2014高考数学课后作业8-3直线与圆的位置关系及空间直角坐标系新人教A版

高中数学高考总复习直线与圆圆与圆的位置关系及空间坐标系习题及详解一、选择题1．(文)(2019·黑龙江哈三中)直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)[答案] A[解析] 圆的方程x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意知圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0距离大于a ，即|a －1|2>a ，解得－1－2<a <－1＋2，∵a >0，∴0<a <2－1.(理)(2019·宁德一中)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1 [答案] C[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径．∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心是(1,0)，半径是2，∴d ＝|1－0＋m |2<2，∴|m ＋1|<2，∴－3<m <1，故所求的m 的取值集合应是(－3,1)的一个真子集，故选C. 2．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为 d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|(2sin α)2＋(2cos α)2＝12，圆半径r ＝1，∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．3．(文)(2019·青岛市质检)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线x －y －2＝0距离d ＝2，∴所求最大值为d ＋r ＝2＋1. (理)(2019·山东肥城联考)若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a 等于( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32[答案] B[解析] 圆(x －3)2＋(y －1)2＝4，半径为2， 由题意圆心(3,1)到直线的距离是1， ∴|3a |a 2＋1＝1，∴a ＝±24.4．(2019·深圳中学)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则( )A ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0B ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．l 的方程为5x －12y ＋20＝0D ．l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，圆心C (－1,2)，半径r ＝5，点在圆内，设l 斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，∵|AB |＝8，∴圆心到直线距离为52－42＝3， ∴|－k －2＋4k |k 2＋1＝3，∴k ＝－512，当斜率不存在时，直线x ＝－4也满足．故选A.5．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定[答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝⎛⎭⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.6．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条[答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.7．(2019·温州十校)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的一条切线(切点为T )交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则|OM |－|MT |等于( )A ．b －aB ．a －b C.a ＋b2D ．a ＋b[答案] A[解析] 如图，F ′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF |－|PF ′|＝2a .又M 为PF 的中点，∴|MF |－|OM |＝a ，即|OM |＝|MF |－a .又直线PF 与圆相切， ∴|FT |＝OF 2－OT 2＝b ，∴|OM |－|MT |＝|MF |－a －(|MF |－|FT |)＝|FT |－a ＝b －a ，故选A.8．(文)(2019·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，故选A. (理)(2019·泰安质检)如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆的两交点M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴圆心在直线x ＋y ＝0上，且两直线y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝－1，∴不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，表示的平面区域如图，故其面积S ＝12|OA |·y B ＝14.9．(文)若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．(理)台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时[答案] B[解析] 以A 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系，则A (102t,102t )，B (40,0)．当满足下列条件时，B 城市处于危险区内，即(102t －40)2＋(102t )2≤302，解得2－12≤t ≤2＋12，故选B.10．(2019·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38 B.516 C.58D.316[答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b 2<1，化简得3b －4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝⎛⎭⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝⎛⎭⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.二、填空题11．(2019·四川广元市质检)已知直线l ：x －2y －5＝0与圆O ：x 2＋y 2＝50相交于A 、B 两点，则△AOB 的面积为______．[答案] 15[解析] 圆心(0,0)到直线l 距离d ＝5，圆半径R ＝52，∴弦长|AB |＝2(52)2－(5)2＝65，∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×65×5＝15.12．(文)(2019·天津南开区模拟)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线OA 、OB ，A 、B 为切点，则线段AB 的长为________．[答案] 4[解析] 圆(x －3)2＋(y －4)2＝5的圆心C (3,4)，半径为r ＝5，|CO |＝5，∴切线长|OA |＝25，由12|OA |·|CA |＝12|OC |·d ，得d ＝2， ∴弦长|AB |＝2d ＝4.(理)(2019·甘肃质检)若直线2x －y ＋c ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则c 的值为________．[答案] 8或－2[解析] 设直线2x －y ＋c ＝0上点P (x 0，y 0)，按a 平移后移到点P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋1y ＝y 0－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1y 0＝y ＋1代入直线2x －y ＋c ＝0中得2x －y －3＋c ＝0，此时直线与圆x 2＋y 2＝5相切， ∴|－3＋c |5＝5，∴c ＝8或－2. 