x +=，则m =________．13．若函数ky x=（k 为常数，且0k ≠）过点()1,2-，当1x ＞时，y 的取值范围是__________．14．如图，在正六边形ABCDEF 中，4AB =，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA 的中点1A 、1B 、1C 、1D 、1E 、1F ，则六边形111111A B C D E F 的周长是________．15．如图，在平面直角坐标系中，过()0,2A 、()1,4B 的直线AB 绕点B 逆时针旋转45︒，交x 轴于点C ，则点C 的坐标为__________．16．如图，四边形ABCD 中，10,20,90AB AD CB CD B D ====∠=∠=︒，E 是AD 的中点，过点E 作EF DC 交BC 于F ，则EF 的长为__________．三、解答题17．计算222111211a a aa a a a ⎛⎫-+-÷ ⎪--+-⎝⎭．18．解不等式组101123x x x --≤⎧⎪+⎨-<⎪⎩，并写出它的正整数解．19．“科技兴国”，科技企业在社会生产生活中的地位越来越重要．调查某科技企业五年以来的研发成本和年度利润率，将相关数据绘制成如下统计图和统计表：20182022年研发成本2018年2022 年利润率年份利润率2018年 6.3%2019年 5.2%2020年 6.7%2021年9.1%2022年17.4%(1)2022年度该企业总成本是亿元；(2)求该企业五年以来的年平均研发成本；(3)根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，写出两个不同类型的结论．20．某校举行秋季运动会，甲、乙两人报名参加100m 比赛，预赛分A 、B 、C 三组进行，运动员通过抽签决定分组．（1）甲分到A 组的概率为；（2）求甲、乙恰好分到同一组的概率．21．如图，在ABCD 中，AC 的垂直平分线分别交BC 、AD 于点E 、F ，垂足为O ，连接AE 、CF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝时，四边形AECF 为正方形．22．如图，在正方形网格中，ABC 的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺．．．．．．．．作图.(1)在图①中，作A ∠的角平分线；(2)在图②中，在AC 边上找一点D ，使得2AB AD AC =⋅．23．如图，河流的两岸PQ MN 、互相平行，河岸PQ 上A 、B 两处间的距离为50米，为了测量河流的宽度，某人在河岸MN 的C 处测得35BCN ∠=︒，然后沿河岸走了120米到达D 处，测得70ADN ∠=︒．求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin 350.57,cos 350.82,tan 350.70,sin 700.94,cos 700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）24．某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x 元，乙的售价为元；（用含x 的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？25．二次函数23y ax bx a =+-（a 、b 为常数，且0a ≠）的图象经过点()1,0A -．(1)求证：该函数的图象与x 轴总有两个公共点；(2)已知点()()0,4,5,4B C ，若该函数图象与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．26．如图，在ABC 中，CA CB =，E 为AB 上一点，作EF BC ∥，与AC 交于点F ，经过点A 、E 、F 的O 与BC 相切于点D ，连接AD 、ED 、FD ．(1)求证BDE BAD ∽△△；(2)若10,8AE BE ==，求CD 的长．27．概念引入定义：平面直角坐标系中，若点()P x y ，满足：=4x y +，则点P 叫做“复兴点”．例如：图①中的()13P ，是“复兴点”．(1)在点()22A ，，3522B -⎛⎫⎪⎝⎭，()15C -，中，是“复兴点”的点为；初步探究(2)如图②，在平面直角坐标系中，画出所有“复兴点”的集合．深入探究(3)若反比例函数()0ky k x=≠的图像上存在4个“复兴点”，则k 的取值范围是．(4)若一次函数()230y kx k k =-+≠的图像上存在“复兴点”，直接写出“复兴点”的个数及对应的k 的取值范围．参考答案：1．A【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．D【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：()()3322363==a a b a b b ⋅，故选：D ．【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方要先把每个因式乘方，再把所得的积相乘是解题的关键．3．A【分析】根据简单几何体的三视图进行逐一判断即可．【详解】解：A 、球三视图都为相同的圆，故此选项符合题意；B 、圆柱主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为圆，故此选项不符合题意；C 、三棱锥的三视图如下所示：故此选项不符合题意；D 、三棱柱的正视图为一个矩形里面有一条竖直的实线，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，理解几何体的特征并熟知三视图的定义是解题的关键．4．B【分析】对不等式进行适当的放缩，即可得到答案．【详解】解： πa <<，12<，3π4<<，∴14a <<．故选B ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数的大小常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．5．D【分析】利用方差定义判断即可．【详解】5，6，7，8，9，这组数据的平均数为7，方差为2222211S 2101225=⨯++++=（）；数据2，3，4，5，x 的方差比这组数据方差大，则有2221S S 2=＞，当2x =时，2，3，4，5，2的平均数为3.2，方差为22222120.20.8 1.8 1.2 1.365⨯++++=（1.），不满足题意；当4x =时，2，3，4，5，4的平均数为3.6，方差为2222211.60.60.4 1.40.4 1.045⨯++++=（），不满足题意；当6x =时，2，3，4，5，6的平均数为4，方差为2222212101225⨯++++=（），不满足题意；当8x =时，2，3，4，5，8的平均数为4.4，方差为2222212.4 1.40.40.63.64.245⨯++++=（），满足题意．故选：D【点睛】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键．6．C【分析】利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．【详解】解：先将ABC 平移，使B 和C '，C 和B '重合，然后所得的三角形沿线段B C ''的垂直平分线翻折，即可得到A B C ''' ；先将ABC 沿着BC 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着CC '的垂直平分线翻折，最后将所得的三角形沿着B C ''的垂直平分线翻折，即可得到A B C ''' ．而两次平移，两次旋转都不能将ABC 变换得到A B C ''' ．故选：C ．【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．314【分析】根据绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【详解】解：33-=；2211224-==，故答案为：3；14．【点睛】本题考查了绝对值的性质和负整数指数幂的运算法则，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．0x ≠【分析】根据分式有意义的条件计算即可．【详解】解：∵式子1x x-在实数范围内有意义，∴0x ≠，故答案为：0x ≠．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，是解题的关键．9．72.110-⨯【分析】根据科学计数法的表示形式进行解答即可．【详解】解：70.00000021=2.110-⨯，故答案为：72.110-⨯．【点睛】本题考查了用科学计数法表示较小的数，一般形式为10n a ⨯，010a ≤<，n 为整数，n 由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定．10．2【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的加法和除法计算法则求解即可．==2=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．11．()()422x x +-【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：原式()244x =-()22=42x -()()=422x x -+，故答案为：()()422x x +-．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．12．4【分析】根据根与系数的关系，得出12x x m +=-，122x x ⋅=-，代入12122x x x x +=，即可求出m 的值．【详解】解：∵1x 、2x 是方程220x mx +-=的两个根，∴12x x m +=-，122x x ⋅=-，∵12122x x x x +=，∴()22m -=⨯-，∴4m =．故答案为：4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握1x 、2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12cx x a ⋅=．13．20y -<<##02y >>-【分析】先求出反比例函数解析式为：2y x=-，即可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，问题随之得解．【详解】∵函数ky x=过点()1,2-，∴21k-=，2k =-，∴反比例函数解析式为：2y x=-，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，当1x =时，=2y -，∵1x >，∴20y x=-<，∴y 的取值范围是20y -<<，故答案为：20y -<<．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据函数解析式判断出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，是解答本题的关键．14．【分析】连接AC ，过点B 作11BM A B ⊥于点M ，先说明六边形111111A B C D E F 为正六边形，然后根据等腰三角形的性质，三角函数求出11A B =【详解】解：连接AC ，过点B 作11BM A B ⊥于点M ，如图所示：∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴4BC CD DE EF FA AB ======，3601801206ABC ︒∠=︒-=︒，∵1A 、1B 为AB 、BC 的中点，∴1112A B AC =，同理可得：1112B C BD =，1112C D CE =，1112D E DF =，1112E F AE =，1112F A FB =，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AC BD CE DF EA FB =====，∴111111111111A B B C C D D E E F F A =====，∵1122A B AB ==，1122B B BC ==，∴11A B B B =，∵11BM A B ⊥，∴1111602A BM A BB ∠=∠=︒，11112A M A B =，∴11sin 6022A M AB =⨯︒==，∴11A B =∴六边形111111A B C D E F 的周长是6⨯=．故答案为：【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出11A B =15．