第4.4.3节正定二次型

正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。

在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。

正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。

设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。

如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。

二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。

这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。

2. 正定二次型的特征值全为正数。

设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。

由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。

因此，正定二次型的特征值全为正数。

3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。

正定二次型可以通过配方法化简为标准型。

化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。

正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。

4. 正定二次型的零空间只包含零向量。

设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。

三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。

1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。

对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。

通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。

2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。

协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。

§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。

如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。

正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。

1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。

正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。

$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。

$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。

2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。

定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。

正定二次型的判别方法正定二次型是数学领域中重要的概念，它在矩阵、线性代数、数学分析等领域都有重要的应用。

在实际问题中，判别一个二次型是否为正定是非常重要的，因为它关系到了二次型的性质和应用。

本文将介绍正定二次型的定义、性质，以及判别正定二次型的方法。

正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。

对于一个n维向量x=(x1, x2, ..., xn)^T，它的二次型可以表示为：Q(x) = x^TAx = ∑∑(a_ijxi*xj)其中A是一个n×n实对称矩阵，a_ij表示矩阵A的元素，xi和xj表示向量x的元素。

如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么我们称二次型Q(x)是正定的。

如果Q(x)<0，则称为负定；如果Q(x)的值在0附近变化，则称为不定。

我们还定义半正定和半负定二次型，即当Q(x)≥0时称为半正定，当Q(x)≤0时称为半负定。

正定二次型具有一些重要的性质，这些性质对于判别一个二次型是否正定非常重要。

下面我们来介绍一些常见的性质：1. 正定二次型的特征值全为正数。

设A为一个n×n实对称矩阵，它的特征值为λ1, λ2, ..., λn，那么A是正定的当且仅当所有的特征值都是正数。

2. 正定二次型的主对角元素全为正数。

对于一个正定矩阵A，它的主对角元素a_ii都是正数。

3. 正定方阵的行列式大于0。

对于一个n×n的正定矩阵A，它的行列式det(A)>0。

1. 利用主元法利用主元法判别一个二次型是否正定是一种非常直观的方法。

我们将二次型的矩阵表示成阶梯型，然后判断主对角元素是否都大于0，如果是，则该二次型是正定的。

举个例子，对于一个二次型Q(x) = x^T Ax，A是一个实对称矩阵，如果我们可以将A 化成阶梯型：| a11 a12 a13 || a12 a22 a23 || a13 a23 a33 |然后判断a11, a22, a33是否都大于0，如果是，则二次型Q(x)是正定的。

正定二次型的判定方法正定二次型在数学和工程领域中有着广泛的应用，它在描述和分析各种问题时起着重要作用。

在实际问题中，我们常常需要对二次型进行分类，其中正定二次型是其中一种重要的类型。

那么，如何判定一个二次型是正定的呢？本文将介绍正定二次型的判定方法，希望能够对读者有所帮助。

首先，我们来看一下正定二次型的定义。

对于一个n元二次型，它可以表示为：\[Q(x)=x^TAx\]其中，\(x=(x_1,x_2,...,x_n)^T\)是n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。

如果对于任意非零向量x，都有\(x^TAx>0\)，则称二次型Q(x)是正定的。

接下来，我们来介绍判定正定二次型的方法。

首先，我们需要了解一个定理，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果它的n个顺序主子式都大于0，则A是正定的。

这个定理为我们提供了一种判定正定二次型的方法。

其次，我们可以利用矩阵的特征值来判定正定二次型。

具体来说，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果它的所有特征值都大于0，则A是正定的。

这是因为对于一个实对称矩阵，它可以被对角化为对角矩阵，而特征值的符号与矩阵的正定性是一致的。

此外，我们还可以通过求解二次型的标准型来判定它的正定性。

对于任意一个n元二次型Q(x)，都存在一个正交变换P，使得经过正交变换后的二次型为标准型：\[Q(y)=y_1^2+y_2^2+...+y_r^2\]其中，r是二次型的秩。

如果标准型中所有的系数都大于0，则原二次型是正定的。

最后，我们需要注意的是，以上方法并不是一成不变的。

在实际问题中，我们需要根据具体的情况选择合适的方法来判定正定二次型。

有时候，我们可能需要结合多种方法来进行判断，以确保结果的准确性。

总之，正定二次型的判定方法是一个重要的数学问题，它在实际问题中有着广泛的应用。

通过本文的介绍，希望读者能够对正定二次型的判定有所了解，并能够灵活运用这些方法来解决实际问题。

正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。

1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。

正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。

如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。

2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。

2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。

这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。

因此，正定二次型的矩阵A是对称的。

2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。

一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。

而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。

2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。

这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。

进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。

由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。

2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。

这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。

3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。

下面将介绍两个典型的应用。

3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。

正定二次型一、惯性定理 一个实二次型,其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f 的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f 的正惯性指数与负惯性指数之和等于f 的秩.惯性定理设实二次型f=X 'AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λr y r2 (λi≠0)f=k1z12+k2z22+⋅⋅⋅+k r z r2 (k i≠0),则λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr中正数的个数与k1,k2,⋅⋅⋅,k r中正数的个数相等.二、正（负）定二次型的概念定义设有实二次型f=X 'AX,如果∀X≠0, 都有f >0, 则称f是正定二次型, A是正定矩阵; 如果∀X≠0,都有f<0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.正定二次型负定二次型f =x 2+2y 2+8z 2f = -3x 12-2x 22例1.判别法1: 用定义设A ,B 均为n 阶正定阵,证明A +B 也为n 阶正定阵.[证]因为A ,B 为n 阶正定阵所以∀X ≠0,有X 'AX >0, X 'BX >0即 X '(A+B )X 也即A +B 为n 阶正定阵.>0=X 'AX +X 'BX 例2.三、正(负)定二次型的判别判别法2:用标准形定理n元实二次型f=X 'AX为正定的⇔f 的正惯性指数为n判别法3: 用特征值推论实二次型f=X 'AX正定⇔A的特征值全为正例3.设A为正定阵,证明A-1, A*都是正定阵.[证]因为A为正定阵，所以A的特征值全大于零，从而A-1, A*的特征值也全大于零，所以A-1, A*都是正定阵.判别法4: 用霍尔维茨定理霍尔维茨定理实二次型f=X 'AX正定⇔A的各阶顺序主子式都为正,即实二次型f=X 'AX负定⇔A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶主子式为正,即t为何值时,二次型例4.f=5x12+4x1x2-2x1x3+x22-2x2x3+tx32正定?解:5>0,=t-2⇒t>2时,|A|>0所以当t>2 时, 二次型正定.A 为正定阵⇔A 的特征值均大于0⇔A 的各阶顺序主子式大于f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )为正定⇔如果∀X ≠0,都有f >0⇔f 的标准形的系数k i >0 (i =1,2,⋅⋅⋅,n )⇔f 的正惯性指数为n ⇔-f 为负定二次型小 结.正定二次型的判别方法：(1)定义法；(2)特征值判别法；(3)顺序主子式判别法.。

正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。

判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。

本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。

一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。

（1）正定二次型的值域是正实数。

（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。

（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。

对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。

根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。

即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。

根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。

2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。

2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。