2020年高二暑假数学练习题 (15)-0707(解析版)

2020年高二暑假数学补习训练题 (14)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 集合A ={0,2}，B ={x ∈N|x <3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {0,2}C. (0,2]D. [0,2]2. 复数11+i =( )A. 12−12iB. 12+12iC. 1−iD. 1+i3. sin20π3=( )A. −√32B. √32C. −12D. 124. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法( )A. 10种B. 16种C. 25种D. 32种 5. 函数f(x)=3x −√x+16的零点所在区间是( )A. (O,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 6. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( ) A. b <a <c B. a <b <c C. c <a <bD. b <c <a7. 用min{a,b}表示a ，b 两个数中的较小值，设f(x)=min{2x −1,1x }(x >0)，则f(x)的最大值为( )A. −1B. 1C. 0D. 不存在8. 在用数学归纳法证明不等式“当n ≥2时1n+1+1n+2+⋯+13n >910”时，第2步由n =k(k ≥2)不等式成立，推证n =k +1时左边的表达式为( )A. 1k+1+1k+2+⋯+13k B. 1k+1+1k+2+⋯+13k+1C. 1k+2+1k+3+⋯+13k +13k+1+13k+2+13(k+1) D. 1k+1+1k+2+⋯+13k +13k+1+13k+2+13(k+1)9. 已知函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(−∞,3]，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0，且f(x +3)是R 上的偶函数，若f(2a −1)≤f(4)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,32] B. (−∞,52]C. [32,52]D. (−∞,32]∪[52,+∞)10. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(2)=3，且f′(x )<1，则不等式f(x 2)<x 2+1的解集是( )．A. (−∞,−√2)B. (√2,+∞)C. (−√2,√2)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知幂函数y =f(x)的图象经过点(2,12)，则f(12)的值为__________．12. 若函数f(x)=(k 2−3k +2)x +b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范围为____________． 13. 从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的不同方案有______ 种． 14. 函数f(x)=√3sin (x 2−π4) ,x ∈R 的最小正周期为__________． 15. 二项式(√x 3−2x )8的展开式中的常数项为______．16. 如果随机变量X ～B(100,0.2)，那么D(4X +3)= ______ ．17. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2,x >2，若方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知集合A ={x|x 2−6x +8<0}，B ={x|(x −a)⋅(x −3a)<0}．(1)若a =1，求A ∩B ；(2)若A ∩B =⌀，求a 的取值范围．19. 从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值与方差；20. 已知函数f(x)=−x 2+2x,x ∈[−2,a]，求f(x)的值域．21. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ) ( A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)若x ∈[−π2,π12]，求f(x)的值域．22. 已知函数f(x)=xlnx +kx,k ∈R ．(1)求y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)若不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，求k 的取值范围；(3)求证：当n ∈N ∗时，不等式∑ln n i=1(4i 2−1)>2n 2−n 2n+1成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}={0,1，2}，则A∩B={0,2}．故选：B．根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：11+i =1−i(1+i)(1−i)=12−i2故选A由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题3.答案：B解析：解：sin20π3=sin(6π+2π3)=sin2π3=sinπ3=√32．故选：B．运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查分步计数原理的应用，理解好题意，从一层到五层共分四步．通过层与层之间的走法，利用分步计数原理求解一层到五层的走法．【解答】解：共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24=16种．故选B．5.答案：B解析：解：∵f(0)=1−1−6<0，f(1)=−72<0，f(2)=9−6−√2+1=4−√2>0，∴函数f(x)的零点在区间(1,2)能，故选：B．分别求出f(0)，f(1)，f(2)的值，得出f(1)<0，f(2)>0，从而得出答案．本题考查了函数的零点的判定定理，用特殊值代入即可求出．6.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．容易得出0<sin2<1, log 0.3π<0, 40.5>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：∵0<sin2<1，log 0.3π<log 0.31=0，40.5>40=1， ∴b <a <c ． 故选：A ． 7.答案：B解析：【分析】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的最值及其几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．先根据符号：min{a,b}的含义化简函数f(x)的表达式，变成分段函数的形式，再画出函数的图象，观察图象的最高点即可得f(x)的最大值． 【解答】解：由方程2x −1=1x ，(x >0)， 得：x =1，∴f(x)={2x −1,0<x ≤11x,x >1,画出此函数的图象，如图，由图可知：当x =1时，f(x)的值最大，最大值为1． 故选B ． 8.答案：C解析：本题考查了数学归纳法的步骤的第二步②注意从k 到k +1的变化.显然13k 不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾故n =k +1时最后一项应为13(k+1)所以在3k 后面还有3k +1、3k +2.最后才为3k +3即3(k +1)应选择C ． 9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性，以及函数的对称性，属于中档题．根据题意，由f(x +3)是R 上的偶函数，分析可得函数f(x)的图象关于直线x =3对称，进而分析可得函数f(x)在(−∞,3]上是增函数，可得在[3,+∞)上是减函数，从而将f(2a −1)≤f(4)转化为|2a −1−3|≥4−3，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，f(x +3)是R 上的偶函数， 则函数f(x)的图象关于直线x =3对称，又由函数f(x)满足对任意的x 1，x 2∈(−∞,3]，(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0， 则函数f(x)在(−∞,3]上是增函数，又由函数f(x)的图象关于直线x =3对称， 则函数f(x)在[3,+∞)上是减函数， 若f(2a −1)≤f(4)，则有|2a −1−3|≥4−3，即|a −2|≥12， 解得：a ≤32或a ≥52，所以a 的取值范围是(−∞,32]∪[52,+∞)． 故选：D ． 10.答案：D解析：【分析】本题考查利用导数研究函数单调性，以及利用构造法构造新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．根据条件构造F(x)=f(x)−x ，利用导数研究函数的单调性，然后将f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2即F(x 2)<F(2)，根据单调性建立关系，解之即可． 【解答】解：令F(x)=f(x)−x ，又f ′(x )<1， 则F′(x)=f ′(x )−1<0， ∴F(x)在R 上单调递减． ∵f(2)=3，∴f(x 2)<x 2+1可转化成f(x 2)−x 2<f(2)−2， 即F(x 2)<F(2)．根据F(x)在R 上单调递减则x 2>2， 解得x ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)． 故选：D ． 11.答案：2解析：【分析】本题考查了幂函数的解析式和求值，属于基础题． 【解答】解：设幂函数的解析式为y =x a ，则函数y =f(x)的图象经过点(2,12)，故2a =12，解得a =−1，故函数解析式为y =x −1，则f(12)=2．故答案为2．12.答案：(1,2)解析：【分析】本题考查函数的单调性，涉及不等式的解法，问题等价于k 2−3k +2<0，解不等式可得，属基础题． 【解答】解：∵函数f(x)=(k 2−3k +2)x +b 在R 上是减函数， ∴k 2−3k +2<0，即(k −1)(k −2)<0， 解不等式可得1<k <2 ∴k 的取值范围为：(1,2) 故答案为(1,2)13.答案：2100解析：解：∵从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组， 由分层抽样知道从男生中抽取6×515=2人，从女生中抽取6×1015=4人，共有C 52C 104=2100种， 故答案为：2100．用分层抽样做出从男生中抽取2人，从女生中抽取4人，共有C 52C 104种结果，问题得以解决． 本题考查了分层抽样和排列组合的问题，属于基础题． 14.答案：4π解析：函数f(x)=√3sin (x2−π4) 的最小正周期为T =2π12=4π .15.答案：112解析：解：展开式的通项为T r+1=(−2)r C 8r x83−43r ， 令83−43r =0得r =2，所以展开式中的常数项为(−2)2C 82=112． 故答案为：112．利用二项展开式的通项公式求出二项式(√x 3−2x )8展开式的通项，令x 的指数为0求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 16.答案：256解析：解：∵随机变量X ～B(100,0.2)， ∴Dξ=100×0.2×0.8=16，∴D(4X +3)=16Dξ=16×16=256．故答案为：256．利用二项分布的方差的性质求解．本题考查二项分布的方差的计算，解题时要认真审题，是基础题． 17.答案：(0,2)解析：解：已知函数的图象如图：方程f(x)=t 恰有3个不同的实数根， 则圆锥函数图象与y =t 有三个交点，由图象可知，当t ∈(0,2)满足题意；故答案为：(0,2)由题意，画出已知函数的图象，结合图象找出满足与y =t 有三个交点的t 的范围．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，考查数形结合的思想方法；难度中档．18.答案：解：(1)由A 中不等式变形得：(x −2)(x −4)<0， 解得：2<x <4，即A ={x|2<x <4}．把a =1代入B 得：(x −1)(x −3)<0，解得：1<x <3，即B ={x|1<x <3}．则A ∩B ={x|2<x <3}． (2)要满足A ∩B =⌀，当a =0时，B =⌀满足条件；当a >0时，B ={x|a <x <3a}，可得a ≥4或3a ≤2． 解得：0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ={x|3a <x <a}，显然a <0时成立， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,23]∪[4,+∞)．解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．(1)求出A 中不等式的解集确定出A ，把a =1代入确定出B ，求出A 与B 的交集即可； (2)由A 与B 交集为空集，分a =0，a >0与a <0三种情况求出a 的范围即可． 19.答案：解：(1)ξ可能取的值为0，1，2， 且P(ξ=0)=C 20·C 53C 73=27，P(ξ=1)=C 21·C 52C 73=47，P(ξ=2)=C 22·C 51C 73=17，所以ξ的分布列为(2)E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67，D(ξ)=(0−67)2×27+(1−67)2×47+(2−67)2×17=140343=2049．解析：本题考查离散型随机变量及其分布列以及期望与方差的计算，属于中档题．(1)ξ可能取的值为0，1，2，求出相应的概率，进而得到分布列； (2)通过期望和方差公式计算，即可得到ξ的均值与方差．20.答案：解：f(x)=−x 2+2x =−(x −1)2+1，a >−2， (1)当−2<a ≤1时，f(x)在[−2,a]单调递增，f (x )min =f (−2)=−8,f (x )max =f (a )=−a 2+2a ， ∴f(x)的值域为[−8,−a 2+2a];(2)当1≤a ≤4时，f(x)在[−2,1]递增，在[1,a]递减，f (x )min =f (−2)=−8,f (x )max =f (1)=1, ∴f(x)的值域为[−8,1]; (3)当a >4时，f(x)在[−2,1]递增，在[1,a]递减，f (x )min =f (a )=−a 2+2a,f (x )max =f (1)=1， ∴f(x)的值域为[−a 2+2a,1]．综上：当−2<a ≤1时，f(x)的值域为[−8,−a 2+2a]; 当1≤a ≤4时，f(x)的值域为[−8,1]; 当a >4时，f(x)的值域为[−a 2+2a,1]．解析：本题考查二次函数单调性与最值问题，对称轴固定，区间不定，通过讨论a 与对称轴的关系，讨论函数在区间上的单调性与最值．21.答案：解：(1)设函数f(x)的最小正周期为T ，由图象知：A =2，14T =π6−(−π12)=π4，所以周期T =π，从而ω=2πT=2.因为函数图象过点(−π12,2)，所以sin(−π6+φ)=1.因为0<φ<π，所以−π6<−π6+φ<5π6，所以−π6+φ=π2，解得φ=2π3.因此A =2，ω=2，φ=2π3．(2)由(1)知f(x)=2sin(2x +2π3).因为x ∈[−π2,π12]， 所以−π3≤2x +2π3≤5π6，所以− √32≤sin(2x +2π3)≤1，从而函数f(x)的值域为[−√3,2]．解析：本题考查三角函数y =Asin(ωx +φ)的图像与性质，属于中档题．(1)根据函数的图像写函数的解析式；(2)由x 得范围得到−π3≤2x +2π3≤5π6，然后求得− √32≤sin(2x +2π3)≤1，从而确定函数的值域． 22.答案：解：(1)函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1+lnx +k ，f ′(1)=1+k ，∵f(1)=k ，∴函数y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −k =(k +1)(x −1)， 即y =(k +1)x −1；(2)设g(x)=lnx −x +k −1，g ′(x)=1x −1， x ∈(0,1)，g ′(x)>0，g(x)单调递增， x ∈(1,+∞)，g ′(x)<0，g(x)单调递减， ∵不等式f(x)≤x 2+x 恒成立，且x >0， ∴lnx −x +k −1≤0，∴g(x)max =g(1)=k −2≤0即可，故k ≤2， (3)由(2)可知：当k =2时，lnx ≤x −1恒成立， 令x =14i 2−1，由于i ∈N ∗，14i 2−1>0．故，ln 14i 2−1<14i 2−1−1，整理得：ln(4i 2−1)>1−14i 2−1， 变形得：：ln(4i 2−1)>1−1(2i+1)(2i−1)， 即：ln(4i 2−1)>1−12(12i−1−12i+1) i =1，2，3……，n 时，有ln3>1−12 (1−13)’ ln5>1−12 (1−13)…………ln(4n 2−1)>1−12 (12n−1−12n+1)两边同时相加得：∑ln n i=1(4i 2−1)>n −12(1−12n+1)=2n22n+1>2n2−n 2n+1，所以不等式在n ∈N ∗上恒成立．解析：本题考查了导数的几何意义，导数证明单调性，导数恒成立问题，导数中的不等式证明，属于难题．(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；(2)构造函数g(x)=lnx −x +k −1，然后求导，结合导数可研究其单调性，由不等式的恒成立转化为求解函数的最值，可求；(3)由(2)可知：当k =2时，lnx ≤x −1恒成立，对已知不等式进行赋值，转化为所要证明的不等式的左边，利用累加法即可证明．。

2020年高二暑假数学补习训练题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x||x−3|<4}，B={x|x2+2x−8≥0}，则A∩∁R B=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−4<x<7}C. {x|−1<x<7}D. {x|x>2或x<−4}2.已知复数z=1+i，则|zi|等于()A. 4B. 2C. √2D. 123.已知a=21.2，b=2log52，c=ln13，则()A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a4.函数y=sinxcosx−1的最小正周期是()A. 4πB. 2πC. πD. π25.同时掷3枚硬币，最多有2枚正面向上的概率是()A. 78B. 58C. 38D. 186.若m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是()A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB. 如果直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α//βC. 如果直线m//平面α，直线n//平面α，那么m//nD. 如果直线m//n，且直线m//平面α，那么直线n//平面α7.执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A. 12B. 56C. 76D. 7128. 已知奇函数f(x)={3x −x +a,x ≥0g(x),x <0，则g(−2)+f(3)=( )A. 7B. 17C. 27D. 379. 以抛物线x 2=4y 的焦点F 为圆心的圆交抛物线于A 、B 两点，交抛物线的准线于C 、D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆的方程为( )A. x 2+(y −1)2=3B. x 2+(y −1)2=4C. x 2+(y −1)2=12D. x 2+(y −1)2=16 10. 已知函数f(x)=xlnx ，则函数f(x)在x =1处的切线方程( )A. x −y +1=0B. x +y −1=0C. x −y −1=0D. 2x −y +1=011. 在等差数列{a n }中，3(a 2+a 6)+2(a 3+a 10+a 17)=24，则此数列前13项的和为( )A. 13B. 26C. 52D. 15612. 边长为2的正三角形ABC 中，D ，E ，M 分别是AB ，AC ，BC 的中点，N 为DE 的中点，将△ADE沿DE 折起至A′DE 位置，使A′M =√62，设MC 的中点为Q ，A′B 的中点为P ，则①A′N ⊥平面BCED ②NQ//平面A′EC ③DE ⊥平面A′MN④平面PMN//平面A′EC 以上结论正确的是( )A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在等比数列{a n }中，已知a 1=−1，a 4=27，则a 5=__________．14. 若向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的正弦值为√22，则θ= ______ ．15. (2x −√x)6的展开式中常数项为______ ． 16. 已知点F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线C 2：x 2a′2−y 2b ′2=1(a′>0,b′>0)的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足∠F 1PF 2=90°，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 12+1e 22=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，已知2sinBcosA =sin(A +C)．(1)求角A ；(2)若BC =2，△ABC 的面积是√3，求AB ．18.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM．(1)求证：AD⊥平面BMD；(2)求二面角M一BD−C的余弦值．19.幸福指数常用于衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验．某单位对所处地区的幸福指数进行了调查，将结果分为“幸福、一般、不幸福”三类，根据年收入的不同将该地区的家庭分为高收入家庭与低收入家庭两类，其中高收入家庭2000户，低收入家庭1600户．为了解收入对幸福感的影响，按收入采用分层抽样的方法从这些家庭中共抽取了180户进行调查，统计如幸福等级幸福一般不幸福家庭收入高收入(户数)6020m低收入(户数)6012n(1)根据表中数据填写以下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“幸福与收入有关”？高收入低收入总计幸福一般或不幸福总计(2)以(1)中抽取的180户的幸福等级的频率作为该地区各个幸福等级发生的概率，且每户是否“幸福”相互独立，现从该地区家庭中随机抽取4户．记X表示这4户中调查结果为“幸福”的户数，求随机变量X的分布列和数学期望．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标；(Ⅱ)设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值．21.已知函数f(x)=(x2−1)e x+x．(1)求f(x)在[−14,1]上的最小值；(2)g(x)=f(x)−ae x−x，当g(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)时．总有g(x2)≤t(2+x1)(e x2+1)，求此时实数t的值．22.在直角坐标系xOy中，点(12,√3)在曲线C：为参数)上，对应参数为φ=π3.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的极坐标为(2,π6).(1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程；(2)设A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB，求|OA|2+|OB|2的最小值．23.设函数f(x)=|x+1|+|x−2|．(1)解不等式f(x)<5；(2)求函数y=f(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合的运算问题，是基础题．解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x||x−3|<4}={x|−4<x−3<4}={x|−1<x<7}，B={x|x2+2x−8≥0}={x|x≤−4或x≥2}，∴∁R B={x|−4<x<2}，∴A∩∁R B={x|−1<x<2}．故选：A．2.答案：C解析：解：复数z=1+i，则|zi |=|1+ii|=|1−i|=√2．故选：C．直接利用复数的模的运算法则化简求值即可．本题考查复数求模的运算法则的应用，基本知识的考查．3.答案：A解析：解：∵a=21.2>2，0=log51<b=log54<log55=1，c=ln13<ln1=0，∴c<b<a.故选：A．利用指数函数、对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．4.答案：C解析：【分析】本题考查利用二倍角公式化简以及三角函数的周期性，属于基础题．【解答】解：函数，函数周期为，故选C ． 5.答案：A解析：解：同时掷3枚硬币， 基本事件总数n =23=8，最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上， ∴最多有2枚正面向上的概率：p =1−C 33(12)3=78．故选：A ．最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，由此利用对立事件概率计算公式能求出最多有2枚正面向上的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 6.答案：B解析：解：如果平面α⊥平面β，那么平面α内与两平面交线垂直的直线都垂直于平面β，故A 错误； 如果直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α//β，故B 正确；如果直线m//平面α，直线n//平面α，那么m//n 或m ，n 相交或m ，n 异面，故C 错误； 如果直线m//n ，且直线m//平面α，那么直线n//平面α或n ⊂α，故D 错误． 故选：B ．由面面垂直的性质定理可判断A ；由同垂直于一条直线的两平面平行可判断B ； 由线面平行的性质可判断C ；由线面的位置关系可判断D ．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题． 7.答案：B解析：解：执行循环前：k =1，s =1， 在执行第一次循环时，s =1−12=12， 由于k =2<3，所以执行下一次循环，s =12+13=56， k =3，直接输出s =56，故选：B ．根据题意，即可得解．本题考查程序框图和循环结构，属于基础题． 8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性以及分段函数的性质，属于基础题．先求出a ，根据奇偶性求出f(x)在x <0时的解析式，然后分段代入求解即可． 【解答】解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(0)=1−0−a =0， 解得a =1，∴f (3)=33−3+1=25，若x <0,则−x >0,g (x )=−f (−x )=−(3−x +x +1)， ∴g (−2)=−(32−2+1)=−8， ∴g (−2)+f (3)=−8+25=17， 故选B ． 9.答案：D解析：解：如图，连接AC ，BD ，抛物线x 2=4y 的焦点坐标(0,1)，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F(0,1)，|FA|=|FB|，设圆的半径r ， ∠FAB =θ，则A(rcosθ,1+rsinθ)，而A 在抛物线上，故r 2cos 2θ=4+4rsinθ，又rsinθ=2，所以sinθ=12，θ=π6，∴r =4，所求圆的方程为：x 2+(y −1)2=16． 故选D ．连接AC ，BD ，抛物线的定义与性质求出圆心坐标为F(0,1)，|FA|=|FB|，设圆的半径r ，∠FAB =θ，则A(rcosθ,1+rsinθ)，而A 在抛物线上，化简求解即可．本题考查抛物线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 10.答案：C解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题，通过求的导数，求出切点的坐标与斜率即可． 【解答】 解：∵函数，，∴在x =1处的切线的斜率k =f ′(1)=ln1+1=1， 又f(1)=0，∴函数f(x)在x =1处的切线方程为y =x −1，即x −y −1=0． 故选C ． 11.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3(a 2+a 6)+2(a 3+a 10+a 17)=24， ∴6a 1+18d +6a 1+54d =24， 化为：a 1+6d =2， 则此数列前13项的和=13a 1+13×122d =13(a 1+6d)=26．故选：B ．设等差数列{a n }的公差为d ，根据3(a 2+a 6)+2(a 3+a 10+a 17)=24，利用通项公式可得：a 1+6d =2，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：如图所示，①由等边三角形的性质可得A ′N =AN =MN =√32，∴A ′N 2+MN 2=(√32)2×2=A′M 2.∴A′N ⊥MN ，又A′N ⊥DE ，ED ∩MN =N ，∴A′N ⊥平面BCED ，正确． ②∵NQ//AC ，NQ ⊄平面A′EC ，AC ⊂平面A′EC ，∴NQ//平面A′EC ，正确；③由①可得A′N ⊥平面BCED ，∴A′N ⊥DE ，又DE ⊥MN ，MN ∩A′N =N ，∴DE ⊥平面A′MN ，正确；④∵MN ∩平面A′EC =A ，∴平面PMN//平面A′EC 不正确． 综上可得：只有①②③正确． 故选：C ．①由等边三角形的性质可得A ′N =AN =MN =√32，可得A ′N 2+MN 2=(√32)2×2=A′M 2.可得A′N ⊥MN ，又A′N ⊥DE ，利用线面垂直的判定定理即可得出．②由于NQ//AC ，利用线面平行的判定定理可得NQ//平面A′EC ；③由①可得A′N ⊥平面BCED ，A′N ⊥DE ，又DE ⊥MN ，利用线面垂直的判定定理即可得出； ④由于MN ∩平面A′EC =A ，因此平面PMN//平面A′EC 不正确．本题综合考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13.答案：−81解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式、设等比数列{a n }的公比为q ，则27=−1×q 3，解得q ，进而得出a 5． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则27=−1×q 3，解得q =−3． ∴a 5=−1×(−3)4=−81． 故答案为−81．14.答案：π4或3π4解析：解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ的正弦值为√22，∴sinθ=√22， ∵0≤θ≤π， ∴θ=π4或3π4，故答案为：π4或3π4根据向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值即可求出本题考查了向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值，属于基础题．15.答案：60解析：【分析】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用二项展开式的通项公式即可得出．【解答】解：(2x−√x)6的展开式中的通项公式：T r+1=C6r(2x)6−r(−√x)r=(−1)r26−r C6r x3r2−6，令3r2−6=0，解得r=4．∴(2x−√x)6的展开式中常数项=(−1)4×22C64=60．故答案为60．16.答案：2解析：【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义和离心率公式，考查勾股定理和化简整理的运算能力，属于中档题．可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用椭圆和双曲线的定义，可得m，n，再由勾股定理，结合离心率公式，化简可得所求值．【解答】解：可设P为第一象限的点，|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a，由双曲线的定义可得m−n=2a′，可得m=a+a′，n=a−a′，由∠F1PF2=90°，可得m2+n2=(2c)2，即为(a+a′)2+(a−a′)2=4c2，化为a2+a′2=2c2，则a2c2+a′2c2=2，即有1e12+1e22=2．故答案为：2．17.答案：解：(1)由A+B+C=π，得sin(A+C)=sinB；所以2sinBcosA=sin(A+C)=sinB，解得cosA=12，又因为A∈(0,π)，所以A=π3；(2)由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcosA =22，①因为△ABC 的面积为S △ABC =12AB ⋅ACsin π3=√3， 所以AB ⋅AC =4，② 由①、②组成方程组，解得AB =BC =2．解析：(1)根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求出A 的值；(2)利用余弦定理和三角形的面积公式，列出方程组即可求出AB 的值．本题考查了三角形内角和定理与正弦、余弦定理、三角形面积公式的应用问题，是综合性题目． 18.答案：(1)证明：取AM 中点O ，连结DO ，∵平面ADM ⊥平面ABCM ，AD =DM ，∴DO ⊥平面ABCM ，DO ⊥BM ，可知AM ⊥BM ，∴BM ⊥平面ADM ，∴BM ⊥AD ，而AD ⊥DM ，∴AD ⊥平面BMD ；(2)解：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，(x 轴垂直AB 交AB 于E ，y 轴垂直BC 交BC 于F ，OD 为z 轴)．则A(12,−12,0)，B(12,32,0)，C(−12,32,0)，D(0,0，√22)，M(−12,12,0). BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,32,−√22)， 设n⃗ =(x,y,z)是平面BCD 的一个法向量， 由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +32y −√22z =0，令z =√2，得n ⃗ =(0,23,√2)，|n ⃗ |=√223， 由(1)知AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面MBD 的一个法向量，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,√22)，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1． cos <n ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=431×√223=2√2211， 又∵二面角M −BC −C 为锐角，∴二面角M −BD −C 的余弦值为2√2211．解析：(1)取AM 中点O ，连结DO ，由面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABCM ，则DO ⊥BM ，得到AM ⊥BM ，从而BM ⊥平面ADM ，则BM ⊥AD ，结合AD ⊥DM ，由线面垂直的判定可得AD ⊥平面BMD ；(2)以O 为原点建立空间直角坐标系，(x 轴垂直AB 交AB 于E ，y 轴垂直BC 交BC 于F ，OD 为z 轴)，分别求出平面BCD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M −BD −C 的余弦值．本题考查空间位置关系，二面角及其应用等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19.答案：解：(1)设在该地区高收入家庭中抽出x 户，则x 2000=1802000+1600，解得x =100．∴m =100−80=20，n =80−72=8， 2×2K 2=180×(60×20−60×40)2120×60×100×80=4.5<6.635，∴没有99%的把握认为“幸福与收入有关”；(2)该地区家庭为“幸福”的频率为120180=23，所以从该地区家庭中随机抽取1户，结果为“幸福”的概率为23，则随机变量X ∼B(4,23)，且X 的可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 40(13)4(23)0=181，P(X =1)=C 41(13)3(23)1=881， P(X =2)=C 42(13)2(23)2=827P(X =3)=C 43(13)1(23)3=3281， P(X =4)=C 44(13)0(23)4=1681， 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E(X)=4×23=83．解析：本题考查独立性检验，和离散型随机变量求分布列和数学期望，属于中档题．(1)正确列出2×2列联表，求出K 2判断结果；(2)写出X 的取值，以及每个值对应的概率，列出分布列，求期望即可．20.答案：(Ⅰ)解：依题意可知b =c ，∴a 2=2b 2，可设椭圆方程为x 22b 2+y 2b 2=1， 即x 2+2y 2−2b 2=0，由{y =−x +3x 2+2y 2−2b 2=0，整理得3x 2−12x +18−2b 2=0， 由△=122−12(18−2b 2)=0，得b 2=3，故椭圆E 的方程为x 26+y 23=1，点T 的坐标为(2,1)；(Ⅱ)证明：设直线l′：y =12x +m (m ≠0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =12x +m y =−x +3，得P (2−23,1+23m)， ∴|PT|2=89m 2，由{y =12x +m x 26+y 23=1，3x 2+4mx +(4m 2−12)=0， ∴△=16(9−2m 2)>0，则x 1+x 2=−43m ，x 1x 2=4m 2−123， ∴|PA |=√1+(12)2|2−2m 3−x 1|=√52|2−2m 3−x 1|， 同理|PB |=√52|2−2m 3−x 2|，∴|PA |·|PB |=54|(2−2m 3)2−(2−2m 3)(x 1+x 2)+x 1x 2| =54|(2−2m 3)2−(2−2m 3)(−4m 3)+4m 2−123|=10m 29， ∴存在常数λ=45，使得PT 2=λ|PA|⋅|PB|．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程．(Ⅰ)根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点F 1、F 2构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；(Ⅱ)设出点P 的坐标，根据l′//OT 写出l′的参数方程，代人椭圆E 的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|⋅|PB|求出λ的值．21.答案：解：(1)函数f(x)=(x 2−1)e x +x 的定义域为R ，f ′(x)=2x ⋅e x +(x 2−1)e x +1=(x 2+2x −1)e x +1，令ℎ(x)=f ′(x)ℎ′(x)=(x 2+4x +1)e x ，∵y =x 2+4x +1在[−14,1]上单调递增，当x =−14时，y >0，∴ℎ′(x)=(x 2+4x +1)e x ≥0在[−14,1]上恒成立．∴f ′(x)=(x 2+2x −1)e x +1，在[−14,1]上单调递增，且f ′(0)=0．∴f(x)在[−14,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴f(x)min =f(0)=−1．(2)∵g(x)=f(x)−ae x −x =(x 2−1−a)e x ，∴g ′(x)=(x 2+2x −1−a)e x ，∵g(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)时，∴{Δ=4+4(1+a)>0x 1+x 2=−2x 1x 2=−1−a⇒a >−2,x 2∈(−1,+∞)， g(x 2)≤t(2+x 1)(e x 2+1)⇒(x 22−1−a)e x 2≤t(2+x 1)(e x 2+1)，∵x 22+2x 2−1−a =0，∴−2x 2e x 2≤t(−x 2)(e x 2+1)，当x 2=0时，t ∈R 当x 2∈(−1,0)时，t ≥2e x 2e x 2+1=2−2e x 2+1， 显然函数y =2−2e x +1在(−1,0)递增，∴t ≥1当x 2∈(0,+∞)时，t ≤2−2e x +1，显然函数y =2−2e x +1在(0,+∞)递增，∴t ≤1，综上所述，t =1．解析：本题考查了利用导数求解函数的最值、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．(1)通过求导与构造函数可以得到f(x)的单调性，从而求得最值；(2)对函数求导，结合二次函数的性质，可以得到关于t 的不等式，再构造函数求得最值即可得到t 的范围．22.答案：解：(1)点P 的直角坐标为(√3,1)，由题意知，，解得{k =1m =2， 故x 2+(y 2)2=1，即， 可得曲线C 的极坐标方程为；(2)由(1)知曲线C ：， 由A ，B 是曲线C 上的两个动点，且OA ⊥OB ，不妨设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)，且，，∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22⩾204+94=165，当时，|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=165，∴|OA|2+|OB|2的最小值为165．解析：本题主要考查参数方程和极坐标方程的应用，属于中档题．(1)由极坐标公式可得点P的直角坐标为(√3,1)，将点(12,√3)代入求得{k=1m=2，即可得出答案；(2)设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)，则．23.答案：解：(1)函数f(x)=|x+1|+|x−2|表示数轴上的x对应点到−1、2对应点的距离之和，而−2和3对应点到−1、2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f(x)<5的解集为(−2,3)．(2)由y=|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3可知，当(x+1)(x−2)≤0，即−1≤x≤2时，函数y=|x+1|+|x−2|取得最小值3．解析：(1)由题意利用绝对值的意义求得不等式f(x)<5的解集．(2)由条件利用绝对值三角不等式求得f(x)的最小值．本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，属于基础题．。