13．(2019·湖南文)若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．[答案] －1 x 2＋(y －1)2＝1[解析] 过P 、Q 两点的直线的斜率k PQ ＝b －(3－a )a －(3－b )＝a ＋b －3a ＋b －3＝1，∴线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为－1，线段PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫a －b ＋32，b －a ＋32，∴PQ 的垂直平分线l 的方程为y －b －a ＋32＝－⎝⎛⎭⎫x －a －b ＋32，即y ＝－x ＋3，设圆心(2,3)关于直线l ：y ＝－x ＋3的对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋32＝－a ＋22＋3b －3a －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.14．(2019·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，∴|c |13<1，∴－13<c <13.三、解答题15．(2019·广东湛江)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．[解析] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得|－k －2|k 2＋1＝2，即k ＝2±6，从而切线方程为y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0， 由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0，或x ＋y －3＝0. ∴所求切线的方程为y ＝(2±6)x x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0(2)由|PO |＝|PM |得，x 12＋y 12＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0. 即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，|PM |取最小值时即 |OP |取得最小值，直线OP ⊥l ， ∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 16．(文)(2019·北京延庆县模考)已知长方形ABCD ，AB ＝22，BC ＝1，以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy .(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M 、N 两点，判断是否存在直线l ，使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由．[解析] (1)由题意可得点A ，B ，C 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，(2，1)． 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有2a ＝|AC |＋|BC |＝(－2－2)2＋(0－1)2＋(2－2)2＋(0－1)2＝4>22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2， 椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)假设满足条件的直线l 存在，由条件可知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4y ＝kx ＋2，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋4＝0∴x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝41＋2k 2若以弦MN 为直径的圆恰好过原点，则OM →⊥ON →， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝0， ∴4(1＋k 2)1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋4＝0，即8－4k 21＋2k 2＝0，解得k ＝±2检验知k 值满足判别式Δ>0∴直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. (理)(2019·哈三中)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝16.(1)由动点P 引圆C 的两条切线P A 、PB ，若直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1，求动点P 的轨迹方程；(2)另作直线l ：kx －y －k ＝0，若直线l 与圆C 交于Q 、R 两点，且直线l 与直线l 1：x ＋2y ＋4＝0的交点为M ，线段QR 的中点为N ，若A (1,0)，求证：|AM |·|AN |为定值．[解析] (1)由k 1＋k 2＋k 1·k 2＝－1得，(k 1＋1)(k 2＋1)＝0，∴k 1＝－1或k 2＝－1.设切线方程为x ＋y ＝m ，则由圆心到直线距离公式得：m ＝－7±42，∴P 点轨迹方程为：x ＋y －7±42＝0；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＋2y ＋4＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －42k ＋1，－5k 2k ＋1 由⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)2＋(y －4)2＝16y ＝k (x －1)消去y 得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋9＝0此方程两根即Q 、R 两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得x N ＝k 2＋4k ＋3k 2＋1，代入y ＝k (x－1)得y N ＝4k 2＋2kk 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，又A (1,0)则由两点间距离公式可得： |AM |·|AN |＝10为定值．17．(文)已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 124·y 224＝0.∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过存在M (4,0)点．(理)设点F ⎝⎛⎭⎫0，32，动圆P 经过点F 且和直线y ＝－32相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线w .(1)求曲线w 的方程；(2)过点F 作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交曲线w 于A 、C 和B 、D 两个点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由抛物线的定义知点P 的轨迹为以F 为焦点的抛物线，p 2＝32，即p ＝3，∴w ：x 2＝6y .(2)设AC ：y ＝kx ＋32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋32(k ≠0)x 2＝6y ⇒x 2－6kx －9＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，易求|AC |＝6(k 2＋1)， ∵l 1与l 2互相垂直，∴以－1k 换k 得|BD |＝6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， S ABCD ＝12|AC ||BD |＝12×6(k 2＋1)×6⎝⎛⎭⎫1k 2＋1 ＝18⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥18(2＋2)＝72， 当k ＝±1时取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为72.。

