河北省衡水中学2016届高三下学期二模考试理数试题

2016届河北省衡水中学高三下学期二模考试数学(理)试题DA ．10或322 B．3或36 C ．322D ．31或10 5.在平面xOy 内，向图形422≤+y x内投点，则点落在由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0,0y x y x 所确定的平面区域的概率为（ ） A ．43 B ．52 C ．21 D ．41 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若acosB+bcosA=csinC ，且bca cb 3222=-+，则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π 7.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-,052,04,02y x y x y x 则112++=x y z 的取值范围为（ ）A ．]27,43[B ．]47,83[C ．]47,43[D ．]27,83[ 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．3160B ．160C ．23264+D ．609.如图，21,F F 为双曲线C 的左右焦点，且221=FF ，若双曲线C 右支上存在点P ，使得21PF PF ⊥，设直线2PF 与y 轴交于点A ，且1APF ∆的内切圆半径为21，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．3210.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若bBD a AC ==,，则=AF （ ）A b a 11+B ．b a 11C b a 12 D b a 21+ 11.函数3sin )(x x x f +=.数列{}na 的前n 项和qnpn Sn+=2（p,q 为常数，且p ≠0），)2,2(ππ-∈n a，若0)(10<af ，则)()()()()(1918321a f a f a f a f a f ++⋅⋅⋅+++取值（ ）A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为零D ．可正可负 12.函数)(x f 是定义在),0(+∞内的单调函数，1]ln )([),,0(+=-+∞∈∀e x x f f x ，给出下面四个命题：①不等式0)(>x f 恒成立；②函数)(x f 存在唯一零点0x ，且)1,0(0∈x ；③方程x x f =)(有且仅有一个根；④方程1)()(+='-e x f x f （其中e 为自然对数的底数）有唯一解0x ，且)2,1(0∈x.其中正确的命题个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若将函数6)(x x f =表示为662210)1()1()1()(x a x a x a ax f ++⋅⋅⋅+++++=，其中621,,,a a a ⋅⋅⋅为实数，则3a 等于_______.14.已知三棱锥D-ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，DB ⊥平面ABC ，DB=12，则球O 的半径为_______.15.已知点A 是抛物线241x y =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为____. 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=,0),1ln(,0,121)(2x x x x x f 若函数kx x f x F -=)()(有且只有两个零点，则k 的取值范围为_____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数21cos )cos sin 3()(+⋅-=x x x x f ωωω（其中0>ω），若)(x f 的一个条对称轴离最近的对称中心的距离为4π. （1）求)(x f y =的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，满足(2b-a)cosC=ccosA ，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC 的形状. 18.（本小题满分12分）如图，棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都为2，∠ABC=60°，平面⊥C C AA 11平面ABCD ，601=∠AC A .（1）证明：1AA BD ⊥；（2）求锐二面角C AA D --1的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使得BP ∥平面11C DA ，若存在，求出P 的位置.19.（本小题满分12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯” 的调查中，随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：做不到光盘 能做到光盘合计男 45 10 55 女 30 15 45 合计7525100（1）现按女生是否能抽到光盘进行分层，从45份女生中问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表最精确的P 的值应为多少?请说明理由. 附：独立性检验统计量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n=a+b+c+d. 独立性检验临界表：20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21，它的一个顶点恰好是抛物线yx382=的焦点.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）直线x=-2与椭圆交于P ，Q 两点，A ，B 是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点.①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当动点A ，B 满足∠APQ=∠BPQ 时，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数)1ln()(,)4(31)(23-=++=x a x g x m mxx f ，其中a ≠0.（1）若函数y=g(x)图象恒过定点T ，且点T 关于直线23=x 的对称点在y=f(x)的图象上，求m 的值；（2）当a=8时，设)1()()(++'=x g x f x F ，讨论F(x)的单调性；（3）在（1）的条件下，设⎩⎨⎧>≤=,2),(,2),()(x x g x x f x G 曲线y=G(x)上是否存在两点P ，Q ，使△OPQ （O 为原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如图不存在，说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径.过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F. （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅；（2）若AF=2，22=CF ，求AE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P （2，6），且倾斜角为π43，在极坐标系（与平面直角坐标系zOy 取相同的长度，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为)24cos()24sin(20θπθπρ--=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，求PB PA +. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （1）求不等式6)(≤x f 的解集； （2）若关于x 的不等式2)3(log )(22>--a ax f 恒成立，求实数a的取值范围.参考答案及解析一、选择题1.A2.D3.B4.A5.D6.B7.A8.A9.A 10.C 11.B 12.A 二、填空题 13.-20 14.23 15.12+ 16.)1,21( 三、解答题 17.解：（1）21cos cos sin 3)(2+-⋅=x x x x f ωωω)1cos 2(212sin 232--=x x ωω)62sin(2cos 212sin 23πωωω-=-=x x x .所以函数)(x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ. （2）因为(2b-a)cosC=ccosA ，由正弦定理，得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA ， 即2sinBcos=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB ，因为sinB ≠0，所以21cos =C ，所以3π=C .所以67626,3420,320πππππ<-<-<<<<B B B . 根据正弦函数的图象，可以看出f(x)的最大值为f(B)=1，此时262ππ=-B ，即3π=C ，所以3π=A ， 所以△ABC 为等边三角形.18.解：连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC ，连接O A 1.在O AA 1∆中，60,1,211=∠==AO A AO AA ，∴360cos 2122121=⋅⋅-+= AO AA AO AA OA .∴21221AA AO AA=+，∴O A 1⊥AO.∵平面⊥C C AA 11平面ABCD ，∴O A 1⊥底面ABCD. ∴分别以OB ，OC ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(1A D C B A --.（1）∵)3,1,0(),0,0,32(1=-=AA BD ，∴00301)32(01=⨯+⨯+-⨯=⋅BD AA ，∴1AA BD ⊥.（2）∵OB ⊥平面C C AA 11. ∴平面C C AA 11的一个法向量)0,0,1(1=n，设平面D AA 1的一个法向量为),,(2222z y x n=，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥ADn AA n 212,则⎩⎨⎧=+-=+,03,032222y x z y 取)1,3,1(2-=n.∴55,cos 212121=>=<n n nn .（3）假设在直线1CC 上存在点P ，使得BP ∥平面11C DA ， 设),,(,1z y x P CC CP λ=，则)3,1,0(),1,(λ=-z y x ， 得)3,1,3(),3,1,0(λλλλ+-=+BP P .设平面11C DA 的一个法向量为),,(3333z y x n=， 则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥13113,DA n C A n 则⎩⎨⎧=+=,033,02332z x y 不妨取)1,0,1(3-=n.∵BP ∥平面11C DA ， ∴03=⋅BP n ，即033=--λ，得1-=λ，即存在点P 在C C 1的延长线上，且CP C C =1，使得BP ∥平面11C DA .19.解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘.所以ξ的可能取值为0，1,2,3.42512615)0(4946====C C P ξ，211012660)1(491336====C C C P ξ， 14512645)2(492326====C C C P ξ，2111266)3(493316====C C C P ξ，随机变量ξ的分布列可列表如下：ξ 0 12 3P4252110145 211所以3421131452211014250)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （2）810.303.375254555)10301545(100))()()(()(222<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ，因为810.303.333100706.2<≈<， 所以能在犯错误概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即最精确的P 值应为0.10. 20.解：（1）∵椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上， ∴设椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，∵椭圆离心率等于21，yx 382=的焦点为)32,0(，∴32=b ，由222,21c b aa c e =-==，解得12,1622==b a.∴椭圆C 的标准方程为1121622=+y x .（2）①直线x=-2与椭圆1121622=+y x 交于点P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q (-2,3)， 所以6=PQ ，设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程为m x y +=21， 与1121622=+y x 联立，得01222=-++m mx x，由0)12(422>--=∆m m，得-4<m<4，由韦达定理，得12,22121-=-=+m x x m xx ，由A ，B 两点位于直线x=-2两侧，得04)(22121<+++x x xx ，∴822<--m m ，解得-2<m<4，∴四边形APBQ 的面积为2212212134834)(2121m x x x x PQ x x PQ S -=-+⋅⋅=-⋅⋅=，∴当m=0时，S 取得最大值，最大值为312.②当∠APQ=∠BPQ 时，直线PA ，PB 斜率之和为0. 设PA 斜率为k ，则PB 斜率为-k ，当P(-2,3),Q(-2,-3)时，PA 的直线方程为y-3=k(x+2). 与椭圆方程联立，得048)32(4)32(8)43(222=-+++++k x k k x k ，∴221432416)2(k k k x +--=-+，同理，PB 的直线方程为y-3=-k(x+2)，222432416)2(k kk x ++-=-+.∴22122214348,431612k kx x k k x x +-=-+-=+，221214324]3)2([3)2(k kx k x k y y +=++--++=-.直线AB 的斜率为212121-=--xx yy.当P(-2,-3),Q(-2,3)时，同理可得直线AB 斜率为21. 21.解：（1）令0)1ln(=-x ，得x=2，∴T(2,0)， ∴点T 关于直线23=x 的对称点为(1,0). ∴30431,0)1(-=⇒=++=m m m f . （2）)0(ln 8)4(2)1()()(2>+++=++'=x x x m mxx g x f x F ，∴xx mx x x m mx x m mx x F )1)(82(8)28(28)28(2)(2++=+++=+++='，∵x>0，∴x+1>0.∴当0≥m 时，8+2mx>0，0)(>'x F ，此时，F(x)在区间),0(+∞内单调递增；当m<0时，由0)(>'x F ，得m x 40-<<；由0)(<'x F ，得m x 4->， 此时，F(x)在区间)4,0(m -内单调递增，在区间),4(+∞-m 内单调递减.综上所述，当0≥m 时，F(x)在区间),0(+∞内单调递增；当m<0时，F(x)在区间)4,0(m -内单调递增，在区间),4(+∞-m 内单调递减.（3）由条件（1），知⎩⎨⎧>-≤+-=,2),1ln(,2,)(23x x a x x x x G假设曲线y=G(x)上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴的两侧， 设P(t,G(t))(t>0)，则),(23t t t Q +-.∵△OPQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0=⋅OQ OP ，即0)()(232=++-t G t t t，①当20≤<t 时，23)(t t t G +-=，此时方程①可化为0))((23232=++-+-t t t t t，化简得0124=+-t t无解，此时满足条件的P ，Q 不存在； 当t>2时，G(t)=aln(t-1)，此时方程①可化为)1ln()(232=-++-t t t a t ，化简得)1ln()1(1-+=t t a ，设)1ln()1()(-+=t t t h ，则11)1ln()(-++-='t t t t h ， 当t>2时，0)(>'t h ，h(t)在区间),2(+∞内单调递增，h(t)的值域为)),2((+∞h ，即),0(+∞. ∴当a>0时，方程①总有解.综上所述，存在满足条件的P ，Q 时，实数a 的取值范围为),0(+∞.22.解：（1）连接BE ，由题意知△ABE 为直角三角形， 因为∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB ，所以△ABE~△ADC ，所以ACAEAD AB =，即AE AD AC AB ⋅=⋅， 又AB=BC ，所以AE AD BC AC ⋅=⋅. （2）因为FC 是圆O 的切线，所以FBFA FC⋅=2，又AF=2，22=CF ，所以BF=4，AB=BF-AF=2. 因为∠ACF=∠FBC ，又∠CFB=∠AFC ，所以△AFC~△CFB ，所以CB AC CF AF =，得2=⋅=CFCBAF AC . △ACB 中，由余弦定理，得42cos =∠ACD ，所以AEB ACD ∠==∠sin 414sin ，所以7144sin =∠=AEB AB AE . 23.解：（1）因为直线l 过点P （2，6），且倾斜角为π43，所以直线l 的参数方程为t t y t x (226,222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=为参数），由)24cos()24sin(20θπθπρ--=，得θρcos 10=， 所以曲线C 的直角坐标方程为01022=-+x y x.（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t ，20292=++t t ，082>=∆，可设21,t t 为上述方程的两个实根，则有⎩⎨⎧=-=+,20,292121t t t t又直线l 过点P(2,5)，所以292121=+=+=+t t t t PB PA .24.解：（1）原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>,6)32()12(,23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-,6)32()12(,2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--<,6)32()12(,21x x x解得223≤<x ，或2321≤≤-x ，或211-<≤-x ， 所以不等式的解集为{}21≤≤-x x . （2）不等式2)3(log )(22>--a ax f 等价于min22)(2)3(log x f a a<+-，因为4)32(123212=--=≥-++x x x x ， 所以f(x)的最小值为4， 于是42)3(log 22<+-a a，即⎩⎨⎧<-->-,043,0322a a a a 解得-1<a<0，或3<a<4.所以实数a 的取值范围是)4,3()0,1( -.。