2020年高二暑假数学补习训练题 (15)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={y|y=x2−6x+5}，B={y|y=6x+3−9x2}，则A∩B=()A. {(1,0),(15,9625)} B. {y|y≥−4}C. {y|−4≤y≤4}D. {y|y≤4}2.i为虚数单位，则(1−i1+i)2017=()A. −iB. −1C. iD. 13.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S6>S7>S5，则下列命题错误的是()A. d<0B. S11>0C. S12<0D. |a6|>|a7|4.若椭圆x216+y2b2=1过点(−2,√3)，则其焦距为()A. 2√5B. 2√3C. 4√5D. 4√35.4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有()A. 16个B. 70个C. 140个D. 256个6.如图所示的程序运行后，输出的值是()A. 8B. 9C. 10D. 117.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为()A. 65B. 105+3√342C. 70+3√342D. 608.直线y=x被圆(x−1)2+y2=1所截得的弦长为()A. √22B. 1C. √2D. 29.已知函数f(x)=sin(x−φ)−1(0<φ<π2)，且∫2π3 (f(x)+1)dx=0，则函数f(x)的一个零点是()A. π6B. π3C. 7π12D. 5π610.若ΔABC内角A、B、C所对的边分别为，且a2=c2−b2+√3ba，则∠A+∠B=()A. π6B. 5π6C. π4D. 3π411.函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. a>0，c>0B. a>0，c<0C. a<0，c>0D. a<0，c<012.函数y=cos2ωx−sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)=2sin(ωx+π4)的一个单调递增区间是()A. [−π2,π2] B. [5π4,9π4] C. [−π4,3π4] D. [π4,5π4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则直线EF，MN所成角的大小为_____．14.若双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，则ba=_______．15.已知|a−8b|+(4b−1)2=0，则log2a b=__________．16.已知S为{a n}的前n项和，a1=0，若a a+1=[1+(−1)n]a n+(−2)n，则S100=________三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知a、b、c是△ABC的内角A、B、C所对的边，△ABC的面积为4√3，C=60∘，且．(1)求a+b的值；(2)若点D为AC边上一点，且BD=AD，求CD的长．18. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，二面角B −AD −S为60∘，E 为SD 中点．⑴求证：CE ⊥SA ；⑴求AB 与平面SCD 所成角的余弦值．19. 某手机公司生产某款手机，如果年返修率不超过千分之一，则生产部门当年考核优秀，现获得该公司2010−2018年的相关数据如下表所示：年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产量(万台) 3 4 5 6 7 7 9 10 12 产品年利润(千万元) 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.8 7.5 7.9 9.1 年返修量(台)474248509283728790(1)从该公司2010−2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X 表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(千万元)关于年生产量x(万台)的线性回归方程(精确到0.01).部分计算结果：y =19∑y i 9i=1=6.2，∑x i 29i=1=509，∑x i 9i=1y i =434.1．附：；线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b̂=∑ni=1(x i −x)(y i −y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i −nxy∑ni=1x i2−nx 2，â=y ̂−b ̂x ．20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的准线与x 轴交于点M ，(1)若M 点坐标为(−1,0)，求抛物线的方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线交于两点P ，Q ，若FP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0(其中F 试抛物线的焦点)，求证：直线l 的斜率为定值．21. 函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，求a 、b 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 2+y 2−2y =0，倾斜角为π6的直线l 过点M(−2,0)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．(1)求C 1和C 2交点的直角坐标；(2)若直线l 与C 1交于A ，B 两点，求|MA|+|MB|的值．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】利用配方法求得两个集合函数的值域，再根据交集运算求解．【解答】根据题意得：A=[−4,+∞),B=(−∞,4]所以A∩B={y|−4≤y≤4}．故选C．2.答案：A解析：解：(1−i1+i)2017=[(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)]2017=(−i)2017=(−i)2016⋅(−i)=−i，故选：A．根据复数的运算性质计算即可．本题考查了复数的化简求值问题，是一道基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和的最值、等差数列的通项公式、前n和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．由S6>S7>S5，得a1>0，d<0，得a6>0，a7<0，S11=11a6>0，S12=12(a6+a7)>0，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S6最大，且S6>S7>S5，∴a1>0，d<0，故A正确；∵S6>S7>S5，∴a6>0，a7<0，S11=11a1+55d=11(a1+5d)=11a6>0，故B正确，S12=12a1+66d=12(a1+a12)=12(a6+a7)>0，∴D正确，C错误故选C．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质及其几何意义，属于中档题；根据条件把点(−2,√3)代入椭圆的方程可求得b2=4，得到a=4，b=2，即可求出焦距．【解答】解：由题意知，把点(−2,√3)代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为x216+y24=1，所以a =4，b =2，c =√a 2−b 2=√16−4=2√3， 则其焦距为2c =4√3； 故选D ． 5.答案：B解析：【分析】此题考查排列的应用，属于基础题．先把8个数字全排列，再除以1和2重复的情况数即可． 【解答】解：4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有A 88A 44·A 44=70，故选B ．6.答案：B解析：【分析】本题考查了DO LOOP 循环语句，熟练掌握语句的含义是解答本题的关键． 【解答】解：本题是直到型循环结构的程序语句，算法的功能是求满足2i >2017的最小的正整数i 的值，∴输出i =9． 故选B ．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查三视图的应用，直接利用三视图进行复原，利用表面积公式求出结果． 【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个三棱柱去掉一个三棱锥． 所以表面积为(2+5)×52+(2+5)×42+3×52+3×42+3×5=60故选D ． 8.答案：C解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题． 先求出圆心和半径，以及圆心到直线y =x 的距离d 的值，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：由于圆(x −1)2+y 2=1的圆心为(1,0)，半径等于1， 圆心到直线y =x 的距离为d =√2=√22，故弦长为2√r 2−d 2=√2． 故选C ． 9.答案：D解析：由∫2π30 (f (x )+1)dx =0得：[−cos (x −ϕ)]|2π3=0，即−cos (2π3−ϕ)+cos (x −ϕ)=0，所以sin (ϕ−π3)=0，因为0<φ<π2，所以ϕ=π3，则f (x )=sin (x −π3)−1，由sin (x −π3)=1，得x =5π6+2kπ,k ∈Z ，取k =0，得x =5π6，选D ．10.答案：B解析：【分析】本题考查余弦定理的应用．解题关键是由余弦定理变形求得，从而得C 角．【解答】解：∵，∴，在三角形中，，∴．故选B ．11.答案：A解析：【分析】本题考查了函数图象的判断，通常从定义域，值域，特殊点等方面来判断，属于中档题． 根据f(0)=0判断b =0，根据定义域判断c ，根据函数值域判断a ． 【解答】解：∵f(x)图象过原点， ∴f(0)=0，即=0，∴b =0．∵f(x)的定义域为R ，∴c >0．∵当x >0时，f(x)>0，当x <0时，f(x)<0， ∴a >0， 故选A ．12.答案：B解析：【分析】本题考查正弦函数的图象与性质，先把函数化为一个角的正弦函数，再由周期求得ω的值，利用正弦函数的单调区间解得x的范围．【解答】解：∵y=cos2ωx−sin2ωx=cos2ωx，T=2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=2sin(x+π4)单调递增区间为：2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4(k∈Z)，令k=1，∴x∈[54π,94π]．故选B．13.答案：60°解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题．由题意画出图形，连接BC1，A1C1，由M，N分别为棱A1D1，C1D1的中点，得MN//A1C1，同理可得EF//BC1，则∠A1C1B即为异面直线EF，MN所成的角，再由△A1C1B为等边三角形得答案．【解答】解：如图，连接BC1，A1C1，∵E，F，M，N分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，∴MN//A1C1，EF//BC1，∴∠A1C1B即为异面直线EF与MN所成的角，连接A1B，则△A1C1B为等边三角形，可得．∴异面直线MN与EF所成的角大小为60°．故答案为：60°14.答案：√3解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．根据双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，可得e=ca=√a2+b2a=2，化简即可求解．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的离心率为2，∴e =c a=√a 2+b 2a=2，即a 2+b 2=4a 2，∴b 2=3a 2， ∴b a=√3，故答案为√3．15.答案：14解析：【分析】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．根据绝对值和偶次方的非负性，得{a −8b =04b −1=0，求出a ，b 的值，然后利用对数的运算性质可得结果．【解答】解：由|a −8b |+(4b −1)2=0，得{a −8b =04b −1=0, 解得a =2，b =14， 所以log 2a b=log 2214=14．故答案为14．16.答案：2−21013解析：【分析】本题考查数列的递推关系及数列求和，根据递推关系分n 为奇数和n 为偶数，求出通项，即可求和，属中档题． 【解答】解：当n 为奇数时，a n+1=(−2)n ，则a 2=(−2)1,a 4=(−2)3,⋯,a 100=(−2)99，当n 为偶数时，a n +1=2a n +(−2)n =2a n +2n ， 则a 3=2a 2+22=0，同理，a 5=0，⋯，a 99=0， 因为a 1=0，所以S 100=a 2+a 4+⋯+a 100+0=(−2)1+(−2)3+⋯+(−2)99 =−2×(1−450)1−4=2−21013．故答案为2−21013．17.答案：解：，∴由正弦定理得4ca =bc ， ∴b =4a ，，∴a=2,b=8，∴a+b=10.(2)设CD=x，则BD=8−x，由余弦定理得，即(8−x)2=22+x2−4⋅x⋅12，∴x=307，∴CD=30 7.解析：(1)因为，所以由正弦定理得4ca=bc然后进行求解即可；(2)设CD=x，则BD=8−x，然后利用余弦定理进行求解即可．18.答案：解：(1)证明：取SA的中点F，连接EF，∵E为SD中点，，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE//BF，平面ABS，为二面角B−AD−S的平面角，∴∠SAB=60∘，∵AB=AS,∴BA=BS,∴BF⊥SA，∴CE⊥SA;(2)作AB中点O，由(1)知SO⊥AB,SO⊥AD，AB∩AD=D,∴SO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系O −xyz ，设BC =1， 则S(0,0,√3),C(1,1,0),D(−1,2,0),∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0),CS ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√3)， 设平面SCD 的法向量n =(x,y,z),得{−2x +y =0−x −y +√3z =0, 可取n =(1,2,√3),∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),，，∴AB 与平面SCD 所成角的余弦值为√144．解析：本题考查了线面垂直，线线垂直的证明，用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．(1)构造平行四边形，得CE//BF ，由BA =BS 得BF ⊥SA ，即可得答案．(2)建立空间直角坐标系，求出法向量，利用向量的夹角公式即可求解．19.答案：解：(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 50C 43C 93=121，P(X =1)=C 51C 42C 93=514， P(X =2)=C 52C 41C 93=1021，P(X =3)=C 53C 40C 93=542，故的分布列为： X 0 1 2 3P 121 514 1021 542 ∴E(X)=0×121+1×514+2×1021+3×542=53， (2)因为x 6=x =7，b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ， 所以去掉2015年的数据后不影响b̂的值， 所以b ̂=i 9i=1i −9xy ∑x 29−9x 2=434.1−9×7×6.2509−9×72=43.568≈0.64， 去掉2015年数据后，x =7，y =9×6.2−7.88=6，所以a ̂=y −b ̂x =6−43.568×7≈1.52，故回归方程为：y ̂=0.64x +1.52．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查回归直线方程的求法，(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而X 的所有可能取值为0，1，2，3.分别示出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．(2)因为x 6=x =7，所以去掉2015年的数据后不影响b ̂的值，由公式可得b ̂的值，故可得线性回归方程．20.答案：(1)y 2=4x(2)略解析：(1)由题意知−p 2=−1，∴p =2，∴抛物线的方程为y 2=4x.(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的斜率为k ，∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，F(p 2,0)，∴(x 1−p 2,y 1)⋅(x 2−p 2,y 2)=0，即x 1x 2−p 2(x 1+x 2)+p 24+y 1y 2=0①，直线l 的方程为y =k(x +p 2)，联立y 2=2px ，得k 2x 2+(pk 2−2p)x +k 2p 24=0，∴x 1+x 2=2p−pk 2k 2②，x 1x 2=p 24③，又y 1y 2=k 2[x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24]④，联立①②③④得k =±√22，经检验，k =±√22时，直线l 与抛物线交于两个点．21.答案：解：∵f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2，∴f′(x)=3x 2+2ax +b ，∵函数f(x)=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10，∴{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10，解得{a =4b =−11，或{a =−3b =3， 当{a =4b =−11时，f′(x)=3x 2+8x −11=(3x +11)(x −1)， 当−113<x <1时，f′(x)<0，当x >1时，f′(x)>0，满足x =1处为极值点；当{a =−3b =3时，f′(x)=3x 2−6x +3=3(x −1)2，易知在x =1的两侧f′(x)>0， 故x =1不是极值点，应舍去．故只有{a =4b =−11满足题意．解析：由题意可得{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10，解之可得a ，b 的值，验证需满足在x =1的两侧单调性相反，即导数异号才为极值点．本题考查函数在某点取得极值的条件，注意验证是解决问题的关键，属中档题．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0，解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0， 得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0，设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4．易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3 x ≤12x +1 12<x <23x −3 x ≥2，不等式f (x )≥3可化为{−3x +3≥3x ≤12 或{x +1≥312<x <2 或{3x −3≥3x ≥2， 解得，不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞).(2)f (x )≥|2x −a −(x −2)|=|x −a +2|，当且仅当(2x −a )(x −2)≤0时，取“=”，∴当a ≤4时，x 的取值范围为a2≤x ≤2；当a >4时，x 的取值范围为2≤x ≤a 2.解析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题．(1)分三段分别求解即可；(2)f (x )≥|2x −a −(x −2)|=|x −a +2|，当且仅当(2x −a )(x −2)≤0时，取“=，讨论a 的取值得出结论．。