7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设直线AB 与x 轴的交点为点D ，过点C 作CE AB ⊥于点E ，先利用待定系数法求出直线AB 的函数解析式为22y x =+，从而可得()1,0,1,2D OD AD BD -===，设点C 的坐标为(),0C m ，则1CD m =+，再根据相似三角形的判定可证CDE ADO ，根据相似三角形的性质可得,CE DE 的长，从而可得BE 的长，然后根据等腰三角形的判定可得BE CE =，由此建立方程，解方程即可得．【详解】解：如图，设直线AB 与x 轴的交点为点D ，过点C 作CE AB ⊥于点E ，设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，将点()0,2A 、()1,4B 代入得：42k b b +=⎧⎨=⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，则直线AB 的函数解析式为22y x =+，当0y =时，220x +=，解得=1x -，()1,0,1D OD ∴-=，BD ∴=()0,2A ，OA OD ⊥，2OA ∴=，AD =设点C 的坐标为(),0C m ，则OC m =，1CD OC OD m ∴=+=+，在CDE 和ADO △中，90CDE ADO CED AOD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，CDE ADO ∴ ，CE DE CDOA OD AD ∴==，即21CE DE ==解得))11,55m m CE DE ++==，5BE BD DE ∴=-=， 直线AB 绕点B 逆时针旋转45︒，交x 轴于点C ，45CBE ∴∠=︒，又CE AB ⊥ ，45BCE CBE ∴∠=∠=︒，BE CE ∴=，即)155m +=，解得73m =，则点C 的坐标为7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、旋转的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．16．654【分析】过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，过点A 作AP DG ⊥于点P ，则AB EH DG ∥∥，可得四边形ABGP 是矩形，设AP BG x ==，则20CG x =-，证明ADP DCG ∽ ，可得2DG x =，在Rt CDG △中，根据勾股定理可得8,12,16BG CG DG ===，再证得EH 是梯形ABGD 的中位线，可得()1132EH AB DG =+=，再由EFH DCG ∽ ，即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH BC ⊥于点H ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，过点A 作AP DG ⊥于点P ，则AB EH DG ∥∥，∴90APG DGB B ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABGP 是矩形，90DAP ADP ∠+∠=︒，∴10,AB PG AP BG ===，设AP BG x ==，则20CG x =-，∵90ADC ∠=︒，∴90ADP CDG ∠+∠=︒，∴DAP CDG ∠=∠，∵90APD CGD ∠=∠=︒，∴ADP DCG ∽ ，∴AD AP CD DG=，即1020x DG =，解得：2DG x =，在Rt CDG △中，222DG CG CD +=，∴()()22222020x x +-=，解得：8x =，∴8,12,16BG CG DG ===，∵AB EH DG ∥∥，E 是AD 的中点，∴1BH AE GH DE==，即BH GH =，∴EH 是梯形ABGD 的中位线，∴()1132EH AB DG =+=，∵EF DC ，∴EFH C ∠=∠，∵90EHF DGC ∠=∠=︒，∴EFH DCG ∽ ，∴EH EF DG CD =，即131620EF =，解得：654EF =．故答案为：654【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质是解题的关键．17．11a -+【分析】把分子、分母因式分解，进行约分；先算括号里，再把除法变成乘法计算即可．【详解】解：222111211a a a a a a a ⎛⎫-+-÷ ⎪--+-⎝⎭()111111a a a a a a ++⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭()111a a a a a --=⋅-+11a =-+【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是能够对分式进行约分．18．原不等式组的解集为－1≤x ＜3，正整数解有：1，2．【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出解集内的整数解即可．【详解】解：10 1123x x x --≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②解不等式①，得x ≥－1，解不等式②，得x ＜3．∴原不等式组的解集为－1≤x ＜3，正整数解有：1，2．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．19．(1)17(2)2.46亿元(3)见解析【分析】（1）用2022年研发成本除以研发成本占总成本的百分比可得；（2）根据算术平均数的定义求解可得；（3）根据统计图和统计表中的信息，进行综合分析，即可．【详解】（1）解：2022年度该企业总成本是()5.1170%17÷-=亿元；故答案为：17（2）解：()0.5 1.22 3.5 5.15 2.46++++÷=（亿元）．答：该企业五年以来的年平均研发成本为2.46亿元（3）解：①该企业2022年的总成本为17亿元，2022年的利润率是17.4%，所以2022年的利润是1717.4% 2.958⨯=亿元；②该企业近五年的研发成本分别是0.5亿元、1.2亿元、2亿元、3.5亿元、5.1亿元，年利润率分别是6.3%5.2%6.7%9.1%17.4%、、、、，可以看出增加研发成本短期会使得年利润率下降，但是长期能使得年利润率大幅上升．【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、算术平均数，解题的关键是学握根据扇形统计图和条形统计图得出解题所需数据及算术平均数的求法．20．（1）13；（2）13【分析】（1）直接利用概率公式求出甲分到A 组的概率；（2）将所有情况列出，找出满足条件：甲、乙恰好分到同一组的情况有几种，计算出概率.【详解】解：（1）13（2）甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A ，A ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，A ）、（B ，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“甲乙分到同一组”（记为事件A）的结果有3种，所以P(A)＝1 3．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．21．（1）见解析；（2）或【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形可得AD∥BC，进而可得∠1＝∠2，再根据EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，进而可得∠2＝∠3，再根据四边相等的四边形是菱形作出判定；（2）当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC，根据勾股定理列出方程求得x的值，进而得AC的长即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，AE＝CE，∵AE＝CE，EF⊥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝CE＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，则∠AEB＝90°，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC，在Rt △ABE 中，222AE BE AB +=，∴222(7)5x x +-=，解得13x =，24x =，∴AC ＝故答案为：或【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定以及勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）延长AB 构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知A ∠的角平分线过等腰三角形底边的中点，找出底边中点P 与点A 连接即可；（2）设网格边长为1，如图，取格点P 、Q 、M ，连接PQ 交网格于N ，连接MN ，交网格于E ，连接BE 交AC 于D ，可得~ABD ECD ，根据2AB AD AC =⋅可得169AD CD =，根据相似三角形的性质结合网格特征作出94CE =即可得答案．【详解】（1）解：如图，点射线AP 即为所求；（2）解：设网格边长为1，如图，取格点P 、Q 、M ，连接PQ 交网格于N ，连接MN ，交网格于E ，连接BE 交AC 于D ，∵2AB AD AC =⋅，45AB AC =，∴169AD CD =，∵CE AB ∥，∴~ABD ECD ，∴169AD AB CD CE ==，∴94CE =∴如图，点D 即为所求；【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．23．160米【分析】过点A 作AE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ，设4DE x =米，则11AE x =米，再证得四边形AEFB 是矩形，可得50EF AB ==米，11BF AE x ==米，从而得到()1704CF CD DE EF x =++=+米，在Rt BCF 中，根据锐角三角函数可得59541x =，即可求解．【详解】解：过点A 作AE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ．在Rt ADE △中，90,70AED ADN ∠=︒∠=︒，∵tan AE ADN ED ∠=，∴11tan 70 2.754AE ED =︒≈=．设4DE x =米，则11AE x =米．∵90AEF BFE EAB ∠=∠=∠=︒∴四边形AEFB 是矩形，∴50EF AB ==米，11BF AE x ==米，∵120CD =米，∴()1704CF CD DE EF x =++=+米．在Rt BCF 中，90,35BFC BCN ∠=︒∠=︒，∵tan BF BCN FC ∠=，∴110.71704x x ≈+，解得：59541x =．∴595111116041AE x ==⨯≈（米）．答：河流的宽度为160米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．24．(1)1142x -(2)甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价；（2）设甲零食的售价提高x 元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可．【详解】（1）解：当甲的售价提高x 元，乙的售价为：()3630261141442x x ----=-；（2）设甲零食的售价提高x 元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，()()()1105302363021472682x x x x ⎛⎫-+-+----=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得：14x =，2193x =（不符合题意，舍去）．答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．25．(1)见解析(2)1a =-或43a <-或13a ≥【分析】（1）根据二次函数23y ax bx a =+-的图象经过点()1,0A -，可得2b a =-，可得抛物线解析式为223y ax ax a =--，当0y =时，可得2230x x --=，即可求解；（2）先求出抛物线与x 轴，y 轴的坐标，顶点坐标，然后分三种情况：当抛物线的顶点在线段BC 上时；当0a >时；当a<0时，即可求解．【详解】（1）证明：∵二次函数23y ax bx a =+-的图象经过点()1,0A -．