2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①② B．①④ C．①②④D．①③④6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1） B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列{an }满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx满足若，则数列{cn}的前n项和Sn为（）A．B．C．D．12．已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x+2）=f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=sinx ，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]∪（5，+∞）B ．（0，）∪[5，+∞）C ．（，]∪（5，7）D ．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a 的值为 ．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 ．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．16．设函数f （x ）=，对任意x 1、x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ． （1）求a+b=7的概率；（2）求点（a ，b ）在函数y=2x 的图象上的概率；（3）将a ，b ，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．19．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足==．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，并使得平面A 1DE ⊥平面BCED ． （1）求证：A 1D ⊥EC ；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正切的最大值．20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF|=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S△OAB表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a+1）x+2a （a+1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，求a 的值： （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I ）的条什下，若对职∀x ∈[1，e]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE ． （1）证明：AE 是⊙O 的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD ．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣3|+|x ﹣2|+k ．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求后的取值范围； （Ⅱ）当k=1时，解不等式：f （x ）＜3x ．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i4•i=i，|﹣i|=1．又A={﹣1，i}，∴i5∈A．故选：C．2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．故选：D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①② B．①④ C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④．故选：C．6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．故选：B．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，故选：A．8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1） B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选：A10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知： =，设=λ， =+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，∴=，设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，∵=m+，∴，即λ=，m=，故答案选：A．11．设数列{an }满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx满足若，则数列{cn}的前n项和Sn为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】依题意，可求得a n ﹣2a n+1+a n+2=0，于是知数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，由a 1=1，a 2+a 4=6，可求得a n =n ，于是知c n =a n +=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）=（a n ﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx ，∴f′（x ）=a n ﹣a n+1+a n+2﹣a n+1•sinx﹣a n+2cosx，=a n ﹣2a n+1+a n+2，∵f′（）=0，∴a n ﹣2a n+1+a n+2=0，即2a n+1=a n +a n+2， ∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 2+a 4=6，∴2a 1+4d=6，a 1=1， ∴d=1，∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ，∴c n =a n +=n+，∴S n =c 1+c 2+…+c n=（1+2+…+n ）+（++…+）=+=﹣．故选：C ．12．已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x+2）=f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=sinx ，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]∪（5，+∞）B ．（0，）∪[5，+∞）C ．（，]∪（5，7）D ．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a ＞1与0＜a ＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可． 【解答】解：当a ＞1时，作函数f （x ）与函数y=log a |x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；|x|的图象如下，当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=loga，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为﹣1或﹣5 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令x=1，则（a+3）n的展开式的系数和为256，据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n∴2n=256，∴n=8，∴a+3=±2，解得a=﹣1或﹣5．故答案是：﹣1或﹣5．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 121 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，可得=1+，解得d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a n ，S n+10，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，∴=1+，解得d=2，∴S n+10=（n+10）×1+×2=（n+10）2，=[1+2（n ﹣1）]2=（2n ﹣1）2．∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为121．故答案为：121．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m （x 2+y 2）≤（x+y ）2在可行域内恒成立．且m ≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A （2，3），则OA 的斜率k=，BC 的斜率k=1，由图象可知即1≤k ≤，∵z=k+在1≤k ≤， 上为增函数，∴当k=时，z 取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m ≤，故m 的最大值为，故答案为：16．设函数f （x ）=，对任意x 1、x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是 k ≥1 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x ＞0时，=，利用基本不等式可求f （x ）的最小值，对函数g （x ）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g （x ）的最大值，由恒成立且k ＞0，则，可求【解答】解：∵当x ＞0时，==2e∴x 1∈（0，+∞）时，函数f （x 1）有最小值2e∵∴=当x ＜1时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在（0，1）上单调递增当x ＞1时，g′（x ）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减 ∴x=1时，函数g （x ）有最大值g （1）=e 则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e∵恒成立且k ＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a ，b ）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P （a+b=7）==．（2）设“点（a ，b ）在函数y=2x 的图象上”为事件B ，包含两个基本事件（1，2），（2，4），∴P （B ）==．（3）记“以a ，b ，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C ，共包含14个基本事件．∴P （C ）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P （ξ=k ）=，（k=0，1，2，3）．∴E （ξ）=3×=．19．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足==．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，并使得平面A 1DE ⊥平面BCED ． （1）求证：A 1D ⊥EC ；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）等边△ABC 的边长为3，且==，求得AD 和AE 的值．进而由余弦定理得DE ，根据AD 2+DE 2=AE 2，判断AD ⊥DE 折叠后A 1D ⊥DE ，根据平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A 1D ⊥平面BCED ，进而可知A 1D ⊥EC ．（2）作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ，由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，推断出A 1D ⊥PH ，又A 1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH ⊥平面A 1BD ，推断出∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，设出PB ，分别表示出BH ，PH ，DH 进利用勾股定理求得A 1H 的表达式，继而在Rt △PA 1H 中，表示出tan ∠PA 1H ，对x 进行分类讨论，利用函数的思想求得tan ∠PA 1H 的最大值．【解答】证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且==，所以AD=1，AE=2．在△ADE 中，∠DAE=60°，由余弦定理得DE==．因为AD 2+DE 2=AE 2， 所以AD ⊥DE ．折叠后有A 1D ⊥DE ，因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面A 1DE∩平面BCED=DE ， A 1D ⊂平面A 1DE ，A 1D ⊥DE ，所以A 1D ⊥平面BCED故A 1D ⊥EC ．（2）如图，作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ， 由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， 所以A 1D ⊥PH ，又A 1D∩BD=D，所以PH ⊥平面A 1BD ， 所以∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，设PB=x （0≤x ≤3），则BH=，PH=，DH=BD ﹣BH=2﹣所以A 1H==所以在Rt △PA 1H 中，tan ∠PA 1H==①若x=0，则tan ∠PA 1H===0，②若x ≠0则tan ∠PA 1H===令=t （t ≥），y=20t 2﹣8t+1因为函数y=20t 2﹣8t+1在t ≥上单调递增，所以y min =20×﹣+1=所以tan ∠PA 1H 的最大值为=（此时点P 与C 重合）20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF|=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S△OAB表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，进而可得t 值； （2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A ，B 的坐标，进而可得E 的坐标，利用S △OAB =，即可得出结论．【解答】解：∵点 P （1，t ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线的焦点，|PF|=，∴1+=，解得：p=1，故抛物线的方程为：y 2=2x ，将x=1代入可得：t=±；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设直线OA 的方程为y=kx （k ＞0），OA ⊥OB ，直线OB 的方程为y=﹣x ．由，得k 2x 2=2x ，∴x=0（舍去）或x=，即A （，）．同理B （2k 2，﹣2k ）．∵k=1时，AB ⊥y 轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为y+2k=（x ﹣2k 2），即y+2k=（x ﹣2k 2），∴E （0，）．∵S △OAB =，∴|y A |+|y B |=|y E |， ∵y A ，y B 异号，∴|y A |+|y B |=|y A ﹣y B |=|y E |，∴||=•||∴k 2=或2，∴A （4，2）或A （1，），由对称性，可得A （4，±2）或A （1，±）．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a+1）x+2a （a+1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，求a 的值：（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I ）的条什下，若对职∀x ∈[1，e]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a 进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x ∈[1，e]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，即求f （x ）min ≥k 2+6k 恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=x ﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分≥k2+6k恒成立，若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：，曲线C的普通方程：x2+y2=4．直线=，直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：直线l1与 l2与l的距离为1．l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016年11月3日。

