精品2019届高三数学第10练二次函数与幂函数练习

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确． 【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2， 因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． （3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点． 当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（ ）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限 【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（ ） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0， 解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)， 令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]， 由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围； （2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立， 所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)， 所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

2019高考数学专项精练-幂函数与二次函数[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1、[2017·湘潭二模] 幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，那么f (4)的值等于( ) A 、16 B.116C 、2 D.12 2、“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件D 、既不充分又不必要条件3、函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，那么函数f (x )的值域是( ) A 、[－4，＋∞) B 、[－3,5] C 、[－4,5] D 、(－4,5]4、二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，那么实数a 的取值范围是( ) A 、a ≤2或a ≥3 B 、2≤a ≤3C 、a ≤－3或a ≥－2D 、－3≤a ≤－2 能力提升5、图K7－1中的曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，n 可取±2，±12四个值，那么对应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )图K7－1A 、－2，－12，12，2B 、2，12，－12，－2C 、－12，－2,2，12D 、2，12，－2，－126、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.假设f (2－a 2)＞f (a )，那么实数a 的取值范围是( )A 、(－∞，－1)∪(2，＋∞)B 、(－1,2)C 、(－2,1)D 、(－∞，－2)∪(1，＋∞)7、假设f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，那么f (m ＋1)的值为( ) A 、正数B 、负数C 、非负数D 、与m 有关8、[2017·天津卷] 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，gx －x ，x ≥g x ，那么f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B 、[0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)9、幂函数f (α那么不等式f A 、{x |0<x ≤2} B 、{x |0≤x ≤4}C 、{x |－2≤x ≤2}D 、{x |－4≤x ≤4}10、[2017·益阳调研] (0.71.3)m <(1.30.7)m，那么实数m 的取值范围是________、11、函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，那么m 的取值范围是________、12、一元二次方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的一根比1大，另一根比1小，那么实数a 的取值范围是________、13、定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么k ＝________. 14.(10分)[2017·永州联考] 某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)、(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象、15、(13分)函数f (x )＝1－2a x －a 2x (a >1)、 (1)求函数f (x )的值域；(2)假设当x ∈[－2,1]时，函数f (x )的最小值为－7，求此时f (x )的最大值、 难点突破16、(12分)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )、(1)假设函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)假设a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围、课时作业(七)【基础热身】1、D [解析] 将⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22代入f (x )＝x α得2α＝22，所以α＝－12，∴f (4)＝12.应选D.2、A [解析] 由“函数f (x )＝x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”可知，对称轴x＝－a2≤0，即a ≥0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件、3、C [解析] ∵函数f (x )＝x 2－4x 的对称轴的方程为x ＝2，∴函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]的最小值为f (2)＝－4，最大值为f (5)＝5，∴其值域为[－4,5]、4、A [解析] 由于二次函数的开口向上，对称轴为x ＝a ，假设使其在区间(2,3)内是单调函数，那么需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3.【能力提升】5、B [解析] 指数越小，函数在(0,1)上的图象越远离x 轴，因此曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数越来越小、6、C [解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0的图象如图、知f (x )在R 上为增函数、∵f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a .7、B [解析] 法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0.法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0. 8、D [解析] 由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <g x ，x 2－x －2，x ≥g x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈－∞，－1∪2，＋∞，x 2－x －2，x ∈[－1，2]＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈－∞，－1∪2，＋∞，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－1，2]，所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f (x )的值域为(2，＋∞)；当x ∈[－1,2]时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0，应选D.9、D [解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，∴α＝12.故f (|x |)≤2可化为|x |12≤2，∴|x |≤4.故其解集为{x |－4≤x ≤4}、10、(0，＋∞) [解析] ∵0.71.3<0.70＝1＝1.30<1.30.7， ∴0.71.3<1.30.7，∴m >0. 11、1≤m ≤2 [解析] ∵f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，∴其对称轴方程为x ＝1，f (1)＝2.∴m ≥1.又∵f (0)＝3，由对称性可知f (2)＝3，∴m ≤2，综上可知1≤m ≤2.12、－2＜a ＜1 [解析] 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)，方程就是f (x )＝0，它的一个根大于1，另一根小于1，f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的图象是开口向上的抛物线，相当于说抛物线与x 轴的两个交点分别在点(1,0)的两侧，必有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.13、1或－3 [解析] (1)当k ＝0时，显然不成立、(2)当k ≠0时，f (x )＝k (x －1)2－k ，①当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；②当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3.故k ＝1或－3.14、[解答] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 那么y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24)、 令6t ＝x ，那么x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨、 (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323. ∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张、15、[解答] 设a x ＝t >0，那么y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2.(1)∵t ＝－1∉(0，＋∞)，∴y ＝－t 2－2t ＋1在(0，＋∞)上是减函数、 ∴y <1，所以f (x )的值域为(－∞，1)、(2)∵x ∈[－2,1]，a >1，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2，a ，由t ＝－1∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2，a ，所以y ＝－t 2－2t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2，a 上是减函数， ∴－a 2－2a ＋1＝－7，∴a ＝2或a ＝－4(不合题意，舍去)、当t ＝1a 2＝14时，y 有最大值、即y max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫142－2×14＋1＝716.【难点突破】16、[解答] (1)由c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0， ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x －x 的最小值为0， －1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.。