1、[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－83．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π34．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45、[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．496．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－117．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．9、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12 C. [－2，2] D. ⎣⎡⎦⎤－22，2210．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．11．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．1、D 2．B 3．D 4．B 5 C6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7、25 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2555 . 8、439、A10．(x －2)2＋(y －1)2＝411．0或6。

《直线、圆的位置关系》人教A版高中数学必修24.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？第一幅请同学们观察太阳与海平面的关系第二幅第三幅下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!一、直线与圆的位置关系1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.2.直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交.3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.．l圆心O到直线l的距离d半径rod>r1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________ll．半径rod=r2.直线l和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________l．半径rodr直线与圆相离直线l：Ax+By+C=0，圆O：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)d=r直线与圆相切d、直线与圆的位置关系的判定方法：1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：△<0n=0直线与圆相离n=1△=0直线与圆相切n=2△>0直线与圆相交2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：ylB.CAOx例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.方法二:（代数法）判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组有无实数解、有几组实数解．方法一:（几何法）可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；1.判断直线与圆的位置关系．【练习】解：方程经过配方，得圆心坐标是（１，０），半径r=1．圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．解：将圆的方程写成标准形式，得x2+(y+2)2=25,所以，圆心的坐标是（0，-2）,半径长r=5.如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为即圆心到所求直线l的距离为.例2已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离因此，即两边平方，并整理得到2k2-3k-2=0,解得k=，或k=2.所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3=(x+3),或y+3=2(x+3).即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.【练习】2.已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.解：由题意可知圆C的圆心为(0,0),已知直线4x+3y-35=0与圆C相切∴圆C的半径r=∴圆C的方程为x2+y2=721.⊙O的半径为3,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O没有公共点，则d为（）A．d＞3B．d<3C．d≤3D．d=32.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（）A．相离B.相交C.相切D.相切或相交AC3.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________.相离4.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系是______.相交5.圆心为M(3,-5)，且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为.(x-3)2+(y+5)2=32直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为则有以下关系：位置相离相切相交d与rd>rd=rddd交点个数0个1个2个判断直线和圆的位置关系几何方法代数方法求圆心坐标及半径r（配方法）消去y圆心到直线的距离d（点到直线距离公式）作业设计课本P132习题4.2A组1、2、3。

【母题来源】2014全国II 卷文–12 【母题原题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦【命题意图】本题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力、化归能力．【方法技巧】1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d<r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d>r ⇔相离.2．圆的弦长的常用求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l2)2＝r 2－d 2(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 21＋x 22－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.【试题拓展】求圆的的切线方程有两种情况，一是求过圆上一点()00,P x y 圆的切线方程，其方法如下：先求斜率（利用圆的切线垂直于经过切点的半径来求），再由点斜式写圆的切线方程；二是求过圆外一点()00,P x y 圆的切线方程，有两条，其方法如下：若斜率存在，可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．【拓展一】求过圆2210x y +=上一点(2M 的圆的切线方程．1.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、 【答案】B2.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-3.【2014高考安徽卷文第6题】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，4. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.45.【黑龙江省佳木斯市第一中学2014届高三第三次调研】圆心在曲线2(0)y x x=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ） A.22(1)(2)5x y -+-= B.22(2)(1)5x y -+-= C.22(1)(2)25x y -+-= D.22(2)(1)25x y -+-=6【北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学试题】已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）（A ）2y x =+-（B ）1y x =+-（C ）2y x =-+ （D ）1y x =+-7．【【百强校】2013-2014学年浙江省嘉兴一中高二下学期期中文科数学卷】两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线1:20l x y a -+=，22:210l x y a -++=,和圆：22240x y x ++-=相切，则实数a 的取值范围是（ ）A ．7a >或3a <-B ．a >a <C ．3a -≤≤7a ≤D ．7a ≥或3a ≤- 【答案】C 【解析】8.【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=30x y -+=，故选D .考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.10. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .11.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -12.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .13.【2014高考山东卷文第14题】 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .15．【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积16．【组卷网合作校特供】已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M ． （1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线28y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）：1x =或158170x y -+= （2）22(1)(4)36x y -+-=（3）存在定点R (1,4)--，此时PQ PR 为定值2或定点R 14(,)1717--，此时PQ PR 为定值617．【2013-2014学年福建省清流一中高一下学期第三阶段模块考数学试卷】已知圆22:4O x y +=和圆22:(4)1C x y +-=．（1）判断圆O和圆C的位置关系；（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（3）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，M？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请是否存在这样的圆P，使得圆P经过点(2,0)说明理由．18．【【百强校】2014届甘肃省兰州一中高考模拟四文科数学试卷】给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，称圆心在原点O 的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F . （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ； （ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.考点：直线与圆及圆锥曲线的位置关系问题.。