2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④ D．①③④6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列{a n}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx满足若，则数列{c n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为．14．设等差数列{a n}满足，其前n项和为S n，若数列也为等差数列，则的最大值为．15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．（1）求p，t的值；（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB 表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i4•i=i，|﹣i|=1．又A={﹣1，i}，∴i5∈A．故选：C．2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．故选：D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④ D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④．故选：C．6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．故选：B．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，故选：A．8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选：A10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知：=，设=λ，=+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，∴=，设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，∵=m+，∴，即λ=，m=，故答案选：A．11．设数列{a n}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx满足若，则数列{c n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】依题意，可求得a n﹣2a n+1+a n+2=0，于是知数列{a n}是等差数列，设其公差为d，由a1=1，a2+a4=6，可求得a n=n，于是知c n=a n+=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx，∴f′（x）=a n﹣a n+1+a n+2﹣a n+1•sinx﹣a n+2cosx，=a n﹣2a n+1+a n+2，∵f′（）=0，∴a n﹣2a n+1+a n+2=0，即2a n+1=a n+a n+2，∴数列{a n}是等差数列，设其公差为d，∵a2+a4=6，∴2a1+4d=6，a1=1，∴d=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n，∴c n=a n+=n+，∴S n=c1+c2+…+c n=（1+2+…+n）+（++…+）=+=﹣．故选：C．12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为﹣1或﹣5．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令x=1，则（a+3）n的展开式的系数和为256，据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n∴2n=256，∴n=8，∴a+3=±2，解得a=﹣1或﹣5．故答案是：﹣1或﹣5．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 121 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，可得=1+，解得d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a n ，S n +10，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，∴=1+，解得d=2，∴S n +10=（n +10）×1+×2=（n +10）2，=[1+2（n ﹣1）]2=（2n ﹣1）2．∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为121．故答案为：121．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x +y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m （x 2+y 2）≤（x +y ）2在可行域内恒成立．且m ≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A （2，3），则OA 的斜率k=，BC 的斜率k=1， 由图象可知即1≤k ≤， ∵z=k +在1≤k ≤， 上为增函数，∴当k=时，z 取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m≤，故m的最大值为，故答案为：16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求【解答】解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P（a+b=7）==．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），∴P（B）==．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．∴P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）=3×=．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）等边△ABC的边长为3，且==，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD2+DE2=AE2，判断AD⊥DE折叠后A1D⊥DE，根据平面A1DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A1D⊥平面BCED，进而可知A1D⊥EC．（2）作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，推断出A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH⊥平面A1BD，推断出∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设出PB，分别表示出BH，PH，DH进利用勾股定理求得A1H的表达式，继而在Rt△PA1H中，表示出tan∠PA1H，对x进行分类讨论，利用函数的思想求得tan∠PA1H的最大值．【解答】证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且==，所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理得DE==．因为AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．折叠后有A1D⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，又平面A1DE∩平面BCED=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED故A1D⊥EC．（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，所以A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，所以PH⊥平面A1BD，所以∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设PB=x（0≤x≤3），则BH=，PH=，DH=BD﹣BH=2﹣所以A 1H==所以在Rt △PA 1H 中，tan ∠PA 1H==①若x=0，则tan ∠PA 1H===0，②若x ≠0则tan ∠PA 1H===令=t （t ≥），y=20t 2﹣8t +1因为函数y=20t 2﹣8t +1在t ≥上单调递增，所以y min =20×﹣+1=所以tan ∠PA 1H 的最大值为=（此时点P 与C 重合）20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF |=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S △OAB 表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，进而可得t 值； （2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A ，B 的坐标，进而可得E 的坐标，利用S △OAB =，即可得出结论．【解答】解：∵点 P （1，t ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线的焦点，|PF |=，∴1+=，解得：p=1，故抛物线的方程为：y 2=2x ，将x=1代入可得：t=±；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设直线OA 的方程为y=kx （k ＞0），OA ⊥OB ，直线OB 的方程为y=﹣x ．由，得k 2x 2=2x ，∴x=0（舍去）或x=，即A （，）．同理B （2k 2，﹣2k ）．∵k=1时，AB ⊥y 轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为y +2k=（x ﹣2k 2），即y +2k=（x ﹣2k 2），∴E （0，）． ∵S △OAB =，∴|y A |+|y B |=|y E |， ∵y A ，y B 异号，∴|y A |+|y B |=|y A ﹣y B |=|y E |，∴||=•||∴k 2=或2，∴A （4，2）或A （1，），由对称性，可得A （4，±2）或A （1，±）．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y +2=0平行，求a 的值：（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I ）的条什下，若对职∀x ∈[1，e ]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a 进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x ∈[1，e ]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，即求f （x ）min ≥k 2+6k 恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=x ﹣（3a +1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y +2=0平行，∴f ′（1）=1﹣（3a +1）+2a （a +1）=3，即2a 2﹣a ﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=x ﹣（3a +1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：，曲线C的普通方程：x2+y2=4．直线=，直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与l2上，如图：直线l1与l2与l的距离为1．l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016年11月3日。

河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.已知集合,集合,则地子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图,复平面上地点到原点地距离都相等,若复数所对应地点为,则复数（是虚数单位）地共轭复数所对应地点为（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列四个函数中,在处取得极值地函数是（ ）①；②；③；④A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②③4.已知变量满足:,则地最大值为（ ）AB ．．2 D ．45.执行如下图所示地程序框图,输出地结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．86.两个等差数列地前项和之比为,则它们地第7项之比为（ ）{}1,3,4,5A ={}2|450B x Z x x =∈--<A B 1234,,,Z Z Z Z z 1Z z i ⋅i 1Z 2Z 3Z 4Z 0x =3y x =21y x =+y x =2xy =,x y 202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x yz +=n 51021n n +-A ．2B ．3C ．D ．7.在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布,若在（80,120）内地概率为0.8,则落在（0,80）内地概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数地部分图象如下图所示,地值为（ ）A ．0B ．． D ．9.若,则地值是（ ）A ．-2 B．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆,圆,椭圆（,焦距为）,若圆都在椭圆内,则椭圆离心率地范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11.定义在上地函数对任意都有,且函数地图象关于（1,0）成中心对称,若满足不等式,则当时,地取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．12.正三角形地边长为2,将它沿高翻折,使点与点间地距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）A ．7B ．19 CD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）45137027ξ()()21000，σσ>ξ()()sin 0,0f x A x A ωω=>>()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+127a a a ++⋅⋅⋅+221:20C x cx y ++=222:20C x cx y -+=2222:1x y C a b+=0a b >>2c 12,C C 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭102，⎛⎤ ⎥⎝⎦⎫⎪⎪⎭0⎛ ⎝R ()f x ()1212,x x x x ≠()()12120f x f x x x -<-()1y f x =-,s t ()()2222f s s f t t -≤--14s ≤≤2t ss t-+13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ABC AD B C ABCD ππ13.一个几何体地三视图如下图所示,该几何体体积为 .14.已知向量与地夹角为60°,且,若,且,则实数地值为 .15.已知双曲线地半焦距为,过右焦点且斜率为1地直线与双曲线地右支交于两点,若抛物线地准线被双曲线截得地弦长是（为双曲线地离心率）,则地值为 .16.用表示自然数地所有因数中最大地那个奇数,例如:9地因数有1,3,9,地因数有1,2,5,10,,那么.三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角中,角所对地边分别为,已知.(1)求角地大小；(2)求地面积.18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场地销售量（单位:台）,并根据这10个卖场地销售情况,得到如下图所示地茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机地销售中,该厂商将销售量高于数据平均数地卖场命名为该型号电视机地"星级卖场".(1)当时,记甲型号电视机地"星级卖场"数量为,乙型号电视机地"星级卖场"数量为,比较,地大小关系；AB AC ||||2AB AC ==AP AB AC λ=+ AP BC ⊥ λ()222210,0x y a b a b-=>>c 24y cx =2e e ()g n n ()99,10g =()105g =()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-=ABC ∆,,A B C ,,a b c sin a b B A ==+=A ABC ∆3a b ==m n m n(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机地"星级卖场"地个数,求地分布列和数学期望；(3)若,记乙型号电视机销售量地方差为,根据茎叶图推断为何值时,达到最小值.(只需写出结论)19.(本小题满分12分)如图1,在边长为4地菱形中,,于点,将沿折起到地位置,使,如图2.(1)求证:平面；(2)求二面角地余弦值；(3)判断在线段上是否存在一点,使平面平面？若存在,求出地值；若不存在,说明理由.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆:,点是它地两个顶点,过原点且斜率为地直线与线段相交于点,且与椭圆相交于两点.(1)若,求地值；(2)求四边形面积地最大值.21.(本小题满分12分)设函数.(1)求函数地单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件地最小正整数地值；(3)若方程有两个不相等地实数根,比较与0地大小.请从下面所给地22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做地第一题计分.X X 1a =2s b 2s ABCD 60BAD ∠=DE AB ⊥E ADE ∆DE 1A DE ∆1A D DC ⊥1A E ⊥BCDE 1E A B C --EB P 1A DP ⊥1A BC EPPB2214x y +=,A B k lAB D ,E F 6ED DF =k AEBF ()()22ln f x x a x a x =---()f x ()f x a ()()f x c c R =∈12,x x 12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,直线与⊙相切于点是⊙地弦,地平分线交⊙于点,连接,并延长与直线相交于点.(1)求证:；(2)若,求弦地长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线地参数方程为（为参数）,在以原点为极点,轴正半轴为极轴地极坐标中,圆地方程为.(1)写出直线地普通方程和圆地直角坐标方程；(2)若点坐标,圆与直线交于两点,求地值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)已知函数,求地取值范围,使为常函数；(2)若,求地最大值.PQ O ,A AB O PAB ∠AC O C CB PQ Q 22QC BC QC QA ⋅=-6,5AQ AC ==AB xoyl 3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t O x C ρθ=l C P (C l ,A B |||PB |PA +()13f x x x =-++x ()f x 222,,z R,x 1x y y z ∈++=m y =++。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==- 为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ． 考点：复数的概念．3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③ 【答案】D 【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ． 