第四节古典概型和几何概型

古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。

若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。

2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。

它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。

二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。

2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。

三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。

2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。

而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。

3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。

而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。

4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。

而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。

5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。

而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。

6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。

而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。

7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。

四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。

这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。

古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。

几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念,下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍.一、古典概型和几何概型的意义（一）。

几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。

1。

几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．．．．。

（2)每个基本事件出现的可能性相等．．．．．。

2。

几何概型求事件A的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二) 古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点:（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．．．。

（2）每个基本事件出现的可能性相等．．．．．.2。

古典概型求事件A的概率公式：P（A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。

三。

利用不同概率模型，培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球,这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明:第一组题是古典概型,（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；(2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。

古典概型和几何概型
古典概型和几何概型是许多文学作品、艺术作品和社会文明之间
共有的概念。

古典概念是一种由古代文学作品引申出来的概念，它描
述了古时候审美美学的影响。

而几何概念则是一种从几何而来的概念，涉及到数学、物理等学科，它们联系在一起，形成规定的模型帮助了
许多学科的发展。

古典概念的主要表达是审美的概念，它一般情况下被归结为美丽
的抽象，这些抽象概念通过雕塑、美术、文学和音乐等艺术形式表达
出来，改变了人们对事物的认知和审美观。

而几何概念则充分发掘了
自然环境和物理现象，提出了数学模型，从而推导出复杂的物理实践
形式，有助于人们对物质结构和运动关系的认知。

古典概念和几何概念之间有各自独特的表现，但它们也被归结为
人类文明的基石，两者的结合往往会激发出更多的美感和独特的文化
氛围。

它们在不同的艺术作品中发挥了精美的功能，也传承着文化遗
产及历史记载，对人类社会有重要的作用。

古典概型与几何概型古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。

本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

1. 古典概型古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。

简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。

比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。

古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。

它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。

古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。

2. 几何概型几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。

与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。

几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。

几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。

在几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。

几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。

3. 古典概型与几何概型的联系与区别古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。

但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。

古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。

而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。

古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。

例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。

4. 古典概型与几何概型的应用举例古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。

一、 古典概型1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 2）基本事件的特点：① 任何两个基本事件是互斥的；② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 4）基本事件的探索方法：① 列举法：此法适用于较简单的实验．② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索．5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n 个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： ① 有放回的抽样每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去． ② 无放回的抽样每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 二、 古典概型计算公式1）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n； 2）如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()m P A n=． 3）事件A 与事件B 是互斥事件()()()P AB P A P B =+4）事件A 与事件B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件()()()()P A B P A P B P A B =+-．古典概型注意：① 列举法：适合于较简单的试验．② 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(),x y 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如()1,2与()2,1相同．三、几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 四、几何概型的计算1）几何概型中，事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量． 2）两种类型线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 五、几何概型具备以下两个特征：1）无限性：即每次试验的结果(基本事件)有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2）等可能性：即每次试验的各种结果(基本事件)发生的概率都相等．一、古典概型古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值．【题干】甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D.【解析】甲、乙在同一组：113P =.甲、乙不在同一组，但相遇的概率：2111362P =+=.【点评】【题干】有十张卡片，分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、，（1）从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率；e A a（2）若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率； 【答案】 【解析】 【点评】【题干】袋子中装有编号为,a b 的2个黑球和编号为,,c d e 的3个红球，从中任意摸出2个球．（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； （3）求至少摸出1个黑球的概率．【答案】（1）,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de ；（2）0.6；（3）0.7. 【解析】（1）,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de .（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸出1个黑球和1红球”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为,,,,,ac ad ae bc bd be ，共6个基本事件，所以()60.610P A ==. （3）试验发生包含的事件共有10个，记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则B 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ，共7个基本事件，所以()70.710P B ==. 【点评】步骤：用列举法求出基本事件的总数n ，求出具体时间包含的基本事件数m ，根据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型（长度）将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 【题干】在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13 B ． 2πC ． 12D ． 23 【答案】A【解析】∵0cos x <<12，∴52,233x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭.当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,,2332x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率133P ππ==.