第二章 函数2.6.2 幂函数（针对练习）针对练习针对练习一 幂函数的概念1．给出下列函数：①31y x=；①32y x =-；①42y x x =+；①y =①()21y x =-；①0.3x y =，其中是幂函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A ．13y x = B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23y x =D ．23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭3．下列函数是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -=C ．32y x = D ．32y x =-4．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（ ） A ．13y x = B ．3y x =C ．12y x =D ．2y x5．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（ ） A ．32B ．3C ．12D ．4针对练习二 幂函数的图像6．下列四个图像中，函数34y x =的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取12，2，2-，12-这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（ ）A ．2，12，12-，2- B ．2-，12-，12，2 C ．12-，2，2-，12 D ．2，12，2-，12-8．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．y =9．若幂函数()m nf x x = (m ，n ①N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n>1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>110．下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝xα是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝xα在其整个定义域上是减函数针对练习三 幂函数的定义域11．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞12．幂函数32y x -=的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)①(0，＋∞)13．下列幂函数中，定义域为R 的幂函数是（ ） A ．34y x = B ．12y x -= C ．6y x -= D ．25y x =14．若幂函数()f x 的图象经过点⎛⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ）A ．2,2⎛⎝⎭B ．()(),00,-∞+∞C ．[)0,+∞D ．(0,+∞)15．下列函数中，与幂函数12y x -=有相同定义域的是（ ） A ．2log y x =； B ．1y x=C ．y x =；D ．2x y =．针对练习四 幂函数的值域16．幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（ ） A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭17．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2x y = B ．12y x =C ．ln y x =D ．3y x =18．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（ ） A ．2x y =B ．ln y x =C ．4y x -=D ．12y x -=19．当α①11,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭时，函数a y x =的值域为R 的α值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4针对练习五 幂函数的单调性21．下列函数中是减函数的为（ ）A ．()2f x x =-B ．()3f x x = C．()32⎛⎫= ⎪⎝⎭xf xD ．()=f x22．在区间()0,1上单调递减的函数是（ ）A ．3y x =B ．y =C ．1y x =-D ．ln y x =23．已知幂函数()2()5f x x ααα=--在(0,)+∞内单调递增，则α的值为（ ）A ．3B ．12C ．3或12D ．-224．若幂函数223()m m f x x +=在(0,)+∞上是减函数，则实数m 值可以是下列的（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-25．幂函数()()223169m m f x m m x -+=-+在0,上单调递增，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或4针对练习六 幂函数的奇偶性26．下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点()0,0、()1,1的是（ ） A ．12y x =；B ．4y x =；C ．2y x ；D ．13y x =．27．设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（ ） A ．0 B ．12 C ．2 D ．328．下列命题中，不正确的是（ ） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数29．使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为（ ） A ．1- B ．23-C ．12-D ．230．下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数是（ ） A ．2yxB ．y x =C ．13y x =D ．23y x =针对练习七 比较大小与解不等式31．已知 1.13.3a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．b c a <<32．已知0.2log 2a =，0.32b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<33．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－1，3] B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦34．“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件35．已知幂函数()12f x x -=，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围为（ ）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()5,3--D ．()3,5第二章 函数2.6.2 幂函数（针对练习）针对练习针对练习一 幂函数的概念1．给出下列函数：①31y x=；①32y x =-；①42y x x =+；①y =①()21y x =-；①0.3x y =，其中是幂函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数， 则可知①331y x x -==和①53y x =是幂函数. 故选；B.2．下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A ．13y x = B ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23y x =D ．23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可． 【详解】由题意可得选项B 、D 的函数为指数函数，故排除B 、D ； 对于A ：函数13y x ==R ，所以值域为R ，满足条件；对于C ：函数23y x ==R ，在第一象限内单调递增，又20x ≥，所以值域为[)0+∞，，不满足条件； 故选：A3．下列函数是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．32y x =-【答案】B 【解析】根据幂函数的概念判断各选项中的函数是否为幂函数，由此可得出合适的选项. 【详解】形如a y x =（a 为常数且a R ∈）为幂函数，所以，函数3y x -=为幂函数，函数3y x =-、32y x =、32y x =-均不是幂函数， 故选：B.4．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（ ） A ．13y x = B ．3y x =C ．12y x =D ．2y x【答案】C 【解析】设()a f x x ，代入已知点坐标求解即得． 【详解】由题意设()a f x x ，①366a =，12a =，①12()f x x =．故选：C ．5．已知幂函数(1)y k x α=-的图象过点()2,4，则k α+等于（ ） A ．32B ．3C ．12D ．4【解析】 【分析】根据幂函数解析式的特点可得k 的值，再将点()2,4代入解析式可得α的值，进而可得k α+的值. 【详解】因为(1)y k x α=-是幂函数， 所以11k -=可得：2k =， 因为y x α=的图象过点()2,4， 所以42α=，解得：2α=， 所以4k α+=， 故选：D.针对练习二 幂函数的图像6．下列四个图像中，函数34y x =的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的定义域，再根据幂函数的性质判断即可；解：因为34y x =，即34y x ==30x ≥，解得0x ≥，即函数的定义域为[)0,+∞，故排除A 、C 、D ，且函数在定义域上单调递增，故B 正确； 故选：B7．如图是幂函数y x α=的部分图象，已知α取12，2，2-，12-这四个值，则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为（ ）A ．2，12，12-，2- B ．2-，12-，12，2 C ．12-，2，2-，12 D ．2，12，2-，12-【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的图象性质进行判定. 【详解】因为在直线1x =右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上， 所以曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为2，12，12-，2-. 故选：A.8．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．y =【答案】C 【解析】 【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由图知：①表示y =①表示y x =，①表示2y x ，①表示3y x =.故选：C.9．若幂函数()m nf x x = (m ，n ①N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n>1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解 【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.10．下列结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1，3，12时，幂函数y ＝xα是增函数 D ．当α＝－1时，幂函数y ＝xα在其整个定义域上是减函数 【答案】C 【解析】 【分析】对于AD ，举例判断，对于BC ，由幂函数的性质判断即可 【详解】当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝xα(α①R )>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 当α>0时，y ＝xα是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误． 故选：C.针对练习三 幂函数的定义域11．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞【答案】A 【解析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域. 【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．幂函数32y x -=的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)①(0，＋∞)【答案】A 【解析】 【详解】333221y xx -⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 所以10x≥，解得0x >，即定义域为()0,∞+，故选A ． 13．下列幂函数中，定义域为R 的幂函数是（ ） A ．34y x = B ．12y x -= C ．6y x -= D ．25y x =【答案】D 【解析】 【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果. 【详解】A 34y x =30x ≥，即0x ≥，所以函数34y x =的定义域为[)0,+∞，故A不符合题意； B 12-==y x0x >，所以函数12y x -=的定义域为()0,∞+，故B 不符合题意； C 661xy x -==，则需要满足0x ≠，所以函数6y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故C 不符合题意；D 25y x ==25y x =的定义域为R ，故D 正确；故选：D.14．若幂函数()f x 的图象经过点⎛⎝⎭，则()f x 的定义域为（ ）A ．⎛⎝⎭B ．()(),00,-∞+∞C ．[)0,+∞D ．0,【答案】D 【解析】求出幂函数的解析式，()12f x x-==. 【详解】设()f x x α=，已知()f x 的图象经过点2⎛ ⎝⎭1222α-==，12α∴=-，()12f x x -∴==其定义域为0,.故选：D. 【点睛】此题考查幂函数的概念，根据概念求解析式，再求函数定义域，需要注意定义域写成集合或区间形式.15．下列函数中，与幂函数12y x -=有相同定义域的是（ ）A ．2log y x =；B ．1y x=；C ．y x =；D ．2x y =．【答案】A【解析】 【分析】 由题知幂函数12-==y x()0,∞+，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】 解：幂函数12-==y x()0,∞+， 对于A 选项，2log y x =定义域为()0,∞+，故正确； 对于B 选项，1y x=定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故错误； 对于C 选项，y x =定义域为R ，故错误； 对于D 选项，2x y =定义域为R ，故错误； 故选：A针对练习四 幂函数的值域16．幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（ ） A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当1a =-时，1y x -=定义域和值域均为()(),00,∞-+∞，符合题意；0a =时，0y x =定义域为()(),00,∞-+∞，值域为{}1，故不合题意；12a =时，y =[)0,∞+，值域为[)0,∞+，符合题意； 1a =时，y x =定义域与值域均为R ，符合题意；2a =时，2yx 定义域为R ，值域为[)0,∞+，不符合题意；3a =时，3y x =定义域与值域均为R ，符合题意.故选：C17．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x =C ．ln y x =D ．3y x =【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用基本初等函数的定义域和值域，得出结论. 【详解】解：由于2x y =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，故A 不满足条件； 由于12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞，故B 满足条件； 由于ln y x =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，故C 不满足条件； 由于3y x =的定义域为R ，值域为R ，故D 不满足条件， 故选：B.18．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（ ） A ．2x y = B ．ln y x = C ．4y x -=D ．12y x -=【答案】D 【解析】分别确定函数的定义域与值域．可得正确选项． 【详解】2x y =的定义域是R ，值域是(0,)+∞，ln y x =的定义域是(0,)+∞，值域是R ， 4y x -=的定义域是{|0}x x ≠，值域是(0,)+∞，12y x -=的定义域是{|0}x x >，值域是(0,)+∞，D 中函数的定义域、值域相同． 故选：D ．19．当α①11,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭时，函数y ＝xα的值域为R 的α值有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得. 【详解】解：11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，y x α=1y x -∴=的值域为()(),00,-∞⋃+∞；12y x =的值域为[)0,+∞； y x =的值域为R ；2yx 的值域为[)0,+∞；3y x =的值域为R ；所以使函数y x α=满足值域为R 的α有2个； 故选：B 【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题. 20．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据四个函数的定义域结合函数的解析式，分别求出四个幂函数的值域即可得答案． 【详解】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞； 函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y x x -==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选C. 【点睛】本题考查对幂函数简单性质的考查，即函数的三要素，考查基本运算求解能力.针对练习五 幂函数的单调性21．下列函数中是减函数的为（ ）A ．()2f x x =-B ．()3f x x =C ．()32⎛⎫= ⎪⎝⎭xf xD ．()=f x 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数、正比例函数、指数函数、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A ：因为函数()2f x x =-在(,0)-∞上单调递增，所以该函数不是减函数，不符合题意；B ：因为函数()3f x x =是增函数，所以不符合题意；C ：因为函数()32⎛⎫= ⎪⎝⎭xf x 是增函数，所以不符合题意；D ：因为函数()=f x故选：D22．在区间()0,1上单调递减的函数是（ ）A ．3y x =B ．y =C ．1y x =-D ．ln y x =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断四个选项的单调性即可. 【详解】A 选项：增函数，错误；B 选项：增函数，错误；C 选项：当01x <<时，1y x =-+，为减函数，正确；D 选项：增函数，错误. 故选：C.23．已知幂函数()2()5f x x ααα=--在(0,)+∞内单调递增，则α的值为（ ）A ．3B ．12C ．3或12D ．-2【答案】A【解析】 【分析】由幂函数的定义及幂函数的图象与性质即可求解. 【详解】解：因为幂函数()2()5f x x ααα=--在(0,)+∞内单调递增，所以2510ααα⎧--=⎨>⎩，解得3α=，故选：A.24．若幂函数223()m m f x x +=在(0,)+∞上是减函数，则实数m 值可以是下列的（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为幂函数223()m m f x x +=在(0,)+∞上是减函数， 所以2230m m +<，解得302m -<<. 故选：C.25．幂函数()()223169m m f x m m x -+=-+在0,上单调递增，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．2或4【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质求解即可 【详解】2691m m -+=且2310m m -+>解得4m = 故选：C针对练习六 幂函数的奇偶性26．下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点()0,0、()1,1的是（ ） A ．12y x =； B ．4y x =； C ．2y x ；D ．13y x =．【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，逐项判断，即可得到结果. 【详解】由于函数12y x =的定义域为[)0,∞+，所以函数12y x =图像不关于y 轴对，故A 错误； 由于函数4()y f x x ==的定义域为(),-∞+∞，且()4()()f x x f x =-=-，所以函数4y x =关于y 轴对称，且经过了点()0,0、()1,1，故B 正确； 由于2yx 的定义域为()(),00,∞-+∞，所以函数2yx 不过点()0,0，故C 错误；由于13()y f x x ==的定义域为(),-∞+∞，且1133()()f x xxf x ，所以13y x =图像关于原点中心对称，故D 错误. 故选：B.27．设10,,2,32α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，则使幂函数()f x x α=的定义域为R ，且为偶函数的α的值是（ ） A ．0 B ．12 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】分别对0α=，12，2，3时的幂函数分析判断即可 【详解】当0α=时，()0f x x =，其定义域为{}0x x ≠，所以不合题意， 当12α=时， ()12f x x =，其定义域为{}0x x ≥，所以不合题意，当2α=时，2()f x x =，其定义域为R ，且为偶函数，所以符合题意， 当3α=时，3()f x x =，其定义域为R ，而此函数为奇函数，所以不合题意，故选：C28．下列命题中，不正确的是（ ） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】因为11x x-=，11=--x x，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确； 因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查奇偶函数的定义，属于简单题.29．使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为（ ） A ．1- B ．23-C ．12-D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质确定正确选项. 【详解】A 选项，1y x=是奇函数，不符合题意. B 选项，y =(0,)+∞上是减函数，符合题意.C 选项，y=.D 选项，2y x ，在()0,∞+上递增，不符合题意.故选：B30．下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数是（ ） A ．2yxB ．y x =C ．13y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，判断函数的定义域，并根据偶函数定义()()f x f x =-，来判断函数是否满足，一一判断即可. 【详解】 对于A ，函数2yx 的定义域为{}|0x x ≠，不符合题意，故A 错误；对于B ，函数y x =为奇函数，不符合，故B 错误； 对于C ，函数13y x =为奇函数，不符合，故C 错误；对于D ，函数23y x =的定义域为R ，满足偶函数定义()()f x f x =-，故D 正确. 故选：D.针对练习七 比较大小与解不等式31．已知 1.13.3a =， 1.14b =，0.93c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性可得三者的大小关系. 【详解】因为 3.3x y =为R 上增函数，0.9y x =在()0,∞+上为增函数， 故 1.10.90.93.3 3.33>>即a c >，因为 1.1y x =在()0,∞+上为增函数，故 1.1 1.13.34<即a b <， 故c a b <<， 故选：A ．32．已知0.2log 2a =，0.32b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】把三个数与“0，1”比较即可. 【详解】因为0.20.2log 2log 10a =<=，0a ∴<，0.30221b =>=，1b ∴>，0.300.21<<，01c ∴<<，所以a c b << 故选: A .33．已知幂函数12f x x （）=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－1，3] B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[－1，0）D ．21,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题得函数()f x 在定义域[0,)+∞单调递增，解不等式组10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩即得解.【详解】因为幂函数12f x x （）=，所以函数在定义域[0,)+∞单调递增， 因为()()132f a f a +<-，所以10320,132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩解之得213a -≤<. 故选：B 【点睛】本题主要考查幂函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 34．“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：因为12y x =是定义在[)0,∞+上的增函数，又()()112212a a +<-，所以102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得112a -≤<，因为由112a -≤<可推出122a -<<，而由122a -<<无法推出112a -≤<， 故“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的充分不必要条件. 故选：A.35．已知幂函数()12f x x -=，若()()1102f a f a +<-，则a 的取值范围为（ ） A ．()3,5- B ．()5,3- C ．()5,3-- D ．()3,5【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数()12f x x -=的单调性与定义域可解不等式()()1102f a f a +<-.【详解】因为幂函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+，且()f x 是定义域上的减函数，所以若()()1102f a f a +<-，则10,1020,1102,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得35a <<.故选：D.。

幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析 不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0， 解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案 －1解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一 幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析 设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析 依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.b <a <c答案 A解析 由于f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n . 又点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2， 当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二 二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上， 所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④C.②③D.①③(2)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二 当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级 基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析 设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1， 故k 的取值范围是(－∞，1). B 级 能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析 根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析 依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213， 当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。

考点06二次函数与幂函数【命题趋势】此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用二次函数与幂函数的解析式1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x－1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.【巧学妙记】1.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2.已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.【答案】x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13-D ．−3【答案】A【解析】由题意可设()(f x x αα=为常数），因为满足()()432f f =，所以432αα=，所以2log 3α=，所以()2log 3f x x =，所以2log 311223f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选A ．幂函数的图像与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x-=【巧学妙记】4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6.若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，－1)【解析】不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或23<a<32.二次函数图像与性质的应用函数解析式2()(0)f x ax bx c a=++>2()(0)f x ax bx c a=++<图象(抛物线)定义域R值域24[,)4ac ba-+∞24(,]4ac ba--∞对称性函数图象关于直线2bxa=-对称顶点坐标24(,)24b ac ba a--奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数；在[,)2ba-+∞上是增函数.在(,]2ba-∞-上是增函数；在[,)2ba-+∞上是减函数.最值当2bxa=-时，2min4()4ac bf xa-=当2bxa=-时，2max4()4ac bf xa-=【巧学妙记】7.一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.8.函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(－∞，－1)【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.1.已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)2.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（）A.()3,+∞ B.3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),3-∞ D.3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭3.已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(－∞,2)D.(－∞,2]4.函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.6a =- B.6a ≥- C.6a >- D.6a ≤-5.已知幂函数a y k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（）A.32B.3C.12D.26.若幂函数f (x )的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（）A.()0,2 B.()(),02,-∞+∞ C.()2,0- D.()(),20,-∞-+∞ 7.若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（）A.1a b >>B.1a b >>C.0b c>> D.0d c>>8.已知幂函数()y f x =的图象过点13(,)33，则3log (81)f 的值为（）A.12B.12-C.2D.2-9.（多选题）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（）A.640x y --=B.470x y -+=C.470x y -+=D.3210x y -+=二、填空题10.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.11.已知直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是___________.12.已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____13.幂函数()24222m y m m x --=--在(0,+∞)上为增函数，则实数m =_______.14.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.一、单选题1．（2013·浙江高考真题（文））已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝02．（2007·湖南高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．（2008·江西高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-4．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．2y x-=B ．1y x-=C ．2y x=D ．13y x=二、填空题5．（2017·北京高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.6．（2012·山东高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.三、解答题7．（2014·辽宁高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.一、单选题1．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x -=C ．2(1)y x =-D ．ln y x=2．（2021·新疆高三其他模拟（文））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<3．（2021·全国高三月考（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．785．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（）A ．（–∞，–1）B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x x =；⑤1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·江西高三二模（文））设ln 2a =，0.1b =，0.1c =，则下列关系中正确的是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()132f >B ．函数()(110x f x aa -=+>且)1a ≠的图象恒过定点()1,2C ．函数()21f x x =-在()0,∞+上单调递减D ．若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2三、填空题10．（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()24a af x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知2()31f x ax x =-+，若对任意的[1,1]a ∈-，总有()0f x ≥，则x 的范围是______．12．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））给出以下几个不等式：①0.30.70.40.1<；②45log 3log 4<；③131sin sin 223<；④16181816<．其中不等式中成立序号为______．四、解答题13．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.参考答案跟踪训练1.【答案】：C 【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞ .故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D 【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴12ax =≤，解得2a ≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B 【分析】根据函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可．【详解】∵函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，x=2a -∴32a-≤，即6a ≥-故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题．5.【答案】：A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得1k =，将点(4,2)的坐标代入解析式，计算可得α的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，函数y k x α=⋅为幂函数，则1k =，若其图象过点(4,2)，则有24α=，解可得12α=，则32k α+=；故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．6.【答案】：A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2122α⎛= ⎝⎭，解得2α=，()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==，令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C 【分析】设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，求得()12f x x =，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，可得31(33α=，解得12α=，即()12f x x =，所以12333log (81)log 81log 92f ===.故选：C .9.【答案】AD 【分析】先根据点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，可求出a ，再设出切点()00,P x y ，求出在点P处的切线方程，然后根据点A 在切线上，即可解出．【详解】因为点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =．设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()26f x x '=，即206k x =，所以在点P 处的切线方程为：()3200026y x x x x -=-，即230064y x x x =-．而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-，即()()()()222000002111210x x x x x ---=-+=，解得01x =或012x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=．故选：AD ．【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题10.【答案】：[)4,+∞【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11.【答案】：514a <<【分析】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，即满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，则21a x x =-++，满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使y a =和21y x x =-++有四个交点，需满足514a <<故答案为：514a <<.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12.【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得211m m +-=，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m 的值.【详解】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．13.【答案】：－1【分析】利用幂函数定义和单调性可得2221m m --=且420m -->，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221m m --=，解得：3m =或1m =-因为在()24222m y m m x--=--()0+∞，上为增函数，所以420m -->，即12m <-，所以1m =-故答案为：1-【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0真题再现1．A 【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2．C 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．3．C 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立；当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.4．A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数，C.2y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y+的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6．14【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意7．（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（），求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证．（1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤.当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．模拟检测1．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A 选项：指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数112<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上单调递减；对于B 选项：幂函数1y x -=，10-<，所以幂函数1y x -=在(0,)+∞上单调递减；对于C 选项：二次函数2(1)y x =-，对称轴为1x =，所以二次函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1)+∞，上单调递增；对于D 选项：对数函数ln y x =，底数1e >，所以对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2．A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11(()22m n <，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.3．B【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.4．D【分析】利用函数单调性求得a ，b 关系，结合几何概型即可求解．【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增所以242≤⇒≤b b a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D5．B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由2230x x --+>，得31x -<<，当31x -<<-时，函数223y x x =--+单调递增，所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递增；当11x -<<时，函数223y x x =--+单调递减，所以所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递减，故选：B.6．D【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.7．D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】ln 2ln 1a e =<=Q，0.10.101b c =>=>=，b c a ∴>>．故选：D8．D【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围.【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<，∴11(,3)13n m +∈+.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．BD【分析】由()f x 所过点可求得幂函数()f x 解析式，由此得到()132f <，知A 错误；由()12f =恒成立可知()f x 过定点()1,2，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.【详解】对于A ，令()f x x α=，则122α=，解得：1α=-，()1f x x -∴=，()11332f ∴=<，A 错误；对于B ，令10x -=，即1x =时，()1112f =+=，()f x ∴恒过定点()1,2，B 正确；对于C ，()f x 为开口方向向上，对称轴为0x =的二次函数，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ，令()4f x =，解得：0x =或2x =；又()()min 13f x f ==，∴实数m 的取值范围为[]1,2，D 正确.故选：BD.10．2【分析】由()24aa f x x -=在()0+∞，上是减函数，可得04a <<，进而可得结果.【详解】因为()24a a f x x -=在()0+∞，上是减函数，所以240a a -<，解得04a <<，又函数为偶函数，且a Z ∈，当1a =时，()-3f x x =为奇函数当2a =时，()4f x x -=为偶函数当3a =时，()3f x x -=为奇函数；所以2a =故答案为：211．31331322x +-+-≤≤【分析】把函数f (x )视为关于参数a 的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g (a )=x 2·a -3x +1，则g (a )是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x 轴下方，只需端点不在x 轴下方即可，22310[1,1],()0[1,1],()0310x x a f x a g a x x ⎧-+≥∴∀∈-≥⇔∀∈-≥⇔⎨--+≥⎩，解2310x x -+≥得：352x ≤或352x ≥，解2310x x --+≥得：31331322x --+≤≤，所以有3322x +-+-≤≤.答案为：3322x +-+-≤≤【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12．②③④【分析】利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断②的正误；利用函数()sin x f x x=的单调性可判断③的正误；利用对数函数()ln x g x x=可判断④的正误.【详解】对于①，()()0.10.10.330.170.10.40.40.0640.10.0000001==>=，①错误；对于②，()()22245ln 3ln 5ln 4ln 3ln 5ln 4ln 3ln 42log 3log 4ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=<(()22ln 40ln 4ln 5-=<，所以，45log 3log 4<，②正确；对于③，令()sin x f x x =，其中()0,1x ∈，则()2cos sin x x x f x x -'=，令()cos sin h x x x x =-，其中()0,1x ∈，则()sin 0h x x x '=-<，所以，函数()h x 在()0,1上单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，因为110132<<<，则1123f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112sin 3sin 23<，故131sin sin 223<，③正确；对于④，设()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，当x e >时，()0g x '<，即函数()g x 在(),e +∞上单调递减，所以，()()1618g g >，即ln16ln181618>，所以，1816ln16ln18>，因此，16181816<，④正确.故答案为：②③④.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．25()f x x =或85()f x x =.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于t 满足的式子，即可求得t 的值.【详解】因为幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，所以322117320732t t t t t t ⎧-+=⎪+->⎨⎪+-⎩是偶数，解得1t =或1t =-，当1t =时，25()f x x =，当1t =-时，85()f x x =.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.。