考点：函数的极值．4.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为（ ）AB． C ．2 D ．4 【答案】D考点：简单的线性规划问题．5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ． 考点：程序框图．6.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．7027【答案】B 【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ．考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质． 7.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B考点：正态分布．8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++= ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++ ＝(8)0f -=，故选A ．考点：1、三角函数的图象及周期性． 【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω． 9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-131 【答案】C考点：二项式定理．10.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎭D ．0⎛⎝ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C ，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC D考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为22123V =⨯=考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为 . 【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥ ，所以0AP BC = ．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ=+-=+ －2AB AB AC λ- ＝22(1)||||cos 60||||AB AC AC AB λλ-︒+- ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=3sin B =3sin B A =.(3分)sin B A +=sin A =. (5分) 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=. (6分)考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0． 【解析】试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.(1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，1(0,2)A D =- ，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z = ，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅= ，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t = ，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅= ，即0=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.(1)若6ED DF =，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（1）23k =或38k =；（2）． 故21x x =-=6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =， 所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分）考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21.(本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小. 【答案】(1) 当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)3；(3) 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；(2) 由(1)知()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求得()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；(3) 由12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=(3) 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--=两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】(1)见解析； (2)103AB =．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形． 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标(，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值.【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y ---=，圆C的直角坐标方程为(225x y +-=；（2）【解析】试题分析：(1) 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：(1)由3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l的普通方程为30x y ---=.(2分)又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩l 的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t，所以12|||PB ||||t |PA t +=+=分)考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用． 【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =++的最大值.【答案】(1) []3,1x ∈-；（2）3．考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．。

2016年河北省衡水中学高三二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集 U =R ，集合 A = x x 2−1<0 ，B = x x x −2 ≥0 ，则 A ∩ ∁U B = A. x 0<x <2B. x 0<x <1C. x 0≤x <2D. x −1<x <02. 已知复数 z 满足 1+z i=1−z ，则 z 的虚部为 A. iB. −1C. 1D. −i 3. 已知等比数列 a n 中，a 5=10，则 lg a 2a 8 等于 A. 1B. 2C. 10D. 1004. 已知向量 a = 1,n ，b = −1,n ，若 2a −b与 b 垂直，则 n 2 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 45. “m >2”是“函数 f x =m +log 2x x ≥12 不存在零点”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在 x x3 12 的展开式中，x 项的系数为 A. C 126B. C 125C. C 127D. C 1287. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =32，BC =2，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A −BCD 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 A −BCD 侧视图的面积为 A. 925B. 125C. 3625D. 18258. 若当 x ∈R 时，函数 f x =a x 始终满足 0< f x ≤1，则函数 y =log a 1x的图形大致为A. B.C. D.9. 执行如图所示的程序框图，输出z的值为 A. −1008×2015B. 1008×2015C. −1008×2017D. 1008×201710. 已知函数f x=sin2x+φ，其中φ为实数，若f x≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2>fπ，则f x的单调递增区间是 A. kπ−π3,kπ+π6k∈Z B. kπ,kπ+π2k∈ZC. kπ+π6,kπ+2π3k∈Z D. kπ−π2,kπ k∈Z11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F2,0，设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为377，则双曲线的离心率为 A. 3B. 5C. 2D. 412. 已知f x是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f x=x2，当x>1时，f x+1=f x+f1，若直线y=kx与函数y=f x的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为 A. 22−2,26−4B. 3+2,3+6C. 22+2,26+4D. 4,8二、填空题（共4小题；共20分）13. 从编号为001，002，⋯，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007，032，⋯，则样本中最大的编号应该为．14. 设变量x，y满足约束条件y≤x,x+y≥2,y≥3x−6,则目标函数z=2x+y的最大值为．15. 已知点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为．16. 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk m,k=1,2,3,⋯,n,n≥3，公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=53，b=5，求sin B sin C的值．18. 某校为了解2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:4，其中第二小组的频数为11．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60 kg的学生人数，求X的数学期望与方差．19. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点．（1）求证：A1O∥平面AB1C；（2）求平面AC1D1与平面C1D1C所成锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22，且过点2,．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 AC ，BD 过原点 O ，若 k AC ⋅k BD =−b 2a ． （i ）求 OA ⋅OB 的最值；（ii ）求证：四边形 ABCD 的面积为定值．21. 已知函数 f x =ln x +1x ，且 f x 在 x =12处的切线方程为 y =g x ．（1）求 y =g x 的解析式；（2）证明：当 x >0 时，恒有 f x ≥g x ； （3）证明：若 a i >0，且 a i n i =1=1，则 a 1+1a 1a 2+1a 2⋯ a n +1a n≥n 2+1nn1≤i ≤n ,i ,n ∈N ∗ ．22. 如图，圆 O 的直径 AB =8，圆周上过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 E ，过点 B 作 AC 的平行线交 EC 的延长线于点 P ．（1）求证：BC 2=AC ⋅BP ； （2）若 EC =2 5，求 PB 的长．23. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x =2+t ,y =t +1（t 为参数），在以该直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线 P 的方程为 ρ2−4ρcos θ+3=0． （1）求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程； （2）设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A ，B ，求 AB ．24. 已知函数 f x = 2x −1 + 2x −3 ，x ∈R ．（1）解不等式 f x ≤5；（2）若不等式 m 2−m <f x ，∀x ∈R 都成立，求实数 m 的取值范围．答案第一部分1. B 【解析】A=x−1<x<1，B= x x≥2或x≤0，∁U B=x0<x<2，所以A∩∁U B=x0<x<1．2. C 【解析】由已知得1+z=1−z i=i−i z，则z=−1+i1+i =−1+i1−i2=i，虚部为1．3. B 【解析】由等比数列的性质可知lg a2a8=lg a52=lg100=2．4. C 【解析】由a=1,n，b=−1,n，得2a−b=3,n，若2a−b与b垂直，则2a−b⋅b=0，则有−3+n2=0，解得n2=3．5. A【解析】函数f x的值域是m−1,+∞，当m>2时，f x>1，不存在零点．若函数f x不存在零点，则m>1，所以“m>2”是“函数f x=m+log2x x≥12不存在零点”的充分不必要条件．6. A 【解析】第r+1项T r+1=C12r x12−r x−r3=C12r x6−56r，故当r=6时，x项的系数为C126．7. D 【解析】由正视图及俯视图可得在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧32×222+22=65的等腰直角三角形，其面积为12×652=1825．8. B 【解析】因为当x∈R时，函数f x=a x 始终满足0<f x≤1，所以0<a<1，则当x>0时，函数y=log a1x=−log a x，显然此时函数单调递增．9. A 【解析】第一次运行时，S=12，a=2；第二次运行时，S=12，a=3；第三次运行时，S=121+2+3，a=4；第四次运行时，S=121+2+3+4，a=5；⋯⋯，以此类推，第2015次运行时，S=121+2+3+4+⋯+2015，a=2016，此时满足a>2015，结束循环，输出z=log2121+2+3+4+⋯+2015=−1+20152×2015=−1008×2015．10. C【解析】∵f x≤fπ6对x∈R恒成立，∴fπ6为函数f x的最大值，即sinπ3+φ =1，∴π3+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π6k∈Z．由fπ2>fπ，可知sinπ+φ>sin2π+φ，即sinφ<0，∴φ=2k+1π+π6k∈Z，代入f x=sin2x+φ，得f x=−sin2x+π6，由2kπ+π2⩽2x+π6⩽2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π6⩽x⩽kπ+2π3k∈Z．11. C 【解析】设点A x0,y0在第一象限．因为原点O在以线段MN为直径的圆上，所以OM⊥ON，又因为M，N分别为AF，BF的中点，所以AF⊥BF，即在Rt△ABF中，OA=OF=2，因为直线AB的斜率为377，所以x0=72，y0=32，代入双曲线x2a−y2b=1中得74a−94b=1，又a2+b2=4，解得a2=1，b2=3，所以双曲线的离心率为2．12. A 【解析】由x>1时，f x+1=f x+f1=f x+1可得当x∈n,n+1，n∈N∗时，f x=f x−1+1=f x−2+2=⋯=f x−n+n=x−n2+n．因为函数y=f x是定义在R上的奇函数，所以其图象关于原点对称，因此要使直线y=kx与函数y=f x恰有7个不同的公共点，只需满足当x>0时，直线y=kx与函数y=f x恰有3个不同的公共点即可．作出x>0时函数y=f x图象，由图可知，当直线y=kx与曲线段y=x−12+1，x∈1,2相切时，直线与函数y=f x恰有5个不同的公共点．与曲线段y=x−22+2，x∈2,3相切时，直线与函数y=f x恰有9个公共点，若恰有7个，则介于此两者之间．由直线方程y=kx与y=x−12+1，x∈1,2，消去y得x2−2+k x+2=0，因为相切，所以Δ=2+k2−8=0，又k>0，所以k=22−2．由y=kx与y=x−22+2，x∈2,3，消去y得x2−4+k x+6=0，因为相切，所以Δ=0，得到k=26−4，所以k的取值范围为22−2,26−4．第二部分13. 482【解析】由题意可知系统抽样的每组元素个数为32−7=25个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500−25+7=482．14. 9【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图（阴影部分）．由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，由图象可知当直线y=−2x+z经过点A时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．由y=x,y=3x−6解得x=3,y=3,即A3,3，将A3,3的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+3=9．即z=2x+y的最大值为9．15. 23【解析】由题知AC2=BC2+AB2，所以∠ABC=90∘，设AC的中点为E，球的半径为R，过A，B，C三点的截面圆半径r=AE=12AC=1，由球的表面积为25π4知4πR2=25π4，解得R=54，因为△ABC的面积为12AB×BC=1，所以要使四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，所以球心到过A，B，C三点的截面的距离d=2−r2=34，所以DE=34+54=2，所以四面体ABCD体积的最大值为13×1×2=23．16. 1【解析】由题意知a mn=1+n−1d m，则a2n−a1n=1+n−1d2−1+n−1d1=n−1d2−d1，同理，a3n−a2n=n−1d3−d2，a4n−a3n=n−1d4−d3，⋯⋯，a nn−a n−1n=n−1d n−d n−1．又因为a1n，a2n，a3n，⋯，a nn成等差数列，所以a2n−a1n= a3n−a2n=⋯⋯=a nn−a n−1n，故d2−d1=d3−d2=⋯⋯=d n−d n−1，即d n是公差为d2−d1的等差数列，所以d m=d1+m−1d2−d1=2−m d1+m−1d2．