2020年高二数学暑假自测题（高考模拟） (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x｜0<x<6}，B={x｜x2+x−2>0}，则A∪B=()A. {x｜1<x<6}B. {x｜x<−2或x>0}C. {x｜2<x<6}D. {x｜x<−2或x>1}2.若复数z=i−1+2i，则z−的虚部为()A. −15i B. −15C. 15i D. 153.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a1+a2+a3=4，S6=10，则a5=()A. 2B. 169C. 209D. 734.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√35.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 10086.已知椭圆的焦点是F1,F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线一支D. 抛物线7.函数y=sinx⋅e x+1e x−1的部分图象大致为()A.B.C.D.8. 第十九届西北医疗器械展览将于2018年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( ) A. 540 B. 300 C. 180 D. 1509. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.若射线y =2(x −1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q两点，则|PF||PQ|=( )A. √55B. √22C. 15D. 1210. 若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+1，则( )A. a n =2n −1B. a n =2n +1C. a n ={2(n =1)2n −1(n ≥2)D. a n ={2(n =1)2n +1(n ≥2)11. 在三棱锥S −ABC 中，已知SA =4，AB =AC =1，∠BAC =2π3，若S ，A ，B ，C 四点均在球O的球面上，且SA 恰为球O 的直径，则三棱锥S −ABC 的体积为( )A. √312B. 14C. 12D. 3412. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2则(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =( )A. 5B. −5C. 6D. −6 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (x −12x )6的展开式中常数项为______，二项式系数最大的项的系数为______． 14. 已知函数f(x)=log 2x −1，若a ∈[1,10]，则f(a)∈[1,2]的概率为______． 15. 过双曲线x 24−y 25=1的左焦点F 1，作圆x 2+y 2=4的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点为M ，则|MO|−|MT|= ______ ．16. 已知f(1x )=x +√1+x 2(x >0)，则f(x +1)=__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差(精确到个位)；(2)以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为Y，是估算Y的数学期望．18.在ΔABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对边的长，a(sinA+sinB)=(c−b)(sinB+sinC)．(1)求角C的值：(2)设函数f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√34，求f(A)的取值范围．19.如图所示，已知三棱锥P−ABC中，底面ABC是等边三角形，且PA=PB=AC=2，D、E分别是AB、PC的中点．(1)证明：AB⊥平面CDE；(2)若PC=√6，求二面角A−PB−C的余弦值．20.椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，椭圆上一点P(√3,√3).直线l的斜率存在，且不经过点F2，l2与椭圆C交于A，B两点，且∠AF2O+∠BF2O=180∘．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线l过定点．21.已知函数f(x)=lnx+a(1−x)，a∈R．(1)已知函数f(x)只有一个零点，求a的取值范围；(2)若存在x0∈(0,+∞)，使得f(x0)≥2a−2成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴简历极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0,π2](1)将半圆C化为参数方程；(2)已知直线l：y=−√33x+6，点M在半圆C上，过点M斜率为−1直线与l交于点Q，当|MQ|最小值时，求M的坐标．23.(1)已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，证明1a +1b+1c≥9；(2)已知a，b，c均为正实数，且abc=1，证明√a+√b+√c≤1a +1b+1c．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的并集运算，考查运算求解能力．【解答】解：因为B={x︱x<−2或x>1}，所以A∪B={x︱x<−2或x>0}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的答案，【解答】解：z=i−1+2i =i(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=2−i5=25−i5，∴z−=25+i5．∴z−的虚部为15．故选D．3.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式，属于基础题．根据题意，利用等差数列的性质可得3a2=4，3(a2+a5)=10即可得出答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=4，∴3a2=4，即a2=43，∵S6=10，∴6(a1+a6)2=3(a2+a5)=10，∴a5=2．故选A．4.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．∴V=13×2×12×22=43．故选：A ．由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2． 本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =2A +1的值， 由题意，可得：2017=2A +1，解得：A =1008． 故选：D ．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案． 本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题． 6.答案：A解析：由椭圆的定义知：|PF 1|+|PF 2|=2a(a >0)，且|PQ|=|PF 2|，得|PF 1|+|PQ |=2a(a >0)，所以动点Q 的轨迹是以点F 1为圆心的圆.故选A ． 7.答案：B解析：【分析】本题考查函数的图象，根据函数的奇偶性和特殊值可以排除选项，即可求解，属中档题． 【解答】解：由题知f(−x)=sin(−x)⋅e −x +1e −x −1=sinx ⋅e x +1e x −1=f(x)，∴函数y =sinx ⋅e x +1e x −1为偶函数，图象关于y 轴对称，排除A 、C ，又当x >0且趋近0时sinx >0，e x +1e x −1>0，∴y =sinx ⋅e x +1e x −1>0，排除D ．故选B ． 8.答案：D解析：【分析】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案． 【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C 53·A 33种分法， 分成2、2、1时，有C 52C 32A 22⋅A 33种分法，所以共有C 53·A 33+C 52C 32A 22⋅A 33=150种分法，故选：D ．9.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．画出图形，利用直线的斜率，三角函数的值的求法，转化求解即可． 【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，准线为l ：x =−1，射线y =2(x −1)(x ≤1)过抛物线的焦点坐标(1,0)，如图：直线的斜率为：2，设倾斜角为：θ，可得tanθ=2，则cosθ>0， 则cosθ=√cos 2θ=√cos 2θsin 2θ+cos 2θ=√11+tan 2θ=√55． 作PN 垂直抛物线的准线l 于N ，则PF =PN ， 则|PF||PQ|=|PN||PQ|=cosθ=√55． 故选：A ． 10.答案：C解析：解：由题意知，当n =1时，a 1=s 1=1+1=2，当n ≥2时，a n =s n −s n−1=(n 2+1)−[(n −1)2+1)]=2n −1， 经验证当n =1时不符合上式， ∴a n ={22n −1n =1n ≥2故选C ．根据数列{a n }的前n 项和S n ，表示出数列{a n }的前n −1项和S n−1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n =1代入时不符合上式．此题考查了等差数列的通项公式，灵活运用a n =S n −S n−1求出数列的通项公式．属于基础题． 11.答案：C解析：【分析】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．推导出∠ABS =∠ACS =90°，SB =SC =√15，BC =√3，取BC 中点O ，连结SO ，AO ，则SO ⊥BC ，AO ⊥BC ，AO =12，BO =√32，SO =√572，从而cos∠SAO =12，进而∠SAO =60°，S 到平面ABC 的距离d =SA ×sin60°=2√3，由此能求出三棱锥S −ABC 的体积． 【解答】解：∵在三棱锥S −ABC 中，SA =4，AB =AC =1，∠BAC =2π3，S ，A ，B ，C 四点均在球O 的球面上，且SA 恰为球O 的直径，∴∠ABS =∠ACS =90°，SB =SC =√15，BC =√1+1−2×1×1×cos2π3=√3，取BC 中点O ，连结SO ，AO ，则SO ⊥BC ，AO ⊥BC ，AO =12，BO =√32，SO =√15−34=√572， ∴cos∠SAO =SA 2+AO 2−SO 22×SA×AO=16+14−5742×4×12=12，∴∠SAO =60°，∴S 到平面ABC 的距离d =SA ×sin60°=4×√32=2√3，∴三棱锥S −ABC 的体积：V =13×S △ABC ×d =13×12×√3×12×2√3=12．故选：C ． 12.答案：B解析：【分析】本题考查向量数量积的运算，属基础题． 根据向量数量积的运算法则化简即可． 【解答】 解：因为a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2， 所以(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =3a ⃗ ·b ⃗ −2b ⃗ 2=3−8=−5． 故选B ．13.答案：154154；−52 52解析：【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项以及二项式系数最大的项的系数． 【解答】解：二项式(x −12x 2)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅(−12)r ⋅x 6−3r ， 令6−3r =0，解得r =2，故展开式中常数项为C 62⋅14=154．二项式系数最大的项为第四项(r =3)，系数为C 63⋅(−12)3=−52． 故答案为154；−52．14.答案：49解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，考查对数不等式的解法，是基础题．由1≤log 2a −1≤2求解对数不等式可得a 的范围，再由概率是长度比得答案． 【解答】解：∵f(x)=log 2x −1，由1≤log 2a −1≤2，得2≤log 2a ≤3， ∴4≤a ≤8，则若a ∈[1,10]，则f(a)∈[1,2]的概率为P =8−410−1=49． 故答案为：49．15.答案：√5−2解析：解：双曲线x 24−y 25=1的a =2，b =√5，c =√a 2+b 2=3，设双曲线的右焦点为F ，由O 为FF 1中点，M 为PF 1的中点， 可得MO 为三角形PFF 1的中位线， |MO|=12|PF|，又|MT|=|PT|−|PM|=|PF 1|−|F 1T|−12|PF 1|=12|PF 1|−|F 1T|， 所以|MO|−|MT|=−12(|PF 1|−|PF|)+|F 1T|=|F 1T|−a ，又a =2，即有|F 1T|=√|OF 1|2−4=√9−4=√5． 所以|MO|−|MT|=√5−2． 故答案为：√5−2．利用坐标原点是两焦点的中点，利用三角形的中位线的性质得到MO 用焦半径表示；将MT 用焦半径表示；利用圆的切线与过切点的半径垂直得到直角三角形；利用勾股定理及双曲线的定义，求出所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，在解决双曲线中的有关中点问题时，要注意坐标原点是两个焦点的中点、解决与双曲线的与焦点有关的问题常联系双曲线的定义．16.答案：1+√x2+2x+2x+1解析：设t =1x ，则x =1t ，则t >0，则f(t)=1t +√1+(1t )2=1t +√1+t2t ，则f(x +1)=1x+1+√1+(x+1)2x+1=1+√x 2+2x+2x+1故答案为：1+√x2+2x+2x+117.答案：解：(1)由频率分布直方图，得平均数为：x =(45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005)×10=67，方差为：s 2=(45−67)2×0.01×10+(55−67)2×0.02×10+(65−67)×0.03×10+(75−67)2×0.025×10+(85−67)2×0.01×10+(95−67)2×0.005×10=166， ∴标准差为：s =√166≈13；(2)依题意X ：N(67,13)，P(μ−2σ<x <μ+2σ)=P(41<x <93)=0.954，∴P(x >93)=1−0.9542=0.023，Y ：B(50,0.023)，E(Y)=50×0.023=1.15．解析：(1)由频率分布直方图，能求出平均数和标准差．(2)X ：N(67,13)，P(μ−2σ<x <μ+2σ)=P(41<x <93)=0.954，P(x >93)=1−0.9542=0.023，由此能求出Y 的数学期望．本题考查平均数、方差、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：(1)在△ABC 中，因为a(sinA +sinB)=(c −b)(sinB +sinC)，由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC ，所以a(a +b)=(b +c)(c −b)，即a 2+b 2−c 2=−ab ，由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，得cosC =−12，又因为0<C <π，所以C =2π3， (2)因为f(x)=cosx ⋅sin(x +π3)−√34=12sinx ⋅cosx +√32cos 2x −√34=14sin2x +√34(cos2x +1)−√34=12sin(2x +π3)， 所以f(A)=12sin(2A +π3)，由(1)可知C =2π3，且在△ABC 中，A +B +C =π所以0<A <π3， 即π3<2A +π3<π ，所以0<sin(2A +π3)≤1，即0<f(A)≤12所以f(A)的取值范围为(0,12] ．解析：本题主要考查解三角形的应用．(1)利用正余弦定理求角．(2)正弦函数的值域的求解．19.答案：证明：(1)连接PD ，因为PA =PB =PC ，底面ABC 是等边三角形，又因为D是AB的中点，所以PD⊥AB，AB⊥CD，又因为CD∩PD=D，CD，PD⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE．解：(2)因为PA=PB=AC=2，由(1)可知PD=CD=√3，而PC=√6，所以PD⊥CD，以D为原点，以DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(−1,0，0)，B(1,0，0)，C(0,√3,0)，P(0,0，√3)，由题得平面ABP的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1，0)．设平面BCP的一个法向量为n⃗=(x,y，z)，所以{BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−x+√3y=0 PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗=√3y−√3z=0，令z=1，得x=√3，y=1，所以n⃗=(√3,1,1)，所以cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=5=√55，由题意知二面角A−PB−C为锐角，所以二面角A−PB−C的余弦值为√55．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)连接PD，推导出PD⊥AB，AB⊥CD，由此能证明AB⊥平面CDE．(2)推导出PD⊥CD，以D为原点，以DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PB−C的余弦值．20.答案：(1)解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).由题意得{3a2+34b2=1a2−b2=1，解得{a2=4b2=3,故椭圆方程为x24+y23=1；(2)证明：设直线l方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于A，B两点，由题意知：k AF2+k BF2=0，联立{y=kx+m x24+y23=1,(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，Δ=(8km)2−4×(3+4k2)(4m2−12)>0，即4k2−m2+3>0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，由y1x1−1+y2x2−1=0，得y1(x2−1)+y2(x1−1)=0，即：2kx1x2+(m−k)(x1+x2)−2m=0，代入得：m=−4k，把m=−4k代入4k2−m2+3>0，解得−12<k<12，而直线不过点F2(1,0)，所以k≠0，即−12<k<12且k≠0，所以直线l：y=k(x−4)过定点(4,0)．解析：本题考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及圆锥曲线中的定点问题，属于较难题．(1)根据题意得到c=1，再根据椭圆的定义求出a，从而得到椭圆的标准方程；(2)设直线l方程为y=kx+m，直线l与椭圆C交于A，B两点，将直线方程与椭圆方程联立，根据由题意知：k AF2+k BF2=0，通过斜率公式并结合韦达定理，得到m=−4k，由此可以得到直线过定点．21.答案：解：(1)f′(x)=1x−a，定义域为(0,+∞)，①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上为增函数，因为f(1)=0，有一个零点，所以a≤0符合题意；②若a>0，令f′(x)=0，得x=1a，此时f(x)在(0,1a )单调递增，(1a,+∞)单调递减，f(x)的极大值为f(1a)，因为f(x)只有一个零点，所以f(1a)=0，即ln1a +a(1−1a)=0，即a−lna−1=0，令y=a−lna−1，则y′=1−1a，则函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当a=1时，取最小值0，故a=1，综上所述a=1或a≤0；(2)因为∃x 0∈(0,+∞)，使得f(x 0)≥2a −2，所以a ≤2+lnx 01+x 0， 令g(x)=2+lnx 1+x (x >0)，即a ≤g(x)最大值，因为g′(x)=1x −lnx−1(1+x)2，设ℎ(x)=1x −lnx −1，ℎ′(x)=−1x 2−1x <0，所以ℎ(x)在(0,+∞)单调递减，又ℎ(1)=0，故函数g(x)在(0,1)单调递增，(1,+∞)单调递减，g(x)的最大值为g(1)，a ≤g(1)=1，即实数a 的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查函数的零点的个数问题解法，以及不等式存在性问题，考查分类讨论思想和构造函数法，运用导数求单调性和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，讨论a >0，a ≤0，考虑单调性和最值，解方程可得所求a 的范围；(2)由题意可得a ≤2+lnx 01+x 0，令g(x)=2+lnx 1+x (x >0)，即a ≤g(x)最大值，求得g(x)的导数和单调性，可得极大值，且为最大值，即可得到所求范围．22.答案：解：(1)半圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[0,π2]，转化成直角坐标方程为：x 2+y 2−4y =0(0≤x ≤2)再把半圆C 化为参数方程为：{x =2cosαy =2+2sinα(α为参数，−π2≤α≤π2)， (2)设M 到l 的距离为d ，则：|MQ|=d sin15°，所以：|MQ|取最小值时，仅当d 最小，故半圆C 在M 处的切线与直线l 平行，由CM ⊥l ，又l 的倾斜角为5π6，所以：点M 对应的参数为：α=π3则：点M 对应的点的坐标为(1,2+√3).解析：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的平行问题，属于中档题．(1)首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围．(2)利用点一直线的位置关系，建立最值成立的条件，进一步求出结论．23.答案：证明：(1)因为a ，b ，c 均为正实数，∴1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c =b a +c a +1+a b +c b +1+a c +b c+1 =b a +a b +a c +c a +b c +c b+3≥9，当a =b =c 时等号成立； (2)因为a ，b ，c 均为正实数，∴1a +1b+1c=12(1a+1b+1a+1c+1b+1c)≥12×(2√1ab+2√1ac+2√1bc)，又因为abc=1，所以1ab =c，1ac=b，1bc=a，∴√a+√b+√c≤1a +1b+1c．当a=b=c时等号成立，即原不等式成立．解析：(1)根据a+b+c=1，利用基本不等式即可证明；(2)根据1a +1b+1c=12(1a+1b+1a+1c+1b+1c)，利用基本不等式即可证明．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．。

2020年暑假高二数学补习题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，则下列正确的为()A. U=A∪BB. U=(C U A)∪BC. U=A∪(C U B)D. U=(C U A)∪(C U B)2.设z=21+i+2i，则z−的虚部是()A. 2B. 1C. −2D. −13.cos480°=()A. 12B. √32C. −12D. −√324.已知某高中的一次测验中，甲乙两个班的九科平均分的雷达图如图所示，则下列判断错误的是()A. 甲班的政治、历史、地理平均分强于乙班B. 甲班的物理、化学、生物平均分低于乙班C. 学科平均分分差最小的是语文学科D. 学科平均分分差最大的是英语学科5.若a=0.20.2，b=1.20.2，c=log1.20.2，则()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. a<c<b6.在空间中，a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列条件中可推出a//b的是()A. a⊥α，b⊥αB. a//α，b⊂αC. a⊂α，b⊂β，α//βD. a⊥α，b⊂α7.曲线y=x3−x在点(1,0)处切线的倾斜角为α，则tanα=()A. 2B. −43C. −1D. 08.已知a⃗=(x,2)，b⃗ =(−2,1)，a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗−b⃗ |=()A. √5B. 2√5C. √10D. 109.(文科做)要得到函数y=f(2x−π3)的图象，只需将函数y=f(2x)的图象()A. 向左平行移动π3个单位 B. 向右平行移动π3个单位 C. 向左平行移动π6个单位D. 向右平行移动π6个单位学10. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.11. 点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p >0) 与双曲线C 2:x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的一条渐近线的一个交点，若点A 到抛物线C 1的焦点的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. √6 B. √5 C. √3 D. √212. 已知函数f(x)={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n+1=f(a n )(n ∈N +)，则a 2019=( )A. 73B. 43C. 56D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 4x,x ≥19x ,x<1，则f(f(2))的值为___________ ．14. 在等差数列{a n }中，a 2+a 7=20，则数列{a n }的前8项之和S 8= ______ ． 15. 若直线2x +y −2=0与圆(x −1)2+(y −a)2=1相切，则a =______．16. 三棱锥S −ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA =3，△ABC 是边长为2的正三角形，则其外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 十三届全国人大二次会议于2019年3月5日在京召开.为了了解某校大学生对两会的关注程度，学校媒体在开幕后的第二天，从学生中随机抽取了180人，对是否收看2019年两会开幕会情况进行了问卷调查，统计数据得到列联表如下：收看 没收看 合计男生40女生3060合计(Ⅱ)根据上表说明，能否有99%的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关？(结果精确到0.001)附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.100.050.0250.010.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87918.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1√a+√a}的前84项和．19.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求∠B的大小；(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，且E，F分别是BC，B1C1中点．(1)求证：A1B//平面AEC1；(2)求直线AF与平面AEC1所成角的正弦值．21.在平面直角坐标系xOy内，有一动点P到直线x=4√33的距离和到点(√3,0)的距离比值是2√33．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)已知点A(2,0)，若P不在x轴上，过点O作线段AP的垂线l交曲线C于点D，E，求|DE||AP|的取值范围．22.已知函数f(x)=1+lnxx．(Ⅰ)若f(x)在(m,m+1)上存在极值，求实数m的取值范围；(Ⅱ)证明：当x>1时，(x+1)(x+e x)f(x)>2(1+1e)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：∵全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，∴C U B={1,2,4,6,7}，∴A∪C U B={1,2,3,4,5,6,7}=U．故选C．2.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：cos480°=cos(360°+120°)=cos120°=−12．故选：C．直接利用诱导公式化简求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．4.答案：C解析：分析：先对图表信息的分析、处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表信息的分析及简单的合情推理，属中档题．解：由雷达图可知：选项A、B、D均正确，又由图可知学科平均分分差最小的是地理学科，即C错误，故选：C．5.答案：B解析：【分析】此题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．根据指数函数和对数函数的单调性，将a，b，c与0或1的大小进行比较，进而得出结果．【解答】解：∵0<a=0.20.2<1，b=1.20.2>1，，则c<a<b．故选B．6.答案：A解析：解：A选项正确，a⊥α，b⊥α，可由垂直于同一平面的两条直线平行这一结论得出a//bB选项不正确，因为线面平行，线与面内的线可能是异面．C选项不正确，因为两个平行平面中的两条直线的位置关系是平行或者异面．D选项不正确，因为a⊥α，b⊂α，则两线的位置关系是垂直，故选A由题设中的条件a、b是不重合的直线，α、β是不重合的平面再结合四个选项中的条件判断线线平行，得出正确选项．本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解答本题，关键是有一定的空间想像能力及熟练掌握线线平行的判断条件．本题考查了推理判断的能力，7.答案：A解析：解：y=x3−x的导数为y′=3x2−1，曲线y=x3−x在点(1,0)处切线的斜率为3−1=2，即tanα=2．故选：A．求得函数y的导数，由导数的几何意义，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，属于基础题．8.答案：C解析：解：a⃗=(x,2)，b⃗ =(−2,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−2x+2=0，解得x=1，∴a⃗−b⃗ =(1+2,2−1)=(3,1)，∴|a⃗−b⃗ |=√32+12=√10．故选：C．根据a⃗⊥b⃗ 时a⃗⋅b⃗ =0，求出x的值，再计算a⃗−b⃗ 的模长．本题主要考查两个向量垂直的性质与应用问题，是基础题目．9.答案：D解析：解：∵将函数y=f(2x)的图象向右平行移动π6个单位得：y=f[2(x−π6)]=f(2x−π3)，∴要得到y=f(2x−π3)的图象，只需将函数y=f(2x)的图象向右平行移动π6个单位．故选D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，掌握先周期变换后相位变换的规律是关键，属于中档题．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查利用函数的特殊值判断函数的图像． 【解答】 解：因为，故排除A ，C 又，故排除B ， 故选D ． 11.答案：B解析：【分析】先根据条件求出店A 的坐标，再结合点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ；得到a 2b 2=14，再代入离心率计算公式即可得到答案．本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率e 和渐近线的斜率±ba 之间有关系e 2=1+(±ba )2． 【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y =ba x ， 联立{y 2=2px y =ba x⇒{x =2pa 2b 2y =2pab； 故A (2pa 2b 2,2pab).∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ， ∴p2+2pa 2b 2=p ；∴a 2b 2=14，∴双曲线C 2的离心率e =c a=√a 2+b 2a 2=√5．故选：B ． 12.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)={x +12,x ≤122x −1,12<x <1x −1,x ≥1，若数列{a n }满足a 1=73，a n+1=f(a n )，则a 2=a 1−1=43， a 3=a 2−1=13， a 4=a 3+12=56，a5=2a4−1=23，a6=2a5−1=13，a7=a6+12=56，则数列{a n}满足a n+3=a n，(n≥3)，即数列{a n}从第三项开始，组成周期为3的数列，则a2019=a3+2016=a3=13，故选：D．根据题意，由函数的解析式以及数列的递推公式求出数列{a n}的前7项，分析可得a n+3=a n，(n≥3)，即数列{a n}从第三项开始，组成周期为3的数列，据此可得a2019=a3+2016=a3，即可得答案．本题考查数列与函数的综合应用，涉及数列的递推公式以及分段函数的解析式，属于基础题．13.答案：3解析：【分析】用函数的解析式，求解f(2)，然后求解f[f(2)]的值．【解答】解：因为，故可得f(f(2))=f(12)=912=3，故答案为3．14.答案：80解析：解：由等差数列的性质可得a1+a8=a2+a7=20，∴数列{a n}的前8项之和S8=8(a1+a8)2=80故答案为：80由等差数列的性质可得a1+a8=20，代入求和公式计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．15.答案：±√5解析：解：因为直线2x+y−2=0与圆(x−1)2+(y−a)2=1相切，所以√22+12=1，解得a=±√5．故答案为：±√5．利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径列式可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．16.答案：43π3解析：【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面三角形外接圆半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．属于中档题．【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，SA⊥平面ABC，SA=3，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=2√33，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=32，故球的半径R=√r2+d2=√43+94=√4312．三棱锥S−ABC外接球的表面积为：4πR2=4π×4312=433π.故答案为：43π3．17.答案：解：Ⅰ依据题中提供的数据，完成列联表如下：收看没收看合计男生8040120女生303060合计11070180(Ⅱ)根据列联表计算K2=180×(80×30−40×30)2120×60×110×70=36077≈4.675<6.635，所以没有的把握认为该校大学生收看开幕会与性别有关.解析：本题考查独立性检验在解决实际问题中的应用，属于基础题．(Ⅰ)根据题中提供数据填写列联表即可；(Ⅱ)根据列联表计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)和6.635比较即可得到答案．18.答案：解：(1)由a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n，得a1=1，当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，∴12n−1a n=1，a n=2n−1(n≥2)，a1=1适合上式，∴a n=2n−1；(2)∵a+a =√a n+1−√a na n+1−a n=12(√a n+1−√a n)=12(√2n+1−√2n−1)．∴数列{a+a }的前84项和S84=12(√3−1+√5−√3+⋯+√169−√167)=12(13−1)=6．解析：(1)由已知递推式求得首项，且得到当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，与原递推式联立即可得到数列{a n}的通项公式；(2)利用裂项相消法求数列{√a +√a }的前84项和．本题考查数列递推式，考查了利用作差法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．19.答案：解：(1)由正弦定理及cosB cosC =−b 2a+c 得：cosB cosC =−sinB2sinA+sinC ，∴cosB(2sinA +sinC)=−sinBcosC ， ∴2sinAcosB +cosBsinC =−sinBcosC ， ∴−2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ， ∵sinA ≠0， ∴cosB =−12， ∵0<B <π， ∴B =2π3，(2)由a =2,B =2π3,S =12acsinB =√3，解得：c =2，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，① 将，a =2，c =2，B =2π3代入①，得b =√22+22+2×2×2×12=2√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：−2sinAcosB =sinA ，结合sinA ≠0，可求cos B ，结合B 的范围可求B 的值．(2)由利用三角形面积公式、及余弦定理即可求解b 、c 的值． 20.答案：证明：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ， ∵ACC 1A 1为正方形，∴O 为A 1C 中点，又E 为CB 中点，∴EO 为△A 1BC 的中位线， ∴EO//A 1B ，又EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴A 1B//平面AEC 1．解：(2)作FM ⊥EC 1于M ，连接AM ， ∵AB =AC ，E 为BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，又∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ⊥平面BCC 1B 1=BC ， AE ⊂平面ABC ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1， 而AE ⊂平面AEC 1，∴平面AEC 1⊥平面BCC 1B 1，∴FM ⊥平面AEC 1， ∴∠FAM 即为直线AF 与平面AEC 1所成角， 设AB =AC =AA 1=1，则在Rt △AFM 中，FM =√33，AF =√62，∴直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值sin∠FAM =FM AF =√23．解析：(1)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ，则EO//A 1B ，由此能证明A 1B//平面AEC 1．(2)作FM ⊥EC 1于M ，连接AM ，推导出AE ⊥BC ，AE ⊥平面BCC 1B 1，从而平面AEC 1⊥平面BCC 1B 1，进而FM ⊥平面AEC 1，∠FAM 即为直线AF 与平面AEC 1所成角，由此能求出直线AF 与平面AEC 1所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设动点P 的坐标为(x,y)， 根据题意得|x−4√33|√(x−√3)2+y 2=2√33，化简得曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅱ)∵P 不在x 轴上，故直线AP 的斜率不为0， 设直线AP 的方程为y =k(x −2)，则直线DE 的方程为y =−1k x ．联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1, 得(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0．设P(x 0,y 0)，则2+x 0=16k 21+4k 2，即x 0=8k 2−21+4k 2． 故|AP|=√(x 0−2)2+y 02=√(1+k 2)(x 0−2)2=4√1+k 21+4k 2． 设D(x 1,y 1)，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|．由{y =−1k x x 24+y 2=1，解得x 12=4k 24+k 2，y 12=44+k 2， |OD|=√x 12+y 12=2√1+k 2k 2+4，∴|DE|=4√1+k 2k 2+4． ∴|DE||AP|=4√1+k 2k 2+441+k 21+4k 2=2√k 2+4．设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2．|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t (t >2)．令g(t)=4t 2−15t (t >2)，则g′(t)=4t 2+15t 2>0．∴g(t)是一个增函数，∴|DE||AP|=4t 2−15t >4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是(12,+∞)．解析：本题考查曲线方程的求法，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(Ⅰ)由直接法即可求解．(Ⅱ)设直线AP 的方程为y =k(x −2)，则直线DE 的方程为y =−1k x.联立{y =k(x −2)x 24+y 2=1得到P 点坐标，求得|AP|，设D(x 1,y 1)，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|，求得|DE|即可求解．22.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，所以 f′(x)=−lnxx 2，当0<x <1时，f′(x)>0，当x >1时，f′(x)<0．所以 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，则 x =1是函数f(x)的极大值点，又f(x)在(m,m +1)上存在极值，则m <1<m +1⇔0<m <1，故实数m 的取值范围是(0,1)．(Ⅱ)证明：(x +1)(x +e −x )f(x)>2(1+1e )⇔1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1．令g(x)=(x+1)(lnx+1)x ，则g′(x)=x−lnxx 2， 令φ(x)=x −lnx ，则φ′(x)=1−1x =x−1x ，当x >0时,φ′(x)>0，∴φ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以φ(x)>φ(1)=1>0，∴g′(x)>0.∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，所以当x >1时，g(x)>g(1)=2，故g(x)e+1>2e+1令ℎ(x)=2e x−1xe x +1，则ℎ′(x)=2e x−1(1−e x )(xe x +1)2∵x >1，∴1−e x <0，∴ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减．所以，ℎ(x)<ℎ(1)=2e+1，故 g(x)e+1>ℎ(x)，即(x +1)(x +e x )f(x)>2(1+1e )．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，属于中档题． (Ⅰ)求出函数的单调性，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出m 的范围； (Ⅱ)问题转化为证明1e+1⋅(x+1)(lnx+1)x >2e x−1xe x +1，令f(x)=(x+1)(lnx+1)x ，g(x)=2e x−1xe x +1，根据函数的单调性求出函数的最值，从而证出结论．。