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。

章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系的判断、两圆位置关系的判断是高考的常考内容，主要以选择题或填空题形式考查，难度较为简单，如2012年重庆T3，陕西T4等．2.由直线与圆的方程求弦长或求参数是高考热点之一，多以选择题或填空题形式考查，如2012年天津T8等. [归纳·知识整合] 1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 方法位置关系 几何法代数法相交d0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解相外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解相内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解 [探究]　2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？ 提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程． [自测·牛刀小试] 1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：选A　法一：圆心(0,1)到直线的距离 d＝<1<. 法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的． 2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选B　两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<<5，所以两圆相交． 3．已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　a＝，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±.因此p是q的充分不必要条件． 4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( ) A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0 解析：选D　法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P在直线l上，故可排除A、B、C. 法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0. 5．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( ) A．1 B. C. D．2 解析：选D　因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB|＝2. 直线与圆、圆与圆的位置关系 [例1]　(1)(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3][1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________． [自主解答]　(1)因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤r＝，可得|a＋1|≤2，即a[－3,1]． (2)圆C方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故≤2，整理得(k2＋1)x2－(8＋4k)x＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k)2－64(k2＋1)≥0，解之得0≤k≤，故最大值为. [答案]　(1)C　(2) ——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解． 1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________． 解析：将x2＋y2－2y－3＝0化为x2＋(y－1)2＝4. 由于直线l过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝10)，化简得x2＝8y－8. 有关圆的弦长问题 [例2]　(1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________． [自主解答]　(1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝＝，圆的半径r＝2，所以弦长为l＝2×＝2＝2. 法二：代数法：联立直线和圆的方程 消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为＝2. (2)由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0. [答案]　(1)2　(2)x＋y－3＝0 ——————————————————— 求圆的弦长的常用方法 (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2； ?2?代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝·|x1－x2|＝. 3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( ) A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 解析：选D　圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋2＝22， 所以a＝0或a＝4. 4．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________． 解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则R2＝d2＋2，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10. 答案：x2＋(y－1)2＝10 圆的切线问题 [例3]　已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程． [自主解答]　(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零， 设直线方程为x＋y－a＝0， 由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3. 故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)由于|PC|2＝|PM|2＋|CM|2＝|PM|2＋r2， |PM|2＝|PC|2－r2. 又|PM|＝|PO|，|PC|2－r2＝|PO|2， (x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2. 2x－4y＋3＝0即为所求的方程． 若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l的方程． 解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2±)x； 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上可知，直线l的方程为 (2＋)x－y＝0或 (2－)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. ——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法 (1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x＝x0. (2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线． 5．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值． 解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3. 由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0. 由题意知＝2， 解得k＝. 故方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. 2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法 直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合． (1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质． (2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算． 3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点 (1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直； (2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用； (3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错. 创新交汇——直线与圆的综合应用问题 1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题． 2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法． [典例]　(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OAOB，求a的值． [解]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可设圆C的圆心为(3，t)， 则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为＝3. 则圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0. 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. 由于OAOB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 由得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1. 1．本题有以下创新点 (1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查． (2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想． 2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点 (1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． 1．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为( ) A.＋1 B．2 C. D.－1 解析：选A　直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2， a2＝(－≤b≤)，则|PM|＝＝＝，当b＝－时，|PM|max＝＝＋1. 2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1， 解得－13<c<13. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是( ) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＝0 D．y＝0 解析：选C　圆心为(1，－)，半径为1，故x＝0与圆相切． 2．已知直线l：y＝k(x－1)－与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为( ) A. B. C. D.π 解析：选D　由题意知，＝1，得k＝－， 故直线l的倾斜角为π. 3．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 解析：选A　把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－30，解得－<k0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8. 2．(2012·天津高考)设m，nR，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( ) A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ][1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ][2＋2，＋∞) 解析：选D　由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2. 3．已知O的方程是x2＋y2－2＝0，O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向O与O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________． 解析：O的圆心为(0,0)，半径为，O′的圆心为(4,0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝. 答案：x＝ 4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：依题意，设l的方程为y＝x＋b， x2＋y2－2x＋4y－4＝0， 联立消去y得 2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ∵以AB为直径的圆过原点， ⊥，即x1 x2＋y1y2＝0， 而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2， 2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0， 由得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0， 即b2＋3b－4＝0， b＝1或b＝－4. 满足条件的直线l存在，其方程为 x－y＋1＝0或x－y－4＝0.。