令p1=2−m，p2=m−1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．第三部分17. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0，即2cos A−1cos A+2=0，解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以∠A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=34bc=53，得bc=20．又b=5，故c=4．由余弦定理，得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21，故a=21．又由正弦定理，得sin B sin C=ba sin A⋅casin A=bcasin2A=2021×34=57．18. （1）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为P1，P2，P3．则P2=2P1,P3=4P1,P1+P2+P3+5×0.017+0.043=1.解得P1=1 ,P2=1 ,P3=2 5 .由于P2=15=11n，故n=55．（2）由（1）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为P=P3+5×0.017+0.043=710．由题意知X服从二项分布即：X∼B3,710，所以P X=k=C3k710k3103−kk=0,1,2,3，所以E X=3×710=2110，D X=3×710×310=63100．19. （1）如图，连接CO，则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1，故四边形A1B1CO为平行四边形，所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，所以A1O∥平面AB1C．（2）连接D1O．因为D1A=D1D，O为AD的中点，所以D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，故D1O⊥底面ABCD．以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则C1,0,0，D0,1,0，D10,0,1，A0,−1,0，所以DC=1,−1,0，DD1=0,−1,1，D1A=0,−1,−1，D1C1=DC=1,−1,0．设m=x,y,z为平面CDD1C1的法向量，由m⊥DC，m⊥DD1得x−y=0,−y+z=0,令z=1，则y=1，x=1，所以m=1,1,1．又设n=x1,y1,z1为平面AC1D1的法向量，由n⊥D1A，n⊥D1C1得−y1−z1=0, x1−y1=0,令z1=1，则y1=−1，x1=−1，所以n=−1,−1,1，则cos⟨m,n ⟩=3⋅3=−13，故所求锐二面角的余弦值为13．20. （1）由题意知e=ca =22，4a2+2b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=4，所以椭圆的标准方程为x 28+y24=1．（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设A x1,y1，B x2,y2，联立y=kx+m,x2+2y2=8得1+2k2x2+4kmx+2m2−8=0，Δ=4km2−41+2k22m2−8=88k2−m2+4>0, ⋯⋯①x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−81+2k2,因为k OA⋅k OB=−b2a =−12，所以y1y2x1x2=−12，y1y2=−12x1x2=−12⋅2m2−81+2k2=−m2−41+2k2，又y1y2=kx1+m kx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=k2⋅2m2−81+2k2+km⋅−4km1+2k2+m2=m2−8k2,所以−m 2−41+2k =m2−8k21+2k，所以−m2−4=m2−8k2，所以4k2+2=m2．（i）OA⋅OB=x1x2+y1y2=2m2−81+2k2−m2−41+2k2=m2−4 1+2k2=4k2+2−4 1+2k2=2−42,所以−2=2−4≤OA⋅OB<2，当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时，OA⋅OB取最小值为−2．又直线AB的斜率不存在时，OA⋅OB=2，所以OA⋅OB的最大值为2．（ii）设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB=12AB ⋅d=121+k⋅ x2−x1m1+k2=mx1+x22−4x1x2=m2−4km1+2k22−42m2−81+2k2=m64k22−16m2−42=24k2−m2+4=22,所以S四边形ABCD=4S△AOB=82，即四边形ABCD的面积为定值．21. （1）因为fʹx=xx+11−1x=x2−1x+x，所以f x在x=12处的切线的斜率k=fʹ12=−65，又因为 f 12 =ln 52， 所以 f x 在 x =12 处的切线方程为 y −ln 52=−65 x −12， 即 y =g x =−65x +35+ln 52．（2） 令 t x =f x −g x =ln x +1x +65x −35−ln 52x >0 ， 因为 tʹ x =x 2−1x 3+x+65=6x 3+5x 2+6x−55 x 3+x = x−12 6x 2+8x +10 5 x 3+x ， 所以当 0<x <12 时，tʹ x <0；x >12 时，tʹ x >0； 所以 t x min =t 12=0． 故 t x ≥0，即 ln x +1x ≥−65x +35+ln 52． （3） 先求 f x 在点 1n ,ln n +1n处的切线方程， 由（1）知 fʹ 1n =n−n 31+n ， 故 f x 在点 1n ,ln n +1n 处的切线方程为 y −ln n +1n=n−n 3n 2+1 x −1n ， 即 y =n−n 31+n 2x −1−n 2n 2+1+ln n +1n． 再证 f x ≥n−n 3n +1x −1−n 21+n +ln n +1n ． 令 x =ln x +1x −n−n 3n +1x +1−n 21+n −ln n +1nx >0 ， 因为ʹ x =x 2−1x 3+x −n −n 3n 2+1= n 3−n x 3+ n 2+1 x 2+ n 3−n x −n 2−1=x −1n n 3−n x 2+2n 2x +n 3+n x 3+x n 2+1 .所以 0<x <1n 时， ʹ x <0； x >1n 时， ʹ x >0． 所以 x min = 1n=0， 所以 f x ≥n−n 3n 2+1x −1−n 21+n 2+ln n +1n ．因为 a i >0，所以 ln a i +1a i ≥n−n 3n 2+1a i −1−n 21+n 2+ln n +1n ， 所以 ln a i +1a i n i =1≥n−n 3n +1 a i n i =1−n 1−n 2 1+n +n ln n +1n =n ln n +1n ． 所以 a 1+1a 1 a 2+1a 2 ⋯ a n +1a n ≥ n +1n n．22. （1） 因为 AB 为圆 O 的直径，所以∠ACB=90∘．又AC∥BP，所以∠ACB=∠CBP，∠ECA=∠P．因为EC为圆O的切线，所以∠ECA=∠ABC，所以∠ABC=∠P，所以△ACB∽△CBP，所以ACBC =BCBP，即BC2=AC⋅BP．（2）因为EC为圆O的切线，EC=25，AB=8，所以EC2=EA⋅EB=EA EA+AB，所以EA=2．因为∠ECA=∠ABC，所以△ACE∽△CBE，所以ACBC =EAEC=5．因为AB为圆O的直径，所以∠ACB=90∘，所以AC2+BC2=AB2，所以AC=463，由ACBP=EAEB可得PB=2063．23. （1）曲线C的普通方程为x−y−1=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y2−4x+3=0．（2）曲线P可化为x−22+y2=1，表示圆心为2,0，半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为d=2=22，所以AB=22−d2=2．24. （1）原不等式等价于x<12,4−4x≤5 ⋯⋯①或12≤x≤32,2<5 ⋯⋯②或x>32,4x−4≤5. ⋯⋯③解①求得−14≤x<12，解②求得12≤x≤32，解③求得32<x≤94，因此不等式的解集为 −14,94．（2）因为f x=2x−1+2x−3 ≥ 2x−1−2x−3=2，所以m2−m<2，解得−1<m<2，即实数m的取值范围为−1,2．。

2016年河北省衡水市高考数学模拟试卷（理科）（一）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，复数z=i+，则复数的虚部是（）A．B．C．D．22．若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则（）A．A⊆B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=∅3．已知定义域为[a﹣2，2a﹣1]的奇函数f（x）=x3﹣sinx+b+1，则f（a）+f（b）的值为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定4．已知函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，设抛物线E：y2=4x上任意一点M到准线l的距离为d，则d+|MA|的最小值为（）A．5 B． C．D．5．执行如图所示的程序框图，其中输入的x i值依次为14，8，42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的x i值依次为（）A．78，96，74，49，50 B．78，96，74，39，60C．78，96，74，50 D．78，96，746．下列说法正确的是（）A．“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实数”B．命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0，且b≠0，则a2+b2≠0”C．命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3，则命题p∨q为真命题D．若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=17．等差数列{a n}中的两项a2、a2016恰好是关于x的函数f（x）=2x2+8x+a（a∈R）的两个零点，且a1009+a1010＞0，则使{a n}的前n项和S n取得最小值的n为（）A．1009 B．1010 C．1009，1010 D．20168．某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A、B两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有（）A．40种B．48种C．60种D．72种9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣10．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A（﹣，0）、B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则（﹣）•（ω）的值是（）A．2π2B．π2C．2 D．以上答案均不正确11．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞） C．（1，]D．（1，]12．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1，﹣2），=（﹣1，k），若∥，则|+3|=______．14．已知函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x﹣）（2x﹣）5的展开式中的常数项为______（用数字作答）．15．已知变量x，y满足约束条件，则F（x，y）=log2（y+1）+log（x+1）的最小值为______．16．若数列{a n}满足a2﹣a1＞a3﹣a2＞a4﹣a3＞…＞a n﹣a n＞…，则称数列{a n}为“差递减”数+1列，若数列{a n}是“差递减”数列，且其通项a n与其前n项和S n（n∈N*）满足2S n=3a n+2λ﹣1（n∈N*），则实数λ的取值范围是______．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足ccos﹣ccos（﹣A）=a+b．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=4，△ABC的面积为4，试求向量在方向上的投影．18．已知五边形ABCDE由直角梯形ABCD与直角△ADE构成，如图1所示，AE⊥DE，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，将梯形ABCD沿着AD折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD⊥平面ADE．（Ⅰ）在线段CE上存在点M，且=，证明BM∥平面ADE；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．19．利用手机发放红包已成近几年过年的一大时尚．某市一调查机构针对“过年收取手机红”600（Ⅰ）从该市市民中任意选取1人，求其收到的手机红包金额超过100元的概率；（Ⅱ）从该市市民中任意选取4人，求至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率；（Ⅲ）若从所抽取的600人中按照分层抽样的方法随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中收到的手机红包金额超过100元的人数为X．（i）求所抽取的12人中，收到的手机红包金额超过100元的人数；（ii）求X的分布列及数学期望．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，其左、右顶点分别为点A、B，且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x﹣2上，点M在椭圆E上，且不与点A、B重合．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）已知点N在圆O：x2+y2=b2上，MN⊥y轴，若直线MA、MB与y轴的交点分别为C、D，求证：sin∠CND为定值．21．已知函数f（x）=lnx++ax﹣1（a∈R）（Ⅰ）当a≥0时，试讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（Ⅱ）求证：ln（n+1）＞++…+（n∈N*）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AC是⊙O的直径，ABCD是圆内接四边形，DE与⊙O相切于点D，AC的延长线交DE于点E，BC的延长线交DE于点F，且AB∥DE．（Ⅰ）求证：CD平分∠ACF．（Ⅱ）若AB=3EF，⊙O的半径为1，求线段DE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|，且f（x）的最大值记为k．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣？请说明理由．2016年河北省衡水市高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，复数z=i+，则复数的虚部是（）A．B．C． D．2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的代数形式的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i+=i+=+i．复数=﹣i．则复数的虚部：﹣．故选：C．2．若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则（）A．A⊆B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】y=2x+2＞2，可得集合A=（2，+∞）．由﹣x2+x+2≥0，化为x2﹣x﹣2≤0，解出可得B=[﹣1，2]．再利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：y=2x+2＞2，∴集合A={y|y=2x+2}=（2，+∞）．由﹣x2+x+2≥0，化为x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴B={x|﹣x2+x+2≥0}=[﹣1，2]．∴A∩B=∅，故选：D．3．已知定义域为[a﹣2，2a﹣1]的奇函数f（x）=x3﹣sinx+b+1，则f（a）+f（b）的值为（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数是奇函数，求出a，b，推出函数的解析式，然后求解函数值．【解答】解：定义域为[a﹣2，2a﹣1]的奇函数f（x）=x3﹣sinx+b+1，可得2﹣a=2a﹣1，解得a=1，f（0）=0，可得b+1=0，所以b=﹣1．函数f（x）=x3﹣sinx，则f（a）+f（b）=f（1）+f（﹣1）=f（1）﹣f（1）=0．故选：A．4．已知函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，设抛物线E：y2=4x上任意一点M到准线l的距离为d，则d+|MA|的最小值为（）A．5 B． C．D．【考点】抛物线的简单性质；指数函数的图象与性质．【分析】求出A的坐标，利用抛物线的定义，可得当F、A、M三点共线时，d+|MA|取得最小值为|AF|，即可得出结论【解答】解：当x+1=0，解得x=﹣1，此时y=1﹣2=﹣1，故A（﹣1，﹣1），由题意得F（1，0），准线方程为x=﹣1，利用抛物线的定义，可得当F、A、M三点共线时，d+|MA|取得最小值为|AF|==．故选：C．5．执行如图所示的程序框图，其中输入的x i值依次为14，8，42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的x i值依次为（）A．78，96，74，49，50 B．78，96，74，39，60C．78，96，74，50 D．78，96，74【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，知该程序运行后输出的是大于50的x i值，由此求出结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知该程序运行后输出的是大于50的x i值，即输出的x i值依次为78，96，74．故选：D．6．下列说法正确的是（）A．“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实数”B．命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0，且b≠0，则a2+b2≠0”C．命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3，则命题p∨q为真命题D．