高中数学幂函数与二次函数【知识点、命题法及典型例题】考点一 二次函数1 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线顶点坐标．(3)两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标． 2 二次函数的图象与性质函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)续表函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)最值当x＝－b2a时，y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y max＝4ac－b24a二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.命题法二次函数的图象及性质的应用典例(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③(2)已知对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3【解题法】二次函数问题的求解策略(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题．(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚．考点二幂函数1幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数．2五种幂函数图象的比较3幂函数的性质比较注意点α的大小对幂函数图象的影响幂函数在第一象限的图象中，以直线x＝1为分界，当0<x<1时，α越大，图象越低(即图象越靠近x轴，可记为“指大图低”)；当x>1时，α越大，图象越高(即图象离x轴越远，不包含y＝x0).命题法幂函数的图象及性质的应用典例(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()(2)若a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c【解题法】 幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．【补救练习】1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或22．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )3．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)【巩固练习】4．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋15．已知二次函数图象的对称轴为x＝－2，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．【拔高练习】6．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．7．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．。

幂函数与二次函数-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣9B ．9C ．3D ．﹣32．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（ ） A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．1或﹣33．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f （x ）＝x 2在区间[a ，b ]上的值域为[t ，t +1]（t ∈R ），则b ﹣a （ ） A ．有最大值，但无最小值 B ．既有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＜05．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m ＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±27．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（ ） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m +95)x m ，则下列结论正确的有（ ） A ．f(−32)=116B ．f （x ）的定义域是RC ．f （x ）是偶函数D ．不等式f （x ﹣1）≥f （2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞012．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（ ） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2） 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝ ．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是 ．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝ 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m 是整数，幂函数f （x ）＝x ﹣m 2+m +2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）作出函数g （x ）＝|f （x ）﹣1|的大致图象；（3）写出g （x ）的单调区间，并用定义法证明g （x ）在区间[1，+∞）上的单调性．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x) x．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，8]上有解，求实数k的取值范围．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，求实数a的取值范围．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若b＝1，且f（x）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，求实数b的取值范围．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m的值并写出f（x）的解析式；（2）试判断是否存在a＞0，使得函数g(x)=(2a−1)x−af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．幂函数与二次函数-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y＝x a的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（）A．﹣9B．9C．3D．﹣3【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．【解答过程】解：因为幂函数y＝x a的图象过点（2，4），所以2a＝4，a＝2，y＝f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．故选：B．2．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，由此求得m的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，求得m＝3，故选：B．3．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f（x）＝x2在区间[a，b]上的值域为[t，t+1]（t∈R），则b﹣a（）A．有最大值，但无最小值B．既有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值【解题思路】根据二次函数的对称轴与a，b的位置关系，可知对ab进行分类讨论，进而确定函数在[a，b]上取得的值域，进而确定b﹣a的范围．【解答过程】解：由题意知a＜b．当ab≤0时，t＝0，则b2≤1，a2≤1，即b≤1，a≥﹣1，所以0＜b﹣a≤2，则b﹣a有最大值；当ab＞0时，不妨设0＜a＜b，则b2﹣a2＝1，所以b−a=1a+b，显然b﹣a有最大值无最小值，故选：A ．4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q ＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq ＜0【解题思路】通过研究函数的图象与性质，得出p 、q 的取值情况即可． 【解答过程】解：因为函数为偶函数，所以p 为偶数， 且由图象形状判定pq ＜0．又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D ． 故选：D ．5．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解题思路】根据题意求出幂函数f （x ）的解析式，判断f （x ）是定义域上的单调增函数，再比较log 42、ln 2和5−12的大小，即可得出结论．【解答过程】解：幂函数f （x ）＝x a 中，2f （2）＝f （16）， 所以2×2a ＝16a ，即2a +1＝24a ， 所以a +1＝4a ，解得a =13，所以f （x ）=x 13，所以f （x ）是定义域为R 上的单调增函数； 又a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12）， 且log 42=12，ln 2＞ln √e =12，5−12=1√512， 所以5−12＜log 42＜ln 2，即f （5−12）＜f （log 42）＜f （ln 2）， 所以b ＞a ＞c ． 故选：C ．6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±2【解题思路】根据函数g （x ）是幂函数求出a 的值，再写出指数函数f （x ）图象所过的定点，代入g （x ）中求得b 的值．【解答过程】解：函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1是幂函数， ∴2a ﹣1＝1，解得a ＝1， ∴g （x ）＝x 2；令x ﹣b ＝0，解得x ＝b ，∴函数f （x ）＝m x ﹣b −12的图象经过定点（b ，12），∴b 2=12，解得b ＝±√22． 故选：B ．7．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（ ） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）【解题思路】根据题意，由二次函数的性质分析可得b 、c 的值，则有b x ＝2x ，c x ＝3x ，由指数的性质分情况讨论x 的值，比较f （b x ）和f （c x ）的大小，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），则有b2=1，即b ＝2，又由f （0）＝3，则c ＝3， b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x ＜0，则有c x ＜b x ＜1，而f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，此时有f （b x ）＜f （c x ）， 若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f （b x ）＝f （c x ），若x ＞0，则有1＜b x ＜c x ，而f （x ）在（1，+∞）上为增函数，此时有f （b x ）＜f （c x ）， 综合可得f （b x ）≤f （c x ）， 故选：D ．8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）【解题思路】先画出函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0和|f （x ）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．【解答过程】解：函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y＝ax的图象应在y＝|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0．当斜率为负时，排除答案A，C；当a＝0，y＝0满足要求，排除D．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m+95)x m，则下列结论正确的有（）A．f(−32)=1 16B．f（x）的定义域是RC．f（x）是偶函数D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．【解答过程】解：幂函数f(x)=(m+95)x m，∴m+95=1，∴m=−4 5，∴f（x）=x−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选项B错误，∵f （﹣32）=(−32)−45=116， ∴选项A 正确， f （x ）=x−45=1√x 5，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f （﹣x ）=1√(−x)45=1√x 5=f （x ），∴f （x ）是偶函数，选项C 正确， ∵f （x ）=x−45，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增， 不等式f （x ﹣1）≥f （2）等价于f （|x ﹣1|）≥f （2）， ∴{x −1≠0|x −1|≤2解得：﹣1≤x ＜1，或1＜x ≤3， 故选项D 正确， 故选：ACD ．10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关【解题思路】根据二次函数的图象及二次函数的对称轴，即可判断出每个选项的正误． 【解答过程】解：二次函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0）的图象开口向上，对称轴为x ＝﹣1， 当x 1+x 2＝﹣2时，x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，此时f （x 1）＝f （x 2），选项B 正确； 当x 1+x 2＞﹣2时，x 1与x 2的中点大于﹣1，又x 1＜x 2， ∴点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离， ∴f （x 1）＜f （x 2），选项A 正确，C 错误；显然当a ＞0时，f （x 1）与f （x 2）的大小与a 无关，选项D 错误． 故选：AB ．11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞0【解题思路】利用幂函数的性质推导出f （x ）＝x 3，从而求得 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2），然后检验各个选项是否正确．【解答过程】解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3是幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝2 或m ＝﹣1．对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴m 2+m ﹣3＞0，∴m ＝2，f （x ）＝x 3．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）＝a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2） 的值为负值． 