∴30a b a --=，∴2b a =-，∴抛物线解析式为223y ax ax a =--，当0y =时，2230ax ax a --=，∵0a ≠∴2230x x --=，解得：121,3x x =-=，∴方程有两个不相等的实数根，∴该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）解：由（1）抛物线与x 轴的交点为()1,0A -，()3,0，当0x =时，3y a =-，∴抛物线与y 轴的交点为()0,3a -，∵()222314y ax ax a a x a =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,4a -，当5x =时，2510312y a a a a =--=，当抛物线的顶点在线段BC 上时，如图，∵点()()0,4,5,4B C ，∴44a -=，解得：1a =-；当0a >时，如图，此时有124a ≥，解得：13a ≥；当a<0时，如图，此时有34a ->，解得：43a <-；综上所述，a 的取值范围为1a =-或43a <-或13a ≥．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．26．(1)见解析(2)24【分析】（1）连接OD ，与EF 交于点M ，根据切线的性质和垂径定理，易得∠∠EAD FAD =，根据平行，得到FED EDB ∠=∠，进而推出EDB EAD ∠=∠，再根据B B ∠=∠，即可得到ABD DBE ∽；（2）根据ABD DBE ∽，求出BD 的长，利用ACD DCF ∽，得到2·CD CF CA =，设设5AF x =，则4CF x =，可得：6CD x =，利用CA CB =，列式求出x 的值，即可得解．【详解】（1）解：连接OD ，与EF 交于点M ．∵BC 与O 相切于点D ，∴OD BC ⊥，即90ODB ∠=︒．∵EF BC ∥，∴90OME ODB ∠=∠=︒．∴OD EF ⊥．又OD 经过圆心O ，∴ DEDF =．∴∠∠EAD FAD =，即AD 平分BAC ∠．∵EF BC ∥，∴FED EDB ∠=∠．又,EAD FAD FED FAD ∠=∠∠=∠，∴EDB EAD ∠=∠．又∵B B ∠=∠，∴ABD DBE ∽．（2）∵ABD DBE ∽，∴BD AB BE BD=，即2·BD BE BA =．∵10,8AE BE ==，∴12BD =．同理ACD DCF ∽．∴CD AC CF CD=，即2·CD CF CA =．∵EF BC ∥，∴54AE AF BE CF ==，设5AF x =，则4CF x =，∴6CD x =．又CA CB =，∴54126x x x +=+．解得4x =，∴24CD =．【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．27．(1)A ，B ；(2)见解析(3)40k -<<或04k <<(4)当3122k -<<-时，复兴点的个数为0；当32k =-或12k =-时，复兴点的个数为1；当102k -<<或0k >或32k <-时，复兴点的个数为2【分析】（1）根据“复兴点”的定义判断即可；（2）分0,0x y ≥≥，0,0x y ≤≥，0,0x y <<，0,0x y ><四种情形讨论即可；（3）分0k >，0k <两种情形讨论即可；（4）先判断一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过定点()2,3，然后分别求出一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中点M ，N ，P ，Q 时的k 值，最后结合图像解答即可．【详解】（1）解：根据题意，对()22A ，而言，224+=，故点A 是“复兴点”；对3522B -⎛⎫ ⎪⎝⎭而言，35422+-=，故点B 是“复兴点”；对()15C -，而言，156-+=，故点C 不是“复兴点”；故答案为：A ，B ；（2）解：当0,0x y ≥≥时，4x y +=∴4y x =-+，∴40x -+≥，∴4x ≤，∴()404y x x =-+≤≤；当0,0x y ≤≥时，4x y -+=∴4y x =+，∴40x +≥，∴4x ≥-，∴()440y x x =+-≤≤；当0,0x y <<时，4x y --=∴4y x =--，∴40x --<，∴4x >-，∴()440y x x =---<<；当0,0x y ><时，4x y -=∴4y x =-，∴40x -<，∴4x <，∴()404y x x =-<<；画图如下：（3）解：当0k >时，∵反比例函数()0k y k x=≠的图像上存在4个“复兴点”，∴反比例函数()0k y k x=≠的图像与()404y x x =-+≤≤，()440y x x =---<<的图像各有两个交点，联立方程组4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=--⎩，化简得240x x k -+=，240x x k ++=，∴()21440k ∆=-->，22440k ∆=->解得4k <，∴04k <<；当0k <时，解：当0k >时，∵反比例函数()0k y k x =≠的图像上存在4个“复兴点”，∴反比例函数()0k y k x =≠的图像与()440y x x =+-≤≤，()404y x x =-<<的图像各有两个交点，联立方程组4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，4k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，化简得240x x k +-=，240x x k --=，∴()21440k ∆=-⋅->，()()22440k ∆=--⋅->解得4k >-，∴40k -<<；综上，当04k <<或40k -<<时，反比例函数()0k y k x =≠的图像上存在4个“复兴点”；（4）解：当2x =时，3y =，∴一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过定点()2,3，当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()0,4M 时，234k -+=，解得12k =-；当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()4,0N -时，4230k k --+=，解得12k =；当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()0,4P -时，234k -+=-，解得72k =；当一次函数()230y kx k k =-+≠的图像经过（2）中函数图像的点()4,0Q 时，4230k k -+=，解得32k =-，如图，，结合函数图像可知：当3122k -<<-时，复兴点的个数为0；当32k =-或12k =-时，复兴点的个数为1；当102k -<<或0k >或32k <-时，复兴点的个数为2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图像等，理解题意，学会寻找特殊点解决问题是解题的关键．。

2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（一）数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A. ()10,0e = ，()21,2e =-B. ()11,2e =- ，()25,7e =C. ()13,5e = ，()26,10e =D. ()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭3. 已知复数12,z z 满足123z z ==，122z z +=-，则12z z -=（ ） A. 3B.C.D. 4. 酒驾是严重危害交通安全违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg ～的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg /mL ．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：lg30.48,lg70.85≈≈）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数())23log f x x =-，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则3b aab+的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 12D. 24的6. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为2212s s 、，该班成绩的方差为2s ，则下列结论中一定正确的是（ ）A. 222122s s s +=B. 222122s s s +≥C. 222127512s s s +=D. 222127512s s s +≥7. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A. ()01f =B. ()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦值域为⎡-⎣ D. ()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭有3个极值点 10. 设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a --<0.则下列结论正确的是（ ） A. 0<q <1B. a 7a 9<1C. T n 的最大值为T 7D. S n 的最大值为S 711. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则下列论断正确的是（ ） A.B. 圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为23C.D. 圆锥内部有一个正方体1111ABCD A B C D -，并使底面ABCD 落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点A三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．的12. 25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中33x y 的系数为_____________． 13. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点，若6AB =，则AB 中点M 到x 轴距离的最小值是______． 14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．17. 在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()222:30C x y aa -=>的左右焦点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当l 与x 轴垂直时，1ABF 面积为12． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D ．试判断2DF AB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．18. 正四棱台1111ABCD A B C D -下底面边长为，1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．的的（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n Pn ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．参考答案一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】化简集合B ，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为{}{}3|1,0,1B x x x ===-，所以{}1,0,1A B =- . 故选：D2. 下列各组向量中，可以作为基底是（ ）．A. ()10,0e = ，()21,2e =-B. ()11,2e =- ，()25,7e =C. ()13,5e = ，()26,10e =D. ()12,3e =- ，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为()11,2e =- 与()25,7e = 不共线，其余选项中1e 、2e均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底． 