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立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。
在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。
本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。
一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。
要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。
通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。
2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。
这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。
3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。
常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。
通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。
二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。
根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。
2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。
这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。
通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。
3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。
两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。
通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。
三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。
通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。
2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。
方法技巧专题05立体几何中平行与垂直证明平行与垂直证明是立体几何中的重要内容之一，本文将介绍一些方法和技巧用于解决平行与垂直的证明问题。
一、平行性的证明方法：1.公共光线法：如果两条直线分别与第三条直线相交，在相交点处的两个对应的内角相等，则这两条直线是平行的。
例如，如果直线AB和CD都与直线EF相交，在交点F处的∠AFC=∠DFB，则AB，CD。
2.反证法：假设AB和CD不平行，然后通过构造形式，证明得到矛盾。
例如，如果直线AB和CD不平行，则可以证明存在一条直线EF与这两条直线分别相交于F和G，且所形成的内角∠FAG=π/2-∠DAF≠π/2，则与直线EF平行，这是与已知条件矛盾的，所以AB，CD。
3.平行线性质法：利用平行线的性质来证明其他线段平行。
例如，根据平行线的交角性质可证明，如果一条直线与一对平行线之一形成等于直角的角，则与另一条平行线也形成等于直角的角。
二、垂直性的证明方法：1.垂直线性质法：利用垂直线的性质来证明其他线段垂直。
例如，如果直线AB与直线CD相交于点E，且∠AED=∠BEC=π/2，则直线AB垂直于直线CD。
2.垂直线段法：如果两条线段的斜率之积为-1，则这两条线段垂直。
例如，如果直线AB和直线CD的斜率之积为-1，则AB⊥CD。
3.反证法：假设AB和CD不垂直，然后通过构造形式，证明得到矛盾。
例如，如果直线AB和CD不垂直，则可以证明存在一条直线EF与这两条直线相交于点G，且所形成的两个内角∠GAC和∠GDB之和小于π/2，这与直线EF垂直的性质矛盾，所以AB⊥CD。
综上所述，平行与垂直证明可以通过公共光线法、反证法、平行线性质法、垂直线性质法、垂直线段法等方法和技巧来解决。
在实际问题中，可以根据已知条件选择合适的方法和技巧，灵活运用来解决平行与垂直的证明问题。
c c ∥∥b a ba ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
是一份不可多得的好资料。
一、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
4)利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5) 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6) 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
abαβba a =⋂⊂βαβα∥ba ∥⇒b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒αab7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1) 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2) 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（三）平面与平面平行的证明常见证明方法：1) 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
αbaβαaβαα∥⊂a β∥a ⇒ααββ////∩⊂⊂b a P b a b a =αβ//⇒αβbaPb∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点二、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
培优点十五平行垂直关系的证明
．平行关系的证明
例：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中点．
求证：
（）平面；
（）平面平面．
【答案】（）见解析；（）见解析．
【解析】证明（）如图，取的中点，连接，，
因为，所以，所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面．
（）由题意可知．连接，，
因为，所以四边形是平行四边形，故
又，，所以平面平面．
．垂直关系的证明
例：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，
．
（）求证：平面；
（）求证：平面；
（）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（）见解析；（）见解析；（）存在，．
【解析】（）证明：连接与，两线交于点，连接．
在中，∵，分别为，的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（）证明：∵侧棱底面，平面，∴，
又∵为棱的中点，，∴．
∵，，平面，∴平面，∴
∵，∴．又∵，∴在和中，
，
∴，
即，∴
∵，，平面，∴平面．
（）解：当点为的中点，即时，平面平面
证明如下：
设的中点为，连接，，∵，分别为，的中点，∴，。
高考数学平行垂直知识点高考数学中的平行垂直知识点高考是每个学生都无法绕过的一道坎。
而在这道坎上，数学一直被视为是考试重点科目之一。
其中，平行和垂直是数学中非常重要的概念和知识点。