若A 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＞0，不满足题意；若B 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＜0，满足题意；若C 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＜0，满足题意；若D 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＞0，不满足题意，故选：BC ．12．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（ ） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2） 【解题思路】对于A ，分m ＞0和m ＜0时求解不等式； 对于B ，根据函数的单调性判断即可；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式判断即可；对于D ，构造函数g （x ）=f(x)x （x ＞0），看作y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可判断单调性．【解答过程】解：对于A ：由2x 2﹣mx ﹣m 2＜0，当m ＞0时，原不等式的解集为{x |−m2＜x ＜m }， 当m ＜0时，原不等式的解集为{x |m ＜x ＜−m2}，故AC 错误； 对于B ：m ＝1时，f （x ）＝2x 2﹣x ﹣1＝2(x −14)2−98在[1，+∞）递增， 则（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，故B 正确；对于C ：f （x ）在（﹣∞，14m ]递减，当x 1，x 2∈（﹣∞，14m ]时，设A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），则AB 的中点C （x 1+x 22，f(x 1)+f(x 2)2），设D （x 1+x 22，f(x 1+x 22)），数形结合得：点D 位于点C 的下方， 即f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)，故C 正确；对于D ：设g （x ）=f(x)x（x ＞0），则g （x ）表示y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率， 数形结合可知：g （x ）是增函数，当0＜x 1＜x 2时，g （x 1）＜g （x 2）， 则f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2，即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2），故D 错误；故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝ 3 ．【解题思路】令2x ﹣3＝1求出x ，代入解析式求出y ，即求出定点P 的坐标，再代入幂函数f （x ）＝x α求出α的值，即可求出f （9）．【解答过程】解：由题意得，2x ﹣3＝1，解得x ＝2，此时y ＝log a （2x ﹣3）+√2=√2， 则定点P 的坐标是（2，√2），又P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则2α=√2=212，得α=12， 所以f(x)=x 12，则f(9)=912=3， 故答案为：3．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是 −√23＜m ＜0 ．【解题思路】由f （sin θ）＝f （cos θ）可知sin θ与cos θ关于二次函数的轴对称，解出m 与θ的关系，进而求出m 的取值范围即可．【解答过程】解；由题意可知{32m ＜m3m =cosθ+sinθ，因为θ≠π4+kπ(k ∈Z)，{m ＜0m =√23cos(θ+π4)，解得−√23＜m ＜0，故答案为：−√23＜m ＜0．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，1） ． 【解题思路】由已知结合奇函数的定义可求m ，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．【解答过程】解：由奇函数的性质可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立， 即（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ＝﹣（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ， 故m ﹣2＝0即m ＝2，此时f （x ）＝﹣6x 单调递减的奇函数， 由不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，可得x 2+1＞a 恒成立， 结合二次函数的性质可知，x 2+1≥1， 所以a ＜1．故答案为：（﹣∞，1）16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝ 30【解题思路】由32=(94)n ，解得n =12．可得f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，根据点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，可得：(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．利用抛物线的定义及其性质即可得出．【解答过程】解：由32=(94)n ，解得n =12．∴f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，∵点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上， ∴m =√n −2+32．(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．抛物线(y −32)2=x ﹣2的焦点M （94，32），准线方程为x ＝2−14=74．根据抛物线的性质可得：|MT n|＝n−7 4，则|MT2|+|MT3|+…+|MT9|＝2−74+3−74+⋯⋯+9−74=(2+9)×82−8×74=30．故答案为：30．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m是整数，幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解题思路】（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解答过程】解：（1）由f（x）在[0，+∞）上单调递增可得：﹣m2+m+2＞0，∴﹣1＜m＜2，又∵m∈Z，∴m＝0或m＝1，∴f（x）＝x2；（2）由于f（x）＝x2，所以g（x）＝|x2﹣1|．如图所示：（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣1]和[0，1]．函数的单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞）．证明：设1≤x1＜x2，所以x12−1≥0，x22−1＞0．所以g（x2）﹣g（x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1）＞0．所以函数在区间[1，+∞）上为增函数．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m2−3=1m＜0，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=12，利用m的值求出f（x）的解析式；（2）根据f（x）的单调性，把f（2a﹣1）＜f（5﹣a）转化，求出解集即可．【解答过程】解：（1）幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，∴{m2−3=1 m＜0，解得m＝﹣2，∴g（x）＝x﹣2；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2，∴设f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），∴log a （﹣m +1）+log a （﹣m ﹣1）=12， 即log a （m 2﹣1）＝log a 3=12， 解得a ＝9， ∴f （x ）＝log 9x ；（2）∵实数a 满足f （2a ﹣1）＜f （5﹣a ）， 且f （x ）＝log 9x 在（0，+∞）上单调递增，∴{2a −1＞05−a ＞02a −1＜5−a ，解得{a ＞12a ＜5a ＜2；即12＜a ＜2，∴实数a 的取值范围是（12，2）．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g （x ）＝ax 2﹣2ax +1+b （a ＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x)x ． （1）求a ，b 的值；（2）若不等式f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解，求实数k 的取值范围． 【解题思路】（1）首先判断二次函数的开口方向及单调性，再利用二次函数的性质求解． （2）利用换元法求解．【解答过程】解：（1）函数g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1， ∴g （x ）在区间[2，3]上是增函数， ∴{g(2)=1g(3)=4，即{b +1=13a +b +1=4 解得a ＝1，b ＝0．（2）由（1）可得g （x ）＝x 2﹣2x +1，则f(x)=x +1x −2．∴f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解等价于log 2x +1log 2x −2≥2klog 2x 在x ∈[2，8]上有解．即2k ≤1(log 2x)2−2log 2x+1在x ∈[2，8]上有解 令t =1log 2x ，∵x ∈[2，8]，∴t ∈[13，1]，∴2k ≤t 2﹣2t +1在t ∈[13，1]上有解， 记φ（t ）＝t 2﹣2t +1＝（t ﹣1）2，则φ（t ）在[13，1]上为减函数，ϕ(t)max =ϕ(13)=49∴2k ≤49，则k ≤29，∴k 的取值范围为(−∞，29]．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3． （1）若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a 的最小值； （2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，求实数a 的取值范围． 【解题思路】（1）结合该图象，使用对称轴可解决此问题；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解⇔f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，可解决此问题． 【解答过程】解：（1）∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3是开口向上的抛物线且对称轴方程为x ＝a ， ∴若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则a ≥1， 故a 的最小值是1；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，即存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得x 2﹣2ax +3﹣a ≥0有解， 则f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，解得：a ≥−197， 故a 的取值范围是：[−197，+∞）．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）． （1）若b ＝1，且f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意a ∈[﹣1，1]，存在x ∈[﹣2，3]使f （x ）＞0，求实数b 的取值范围．【解题思路】（1）把f （x ）在[﹣2，2]上存在零点转化为f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解，分参求值域．（2））先把存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，转化为f （x ）max ＞0，求出f （x ）最大值，再把9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，分参求出b 范围．【解答过程】解：（1）当b ＝1时，f （x ）＝x 2+ax +1，∵f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，∴f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解， ∵x ≠0，∴ax ＝﹣x 2﹣1， ∴a ＝﹣x −1x ，①当x ＞0时，x +1x ≥2√1=2，当且仅当x =1x即x ＝1时取等号， ∴x +1x ≥2，∴a ＝﹣x −1x ≤−2，即a ≤﹣2．②当x ＜0时，a ＝﹣x −1x ≥2√1=2，当且仅当﹣x =−1x即x ＝﹣1时取等号， ∴a ≥2．综上所述，a 的取值范围为a ≤﹣2或a ≥2．（2）∵存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，∴f （x ）max ＞0， ∵f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）是开口向上的二次函数， ∴f （x ）max ＝f （﹣2）＝4﹣2a +b 或f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ∵f （3）﹣f （2）＝9﹣3a +b ﹣4+2a ﹣b ＝5﹣a ＞0， ∴f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ，即9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞3a ﹣9对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞（3a ﹣9）max ， ∴b ＞﹣6．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m 的值并写出f （x ）的解析式；（2）试判断是否存在a ＞0，使得函数g(x)=(2a −1)x −af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）利用幂函数的定义以及单调性，列出关于m 的关系式，求解即可；（2）求出g （x ）的解析式，按照a ﹣1与0的大小关系进行分类讨论，利用g （x ）的单调性列出方程组，求解即可．【解答过程】解：（1）因为幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减，所以{m 2−2m −2=1m 2−4m +2＜0，解得m ＝3或m ＝﹣1（舍），所以f （x ）＝x ﹣1；（2）由（1）可得，f （x ）＝x ﹣1，所以g （x ）＝（2a ﹣1）x ﹣ax +1＝（a ﹣1）x +1，假设存在a ＞0，使得g （x ）在（0，2]上的值域为（1，11]，①当0＜a ＜1时，a ﹣1＜0，此时g （x ）在（0，2]上单调递减，不符合题意； ②当a ＝1时，g （x ）＝1，显然不成立；③当a＞1时，a﹣1＞0，g（x）在和（0，2]上单调递增，故g（2）＝2（a﹣1）+1＝11，解得a＝6．综上所述，存在a＝6使得g（x）在（0，2]上的值域为（1，11]．21。