2020年暑假高二数学提分训练题 (5)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=2i2+4的虚部为()i+1A. −3B. −1C. 1D. 22.已知集合A={x∈N|lnx≤x<3}，集合B={y|y=√2−x}，则A∪B=()A. {1,2}B. [1,2]C. (−∞,2]D. [0,+∞)3.已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy的值为()A. 88B. 96C. 108D. 110π,c=π−2，则()4.设a=log2π,b=log12A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a5.已知向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，若向量a⃗//b⃗ ，则m=()D. 2A. −1B. 1C. 12)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象()6.已知函数f(x)=cos(ωx−π3A. 可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移π个单位得到3B. 可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π个单位得到3C. 可由函数g(x)=cos2x的图象向左平移π个单位得到6D. 可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π个单位得到67.某同学用收集到的6组数据对(x i,y i)(i=1,2,3，4，5，6)制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：y∧=b∧x+a，相关指数为r.现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③b∧>1；其中正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③8.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围()A. (4,6)B. [4,6]C. (2,4)D. [2,4]9. 某几何体的三视图如图所示，其中网格小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 16πB. 24πC. 36πD. 32π10. 已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，ab =cosAcosB ，A =π6，BC 边上的中线长为4，则△ABC 的面积S 为( )A. 16√37B. 8√37C. 247D. 487 11. 已知实数a ，b 满足2a 2−5lna −b =0，c ∈R ，则(a −c)2+(b +c)2的最小值为( )A. 12 B. √32C. 3√22D. 92 12. 已知函数f(x)=lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x 在定义域内有零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,1e )B. (−∞,1e ]C. (0,1e ]D. [1e ,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在某次夏令营活动中，甲、乙、丙三人都恰好报了清华大学、北京大学中的某一所大学的夏令营，三人分别给出了以下说法：甲说：“我报了清华大学的夏令营，乙也报了清华大学的夏令营，丙报了北京大学的夏令营”； 乙说：“我报了清华大学的夏令营，甲说的不完全对”； 丙说：“我报了北京大学的夏令营，乙说的对”．已知甲、乙、丙三人中，恰有一人说的不对，则报了北京大学夏令营的是________． 14. 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是______ ．15.已知不等式组{x+y−1≥0x−y+1≥02x−y−2≤0表示的平面区域为D，若对任意的(x,y)∈D，不等式｜x−2y｜≤t恒成立，则实数t的取值范围是__________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线x24−y2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB=√6，则p的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n2n−1}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，AD=AP=PB=1，∠APB=90°，点E、F分别为BC、AP中点．(1)求证：EF//平面PCD；(2)求三棱锥D−PEF的体积．19.(为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元(假设这100名农民工的月工资均在[25,55](百元)内)且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.050.010.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.82820.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√2，左右顶点分别为A,B，且过点(√2,1).若P(x0,y0),y0≠0为直线x=4上任意一点，PA,PB分别交椭圆E于C,D两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=ax2−blnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=1；(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)求f(x)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数)，直线l的参数方程为{x=3−t,y=1+t(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线m:θ=β(ρ⩾0)．(1)求C和l的极坐标方程；(2)设m与C和l分别交于异于原点O的P，Q两点，求|OP||OQ|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−|x|+1．(1)求不等式f(x)≥2x的解集；(2)若关于x的不等式f(x)⩾|x2+a|在[0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 解：∵z =2i 2+4i+1=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴复数z =2i 2+4i+1的虚部为−1．故选B ． 2.答案：D解析：【分析】本题考查并集运算和对数不等式，考查计算能力，属于基础题． 先化简A ，B ，再求并集． 【解答】解：A ∪B ={x ∈N|lnx ≤x <3}∪{y|y =√2−x}={1,2}∪{y|y ≥0}， 即A ∪B =[0,+∞)， 故选D ． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，列方程组求出x ，y ，由此能求出xy 的值． 【解答】解：∵样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，方差是2，∴{15(9+10+11+x +y)=1015[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(x −10)2+(y −10)2]=2，解得{x +y =20(x −10)2+(y −10)2=8，解得{x =12y =8或{x =8y =12，∴xy =96． 故选B ． 4.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题． 【解答】解：∵a>log22=1，b=−log2π<0，0<c<π0=1，∴a>c>b，故选C．5.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(−2,2)，b⃗ =(1,m)，向量a⃗//b⃗ ，∴−21=2m，解得m=−1．故选：A．由向量a⃗//b⃗ ，列出方程，能求出m．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．先由题意确定ω=2ππ=2，再根据g(x)平移可得．【解答】解：由题意，得ω=2ππ=2，则f(x)=cos(2x−π3)的图象可由函数g(x)=cos2x的图象向右平移π6个单位得到．故选D．7.答案：A解析：【分析】本题考查回归统计中的回归分析，属基础题．【解答】解：①.由散点图知，相关指数为r>0，①正确；②.x=16(0+1+2+3+7+5)=3，y=16(1.5+2+2.3+3+4.2+5)=3，因为样本中心点(3,3)，所以回归直线l恰好过点D点，②正确；因为直线l的斜率接近与AD斜率，而k AD=kAD=3−1.53=12<1" role="presentation" style="margin: 0px; padding: 5px 2px; display: inline-block; ; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; font-family:"MicrosoftYaHei ", arial, SimSun, sans-serif, tahoma; position: relative;">3−1.53=12<1，所以③错误．故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B 点横坐标的范围是关键.由抛物线定义可得|AF|=x 1+1，从而△FAB 的周长=|AF|+|FB|+|BA|=(x 1+1)+2+(x 2−x 1)=x 2+3，确定B 点横坐标的范围，即可得到结论. 【解答】解：由题意知抛物线y 2=4x 的准线为x =−1， 设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1,y 0)，B(x 2,y 0)， 则|AF|=x 1+1，由{y 2=4x (x −1)2+y 2=4， 消去y ， 整理得：x 2+2x −3=0， 解得x =1，或x =−3(舍)∵B 在圆(x −1)2+y 2=4的实线部分上运动， ∴1<x 2<3，∴ΔFAB 的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x 1+1)+2+(x 2−x 1)=x 2+3∈(4,6)， 故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，根据三视图知几何体是三棱柱，为长方体一部分，画出直观图，由长方体的性质求出该几何体外接球的半径，利用球的表面积公式求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：几何体为三棱柱，是长方体一部分，且长方体的长、宽、高分别是2√2, 2√2、4， ∴三棱柱的外接球与长方体的相同， 设该几何体外接球的半径是R ，由长方体的性质可得，(2R )2=(2√2)2+(2√2)2+42=32， 解得R 2=8，∴该几何体外接球的表面积S =4πR 2=32π， 故选D ． 10.答案：A解析：【分析】本题主要考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于一般题．首先根据正弦定理得出sinAcosB =sinBcosA ，得到sin(A −B)=0，然后利用余弦定理结合面积公式求出结果． 【解答】解：由题得acosB =bcosA ，再由正弦定理得sinAcosB =sinBcosA ， 所以sin(A −B)=0， 故B =A =π6，得，由正弦定理得c =√3a ，由余弦定理得16=c 2+(a 2)2−2c ·a 2cos π6，得a =8√77，c =8√217， 得S =12acsinB =16√37．故选A ．11.答案：D解析：【分析】本题考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式的应用，考查求函数上一点处的切线方程，属于较难题．首先将题目转化为求曲线y =2x 2−5lnx 上一点到已知直线y +x =0距离的最小值问题，然后求出与已知直线平行且与曲线相切的直线，切点到已知直线的距离即为所求值． 【解答】分别用x 代换a ，y 代换b ，则x ，y 满足：2x 2−5lnx −y =0，即y =2x 2−5lnx(x >0)， 以x 代换c ，可得点(x,−x)，满足y +x =0．因此求√(a −c)2+(b +c)2的最小值即为求曲线y =2x 2−5lnx 上的点到直线y +x =0的距离的最小值．设直线y +x +m =0与曲线y =2x 2−5lnx =f(x)相切于点P(x 0,y 0)， f′(x)=4x −5x，则f′(x 0)=4x 0−5x 0=−1，解得x 0=1，∴切点为P(1,2)，∴点P 到直线y +x =0的距离d =√2=32√2， 据此可得：(a −c)2+(b +c)2的最小值为92． 故选D ． 12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数与方程的综合应用问题，也考查了函数零点以及利用导数研究函数的单调性与最值问题，是中档题． 令函数f(x)=0，得出，设，利用导数求得g(x)的最大值g(x)max ，设ℎ(x)=x 2−2ex +a +e 2，根据二次函数求得ℎ(x)的最小值 ℎ(x)min ，利用ℎ(x)min ≤g(x)max 求得a 的取值范围． 【解答】解：函数f(x)=lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x 的定义域为(0,+∞)， 令lnx −x 3+2ex 2−(a +e 2)x =0， 得；设，则，则当0<x <e 时，g′(x)>0，∴g(x)在区间(0,e)上单调递增； 当x >e 时，g′(x)<0，∴g(x)在区间(e,+∞)上单调递减； ∴x =e 时，函数g(x)取得最大值为g(x)max =g(e)=1e ； 设ℎ(x)=x 2−2ex +a +e 2=(x −e)2+a ，则当x =e 时，ℎ(x)取得最小值为ℎ(x)min =ℎ(e)=a ； 要使f(x)在定义域内有零点，则ℎ(x)min ≤g(x)max ， 即a ≤1e ，∴实数a 的取值范围是(−∞,1e ]. 故选B ．13.答案：甲、丙解析：【分析】本题主要考查合情推理的知识，解答本题的关键是知道合情推理的特点． 【解答】解：根据题意得，甲、乙、丙三人中，只有甲一人说的不对，则报了北京大学夏令营的是甲、丙． 故答案为甲、丙．14.答案：π8解析：【分析】本题考查了几何概型的概率求法，属于基础题．由题意，所求概率符合几何概型的概率求法，由此只要求出正方形的面积以及半圆的面积，求面积之比即可． 【解答】解：设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率符合几何概型的概率， 所以豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是12π×122×2=π8，故答案为：π8．15.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及应用问题，是中档题．画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得|x −2y|max ，即可得出实数t 的取值范围． 【解答】解：画出不等式组{x +y −1≥0x −y +1≥02x −y −2≤0表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，在点B 处|x −2y|取得最大值，由{2x −y −2=0x −y +1=0，解得B(3,4)，所以|x −2y|max =|3−2×4|=5，所以不等式|x −2y|≤t 恒成立时，实数t 的取值范围是t ≥5． 故答案为[5,+∞)．16.答案：2√6解析：【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是准线方程和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，联立求得A ，B 的坐标，可得|AB|，解方程可得p 的值． 【解答】解：抛物线y 2=2px(p >0)的准线为l ：x =−p2， 双曲线x 24−y 2=1的两条渐近线方程为y =±12x ，可得A (−p2,−p4)，B (−p 2,p4)，则|AB |=|p4−(−p4)|=√6√6，可得p =2√6． 故答案为2√6．17.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+a 2=4(a1+a 2)+(a 2+a 3)=12, 即{a 1+a 2=4a 2+a 3=8, 所以{a 1+(a 1+d)=4(a 1+d)+(a 1+2d)=8，解得{a 1=1d =2, ∴a n =1+2(n −1)=2n −1； (Ⅱ)a n 2n−1=(2n −1)⋅(12)n−1，∴S n =1⋅(12)0+3⋅(12)1+5⋅(12)2+⋯+(2n −1)⋅(12)n−1①，∴12S n =1⋅(12)1+3⋅(12)2 +⋯+(2n −3)⋅(12)n−1+(2n −1)⋅(12)n② ，①− ②得12S n =1+2⋅(12)1+2⋅(12)2 +2⋅(12)3+⋯+2⋅(12)n−1−(2n −1)⋅(12)n=1+2·12(1−12n−1)1−12−(2n −1)⋅(12)n =3−(2n +3)⋅(12)n，∴S n =6−(2n +3)⋅(12)n−1=6−4n+62n．解析：本题考查了利用数列的递推公式求出通项公式和利用错位相减法求前n 项和，属于中档题． (Ⅰ)根据数列的递推公式求出公差d ，即可求出数列{a n }的通项公式， (Ⅱ)根据错位相减法即可求出前n 项和．18.答案：解：(1)证明：取PD 中点G ，连接GF ，GC ，在△PAD 中，G ，F 分别为PD 、AP 中点， ∴GF = //12AD ，在矩形ABCD中，E为BC中点，∴CE=//1AD，2∴GF=//EC，∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC//EF，而GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF//平面PCD；(2)∵AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，∵BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC//平面PAD，∵AD=AP=PB=1，∠APB=90°，，AP⊥PB，∵平面PAD∩平面PAB=PA，平面PAD⊥平面PAB，BP⊂平面PAB，∴BP⊥平面PAD，∵BC//平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，而，，∴三棱锥P−DEF的体积为1．12解析：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质及判定的运用，三棱锥体积的求法，考查了空间想象能力，属于中档题．(1)取PD中点G，连接GF，GC，根据几何关系证明四边形GFEC是平行四边形，即得到GC//EF，再运用线面平行的判定定理进行判定即可得证；(2)先根据已知条件证明BP⊥平面PAD，再根据BC//平面PAD，得到点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离，即，代入数据进行运算即可得解．19.答案：析：(Ⅰ)因为月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15人，所以月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为0.15；由频率分布直方图得(0.02+2m+4n+0.01)×5+0.15=1，化简得m+2n=0.07；…①由中位数为39百元可得0.02×5+2m×5+2n×(39−35)=0.5，化简得5m+4n=0.2；…②由①②解得m=0.02，n=0.025；技术工非技术工总计月工资不高于平均数193150月工资高于平均数311950总计5050100由表中数据计算得K 2=100×(19×19−31×31)250×50×50×50=5.76<10.828，所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关．解析：本题主要考查了独立性检验和频率分布直方图的应用问题，也考查了计算能力及频率应用问题，是基础题．(Ⅰ)根据频率分布直方图列方程组求得m 、n 的值；(Ⅱ)根据题意得到列联表，计算观测值，对照数表得出结论． 20.答案：(Ⅰ)解：依题意，得{2c =2√22a2+1b2=1a 2=b 2+c 2,解得： {a 2=4b 2=2, 故椭圆方程为：x 24+y 22=1；(Ⅱ)证明：由题意，A(−2,0),B(2,0)， 设P(4,t)，t ≠0，C(x 1,y 1),D(x 2,y 2)， 则直线PA 的方程为：y =t6(x +2)， 直线PB 的方程为：y =t 2(x −2)， 联立{x 24+y 22=1y =t 6(x +2), 得(18+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−72=0， 它的两个根分别为A,C 的横坐标， 由韦达定理：−2x 1=4t 2−7218+t 2，则x 1=36−2t 218+t 2，于是y 1=t6(x 1+2)=12t18+t 2 ，联立{x 24+y 22=1y =t2(x −2)， 得(2+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−8=0， 同理可得：2x 2=4t 2−82+t2，则x 2=2t 2−42+t 2，于是y 2=−4t2+t 2， 所以直线CD 的斜率为 k =y 1−y 2x1−x 2=12t 18+t 2+4t2+t236−2t 218+t 2−2t 2−42+t 2=4t6−t 2，所以直线CD ：y +4t2+t 2=4t6−t 2(x −2t 2−42+t 2)，化简可得：y =4t6−t 2(x −1)，故直线CD 过定点(1,0)．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，以及定点问题，属于中档题． (Ⅰ)由条件可得{2c =2√22a 2+1b2=1a 2=b 2+c 2，从而求出椭圆的方程；(Ⅱ)设P(4,t)t >0，由点斜式可得直线PA 、PB 的方程，分别联立直线和椭圆方程可以得到C 、D 两点的坐标，从而表示出直线CD 的方程，可以得到定点．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax 2−blnx ，∴x >0，f′(x)=2ax −bx ；又∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =1， ∴{f′(1)=0f(1)=1，即{2a −b =0a =1， 解得{a =1b =2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x 2−2lnx ， f′(x)=2x −2x ，由f′(x)=2x −2x =2⋅x 2−1x=0，解得x =±1(负值舍去)，∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=1．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义，是基础题．(Ⅰ)求出函数f(x)的导数f′(x)，根据题意列出方程组{f′(1)=0f(1)=1，解方程组求出a 、b 的值；(Ⅱ)利用导数判断函数f(x)的单调性，求出f(x)在定义域上的最小值f(x)min ．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，∴曲线C 的一般方程为(x −2)2+y 2=4， 由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,得(ρcosθ−2)2+ρ2sin 2θ=4，可得，C 的极坐标方程为ρ=4cosθ， ∵直线l 的参数方程为{x =3−ty =1+t(t 为参数)，∴l 的普通方程为x +y −4=0，∴l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4=0， 即ρsin (θ+π4)=2√2； (2)设P(ρ1,β)，Q(ρ2,β)，则=sinβcosβ+cos 2β=12sin2β+12cos2β+12=√22sin(2β+ π 4)+12，由射线m 与C 相交且与直线l 相交， 则不妨设β∈(−π4,π2)，则2β+π4∈(−π4,5π4)，∴当2β+π4=π2，即β=π8时，|OP ||OQ |取得最大值，此时|OP ||OQ |=√2+12， 所以|OP ||OQ |的最大值为√2+12．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，属于中档题． (1)由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的一般方程，再由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,能求出C 的极坐标方程；由直线l 的参数方程求出l 的普通方程，由此能求出l 的极坐标方程． (2)设P(ρ1,β)，Q(ρ2,β)，则，即可求出结果．23.答案：解：(1)x ≥0时，f(x)=x 2−x +1≥2x ，解得：0≤x ≤3−√52或x ≥3+√52，x <0时，f(x)=x 2+x +1≥2x ，解得：x <0， 综上，x ∈(−∞,3−√52]∪[3+√52,+∞)；(2)f(x)≥|x2+a|，x ∈[0,+∞)，故x 2−x +1≥|x 2+a|，故{a ≥−x 2+x2−1a ≤x 2−32x +1，解得：−1516≤a ≤716．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)分段讨论，去掉绝对值，即可求不等式 f(x)≥2x 的解集； (2)f(x)≥|x2+a|，x ∈[0,+∞)，故x 2−x +1≥|x2+a|，故{a ≥−x 2+x2−1a ≤x 2−32x +1，可得结果．。