在高考中，我们经常会遇到与平行垂直相关的问题。
本文将深入探讨高考数学中的平行垂直知识点。
一、平行线及其判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否平行：同一平面内，有且只有一对内角相等；同一平面内，有且只有一对对应角相等。
这两个条件可以帮助我们判定平面内任意两条直线的平行关系。
除了判定平行关系外，我们还经常会遇到一些与平行线相关的问题。
例如，两条平行线所夹的角等于180°减去这两条平行线与另一直线的两个内角，这个公式被广泛应用于解决许多与平行线夹角有关的题目。
二、垂直线及其判定垂直线是指在同一个平面上，相交沿特定角度交相垂直的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否垂直：两条直线的斜率乘积为-1；同一平面上，一条直线与另一直线的两个内角相加等于二直角的度数（90°）。
在实际应用中，我们还经常会用到垂直线的性质。
例如，在求解垂直线段的问题中，我们可以利用勾股定理来计算两条垂直线段之间的关系。
此外，我们还会遇到一些根据垂直线的性质来推论的问题，需要我们根据给定条件进行推断。
三、平行线与垂直线的性质平行线和垂直线在几何中有许多重要的性质。
其中，平行线的性质主要包括：平行线之间的夹角相等；两个平行线被一条横穿线切割，所形成的对应角、内错角以及同旁内角是相等的。
这些性质在解题过程中经常会被用到，它们帮助我们更好地理解平行线的特性。
垂直线的性质则包括：垂直直线之间的夹角为直角（90°）；两条直线互相垂直，其中一条直线上的一条直线与另一条直线上的互相垂直。
这些性质在解决垂直问题时也起着重要的作用，它们可以帮助我们确定直角关系并简化问题。
在几何学中，垂直关系和平行关系是两个非常重要且常见的概念。
通过证明这两个关系，我们能够推导出更多的几何性质和定理。
首先，让我们来讨论垂直关系。
两条线段或线的垂直关系意味着它们的夹角为90度。
要证明两条线段或线垂直，可以使用垂直角定理、垂直平分线定理、垂直直线定理等方法。
垂直角定理指出，如果两条线段或线的夹角为90度，则它们是垂直的。
反之，如果两条线段或线是垂直的，它们的夹角一定为90度。
通过证明两个夹角相等为90度，我们可以得出这两条线段或线是垂直的。
垂直平分线定理指出，如果一条线段的中垂线与另一条线段相交于一个点，并且这个点到两条线段的两个端点的距离相等，则这两条线段是垂直的。
通过证明这些条件，我们可以得出这两条线段是垂直的。
垂直直线定理指出，如果两条线段或线与一条直线相交，并且相交处的内角和为180度，则这两条线段或线是垂直的。
通过证明这个条件，我们可以得出这两条线段或线是垂直的。
接下来，让我们转向平行关系。
两条线段或线的平行关系意味着它们永远不会相交。
要证明两条线段或线平行，可以使用平行直线定理、平行线条理论、平行线的判定等方法。
平行直线定理指出，如果一条直线与两条平行线相交，则这两条平行线之间的夹角和另外两条直线的夹角相等。
通过证明这个条件，我们可以得出这条直线与两条平行线是平行的。
平行线条理论指出，如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两组相交角的对应角相等，则这两条直线是平行的。
通过证明这个条件，我们可以得出这两条直线是平行的。
平行线的判定中，有一条重要定理叫做同位角定理。
同位角定理指出，如果两条直线被一条横截线切割，并且同位角相等，则这两条直线是平行的。
通过证明这个条件，我们可以得出这两条直线是平行的。
在几何证明中，垂直关系和平行关系是建立其他性质和定理的基础。
通过运用垂直关系和平行关系的证明方法，我们能够推导出更多的几何定理，从而丰富了几何学的知识体系。
总之，几何证明中的垂直关系和平行关系是非常重要和常见的概念。
三角形的中位线平行且相等于底边的一半。
（三b β⎪=⎭如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那⎪=⇒⎬⎪=⎭a b γγ垂直于同一个平面的两条直线平行。
（线面平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，线中的一条平行于这个平面，则另一条也与这个平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平////b P a b αα⎪⇒=⎬⎪⎪⎪⎭一、证明线线垂直说明：证明线线垂直的方法有很多，要善于抓住题意中的“垂直信息”. 常用的垂直信息有：①若两条直线所成的角为90︒，则这两条直线垂直。
（线线垂直的定义，包括相交垂直和异面垂直）②一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任一直线。
（线面垂直的性质）符号：⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ll a aαα③若题意中出现线段的长度，则验证三角形的三边是否满足勾股定理，若满足，则两短边互相垂直。
④若题意中出现类似“AB是圆O的直径，点C是圆周上不同于A、B的任意一点”的情况，则必有AC BC⊥。
⑤若题意中出现“直棱柱”、“正方体”、“长方体”，则其侧棱垂直于底面，再结合②。
⑥若题意中出现“等腰三角形”、“等边三角形”、“正三角形”，则底边的中线垂直于底边。
⑦若题意中出现“菱形”、“正方形”，则其对角线互相垂直。
二、证明线面垂直①一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（线面垂直的判定定理）符号：mnam n Pa ma nααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⇒⊥=⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭②两条直线平行，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
符号：//a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭③两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（面面垂直的性质定理）符号：⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭laaa lαβαβαβ④一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也与另一个平面垂直。
三、证明面面垂直①一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
（面面垂直的判定定理）符号：aaααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭②两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。
【最新】2019年高考数学专题十五平行垂直关系的证明精准
培优专练理
1．平行关系的证明
例1：如图，，，，分别是正方体的棱，，，的中
求证：
（1
（2
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】证明（1
因为，所以，所以四边形为平行四边形，故，
（2
2．垂直关系的证明
例2：如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中
（1
（2（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】（1（2∵，∴．又∵，∴在和中，，
19A M A C A C ∠+∠=1
A M M =（3）解：当点为的中点，即时，平面平面证明如下：
设的中点为，连接，，∵，分别为，的中点，∴，
1D M C C ∥
且．又∵为的中点，∴，且，1
2
D M
=
∴四边形为平行四边形，∴，B N D M ∵平面，∴平面．又∵平面，B M ⊥。