高中数学：幂函数练习及答案幂函数的概念1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.32.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或13.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2求幂函数的解析式4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16,4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.幂函数的定义域和值域6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④比较幂值的大小8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a幂函数的图像10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4,1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α113.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤幂函数的性质14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数15.函数f（x）＝在[－1,1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－417.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0,0），（1,1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.幂函数的综合应用20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2,4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.答案1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或1【答案】B【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.综上知，m＝1.3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2【答案】D【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，解得m＝2或－1，且m＞－1，即m＝2.故选D.4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x【答案】B【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，故选B.5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），∴16α＝4，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（）＝＝.故选C.6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）【答案】D【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④【答案】A【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.故选A.8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<【答案】D【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b<a<c，故选C.10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称.又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α1【答案】D【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<，∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D.13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤【答案】D【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y ＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”.14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数【答案】D【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数【答案】A【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数.因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数，所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数，综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数.16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－4【答案】C【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C.17.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数【答案】C【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误，故选C.18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.【答案】[0，＋∞）【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2α，解得α＝，∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3.又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，又∵m∈N*，∴m＝1，3.当m＝1或m＝3时，有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1.又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减，∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a或a＋1<0<3－2a，解得≤a＜或a＜－1.故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）.20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2）<f（3），因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1<k<2.因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.当k＝0时，f（x）＝x2，当k＝1时，f（x）＝x2，综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2.（2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x＝－mx2＋（2m－1）x＋1，由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为x ＝，当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以或解得m ＝＋，满足题意.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2，4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x ）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.【答案】（1）函数f1（x ）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝－2不属于集合A.f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数.（2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1）＝6·（）x （－）<0，∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立.11/11。

平陆中学高三理科数学学案编写人：孙月明课题：第4讲二次函数与幂函数学习目标：1.通过辨识幂函数的图像和比较幂值的大小，掌握幂函数的图像与性质，体会数形结合的数学思想；2.通过求解二次函数的最值问题和恒成立问题，掌握二次函数的图像与性质，体会数形结合、分类讨论和转化与化归的数学思想。

教学重点：1.幂函数的图像和性质；2.二次函数的单调性、最值、恒成立问题。

教学难点：二次函数的最值和恒成立问题。

一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调，并且当α>1时，函数值增长的越来越快；当0<α<1时，函数值增长的越来越慢。

③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象定义域值域单调性对称性3.若一元二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,则12x x += ；12x x ⋅= 。