2020年暑假高二数学提分训练题 (50)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 集合{x ∈Z||x −1| <2}的非空子集的个数是( )A. 4B. 6C. 7D. 8 2. 复数Z =3−4i ，则|Z|等于( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知M(2,3)，N(2013,1)，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是( ) A. (2011,−2) B. (−2,2011) C. (2011,2) D. (2013,−2) 4. 袋中有3个白球和2个黑球，从中任意摸出2个球，则至少摸出1个黑球的概率为( )A. 37B. 710C. 110D. 3105. 已知sin(π4−α)=1213，则cos(5π4+α)=( )A. −1213B. 1213C. 513D. −5136. 以双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 为圆心，12|OF |为半径的圆(O 为坐标原点)与C 的渐近线相切，则C 的渐近线方程为9( )．A. √3x ±y =0B. x ±√3y =0C. √5x ±y =0D. x ±√5y =0 7. 已知等差数列{a n }中，有a 4=18−a 5，则S 8=( )A. 18B. 36C. 54D. 72 8. 执行下面的程序框图，若输出的结果是2，则①处应填入的是( )A. x =2B. x =1C. b =2D. a =59. 函数f (x )=sin (ωx +π4)(ω>0)的图象在[0,π4]内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是( )A. (1,5)B. (1,+∞)C. [1,5)D. [1,+∞)10. 函数f(x)={(3−a)x −1,x <2log a (x −1)+1,x ≥2，若f(x)是R 上的增函数，则a 的取值范围为( )A. a <3B. 1<a <3C. 2<a <3D. 2≤a <311. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱12. 已知函数f(x)={3x ,x ≤0log 3x,x >0，则f[f(13)]等于( )A. −1B. log 2√3C. √3D. 13二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数y =x 2lnx 的图象在(1,0)处切线的方程是______________，该函数单调减区间为________．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,5x +2y ≥11,y ≥12x +1,则z =2x −y 的最大值为________． 15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线y 2=2px 的焦点与F 2重合，若点P 为椭圆和抛物线的一个公共点且cos∠PF 1F 2=79，则椭圆的离心率为______ ． 16. 数列{a n }满足a n =n(n+1)2，则1a 1+1a 2+⋯+1a2018等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，√2csinAcosB =asinC ．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积为a 2，求cos A 的值．18. 如图，在四棱锥V −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，∠ABC =∠DAB =90°，BC =2AB =2AD =2，平面VCD ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)证明：BD ⊥平面VCD ；(Ⅱ)若VD =VC =√2，求三棱锥B −ACV 的体积．19.某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．(1)若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x的函数关系解析式；(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：②若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售发生的概率，求当天的利润不超过100元的概率．20.已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为O，准线方程为x=−12(1)求抛物线方程；(2)过点(1,0)且斜率为1的直线与抛物线交于P,Q两点，求ΔOPQ的面积。

2020年高二暑期数学补习题（模拟高考） (20)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合P ={x|2≤x ≤3}，Q ={x|x 2≤4}，则P ∪Q =( )A. (−2,3]B. [−2,3]C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪[3,+∞)2. 将正弦曲线y =sinx 经过伸缩变换{x′=12xy′=3y后得到曲线的方程的周期为( ) A. π2B. πC. 2πD. 3π3. 下列命题中，正确的是( )A. ∃x 0∈R,sinx 0+cosx 0=32B. 复数z 1,z 2,z 3∈C ，若(z 1−z 2)2+(z 2−z 3)2=0，则z 1=z 3C. “a >0,b >0”是“ba +ab ≥2”的充要条件D. 命题“∃x ∈R,x 2−x −2≥0”的否定是：“∀x ∈R,x 2−x −2<0”4. 在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A ，B ，C 三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是( ) A. 96 B. 72 C. 36 D. 24 5. 若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ，则它的直角坐标方程为( )A. x 2+(y +4)2=16B. x 2+(y −4)2=16C. (x −4)2+y 2=16D. (x +4)2+y 2=166. (x 2+2x )8的展开式中x 4的系数是( )A. 16B. 70C. 560D. 11207. 已知f(x)=e x −e −x2，则下列正确的是( )A. 奇函数，在R 上为增函数B. 偶函数，在R 上为增函数C. 奇函数，在R 上为减函数D. 偶函数，在R 上为减函数8. 已知椭圆x 25+y 2=1与直线y =√3(x −2)交于A ，B 两点，则AB =( )A. 8√5B. 4√5C. √5D. √529. f(x)为奇函数，且在(−∞,0)为递增，f(−2)=0，则xf(x)>0的解集为( )A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−2,0)∪(0,2)D. (−2,0)∪(2,+∞)10. 学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试，则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A. 240B. 180C. 150D. 54011. 若M 为椭圆E ：x 24+y 23=1上动点，直线L 经过圆(x −1)2+y 2=12的圆心P ，且与圆P 交于A 、B 两点，则2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 18 B. 17 C. 16 D. 1512. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( ) A. (0,1] B. (0,2] C. (−1,1] D. (−1,2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=ln(1−lgx)的定义域为______ ． 14. 若f(x)={x,−1⩽x <0,x 2,0⩽x ⩽1,则f(log 42)=____.15. 设(2x +1)3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=______． 16. 已知函数f(x)=x|x|，若f(x 0)=4，则x 0的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ−π6)−3√3=0，曲线C 的参数方程为．(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的最大值．18. 已知命题p:|4−x|≤6，q:(x −12m +12)(x −12m −2)≤0．(1)若p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．(结果用数字表示)(1)女生甲不在排头，女生乙不在排尾，有多少种不同的站法？(2)女生不相邻，有多少种不同的站法？(3)女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？20. (1)求函数f (x )=x +√1−2x,x ∈[0,14]的值域；(2)已知f (1−x )+2f (1+x )=3x −2，求f(x)的解析式．21. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)．(Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．22. 已知f(x)=(|x −1|−3)2．(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)−ax −2有三个零点，求实数a 的值；(Ⅱ)若对任意x ∈[−1,1]，均有f(2x )−2k−2x ≤0恒成立，求实数k 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P∪Q．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解答】解：∵集合P={x|2≤x≤3}，Q={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，∴P∪Q={x|−2≤x≤3}=[−2,3]．故选：B．2.答案：B解析：解：∵{x′=12x y′=3y，∴{x=2x′y=13y′，∴13y′=sin2x′，即y′=3sin2x′，∴变换后的曲线周期为2π2=π．故选：B．根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出．本题考查了坐标系的伸缩变换，三角函数的周期，属于基础题．3.答案：D解析：【分析】利用三角函数的有界性判断A的正误；反例判断B的正误；充要条件判断C的正误；命题的否定判断D的正误；本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，三角函数的最值，复数的应用，是基本知识的考查．【解答】解：因为y=sinx+cosx=√2sin(x+π4)≤√2<32，所以A不正确；复数z1，z2，z3∈C，若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z3，反例z1=0，z2=i，z3=2i，所以B不正确；当a，b同号时，“ba +ab≥2”恒成立，所以C不正确；命题“∃x>0，x2−x−2≥0”的否定是：“∀x>0，x2−x−2<0”，满足命题的否定形式，所以D正确．故选D．4.答案：C解析：解：根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进行分析：①、将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C42=6种分组方法，②、将分好的3组对应3个场馆，有A33=6种对应方法，则一共有6×6=36种同分配方案；故选：C．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确分组的依据与要求．5.答案：B解析：【分析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题目．利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，求解即可．【解答】解：由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即ρ2=x2+y2，可得x2+y2=8y，整理得x2+(y−4)2=16．故选B．6.答案：D解析：由于(x2+2x )8展开式中通项公式为T r+1=C8r(x2)8−r(2x)r=2r C8r x16−3r，16−3r=4，r=4，展开式中x4的系数是24C84=1120．7.答案：A解析：f(−x)=e −x−e x2,f(−x)=f(−x)，所以为奇函数；y=e x上R为增函数，y=e x在R上是减函数，在y=−e−x上R是增函数．8.答案：D解析：【分析】本题考查了直线与椭圆相交弦长问题，考查计算能力，属于中档题．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，再由弦长公式即可求出．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立{x25+y2=1y=√3(x−2),消去y 得16x 2−60x +55=0， x 1+x 2=154,x 1.x 2=5516，所以AB =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+3√(154)2−4×5516=√52， 故选D ． 9.答案：A解析：解：f(x)为奇函数，且在(−∞,0)为递增的，f(−2)=0， 可得f(x)在(0,+∞)也单调递增，且过点(2,0)， 故函数f(x)的图象大致如图所示：由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0①，或{x <0f(x)<0②. 解①求得x >2，解②求得x <−2，综上可得，不等式的解集为{x|x >2或x <−2}． 故选：A ．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 函数f(x)的图象大致如图所示，由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0①，或{x <0f(x)<0②，数形结合求得x 的范围．10.答案：C解析：解：根据题意，分2步进行分析： ①、先将5位同学分成3组： 若分成1−2−2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法， 若分成1−1−3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法，则将5人分成3组，有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应三所大学，有A 33=6种情况，则每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法25×6=150种； 故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①、先将5位同学分成3组：需要分2种情况讨论，②、将分好的三组对应三所大学，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 11.答案：B解析：解：设M(2cosθ,√3sinθ)．圆(x −1)2+y 2=12的圆心P(1,0)，半径r =√22．∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2． ∴4MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，∴2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−(√2)22=2[(1−2cosθ)2+(√3sinθ)2]−1=2(cosθ−2)2−1≤2×32−1=17，当cosθ=−1时取等号． ∴2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为17． 故选：B ．设M(2cosθ,√3sinθ).由圆(x −1)2+y 2=12的圆心P(1,0)，半径r =√22.由于MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、数量积的运算性质和余弦函数的单调性、圆的对称性、椭圆的参数方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 12.答案：A解析：【分析】主要考查了函数的零点与方程的跟的关系，利用数形结合是解决此类问题的关键． 【解答】解：由题意可知：函数f(x)的图象如下：由关于x 的方程f 2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数解， 可知方程a =f(x)与f(x)=0恰有三个不同的实数解， 由于f(x)=0只有一个解x =1，所以方程a =f(x)恰有两个不同的实数解，即函数y =a 与函数y =f(x)的图象恰有两个不同的交点． 由图象易知：实数a 的取值范围为(0,1]． 故选A ．13.答案：(0,10)解析：解：由题意得{x >01−lgx >0，即{x >0x <10，得0<x <10，故函数f(x)=ln(1−lgx)的定义域为(0,10)， 故答案为：(0,10)根据对数的真数大于0，建立不等式组，解之即可求出函数的定义域本题主要考查了对数函数的定义域，以及根式函数的定义域和不等式组的解法，属于基础题．14.答案：14解析：【分析】本题考查分段函数求值，属基础题． 先求log 42=12，再求f(12)的值即可． 【解答】解： 因为log 42=12log 22=12， 所以f (log 42)=f (12)=(12)2=14． 故答案为14．15.答案：27解析：解：令x =1，a 0+a 1+a 2+a 3=33=27， 故答案为：27令x =1可得a 0+a 1+a 2+a 3的值． 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 16.答案：2解析：【分析】本题考查由函数解析式的应用，属于基础题目． 【解答】解：由题意可得f(x 0)=x 0|x 0|={x 02,x 0≥0−x 02,x 0<0，由f(x0)=4，可得当x 0=2． 故答案为2．17.答案：解：(1)由得，∴直线的直角坐标方程为x −√3y +3√3=0，由{x =cosα,y =√3sinα消α得曲线C 的直角坐标方程x 2+y 23=1； (2)设，，当时，d 取最大值，∴d max =√10+3√32．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，椭圆的参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，辅助角公式，属于中档题．(1)将极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程；(2)利用椭圆的参数方程和点到直线的距离公式及辅助角公式求解即可． 18.答案：解：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6，解得−2≤x ≤10． 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0． 解得m−12≤x ≤m+42．∴¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵p 是¬q 充分而不必要条件， ∴m−12>10，或12m +2<−2．∴m <−8，或m >21，所以实数m 的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵￢q 是¬p 的必要而不充分条件，∴{m−12≥−212m +2≤10，∴−3≤m ≤16..所以实数m 的取值范围为[−3,16]．解析：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6. 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0.解得m−12≤x ≤m+42.可得¬q.根据p 是¬q 充分而不必要条件，可得m−12>10，或12m +2<−2.解得实数m 的取值范围．(2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2.根据q 是¬p 的必要而不充分条件，可得{m−12≥−212m +2≤10，解得m 范围． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)根据题意，分2种情况讨论： ①女生甲排在队尾，女生乙有6个位置可选， 剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A 55种情况， 此时有6×A 55=720种站法；②女生甲不在队尾，女生甲有5个位置可选，女生乙不在队尾，女生乙有5个位置可选，剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，有A55种情况，此时有5×5×A55=3000种站法；则一共有720+3000=3720(2)根据题意，分2步进行分析：①将4名男生全排列，有A44=24种顺序，排好后包括两端，有5个空位，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，有A53=60种情况，则此时有24×60=1440种站法；(3)根据题意，将7人全排列，有A77=5040种顺序，女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，则女生甲要在女生乙的右方的排法有12×A77=2520种情况．解析：本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素．(1)根据题意，分2种情况讨论：①女生甲排在队尾，②女生甲不在队尾，每种情况下依次分析女生乙和其他5名女生的站法数目，由分步计数原理可得每种情况下的站法数目，由加法原理，将两种情况的站法数目相加，即可得答案；(2)根据题意，用插空法分2步进行分析：①将4名男生全排列，排好后包括两端，有5个空位，②在5个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(3)根据题意，将7人全排列，计算可得7人全排列的站法数目，分析可得：女生甲在女生乙的右方与女生甲在女生乙的左方的数目相同，计算可得答案．20.答案：解：(1)设t=√1−2x，则t∈[√22,1]，x=1−t22，代入f(x)得，y=1−t22+t=−12(t−1)2+1，因为t∈[√22,1]，所以值域为[2√2+14,1]；(2)由题意得，f(x)+2f(2−x)=1−3x，①令x取2−x代入得，f(2−x)+2f(x)=3x−5，②由①②解得f(x)=3x−113．解析：(1)本题主要考查函数的值域.由题意设t=√1−2x，求出t的范围和x的表达式，代入f(x)化简后，根据一元二次函数的性质和t的范围，求出函数f(x)的值域；(2)本题主要考查函数的解析式的求解.因为f(x)+2f(2−x)=1−3x，①令x取2−x代入得，f(2−x)+2f(x)=3x−5，即可解得．21.答案：解：(Ⅰ)曲线C：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos2θ=λρsinθ，即：x2=λ2y，由于：曲线C的焦点F的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α， 整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α， 解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 22.答案：解：(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1， 可得函数图象如图所示：联立方程：(x −4)2=ax +2，由Δ=(a +8)2−56=0，可得a =−8±2√14，结合图象可知a =−8+2√14．同理(x +2)2=ax +2，由Δ=(4−a)2−8=0，可得a =4±2√2，因为4+2√2<K PQ =7，结合图象可知a =4−2√2，综上可得：a =−8+2√14或a =4−2√2．(Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt 2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，(1)当t ∈[1,2]时，m(t)=t(t −4)，易得m(t)∈[−4,−3]，(2)当t ∈[12,1)时，m(t)=−t(t +2)，易得m(t)∈(−3,54],所以[m(t)]2的最大值为16，即2k ≥16，故k ≥4．解析：本题是函数与方程的综合应用，属于难题．(Ⅰ)由题意g(x)=f(x)−ax −2=0等价于f(x)=ax +2有三个不同的解，由f(x)={(x −4)2,x ≥1(x +2)2,x <1，画图，结合图象解方程可得a 的值； (Ⅱ)设2x =t ∈[12,2]，原不等式等价于(|t −1|−3)2≤2kt 2，两边同乘t 2得：[t(|t −1|−3)]2≤2k ，设m(t)=t(|t −1|−3)，t ∈[12,2]，原题等价于2k ≥[m(t)]2的最大值，对t 讨论求解即可．。

定远育才学校2020—2021学年高二暑假数学检测试题7一、选择题（60分）1.函数()f x =的定义域为（ ） A.(1,0)(0,1]-⋃ B 。

(]1,1- C.(4,1]- D.(4,0)(0,1]-⋃2.关于函数()1xf x x =-，下列结论正确的是（ ）A 。

()f x 的图象过原点B 。

()f x 是奇函数C 。

()f x 在区间(1，＋∞)上单调递增 D.()f x 是定义域上的增函数 3.已知定义域为R 的奇函数f （x ）在(-∞,0)上单调递增，则f （-2）+f (1）的值（ ) A 。

为0 B 。

大于0C.小于0D.可能为正的,也可能为负的4. 已知40.5=a ，40.5=b log ，0.54c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c << B 。

a c b << C.a b c << D.b c a <<5。

定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,且当[]1,0x ∈-时1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2log 8f 等于（ )A 。

3B 。

18C.2- D 。

26。

已知函数2log y x =的反函数是()y f x =，则函数(1)y f x =-的图象是 ( ）A. B。

C。

D.7。

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB＝2,动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB 上的射影为Q。

设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y，则y ＝f（x)的图象大致是（）A。

B.C。

D.8。

设函数()f x与()g x分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数g x的零点个数为G，且F,G都是常数,则下f x的零点个数为F，()()列判断正确的是（）A。

F一定是奇数，G可能是奇数； B.F可能是偶数，G一定是偶数;C.F一定是奇数，G一定是偶数；D。

高二数学暑假作业七一、选择题1.如图，点O 为正方体ABCD -A 'B 'C 'D '的中心，点E 为面B 'BCC '的中心，点F 为B 'C '的中点，则空间四边形D 'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A.B.C.D.2.已知球O 与正方体各棱均相切，若正方体棱长为2，则球O 的表面积为（ ）A.34πB. 2πC. 4πD. 6π 3.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20+3π （B ）24+3π （C ）20+2π （D ）24+2π4.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（ ） A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n αβα⊥⋂=⊂ C ．//,,m n n m βα⊥⊂ D ．//,,m n m n αβ⊥⊥5.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①④6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．13π+ B ．23π+ C ．123π+ D ．223π+ 7..已知直线,m l ,平面,αβ,且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若//m l ，则αβ⊥. 其中正确的命题是（ ） A.①④ B.③④ C.①② D.②③ 8.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥9.已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠为三棱锥A -BCD ，则在折叠过程中，不能出现（ ）A ．AC BD ⊥B ．平面⊥ABD 平面CBD C. 32=-CBD A V D ．CD AB ⊥ 10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）．A ．N QBAB ．MNQBAC ．M NQBAD ．MNQBA11.如图1，四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点．下列结论中，正确的是 ( ) A ．1BB EF ⊥ B ．//EF 平面11A ACC C ．BD EF ⊥D ．⊥EF 平面11B BCC12.三条不重合的直线c b a ,,及三个不重合的平面γβα,,，下列命题正确的是（ ）A ．若n m n ⊥=⋂⊥,,βαβα，则α⊥mB ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα//C ．若n m n m ⊥,//,//βα，则βα⊥D ．若ββα⊥⊥⊥m n n ,,，则α⊥m 13.设m l ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出m l //的是（ ）A ．α//l ，β⊥m ，βα⊥B ．α⊥l ，β⊥m ，βα//C ．α//l ，β//m ，βα//D ．α//l ，β//m ，βα⊥14.四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x ，则x 的取值范围是 A ．)41,2( B ．)9,3( C ．)41,3( D ．)9,2( 15.空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）． A ．平行或相交 B ．异面或平行 C ．异面或相交 D ．平行或异面或相交 16.下列说法正确的是（ ） （1）任意三点确定一个平面；（2）圆上的三点确定一个平面；（3）任意四点确定一个平面；（4）两条平行线确定一个平面 A ．（1）（2） B ．（2）（3） C ．（2）（4） `D ．（3）（4） 17.列结论正确的是（ ）．A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体D ．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥18..设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥ 19.已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若,m αββ⊥⊥，则//m αB.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβC.若,m m n α⊥⊥，则//n αD.若//,m n n α⊥，则m α⊥20.在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）． A ．平行 B ．平行或异面 C ．平行或相交 D ．异面或相交二、填空题21. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，B D分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。

高中暑假作业：高二数学暑假作业答案解析为大家整理的高中暑假作业：高二数学暑假作业答案解析文章,供大家学习参考！更多最新信息请点击高二考试网一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，，则( C )A. B. C. D.2. 设是定义在上的奇函数，当时，，则( A )A. B. C.1 D.33. 已知向量满足，则( D )A.0B.1C.2D.4.设是等比数列，则“ ”是“数列是递增数列”的( B )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是( B )A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则[来6. 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(A)A. B. C. D.7.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的可能取值为( D )A. B. C. D.8.设函数，则的值为( A )A. B.2014 C.2013 D.09.已知F是双曲线的左焦点,A为右顶点，上下虚轴端点B、C，若FB交CA于D，且，则此双曲线的离心率为( B )A . B. C. D.10.球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，，则点P的轨迹周长为( D )A . B. C. D.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分).当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是▲ .16.如图，在扇形OAB中，，C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是▲ .三、解答题(本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17. (本题满分10分)在中，角所对的边为，且满足(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若且，求的取值范围.18.(本题满分10分)已知数列的首项，.(Ⅰ)求证：数列为等比数列;(Ⅱ)若，求的正整数.19.(本题满分10分)如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又，平面，，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角.，.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(法二)(Ⅰ) 四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且，取，得.平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则.因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.(本题满分10分)已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于不同两点，设线段的中点为，且三点共线.设点到直线的距离为，求的取值范围.解：(Ⅰ)由已知得，且，解得，又所以椭圆的方程为(Ⅱ) 当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知：点在轴上，且原点不重合，显然三点不共线，不符合题设条件.所以可设直线的方程为，由消去并整理得：……①则，即，设，且，则点，因为三点共线，则，即，而，所以此时方程①为，且因为所以21. (本题满分12分)已知是不全为的实数，函数，，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若，求的取值范围.解(Ⅰ)设是的根，那么，则是的根，则即，所以.(Ⅱ) ，所以，即的根为0和-1，①当时，则这时的根为一切实数，而，所以符合要求.当时，因为=0的根不可能为0和，所以必无实数根，②当时，= = ，即函数在，恒成立，又，所以，即所以;③当时，= = ，即函数在，恒成立，又，所以，，而，舍去综上，所以.。