平行与垂直的证明一、线线平行的证明方法：①平行于同一直线的两直线平行。
②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
④垂直于同一平面的两直线平行。
⑤向量法1、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F、G分别为棱AB、PD、PC的中点．求证：AF∥EG二、线线垂直的证明方法：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
④一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
⑤向量法1、如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。
点A、B在上，C在上，。
证明⊥2、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F、G分别为棱AB、PD、PC的中点．AF∥EG求证：（1）AF⊥PC（2）EF⊥FC（3）EG的射影⊥CD3、线面平行的证明方法：①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
③向量法1、如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．求证：平面4、线面垂直的证明方法：①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
1.如图，三棱柱中，平面平面ABC ，平面平面ABC ，，。
求证：平面ABC2.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F、分别为棱AB、PD的中点．AF∥EG求证：EG⊥面PCD3、在正三棱锥D-ABC中，F、G、H分别是三条楞的中点，E是底面的中心，求证，DE⊥面FGH5、面面平行的证明方法：①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
立体几何(垂直关系的证明)1. 什么是垂直关系垂直关系是指两条线、两个平面或者一条线和一个平面之间的互相垂直的关系。
在立体几何中，垂直关系是非常重要的，它涉及到角度、边长和面积等概念。
2. 垂直关系的证明方法证明两条线或者一个线和一个平面垂直可以采用不同的方法，以下是一些常见的证明方法：2.1. 利用垂直的性质证明当两个线段的斜率乘积为-1时，这两个线段就互相垂直。
这是一个常用的方法来证明两条直线的垂直关系。
例如，如果两条直线的斜率分别为m1和m2，并且m1 * m2 = -1，则可以证明这两条直线是垂直的。
2.2. 利用垂直线段的性质证明对于一个平面内的几条垂直线段来说，其平分线是相交于一个点，并且平分线与原始线段之间的夹角为90度。
这可以用来证明两条线段是垂直的。
2.3. 利用垂直平分线的性质证明对于一个多边形来说，如果一条线段能够将另外两条线段的中点连接起来并且垂直于它们，那么这条线段就是垂直于这两条线段的平分线。
这个原理可以用来证明线段和平面的垂直关系。
2.4. 利用垂直距离的性质证明如果一个点到一直线的距离为0，并且这个点在另外一条直线上，那么这两条直线是垂直的。
这个方法可以用来证明直线和平面的垂直关系。
3. 如何选择合适的证明方法在选择合适的证明方法时，需要根据具体问题的要求和条件进行判断。
通常来说，可以根据已知的条件和所需证明的结论来选择并结合不同的证明方法。
4. 总结在立体几何中，垂直关系的证明是一个重要的内容。
通过掌握不同的证明方法，我们可以更好地理解和应用垂直关系，进一步深入研究立体几何的问题。
培优点十五 平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点． 求证：（1）EG ∥平面11BB D D ；（2）平面BDF ∥平面11B D H ．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC，1AA ．（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥3．给出下列四种说法：①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥；②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥；③若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β∥；④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥（2）n m ∥，n m αα⊥⇒⊥（3）αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥（4）m α⊥，m n n α⊥⇒∥A ．0个B ．1个C ．2个D ．35．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．MN AP ∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BBD D ∥平面D ．MN BDP ∥平面 6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，则αβ∥． 其中真命题是（ ）A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（ ）．A ．BD CE ⊥B ．EF ABCD ∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等 9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN AB ∥B ．MN 与BC 所成的角为45︒ C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题： ①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒．其中正确的命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①④12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，，，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥；③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥．以上四个命题中，正确命题的序号是_________．15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，AD =E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD ∥③当A C 、重合于点P 时，PG PD ⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形．且PA =（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．（1）求证：BC AF ⊥；（2）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ；（3）求证：AF ⊥平面EBC ．。