二、自我检测1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .( ) 2.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 3. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，2)4.已知幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，则f (2)－f (1)＝________.5.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．三、典例分析例1.（幂函数的图象及性质） (1)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 例2.（二次函数的单调性）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]例3.（二次函数的最值问题，分类讨论思想）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．例4.（一元二次不等式恒成立问题，转化与化归思想)(2018·河北武邑第三次调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 四、巩固练习1．(2018·西安模拟)函数y＝3x2的图象大致是( )2．(2017·高考北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．五、课堂小结1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．2.二次函数求最值的三种常见类型二次函数的最值由所给区间，对称轴及开口方向等因素确定．(1)一般在轴定区间定的条件下有以下三种情况：①若所给区间为R，则在顶点处取最值．②在所给区间[m，n]，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴x＝－b2a∈[m，n]时，其最值为一个是在顶点处取得．另一个则距轴较远的端点处取得．③在所给区间[m，n]，－b2a∉[m，n]时，则利用函数的单调性求得最值(在区间的两个端点处)．(2)若二次函数自变量的区间确定，但对称轴位置是变化的，则需要根据对称轴位置变化情况分对称轴在给定区间内变化与在给定区间外变化两种情况讨论，若对称轴只能在给定区间内变化，则只考虑对称轴与区间端点的距离即可．若对称轴在区间外，应分在区间左侧或右侧内讨论．(3)若所给区间变化，而对称轴位置确定，则对于区间变化时，是否包含对称轴与x轴交点的横坐标必须进行分类讨论，其分类标准为变化区间中包含对称轴与x轴交点的横坐标与变化区间中不包含对称轴与x轴交点的横坐标．具体分类可分四类．①对称轴在区间左侧．②对称轴在区间右侧．③对称轴在闭区间内且在中点的左侧．④对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点)．3.会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．4.易错防范(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．六、作业1．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b2．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是( )A．[2，5] B．[1，5] C．[－1，2] D．[0，5]3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为( )A．f(3)>f(－2)>f(－1) B．f(3)＜f(－2)＜f(－1)C．f(－2)＜f(3)＜f(－1) D．f(－1)＜f(3)＜f(－2)5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，1) C．(－∞，1) D．(－∞，1]6．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．7．已知二次函数为y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时抛物线的解析式为________．8．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结10 幂函数与二次函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲 研读1.了解幂函数的概念2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题一、基础小题1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D解析 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .2．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列，且f (0)＝－4，则f (x )( ) A ．有最小值－4 B ．有最大值－4 C ．有最小值－3 D ．有最大值－3 答案 D解析 由a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，得⎩⎨⎧c ＝－4，b 2＝ac .显然a <0，故f (x )有最大值，最大值为4ac －b 24a ＝4ac －ac 4a ＝3c4＝－3.故选D.3．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋m ，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m 答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (1)＝m －1.故选C.4.幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<1<mC ．－1<m <0<1<nD ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0，1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域都是[1，b ]，则实数b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，它在[1，b ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b 2－2b ＋2＝b ，b >1，解得b ＝2.故选C.6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上单调递增，则实数k 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案 A解析 二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的图象的对称轴为直线x ＝2k ，当k >0时，要使y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时二次函数图象的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上递减，不符合要求．综上可得，实数k 的取值范围是[2，＋∞).7．已知幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (x )的图象关于y 轴对称，则f (－2)的值为( )A ．16B ．8C ．－16D ．－8 答案 A解析 ∵幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，又幂函数f (x )＝x －m2＋2m ＋3(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴－m 2＋2m ＋3是偶数，且－m 2＋2m ＋3>0，∵m ∈Z ，∴m ＝1，∴幂函数f (x )＝x 4，f (－2)＝16.故选A.8．已知二次函数f (x )＝x 2＋px ＋q 通过点(α，0)，(β，0).若存在整数n ，使n <α<β<n ＋1，则min{f (n )，f (n ＋1)}与14的大小关系为( )A ．min{f (n )，f (n ＋1)}>14B ．min{f (n )，f (n ＋1)}<14C ．min{f (n )，f (n ＋1)}＝14 D ．不能确定，与n 的具体取值有关 答案 B解析 由二次函数通过点(α，0)，(β，0)，有恒等式f (x )＝(x －α)(x －β) ①.取x ＝n ，n ＋1(n <α<β<n ＋1)代入①，有f (n )＝(n －α)(n －β)>0，f (n ＋1)＝(n ＋1－α)(n ＋1－β)>0.两式相乘得0<f (n )f (n ＋1)＝(n －α)(n －β)·(n ＋1－α)(n ＋1－β)＝(α－n )(n ＋1－α)(β－n )(n ＋1－β)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α－n ）＋（n ＋1－α）22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（β－n ）＋（n ＋1－β）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，当且仅当⎩⎨⎧α－n ＝n ＋1－α，β－n ＝n ＋1－β，即⎩⎪⎨⎪⎧α＝2n ＋12，β＝2n ＋12时取等号，又α≠β，∴0＜f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142.令min{f (n )，f (n ＋1)}＝k ，则0＜k ≤f (n )，0＜k ≤f (n ＋1)，∴k 2≤f (n )f (n ＋1)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫142，即k ＜14.从而，min{f (n )，f (n ＋1)}<14.故选B.9．(多选)已知幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，则下列结论正确的有( )A ．f (－32)＝116 B ．f (x )的定义域是RC ．f (x )是偶函数D ．不等式f (x －1)≥f (2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 答案 ACD解析 由幂函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋95x m ，∴m ＋95＝1，∴m ＝－45，∴f (x )＝x－45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B 错误；f (－32)＝(－32)－45＝116，故A 正确；f (x )＝x －45＝15x 4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝15（－x ）4＝15x 4＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故C 正确；∵f (x )＝x－45，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不等式f (x －1)≥f (2)等价于f (|x －1|)≥f (2)，∴⎩⎨⎧x －1≠0，|x －1|≤2，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤3，故D 正确．故选ACD.10．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小值为－4B ．函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．函数f (|x |)为偶函数D ．若方程f (|x －1|)＝a 在R 上有4个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4答案 ACD解析 二次函数f (x )在对称轴x ＝1处取得最小值，且最小值f (1)＝－4，故A 正确；二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，其在(0，＋∞)上不单调，故B 错误；f (|x |)＝|x |2－2|x |－3，显然f (|x |)为偶函数，故C 正确；令h (x )＝f (|x －1|)＝|x －1|2－2|x －1|－3，方程f (|x －1|)＝a 的零点转化为y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 的交点，作出h (x )的图象如图所示，图象关于x ＝1对称，当y ＝h (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点时，两两分别关于x ＝1对称，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝4，故D 正确．故选ACD.11．已知幂函数f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且满足f (a 2＋1)＋f (－5)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 (－2，2)解析 设幂函数y ＝f (x )＝x α，其图象过点⎝⎛⎭⎪⎫8，12，所以8α＝12，即23α＝2－1，解得α＝－13，所以f (x )＝x －13.因为f (－x )＝(－x )－13＝－f (x )，所以f (x )＝x－13为奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以f (a 2＋1)＋f (－5)>0可化为f (a 2＋1)>－f (－5)＝f (5)，可得a 2＋1<5，解得－2<a <2，所以实数a 的取值范围为(－2，2).12．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝______．答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又因为y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3，所以二次函数f (x )的图象与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，因此设f (x )＝a (x －1)(x －3).又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上，所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.二、高考小题13．(2022·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x答案 A解析 y ＝x 12＝x ，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增．故选A.14．(2022·全国Ⅱ卷)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83答案 B解析 ∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)，∴当x ∈(0，1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0；∵f (x＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1，0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0；当x ∈(2，3]时，x －1∈(1，2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1，0]；….f (x )的图象如图所示．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，设f (m )＝－89，则4(m －2)(m －3)＝－89，∴m ＝73或m ＝83.结合图象可知，当m ≤73时，符合题意．故选B.15．(2022·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 解法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，函数值变化相同，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，函数值变化不同，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.16．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以425<423，即b <a ，所以b <a <c .故选A.17．(2022·上海高考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________．答案 －1解析 ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.三、模拟小题18．(2022·四川省宜宾市第四中学模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2 答案 D解析 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知幂函数f(x)＝xα满足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln 2)，c＝f(5－12)，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a 答案C解析由2f(2)＝f(16)可得2·2α＝24α，∴1＋α＝4α，∴α＝13，即f(x)＝x13.由此可知函数f(x)在R上单调递增．而由换底公式可得log42＝log22log24＝12，ln 2＝log22log2e，5－12＝15，∵1<log2e<2，∴log22log24<log22log2e，于是log42<ln 2，又15<12，∴5－12<log42，故a，b，c的大小关系是b>a>c.故选C.20．(2022·北京交通大学附属中学高三上开学考试)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个不可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)答案 B解析∵对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝2，当a>0时，自变量取值离对称轴距离越近，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一个是f(2).当a<0时，自变量取值离对称轴距离越远，函数值越小，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5).故选B.21．(2022·湖北荆州质量检查)若对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．(－∞，0] D．[0，＋∞)答案 B解析因为(3x＋a)3≤8x3，y＝x3在R上递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈(－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有(3x＋a)3≤8x3，所以[a，a＋2]是(－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].故选B.22．(多选)(2022·河北省邢台市质量检测)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是()A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根答案ABC解析由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c＞0时，f(x)＝x·|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x＜0，f(x)＝0有一解x＝－c，B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0，0)对称，∴f (x )＝x |x |＋bx ＋c 的图象关于点(0，c )对称，C 正确；f (x )的图象可能如图，方程f (x )＝0有三个实根，D 不正确．故选ABC.23．(多选)(2022·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列结论成立的是( )A ．f (x )在R 上为偶函数B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x )有最小值－1D ．f (x 1)－f (x 2)<0 答案 ACD解析 函数f (x )的图象如图中实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而f (x )是偶函数，有最小值－1，又f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.故选ACD.24．(2022·湖南岳阳模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a .若a ＝0，则f (x )的最大值为________；若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 0 (－∞，0)解析 若a ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0，当x ≤0时，f (x )＝x 3，此时函数为增函数， 当x ＞0时，f (x )＝－2x ，此时函数为减函数， 故当x ＝0时，f (x )的最大值为f (0)＝0.当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图1所示，由图可知存在最大值；图1 图2当a ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，－2x ，x ＞a 的图象如图2所示，由图可知此时不存在最大值；已证当a ＝0时，函数f (x )有最大值． 综上所述，若f (x )无最大值，则a ＜0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·四川绵阳高三阶段测试)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2. 则F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0].2．(2022·广东汕头质检)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要条件，求实数k 的取值范围．解 (1)依题意得，(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)，当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )，即B ＝[2－k ，4－k )， 由于p 是q 的必要条件，则B ⊆A ， 则⎩⎨⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎨⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围为[0，1].3．(2022·辽宁大连模拟)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值. 解 (1)由Δ＝16－4(a ＋3)≥0，得a ≤1. 故实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f (x )＝(x －2)2＋a －1.当|a －2|≥|a ＋1－2|，即a ≤32时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3，解得a ＝0或a ＝3(舍去)；当|a －2|<|a ＋1－2|，即a >32时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3， 解得a ＝1＋132或a ＝1－132(舍去).综上，a ＝0或a ＝1＋132.4．(2022·甘肃甘谷第一中学第一次检测)已知函数g (x )＝x 2－(m －1)x ＋m －7. (1)若函数g (x )在[2，4]上具有单调性，求实数m 的取值范围；(2)若在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方，求实数m 的取值范围．解 (1)g (x )图象的对称轴为直线x ＝m －12， 因为函数g (x )在[2，4]上具有单调性，所以有m －12≤2或m －12≥4，所以实数m 的取值范围为(－∞，5]∪[9，＋∞). (2)因为在区间[－1，1]上，函数y ＝g (x )的图象恒在y ＝2x －9的图象上方， 则x 2－(m －1)x ＋m －7>2x －9在[－1，1]上恒成立，即x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2>0在[－1，1]上恒成立，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＋2，x ∈[－1，1]， 则f (x )min >0，当m ＋12≤－1，即m ≤－3时，f (x )min ＝f (－1)＝2m ＋4>0，解得m >－2，无解； 当－1<m ＋12<1，即－3<m <1时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12＝－m 24＋12m ＋74>0，此时1－22<m <1；当m ＋12≥1，即m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝2>0，此时m ≥1. 综上，实数m 的取值范围为(1－22，＋∞).。