故选：B【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.的3. 已知复数12,z z 满足123z z ==，122z z +=-，则12z z -=（ ）A. 3B.C.D. 【答案】D 【解析】【分析】设出对应复数，利用复数的运算性质整体代值运算即可. 【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，且,,,R a b c d ∈，由已知得123z z ==3==，得2222a b c d +=+=9，又12i i ()i 2z a b c d a c b d z =++++==++-+，故2a c +=，b d +=，同时平方得2224a ac c ++=，225b bd d +2+=， 相加并化简得9ac bd 2+2=-，而12z z -=====故选：D4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到2079mg ～的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg /mL ．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：lg30.48,lg70.85≈≈）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】设经过x 个小时才能驾驶，则()0.6100130%20x⨯⨯-<，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【详解】设经过x 个小时才能驾驶，则()0.6100130%20x ⨯⨯-<即10.73x<.由于0.7x y =在定义域上单调递减，0.71lg1lg1lg 30.480.483log 3.23lg 0.7lg 710.8510.15x -->=====--. 他至少经过4小时才能驾驶. 故选：D.5. 已知函数())23log f x x =-，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则3b aab+的最小值为（ ）A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】C 【解析】【分析】先证明函数())23log f x x =-为奇函数，由()()310f a f b +-=可得31a b +=，再利用基本不等式求3b aab+的最小值. 【详解】因为())23log f x x =-，函数的定义域为R ，关于原点对称，因为())()2223log 3log 3log f x x x f x ⎫-===--=-⎪⎭，所以())23log f x x =-为奇函数，有()()0f x f x -+=，由解析式可以看出函数())223log 3log f x x =-=为减函数， 因为()()310f a f b +-=， 所以310a b +-=，即31a b +=， 因为,a b 为正数，所以()331319333612b a b a a b ab a b a b a b +⎛⎫=+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当931b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1216a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立. 故选：C6. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为2212s s 、，该班成绩的方差为2s ，则下列结论中一定正确的是（ ）A. 222122s s s +=B. 222122s s s +≥C. 222127512s s s +=D. 222127512s s s +≥【答案】D 【解析】【分析】借助分层抽样的方差公式计算即可得.【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为1x ，2x ，两个班的总的平均分为x ，则()()222221122352535253525s s x x s x x ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++ ()()22221122221227517512122s x x s x s x s s ⎡⎤⎡⎤+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+≥， 故选：D.7. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b c B. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a【答案】A 【解析】【分析】根据题意合理进行推理，求解答案即可.【详解】由题意得丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，故从事b 工作的人不是丙， 又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故从事b 工作的人不是甲， 则推出从事b 工作的人一定是乙，又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄， 而乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，故从事c 工作的人是丙， 可反推出从事a 工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是,,a b c . 故选：A8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1【答案】C 【解析】【分析】AB 选项，先判断出虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，求导得到()e xy f x =⋅在R上单调递增，AB 错误；再求导得到(,0)x ∈-∞时，()e x f x y =单调递增，当,()0x ∈+∞时，()e xf x y =单调递减，故C 正确，D 错误.【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=， 实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e xxxy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()exf x y=单调递增，当,()0x ∈+∞，()()0e x f x f x y '-'=<，()e xf x y =单调递减，所以函数()e x f x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误. 故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭部分图象如图所示，则（ ）A. ()01f =B. ()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为⎡-⎣ D. ()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭有3个极值点 【答案】AD 【解析】【分析】求出函数解析式，进而求得函数值判断A ，举反例判断BC ，利用整体代换法判断D 即可. 【详解】由图像得2A =，311π3ππ41264T =-=，解得πT =， 故2π2π2πT ω===，故此时有()()2sin 2x x f ϕ=+， 将π(,2)6代入函数解析式，得π22sin 26ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 的故ππ22π,Z 62k k ϕ⨯+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈， 而π02ϕ<<，故π6ϕ=，此时()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然()01f =成立，故A 正确， 易知5π23f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，7π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而57ππ34<，57ππ34f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又,517π1π344ππ36,∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上并非单调递减，故B 错误， 易知2π23f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2π5ππ,336⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域不可能为⎡-⎣，故C 错误， 当π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2π,4πx ∈，π7252(π,π)666x +∈，当π3572π,π,π6222x +=时，()f x 取得极值， 可得()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭有3个极值点，故D 正确. 故选：AD10. 设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a --<0.则下列结论正确的是（ ） A. 0<q <1B. a 7a 9<1C. T n 的最大值为T 7D. S n 的最大值为S 7【答案】ABC 【解析】【分析】依题意可得a 1>1，0<q <1，进而可得结果.【详解】∵a 1>1，a 7·a 8>1，7811a a --<0，∴ a 7>1，0<a 8<1，∴ 0<q <1，故A 正确；27981a a a =<，故B 正确；因为 a 7>1，0<a 8<1，所以T 7是T n 中的最大项，故C 正确； 因为a 1>1，0<q <1，所以S n 无最大值，故D 错误. 故选：ABC.11. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则下列论断正确的是（ ）A. B. 圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积最大时，圆柱的高为23C. D. 圆锥内部有一个正方体1111ABCD A B C D -，并使底面ABCD 落在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面角的几何求法判断A ，利用相似的性质建立方程，得到函数关系，再利用导数求解最值判断B ，利用相似的性质结合勾股定理判断C ，先判断轨迹情况，再求解弧长，最后再求和即可. 【详解】对于A ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则2π2π3l r =，即13r l =，又由题意得212π3π23l ⨯⨯=，解得3l =，故1r =，h ==，设圆锥的母线与底面所成角为β，故sin h l β==A 正确， 对于B ，设圆柱的底面半径为a ，且01a <<，高为h '， 当圆柱的体积最大时，圆锥和圆柱一定相接，如图，由相似性质易知1a =)h a '=-，设圆柱体积为V ，则圆柱体积为223π)V a a a a ⎡⎤=-=-⎣⎦，则2V a a '=-，令0V '>，2(0,)3a ∈，令0V '<，2(,1)3a ∈，故V 在2(0,)3上单调递增，在2(,1)3上单调递减，故当23a =时，V 有最大值，但此时圆柱高为2)3h '=-=B 错误， 对于C ，当球的半径最大时，该球一定与圆锥内切，截面如图，设球的半径为R ，且易知AEO AFC ~ ，则OE FCAO AC=，13=，解得R =，此时设球的内接正四面体的棱长为x ，如图所示，则正四面体中O M x ''=，O O '''=，可得O O R ''=-=-，在直角三角形O O M '''中，由勾股定理得222))x +=，解得x =C 正确，对于D ，当正方体棱长最大时，正方体内接于圆锥，轴截面如图，设正方体棱长为b ，则KH =，KL HN ==，由AOH ARC ~ ，得AQ QH AR RC ==解得b =，易知球与正方体的交线是六条圆弧，如图所示，易知π6θ=，则1π6l ==，2ππ22l ===，则六条圆弧总长为123(l l +)=+)=，则正方体的表面上与点A ，故D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是判断清楚轨迹情况，然后转化为弧长之和，最后得到所要求的轨迹长度即可．