培优点十五 平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC ，1CC ，11C D ，1AA 的中点．求证：（1）EG ∥平面11BB D D ；（2）平面BDF ∥平面11B D H ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取11B D 的中点O ，连接GO ，OB ，因为1112OG B C BE ∥∥，所以BE OG ∥，所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB EG ∥， 因为OB ⊂平面11BB D D ，EG ⊄平面11BB D D ，所以EG ∥平面11BB D D ．（2）由题意可知11BD B D ∥．连接HB ，1D F ， 因为1BH D F ∥，所以四边形1HBFD 是平行四边形，故1HD BF ∥ 又1111=B D HD D ，=BD BF B ，所以平面BDF ∥平面11B D H ．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，12AA（1）求证：1B C ∥平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12． 【解析】（1）证明：连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ．在1B AC △中，∵M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，∴1OM B C ∥，又∵OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，∴1B C ∥平面1A BM ．（2）证明：∵侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1AA BM ⊥，又∵M 为棱AC 的中点，=AB BC ，∴BM AC ⊥．∵1=AA AC A ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，∴BM ⊥平面11ACC A ，∴1BM AC ⊥ ∵=2AC ，∴=1AM ．又∵12AA ，∴在1Rt ACC △和1Rt A AM △中，11tan tan 2AC C A MA ∠==∴11AC C A MA ∠∠＝， 即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=︒，∴11A M AC ⊥ ∵1BM A M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，∴1AC ⊥平面1A BM ．（3）解：当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，∵D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，∴1DM CC ∥，且112DM CC =．又∵N 为1BB 的中点，∴DM BN ∥，且DM BN =， ∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM DN ∥，∵BM ⊥平面11ACC A ，∴DN ⊥平面11AA C C ．又∵DN ⊂平面1AC N ，∴平面1AC N ⊥平面11AA C C ．一、单选题1．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交m ⇒与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ⇒与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m n ，分别为11A C BD ，，对点增分集训满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为111A D AD ，，m n ，分别为111A C BD ，，满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥， 该说法错误；对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC BD ，，m n ，分别为11AC BD ，，满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；对于说法④：若取平面α为11ADD A ， 1m 、1n 分别为11A D AD ，，m 、n 分别为11A C BC ，，满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D 选项．2．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥【答案】D【解析】对于选项A ，若l m ⊥，l n ⊥，且m n α⊂，，则l 不一定垂直平面α，∵m 有可能和n 平行，∴该选项错误；对于选项B ，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α、β可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C ，若m m n α⊥⊥，，则n 有可能在平面α内，∴该选项错误；对于选项D ，由于两平行线中有一条垂直平面α，则另一条也垂直平面α，∴该选项正确，故答案为D ．3．给出下列四种说法：①若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ∥；②若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ∥；③若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β∥；④若直线a α∥，a β∥，则αβ∥．其中正确说法的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】D【解析】若平面αβ∥，直线a b αβ⊂⊂，，则a b ，可异面；若直线a b ∥，直线a α∥，直线b β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线； 若直线a α∥，a β∥，则αβ，可相交，此时a b ，平行两平面的交线；若平面αβ∥，直线a α⊂，则a β与无交点，即a β∥；故选D ．4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（ ）（1）m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥（2）n m ∥，n m αα⊥⇒⊥（3）αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥（4）m α⊥，m n n α⊥⇒∥A ．0个B ．1个C ．2个D ．3 【答案】B【解析】由m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，若a b ，相交，则可得αβ∥，若a b ∥，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m n ∥，n α⊥根据线面垂直的第二判定定理可得m α⊥，故（2）正确；若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m n ，异面，故（3）错误；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故（4）错误；故选B ．5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是1111C D BC A D ，，的中点，则下列命题正确的是（ ）A ．MN AP ∥B ．1MN BD ∥C ．11MN BBD D ∥平面D ．MN BDP ∥平面 【答案】C【解析】A ：MN 和AP 是异面直线，故选项不正确；B ：MN 和1BD 是异面直线，故选项不正确；C ：记AC BD O =．∵正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别11C D BC ，是的中点，∴1ON D M CD ∥∥，112ON D M CD ==，∴1MNOD 为平行四边形，∴1MN OD ∥， ∵MN ⊄平面1BD D ，1OD ⊂平面1BD D ，∴MN ∥平面1BD D ．