【点评】【题干】平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm ，把一枚半径为1cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A.14B ．13 C ． 12D ．23【答案】B【解析】为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠的最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ；线段OM 长度的取值范围就是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只有当132OM <≤时，硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率33110223P ⎛⎫⎛⎫=-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】【题干】在区间[010],中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是______． 【答案】25【解析】在区间[010],中，任意取一个数x ，则它与4之和大于10的x 满足4x +>10， 解得610x <≤，所以，概率为1062105-=. 【点评】【题干】在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于362cm 与812cm 之间的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．16【答案】D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型.因为正方形的面积介于362m 与812m 之间，座椅正方形的边长介于6cm 到9cm 之间，即线段AM 介于6cm 到9cm 之间，所以AM 的活动范围长度为：3.由几何概型的概率公式可得31186=.【点评】【题干】某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A ．113 B. 19 C ． 14 D ． 12【答案】B【解析】整个靶子是如图所示的大圆，而距离靶心距离小于2用图中的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率226129P ππ==.【点评】【题干】两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（ ） A.12B ．13C ．14D ．23【答案】13. 【解析】设事件A 为“灯与两端距离都大于2m ”，根据题意，事件A 对应的长度为2m 的部分，因此，事件A 发生的概率()2163P A ==. 【点评】三、二维情形的几何概型（面积）数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求．【题干】如图，60AOB ∠=°，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求： （1）AOC ∆为钝角三角形的概率；（2）AOC ∆为锐角三角形的概率．【答案】（1）0.4（2）0.6【解析】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形，记“AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则()110.45OD EB P M OB ++===，即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（2）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角形，记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ，则()30.65DE P N OB ===，即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6． 【点评】AOC ∆为直角三角形的概率等于0，但直角三角形AOC ∆是存在的，因此概率为0的事件不一定是不可能事件．【题干】已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．【答案】36【解析】设图中阴影部分的面积为S ，由题意可得6001251000S =⨯，解得36S =. 【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率． 【答案】 【解析】 【点评】CE DBOA【题干】在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(),x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(),M x y ．（1）若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；（2）已知直线():0l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=求y x b ≥-+的概率． 【答案】（1）17；（2.【解析】（1）若x Z ∈，y Z ∈，则点M 的个数共有21个，列举如下：()2,1--，()2,0-，()2,1-，()1,2--，()1,1--，()1,0-，()1,1-，()1,2-，()0,2-，()0,1-，()0,0，()0,1，()0,2，()1,2-，()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()2,1-，()2,0，()2,1时，点M 位于第四象限.当点M 的坐标为()1,2-，()1,1-，()2,1-时，点M 位于第四象限.故点M 位于第四象限的概率为17. （2）由已知可知区域W 的面积是5π.因为直线:l y x b =-+与圆22:5O x y +=的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为23π，所以扇形的面积为125233S ππ=⨯=，则满足y x b≥-+的点构成的区域的面积为122sin 233S ππ=⨯=，所以y x b≥-+的概率为20125ππ- .【点评】【题干】如图，60AOB ︒∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：（1）AOC ∆为钝角三角形的概率； （2）AOC ∆为锐角三角形的概率． 【答案】（1）0.4 ；（2）0.6 .【解析】如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =.（1）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形，记“AOC∆为钝角三角形”为事件M ，则()110.45OD EB P M OB ++===.（2）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角形，记“AOC ∆为锐角三角形”为事件N ，则()30.65DE P N OB ===. 【点评】【题干】在区间[]1,1-上任取两实数,a b ，求二次方程2220x ax b ++=的两根都为实数的概率． 【答案】()12P A =【解析】方程有实根的条件为22440a b ∆=-≥，即||||a b ≥．在平面直角坐标系中，点(),a b 的取值范围为如图所示，的正方形的区域，随机事件A “方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分．易求得()12P A =．【点评】四、三维情形的几何概型（体积）【题干】在Rt ABC ∆中，30A ∠=，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M，求使CE DBOAAM AC >的概率．【答案】16. 【解析】设事件D 为“作射线CM ，使AM AC >”．在AB 上取点1C 使1AC AC =，因为1A C C ∆是等腰三角形，所以118030752ACC -∠==，907515A μ=-=，90μΩ=，所以()151906P D ==. 【点评】几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM 落在ACB ∠内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因M 在AB 上的落点不是等可能的．【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点． （1）设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ； （2）设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ． 【答案】 【解析】 【点评】【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ） A ．18 B ．116 C ．127 D ．38【答案】C ；【解析】容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的．于是安全飞行的概率为331013027=．【点评】【题干】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 【答案】112π-【解析】点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则()3331421231212P A ππ-⨯⨯==-. 【点评】【题干】在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为（ ）A.2 B ．2 C. 16D ． 16π【答案】C【解析】本题是几何概型问题，与点A 距离等于a 的点的轨迹是一个八分之一个球面， 其体积为：33114836a a V ππ=⨯⨯=，“点P 与点O 距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：3314836a a ππ⨯⨯=，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为：33166a a ππ=.【点评】【题干】设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点． ①设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ； ②设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ． 【答案】①()2764P X =②18【解析】①分别取,,DA DB DC上的点,,E F G，并3,3,3DE EA DF FB DG GC ===，连结,,EF FG GE ，则平面EFG 平面ABC ．当P 在正四面体DEFG 内部运动时（如图），满足14P ABC V V -≥，故()33327464D EFG D ABC V DE P X V DA --⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．②在AB 上取点H ，使3AH HB =，在AC 上取点I ，使3AI IC =，在AD 上取点J ，使3AJ JD =，P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足14P BCD V V -≥．结合①，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时，亦即P 在正四面体EMNJ 内部运动时（M 是EG 与IJ 的交点，N 是EF 与HJ 的交点），同时满足14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥，于是()331281J EMN D ABC JE D Y V A V P --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝．【点评】五、高考汇编【题干】（2010年江苏理科 3）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率________.【答案】【解析】【点评】【题干】（2010年江苏理科4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根在棉花纤维的长度小于20mm .【答案】【解析】【点评】【题干】（2011江苏5）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是BAB A另一个的两倍的概率是________. 【答案】13【解析】【点评】【题干】（2011江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s =________. 【答案】165【解析】可以先把这组数都减去6再求方差，【点评】【题干】（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【答案】15.【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此，由35015334⨯=++知应从高二年级抽取15名学生. 【点评】【题干】（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 【答案】35. 【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，3-，9，27-，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63105=. 【点评】。