【关键字】暑假作业第15天三角函数的应用课标导航：会用三角函数图象与性质解决简单的实际问题一、选择题1. 若函数是偶函数，则（）A. B. C. D.2. 方程在内（）A.没有根B.有且仅有一根C.有且仅有两根D.有无穷多根3. 已知函数，设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为( )A．4∶3∶2 B．5∶6∶C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 5. 函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6. 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①；②；③；④．则其中属于“互为生成函数”的是（）A.①②B.①③C. ③④D.②④7. 某班设计了一个八边形的班徽（它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )A.；B.C. D.8. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递加区间是( )A. B. C. D.和二、填空题9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为_______ _;10. 已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积 ;11. 矩形ABCD 中，轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 ;12. 定义在区间上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP1⊥x 轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图像交于点P2,则线段P1P2的长为________________.三、解答题13. 已知函数.（1）若点在角的终边上，求的值； （2）若，求的值域.14. 设函数的图象经过点．（1）求的解析式，并求函数的最小正周期．（2）若，若是面积为的锐角的内角，，求的长．15.如图，已知△ABC 中，|AC|＝1，∠ABC ＝，∠BAC ＝θ，记f(θ)＝·.(1) 求f(θ)关于θ的表达式；(2) 求f(θ)的值域．16. 春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数（，，）（如图4），且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃．⑴ 求这段时间气温随时间变化的函数解析式；⑵ 这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？注：一昼夜指从凌晨0时（含）到午夜24时（不含）．【链接高考】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC.(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S.第15天1~8 CCBD CBAD ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ;13.（1）；（2）.14.（1）函数的最小正周期；（2）15. (1)f(θ)＝·＝||·||cos ＝sin θ·sin ·＝sin －.(2) f(θ)的值域为.16. ⑴；⑵在每天的时或时的气温为℃．链接高考：(1)证明：在△ABC 中，由于sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC ，所以sinB ＝·，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝，△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2 。

2020高二文科数学暑假作业（一） 一、选择题 1．复数22()i i+= A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +2.设全集U 是自然数集N ，集合{}{}1,2,3,1A B x N x ==∈≤，则如图所示的阴影部分的集合为 A.{}0,1B.{}1,2C.{}2,3D.{}0,1,23. 已知x 0 1 23 y 1 35 7则y 与x 的线性回归方程+=a x b y 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是（ ） A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )95 5.在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换公式是（ ）⎪⎩⎪⎨⎧==''23.A y y x x ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 23.B ''⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213.C ''6. 已知抛物线24y x =的准线与双曲线()2221,0x y a a-=＞交于A,B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是 A.3B.6C.2D.37.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为12，则该几何体的俯视图可以是8．过点M(2，0)作圆221x y +=的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），则MA MB ⋅=u u u r u u u rA．532 B ． 52 C ．332 D ．329．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 10．如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ） A. k≤11? B .k≥11? C.k≤10? D .k≥10?11．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是（ )A. B. C. D. 12.已知函数()f x 满足：当()()()()211;12,log 7x x f x f x x f x f ≥=-==时，当＜时，则A.72B.74C.78D.716二、填空题13．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24， 则正（主）视图中a 的值为 .14.在复平面内，记复数对应的向量为，若向量绕坐标原点逆时针旋转 得到向量所对应的复数为___________________．15.已知实数[]0,10x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于47的概率为(,)P x y 2212516x y +=A (3,0)||1AM =u u u u r 0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r ||PM u u u u r23233i +OZ uuu r OZ uuu r60o'OZ u u u u r16．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+，当1,2,3,k =⋅⋅⋅时，观察下列等式可以推测A-B=_______________ 三、解答题 17．若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值4-3． （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 18．(本小题满分12分)如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ∆所在平面互相垂直，F 为BC 的中点， 90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，22DC AC AE ===.（1）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （2）求证：AF ∥平面BDE ； （3）求四面体B CDE -的体积.19、己知等比数列{}n a 所有项均为正数，首11a =，且435,3,a a a 成等差数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若*21()n n S n N =-∈，求实数λ的值．20．（本小题满分12分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (1)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；(3)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.2013高二文科数学暑假作业（一）答案1-5 ACABC 6-10 BADBD 11-12BB 13． 6 14． 2i 15．1/216．41 17． (1)2'()3f x ax b =- 所以'(2)0f =,4(2)3f =-.即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩,由此可解得13a =,4b =(2)31()443f x x x =-+ 2'()4(2)(2)f x x x x =-=-+所以()f x 在2x =-处取得极大值283,在2x =处取得极小值43-所以42833k -<< 18．（1）∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC I 面ACDE AC =，CD AC ⊥,∴DC ⊥面ABC ，又∵DC ⊂面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC . （2）取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则FP12DC , 又∵EA12DC ，∴EA FP ， ∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，又∵EP ⊂面BDE 且AF ⊄面BDE ，∴AF ∥面BDE .（3）∵BA ⊥AC ，面ABC I 面ACDE =AC ， ∴BA ⊥面ACDE .∴BA 就是四面体B CDE -的高，且BA =2. ∵DC =AC =2AE =2，AE ∥DC ， ∴11(12)23,121,22ACE ACDE S S ∆=+⨯==⨯⨯=梯形 ∴312,CDES ∆=-= ∴1422.33E CDE V -=⨯⨯=19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件得423,3,q q q 成等差数列，所以4326q q q +=解得2,3=-=q q 或 由数列的所有项均为正数,则q =2数列{}n a 的通项公式为n a =12n -(*)n N ∈（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ 若0,0,2===n n S b λ不符合条件；若2≠λ， 则21=+nn b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2, 此时)12)(2()21(21)2(--=---=n n n S λλ又n S ＝21(*)n n N -∈,所以1=λ20．解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >. （1）(1)(3)f f ''=，解得23a =. （3）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >.①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a.③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.。

2020年暑假高二数学补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5+i 1−i=( )A. 2+3iB. 3+3iC. 2−3iD. 3−3i2. 设集合M ={x|x 2≥9}，N ={x|x ≤−4}，则M ∩N =( )A. (−∞,−4]B. [3,+∞)C. (−∞,−3]∪[3,+∞)D. (−∞,−3]3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，则−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. (−12,5)B. (12,5)C. (−12,−5)D. (12,−5)4. 已知sin(π2−α)=35，则cos(π−2α)=( )A. 725B. −725C. 925D. −9255. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是( )A. 2√2B. 4C. 4√2D. 86. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( ) A. 336种 B. 320种 C. 192种 D. 144种 7. 已知双曲线x 2m 2+12−y 25m−1=1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A. ±53B. ±35C. ±34D. ±438. 如图所示的算法框图的输出结果为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A. √64B. √63C. √26 D. √3610. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A. [12,54]B. [12,34]C. (0,12]D. (0,2]，11. 已知函数f(x)=2017x +log 2017(√x 2+1+x)−2017−x +3，则关于x 的不等式f(1−2x)+f(x)>6的解集为( ) A. (−∞,1) B. (1,+∞) C. (1,2) D. (1,4)12. 已知函数f(x)=(x −3)e x +a(2lnx −x +1)在(1,+∞)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. (e,+∞) B. (e,2e 2) C. (2e 2,+∞) D. (e,2e 2)∪(2e 2,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{0≤x ≤20≤y ≤4x ≤2y，则2x −y 的最大值为______．14. 等差数列{a n }前n 项和为S n ，若a 7+a 9=16，S 7=7，则a 12= ______ ． 15. 已知(ax +1√x )6(a >0)展开式中的常数项为60，则∫(a−a sinx +|x|)dx =______．16. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△MNF 的面积为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1=a 1，b 4=S 3．(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (Ⅱ)设c n =1bn ⋅log 2a 2n+2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12．18. 在中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，且．(I)求角A 的大小； (II)已知面积为 √3，且外接圆半径 R =√3，求的周长．19.如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．(1)求证：AE⊥PD；(2)若PA=4，求二面角E−AF−C的余弦值．20.某兴趣小组在网上看见一则消息称哈尔滨工业大学男女比例近似满足4：1，由于哈工大的专业偏向理科，该小组猜想高中生的文理科选修与性别有关．为了判断高中生的文理科选修是否与性别有关，该小组随机调查了100名学生的情况，得到如下图所示的2×2列联表理科文科合计男30女3545合计60(2)试通过计算说明，能否有99%的把握认为高中生的文理科选修是与性别有关．,其中n=(a+b+c+d)附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005≥k0)K00.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87921. 已知函数f(x)=(x +a)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a <1时，试确定函数g(x)=f(x −a)−x 2的零点个数，并说明理由．22. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是坐标平面内一点，且|OP|=√72，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 1的直线L 与该椭圆相交于M 、N 两点，且|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线L 的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i 2=2+3i ．故选：A ． 2.答案：A解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 先求出集合M ，由此能求出M ∩N ． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}， N ={x|x ≤−4}，∴M ∩N ={x|x ≤−4}=(−∞,−4]． 故选A ． 3.答案：C解析：解：∵向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2,7+3)=(1,10)， ∴−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−5)． 故选：C ．根据平面向量的加法运算法则，进行加减运算即可．本题考查了平面向量的加减运算问题，解题时应根据平面向量的线性运算进行解答，是基础题． 4.答案：A解析：解：∵sin(π2−α)=cosα=35，∴cos(π−2α)=−cos2α=1−2cos 2α═1−2×(35)2=725，故选：A ．由已知及诱导公式可求cosα，由诱导公式和二倍角公式化简所求后代入cosα的值即可求解． 本题主要考察了诱导公式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 5.答案：B解析：解：∵在各项均为正数的等比数列{a n }中， a 2=1，a 8=a 6+2a 4，∴{a1q=1a1q7=a1q5+2a1q3 q>0，解得a1=√22，q=√2，∴a6=a1q5=√22×(√2)5=4．故选：B．由已知条件利用等比数列的性质求解．本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6.答案：A解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21⋅C43⋅A44=192种情况；若甲乙两人都参加，有C22⋅C42⋅A44=144种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A．根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，正确分类是关键．7.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．求出双曲线的实轴长，得到m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即可．【解答】解：双曲线x2m2+12−y25m−1=1的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=−2(舍去)，所以双曲线的渐近线方程为：x4±y3=0，则该双曲线的渐近线的斜率：±34．故选：C．8.答案：D解析：【分析】根据程序框图得出结果．【解答】解：由程序框图可得：先把2赋给a，再把4赋给a，所以最后a的值为4+4=8．故选D．9.答案：A解析：【分析】本题考查异面直线所成的角，属于中档题．由题意得到∠CB 1C 1=60°，∠DC 1D 1=45°，设|B 1C 1|=1，|CC 1|=√3=|C 1D 1|，根据AB 1//C 1D ，所以∠AB 1C 或其补角为异面直线B 1C 和C 1D 所成角，再放在三角形AB 1C 中，求出cos∠AB 1C ，即可得到答案． 【解答】解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°， 则∠CB 1C 1=60°，∠DC 1D 1=45°，设|B 1C 1|=1，|CC 1|=√3=|C 1D 1|，因为AB 1//C 1D ，所以∠AB 1C 或其补角为异面直线B 1C 和C 1D 所成角，在三角形AB 1C 中，|AB 1|=√3+3=√6,|B 1C |=|AC |=√1+3=2，过C 作CE ⊥AB 1，垂足为E ， 则E 为AB 1的中点，所以cos∠AB 1C =|B 1E ||B1C |=√622=√64， 则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为√64． 故选A ．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题由条件利用正弦函数的减区间可得{ω⋅π2+π4≥π2ω⋅π+π4≤3π2，由此求得实数ω的取值范围． 【解答】解：∵ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在(π2,π)上单调递减，则{ω⋅π2+π4≥π2ω⋅π+π4≤3π2，求得12≤ω≤54，故选：A．11.答案：A解析：【分析】本题考查了依据函数的奇偶性和单调性来解不等式，属于中档题．先判断奇偶性和单调性，再构造不等式，求解．【解答】解：令，定义域为R，因为g(x)+g(−x)=2017x+log2017(√x2+1+x)−2017−x+2017−x+log2017(√x2+1−x)−2017x=log20171=0，定义域关于原点对称，所以g(x)为奇函数，又结合指数函数、对数函数性质易知g(x)单调递增，则f(1−2x)+f(x)>6等价于g(1−2x)+g(x)>0，所以g(1−2x)>−g(x)=g(−x)，即1−2x>−x，解得x<1．故选A．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．【解答】解：由题意，函数，可得f′(x)=e x+(x−3)e x+a(2x−1)=(x−2)(e x−ax )=(x−2)(xe x−ax)，又由函数f(x)在(1,+∞)上有两个极值点，则f′(x)=0，即在(1,+∞)(x−2)(xe x−ax)=0上有两解，即xe x−a=0在在(1,+∞)上有不等于2的解，令g(x)=xe x，则g′(x)=(x+1)e x>0,(x>1)，所以函数g(x)=xe x在(1,+∞)为单调递增函数，所以a>g(1)=e且a≠g(2)=2e2，又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即(x−2)(xe x−ax)≥0在(1,2)上恒成立，即xe x−a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥xe x在1，2)上恒成立，又由函数g(x)=xe x在(1,+∞)为单调递增函数，所以a>g(2)=2e2，综上所述，可得实数a的取值范围是a>2e2，即a∈(2e2,+∞)，故选C ．13.答案：3解析：解：作出{0≤x ≤20≤y ≤4x ≤2y 对应的区域(如图阴影)，设z =2x −y ，变形目标函数z =2x −y 可得y =2x −z ， 平移直线y =2x 可得：当直线经过点A(2,1)时，直线的截距最小， z 取最大值，代值计算可得2×2−1=3， 故答案为：3作出平面区域，变形目标函数z =2x −y 平移直线y =2x 可得结论．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 14.答案：15解析：解：∵a 7+a 9=2a 8=16， ∴a 8=8，∵S 7=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=7a 4=7，∴a 4=1∵2a 8=a 4+a 12， ∴a 12=15． 故答案为15．根据等差中项的性质分别根据a 7+a 9=16，S 7=7求得a 8和a 4，最后根据2a 8=a 4+a 12求得a 12． 本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题． 15.答案：4解析：解：根据题意，(ax +√x )6(a >0)展开式的通项T r+1=C 6r(ax)6−r (√x )r ， 令r =4可得，T 5=C 64(ax)2(√x )4=15a 2， 又由其展开式中的常数项为60， 即15a 2=60，且a >0，则a =2，∫(a−a sinx+|x|)dx =∫(2−2sinx +|x|)dx =∫(0−2sinx −x)dx +∫(20sinx +x)dx =(−cosx −x 22)|−20+(−cosx +x 22)|02=4；故答案为：4．根据题意，由二项式定理可得(ax +1√x )6(a >0)展开式的通项，令r =4可得其常数项，结合题意可得15a 2=60，解可得a 的值，又由定积分计算公式可得∫(a−a sinx +|x|)dx =∫(2−2sinx +|x|)dx =∫(0−2sinx−x)dx +∫(20sinx+x)dx =(−cosx −x 22)|−20+(−cosx +x 22)|02，计算可得答案．本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键求出a 的值．16.答案：3√22解析：【分析】本题考查了抛物线的定义，标准方程及简单性质，属于中档题．根据抛物线的性质和2NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知NE//x 轴，从而可得E 点坐标，求出M 、N 的坐标，计算MN ，NF 即可求出三角形的面积． 【解答】解：准线方程为x =−1，焦点为F(1,0)， 不妨设N 在第三象限，∵2NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是MF 的中点， ∴NE =12MF =EF ，∴NE//x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上， ∴E(12,−√2)，∴N(−1,−√2)，M(0,−2√2)， ∴NF =√6，MN =√3， ∴S △MNF =12×√6×√3=3√22． 故答案为：3√22． 17.答案：(I)解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n (n ∈N ∗)，∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1，∴a n=1×2n−1=2n−1．∵设等差数列{b n}的公差为d，满足b1=a1，b4=S3，∴b1=1，b1+3d=1+2+22，解得d=2．∴b n=1+2(n−1)=2n−1．∴a n=2n−1.b n=2n−1．(2)证明：c n=1b n⋅log2a2n+2=1(2n−1)⋅log222n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴数列{c n}的前n项和为T n=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)，∵数列{1−12n+1}为单调递增数列，∴T1=13≤T n<12．∴13≤T n<12．解析：(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；(2)由于c n=1(2n−1)⋅log222n+1=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”可得数列{c n}的前n项和为T n=1 2(1−12n+1)，再利用数列的单调性即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：，，即，，又0<A<π，∴A=π3；，，面积为√3，，得bc=4，∵a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2−bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+12=21，∴b+c=√21，∴周长a+b+c=3+√21.解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和二倍角公式及其应用，是中档题．(I)由二倍角公式化简得，即可得，得出A的大小；(II)由正弦定理得，由面积为√3，得bc=4，再由余弦定理得b +c =√21，从而得出结果．19.答案：(1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． 又BC//AD ，因此AE ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD =A ， ∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥PD ；(2)解：由(1)知AE 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2√3,−2,0)，C(2√3,2，0)，D(0,4，0)，P(0,0，4)，E(2√3,0，0)，F(√3 ,1,2)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3 ,1,2). 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，因此{2√3x 1=0√3x 1+y 1+2z 1=0，取z 1=−1，则m⃗⃗⃗ =(0,2，−1)， 连接BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ． ∵BD ⊥AC ，PA ∩AC =A ，PA 、AC ⊂平面AFC ， ∴BD ⊥平面AFC ，故BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AFC 的法向量． 又BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,6，0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√48=√155． ∵二面角E −AF −C 为锐二面角， ∴所求二面角的余弦值为√155．解析：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求解二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．(1)由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形，由E 为BC 的中点，得AE ⊥BC.进一步得到AE ⊥AD.再由已知得PA ⊥AE.由线面垂直的判定可得AE ⊥平面PAD ，从而得到AE ⊥PD ； (2)由(1)知AE 、AD 、AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出平面AEF的一个法向量，证明BD ⊥平面AFC ，可知BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面AFC 的一个法向量．由两法向量所成角的余弦值可得二面角E−AF−C的余弦值．≈10.77>6.635，(2)K2=100(30×35−10×25)240×60×55×45∴有99%的把握认为高中生的文理科选修是与性别有关．解析：(1)根据表中数据，完成该2×2列联表．(2)利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．21.答案：(Ⅰ)解：因为f(x)=(x+a)e x，x∈R，所以f′(x)=(x+a+1)e x，令f′(x)=0，得x=−a−1，当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：故f(x)的单调减区间为(−∞,−a−1)；单调增区间为(−a−1,+∞)．(Ⅱ)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)=f(x−a)−x2=0，得方程xe x−a=x2，显然x=0为此方程的一个实数解，所以x=0是函数g(x)的一个零点，当x≠0时，方程可化简为e x−a=x，设函数F(x)=e x−a−x，则F′(x)=e x−a−1，令F′(x)=0，得x=a，当x变化时，F(x)和F′(x)的变化情况如下：即F(x)的单调增区间为(a,+∞)；单调减区间为(−∞,a )， 所以F(x)的最小值F (x )min =F (a )=1−a >0， 因为a <1，所以F (x )min =F (a )=1−a >0， 所以对于任意x ∈R ，F (x )>0， 因此方程e x−a =x 无实数解． 所以当x ≠0时，函数g(x)不存在零点． 综上，函数g(x)有且仅有一个零点.解析：(Ⅰ)求出导函数，根据导数的正负求出函数的单调区间；(Ⅱ)由F(x)=e x−a −x ，令F′(x)=0，得x =a.求出函数的单调区间，得到F(x)的最小值为F(a)=1−a.通过a 的范围，综合得出函数的零点个数．22.答案：解：(1)设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)．则由|OP|=√72，得x 02+y 02=74． 由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34，得(−c −x 0,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=34．即x 02+y 02−c 2=34，∴c =1． 又∵c a=√22，∴a 2=2，b 2=1．因此所求椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由已知可得，直线L 的斜率显然存在， 设直线L 的方程为y =k(x +1)，联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2(k 2−1)=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=−4k 22k 2+1,x 1x 2=2(k 2−1)2k 2+1．∵|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x 1+c,y 1)=−2(x 2+c,y 2), ∴y 1=−2y 2， ∴{−y 2=y 1+y 2=k(x 1+x 2+2)=2k2k 2+1−2y 22=y 1y 2=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)=−k 22k 2+1，解得：k =±√142．∴直线L 的方程为y =±√142(x +1)．即√14x −2y +√14=0或√14x +2y +√14=0．解析：(1)设出P 点和两焦点坐标，由|OP|=√72，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34列出方程组求解c 的值，然后结合离心率和隐含条件a 2=b 2+c 2求得a ，b 的值，则椭圆的方程可求；(2)由题意可知直线L 的斜率存在，设出直线方程，和椭圆方程联立后得根与系数的关系，由|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得到M ，N 的纵坐标的关系，结合根与系数关系列式求解k 的值，则直线L 的方程可求． 本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是由向量的关系得到坐标的关系，是高考试卷中的压轴题．。

2019学年高二数学上学期暑假作业考试试题（满分：100分时间：60分钟）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B. C. D.2．向上抛掷一颗骰子1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A. A与B是互斥而非对立事件B. A与B是对立事件C. B与C是互斥而非对立事件D. B与C是对立事件3．已知1tan2α=-，则22sin sin cosααα+（）A. 0B.15- C.25- D.254．已知向量(1,)(3,2)m=-，=a b，且()⊥a+b b，则m=（A）−8 （B）−6 （C）6 （D）85．已知43cos sin6παα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则7sin6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值是( )A.235- B.235C.45- D.456．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，则函数的图象的一个对称中心是( )A. B. C. D.7．在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.8．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D.9．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若222(+-)tan = 3a c b B ac ，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π 10．函数sin()(0,0)y A x A ϖϕϖ=+>>的部分图象如图所示，则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）．A ．2B ．22+C ．222+D ．222--二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．已知向量,a b r r 夹角为45︒ ，且1,210a ab =-=r r r ；则_____b =r 12．已知样本方差，则样本12,12,12321+++x x x ……12+n x 的方差为_______.13．在ABC ∆中，若1tan 3A =， 0150C =， 1BC =，则AB =____ .14．已知函数])613,0[)(3sin(2)(ππ∈+=x x x f 的图象与直线y=m 的三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，那么=++3212x x x ____三.解答题：本大题共2小题，每小题15分，共30分.解答应写出必要的文字说明.32．某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?38．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2=b 2+c 2+bc ．（1）求A ；（2）设a=，S 为△ABC 的面积，求S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的最值．一、选择题1. B2.D3.A4.D5.C6.D7.A8.C9.D 10.C二、填空题11. 23 12.8 13.102 14. 38三、解答15. (1)0.0075；(2)众数是230度.中位数是224度.(3)5户.16.（1）由余弦定理得：cosA===﹣，∵A 为三角形的内角，∴A=；（2）由（1）得sinA=，由正弦定理得：b=，csinA=asinC 及a=得： S=bcsinA=••asinC=3sin BsinC ，则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC ）=3cos （B ﹣C ），则当B ﹣C=0，即B=C==时，S+3cosBcosC 取最大值3．。