专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.43.【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4. 【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+= 5 . 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .6 .【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）,22⎡-⎢⎣⎦9. 【2014高考山东卷文第14题】 圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为32，则圆C 的标准方程为 .10. 【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11. 【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-12. 【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？14. 【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点32圆的方程、直线与圆的位置关系、空间直角坐标系加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标圆的方程、点与圆的关系；垂径定理的运用；圆的方程的求法；直线与圆的位置关系；圆的切线方程和弦长问题；圆的综合问题的解题思路；会建立右手直角坐标系，准确找到点的坐标.二.知识梳理1.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．3．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆4. 圆的标准方程：圆心为，半径为，若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是5.圆的标准方程的两个基本要素：6.圆的一般方程：只有当时，①表示的曲线才是圆，把形如①的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当时，①表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；（2）当时，方程①只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形7.研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线与圆的位置关系有三种，若，则 ;;8.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2， ① ② ③ ④ ⑤9.过圆上一点的切线方程：圆为切点的切线方程是。

当点在圆外时，表示切点弦的方程。

一般地，曲线为切点的切线方程是：。

当点在圆外时，表示切点弦的方程。

课后作业(四十八) 直线、圆的位置关系一、选择题1．(2012·重庆高考)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心2．已知直线l ：y ＝k(x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3 D.56π 3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1，3]C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．(2013·广州测试)已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P(a ，b)(ab≠0)是圆O 内一点，过点P的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax ＋by ＋r 2＝0，那么( )A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切C ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交D ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离5．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M(a ，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．7．过点(0，1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为________．8．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是________．三、解答题9．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|＝22时，求直线l 的方程．10．已知m∈R，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？11．已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0. (1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1，半径r ＝2，∴0＜d ＜r.∴直线与圆相交但直线不过圆心． 【答案】 C 2．【解析】 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π.【答案】 D 3．【解析】 由题意知，圆心为(a ，0)，半径r ＝ 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，即|a －0＋1|2≤ 2.∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a≤1. 【答案】 C 4．【解析】 由点P(a ，b)在圆O 内得a 2＋b 2＜r 2，所以圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋r 2＝0的距离r 2a 2＋b 2＞r ，故直线l 2与圆相离．又k OP ＝ba ，而过点P 最短的弦是垂直于OP 的弦，所以kl 1＝－ab＝kl 2，故l 1∥l 2，即选择A.【答案】 A 5．【解析】 由题意直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C(－1，2)， 所以a －b －3＝0.当点M(a ，b)到圆心距离最小时，切线长最短．|MC|＝（a ＋1）2＋（b －2）2＝2a 2－8a ＋26， ∴a ＝2时最小．此时b ＝－1，切线长等于4. 【答案】 C 二、填空题 6．【解析】 ∵圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)， ∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.【答案】 x ＋y －3＝07．【解析】 当点(0，1)点为弦AB 的中点时，|AB|的长最小，且易求得最小值为2 3. 【答案】 2 3 8．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1，3)， 故设PQ 方程为y －3＝k(x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由PQ 与圆O 相切得，|3－k|k 2＋1＝2，即k 2＋6k －7＝0.解得k ＝1或k ＝－7. 【答案】 1或－7 三、解答题 9．【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a|a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD|＝|4＋2a|a 2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0. 10．【解】 (1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，因为|m|≤12(m 2＋1)，∴|k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心为C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k2. 由|k|≤12，得d≥45＞1，即d ＞r2.从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．11．【解】 (1)圆的方程化为(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4，故有37－4m 4＞0，解得m ＜374.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，消去y ， 得x 2＋(3－x 2)2＋x －6×3－x 2＋m ＝0，整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0，①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m－27)＜0，解得m ＞8. ∴m 的取值范围是(8，374)．(2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由OP⊥OQ，得OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，②由(1)及根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③又∵P、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝3－x 12×3－x 22＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]．将③代入上式，得y 1y 2＝m ＋125，④将③④代入②得x 1x 2＋y 1y 2＝4m －275＋m ＋125＝0， 解得m ＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.。

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d ＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．()[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为() A．内切 B.相交C．外切 D.相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12 B.2或－12 C ．－2或－12D.2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555 [圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )【导学号：01772298】A．相交 B.相切C．相离 D.不确定(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝() A．2 B.4 2C．6 D.210(1)A(2)C[(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)由圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.∴圆心为C(2,1)，半径r＝2，由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．于是|AB|2＝|AC|2－r2＝40－4＝36，则|AB|＝6.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.](2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切 B.相交 C ．外切D.相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2. ∴AB ＝4.]M为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图8-4-1(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．[解]圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分 (2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15. 故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3](2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程．[解](1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m.1分∵圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－3y＋3－2＝0相切，∴圆心(－2,1)到直线x－3y＋3－2＝0的距离d＝41＋3＝2＝r，4分∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.5分(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0.7分∵|MN|＝23，半径r＝2，∴圆心(－2,1)到直线MN的距离为22－(3)2＝1.则|－4－1＋c|5＝1，∴c＝5±5.10分∴直线MN的方程为2x－y＋5±5＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。