三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12. 25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中33x y 的系数为_____________．【答案】5【解析】【分析】先将乘积展开为255()()y x x y x y x+-+，再分别利用二项展开式计算5()x x y +和52()x x y y +中含33x y 的项，即求得25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式含33x y 的项，即得结果.【详解】22555()()()y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭ ，其中5()x x y +的展开式通项为5655C C kkk kk k k T x xy x y --=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5k =，故3k =时，得含33x y 的项为33333510C x y x y =； 52()x x y y +的展开式通项为254255C C r r r rr r r y S x y x y x --+=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5r =，故1r =时，得含33x y 的项为1333535x y x C y =.因此，式子25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含33x y 的项为3333331055x y x y x y =-，即系数为5.故答案为：5. 【点睛】思路点睛：计算两个多项式展开的指定项的系数问题，通常先固定一个，利用乘法分配律将另一个展开，分别计算展开式中指定项的系数，再进行加减运算即可.13. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点，若6AB =，则AB 中点M 到x 轴距离的最小值是______． 【答案】2 【解析】【分析】利用抛物线的定义结合中位线定理，列出不等式，发现取等条件，得到最小值即可.【详解】如图，由抛物线24x y =得焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-， 过,,A B M 分别作1y =-的垂线，交于111,,A B M ，连接,AF BF ，则AB AF BF ≤+，当且仅当AB 过点F 时取等， 显然1MM 是梯形11ABB A 的中位线，又由中位线定理知11126MM AA BB AF BF AB =+=+≥=， 则13MM AB ≥=，故M 到x 轴距离的最小值为2. 故答案为：214. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）【答案】 ①. 40 ②.21312n +- 【解析】【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A ；根据21(21)n ++和21(21)n +-的展开式相减得到21n A +的通项公式.【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C 2C 240A =⋅+⋅=．奇数维向量，范数为奇数，则1i x =的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，21n +， 根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C 2C 2C 2C 2nn n n n n n n n A --++++++=++++L ，212102112222210212121213(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n +++-+++++=+=++++L 2102112222210212121211(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n ++-+++++=-=-+--L两式相减得到2121312n n A ++-=.故答案为：2；21312n +-. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =.的（1）求角A 的大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =，2π3A =. 【小问2详解】由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△， 即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=， 在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bcbc+--+-===-，从而()2220122bc bc bc--=-，解得5bc =或4bc =-（舍），所以11sin 5sin12022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△. 16. 已知函数()e ,exx x f x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1ey =（2）()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞-，()f x 的极大值为1-，无极小值（3）12ea ≥- 【解析】【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当0a =时，()ex x f x =， 则()1e x xf x -'=，()10f '=，()11ef =， 所以切线方程为1ey =． 【小问2详解】当1a =时，()e e xxf x x -=-，()()21e 1e e exxxxx f x x -'--=--=． 令()21e xg x x =--，()212e0xg x =--<'，故()g x 在R 上单调递减，而()00g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点 即：0是()f x '在R 上的唯一零点当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： x(),0∞-()0,∞+()f x ' +-()f x极大值()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞- ()f x 的极大值为()01f =-，无极小值【小问3详解】 由题意知1ee exx x x a ---≤，即1e e ex x xx a ---≥，即21e e x x a ≥-， 设()21e e x x m x =-，则()()22222e 2e 12e e x x x x x x m x '--==， 令()0m x '=，解得12x =， 当1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，()0m x '>，()m x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0m x '<，()m x 单调递减， 所以()max 1e 11122e 2e m x m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 所以12ea ≥-17. 在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线()222:30C x y aa -=>的左右焦点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当l 与x 轴垂直时，1ABF 面积为12． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D ．试判断2DF AB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）是，且定值为1 【解析】【分析】（1）先将双曲线方程化为标准形式，再利用三角形面积公式求解参数，得到方程即可. （2）设出直线方程，运用弦长公式求出线段长，再求出比值为定值即可. 【小问1详解】双曲线2223x y a -=可化为2213x y a a-=，连接11,AF BF ，而121211(2)412,22ABF S F F AB a =⋅=⨯== 解得23,a = 故双曲线C 的标准方程为2213y x -=，【小问2详解】2(2,0)F ，∴设直线l 的方程为2(0),x ty t =+≠1122(,),(,)A x y B x y ， M 为AB 的中点，联立双曲线C 与直线l 22332x y x ty ⎧-=⎨=+⎩，消去x 可得：22(31)1290,t y ty -++=因此121222129,,3131t y y y y t t -+==--进而可得1224,31x x t -+=- 即AB 中点M 的坐标为2226(,3131tt t ----， 线段AB 的中垂线为2262(3131t y t x t t +=-+--，则28(,0),31D t --， 即22228662,3131t DF t t +=+=--226631tABt+===-，可得2DFAB为定值1，即2DFAB是定值，且该值为1.18. 正四棱台1111ABCD A B C D-的下底面边长为1112A B AB=，M为BC中点，已知点P满足()1112AP AB AD AAλλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC⊥；（2）已知平面1AMC与平面ABCD所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP与平面1AMC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角向量求法求解即可.【小问1详解】方法一：∵1112A B AB=，∴112AA AB AA AD⋅=⋅==．∵1112D A AD AA=--∴()()111111122D P D A AP AB AD AAλλλ⎛⎫=+=-+-+-⎪⎝⎭的∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴， 以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有)A，)B，()C ，()D，1A h ⎫⎪⎪⎭，1C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()M，()AC =- ()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h ⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h h λ⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭ ． 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC ⊥．【小问2详解】设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n = ，设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =，1AC h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y hz ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x =，则(),3m =．又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h =． 因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，143D P ⎫=⎪⎭ ． 将2h =代入，可得平面1AMC的法向量()m =． 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP θ=19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 236 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠.券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i n ni ii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】（1）673220760001200y t =+ （2）533885nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1925，最小值为25；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用最小二乘法，结合数据分析与公式的变换即可得解； （2）利用全概率公式得到1223(3)55n n n P P P n --=+≥，再两次利用构造法依次求得135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）①结合（2）中结论，分类讨论n 为偶数与n 为奇数，结合数列的单调性即可得解；②理解数列收敛的定义，取0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而得证.【小问1详解】剔除第10天数据的911 2.2100.4() 2.499i i y y =⨯-===∑新， 123456789()59t ++++++++==新，91118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭∑新，922138510285i i t =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑新， 所以91292219()()114.7395 2.46732859560ˆ009()i i i i i x y t y b t t ==⎛⎫-⋅ ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新， 故67322072.4560001200a =-⨯=，所以673220760001200y t =+． 【小问2详解】由题意可知1223(3)55n n n P P P n --=+≥， 其中12222319,555525P P ==⨯+=， 所以11233(3)55n n n n P P P P n ---+=+≥，又2131932152555P P +=+⨯=， 所以135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，故131(2)5n n P P n -+=≥， 所以1535(2)858n n P P n -⎛⎫-=--≥ ⎪⎝⎭，又1525985840P -=-=-， 所以58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为940-，公比为35-的等比数列，故15938405n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即19355334058885n nn P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问3详解】①当n 为偶数时，53353358858858n nn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，53353358858858nnn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25.②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数），当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，358log 353333338858585n n n P εε⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n P 收敛.【点睛】思路点睛：本题第2小问求n P 的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于n P 的递推式，再利用数列的构造法即可得解.。

2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，2023年完成造林约3990000公顷．用科学记数法表示3990000是（）A．3.99×107B．0.399×106C．3.99×106D．0.399×107 2．（2分）实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）A．2a B．C．a﹣1D．a+23．（2分）整数a．满足，则a的值为（）A．3B．4C．5D．64．（2分）如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB ＝62°，则∠CPD等于（）A．124°B．107°C．122°D．102°5．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE．若△A′BC为等边三角形，则AE的长为（）A．B．C．D．6．（2分）若A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）三点在同一函数图象上，则该函数图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2分）计算的结果是．9．（2分）分解因式：2m2﹣4m+2＝．10．（2分）某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是．11．（2分）计算的结果是．12．（2分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝．13．（2分）一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），当x＝2时，5＜y＜9，则k的值可以是_________（写出一个即可）．14．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为．15．（2分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．若AB ＝5，BC＝12，连接DD′，则DD′的长为．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝2，BD是高．若，则BC的长的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算．18．（8分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．19．（6分）人口数据是研究经济社会发展规划的重要依据，阅读以下统计图，并回答问题．（1）下列结论中，正确结论的序号是；①2023年的总人口比2017年的总人口少；②2017年我国乡村人口比上一年下降约2.79%；③2016～2023年我国城镇人口逐年增长，且增长率相同．（2）请结合如图提供的信息，从不同角度写出两个与我国人口相关的结论．20．（8分）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆．（1）甲从A通道进入博物馆的概率是；（2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率．21．（8分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测10个，甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，求甲、乙两个机器人每小时各检测零件多少个？22．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝CF，连接BE，DF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）已知AB＝4，AD＝8，∠BAD＝120°，当AE的长为时，四边形EBFD 是菱形．23．（8分）如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作．无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树AB的顶端B的俯角为63°26′，同时还测得前方某建筑物CD的顶端D的俯角为36°52′．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度AB为5.2m，建筑物的高度CD为30.2m，大树与建筑物的距离AC为20m，求无人机在P处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75，tan63°26′≈2.00）．24．（8分）某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w（万元），当销售单价为多少元时，年利润最大？最大年利润是多少？（说明：年利润＝年销售利润﹣研发费用）25．（8分）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD＝DE．经过A，B，C三点的⊙O交BD于点F，且CD是⊙O的切线．（1）连接AF，求证AF＝AB；（2）求证AB2＝AE•AC；（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4，则⊙O的半径为．26．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）．（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0；（3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．27．（11分）几何问题中需建构模型去研究图形中元素之间的关系…在△ABC中，P是BC上一点，点E在直线BC的上方，连接AP，EP，EC，探究下列问题：【认识模型】（1）如图①，△APB∽△CPE．①连接BE，求证△PEB∽△PCA；②∠BEC与∠BAC满足的数量关系为；【运用模型】（2）已知∠BAC＝90°，D是AB的中点，且△APD∽△CPE．①如图②，若P是BC的中点，连接DE，求证DE∥BC；②若∠B＝30°，BC＝4，当点P在BC上运动时，点E的位置随点P的位置的变化而变化，直接写出AE的长的最小值．2024年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：3990000＝3.99×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．【分析】根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得﹣2＜a＜﹣1，∵﹣2＜a＜﹣1，∴﹣4＜2a＜﹣2，结果为负数，∴选项A不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴﹣1＜＜﹣，结果为负数，∴选项B不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴﹣3＜a﹣1＜﹣2，结果为负数，∴选项C不符合题意；∵﹣2＜a＜﹣1，∴0＜a+2＜1，结果为正数，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数加减乘除的运算方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．3．【分析】根据平方数进行计算，即可解答．【解答】解：∵11＜16＜21，∴＜＜，∴＜4＜，∵整数a．满足，∴a＝4，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．4．【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠BAD＝90°，由D为弧BD的中点，可得∠CAD＝∠BAC＝45°，由∠C＝∠ADB＝62°，再根据三角形外角定理得∠CPD＝∠CBD+∠C，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵点C是弧BD的中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠CBD＝∠CAD＝45°，∵∠C＝∠ADB＝62°，∴∠CPD＝∠CBD+∠C＝45°+62°＝107°．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系进行求解是解决本题的关键．5．【分析】延长BA′交AD于点F，根据翻折的性质和等边三角形的性质求出AF，EF，进而可以解决问题．