2020年高二暑假数学练习题 (13)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈z|0≤x<3}，B={x∈R|x2≤9}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {x|0≤x<3}D. {x|0≤x≤3}2.在复平面内，复数z=1−2i对应的点的坐标为()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−2)D. (2,−1)3.设a=log2π,b=log12π,c=π−2则()A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>b>a4.已知函数f(x)=|sinx|⋅cosx，则下列说法正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=π2对称B. f(x)的周期为πC. 若|f(x1)|=|f(x2)|，则x1=x2+2kπ(k∈Z)D. f(x)在区间[π4,3π4]上单调递减5.已知向量a⃗=(sinα,−2)，b⃗ =(1,cosα)，且a⃗⊥b⃗ ，则sinαsinα+cosα等于()A. 23B. 1 C. 43D. 536.如图，若在矩形OABC中随机一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为()A. 1πB. 2πC. 3πD. 127.在下列关于直线l,m与平面α,β的命题中正确的是()A. 若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB. 若l⊥β且α//β，则l⊥αC. 若l⊥β且α⊥β，则l//αD. 若α∩β=m且l//m，则l//α8.根据如图所示程序框图，当输入10时，输出的是()A. 12B. 14.1C. 19D. −309. “a >2”是“函数f(x)=log a x(a >0，且a ≠1)的图象与函数f(x)=x 2−4x +4的图象的交点个数为2个的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =k(x −1)与抛物线C 交于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( )A. 163B. 4C. 3D. 16911. 已知a ∈(−π2,0)，tanα=cos2α−1，则α=( )A. −π12B. −π6C. −π4D. −π312. 已知点F 2，P 分别为双曲线x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若点M 是PF 2的中点，|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c22，则该双曲线的离心率为( ) A. √3+12B. 32C. √3D. 2√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=e x (x 2−x −1)在点(0,f(0))处的切线方程是________14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，则△ABC 的周长为______． 15. 已知函数f(x)={2x ,x ≤0f (x −3),x >0则f(5)=_____．16. 底面是平行四边形的四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为_________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17. 已知等比数列{a n }中，a 1=13，公比q =13．(I)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n =1−a n 2(II)设b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．18.某产品的广告费用万元与销售额万元之间的对应数据如下：x24568y1030405070(2)求出样本中心，(3)已知b̂=2.5，求y关于x的回归方程(â=y−−b̂x−)(4)已知x=10万元时，求销售收入y．19.如图，四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，AB//DC，AP=AD=DC=12AB=1，∠ADC=120°，E，F分别为线段AB，PC的中点．(Ⅰ)求证：AP//平面EFD；(Ⅱ)求证：平面EFD⊥平面APC；(Ⅲ)求锥体P−ADC的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，直线l：y=2x与椭圆交于M，N，四边形MF1NF2的面积为4√23．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)作与l平行的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为P，若PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．21.已知函数f(x)=ax⋅e x在x=0处的切线的斜率为1．(1)求a的值；(2)求f(x)在[0,2]上的最值．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线Ｃ的参数方程是为参数)；以O为极点，(ρ∈R).求直线l被曲线C截得的弦长．x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为θ=π423.已知函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)解不等式：f(x)≤x+3；(2)若不等式|m|·f(x)≥|m+2|−|3m−2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x∈z|0≤x<3}={0,1，2}，B={x∈R|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：复数z=1−2i对应的点的坐标为(1,−2)，故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出；本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3.答案：C解析：∵a=log2π>1，b=log12π<0，c=1π2<1，∴b<c<a．4.答案：D解析：【分析】本题考查命题的真假性判断，以及三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用，属于中档题．把π−x代入函数式，可判断A；由函数周期性的定义可判断B；举反例，可判断C；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断D．【解答】解：，即x=π2不是f(x)的对称轴，故A错误；∵f(π+x)=|sin(π+x)|⋅cos(π+x)=|−sinx|⋅(−cosx)=−f(x)≠f(x)，∴函数f(x)的周期不是π，故B错误；若|f(x1)|=|f(x2)|，即|12sin2x1|=|12sin2x2|，则x1=0，x2=π2时也成立，故C不正确；若x∈[π4,3π4]，则f(x)=|sinx|cosx=sinxcosx=12sin2x，此时2x∈[π2,3π2]，函数单调递减，故D正确．故选D．5.答案：A解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ；∴a⃗⋅b⃗ =sinα−2cosα=0；∴sinα=2cosα；∴sinαsinα+cosα=2cosα2cosα+cosα=23．故选：A．根据a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可得出sinα=2cosα，带入sinαsinα+cosα即可．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．6.答案：B解析：解：图中阴影部分的面积为S=∫cπ20osxdx=sinx|π2=1，矩形的面积为π2，∴豆子落在图中阴影部分的概率为1π2=2π，故选：B．求出图中阴影部分的面积为S=∫cπ20osxdx=sinx|π2=1，矩形的面积为π2，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．．7.答案：B解析：【分析】本题考查空间中线线，线面，面面的位置关系，属于简单题．逐一判断即可求解．【解答】解：对于A，若l⊂β且α⊥β，则l与α的关系不确定，所以错误;对于B，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个，所以正确;对于C，若l⊥β且α⊥β，则l有可能在α内，所以错误;对于D，若α∩β=m且l//m，则l有可能在α内，所以错误．故选B．8.答案：B解析：【分析】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．算法的功能是求y={1.2x x≤71.9x−4.9 x>7的值，代入x=10计算可得输出的y值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y={1.2x x≤71.9x−4.9 x>7的值，当输入10时，输出y=19−4.9=14.1．故选B．9.答案：A解析：解：根据题意，当a>2时，函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象如图，有2个交点，则“a>2”是“函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象的交点个数为2个”的充分条件，反之：若“函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象的交点个数为2个”，则函数f(x)=log a x为增函数，则a>1，则“a>2”是“函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象的交点个数为2个”的不必要条件，则a>2”是“函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象的交点个数为2个的充分而不必要条件；故选：A．根据题意，结合二次函数与对数函数的图象分析可得：当a>2时，函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象有2个交点，反之若“函数f(x)=log a x(a>0，且a≠1)的图象与函数f(x)=x2−4x+4的图象的交点个数为2个”，则a>1，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．本题考查函数的图象与充分必要条件的判定，关键是分析对数函数的图象与二次函数图象的关系．10.答案：A解析：【分析】本题考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．根据题意，可得抛物线焦点为F(1,0)，由直线l方程为y=k(x−1)，与抛物线方程联解消去y，得k2x2−(2k2+4)x+k2=0.再设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于x1、x2和k的方程组，解之可得k2值，再根据|AB|=x1+x2+p即可求出．【解答】解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F(1,0)，由{y =k(x −1)y 2=4x 消去y 可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1，(∗) ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)∴1−x 1=3(x 2−1)， ∴x 1=−3x 2+4，代入(∗)得−2x 2+4=2+4k 2，且(−3x 2+4)x 2=1， 消去x 2得k 2=3，∴|AB|=x 1+x 2+p =2+43+2=163，故选：A ．11.答案：C解析：【分析】本题考查二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于基础题． 由二倍角公式求得，再根据角的范围即求得答案． 【解答】解：由tanα=cos2α−1，得，即2sinαcosα=−1，sin2α=−1．，∴2α∈(−π,0)，则， 则．故选C ． 12.答案：A解析：解：设∠OF 2M =α，则c 2cos(π−α)=12c 2，∴cosα=−12，∴α=120°， ∵点M 是PF 2的中点，∴P(2c,√3c)， 代入双曲线方程可得4c 2a 2−3c 2b 2=1，化简得4e 4−8e 2+1=0， ∵e >1，∴e =√3+12，故选：A ．利用|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c22，求出直线的倾斜角，可得P 的坐标，代入双曲线方程，可得结论．本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，属于中档题． 13.答案：2x +y +1=0解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．先求出切点纵坐标，然后求出导数和斜率，然后求出切线的方程即可． 【解答】解：由已知，f (0)=−1,f ′(x )=e x (x 2+x −2)，所以k =f ′(0)=−2，所以切线方程为y +1=−2(x −0)， 即2x +y +1=0．故答案为2x +y +1=0． 14.答案：12解析：解：由sinB =cosAsinC ，得：sin(A +C)=cosAsinC ， 得：sinAcosC =0， 又sinA >0， 所以cosC =0， 即C =π2，由向量的投影的定义可得： AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9， 所以b =3， 又S △ABC =6， 所以a =4，由勾股定理得：c =√a 2+b 2=5， 即a +b +c =12， 即△ABC 的周长为12， 故答案为：12由两角和的正弦公式得：sin(A +C)=cosAsinC ，得：sinAcosC =0，又sinA >0，所以cosC =0，即C =π2，由向量的投影的定义得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9，所以b =3，由三角形的面积公式得：S △ABC =6，所以a =4，由勾股定理得：c =√a 2+b 2=5，即a +b +c =12，得解本题考查了两角和的正弦公式、向量的投影的定义及三角形的面积公式，属中档题．15.答案：12解析：【分析】本题主要考查了分段函数，函数的周期性，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据题意可知f(5)=f(−1)，从而即可得． 【解答】解：∵函数f(x)={2x ,x ≤0f (x −3),x >0, ∴f(5)=f (2)=f(−1)=2−1=12，故答案为12．16.答案：5解析：【分析】本题考查确定立体几何的公理三，及其三条推论，是对基本概念的应用有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可知，有BC ，DC ，BB 1，AA 1，D 1C 1， 【解答】 解：如图，满足条件的有BC ，DC ，BB 1，AA 1，D 1C 1， 故答案为5．17.答案：(Ⅰ)证明：∵数列{a n }为等比数列，且a 1=13，公比q =13．∴a n =(13)n ，S n=13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ]，则1−a n 2=1−(13)n2=S n ；(Ⅱ)解：b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n =log 3(a 1a 2a 3…a n )=log 3(13)1+2+3+⋯+n =log 3(13)n(n+1)2=−n(n+1)2．解析：(Ⅰ)由已知写出等比数列的通项公式与前n 项和，代入即可证明：S n =1−a n2；(Ⅱ)把数列{a n }的通项公式代入b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和化简得答案．本题考查等比数列的通项公式与前n 项和，考查对数的运算性质，是中档题．18.答案：解：(1)根据表中数据可得散点图如下：(2)计算x −=15×(2+4+5+6+8)=5，y −=15×(10+30+40+50+70)=40，所以样本中心点为(5,40)；(3)由b ̂=2.5，计算a ̂=y −−b ̂x −=40−2.5×5=27.5， 所以y 关于x 的回归直线方程为y =2.5x +27.5；(4)根据回归直线方程，计算x =10万元时，y =2.5×10+27.5=52.5万元，预测销售收入大约为52.5万元．解析：(1)根据表中数据画出散点图；(2)计算x −、y −，得出样本中心点坐标；(3)由b ̂=2.5求出a ̂，写出回归直线方程；(4)根据回归直线方程计算x =10时y 的值．本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)设AC ∩DE =O ，连接OF ，EC ，由于E 为线段AB 的中点，AD =DC =12AB 且AB//DC ，所以AE//DC ，AE =DC ．所以四边形ADCE 为菱形，故O 为AC 中点，又F 为PC 中点，因此，在△APC 中，AP//OF又OF ⊂平面EFD ，AP ⊄平面EFD ，所以AP//平面EFD(Ⅱ)由题意，BE//CD ，BE =CD ，所以四边形BCDE 为平行四边形所以BC//ED ．而AP ⊥平面PBC ，所以AP ⊥BC ，故A P ⊥ED ．因为四边形ADCE 为菱形，所以AC ⊥ED ，又AP ∩AC =A ，AP ，AC ⊂平面PAC ，所以ED ⊥平面PAC ，又ED ⊂平面EFD ，所以平面EFD ⊥平面APC ．(III)在△ADC 中，AD =CD =1，∠ADC =120°，所以AC =√3．因为AP ⊥平面PBC ，所以AP ⊥PC ，又AP =1，所以PC =√AC 2−AP 2=√2．所以S △APC =12×AP ×PC =12×1×√2=√22． 又ED ⊥平面PAC ，所以D 点到平面APC 的距离为DO =12．V P−ADC =V D−APC =13×DC ×S △APC =13×12×√22=√212．解析：(Ⅰ)设AC ∩DE =O ，连接OF ，EC ，证明AP//OF ，然后证明AP//平面EFD ．(Ⅱ)证明AP ⊥ED. AC ⊥ED ，推出ED ⊥平面PAC ，即可证明平面EFD ⊥平面APC ．(III)求出S △APC =12×AP ×PC =12×1×√2=√22.D 点到平面APC 的距离为DO =12.然后求解几何体的体积．本题考查直线与平面垂直，直线与平面平行，几何体的体积的求法，考查计算能力．20.答案：解：由(Ⅰ){y =2x x 2a 2+y 2b 2=1可得y 2=4a 2b 24a 2+b 2，e =c a =√22，e 2=a 2−b 2a 2=12， ∴a =√2b,c =b ………(2分)2c √4a 2+b 2=4√23，带入得√2b 3√8b 2+b 2=√23{b =1a =√2， 椭圆方程为x 22+y 2=1………(5分)(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =2x +m(m ≠0) 由{y =2x +m x 22+y 2=1，得9x 2+8mx +2m 2−2=0△=64m 2−36(2m 2−2)>0， 得m 2<9，∴m ∈(−3,0)∪(0,3)………(7分)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，则x 1+x 2=−89m,x 1x 2=2m 2−29x 0=−49m,y 0=2x 0+m =m 9k 1+k 2=y 0x 0+1+y 0x 0−1=2x 0y 0x 02−1=8m 281−16m 2 =881m 2−16(m ≠0)………(10分)∴k1+k2∈(−∞,−87)∪(0,+∞)………(12分)解析：(Ⅰ)利用直线与椭圆的位置关系以及离心率，转化求解即可．(Ⅱ)设直线AB的方程为y=2x+m(m≠0)，由{y=2x+mx22+y2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)f′(x)=(ax+a)e x，f′(0)=1⇒a=1．(2)由(1)知，f′(x)=(x+1)e x，∴f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)min=f(0)=0，∴f(x)max=f(2)=2e2．解析：本题主要考查了导数在切线方程中的应用，函数的最值，属基础题．(1)利用导数求出f(x)在x=0处的斜率，利用点斜式写出直线方程；(2)f(x)在[0,2]上单调递增，所以最小值f(0)，最大值f(2)．22.答案：解：∵曲线C的参数方程是为参数)，∴曲线C的普通方程为(x−2)2+y2=4，即曲线C是圆心为C(2,0)，半径为2的圆，∵直线l的方程为θ=π4(ρ∈R)，∴直线l的直角坐标方程为，即x−y=0，∴圆心C到直线l的距离为2−0√12+(−1)2=√2，∴直线l被曲线C截得的弦长为2√22−(√2)2=2√2．解析：本题考查把极坐标方程和参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式及弦长公式的应用．先把极坐标方程和参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求弦长．23.答案：解：(1)∵f(x)≤x+3，∴|x−1|+|x−2|≤x+3，①当x≥2时，，②当1<x<2时，，③当x≤1时，，由①②③可得x∈[0,6]；(2)①当m=0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m−3|对m恒成立，|2 m +1|−|2m−3|≤|(2m+1)−(2m−3)|=4，当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号，∴f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72；1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀；x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12；综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．解析：(1)分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；(2)讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。

高中数学暑假测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. -2C. iD. √22. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

A. 6B. 4C. 2D. 03. 一个圆的半径为5，求这个圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 21C. 19D. 175. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 86. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2的导数是：A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 9x + 2D. x^3 - 6x^2 + 27. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 4}8. 已知抛物线y = x^2 + 2x - 3，求顶点的横坐标。

A. -1B. -3C. -2D. 19. 求下列方程的解：x^2 - 5x + 6 = 0。

A. x = 2, x = 3B. x = -2, x = -3C. x = 1, x = 6D. x = 2, x = 410. 已知sinθ = 3/5，且θ在第一象限，求cosθ的值。

A. 4/5B. -4/5C. √(1 - (3/5)^2)D. -√(1 - (3/5)^2)二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知a + b = 10，a - b = 2，求a和b的值。

a = ______，b = ______。

12. 将函数y = 2x + 3的图象沿x轴平移2个单位，得到新的函数表达式为y = ______。

13. 已知三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，求∠C的度数。

2020年暑假高二数学补习题 (18)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=−2+i，若复数z+1z的虚部为b，则b等于()A. 45B. 45i C. 65D. 65i2.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为()A. 6B. 4C. 3D. 23.进位制转换：13=( )(3)A. 101B. 110C. 111D. 214.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件P：取出的都是黑球，事件Q：取出的都是白球，事件R：取出的球中至少有一个黑球，则下列结论正确的是()A. P与R互斥B. 任何两个均互斥C. Q和R互斥D. 任何两个均不互斥5.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是()A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳6.2012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A. 18种B. 36种C. 48种D. 72种7.某程序框图如图所示，若其输出结果是56，则判断框中应填写的是()A. K<4B. K<5C. K<6D. K<78. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121+121+⋯中的“…”代表无限次重复，设x =121+121+⋯，则可以利用方程x =121+x ，求得x ，类似地可得到正数√2√2√2√⋯=( )A. 2B. 3C. 4D. 6 9. 若X −B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则p =( )A. 12B. 3C. 13D. 210. 某天，甲、乙同桌两人随机选择早上7：00−7：30的某一时刻到达学校自习，则甲比乙提前到达超过10分钟的概率为( )A. 23B. 13C. 29D. 7911. 已知定义在(0,π2)上的函数f(x)的导函数为f ′(x )，且对于任意x ∈(0,π2)，有f ′(x )sinx <f (x )cosx ，则( )A. √3f (π4)<√2f (π3) B. f (π3)>f (1) C. √2f (π6)>f (π4)D. √3f (π6)<f (π3)12. 已知函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，且函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. [1,+∞) B. (1,+∞) C. (−∞,1) D. (−∞,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设i 是虚数单位，复数z 1=21+i ，则z 1=____________．14. 已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<1)=0.2，P(1≤ξ<2)=0.3，则P(ξ<3)=______．15. 某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是______ ．16. 已知函数f(x)=x 2+x +a ，若存在实数x ∈[−1,1]使得f(f(x)+a)>4af(x)成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 某公司生产甲、乙两种不同规格的产品，并且根据质量的测试指标分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：(1)根据表中数据，估计甲、乙两种产品的不合格率；(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，再从这5件甲产品中随机抽取2件，求这2件产品全是合格品的概率．18. 已知二项式(√x −x 3)n 的展开式的第7项为常数项．(1)求n 的值；(2)求n −2C n 2+4C n 3+⋯+(−2)n−1C n n的值．19. 为落实国家扶贫攻坚政策，某社区应上级扶贫办的要求，对本社区所有扶贫户每年年底进行收入统计，下表是该社区扶贫户中A 户从2016年至2019年的收入统计数据：(其中y 为A 贫困户的人均年纯收入)(1)作出A 贫困户的人均年纯收入的散点图；(2)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于年份代码x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，并估计A贫困户在2020年能否脱贫．(注：国家规定2020年的脱贫标准：人均年纯收入不低于3800元)(参考公式：b ̂=∑x i y i −nxy ni=1∑x i2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x)20. 甲居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(例如：A →C →D 算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为15，路段CD 发生堵车事件的概率为18).(1)请你为甲选择一条由A 到B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；(2)设甲在路线A →C →F →B 中遇到的堵车次数为随机变量X ，求X 的数学期望EX ．21. 已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx 在点(1,f(1))处的切线方程为3x +y +2=0．(Ⅰ)求b ，c 的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间．+2ax．22.已知函数f(x)=(2−a)lnx+1x(1)当a=2时，求函数f(x)的极值；(2)当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．把z=−2+i代入z+1z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=−2+i，∴z+1=−2+i+1=−2+i+−2−i (−2+i)(−2−i)=−2+i−25−15i=−125+45i．∴b=45．故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．根据分层抽样的定义直接计算即可．【解答】解：∵男生36人，女生18人，∴男生和女生人数比为36：18=2：1，∴抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为12+1×9=13×9=3，故选：C．3.答案：C解析：【分析】本题考查进位制，利用除k取余法即可求解．【解答】解：因为13÷3=4，…1，4÷3=1，…1，1÷3=0，…1，所以13=111(3)．故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查了互斥事件与对立事件，是基础的概念题．找出从袋中任取2个球的所有可能情况，然后借助于互斥事件的概念得答案．【解答】解：事件R：取出的球中至少有一个黑球，即取出的球为一个黑球一个白球和两个都是黑球．故事件Q和R互斥．5.答案：D解析：【分析】本题考查折线图，考查读图能力，属于基础题．结合折线图逐项分析即可．【解答】解：由图知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．6.答案：D解析：解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任前三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C21⋅C31⋅A33=36种选派方案，②、甲、乙两人都被选中，则在前三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C32⋅A22⋅C32⋅A22=36种选派方案，则共有36+36=72中不同的选派方案；故选D．根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，进而由分类计数原理，即可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，进行分类讨论．7.答案：C解析：解：模拟执行程序框图，可得S=1，K=1，执行循环体，S=2，K=2，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=6，K=3，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=15，K=4，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=31，K=5，应满足继续循环的条件，执行循环体，S=56，K=6，此时，应不满足继续循环的条件，退出循环，输出S的值为56，故循环条件应为：K<6，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得满足题意的循环条件．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：A解析：【分析】本题考查了阅读能力及类比推理，属简单题．先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设x=√2x，解得x=2，得解．【解答】解：根据题意得方程x=√2x，解方程得x=2，(x=0舍掉)，所以√2√2√2√⋯=2．故选A．9.答案：A解析：【分析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查二项分布的期望公式与方差公式的应用，是基础题．根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于n和p的方程组，整体计算求解方程组得答案．【解答】解：∵随机变量X～B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，∴np=6，且np(1−p)=3，解得n=12，p=12，故选A．10.答案：C解析：解：设甲到校的时间为x，乙到校的时间为y；则(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域Ω，且Ω={(x,y|0≤x≤30,0≤y≤30}是一个正方形区域，对应的面积为S=30×30=900，则甲比乙提前到达超过10分钟事件A={x|x−y≥10}，对应的面积为12×20×20=200，几何概率模型可知甲比乙提前到达超过10分钟的概率为P=200900=29．故选：C．设甲到校的时间为x，乙到校的时间为y；利用不等式组表示平面区域的方法计算所求的概率值．本题考查了几何概率的概率计算问题，是基础题． 11.答案：C解析：【分析】构造函数g(x)=f(x)sinx ，利用导数判断出函数g(x)的单调性，即可判断个选项．本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题． 【解答】解：构造函数g(x)=f(x)sinx ，则g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin 2x<0在x ∈(0,π2)恒成立，∴g(x)在(0,π2)单调递减， ∴g(π6)>g(π4)>g(1)>g(π3)，∴f(π6)12>f(π4)√22>f(1)sin1>f(π3)√32，∴√2f(π6)>f(π4)，√3f(π6)>f(π3)，√3f(π4)>√2f(π3)，sin π3f(1)>sin1f(π3)，故无法比较f(π3)与f(1)． 故选C ．12.答案：B解析：解：函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，就是y =f(x)的图象与y =a −x 的图象有且只有一个交点， 如图：显然当a >1时，两个函数有且只有一个交点， 故选：B ．利用数形结合画出函数y =f(x)的图象，通过函数ℎ(x)=f(x)+x −a 有且只有一个零点，求出a 的范围．本题考查函数零点个数的判断，考查数形结合，考查分析问题解决问题的能力． 13.答案：1−i解析：【分析】本题考查复数的运算，属于基础题．由复数除法的运算法则求解即可．【解答】解：由已知z1=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i．故答案为1−i．14.答案：0.8解析：解：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<1)=0.2，P(1≤ξ<2)=0.3，对称轴为μ=2，∴P(ξ<3)=1−P(ξ>3)=1−P(ξ<1)=0.8．故答案为：0.8．根据正态分布的对称性及概率之和为1即可得出答案．本题考查了正态分布的对称性，属于基本知识的考查．15.答案：2解析：解：根据茎叶图中的数据，结合题意，得；去掉一个最低分87，去掉一个最高分94，平均分是91，则88+89+92+(90+x)+93+92+91=91×7；解得x=2．故答案为：2．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，求出x的值．本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题．16.答案：[−2,+∞)解析：解：由题意，设f(x)+a=t，可得f(t)>4a(t−a)；存在实数x∈[−1,1]可得f(x)∈[a−14,2+a]那么t∈[2a−14,2+2a]；得t2+t+a>4a(t−a)；即t2+t(1−4a)+a+4a2>0令ℎ(t)=t2+t(1−4a)+a+4a2(t∈[2a−14,2+2a])可得其对称轴t=4a−12，∴t∈[2a−14,2+2a]时，ℎ(t)单调递增，那么ℎ(t)max=ℎ(2+2a)=3a+6≥0，解得：a≥−2．故答案为：[−2,−∞)．利用换元法，设f(x)+a=t，可得f(t)>4a(t−a)成立，转化为f(t)−4a(t−a)>0，求解f(t)−4a(t−a)的最大值≥0可得a的范围．本题考查二次函数的性质和转化思想，换元法的应用，存在性问题．属于中档题．17.答案：解：(1)甲产品的不合格率为P 1=7+13100=20%，乙产品的不合格率为 P 2=9+21100=30% (2)由题意，若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，则其中恰有1件次品，4件合格品，因而可设这5件甲产品分别为a ，b ，c ，d ，E ，其中小写字母代表合格品，E 代表次品，从中随机抽取2件，则所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，aE ，bc ，bd ，bE ，cd ，cE ，dE ，共10种，设“这2件产品全是合格品”为事件M ，则事件M 所包含的情况为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种． 由古典概型的概率计算公式，得P(M)=610=35．解析：本题主要考查古典概型的有关知识，需要理解掌握古典概型的概念，能根据所给信息，找出需要的数据根据古典概型公式求出所需要的概率．(1)根据所给信息，计算在分别抽取的100件产品中，为合格品的元件甲，乙各有的件数，根据古典概型公式计算出元件甲、乙为合格品的频率；(2)若按合格与不合格的比例抽取5件甲产品，其中合格的1件，合格的4件，设5件产品分别为a ，b ，c ，d ，E ，大写代表不合格；再从这5件甲产品中随机抽取2件，列出所有可能情况为情况，这2件产品全是合格品有的情况，根据古典概型公式计算出所需概率．18.答案：解：(1)二项式通式T r+1=C n r (√x)n−r √x 3)r =(−2)r C n r x n 2−5r 6． ∵展开式的第7项为常数项，∴n 2−5×66=0，解得n =10；(2)∵n =10， ∴n −2C n 2+4C n 3+⋯+(−2)n−1C n n =10−2C 102+4C 103+⋯+(−2)9C 1010=(−2)1C 101+(−2)2C 102+(−2)3C 103+⋯+(−2)10C 1010−2=C 100+(−2)1C 101+(−2)2C 102+(−2)3C 103+⋯+(−2)10C 1010−1−2．当x =1时，(1−2)10=C 100+(−2)1C 101+(−2)2C 102+(−2)3C 103+⋯+(−2)10C 1010． 原式=(1−2)10−1−2=0．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．(1)写出二项展开式的通项，结合展开式的第7项为常数项即可求得n 值；(2)把要求值的式子变形，结合二项式系数的性质求解．19.答案：解：(1)由表格中的数据得散点图：(2)根据表格中的数据可得：x −=1+2+3+44=52， y −=25+28+32+354=30， b ̂=∑x i 4i=1y i −4xy ∑x i 24i=1−4x 2=3.4，a ̂=y −b ̂x =30−3.4×52=21.5． 故y 关于x 的线性回归方程y ̂=3.4x +21.5，当x =5时，y ̂=38.5(百元)，∵3850>3800，∴预测A 户在2020年能脱贫．解析：(1)直接根据表格中的数据作出散点图；(2)根据表格中的数据可得：b ̂与a ̂，可得y 关于x 的线性回归方程y ̂=3.4x +21.5，取x =5求得y 值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)由A 到B 的最短路线有3条，即为：A →C →D →B ，A →C →F →B ，A →E →F →BP(A →C →D →B)=1−45×78×23=64120；P(A →C →F →B)=1−45×34×56=60120；P(A →C →F →B)=1−1×9×5=75 故路线A →C →F →B 发生堵车事件的概率最小．(2)路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3P(ξ=0)=45×34×56=12，P(ξ=1)=15×34×56+45×14×56+45×34×16=47120，P(ξ=2)=15×14×56+15×34×16+45×14×16=12120；P(ξ=3)=15×14×16=1120 故Eξ=0×12+1×47120+2×12120+3×1120=3760．解析：本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错．(1)各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线A →C →F →B ，可使得途中发生堵车事件的概率最小．(2)由题意知路线A →C →F →B 中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，求出期望值．21.答案：解：(Ⅰ)∵f′(x)=3x 2+2bx +c ，∴k =f′(1)=3+2b +c =−3①，又∵f(1)=−5，∴−5=1+b +c②，由①②解得：b =0，c =−6.(Ⅱ)当b =0，c =−6时，f(x)=x 3−6x ，∴f′(x)=3x 2−6=3(x 2−2)=3(x +√2)(x −√2)，令f′(x)>0得：x <−√2或x >√2，令f′(x)<0得：−√2<x <√2，∴函数f(x)增区间为：(−∞,−√2),(√2,+∞)，减区间为：(−√2,√2)．解析：本题导数的几何意义、切点坐标的应用，导数研究函数的单调性，待定系数法求解析式，属于基础题．(Ⅰ)根据导数几何意义，导数的几何意义、切点坐标的应用，得到关于a ，b 的方程组，解得即可． (Ⅱ)利用导数求出函数的单调区间即可．22.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a =2时，函数f(x)=1x +4x ，所以f′(x)=−1x 2+4=4x 2−1x 2，令f′(x)>0，所以x >12，令f′(x)<0，所以0<x <12，所以函数f(x)单调增区间是(12,+∞)，单调减区间是(0,12)，所以函数f(x)在x =12处取得极小值，f(12)=4，无极大值；(2)f′(x)=2−a x −1x 2+2a =(2x−1)(ax+1)x 2， 令f′(x)=0，得x 1=12，x 2=−1a ，当a =−2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0,+∞)单调递减；当−2<a <0时，在区间(0,12)，(−1a ,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(12,−1a )上f′(x)>0，f(x)单调递增；当a <−2时，在区间(0,−1a )，(12,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(−1a ,12)上f′(x)>0，f(x)单调递增；综上所述，当a =−2时，函数f(x)的在定义域(0,+∞)内单调递减；当−2<a <0时，f(x)在区间(0,12)，(−1a ,+∞)内单调递减，在区间(12,−1a )内单调递增； 当a <−2时，f(x)在区间(0,−1a )，(12,+∞)内单调递减，在区间(−1a ,12)内单调递增．解析：本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．(1)当a =2时，求出函数f(x)的导数，利用导数判断函数f(x)的单调性与极值；(2)求出f(x)的导数f′(x)，讨论a 的取值范围，利用导数即可判断函数f(x)在定义域(0,+∞)的单调性．。