二次函数与幂函数[基础训练]1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()答案：D解析：因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错．在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.2．[2019上海模拟]如图是函数y＝x mn(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则下列结论正确的是()A．m，n是奇数，且m<nB．m是偶数，n是奇数，且m>nC ．m 是偶数，n 是奇数，且m <nD ．m 是奇数，n 是偶数，且m >n答案：C 解析：由图象可知函数y ＝x m n 为偶函数，∴m 是偶数，又m ，n 互质，n ∈N *，∴n 是奇数．又∵图象在第一象限是上凸的，∴m n <1，即m <n .故选C.3．[2019广东佛山模拟]已知实数m ，n ∈{1,2,3,4}，若m ≠n ，则函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为( )A.12B.14C.16D.23答案：B 解析：函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数，则|m －n |＝1，且n 为偶数，∴(m ，n )的可能情况有(1,2)，(3,2)，(3,4)．又实数m ，n ∈{1,2,3,4}，∴(m ，n )的所有可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况．∴函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为312＝14.故选B.4．[2019湖南长沙统一模拟]已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0，f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 答案：B 解析：由题意得f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数．所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立．而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1答案：B 解析：函数f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上，f (x )min ＝f (3)＝32－2×3＋m ＝1，得m ＝－2.6．[2019湖南株洲联考]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案：D 解析：对于A ，B 两图，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >1，而ax 2＋bx ＝0的两根分别为0和－b a ，且两根之和为－b a ，由图知0<－b a <1，得－1<b a <0，矛盾；对于C ，D 两图，0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1，在C 图中两根之和－b a <－1，即b a >1，矛盾，C 错．故选D.7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，则( )A ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )>0B ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0C ．∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0D ．∃x 0(0,1)，使f (x 0)>0答案：B 解析：由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，抛物线开口向上，因为f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，所以∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0.故选B.8．[2019广东汕头一模]命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．(0,3)答案：A 解析：若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3，故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.9．[2019福建龙海期末]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2 的图象不经过坐标原点，则实数m ＝________.答案：1或2 解析：由题意得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x －2，图象不过原点， 当m ＝2时，y ＝x 0，图象不过原点，故m ＝1或2.10．[2019山西一模]已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.答案：－1 解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]， f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3，[－3－m ，m 2－m ]为[－2,2]，满足题意，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 解析：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a 2＝－a ，要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6.12．[2019重庆二模]已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上为减函数．又∵f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，即f (x )max －f (x )min ≤4.若a ≥2，则a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1.∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴f (x )max －f (x )min ＝6－2a －(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3.若1<a <2，则a ∈[1，a ＋1]，且a －1<(a ＋1)－a .∴x ∈[1，a ＋1]时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝6－a 2，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max －f (x )min ＝(6－a 2)－(5－a 2)＝1，∴f (x )max －f (x )min ≤4成立．综上，a 的取值范围是(1,3]．[强化训练]1．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案：C 解析：二次函数f (x )＝x 2＋1，开口向上，顶点为(0,1)， 且当x ＝±2时，y ＝5.根据二次函数的图象特点，f (x )在[a ，b ]上的最大值一定是在端点处取得．∴要使f (x )在[a ，b ]上的值域为[1,5]，则f (a )＝5，f (b )≤5或f (b )＝5，f (a )≤5，且0∈[a ，b ]， ∴a ＝－2,0≤b ≤2或者b ＝2，－2≤a ≤0.∴点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4.2．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞) D ．(－4，＋∞)答案：B 解析：由题意f (x )>0对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 分离参数得a >2x －2x 2对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立， 即只需满足a 大于函数y ＝2x －2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的最大值即可． ∵y ＝2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴y ＝2x －2x 2的最大值为12.∴a >12.故选B.3．[2019山东烟台模拟]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞) 答案：A 解析：因为f (x )是R 上的奇函数且在(0，＋∞)上是增函数．则函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数，故函数在R 上为增函数，f (x )>f (x 2－2x ＋2)⇒x >x 2－2x ＋2⇒x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，即x 的取值范围是(1,2)．故选A.4．[2019河北保定模拟]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} 答案：B 解析：由题意知，关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4的值大于0在a ∈[－1,1]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，1×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >3或x <2，x >2或x <1，即x <1或x >3，故选B.5．[2019江西吉安模拟]不等式2x 2－axy ＋3y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(－∞，26]C ．(－∞，5] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92 答案：B 解析：∵2x 2－axy ＋3y 2≥0，∴2x 2－axy ＋3y 2x 2≥0，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋2≥0， ∵x ∈[1,2]，y ∈[1,3]，∴12≤y x ≤3.设t ＝y x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，g (t )＝3t 2－at ＋2， 则g (t )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立， ∴g (t )min ≥0.函数g (t )的对称轴为t ＝a 6，当a 6≤12，即a ≤3时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34－a 2＋2≥0， 解得a ≤112，∴a ≤3；当a 6≥3，即a ≥18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递减， ∴g (t )min ＝g (3)＝27－3a ＋2≥0，解得a ≤293，∴a 不存在；当12<a 6<3，即3<a <18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上先减后增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＝24－a 212≥0，解得－26≤a ≤26，∴3<a ≤2 6.综上所述，a ≤2 6.故选B.6．[2019湖北荆州模拟]二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2,4] 答案：D 解析：∵二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )， ∴其图象的对称轴是x ＝2，又f (0)＝3，∴f (4)＝3，又f (2)<f (0)，∴f (x )的图象开口向上，∵f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，∴由二次函数的性质知2≤m ≤4.故选D.7．[2019河南南阳模拟]设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 答案：D 解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1. ∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57， ∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D.8．[2019河北保定一模]已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A ．0B ．2 018C ．4 036D ．4 037答案：D 解析：函数f (x )既是二次函数又是幂函数， ∴f (x )＝x 2，∴f (x )＋1为R 上的偶函数，又函数g (x )是R 上的奇函数，h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1， ∴h (x )＋h (－x )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋1＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (－x )f (－x )＋1＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋－g (x )f (x )＋1＋2＝2， ∴h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝[h (2 018)＋h (－2 018)]＋[h (2 017)＋h (－2 017)]＋…＋[h (1)＋h (－1)]＋h (0)＝2＋2＋…＋2＋1＝2×2 018＋1＝4 037.故选D.9．[2019湖南祁阳二模]已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)， 当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )，因为p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1.10．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2.当a <－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2≤a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a <－2，1，－2≤a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2. 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t<0时，t－2t2t＋2≤st≤－2t2t＋2，由于－2≤－2t2t＋2<0和－3≤t－2t2t＋2<0，所以－3≤b<0.故b的取值范围是[－3,9－45]．。

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。

2．4二次函数与幂函数[知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）．③两根式:f(x)＝a（x－x1）(x－x2)(a≠0)．(2）二次函数的图象和性质2．幂函数(1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质[诊断自测］1．概念思辨（1）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（)(2）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是错误!（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是4ac－b24a.(）（4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案(1)×(2)×(3）×（4）√2．教材衍化(1）(必修A1P44T9）函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(）A．(－∞，－2) B．(5,＋∞）C.错误!D。

错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞,＋∞)．设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞）上的减函数,根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，∴所求函数的递增区间为错误!.故选C。

(2)（必修A1P78探究）若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b,c，d的大小关系是（)A．d〉c>b〉a B．a〉b>c>dC．d>c>a〉b D．a〉b〉d>c答案B解析幂函数a＝2,b＝错误!，c＝－错误!，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d。

课时规范练10幂函数与二次函数基础巩固组1.已知幂函数f(x)=k·xα的图像经过点,则k+α=()A. B.1 C. D.22.(2017河北沧州质检)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)3.(2017浙江,5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关4.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.45.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a6.(2017甘肃兰州模拟)已知幂函数f(x)的图像经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图像上不同的任意两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③;④,其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③〚导学号21500708〛7.(2017山东济宁模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为--,则m的取值范围是()A.[0,4]B.C. D.8.若关于x的不等式x2+ax+1≥0在区间上恒成立,则a的最小值是()A.0B.2C.-D.-39.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.10.(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(-5)=.11.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f=.12.已知幂函数f(x)=-,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.综合提升组13.若函数f(x)=x2+a-在[0,+∞)内递增,则实数a的取值范围是()A.[-2,0]B.[-4,0]C.[-1,0]D.-14.(2017福建龙岩一模)已知f(x)=x3,若x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≥D.a≤15.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是.16.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;(2)若<t<,求证:函数f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点.〚导学号21500709〛创新应用组的取值范围17.(2017河南豫东联考)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则--是.参考答案课时规范练10幂函数与二次函数1.C由幂函数的定义知k=1.因为f,所以,解得α=,从而k+α=.2.D由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图像关于直线x=对称.∵f(x)的图像开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).3.B因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.4.B当x>0时,由f(x)=x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以x=3;当x<0时,由f(x)=x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以x=-3.故f(x)的零点个数为2.故选B.5.B因为5-a=,又因为当a<0时,函数y=x a在(0,+∞)内是减少的,且<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.6.D设函数f(x)=xα,由点在函数图像上得,解得α=,即f(x)=.因为g(x)=xf(x)=为(0,+∞)内是增加的,所以①错误,②正确;因为h(x)=-在(0,+∞)内是减少的,所以③正确,④错误.7.D二次函数图像的对称轴的方程为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合图像可得m∈.8.C由x2+ax+1≥0 得a≥-在上恒成立.令g(x)=-,因为g(x)在上是增加的,所以g(x)max=g=-,所以a≥-.9.因为x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=时,x2+y2取最小值.因此x2+y2的取值范围为.10.-1由题意得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),即f(x)是以4为周期的偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1)=12-2×1=-1.11.设f(x)=xα(α∈R),由题意知=3,即2α=3,解得α=log23,所以f(x)=.于是f-.12.(3,5)∵f(x)=-(x>0),∴f(x)是定义在(0,+∞)内的减函数,又f(a+1)<f(10-2a),∴--解得-∴3<a<5.13.C f(x)=x2+a---要使f(x)在[0,+∞)内是增加的,应有-解得-1≤a≤0.故实数a的取值范围是[-1,0].14.C∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0 ∴f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数且为增函数.由f(x2-ax)+f(1-x ≤0 得f(x2-ax ≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有--解得a≥.故选C.15.(方法一)由|f(x)|≤1得|f(1)|=|2a+3b|≤1.所以6ab=2a·3b≤(2a+3b)2≤.当且仅当2a=3b=±时,等号成立.所以ab的最大值为.(方法二)由题意得故-因此ab=(f(1)-f(0))f 0 ≤.故ab的最大值为.16.证明 (1)∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t,∴f(x)=1⇔(x+2t)(x-1)=0,(*)∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1.因此x=1是f(x)=1的实根,即方程f(x)=1必有实根.(2)当<t<时,f(-1)=3-4t>0,f(0)=1-2t=2-<0,f(2t-1)+1-2t=-t>0.又函数f(x)的图像连续不间断,且对称轴x=-t满足-t∈-,∴f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点.17.令f(x)=x2+ax+2b,∵方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内, ∴作出上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(不含边界),其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0).表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率.设点E(a,b)为区域内的任意一点,则--∵k AD=-,k CD=-=1,由图可知k AD<k<k CD.故-的取值范围是.-。