【解答】解：如图，延长BA′交AD于点F，在边长为2的正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠A＝∠ABC＝90°，由翻折可知：AB＝A′B＝2，∠A＝∠BA′E＝90°，AE＝A′E，∵△A′BC为等边三角形，∴∠A′BC＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB•tan30°＝2×＝，∴BF＝2AF＝，∴A′F＝BF﹣A′B＝﹣2，∵∠ABF＝30°，∴∠EFA′＝60°，∴EF＝2A′F＝﹣4，∴AE＝AF﹣EF＝﹣+4＝4﹣2，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．6．【分析】由点A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），C（2，m）在同一个函数图象上，可得B 与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点B（﹣2，m），C（2，m），∴B与C关于y轴对称，即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；∵A（﹣4，m﹣2），B（﹣2，m），∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意．故选：B．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．【分析】分式有意义的条件为：分母≠0，列出不等式计算即可．【解答】解：根据分式有意义的条件得：x﹣3≠0，∴x≠3，故答案为：x≠3．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．8．【分析】先算乘法，再化为最简二次根式，最后合并．【解答】解：×﹣＝﹣2＝6﹣2＝4；故答案为：4．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．9．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2（m2﹣2m+1）＝2（m﹣1）2．故答案为：2（m﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．【分析】先把数据由小到大排列，再根据中位数的概念找出中位数．【解答】解：把数据由小到大排列：54，62，74，86，90，97，最中间的两个数是74，86，则中位数是＝80，故答案为：80．【点评】本题考查的是中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．11．【分析】先计算乘方，再计算乘法．【解答】解：＝2×16×＝，故答案为：．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．12．【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可．【解答】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（﹣m，﹣），∴C点坐标为（m，﹣），∴AC＝，BC＝2m，∴△ABC的面积＝AC•BC＝•2m•＝12，∴b＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．13．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（1，1），∴1＝k+b，b＝1﹣k，∴一次函数解析式为：y＝kx+1﹣k，∵当x＝2时，5＜y＜9，∴5＜2k+1﹣k＜9，∴5＜k+1＜9，∴4＜k＜8．不妨k＝6，故答案为：6（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握解不等式是解答本题的关键．14．【分析】设⊙D与y轴相切于M，作直径MN，连接BD，由切线的性质得到MN⊥OC，由A的坐标是（4，0），得到OA＝4，由正方形的性质推出∠MCB＝∠NBC＝90°，BC ＝AB＝OA＝OC＝4，判定四边形MNBC是矩形，推出MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC ＝NB，由垂径定理求出NB＝AB＝2，得到MC＝NB＝2，求出OM＝4﹣2＝2，设圆的半径是r，由勾股定理得到r2＝（4﹣r）2+22，求出r＝，得到MD＝，即可得到点D 的坐标为（，2）．【解答】解：设⊙D与y轴相切于M，作直径MN，连接BD，∴MN⊥OC，∵A的坐标是（4，0），∴OA＝4，∵四边形OABC是正方形，∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4，∴四边形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC＝NB，∴MN⊥AB，∴NB＝AB＝2，∴MC＝NB＝2，∴OM＝4﹣2＝2，设圆的半径是r，∴DB＝r，DN＝4﹣r，∵BD2＝DN2+NB2，∴r2＝（4﹣r）2+22，∴r＝，∴MD＝，∴点D的坐标为（，2）．故答案为：（，2）．【点评】本题考查正方形的性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理得到关于r的方程．15．【分析】过A点作AH⊥BD于H点，如图，先根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，AD ＝BC＝12，则利用勾股定理可计算出BD＝13，再证明△BAH∽△BDA，利用相似比可计算出BH＝，接着根据旋转的性质得到AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∠BAB′＝∠DAD′，于是根据等腰三角形的性质得到BH＝B′H＝，然后证明△ADD′∽△ABB′，从而利用相似比可求出DD′的长．【解答】解：过A点作AH⊥BD于H点，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12，在Rt△ABD中，BD＝＝＝13，∵∠ABH＝∠DBA，∠AHB＝∠DAB，∴△BAH∽△BDA，∴BH：AB＝AB：BD，即BH：5＝5：13，解得BH＝，∵矩形ABCD绕点A旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上．∴AB＝AB′＝5，AD＝AD′＝12，∠BAB′＝∠DAD′，∴BH＝B′H＝，∵＝，∠DAD′＝∠BAB′，∴△ADD′∽△ABB′，∴DD′：BB′＝AD：AB，即DD′：＝12：5，解得DD′＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．16．【分析】取AC中点E，过E作EF⊥AC，过点A作AF⊥AB，交EF于F，连接BF，CF，可证明△BDA≌△AEF（AAS），得AB＝AF＝2，则BF＝2，EF是AC的垂直平分线，可知CF＝AF＝2，由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝2﹣2，当F、C、B三点共线时取等号，即可求得BC的最小值为2﹣2．【解答】解：取AC中点E，过E作EF⊥AC，过点A作AF⊥AB，交EF于F，则∠AEF＝∠BAF＝90°，AE＝AC，∴∠FAE+∠DAB＝∠FAE+∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BAD，∴BD＝AC，BD是△ABC的高，.∴BD＝AE，∠BDA＝∠AEF＝90°，△BDA≌△AEF（AAS），∴AB＝AF＝2，则BF＝＝2，∵E为AC中点，EF⊥AC，∵EF是AC的垂直平分线，∴CF＝AF＝2，由三角形三边关系可知，BC≥BF﹣CF＝2﹣2，∴当F、C、B三点共线时取等号，即：BC的最小值为2﹣2；故答案为：2﹣2．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形三边关系，垂直平分线的判定及性质，添加辅助线构造全等三角形，由三角形三边关系得BC≥BF﹣CF是解决问题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：＝•＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．【解答】解：由≥x+1得：x≤1，由3+4（x﹣1）＞﹣9得：x＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以其整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】（1）根据统计图数据逐一判断即可；（2）根据城镇人口和乡村人口的增长和总人数等角度解答即可．【解答】解：（1）由统计图可知：2023年的总人口为：9.32+4.77＝14.09（亿人），2017年的总人口为：8.43+5.57＝14（亿人），所以2023年的总人口比2017年的总人口多，故①结论错误；2017年我国乡村人口比上一年下降约：≈2.79%，故②结论正确；2016～2023年我国城镇人口逐年增长，但增长率不相同，故③结论错误．故答案为：②；（2）由统计图可知，我国城镇人口逐年增长，乡村人口逐年减少；从2021年开始，我国人口开始出现负增长．【点评】题考查条形统计图，解题的关键是根据统计图正确获取信息．20．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙从不同通道进入博物馆的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，甲从A通道进入博物馆的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的结果有：AB，AC，BA，BC，CA，CB，共6种，∴甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】设乙机器人每小时检测零件x个，则甲机器人每小时检测零件（x+10）个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲检测300个零件所用的时间与乙检测240个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙机器人每小时检测零件的个数，再将其代入（x+10）中，即可求出甲机器人每小时检测零件的个数．【解答】解：设乙机器人每小时检测零件x个，则甲机器人每小时检测零件（x+10）个，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50（个）．答：甲机器人每小时检测零件50个，乙机器人每小时检测零件40个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．【分析】（1）根据平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再证明DE＝BF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）过点B作BM⊥DA于点M，由含30°角的直角三角形的性质得AM＝AB＝2，进而由勾股定理得BM＝2，设AE＝x，则ME＝AM+AE＝2+x，DE＝AD﹣AE＝8﹣x，再由菱形的判定可知BE＝DE＝8﹣x，然后在Rt△BME中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）解：如图，过点B作BM⊥DA于点M，则∠BMA＝90°，∵∠BAD＝120°，∴∠BAM＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝AB＝×4＝2，∴BM＝＝＝2，设AE＝x，则ME＝AM+AE＝2+x，DE＝AD﹣AE＝8﹣x，由（1）可知，四边形EBFD是平行四边形，当BE＝DE＝8﹣x时，四边形EBFD是菱形，在Rt△BME中，由勾股定理得：（2）2+（2+x）2＝（8﹣x）2，解得：x＝2.4，即当AE的长为2.4时，四边形EBFD是菱形，故答案为：2.4．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】延长AB交PG于点F，延长CD交PG于点E，根据题意可得：AF⊥PG，CE ⊥PG，AF＝CE，AC＝EF＝20m，然后设PF＝x m，则PE＝（x+20）m，分别在Rt△BPF 和Rt△PED中，利用锐角三角函数的定义求出BF和DE的长，从而列出关于x的方程进行计算，即可解答．