高考数学一轮复习 直线与圆空间直角坐标系练习 新人教A 版必修21. 直线被圆所截得的弦长公式│AB │= （垂径分弦定理）2. 圆与圆的位置关系 设两个大小不等的圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2有五种位置关系如下：⇔外离；⇔外切；⇔相交； ⇔内切；0≤d ＜︱r1-r2︱⇔ ；若大小相同的两个圆，则只有外离、外切、相交、重合四种位置关系3. 空间直角坐标系，两点之间的距离公式(1) xoy 平面上的点的坐标的特征A （ ）：竖坐标z=0(2)xoz 平面上的点的坐标的特征B （ ）：纵坐标y=0(3) yoz 平面上的点的坐标的特征C （ ）：横坐标x=0(4) x 轴上的点的坐标的特征D （x ，0，0）：纵、竖坐标y=z=(5)y 轴上的点的坐标的特征E （ ）：横、竖坐标x=z=0(6)z 轴上的点的坐标的特征E （0，0，z ）：横、纵坐标x=y=0(7)│P1P2│=1、点P （x0，y0，z0）关于y 轴的对称点的坐标为 .2． 已知空间直角坐标系中，A 是x 轴上的一点，点B （-1，1，0），且∣AB ∣=5，则点A 的坐标是 .3.已知两圆O1: x2+y2+2x-4y-11=0 , O2: x2+y2-2x+2y+1=0.(1)判定两圆的位置关系, (2)若相交,求公共弦长..4.已知直线l ：kx-y-3k=0；圆M ：x2+y2-8x-2y+9=0，(1)求证：直线l 与圆M 必相交(2)当圆M 截直线l 所得弦最长时，求k 的值；(3)当圆M截直线l所得弦最短时，求k的值.5.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB=a、C1C=2a，E、F分别为AB、B1C1的中点.⑴建立空间直角坐标系，写出A、B、C、A1、B1、C1、E、F各点的坐标.⑵求出EF的距离.。

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系选题明细表知识点、方法题号直线与圆位置关系的判断1,6相交问题2,7相切问题4,8直线与圆位置关系的应用3,5,9,10,11,12基础巩固1.直线3x+4y+12=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=9的位置关系是( D )(A)相交并且直线过圆心(B)相交但直线不过圆心(C)相切 (D)相离解析:圆心C(1,1)到直线的距离d==,圆C的半径r=3,则d>r,所以直线与圆相离.故选D.2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( D )(A)-1或(B)1或3(C)-2或6 (D)0或4解析:由弦长为2得圆心(a,0)到直线x-y=2的距离d==得a=0或4.故选D.3.圆x2+y2=4上的点到直线x-y+2=0的距离的最大值为( A )(A)2+(B)2-(C) (D)0解析:圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=,所以所求最大距离为2+.4.点P是直线x+y-3=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=4作切线,则切线长的最小值为( C )(A)2(B)(C)(D)解析:因为圆C:x2+y2=4,所以圆心C(0,0),半径r=2,由题意可知,点P到圆C:x2+y2=4的切线长最小时,CP⊥直线x+y-3=0,因为圆心到直线的距离d=,所以切线长的最小值为=.故选C.5.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O 为原点),则k的值为( A )(A)±(B)±(C)±1 (D)不存在解析:由已知利用半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形可得圆心O 到直线y=kx+1的距离为,由点到直线的距离公式得=,解得k=±.6.若直线l:y=ax与曲线C:x2+y2-4x-4y+6=0有公共点,则实数a的取值范围是.解析:直线l:y=ax与曲线C:x2+y2-4x-4y+6=0有公共点,恒有解,即(1+a2)x2-4(a+1)x+6=0恒有解,所以Δ=16(a+1)2-24(a2+1)≥0,所以a2-4a+1≤0,所以2-≤a≤2+.答案:[2-,2+]7.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为. 解析:最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易知弦心距d==,所以最短弦长为2=2=2.答案:28.求圆心在直线l1:x-y-1=0上,与直线l2:4x+3y+14=0相切,截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程.解:由题意,设圆心为C(a,a-1),半径为r,则点C到直线l2的距离是d1==,点C到直线l3的距离是d2==,由题意,得解得a=2,r=5,即所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.能力提升9.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为的点共有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:圆心为(-1,-2),半径r=2,而圆心到直线的距离d==,故圆上有3个点满足题意.10.过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引的切线方程为. 解析:显然x=2为所求切线之一,另设切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.又=2,得k=,所以切线方程为3x-4y+10=0,故所求切线为x=2,或3x-4y+10=0.答案:x=2或3x-4y+10=011.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求l的倾斜角;(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.(1)证明:由已知直线l:y-1=m(x-1),知直线l恒过定点P(1,1). 因为12=1<5,所以P点在圆C内,所以直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0,x1,x2是一元二次方程的两个实根,因为|AB|=|x 1-x2|,所以=·,所以m2=3,m=±,所以l的倾斜角为或.(3)解:设M(x,y),因为C(0,1),P(1,1),当M与P不重合时,|CM|2+|PM|2=|CP|2,所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1.整理得轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).当M与P重合时,M(1,1)满足上式,故M的轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0.探究创新12.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.解:(1)设圆心M(a,b),圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)由题知,四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=|AM||PA|+|BM||PB|.又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|==,即S=2,因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.。