2020年高二暑假数学补习训练题 (21)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x−2<0}，B={x|2+3x>−4}，则A∩B=()A. {−1,0}B. {−1,0，1}C. {0,1}D. {−2,−1,0，1}2.在复平面内，复数z=1−2i对应的点的坐标为()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,−2)D. (2,−1)3.sin45°⋅cos15°+cos225°⋅sin15°的值为()A. −√32B. −12C. 12D. √324.如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是()A. 10B. 11C. 10或11D. 125.直线ax−y+3=0与圆(x−1)2+(y−2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2√3，则a=()A. −1B. 0C. 12D. 16.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a7=5+a9，则S9的值为()A. 27B. 36C. 45D. 547.已知两条不同直线m,n与三个不同平面α,β,γ，则下列命题正确的个数是()①若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β③若α⊥β，m⊥β，则m//α④若m//α，m⊥n，则n⊥αA. 0B. 1C. 2D. 38.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入m=459，n=357，则输出m=()A. 51B. 17C. 9D. 39.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是()A. 41πB. 48πC. 51πD. 164π10.已知双曲线C：x29−y2b2=1的左、右焦点分别是F1、F2，点P(5,1)，满足|PF1|−|PF2|=6，则双曲线C的离心率是()A. 23B. √174C. 2D. √153211.下列说法正确的是()A. 某人月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000”B. 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C. 变量x不小于a可表示为“x≥a”D. 变量y不超过a可表示为“y≥a”12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，且关于直线x=2π3对称，则下列结论正确的是()A. f(x)在[π12,2π3]上是减函数B. 若x=x0是f(x)的一条对称轴，则一定有f′(x0)≠0C. f(x)≥1的解集是[2kπ,2kπ+π3]，k∈ZD. f(x)的一个对称中心是(−π3,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(1,4)，b⃗ =(1,0)，则|a⃗+2b⃗ |的值为______ ．14.(x+a)10的展开式中，x7的系数为15，则a=__________.(用数字填写答案)15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=6，a=4，B=120°，则b=_______．16.定义在R上函数f(x)满足f(1)=1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x−1的x的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a2=64，a5=8，求S7的值．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1−BC1−B1的余弦值；19.已知随机变量X的分布列为：X−2−1012P 141315m120(1)求E(X)；(2)若Y=2X−3，求E(Y)．(3)若ξ=aX+3，且E(ξ)=−112，求a的值．20.已知圆D：(x+1)2+y2=16，圆C过点B(1,0)且与圆D相切，设圆心C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)点A(−2,0)，P，Q为曲线E上的两点(不与点A重合)，记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，若k 1k 2=2，请判断直线PQ 是否过定点．若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．21. 已知函数f(x)=lnx −ax +ax ，其中a >0．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅱ)证明：(1+122)(1+132)(1+142)…(1+1n 2)<e 34(n ∈N ∗,n ≥2)．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点． (1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的面积的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −2|．(1)求不等式f(x)<3的解集M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a +b|<|1+ab|．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={x ∈Z|x <2}，B ={x|x >−2}； ∴A ∩B ={x ∈Z|−2<x <2}={−1,0，1}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2.答案：C解析：解：复数z =1−2i 对应的点的坐标为(1,−2)， 故选：C ．利用复数的运算法则、几何意义即可得出；本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 3.答案：C解析：【分析】本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用．此类题常与诱导公式、倍角公式等一起考查． 先通过诱导公式cos225°=−cos45°，再利用正弦两角和公式化简即可得出答案． 【解答】解：sin45°⋅cos15°+cos225°⋅sin15°=sin45°⋅cos15°−cos45°⋅sin15° =sin(45°−15°) =sin30° =12． 故选C ． 4.答案：B解析：解：假设最可能击中目标的次数为k ，根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，则他击中k 次的概率为C 15k⋅0.7k ⋅0.315−k ，再由 {C 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k+1⋅0.7k+1⋅0.314−kC 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k−1⋅0.7k−1⋅0.316−k，求得10.2≤k ≤11.2， 再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11， 故选：B ．假设最可能击中目标的次数为k ，由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式可得{C 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k+1⋅0.7k+1⋅0.314−k C 15k ⋅0.7k ⋅0.315−k ≥C 15k−1⋅0.7k−1⋅0.316−k，求得k 的范围，可得k 的最大值． 本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．5.答案：B解析：解：圆(x−1)2+(y−2)2=4的圆心C(1,2)，半径r=2，弦AB的中点为D，则|AD|=√3，由圆的性质得圆心到直线的距离d=1，=1，∴C到直线的距离为√a2+1解得：a=0．故选：B．先确定圆心和半径，然后利用圆中的垂径定理求得圆心到直线的距离，从而建立关于a的方程，即可求得a的值．本题考查了直线与圆相交的性质，注意圆中的直角三角形的应用，避免联立直线与圆的方程，是个基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a7=5+a9，∴2(a1+6d)=5+a1+8d，化为：a1+4d=5．=9a5=45．则S9=9(a1+a9)2故选：C．7.答案：A解析：【分析】本题考查命题真假性的判断，主要运用立体几何线面、面面关系进行分析，属于基础题．根据线面平行、线面垂直、面面垂直等相关定理逐一进行判断即可．【解答】解：对于①，当α⊥β，m⊥α，n//β时，n与m可能相交、异面或平行，故①错；对于②，当α⊥γ，β⊥γ时，α和β可能平行可能相交，故②错；对于③，当α⊥β，m⊥β时，m//α或m⊂α，故③错；对于④，当m//α，m⊥n时，则n//α或n⊥α或n⊂α，故④错，故选：A．8.答案：A解析：解：当m=459，n=357时，r=102，m=357，n=102，当m=357，n=102时，r=51，m=102，n=51，当m=102，n=51时，r=0，m=51，n=0，满足输出的条件，故输出的m=51，故选：A由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．9.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，其外接球的直径为√42+42+32=√41，所以S=4π×(√412)2=41π，故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质与双曲线的定义，属基础题．由双曲线的方程分析可得a的值，再结合双曲线的定义得P点在双曲线上，将P的坐标代入双曲线的标准方程可得b的值，计算可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：双曲线C的方程为x29−y2b2=1，则a=3，又由点P(5,1)满足|PF1|−|PF2|=6，则P在双曲线上，则有259−1b2=1，解可得：b=34，则c=√a2+b2=3√174，故双曲线的离心率e=ca =√174；故选B．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了不等式，主要提干中的关键词“不高于”，“矮”，“不小于”，“不超过”的应用．【解答】解：A项，x应满足x≤2000，故A错误；B项，x，y应满足x<y，故B错误；D项，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误．故选C．12.答案：D解析：解：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0<ω<l,|φ|<π2)的图象经过点(0,1)， 可得f(0)=2sinφ=1，即sinφ=12，可得φ=π6， 由f(x)的图象关于直线x =2π3对称，可得2sin(2π3ω+π6)=kπ+π2， 可得ω=32k +12，由0<ω<1，可得ω=12， 则f(x)=2sin(12x +π6)， 由x ∈[π12,2π3]，可得12x +π6∈[5π24,π2]，显然f(x)递增，故A 错； 由f(x)的导数为f′(x)=cos(12x +π6)，取x 0=2π3，f(x 0)=2为最大值，则f′(x 0)=cos π2=0，故B 错；f(x)≥1即2sin(12x +π6)≥12，即有2kπ+π6≤12x +π6≤2kπ+5π6，k ∈Z ，化为4kπ≤x ≤4kπ+π3，k ∈Z ，故C 错；由f(−π3)=2sin(−π6+π6)=0，可得f(x)的一个对称中心是(−π3,0)，故D 对． 故选：D ．由题意可得f(0)=1，解得φ，由对称轴可得ω=12，则f(x)=2sin(12x +π6)，由正弦函数的单调性可判断A ；由对称轴特点和导数，可判断B ；由正弦函数的图象可得x 的不等式组，解不等式可判断C ；由对称中心的特点可判断D ．本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中档题． 13.答案：5解析：解：由a ⃗ =(1,4)，b ⃗ =(1,0)，得a ⃗ +2b ⃗ =(3,4)，所以|a ⃗ +2b ⃗ |=√32+42=5 故答案为：5 先求出a ⃗ +2b ⃗ =(3,4)，再求模即可． 本题考查向量坐标的简单计算，属于基础题．14.答案：a =12解析：T k+1=C 10k x 10−k a k 当k =3,x 7的系数为120a 3=15,a =12...15.答案：2√19解析：【分析】本题考查解三角形，考查计算能力，属基础题． 利用余弦定理求解． 【解答】解：由余弦定理， =16+36−2×4×6×(−12)=76，所以b =2√19． 故答案为2√19． 16.答案：(−∞,1)解析：解：可以设函数y =2x −1∵该直线的斜率为2，且当x =1时，y =1， ∵f(1)=1，f′(x)<2， ∴原不等式的解集为(−∞,1) 故答案为：(−∞,1)．首先，根据导数的几何意义得到直线的斜率，然后，结合两个直线的位置情况进行确定所求范围即可．本题重点考查了不等式与导数的关系等知识，考查了数形结合思想的运用，属于中档题． 17.答案：解：设数列{a n }的公比为q ． 由题设可得{a 1q =64,a 1q 4=8.解得a 1=128，q =12． 因为S n =a 1(1−q n )1−q ， 所以S 7=a 1(1−q 7)1−q=128×[1−(12)7]1−12=254解析：本题考查等比数列的前n 项和公式以及通项公式，关键是求出数列{a n }的公比． 根据题意，设数列{a n }的公比为q ，结合题意可得{a 1q =64,a 1q 4=8.，解可得a 1与q 的值，由等比数列的前n 项和公式分析可得答案．18.答案：(1)证明：因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC ．因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C =AC ， AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以AA 1⊥平面ABC ．(2)解：由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由题知AB =3，BC =5，AC =4，所以AB ⊥AC ． 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ， 则B(0,3，0)，A 1(0,0，4)，B 1(0,3，4)，C 1(4,0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−4)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，0)，则{n ⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y −4z =0n⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4x =0令z =3，则x =0，y =4，所以n⃗ =(0,4，3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(3,4，0)． 所以cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1625． 由题知二面角A 1−BC 1−B 1为锐角， 所以二面角A 1−BC 1−B 1的余弦值为1625．解析：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用．(1)由正方形性质得AA 1⊥AC ，由面面垂直得AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，由勾股定理得AC ⊥AB ，由此能证明AA 1⊥平面ABC ．(2)以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，求出平面A 1BC 1的法向量和平面B 1BC 1的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A 1−BC 1−B 1的余弦值．19.答案：解：(1)由随机变量分布列的性质，得14+13+15+m +120=1，解得m =16，所以E(X)=(−2)×14+(−1)×13+0×15+1×16+2×120=−1730． (2)法一：由公式E(aX +b)=aE(X)+b ，得E(Y)=E(2X −3)=2E(X)−3=2×(−1730)−3=−6215． 法二：由于Y =2X −3，所以Y 的分布列如下：所以E(Y)=(−7)×14+(−5)×13+(−3)×15+(−1)×16+1×120=−6215． (3)解：E(ξ)=E(aX +3)=aE(X)+3=−1730a +3=−112，所以a =15．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题目．(1)根据概率和为1，列出方程即可求出m 的值，再利用随机变量的数学期望公式求出E(X)； (2)方法一，利用公式E(aX +b)=aE(X)+b ，结合(1)的结论即可得到答案；方法二，根据X 的分布列，得到Y 的分布列，再利用随机变量的数学期望公式求出E(Y)； (3)根据公式E(aX +b)=aE(X)+b ，得到E(ξ)=E(aX +3)=aE(X)+3，结合E(ξ)=−112，求a 的值．20.答案：解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意，|CB|=r ，|CD|=4−r ，进而有|CB|+|CD|=4，所以圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，所以圆心C 的轨迹方程为x 24+y 23=1.…………(4分)(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，设直线PQ 的方程为y =kx +m(直线PQ 的斜率存在)， 可得(kx 1+m)(kx 2+m)=2(x 1+2)(x 2+2)，整理为：(k 2−2)x 1x 2+(km −4)(x 1+x 2)+m 2−8=0，联立{x 24+y 23=1y =kx +m，消去y 得：(4k 2+3)x 2+8kmx +(4m 2−12)=0，由△=64k 2m 2−4(4k 2+3)(4m 2−12)=48(4k 2−m 2+3)>0，有4k 2+3>m 2， 有x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，…………(6分)k 1k 2=y 1y 2(x 1+2)(x 2+2)=2，可得y 1y 2=2(x 1+2)(x 2+2)，故有：(k 2−2)4m 2−124k 2+3−(km −4)8km4k 2+3+m 2−8=0，…………(8分)整理得：44k 2−32km +5m 2=0，解得：m =2k 或m =225k ，…………(10分)当m =2k 时直线PQ 的方程为y =kx +2k ，即y =k(x +2)，过定点(−2,0)不合题意， 当m =225k 时直线PQ 的方程为y =kx +225k ，即y =k(x +225)，过定点(−225,0).……(12分)解析：(1)设圆C 的半径为r ，依题意，|CB|=r ，|CD|=4−r ，判断圆心C 的轨迹是以D ，B 为焦点的椭圆，然后求解圆心C 的轨迹方程．(2)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，设直线PQ 的方程为y =kx +m(直线PQ 的斜率存在)，可得(kx 1+m)(kx 2+m)=2(x 1+2)(x 2+2)，联立{x 24+y 23=1y =kx +m ，利用韦达定理，推出直线方程，然后求解恒过的定点坐标．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞)， f′(x)=−ax 2+x−ax 2，令ℎ(x)=−ax 2+x −a ，记Δ=1−4a 2，当Δ≤0时，得a ≥12， 若a ≥12，则−ax 2+x −a ≤0，f′(x)≤0， 此时函数f(x)在(0,+∞)递减，当0<a <12时，由−ax 2+x −a =0，解得：x 1=1+√1−4a 22a ，x 2=1−√1−4a 22a ，显然x 1>x 2>0，故此时函数f(x)在(1−√1−4a 22a ,1+√1−4a 22a )递增，在(0,1−√1−4a 22a )和(1+√1−4a 22a,+∞)递减；综上，0<a <12时，函数f(x)在(1−√1−4a 22a,1+√1−4a 22a)递增，在(0,1−√1−4a 22a )和(1+√1−4a 22a ,+∞)递减，a ≥12时，函数f(x)在(0,+∞)递减； (Ⅱ)证明：令a =12，由(Ⅰ)中讨论可得函数f(x)在区间(0,+∞)递减， 又f(1)=0，从而当x ∈(1,+∞)时，有f(x)<0，即lnx <12x −12x ， 令x =1+1n 2,n ≥2则ln(1+1n 2)<12(1+1n 2)−12(1+1n 2)=1+2n 22n 2(n 2+1)=12(1n 2+1n 2+1)<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，从而：ln(1+122)+ln(1+132)+ln(1+142)+⋯+ln(1+1n 2)<12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −3−1n −1+1n −2−1n +1n −1−1n +1) =12(1+12−1n −1n+1)<12(1+12)=34，则有ln(1+122)+ln(1+132)+ln(1+142)+⋯+ln(1+1n 2)<34， 可得(1+122)(1+132)(1+142)…(1+1n2)<e 34(n ∈N ∗,n ≥2)．解析：本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，考查了不等式放缩法，是一道中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出lnx <12x −12x ，令x =1+1n 2(n ≥2)，得到ln(1+1n 2)<12(1n−1−1n+1)，累加即可证明结论．22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，转化为直角坐标方程为：x 2+y 2=4x ， 直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=2√2， 即，转化为直角坐标方程为：x −y −4=0， 联立{x 2+y 2=4xx −y =4，解得：{x =2y =−2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,−2)或(4,0)， 所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直角坐标为(2,−2)，(4,0)， |AB|=√(2−4)2+(−2)2=2√2，因此，△PAB 的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候， 设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为： d =√2=√5sin(θ−α)+4|√2， 当sin(θ−α)=−1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4−√5．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积． 23.答案：解：(1)f(x)={2x −5,x ≥31,2<x <3−2x +5,x ≤2，∵f(x)<3， ∴{2x −5<3x ≥3或{1<32<x <3或{−2x +5<3x ≤2，解得1<x <4∴M ={x|1<x <4} 证明：(2)(a +b)2−(1+ab)2=(a 2−1)(1−b 2)， ∵a ，b ∈(1,4)，∴1−b 2<0，a 2−1>0， ∴(a +b)2<(1+ab)2，∴|a +b|<|1+ab|解析：(1)取绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，(2)当a ，b ∈M 时，(a 2−1)(b 2−1)>0，即a 2b 2+1>a 2+b 2，配方后，可证得结论．本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想、是中档题．。