若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0没有正实根”，故A不正确；命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，故B不正确；命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关，是假命题；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2.5，是假命题，则命题p∨q为假命题，故C不正确；若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立可得t2﹣1+2t=2，∴t=1或3，∴P（X ＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1，故D正确．故选D7．等差数列{a n}中的两项a2、a2016恰好是关于x的函数f（x）=2x2+8x+a（a∈R）的两个零点，且a1009+a1010＞0，则使{a n}的前n项和S n取得最小值的n为（）A．1009 B．1010 C．1009，1010 D．2016【考点】数列与函数的综合．【分析】运用二次方程的韦达定理，可得a2+a2016=﹣4，再由通项公式可得a1009=﹣2，又a1009+a1010＞0，可得a1010＞0，即有数列的单调性和正负项的情况，即可得到所求最小值n．【解答】解：由题意可得a2、a2016是2x2+8x+a=0的两根，可得a2+a2016=﹣4，设公差为d，可得2a1+2016d=﹣4，即a1+1008d=﹣2，即有a1009=﹣2，又a1009+a1010＞0，可得a1010＞0，则公差d＞0，数列单调递增，且a1，a2，…，a1009＜0，a1010＞0，…可得前n项和S n取得最小值的n为1009．故选：A．8．某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A、B两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有（）A．40种B．48种C．60种D．72种【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，又4，2分组；3，3分组两类，计算不同的选派方案，即可得出结论．【解答】解：由题意，4，2分组可得不同的选派方案有C21C41A22+C42A22=28种；3，3分组可得不同的选派方案有+C41A22═20种∴不同的选派方案共有28+20=48种．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，确定几何体为三棱锥，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1﹣r）2+（）2，求出r，即可求出三棱锥外接球的体积以及三棱锥的体积，然后求差即可．【解答】解：由题意，几何体是三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面中的射影是底面斜边的中点，设三棱锥外接球的半径为r，则r2=（1﹣r）2+（）2，∴r=，∴三棱锥外接球的体积为π；又三棱锥的体积，所以从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是；故选C．10．已知函数y=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A （﹣，0）、B 、C 是该图象与x 轴的交点，过点B 作直线交该图象于D 、E 两点，点F （，0）是f （x ）的图象的最高点在x 轴上的射影，则（﹣）•（ω）的值是（ ）A ．2π2B ．π2C ．2D ．以上答案均不正确 【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象，利用周期性求得ω，可得C 、B 的坐标，再根据线段EF 关于点B 对称，利用两个向量的加减法及其几何意义求得要求式子的值．【解答】解：根据函数y=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象可得•=﹣（﹣），∴ω=2．∵2•（﹣）+φ=π，∴φ=，函数y=2sin （2x +），可得C （，0），故AC 的中点B （，0）．由题意可得线段EF 关于点B 对称，则（﹣）•（ω）=（+）•（ω）=2•2=4|AB |•|AC |=4••T=2T 2=2•=2π2，故选：A ．11．已知点F 1、F 2是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|=2|OP |，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．（1，+∞）B ．[，+∞） C ．（1，]D ．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，运用双曲线的定义，可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，又|PF 1|≥3|PF 2|，可得|PF 2|≤a ，再由勾股定理，即可得到c ≤a ，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由|F 1F 2|=2|OP |，可得|OP |=c ， 即有△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故选：C．12．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】题意可转化为函数y=f（x）与直线y=x的图象的交点的个数，从而解得．【解答】解：∵7f（x）﹣2x=0，∴f（x）=x，作函数y=f（x）与直线y=x的图象如下，，结合图象可知，函数y=f（x）与直线y=x的图象有5个交点，故方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是5，故选C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1，﹣2），=（﹣1，k），若∥，则|+3|=2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出k的值，再计算模长即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（﹣1，k），且∥，∴1•k﹣（﹣2）×（﹣1）=0，解得k=2，∴=（﹣1，2）；∴+3=（﹣2，4），∴|+3|==2．故答案为：2．14．已知函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x﹣）（2x﹣）5的展开式中的常数项为﹣200（用数字作答）．【考点】定积分．【分析】求定积分可得a值，然后求出二项式（2x﹣）5的通项，得到（2x﹣）5的展开式中含x及的项，分别与（x﹣）中的项相乘求得答案．【解答】解：由题意，a=||=||=||=2．故（x﹣）（2x﹣）5=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为．∴（x﹣）（2x﹣）5的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．15．已知变量x，y满足约束条件，则F（x，y）=log2（y+1）+log（x+1）的最小值为﹣2．【考点】简单线性规划；函数模型的选择与应用．【分析】由约束条件作出可行域，结合 的几何意义求出可行域内的动点与定点（﹣2，0）连线的斜率的最值得答案．【解答】解：F （x ，y ）=log 2（y +1）+log （x +1）可得F （x ，y ）=log 2，x ＞﹣1，y ＞﹣1，由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点（﹣1，﹣1）连线的斜率，k PA ==，k PB ==2．∵得y=log 2x 是增函数，∴F （x ，y ）=log 2，则F （x ，y ）=log 2（y +1）+log （x +1）=log 2的最小值为：F （3，0）=log 2=﹣2．故答案为：﹣2．16．若数列{a n }满足a 2﹣a 1＞a 3﹣a 2＞a 4﹣a 3＞…＞a n +1﹣a n ＞…，则称数列{a n }为“差递减”数列，若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n （n ∈N *）满足2S n =3a n +2λ﹣1（n ∈N *），则实数λ的取值范围是．【考点】数列的函数特性．【分析】2S n =3a n +2λ﹣1（n ∈N *），n=1时，2a 1=3a 1+2λ﹣1，解得a 1=1﹣2λ．n ≥2时，可得：a n =3a n ﹣1．利用a 2﹣a 1＞a 3﹣a 2＞a 4﹣a 3＞…，即可得出． 【解答】解：∵2S n =3a n +2λ﹣1（n ∈N *）， ∴n=1时，2a 1=3a 1+2λ﹣1，解得a 1=1﹣2λ． n ≥2时，2a n =3a n ﹣3a n ﹣1，化为a n =3a n ﹣1．同理可得：a 2=3（1﹣2λ），a 3=9（1﹣2λ），a 4=27（1﹣2λ）． ∴a 2﹣a 1=2（1﹣2λ），a 3﹣a 2=6（1﹣2λ），a 4﹣a 3=18（1﹣2λ），∵a 2﹣a 1＞a 3﹣a 2＞a 4﹣a 3＞…，∴2（1﹣2λ）＞6（1﹣2λ）＞18（1﹣2λ），解得：．则实数λ的取值范围是．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足ccos ﹣ccos （﹣A ）=a +b ．（I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c=4，△ABC 的面积为4，试求向量在方向上的投影． 【考点】正弦定理．【分析】（I ）利用诱导公式、正弦定理，结合和角的正弦公式，化简，即可求角C 的大小；（Ⅱ）若c=4，△ABC 的面积为4，求出a=b=4，即可求向量在方向上的投影．【解答】解：（I ）在△ABC 中，∵ccos ﹣ccos （﹣A ）=a +b ，∴ccosA +csinA=a +b ，∴sinCcosA +sinCsinA=sinA +sinB∴sinCcosA +sinCsinA=sinA +sin （A +C ）∴sinCsinA=sinA +cosCsinA ，∴sinC=1+cosC ∴C=60°；（Ⅱ）∵c=4，△ABC 的面积为4，∴16=a 2+b 2﹣ab ， =4，∴a=b=4∴向量在方向上的投影为=﹣1．18．已知五边形ABCDE 由直角梯形ABCD 与直角△ADE 构成，如图1所示，AE ⊥DE ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AD=CD=2DE=3AB ，将梯形ABCD 沿着AD 折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD ⊥平面ADE ．（Ⅰ）在线段CE 上存在点M ，且=，证明BM ∥平面ADE ；（Ⅱ）求二面角B ﹣CE ﹣D 的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）过点M作MF∥DC，交ED于点F，推导出四边形ABMF是平行四边形，由此能证明BM∥平面ADE．（Ⅱ）以点E为原点，ED为x轴，EA为y轴，过E作平面ADE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过点M作MF∥DC，交ED于点F，∵=，∴，由题意知=，AB∥CD，∴AB MF，∴四边形ABMF是平行四边形，∴BM∥AF，又BM⊄平面ADE，AF⊂平面ADE，∴BM∥平面ADE．解：（Ⅱ）∵AE⊥DE，∴以点E为原点，ED为x轴，EA为y轴，过E作平面ADE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则AD=CD=3，DE=，由AD=2DE，AE⊥DE，知∠DAE=30°，∴AE=AD，∴C（），B（0，，1），设=（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，则，取x=2，得=（2，，﹣1），平面DCE的一个法向量=（0，1，0），cos＜＞==，由图形得二面角B﹣CE﹣D的平面角是钝角，∴二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值为﹣．19．利用手机发放红包已成近几年过年的一大时尚．某市一调查机构针对“过年收取手机红（Ⅰ）从该市市民中任意选取1人，求其收到的手机红包金额超过100元的概率；（Ⅱ）从该市市民中任意选取4人，求至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率；（Ⅲ）若从所抽取的600人中按照分层抽样的方法随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中收到的手机红包金额超过100元的人数为X．（i）求所抽取的12人中，收到的手机红包金额超过100元的人数；（ii）求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）将频率视为概率，求出某人收到的手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的概率，由此利用互斥事件加法公式能求出任选1人，收到的手机红包金额超过100元的概率．（Ⅱ）设“从4人中任意选取1人，至多有1人收到的手机红包金额超过100元”为事件A，由此利用n次独立重复试验能求出事件至多有1人收到的手机红包金额超过100元的概率．（Ⅲ）（i）由分层抽样，求出样本容量为2的样本中，收到手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的人数分别为3，8，1，由此能求出所取的12人中，收到手机红包金额超过100元的人数．（ii）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）将频率视为概率，某人收到的手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的概率分别为：=，p2==，p3==，∴任选1人，收到的手机红包金额超过100元的概率为：p=p2+p3==．（Ⅱ）设“从4人中任意选取1人，至多有1人收到的手机红包金额超过100元”为事件A，则P（A）==．（Ⅲ）由分层抽样，知：样本容量为2的样本中，收到手机红包金额t≤100，100＜t≤1000，t＞1000的人数分别为3，8，1，（i）所取的12人中，收到手机红包金额超过100元的人数为8+1=9．（ii）X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴E（X）=++3×=．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，其左、右顶点分别为点A、B，且点A关于直线y=x对称的点在直线y=3x﹣2上，点M在椭圆E上，且不与点A、B重合．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）已知点N在圆O：x2+y2=b2上，MN⊥y轴，若直线MA、MB与y轴的交点分别为C、D，求证：sin∠CND为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）点A（﹣a，0）关于直线y=x对称的点（0，﹣a）在直线y=3x﹣2上，可得﹣a=0﹣2，解得a．又，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）设M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），可得C（0，2k）．直线方程与椭圆方程联立化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣4=0（k≠0）．利用根与系数的关系可得：M．可得BM的方程：y=﹣（x﹣2），D．设N（x N，y0），计算，即可得出．【解答】（I）解：点A（﹣a，0）关于直线y=x对称的点（0，﹣a）在直线y=3x﹣2上，∴﹣a=0﹣2，解得a=2．又，a2=b2+c2，联立解得b2=2=c2．∴椭圆E的标准方程为： +=1．（II）证明：设M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），令x=0，解得y=2k，∴C（0，2k）．联立，化为：（2k 2+1）x 2+8k 2x +8k 2﹣4=0（k ≠0）．∴﹣2x 0=，解得x 0=．∴y 0=，即M ．∴直线BM 的斜率==﹣．∴BM 的方程：y=﹣（x ﹣2），令x=0，解得y=，∴D ． 设N （x N ，y 0），则=（﹣x N ，2k ﹣y 0），=．∴=++2﹣．∵+=2，y 0=，∴=0．∴NC ⊥ND ．即∠CND=90°． ∴sin ∠CND=1．21．已知函数f （x ）=lnx ++ax ﹣1（a ∈R ）（Ⅰ）当a ≥0时，试讨论f （x ）的极值点个数，并说明理由；（Ⅱ）求证：ln （n +1）＞++…+（n ∈N *）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，通过讨论a=0，a ＞0两种情况结合函数的单调性讨论f （x ）的极值点个数即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：当a=0时，f （x ）=lnx +﹣1，根据函数的单调性得到lnx ＞1﹣，令x=1+，n ∈N *，n ≥2．可得ln （1+）＞1﹣=，可得ln （1+n ）﹣lnn ＞，分别取n=1，2，3，…，利用“累加求和”即可．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=lnx ++ax ﹣1的定义域是（0，+∞），f ′（x ）=，（x ＞0，a ≥0），令g （x ）=ax 2+x ﹣1， a=0时，g （x ）=x ﹣1，令g （x ）＞0，解得：x ＞1，令g （x ）＜0，解得：0＜x ＜1， ∴f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴x=1是f（x）的极小值点，a＞0时，g（x）=ax2+x﹣1，开口向上，△=1+4a＞0，x1=＜0（舍），x2=＞0，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴x=是f（x）的极小值点，综上：当a≥0时，f（x）有1个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=0时，f（x）=lnx+﹣1（x＞0），f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）min=f（1）=0，∴x＞1时：lnx＞1﹣，令x=1+，n∈N*，则ln（1+）＞1﹣=，∴ln（1+n）﹣lnn＞，分别取n=1，2，3，…，可得ln2﹣ln1＞，ln3﹣ln2＞，…，ln（n+1）﹣lnn＞．累加求和可得：ln（n+1）＞++…+（n∈N*）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AC是⊙O的直径，ABCD是圆内接四边形，DE与⊙O相切于点D，AC的延长线交DE于点E，BC的延长线交DE于点F，且AB∥DE．（Ⅰ）求证：CD平分∠ACF．（Ⅱ）若AB=3EF，⊙O的半径为1，求线段DE的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）证明∠ACD=∠DCF ，即可证明：CD 平分∠ACF ．（Ⅱ）求出AC=2，CE=AC=，由切割线定理得DE 2=CE •AE ，即可求线段DE 的长． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠CAD +∠ACD=90°①， ∵AB ∥DE ，∴∠CFD=∠ABC=90°， ∴∠CDE +∠DCF=90°②， ∵DE 与⊙O 相切于点D ， ∴∠CDE=∠CAD ③由①②③可得，∠ACD=∠DCF ， ∴CD 平分∠ACF ． （Ⅱ）解：∵AB ∥EF ，∴=，∵⊙O 的半径为1，∴AC=2，CE=AC=，由切割线定理得DE 2=CE •AE==，∴DE=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l 的参数方程是（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+）．（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为（1，0），求|PA |+|PB |的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）将参数方程两式相加消去参数t 得到直线l 的普通方程，将极坐标方程展开两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求出距离．【解答】解：（1）∵直线l 的参数方程是（t 是参数），∴x +y=1．即直线l 的普通方程为x +y ﹣1=0．∵ρ=2cos （θ+）=2cos θ﹣2sin θ，∴ρ2=2ρcos θ﹣2ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x ﹣2y ，即x 2+y 2﹣2x +2y=0．（2）将代入x 2+y 2﹣2x +2y=0得t 2﹣t ﹣1=0，∴t 1+t 2=，t 1t 2=﹣1．∴|PA |+|PB |=|t 1﹣t 2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x ﹣2|，且f （x ）的最大值记为k ． （Ⅰ）求不等式f （x ）≥x 的解集；（Ⅱ）是否存在正数a 、b ，同时满足a +2b=k ， +=4﹣？请说明理由．【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出不等式组的解集取并集即可；（Ⅱ）求出k=1，得到a +2b=1，结合基本不等式的性质判断即可． 【解答】解：（Ⅰ）不等式f （x ）≥x ， 即为|2x ﹣1|﹣|2x ﹣2|﹣x ≥0，∴或或，解得：x ≤﹣1或x ∈∅或x=1，综上，不等式的解集是{x |x ≤﹣1或x=1}；（Ⅱ）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x ﹣2|≤|2x ﹣1﹣2x +2|=1， 当且仅当x ≥1时取“=”， 故k=1，假设存在符合条件的正数a ，b ，则a +2b=1，++=++=2（+）=8++≥8+2=16，当且仅当a=，b=时取“=”号，∴++的最小值是16，即+≥16﹣＞4﹣，∴不存在正数a 、b ，同时满足a +2b=k ， +=4﹣同时成立．2016年10月3日。

