第三讲 不等式复习及单元检测卷

第三讲 不等式复习不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。

2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。

3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。

同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。

一、基本不等式1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。

2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。

例1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.分析：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解：∵54x <∴540x ->∴y=4x-2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1 当且仅当15454x x-=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，m ax 1y =.例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b +=x y，求x+y 的最小值。

（2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解. 解:(1)法一：直接利用基本不等式：a b b x a y x +y =(x +y)(+)=a +b ++xyyx≥a +b +2ab 当且仅当ay bx =x y a b +=1xy ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即x =a +a b y =b +a b⎧⎪⎨⎪⎩时等号成立法二： 由a b +=1x y得a y x =y -bay a(y b )abx y y yy by bab ab a y (y b )a b y by b-++=+=+--=++=+-++--∴∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由a y y -b>0得y-b>0 ∴ x+y≥2ab +a +b当且仅当ab=y -by -b a b +=1xy ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即y =b +a b x =a +a b⎧⎪⎨⎪⎩时，等号成立（2）法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xx y ．xx x xx x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ．可得，18≤xy ．当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222，代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.二、一元二次不等式1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。

2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.例1.解不等式：（1）23440x x -++> （2）213022x x ++>（3）()()21322x x x x +->-- （4）2232142-<---<-x x解：（1）原不等式化为23440x x --<，解集为223x -<<（2）原不等式化为2230x x ++>，解集为R （3）原不等式化为210x x ++<，解集为∅（4）由22222134210132224,,1322250222x x x x x x x x x x ⎧++<⎪⎧+->⎪⎪<++<⎨⎨+-<⎪⎩⎪++>⎪⎩得得得2121,6161x x x ⎧>-<--⎪⎨--<<-⎪⎩或 (61,21)(21,61)x ∴∈------点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程∆的判断、以及对应方程两根大小的比较. 例2. 函数)1(log221-=xy 的定义域为 )(2,11,2⎡⎤--⎣⎦例3..二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是),3()2,(+∞--∞例4.若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b =__-2____ c =__-3____.三、线性规划1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.例1.原点（0,0）和点P （1,1）在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是0<a<2例2.在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为23x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46例3.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，（1） 求y x z 2+=的最大和最小值。

（2） 求xy z =的取值范围。

（3） 求22y x z +=的最大和最小值。

解析：注意目标函数是代表的几何意义. 解：作出可行域。

（1）1222z z x y y x =+⇔=-+，作一组平行线l ：122zy x =-+，解方程组04052{=-+=--y x y x 得最优解B （3，1），3215m inz∴=+⨯=。

解02052{=+-=--y x y x 得最优解C （7，9），m a x 72925z ∴=+⨯=（2）00--==x y xy z 表示可行域内的点（x,y ）与（0，0）的连线的斜率。

从图中可得，kz kO BO A≤≤，又13,3kkO AO B==，133z ∴≤≤。

（3）2222(0)(0)z xy x y =+=-+-表示可行域内的点（x,y ）到（0，0）的距离的平方。

从图中易得，2m i nzO F=，（OF 为O 到直线AB 的距离），2m axzO C=。

004222O F +-==，228,130O FO C==，130m axz∴=，8m inz=。

点拨：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。

（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围.例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系30002000z x y =+的运动，求出目标函数的最值.解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，． m ax 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．四、不等式综合能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等. 例1.函数()()22f x ax a =-+在区间[]0,1上恒为正，则a 的取值范围是0＜a ＜2例2.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时，3271x yz =++的最小值是7例3.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，则x 的取值范围是x ＞3或x ＜－10 100 200 300100200 300 400500yxlM例3第三讲 不等式单元检测卷一:选择题1. 若a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（ ） Aba 11< B ab ＜1 C1<ba D1>ba2.在下列函数中,最小值是2的是( ) A.xx y 22+=B.21222+++=x x yC.xx y sin 1sin += D.55xxy -+=3.已知三角形ABC 的顶点坐标A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点),(y x P 在三角形内部及边界上运动,则y x z -=的最大值和最小值分别是( ) A 3,1 B -1,-3 C 1,-3 D 3,-14.已知正数b a ,,满座4≤+b a ,则有( )A 211≥abB 111≥+baC 2≥ab D41122≤+ba5.已知正数y x ,满足194=+yx,则xy 有( )A 最小值12B 最大值12C 最小值144D 最大值1446. 某厂有一批长为2.5米的条形钢材,要截成60厘米的A 型和43厘米的B 型的两种 规格的零件毛坯,则下列哪种方案是最佳(所剩材料最少)( ) A A 型4个 B A 型2个,B 型3个 C A 型一个,B 型4个 D B 型5个7.若10<<<b a ,)2ln(),ln (ln 21,ln ln b a R b a Q b a P +=+=⋅=,则( )A P<Q<RB Q<R<PC Q<P<RD R<Q<P10.若函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数,且对一切0,0>>y x ,满足)()()(y f x f yxf -=,则不等式)4(2)1()6(f x f x f <-+的解为( )A (-8,2)B (2,8)C (0,2)D (0,8)二:填空题 11.函数)0(14)(>++=x x x x f 取最小值时,______=x ;12.不等式052<++c x x a 的解集是x x |{>6,或}1-<x ,则052<++a x x c 的解集是______________;13.若)0,0(42>>=+y x xy x y ,则xy 的最小值为___________;14.设,)(2bx x a x f +=若4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ,则点),(b a 的集合的面积是___________ 三:解答题15.已知关于x 的不等式:0)2)(2(≥--ax x (a 为实数) (1)若解集为R,求a ; (2)解关于x 的不等式. (10分)16.（1）求函数)1(1)2)(5()(-<+++=x x x x x f 的最大值,并求相应的x 的值.(12分)（2）已知正数b a ,满足93222=+b a ,求b a 21+的最大值并求此时a 和b 的值. 17.若)0,0(142>>=+y x yx,求y x 2+的最小值,并求此时的y x ,的值.(10分)18.已知变量,0,0,0,0≥≥≥≥b a y x 且.62,62=++=++b y x a y x (1)试画出点),(y x 存在的范围; (2)求y x 32+的最大值.(10分)19．（12分）某木材加工厂为了提高生产高效率和产品质量，决定添置一台12.5万元的新木材加工机器。