高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。

2014高考数学人教A 版课后作业1.(2011·山东烟台调研)圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R)的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 [答案] C[解析] ∵直线2t (x －1)－(y ＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评] 直线方程中含参数t ，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t (x －1)－(y ＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5 D ．2 6[答案] C[解析] x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为250－352＝25，选C.3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N两点，则线段MN 的长为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．6[答案] C[解析] l 的方程为x －y ＋2＝0，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝2，则弦长|MN |＝2r 2－d 2＝2 3.4．(文)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．4x －4y ＋1＝0B ．x －4＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y －2＝0[答案] D[解析] 两圆方程相减得4x －4y ＋1＝9， 即x －y －2＝0，选D.[点评] 直线l为两圆心连线段的中垂线．(理)已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a 、b ∈R)，那么两圆的位置关系是( )A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切 [答案] C[解析] 两圆半径分别为2,1，因为1<|O 1O 2|＝5<3，所以两圆相交． 5．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能 [答案] C[解析] 圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1<2， ∴直线与圆相交．6．(2011·江南十校联考)若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0 [答案] C[解析] 由题知圆心C 的坐标为(1,0)，因为CP ⊥AB ，k CP ＝－1，所以k AB ＝1，所以直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，故选C.7．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 为原点，且OA →·OB →＝2，则实数a 的值等于________．[答案] ± 6[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．设OA →、OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝R 2·cos θ＝4cos θ＝2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，则弦AB 的长|AB →|＝2，弦心距为3，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：|0＋0－a |2＝3，解之得a ＝± 6. 8．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] ∵⊙A ：(x －6)2＋(y －6)2＝18的圆心A (6,6)，半径r 1＝32， ∵A 到l 的距离52，∴所求圆B 的直径2r 2＝22，即r2＝ 2.设B (m ，n )，则由BA ⊥l 得n －6m －6＝1， 又∵B 到l 距离为2，∴|m ＋n －2|2＝2，解出m ＝2，n ＝2.1.(2011·东北三校二模)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条[答案] C[解析] 由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．2．(2011·江西理，9)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A. (－33，33)B. (－33，0)∪(0, 33) C. [－33 ，33] D ．( －∞， －33 )∪( 33，＋∞) [答案] B[解析] 曲线C 1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C 2：y (y －mx －m )＝0表示直线y ＝0与y －mx －m ＝0，若有四个不同的交点，则直线y －mx －m ＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由|2m |1＋m2<1得，－33<m <33，且m ≠0，故选B. 3．设A 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝25 B ．(x ＋1)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋1)2＝25 D ．(x －1)2＋y 2＝5 [答案] B[解析] 设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C (－1,0)，半径为 5.∴方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，故选B.4．(文)(2011·海淀期末)已知直线l ：y ＝－1，定点F (0,1)，P 是直线x －y ＋2＝0上的动点，若经过点F 、P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为( )A.π2B ．πC ．3πD ．4π[答案] B[解析] 由于圆经过点F 、P 且与直线y ＝－1相切，所以圆心到点F 、P 与到直线y ＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C 在以点(0,1)为焦点的抛物线x 2＝4y 上，圆与直线x －y ＋2＝0的交点为点P .显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小为1，此时圆面积最小，为π.故选B.(理)(2010·宁夏联考)若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1x 2＋y 2＝10有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a ，b )所对应的点的个数为( )A ．24B ．28C ．32D ．36 [答案] C[解析] x 2＋y 2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a ，b )，所以有序数对(a ，b )所对应的点的个数为32.5．(文)(2011·济南三模)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r＝________.