2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=（）x，x∈A}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[1，2]D．（1，2）2．已知i为虚数单位，若+a=1+bi（a，b∈R），则a+b等于（）A．﹣4 B．6 C．﹣6 D．43．在2015年夏天，一个销售西瓜的个体户为了了解气温与西瓜销售之间的关系，随机统计由表中数据得到线性回归方程=12x+，当气温为35℃时，预测销售额约为（）A．400元B．420元C．448元D．459元4．已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，且双曲线C的焦距为2c，定点G（0，c），若双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．[，+∞）D．（1，）5．将一个球体截掉后，所得几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B．C．D．6．某程序框图如图所示，若输出S=1，则判断框中M为（）A ．k ＜3？B ．k ≤3？C ．k ≤4？D ．k ＞4？7．在数列{a n }中， +=，且++=12，则+=（ ）A ．12B ．24C ．8D ．168．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，若•=﹣8，则函数f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=2sin （3x ﹣）B ．f （x ）=2sin （3x +）C ．f （x ）=2sin （2x +）D ．f （x ）=2sin （2x ﹣）9．已知（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=（ ） A ．1 B ．2187 C ．2188 D ．﹣2187 10．设直线y=k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=16x 交于A 、B 两点，点F 为直线与x 轴的交点，且=2，则k 的值为（ ）A ．B ．8C ．D ．411．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①图象关于点（1，0）对称；②f （x ）关于x=﹣1对称；③当∈[﹣1，1]时，f （x ）=，则函数y=f （x ）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]内的零点个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．612．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），，若a3=4，则m的所有可能取值为（）A．{6， } B．{6，， }C．{6，， }D．{6， }二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=x++2a﹣1为奇函数，则a=______．14．若函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（x∈R，ω＞0）的最小正周期为，则ω等于______．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2，E为BC边上一点，=3，F为线段AE的中点，则•=______．16．若a∈（，4），将函数f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=g（x）的最小值为m，且m＞2+，则实数a的取值范围是______．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足=﹣．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求b+c的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E、F、G分别为线段BC、PA、AB上的点，H为△PCD的重心，PA=AB=3，FA=BG=CE=1．（1）求证：BF∥平面PDE；（2）求异面直线GH与PE所成角的余弦值．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，得到如图的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，①求这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率；②求这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的分布列及其数学期望．20．已知椭圆E： +=1（a＞0），P（，﹣）是椭圆E上的一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l与椭圆相交于B、C两点，且满足k OB•k OC=﹣，O为坐标原点，求证：△OBC的面积为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆．（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG=1，GA=3，求线段CE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求圆锥曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）若直线l交圆锥曲线C于M，N两点，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣3|，g（x）=．（1）m＞﹣3时，若不等式f（x）≥8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），求实数m的值：（2）若存在实数x0，使得g（x0）＞log（3t+1）成立，求实数t的取值范围．2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在下列每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=（）x，x∈A}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[1，2]D．（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到﹣x2﹣x≥0，即x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即A=[﹣1，0]，∴∁U A=（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），由B中y=（）x，x∈A，得到y∈[1，2]，则（∁U A）∩B=[1，2]，故选：C．2．已知i为虚数单位，若+a=1+bi（a，b∈R），则a+b等于（）A．﹣4 B．6 C．﹣6 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简+a，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵+a==1+bi，∴a=1，b=﹣5．则a+b=﹣4．故选：A．3．在2015年夏天，一个销售西瓜的个体户为了了解气温与西瓜销售之间的关系，随机统计由表中数据得到线性回归方程=12x+，当气温为35℃时，预测销售额约为（）A．400元B．420元C．448元D．459元【考点】线性回归方程．【分析】求出数据样本中心点（，），代入回归方程得出a，再利用回归方程进行数值估计．【解答】解：由==36，==471，由线性回归方程=12x+，过样本中心点（，），∴=﹣12=39，故线性回归方程为：=12x+5，∴当x=35时，y=459，故答案选：D．4．已知F为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，且双曲线C的焦距为2c，定点G（0，c），若双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．[，+∞）D．（1，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出F的坐标，FG的中点和斜率，可得线段FG的垂直平分线方程，由题意可得FG的垂直平分线与双曲线有交点，运用渐近线的斜率可得﹣1＞﹣，再由离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得F（﹣c，0），FG的中点为（﹣，），直线FG的斜率为=1，可得FG的垂直平分线的斜率为﹣1，即有线段FG的垂直平分线方程为y﹣c=﹣（x+c），即为y=﹣x．由双曲线C上存在点P满足|PF|=|PG|，可得FG的垂直平分线与双曲线有交点，由双曲线的渐近线方程为y=±，即有﹣1＞﹣，即a＜b，可得a2＜b2=c2﹣a2，可得e=＞，故选：A．5．将一个球体截掉后，所得几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】从正视图和俯视图分析，得出球体截掉后的位置应该在的方位，即可得出结论．【解答】解：由俯视图与侧视图可知球体截掉后在原球的前右下方，故几何体的侧视图：D；故选：D6．某程序框图如图所示，若输出S=1，则判断框中M为（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤4？D．k＞4？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，k=1S=，满足条件，k=2，S=+，满足条件，k=3，S=++=（﹣1）+（﹣）+（﹣）=2﹣1=1，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1， 则判断框中应该为k ＜3？ 故选：A ．7．在数列{a n }中， +=，且++=12，则+=（ ）A ．12B ．24C ．8D ．16【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得a 6的值，再由等差数列的性质求得+的值．【解答】解：由+=，可得，即数列{}是等差数列，又++=12，∴，即，则，∴+=．故选：C ．8．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，若•=﹣8，则函数f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=2sin （3x ﹣）B ．f （x ）=2sin （3x +）C ．f （x ）=2sin （2x +）D ．f （x ）=2sin （2x ﹣）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f （x ）的图象得出A 的值，设点P （a ，0），由此表示出、，列出方程求出a 的值，再求函数的最小正周期T 与ω、φ的值即可．【解答】解：根据函数f （x ）的图象知，A=2，设P （a ，0），且a ＜0；则Q （，2），S （﹣2a ，﹣2）；∴=（﹣a ，2），=（﹣2a ，﹣4）；又•=﹣8，∴（﹣a ）（﹣2a ）﹣8=﹣8，解得a=﹣或a=（不合题意，舍去）；当a=﹣时， T=﹣（﹣）=，解得T=π，∴ω=2，此时φ=；∴函数f （x ）=2sin （2x +）．故选：C ．9．已知（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=（ ） A ．1 B ．2187 C ．2188 D ．﹣2187 【考点】二项式系数的性质．【分析】由于（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7，令x=2可得：（m +2）7=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，于是m=1．进而得到|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37．【解答】解：∵（m +x ）7=a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 7（1﹣x ）7， ∴令x=2可得：（m +2）7=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37，∴m=1．∴（1+x ）7=[2﹣（1﹣x ）]7=++…﹣，∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…﹣a 7=37=2187．故选：B ．10．设直线y=k （x ﹣2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=16x 交于A 、B 两点，点F 为直线与x 轴的交点，且=2，则k 的值为（ ）A ．B ．8C ．D ．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设点A ，B 的坐标，将直线方程与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，运用韦达定理，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中解方程即可得到k 的值．【解答】解：直线y=k （x ﹣2）与抛物线C ：y 2=16x 联立， 可得k 2（x ﹣2）2﹣16x=0，即为k 2x 2﹣（4k 2+16）x +4k 2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），F（2，0），可得x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=，①即有=（2﹣x1，﹣y1），=（x2﹣2，y2），由=2，可得，即，②①②联立可得，x2=，y2=﹣，代入抛物线方程y2=16x可得=16•，化简可得2k2=32，由k＞0可得k=4．故选：D．11．已知定义在R上的函数f（x）满足：①图象关于点（1，0）对称；②f（x）关于x=﹣1对称；③当∈[﹣1，1]时，f（x）=，则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]内的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数零点的判定定理．【分析】由①可得f（x）+f（2﹣x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[﹣3，﹣1]上的解析式，画出f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即可得到零点的个数．【解答】解：由题意可得f（x）+f（2﹣x）=0，当1≤x≤2时，0≤2﹣x≤1，f（2﹣x）=cos（2﹣x）=﹣cos x，则f（x）=﹣f（2﹣x）=cos x；当2＜x≤3时，﹣1≤x＜0，f（2﹣x）=1﹣（2﹣x）2，则f（x）=﹣f（2﹣x）=（2﹣x）2﹣1．由②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），即为f（x）=f（﹣x﹣2），当﹣3≤x≤﹣2时，0≤﹣2﹣x≤1，f（﹣2﹣x）=cos（﹣2﹣x）=﹣cos x，则f（x）=﹣f（﹣2﹣x）=﹣cos x；当﹣2＜x≤﹣1时，﹣1≤﹣2﹣x＜0，f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2，则f（x）=f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2．y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点即为y=f（x）和y=（）|x|在[﹣3，3]的交点个数．作出y=f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即有5个零点．故选：C．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），，若a3=4，则m的所有可能取值为（）A．{6， } B．{6，， }C．{6，， }D．{6， }【考点】数列递推式．【分析】对m分类讨论，利用递推关系即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=m（m＞0），，a3=4，①若m＞2，则a2=m﹣1＞1，∴a3=m﹣2=4，解得m=6．②若m=2，则a2=m﹣1=1，∴a3==1≠4，舍去．③若1＜m＜2，则a2=m﹣1∈（0，1），∴a3==4，解得m=．④若m=1，则a2==1，∴a3=≠4，舍去．