《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 人 教 B 版
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第二章
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二、对数函数的图象与性质 定义 y＝logax(a>0，a≠1)
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图象
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定义
性质
y＝logax(a>0，a≠1) (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0. (4)当 a>1 时，在(0，＋∞)是增函数； 当 0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数． x>1 0<x<1 a>1 y>0 y<0
答案：A 点评：新课标对反函数要求很低，只要了解以下基本 内容即可： ①反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定
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义域．
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②反函数的图象与原来函数的图象关于直线y＝x对称， 即若点P(a，b)在反函数的图象上，则点P′(b，a)在原来函 数的图象上． ③由函数的定义知，只有一一对应的函数才存在反函 数．
4．运算法则： (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN ；
(2)Loga
(3)logaNn＝
＝ logaM－logaN
nlogaN ；
；
(4)loga
n
1 N＝ logaN. n
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(其中M>0，N>0，a>0且a≠1，n∈N*)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
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解析：作出y＝|lgx|的图象， ∵a≠b，不妨设a<b. ∵f(a)＝f(b)，∴0<a<1，b>1， 即－lga＝lgb，即lgab＝0，∴ab＝1，∵a≠b， ∴由均值不等式a＋b>2 ab＝2. 答案：C
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利用指对互化解出x(用y表示)然后交换x与y即得反函数的
表达式．
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解析：由y＝1＋logax得，x＝ay－1， ∴反函数为y＝ax－1.
∵函数y＝1＋logax的值域为R，∴反函数定义域为R.
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0<a<1
y<0
y>0
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指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y＝x 对称，单调性相同．
三、反函数的概念与性质
1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中 的每一个元素y0 ，在A中都有唯一的元素x0 与之对应，则 函数y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定 义域为y＝f(x)的值域．
logab＋2＝1， 解析：由题意得， logab＋8＝2，
解得a＝3，b＝1.
(
于是a＋b＝4，选C. 答案：C
)
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点评：反函数的图象和原函数的图象关于直线y＝x对 称．点P(a，b)在原函数y＝f(x)的图象上⇔点P′(b，a)在反 函数y＝f－1(x)的图象上．解答该题是不需要求出反函数的.
难点：①对数的换底公式．
②对数函数在a>1与0<a<1时图象、性质的区别． ③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等 式的求解．
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知识归纳 一、对数
1．定义：ab＝N⇔b＝
N>0)．
logaN
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指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且
a≠1)互为反函数．
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2．互为反函数的图象之间的关系 (1)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称． (2)若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则点 (b，a)
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2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数 比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间量
0、1的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象
越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大 图低(区分x轴上方与下方)．
1－x (1)已知函数f(x)＝lg ，若f(a)＝b，则 1＋x ( B．－b 1 D．－ b )
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(2)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.
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1－a 1＋a 分析：(1)由 与 的倒数关系及对数运算法则 1＋a 1－a logaNn＝nlogaN求解． (2)注意到lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生lg2＋lg5 求解． 1－a 1＋a 1－a －1 解析：(1)f(－a)＝lg ＝lg ＝－lg ＝－ 1＋a 1－a 1＋a
(a>0 ， a≠1 ，
2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1的对数为0；(3) 底的对数为1. 3．恒等式：
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(1)alogaN＝ N ，
(2)logaab＝b.(a>0，a≠1，N>0)
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[例3]
(09·天津)函数y＝loga|x＋b|(a>0，且a≠1，ab
)
＝1)的图象只可能是(
分析：观察图象知应从其对称性入手，由于ab＝1， a>0，∴b>0，可据此进行讨论． 解析：a>0且a≠1，ab＝1，∴b>0.
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解析：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. log3k 由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p· ， log34 ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)p＝2log34＝log316，∴2<p<3. 16 27 ∴p－2＝log3 ，3－p＝log3 . 9 16 16 27 ∵ > ，∴p－2>3－p，故与p的差最小的整数是3. 9 16
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一、转化的思想
指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)可以 互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对 互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事 半功倍的效果．
答案：2
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[例2] 的反函数是
(2010·重庆一中)函数y＝1＋logax(a>0，a≠1) ( )
A．y＝ax－1(x∈R) B．y＝ax－1(x>1) C．y＝ax＋1(x∈R) D．y＝ax＋1(x>1) 分析：将y＝1＋logax中的y看作常数，x看作未知数，
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[例1]
已知x、y、z为正数，3x＝4y＝6z，
(
(1)求使2x＝py的p的值； (2)求与(1)中所求的p的差最小的整数；
)
1 1 1 (3)求证 ＝ － . 2y z x (4)比较3x,4y,6z的大小．
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在y＝f(x)的图象上．
若 y ＝ f(x) 存 在 反 函 数 y ＝ f － 1(x) ， 则 f(a) ＝ b⇔ a＝f－1(b)．
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误区警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函数的定义 1 2 域致误．如函数y＝log (x －3x＋2)的单调增区间为(－∞， 2 1)；函数y＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)的定义域为a>1时，(0， ＋∞)；0<a<1时，(－∞，0)；若y>1，则x的取值范围是 a>1时，x>loga(a＋1)，0<a<1时，loga(a＋1)<x<0.函数y＝ 1 2 log (x －ax－a)在区间(－∞，1－ 3)内是增函数，则实数a 2 的取值范围是2－2 3≤a≤2.