D ：由C 知11MN BB D D ∥平面，而面11BB D D 和面BDP 相交，故选项不正确；故选C ．6．已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若αβ，垂直于同一平面，则αβ与平行B ．若m n ，平行于同一平面，则m n 与平行C ．若αβ，不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m n ，不平行，则m n 与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确．故选D ．7．已知m n ，是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；②若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥；③若m n m n αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，则αβ∥．其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥，命题正确；②如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβγ，，分别为平面1111ABB A ADD A ABCD ，，，满足αγβγ⊥⊥，，但是不满足αβ∥，命题错误；③如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面αβ，分别为平面1111ABB A ADD A ，， 直线m n ，分别为11BB DD ，，满足m n m n αβ⊂⊂，，∥，但是不满足αβ∥，命题错误；④若m n ，是异面直线，m m n n αββα⊂⊂，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知αβ∥，命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D 选项．8．如图，正方体的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E F ，，且2EF =；则下列结论错误的是（ ）．A ．BD CE ⊥B ．EF ABCD ∥平面C ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF △的面积与CEF △的面积相等 【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11A ACC ，而CE ⊂平面11A ACC ，故BD CE ⊥，故A 正确．又11A C ∥平面ABCD ，因此EF ∥平面ABCD ，故B 正确．当EF 变化时，三角形CEF 的面积不变，点B 到平面CEF 的距离就是B 到平面11A CCC 的距离，它是一个定值，故三棱锥E FBC -的体积为定值（此时可看成三棱锥B CEF -的体积），故C 正确．在正方体中，点B 到EF 的距离为6，而C 到EF 的距离为1，D 是错误的，故选D ． 9．如图所示，AB 是圆O 的直径，VA 垂直于圆O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A B ，的任意一点，M N ，分别为VA VC ，的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN AB ∥B ．MN 与BC 所成的角为45︒ C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC【答案】D【解析】对于A 项，MN 与AB 异面，故A 项错；对于B 项，可证BC ⊥平面VAC ，故BC MN ⊥，∴所成的角为90︒，因此B 项错； 对于C 项，OC 与AC 不垂直，∴OC 不可能垂直平面VAC ，故C 项错；对于D 项，由于BC AC ⊥，VA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴VA BC ⊥，∵=AC VA A ，∴BC ⊥平面VAC ，BC ⊂平面VBC ，∴平面VAC ⊥平面VBC ，故选D ．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E【答案】C 【解析】对于A 项，1CC 与1B E 在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A 错；对于B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC ⊥平面11ABB A 不可能，∴B 错； 对于C 项，∵AE ，11B C 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C 正确；对于D 项，∵11A C 所在的平面与平面1AB E 相交，且11A C 与交线有公共点，故11A C ∥平面1AB E 不正确，∴D 项不正确；故选C ．11．设E F ，分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且21AB EF ==，，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值；②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒；③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1B EF 所成的角为60︒．其中正确的命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①④【答案】A【解析】由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为11111111112223323D B EF B D EF D EF V V S B C EF --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△，∴体积为定值；②中，在正方体中，11EF C D ∥，∴异面直线11D B 与EF 所成的角就是直线11D B 与11C D 所成的角，即11145B D C ∠=︒，∴这正确的；③中，由②可知，直线11D B 与EF 不垂直，∴11D B ⊥面1B EF 不成立，∴是错误的； ④中，根据斜线与平面所成的角，可知11D B 与平面1B EF 所成的角，即为11145B D C ∠=︒，∴不正确．12．如下图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，145AD AB AD AB BCD ==⊥∠=︒，，，将ABD △沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '．其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 【答案】B【解析】①∵90BAD AD AB ∠=︒=，，∴45ADB ABD ∠=∠=︒，∵45AD BC BCD ∠=︒∥，，∴BD DC ⊥，∵平面A BD '⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =，∴CD ⊥平面A BD '， ∵A D '⊂平面A BD '，∴CD A D ⊥'，故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥A BCD '-的体积为11222232⋅= ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又∵A B '⊂平面A BD '，∴CD A B ⊥'，又A B A D '⊥'，且A D '、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，∴A B '⊥平面A DC '，又A B '⊂平面A BC '，∴平面A BC '⊥平面A DC '，故④正确．