古典概型与几何概型【知识要点】一、古典概型1、基本事件（1）基本事件的定义一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点①任意两个基本事件都是互斥的.②任何事件都可以表示成基本事件的和.2、古典概型（1）古典概型的定义我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个：①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件.②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的.【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型.3、基本事件数的探求方法（1）列举法：此法适合于较简单的试验.（2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法： （1）有放回的抽样每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.5、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下：()A mP A n=事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数.【注1】()mP A n=既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；Step 3：分别求出“试验的基本事件的总数n”与“事件A所包含的基本事件的个数m”；Step 4：利用公式()mP An=，求出事件A的概率.【注2】在公式()()()P A B P A P B⋃=+中，事件A与事件B是互斥事件；而在公式()()()()P A B P A P B P A B⋃=+-⋂中，事件A与事件B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件. 因此，在使用这两个公式时，首先要根据题意判断事件A与事件B是否为互斥事件，然后选择正确的公式进行计算.二、几何概型1、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的面积（体积或长度）成比例，则我们把这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型.2、几何概型的特征几何概型是另一种特殊的概率模型，其特征有以下两个：①无限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果有无限多个，或者说在一次试验中，有无限多个不同的基本事件.②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的.【注】由古典概型与几何概型的特征可见，用几何概型求解概率问题的思路与古典概型是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形面积（体积或长度）”与“基本事件所占的总面积（体积或长度）”之比来表示.3、几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：()AA S P A =Ω构成事件的区域的面积（体积或长度）试验的全部结果所构成的区域的面积（体积或长度）.4、古典概型与几何概型的异同 （1）相同点古典概型与几何概型中，每个基本事件发生的可能性都是相等的. （2）不同点古典概型要求：试验的基本事件只有有限个；而几何概型要求：试验的基本事件有无限多个.【例题选讲】题型一、求古典概型的概率例1、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 34【解析】甲、乙两位同学参加3个兴趣小组的所有可能有33=9⨯（种） 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的情况有3（种）则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率31=93P =故选A例2、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期. 现从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.（结果用最简分数表示）【解析】设所取2瓶饮料都未过保质期为事件A则2272302726272611721()3029302914521CP AC⨯⨯⨯====⨯⨯⨯故至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为11728 1()1145145 P A-=-=例3、考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于__________.【解析】如图所示，设点A，B，C，D，E，F分别是正方体下底面、上底面、左侧面、右侧面、前侧面、后侧面的中心甲从这6个点中任选两个点连成直线，有2615C=种不同的取法乙从这6个点中任选两个点连成直线，也有2615C=种不同的取法于是甲、乙从这6个点中任选两个点连成直线，共有22661515225C C⋅=⨯=种不同的取法又∵所得的两条直线相互平行但不重合的有AC DB，AD CB，AE BF，AF BE，CE DF，CF DE∴甲、乙连得的两条直线相互平行但不重合的，有12种不同的取法故所得的两条直线相互平行但不重合的概率12422575 P==题型二、求几何概型的概率例4、如图所示，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（ ）A.14 B. 13 C. 12 D. 23【解析】设点Q 取自ABE ∆内部为事件A则点Q 取自ABE ∆内部的概率为112()2ABE ABCDAB ADS P A S AB AD ∆⋅===⋅矩形 故选C例5、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为__________. 【解析】要使10cos22xπ≤≤，[1,1]x ∀∈- 由余弦函数的图像可知，223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤⇒ 213x -≤≤-或213x ≤≤于是满足题意的x 的区间长度为23而区间[1,1]-的总长度为2故对于区间[1,1]-上的数x ，使cos 2x π的值介于0到12之间的概率为21323P ==ABD例6、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则周末去打篮球；否则，在家看书. 则小波周末不在家看书的概率为__________.【解析】“周末不在家看书”包括“周末去看电影”和“周末去打篮球”两种情况，且这两种情况是互斥事件设小波周末去看电影为事件A，周末去打篮球为事件B则222131()324()14P Aπππππ⨯-⨯===⨯，2211()1164()116P Bππππ⨯===⨯故小波周末不在家看书的概率为3113 ()()41616 P P A P B=+=+=。