【解答】解：延长AB交PG于点F，延长CD交PG于点E，由题意得：AF⊥PG，CE⊥PG，AF＝CE，AC＝EF＝20m，设PF＝x m，∴PE＝PF+EF＝（x+20）m，在Rt△BPF中，∠BPF＝63°26′，∴BF＝PF•tan63°26′≈2x（m），在Rt△PED中，∠EPD＝36°52′，∴ED＝PE•tan36°52′≈0.75（x+20）m，∵AF＝CE，∴AB+BF＝CD+DE，∴5.2+2x＝30.2+0.75（x+20），解得：x＝32，∴AF＝AB+BF＝5.2+2x＝69.2（m），∴无人机在P处时离地面的高度约为69.2m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）依据待定系数法，可分段求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）分两种情况进行讨论求解即可．【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝，将A（4，40）代入得k＝4×40＝160，∴y与x之间的函数关系式为y＝；当8＜x≤28时，设y＝k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+28，综上所述，y＝；（2）当4≤x≤8时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）•﹣40＝120﹣，∵当4≤x≤8时，w随着x的增大而增大，∴当x＝8时，w max＝120﹣＝40；当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y﹣40＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣40＝﹣（x﹣16）2+104，∴当x＝16时，w max＝104；∵104＞40，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为104万元．【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，反比例函数的应用，解答中涉及待定系数法求函数解析式，理解题意，掌握相关函数的性质是解题的关键．25．【分析】（1）连接OC，OA交BF于点G，证明OA⊥BF，利用垂径定理即可得到结论；（2）连接BC，证明△ABE∽△ACB，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论；（3）连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，由△ABE﹣△ACB，对应边成比例求出CB，在Rt△BCH中，由勾股定理求出CH，进一步求出OH，在Rt△AOH中，利用勾股定理即可求出半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，OA交BF于点G，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DEC＝∠AEG，∴∠OAC+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，即OA⊥BF，由垂径定理可得，OA垂直平分BF，∴AF＝AB；（2）证明：如图，连接BC，由（1）知，AF＝AB，则∠AFB＝∠ABE，又∠ACB＝∠AFB，∴∠ABE＝∠ACB，又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，即：AB2＝AE•AC；（3）解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，∵AE＝2，EC＝6，则AC＝AE+EC＝8，由（2）可知，AB2＝AE•AC＝16，∴AB＝4＝BE，由（2）知△ABE∽△ACB，则，即，∴AC＝CB＝8，又：OA＝OB，∴CH垂直平分AB，∴，在Rt△BCH中，，设半径为r，则OA＝OC＝r，，在Rt△AOH中，OH2+AH2＝OA2即：，解得，故答案为：．【点评】本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键．26．【分析】（1）依据题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a，再结合a＜0，可得﹣8a＞0，又对于任意的实数b都有b2≥0，从而可以判断得解；（2）依据题意，由x1+x2＝﹣，x1•x2＝，又x2＝﹣2x1，从而求出x1＝，x2＝﹣，又x1•x2＝，进而可以﹣＝，故变形可以得解；（3）依据题意，对称轴是直线x＝＝k+2，又令x＝0，则y＝2，再由a＜0时，当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又2＜y2＜y1，从而|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|，进而分三类①k＜﹣2②﹣2≤k≤4③k＞4进行讨论，即可得解．【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a．∵a＜0，∴﹣8a＞0．又对于任意的实数b都有b2≥0，∴b2﹣8a＞0，即Δ＞0．∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）证明：由题意，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．又x2＝﹣2x1，∴x1＝，x2＝﹣．又x1•x2＝，∴﹣＝．∴﹣b2＝a．∴a+b2＝0．（3）解：由题意，对称轴是直线x＝＝k+2．又令x＝0，则y＝2．∵a＜0，∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．又2＜y2＜y1，∴|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|．∴|k+2|＞|k﹣4|＞2．①当k＜﹣2时，﹣k﹣2＞4﹣k＞2．∴无解．②当﹣2≤k≤4时，k+2＞4﹣k＞2．∴1＜k＜2．③当k＞4时，k+2＞k﹣4＞2．∴k＞6．综上，1＜k＜2或k＞6．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．27．【分析】（1）①由相似三角形的性质可知∠APB＝∠CPE，得∠BPE＝∠APC，即可证明结论；②根据相似三角形的性质可知∠BEP＝∠ACB，∠CEP＝∠ABC，再结合三角形的内角和定理即可得结论；（2）①先证△PED∽△PCA，得∠DEP＝∠ACP，由三角形中位线定理及斜边上中线等于斜边得一半可得DP∥AC，AP＝BP＝CP，则∠ADP＝∠BAC＝90°，∠B＝∠DAP，再根据相似三角形的性质可知∠ADP＝∠CEP＝∠BAC＝90°，∠ECP＝∠DAP＝∠B，进而可得∠DEP+∠CEP+∠ECP＝∠ACB+∠BAC+∠B＝180°，即可证明结论；②由含30°角的直角三角形可得AC＝2，，进而可得，由三边关系可知，AE+CE≥AC，则AE≥AC﹣CE，当A、E、C三点共线时，AE最小，此时∠ECP＝60°，由相似三角形的性质可知∠DAP＝∠ECP＝60°，则∠DAP+∠B＝90°，得AP⊥BC，由，得，可得CP＝1，由相似三角形的性质得，求得CE＝1，即可得AE的最小值为1．【解答】（1）①证明：∵△APB∽△CPE，∴∠APB＝∠CPE，，∴∠BPE+∠APE＝∠APC+∠APE，，∴∠BPE＝∠APC，∴△PEB∽△PCA；②解：∵△PEB∽△PCA，△APB∽△CPE，∴∠BEP＝∠ACB，∠CEP＝∠ABC，∵∠BEC＝∠BEP+∠CEP＝∠ACB+∠ABC，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠BAC+∠BEC＝180°，故答案为：∠BAC+∠BEC＝180°；（2）①证明：∵△APD∽△CPE，∴∠APD＝∠CPE，，则∠APD+∠APE＝∠CPE+∠APE，∴∠DPE＝∠APC，∴△PED∽△PCA，∴∠DEP＝∠ACP，∵D是AB的中点，P是BC的中点，∠BAC＝90°，∴DP∥AC，AP＝BP＝CP，则∠ADP＝∠BAC＝90°，∠B＝∠DAP，∵△APD∽△CPE，∴∠ADP＝∠CEP＝BAC＝90°，∠ECP＝∠DAP＝∠B，则∠DEP+∠CEP+∠ECP＝∠ACB+∠BAC+∠B＝180°，∴DE∥BC；②解：∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，BC＝4，∴，则AB＝，∵D是AB的中点，∴，由三边关系可知，AE+CE≥AC，则AE≥AC﹣CE，当A、E、C三点共线时，AE最小，此时∠ECP＝60°，∵△APD∽△CPE，∵∴∠DAP＝∠ECP＝60°，则∠DAP+∠B＝90°∴AP⊥BC，∵，∴，在Rt△ACP中，，∵△APD∽△CPE，∴，即，∴CE＝1，则AE＝AC﹣CE＝1，即AE的最小值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键。

一、单选题二、多选题1.已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）A．B．C．D．2. 已知A ､B 是椭圆（）长轴的两端点，P ､Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP ，BQ的斜率分别为，（），若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）A ．2B．C ．1D．3. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．4. 已知，且为第四象限的角，则的值等于A．B．C．D．5. 圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数点后面第七位，“割圆术”是用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，圆的内接正多边形边数越多误差越小．利用“割圆术”求圆周率，当圆的内接正多边形的边数为时，圆周率的近似值可表示为（）．A．B．C．D．6. 若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）A ．1B．C．D ．27.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）A ．3B．C ．6D．8. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．9. 已知，则（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10. 下列说法正确的是（ ）A ．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好B．若随机变量，则C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种D ．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题 (2)东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题 (2)三、填空题四、解答题11.已知点在直线：上运动，过点作圆：的一条切线，切点为，直线PO 与圆交于点B ，且点，B在的两侧，则（ ）A．的最小值为2B．C．当为等腰三角形时，D．点到直线AB的距离小于12.已知，分别是双曲线（，）的左､右焦点，双曲线左支上存在一点，使（为实半轴长）成立，则此双曲线的离心率的取值可能是（ ）A．B ．2C．D ．513.以椭圆在轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为_____；此双曲线的渐近线方程为_________14.已知数列满足，，则_____．15.若，则___________.16. 设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）令（），其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．17.已知椭圆，其中是与无关的实数.(1)求实数的取值范围；(2)当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.18.已知函数，.(1)当时，证明：在上恒成立；(2)当时，求在内的零点个数..19. 如图，D 为圆锥DO 的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为直径，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为正方形，．(1)若点F 在BC上，且//面ACE ，请确定点F 的位置并说明理由；(2)求二面角的余弦值．20. 已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21. 平面上一动点满足．(1)求P点轨迹的方程；(2)已知，，延长PA交于点Q，求实数m使得恒成立，并证明：为定值。