故选B ．二、填空题13．设m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，m β∥，则αβ∥；③若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；④若m α∥，αβ⊥，则m β⊥．【答案】③【解析】m α∥，n α∥，则m n ∥，m 与n 可能相交也可能异面，∴①不正确； m α∥，m β∥，则αβ∥，还有α与β可能相交，∴②不正确；m n ∥，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故③正确；m α∥，αβ⊥，则m β⊥，也可能m β∥，也可能m A β=，∴④不正确；故答案为③．14．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论①AB EF ⊥；②AB 与CM 所成的角为60︒；③EF 与MN 是异面直线；④MN CD ∥． 以上四个命题中，正确命题的序号是_________．【答案】①③【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图：则AB EF ⊥，EF 与MN 异面，AB CM MN CD ⊥∥，，只有①③正确．故答案为①③．15．若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB CD AC BD AD BC ===，，，给出下列结论：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大90︒而小于180︒；④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号）【答案】②④【解析】①将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，∴平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，∴同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误；②四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确；③由②，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180︒．③错误； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确，故答案为②④．16．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB =，102AD =，E F ，分别为AD BC ，的中点，现分别将ABE △，CDF △沿BE DF ，折起，且A C 、在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是____________（写出所有正确命题的序号）．①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE CD ∥③当A C 、重合于点P 时，PG PD ⊥④当A C 、重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π【答案】①④【解析】在ABE △中，2tan ABE ∠=，在ACD △中，2tan CAD ∠=， ∴ABE DAC ∠=∠，由题意，将ABE CDF △，△沿BE DF ，折起，且A C ，在平面BEDF 同侧，此时A C G H ，，，四点在同一平面内，平面ABE平面AGHC AG =， 平面CDF 平面AGHC CH =，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG CH ∥，显然AG CH =，∴四边形AGHC 是平行四边形，∴AC GH ∥，进而得到AC ∥平面BFDE ，∴①正确的；由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，∴AE 与CD 不平行，∴②错误的； 折叠后，可得103PG =10PD =，其中10GD =，222PG PD GD +≠， ∴PG 和PD 不垂直，∴③不正确；当,A C 重合于点P 时，在三棱锥P DEF -中，EFD △和FCD △均为直角三角形， ∴DF 为外接球的直径，即562DF R ==， 则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为225644150R π=π⨯=π⎝⎭，∴④是正确， 综上正确命题的序号为①④．三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形． 且23PA =．（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求四面体A CDE -的体积．【答案】（1）见解析；（2）89． 【解析】（1）证明：∵AB AD ⊥，且2AB AD ==，∴22BD =，又PBD △为正三角形，∴22PB PD BD ===，又∵2AB =，23PA =，∴AB PB ⊥， 又∵AB AD ⊥，BC AD ∥，∴AB BC ⊥，PBBC B =，∴AB ⊥平面PBC ，又∵AB ⊆平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ．（2）如图，连接BD ，AC 交于点O ，∵BC AD ∥，且2AD BC =，∴2OD OB =，连接OE ，∵PB ∥平面ACE ，∴PB OE ∥，则2DE PE =，由（1）点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离为24233h =⨯=， ∴111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△， 即四面体A CDE -的体积为89． 18．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，4AB =，2AE =，1EF =．（1）求证：BC AF ⊥；（2）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =，求证：EM ∥平面FBC ； （3）求证：AF ⊥平面EBC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）∵EF AB ∥，∴EF 与AB 确定平面EABF ，∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA BC ⊥．由已知得AB BC ⊥且=EAAB A ， ∴BC ⊥平面EABF ．又AF ⊂平面EABF ，∴BC AF ⊥．（2）过M 作MN BC ⊥，垂足为N ，连接FN ，则MN AB ∥．又14CM AC =，∴MN AB =．又EF AB ∥且14EF AB =，∴EF MN ∥且EF MN =，∴四边形EFNM 为平行四边形，∴EM FN ∥． 又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，∴EM ∥平面FBC ．（3）由（1）可知，AF BC ⊥．在四边形ABFE 中，4AB =，2AE =，1EF =，90BAE AEF ∠=∠=︒， ∴1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠． 设AF BE P =，∵90PAE PAB ∠+∠=︒，故90PBA PAB ∠+∠=︒，则90APB ∠=︒，即EB AF ⊥．又∵EB BC B=，∴AF⊥平面EBC．。