⑤若0＜m＜1，则a2==＞1，∴a3=a2﹣1=﹣1=4，解得m=．综上可得：m∈．故选：C．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=x++2a﹣1为奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（﹣1）=f（1）列方程即可解出a．【解答】解：∵函数f（x）=x++2a﹣1为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．∴﹣1﹣1+2a﹣1=﹣（1+1+2a﹣1），即2a﹣3=﹣1﹣2a，解得a=．故答案为：．14．若函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（x∈R，ω＞0）的最小正周期为，则ω等于2．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，利用三角函数周期公式即可计算得解．【解答】解：∵f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+=sin2ωx﹣•+=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T==，可得：ω=2．故答案为：2．15．如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2，E为BC边上一点，=3，F为线段AE的中点，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取AB的中点G，连接DG，CG，利用向量相等将，分别用向量，表示，然后进行向量的乘法运算即可．【解答】解：取AB的中点G，连接DG，CG，如图则DG∥BC，所以，所以==，所以=，所以==；故答案为：．16．若a∈（，4），将函数f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=g（x）的最小值为m，且m＞2+，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据C1推出C2，由C2推出g（x），再算出=（﹣）•2x++2，利用基本不等式即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x﹣2﹣，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=﹣2x﹣2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=﹣2x﹣2+2，∴F（x）=+g（x）=﹣+﹣2x﹣2+2=（﹣）•2x++2，∴﹣＞0，4a﹣1＞0，∵2x＞0，∴F（x）≥2+2，∵F（x）最小值为m且m＞2+，∴m=2+2＞2+，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足=﹣．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求b+c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理进行化简即可求角A的大小；（2）由正弦定理可得=，可得b+c=（sinB+sinC）=sin（+C），再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵=﹣，∴=﹣=﹣，即2sinBcosA+cosAsinC=﹣sinAcosC，即2sinBcosA=﹣（sinAcosC+cosAsinC）=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosA=﹣，即A=；（2）由正弦定理可得=．∴b+c=（sinB+sinC）= [sin（﹣C）+sinC]=sin（+C），∴＜C +＜，∴＜sin （C +）≤1，∴2＜sin （+C ）≤，故b +c 的取值范围为：（2，]．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 、G 分别为线段BC 、PA 、AB 上的点，H 为△PCD 的重心，PA=AB=3，FA=BG=CE=1． （1）求证：BF ∥平面PDE ；（2）求异面直线GH 与PE 所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF ∥平面PDE ．（2）求出，，利用向量法能求出异面直线GH 与PE 所成角的余弦值． 【解答】证明：（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，B （3，0，0），F （0，0，1），P （0，0，3），E （3，2，0），D （0，3，0），=（﹣3，0，1），=（0，3，﹣3），=（3，2，﹣3），设平面PDE 的法向量为=（x ，y ，z ），则，取y=3，得=（1，3，3），∵=﹣3+0+3=0，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE ．（2）C （3，3，0），G （2，0，0），CD 中点M （，3，0），=（），∴==（1，2，﹣2），∴H （1，2，1），=（﹣1，2，1），=（3，2，﹣3）， 设异面直线GH 与PE 所成角为θ，则cos θ===．∴异面直线GH与PE所成角的余弦值为．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，得到如图的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，①求这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率；②求这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）设40名广场舞者年龄的中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x ﹣50）=0.5，由此能求出中位数的估计值为55．利用频率分布直方图能求出40名广场舞者年龄的平均数的估计值．（3）①由频率分布直方图求出年龄在[20，30）的广场舞者有2人，年龄在[30，40）的广场舞者有4人，从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，由此能求出这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率．②这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及其数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图得到年龄分布在[40，70）的频率为：（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，∴估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：40×0.75=30（名）．（2）设40名广场舞者年龄的中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×（x﹣50）=0.5，解得x=55，即中位数的估计值为55．40名广场舞者年龄的平均数的估计值：=0.005×10×25+0.010×10×35+0.020×10×45+0.030×10×55+0.025×10×65+0.010×10×75=54．（3）①由频率分布直方图得年龄在[20，30）的广场舞者有0.005×10×40=2人，年龄在[30，40）的广场舞者有0.01×10×40=4人，从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，基本事件总数n==15，这2名广场舞者年龄不都在[20，30）包含的基本事件个数m==8，∴这2名广场舞者年龄不都在[20，30）的概率p==．②这两名广场舞者中年龄在[30，40）的人数X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴EX==．20．已知椭圆E： +=1（a＞0），P（，﹣）是椭圆E上的一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l与椭圆相交于B、C两点，且满足k OB•k OC=﹣，O为坐标原点，求证：△OBC的面积为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用P （，﹣）是椭圆E 上的一点，代入椭圆方程，解出a ，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由斜率的公式，化简可得t 2=2+4k 2，再由点到直线的距离公式，即可得到△OBC 的面积为定值．【解答】（1）解：∵P （，﹣）是椭圆E 上的一点，∴+=1，∴a=2，∴椭圆E 的方程为+=1；（2）证明：当直线l 的斜率不存在，令x=m ，代入椭圆方程，可得y=±2，由k OB •k OC =﹣，可得=﹣，解得m=±2，交点为（2，±）或（﹣2，±），即有△OBC 的面积为×2×2=2；当斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx +t ，代入椭圆方程x 2+2y 2=8， 可得（1+2k 2）x 2+4ktx +2t 2﹣8=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，|x 1﹣x 2|==，由k OB •k OC =﹣，可得x 1x 2+2y 1y 2=0，由y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ， 可得（1+2k 2）x 1x 2+2kt （x 1+x 2）+2t 2=0，即有（1+2k 2）•+2kt （﹣）+2t 2=0，化简可得，t 2=2+4k 2，即有|x 1﹣x 2|=，原点到直线y=kx +t 的距离为d=，可得△OBC 的面积为S=d |BC |=••=2．总是可得△OBC 的面积为定值2．21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax +a ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）讨论函数f （x ）的单调性，并写出对应的单调区间；（2）设b ∈R ，若函数f （x ）≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）通过函数f （x ），得f ′（x ），然后结合f ′（x ）与0的关系对a 的正负进行讨论即可；（2）对a 的正负进行讨论：当a ＜0时，f （x ）≥b 不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a ＞0时，由题结合（1）得ab ≤2a 2﹣a 2lna ，设g （a ）=2a 2﹣a 2lna （a ＞0），问题转化为求g （a ）的最大值，利用导函数即可． 【解答】解：（1）由函数f （x ）=e x ﹣ax +a ，可知f ′（x ）=e x ﹣a ， ①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在R 上单调递增； ②当a ＞0时，令f ′（x ）=e x ﹣a=0，得x=lna ，故当x ∈（﹣∞，lna ）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减； 当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f （x ）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）； 当a ＞0时，函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，lna ），单调递增区间为（lna ，+∞）； （2）由（1）知，当a ＜0时，函数f （x ）在R 上单调递增且当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞，∴f （x ）≥b 不可能恒成立； 当a=0时，此时ab=0；当a ＞0时，由函数f （x ）≥b 对任意x ∈R 都成立，可得b ≤f min （x ）， ∵f min （x ）=2a ﹣alna ，∴b ≤2a ﹣alna ，∴ab ≤2a 2﹣a 2lna ， 设g （a ）=2a 2﹣a 2lna （a ＞0），则g ′（a ）=4a ﹣（2alna +a ）=3a ﹣2alna ，由于a ＞0，令g ′（a ）=0，得，故，当时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；当时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减．所以，即当，时，ab 的最大值为．请考生在22.23.24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F ． （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆．（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG=1，GA=3，求线段CE 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD，从而得到∠C+∠DGE=180°，由此能证明C，E，G，D四点共圆．（Ⅱ）由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则∠AGD=∠ABD，∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°∴∠C=∠AGD，∴∠C+∠DGE=180°，∴C，E，G，D四点共圆．…..（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB2，EG=1，GA=3，∴EB=2，又∵F为EB的三等分点且靠近E，∴，，又∵FG•FD=FE•FC=FB2，∴，CE=2．…．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=．（1）求圆锥曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）若直线l交圆锥曲线C于M，N两点，求|MN|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数化为普通方程．圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=，化为3ρ2+（ρsinθ）2=12，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入椭圆的直角坐标方程可得：13t2﹣12t﹣36=0，利用|MN|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数化为：x﹣y+1=0．圆锥曲线C的极坐标方程为ρ2=，化为3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即+=1．（2）把直线l的参数方程代入椭圆的直角坐标方程可得：13t2﹣12t﹣36=0，∴t1+t2=，t1t2=．由于直线经过焦点（﹣1，0）．∴|MN|=|t1﹣t2|===．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣3|，g（x）=．（1）m＞﹣3时，若不等式f（x）≥8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），求实数m的值：（2）若存在实数x0，使得g（x0）＞log（3t+1）成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得当x=﹣3时，f（x）=8，且x=5时，f（x）=8，从而求得实数m 的值．（2）由题意可得，函数g（x）=＞log（3t+1）在[﹣2，6]上有解，利用两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质求得g（x）的最大值为8，可得8＞log（3t+1），由此求得t的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+m|+|x﹣3|，当m＞﹣3时，不等式f（x）≥8的解集为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），∴当x=﹣3时，f（x）=8，且x=5时，f（x）=8，即|﹣3+m|+6=8，且|5+m|+2=8，∴m=1．（2）∵g（x）=的定义域为[﹣2，6]，存在实数x0，使得g（x0）＞log（3t+1）成立，则g（x）=＞log（3t+1）在[﹣2，6]上有解．∵g（x）==（，）•（，1）≤•=8，当且仅当=时，即x=5时，等号成立，故g（x）=的最大值为8，∴8＞log（3t+1），∴0＜3t+1＜=16，∴﹣＜t＜5．2016年9月19日。

，则表示复数已知向量5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．7 B．15 C．31D. 63已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（A．8πB．3π9.设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40（1点重合（如图所示）。

将矩形折叠，使A点落在线段DC上。

（1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（2）求折痕的长的最大值。

0<g(a)+g(b)-2g(是圆内接四边形，∠5cos()5sinθθθ为参数相交于A、BAB的方程(2)若不等式f(x)－mx≥0的解集非空，求m的取值范围．图5====2示的点是作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：，由图象可知当直线2 3=|AF【解析】由题意知先使五个人的全排列，共有种结果，去掉相同颜色衣服的人都相邻的情况，再去掉仅穿蓝色衣服的人的相邻和仅穿穿黄色衣服的人相邻两种情况，从而求得结果．由题意知先使五个人的全排列，共有种结果．穿相同颜色衣服的人都相邻的情况有种（相邻的看成一整体）当穿兰色衣服的相邻，而穿黄色衣服的人不相邻，共有种（相邻的看成一整体，不相邻利用插空法）穿黄色衣服的相邻，而穿蓝色衣服的人不相邻，也共有种，∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是--2=48【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：AC=AB AE=AC AF=ABABE中，由余弦定理得：BE=AB+AE（AB2AB•AB•cosA=AB2-AB在△ACF中，由余弦定理得：CF+AC2AF•AC•cosA（AB（AB2•AB•AB•cosA=AB-AB∴==，∴==，取最小值时，比值最大，∴当A→π，此时达到最大值，最大值为=，则恒成立，的最小值为．=0S=【答案】[来源【解析】根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展底面边长为，高为由题意可得：三棱柱上下底面中心连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，正三棱柱的外接球的球心为，外接球的半径为，根据,,可知,.的整点为，共有的整点为，共有∴。