[答案]3[解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝22x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d ＝|322|62＝3，所以圆的半径为 3.(理)(2011·杭州二检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即x －12＋y ＋12＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为r ＝32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2＞0. 因此，x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2＝0. ② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．[解析] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝41＋3＝2，∴圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2 ＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．7．已知定直线l ：x ＝－1，定点F (1,0)，⊙P 经过 F 且与l 相切. (1)求P 点的轨迹C 的方程.(2)是否存在定点M ，使经过该点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，并且以AB 为直径的圆都经过原点；若有，请求出M 点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P 到点F 的距离与点P 到直线l 的距离相等． ∴点P 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线 ∴点P 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x(2)设AB 的方程为x ＝my ＋n ，代入抛物线方程整理得：y 2－4my －4n ＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4my 1y 2＝－4n .∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴y 1y 2＋x 1x 2＝0.即y 1y 2＋y 214·y 224＝0. ∴y 1y 2＝－16，∴－4n ＝－16，n ＝4. ∴直线AB ：x ＝my ＋4恒过M (4,0)点．1．(2010·广东执信中学)已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为ax ＋by ＝r 2，则( )B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离[答案] A[解析] 由点P (a ，b )(ab ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝r 2内一点得，a 2＋b 2<|r |，即a 2＋b 2<r 2，直线OP 的斜率为k 1＝b a，故直线m 的斜率k m ＝－1k 1＝－a b，其方程为ax ＋by ＝a 2＋b 2，又直线n ：ax ＋by ＝r 2，故m ∥n ；另一方面，圆心O 到直线n ：ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝|－r 2|a 2＋b 2>r 2|r |＝|r |，故直线n 与圆O 相离．2．设直线x ＋ky －1＝0被圆O ：x 2＋y 2＝2所截弦的中点的轨迹为M ，则曲线M 与直线x －y －1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 [答案] C[解析] ∵直线x ＋ky －1＝0过定点N (1,0)，且点N (1,0)在圆x 2＋y 2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M 是以ON 为直径的圆，圆心为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0到直线x －y －1＝0的距离为24<12， ∴曲线M 与直线x －y －1＝0相交，故选C.3．已知直线ax ＋by －1＝0(a ，b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条 [答案] B[解析] 因为在圆x 2＋y 2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有12×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax ＋by －1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．直线l ：2x sin α＋2y cos α＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x sin α＋2y cos α＝0，l 与C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 [答案] A[解析] 圆心C (－sin α，－cos α)到直线l 的距离为d ＝|－2sin 2α－2cos 2α＋1|2sin α2＋2cos α2＝12，圆半径r ＝1， ∵d <r ，∴直线l 与⊙C 相交．5．(2010·广东茂名)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 [答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，故选A. 6．若动圆C 与圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4内切，则动圆C 的圆心的轨迹是( )A ．两个椭圆B ．一个椭圆及双曲线的一支C ．两双曲线的各一支D ．双曲线的一支 [答案] D[解析] 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得 |C 1C |＝r ＋1，|C 2C |＝r －2， ∴|C 1C |－|C 2C |＝3，故C 点的轨迹为双曲线的一支．7．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交的概率为( )A.38B.516C.58D.316 [答案] B[解析] 由题意知，圆心C (1,2)到直线ax －by ＝0距离d <1，∴|a －2b |a 2＋b2<1，化简得3b－4a <0，如图，满足直线与圆相交的点(a ，b )落在图中阴影部分，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，∵S 矩形ABCD ＝2，S 梯形OABE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×12＝58，由几何概型知，所求概率P ＝582＝516.8．(2011·苏州市调研)已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，则实数k ＝________.[答案] 0[解析] 画图分析可知(图略)，当A ，B ，M 均在圆上，平行四边形OAMB 的对角线OM ＝2，此时四边形OAMB 为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx －y ＋1＝0的距离为1.所以d ＝1k 2＋1＝1，解得k ＝0.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。