【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式课后知能检测 新人教B版选修2-3

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.2 数列的函数特性课时训练 北师大版必修5一、选择题1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．以上都不对【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2＞0， ∴a n ＋1＞a n ，故数列{a n }为递增数列． 【答案】 A2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( )A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在【解析】 ∵a 1>0且a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n ＝nn ＋1<1， ∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1. 【答案】 A3．(2013·西安高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2nn ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．常数列【解析】 a n ＋1－a n ＝2（n ＋1）n ＋2－2n n ＋1＝2（n ＋1）2－2n 2－4n （n ＋1）（n ＋2）＝2（n ＋1）（n ＋2）＞0，∴{a n }是递增数列．【答案】 A4．已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3，则数列{a n }中的最大项为( ) A ．a 1＝10 B ．a 2＝13 C ．a 3＝12D ．以上均不正确【解析】 a n ＝－2(n －94)2＋1058，由于n ∈N ＋，∴当n ＝2时，a 2＝13最大． 【答案】 B5．(2013·沈阳高二检测)函数y ＝f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像可能是( )【解析】 由a n ＋1＝f (a n )及a n ＋1＞a n 可知，f (a n )＞a n ，即图像上每一点的纵坐标大于其横坐标，∴函数y ＝f (x )的图像应在直线y ＝x 上方，故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2013·黄冈高二检测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．【解析】 ∵a 1＝2由a n ＋1＝1＋a n 1－a n 得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴{a n }为周期为4的数列，∴a 2 012＝a 4×503＝a 4＝13.【答案】 137．已知数列{a n }，a n ＝2n 2－10n ＋3，它的最小项是________．【解析】 a n ＝2n 2－10n ＋3＝2(n －52)2－192.故当n ＝2或3时，a n 最小．【答案】 2或3项8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，则数列从第________项开始值大于零． 【解析】 令4n －102＞0得n ＞2512，∴数列{a n }从第26项开始大于零． 【答案】 26 三、解答题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，试作出其图像，并判断数列的增减性．【解】 列表：由数列的图像知，当1≤n ≤5时数列递增；当n ≥5时数列递减． 10．已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 【解】 (1)证明 a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n<1. (2)∵a n ＋1－a n ＝（n ＋1）－1n ＋1－n －1n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n )＝1n （n ＋1）>0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．11．(2013·广州高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2，3. ∴数列中有两项是负数．(2)法一 ∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52.又因n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4. 解这个不等式组得2≤n ≤3， ∴n ＝2，3，∴a 2＝a 3且最小，∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝32－5×3＋4＝－2.。

1．1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征(教师用书独具)●1．知识与技能(1)能根据几何结构特征对空间物体进行分类．(2)通过观察实例，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3)能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．●重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．(教师用书独具)●本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．●创设问题情境，引出问题：你能根据某种标准对空间几何体进行分类吗？⇒引导学生观察柱、锥、台、球的相关图片得出空间几何体的定义及分类.⇒通过引导学生回答所提问题掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握棱柱、棱锥、棱台的概念.⇒通过例2及其变式训练，引导学生应用概念判别几何体，加深对棱柱结构特征的认识.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？(1)(2)(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成．(2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成． ．(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． ．观察下列多面体，有什么共同特点？(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都相互平行．观察下列多面体，有什么共同特点？(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别联系？(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体． 棱台的定义、分类、图形及表示A ．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有三个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 已知条件→联想空间图形→紧扣定义→得出结论选项A 错，反例如图a ；选项C 也错，反例如图b ，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；一个多面体至少有四个面，如三棱锥有四个面，不存在有三个面的多面体，所以选项B 错；根据棱柱的定义，知选项D 正确．D判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等．下列说法中正确的是( )①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.A1111图1－1－1(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱．观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义．(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱．它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．图1－1－2结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤如图1－1－3，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－3图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以乙图的几何体是棱锥；图丙是棱台．上述错误答案都是根据相应概念的某一个结论去判断几何体，判断的依据不充分，应该按照几何体的定义去判断，或按照与定义等价的条件去判断．切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键．图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．1．棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.图1－1－41．如图1－1－4所示的几何体是( )A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体结合棱柱的概念及分类可知，该几何体是五棱柱．C2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台 D．以上都错结合棱锥的特征知B符合题意．B3．下列说法正确的有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而正确的有①②④⑤.①②④⑤4．下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？(1) (2) (3) (4)图1－1－5(1)是棱柱，可记为五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1；(2)不是棱柱，不满足棱柱的结构特征；(3)是棱柱，可记为三棱柱ABC－A1B1C1；(4)是棱柱，可记为四棱柱ABCD－A1B1C1D1.1．棱柱的侧面都是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．矩形由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形． B2．棱锥的侧面和底面可以都是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形三棱锥的侧面和底面均是三角形． A3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A ．四条侧棱、四个顶点B ．八条侧棱、四个顶点C ．四条侧棱、八个顶点D ．六条侧棱、八个顶点 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)． C图1－1－64．如图1－1－6，能推断这个几何体可能是三棱台的是( ) A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需A 1B 1AB＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC便可． 经验证C 选项正确． C5．观察如图1－1－7的四个几何体，其中判断不正确的是( )图1－1－7A．①是棱柱 B．②不是棱锥C．③不是棱锥 D．④是棱台结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误．B6．在如图1－1－8所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是________．此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．四棱锥7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．5 6 98．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形．用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．10．如图1－1－9，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？图1－1－9(1)三棱锥．(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何体知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．11．如图1－1－10，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－10【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.(教师用书独具)多面体的表面展开图画出如图所示的几何体的表面展开图．(1) (2)可假设一个面不动，进行空间想象，展开几何体．表面展开图如图所示：(1) (2)多面体表面展开图问题的解题策略：(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体．C(教师用书独具)●1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．●重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，并结合旋转体的概念，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征，进而在观察思考中形成概念，突出圆锥与圆台间的内在联系，突破重点的同时化解难点．(教师用书独具)●本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用启导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察、直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说、举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．●创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．圆锥的结构特征下图中的物体叫做圆台，也是旋转体．它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体即为球．下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？(1) (2)这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3紧扣旋转体的定义逐一判断．①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．A1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．如图1－1－11，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来．图1－1－11(1)—C (2)—B (3)—D (4)—A描述下列几何体的结构特征．图1－1－12结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析．图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．如图1－1－13为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？图1－1－13奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．图1－1－14过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. ∴SA ′SA ＝O ′A ′OA. ∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9(cm)， 即圆台的母线长为9 cm.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．本例中若圆台的上底半径为1 cm，其他条件不变，试求圆台的高．∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4.如图所示，在Rt△A′HA中A′H＝AA′2－AH2＝92－32＝6 2.即圆台的高为6 2 cm.图1－1－15(12分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示.3分(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.6分(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示.9分(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.12分①②③④1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征，其次要有一定的空间想象能力．2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．1．下列几何体是组合体的是( )A B C DA是圆柱，B是圆锥，C是球，D是圆台与圆锥的组合体．D2．下列说法正确的是( )A．用平行于底面的平面截圆锥，两平行底面之间的几何体是圆台B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D．球面和球是同一个概念对于B，动手操作一下发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，由球和球面的定义可知它们不是同一个概念，故D错误．A正确．A3．圆锥的高与底面半径相等，母线等于52，则底面半径等于________．圆锥的轴截面如图所示，由图可知，底面半径r＝22－r2.∴r＝5.54．说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的．①②③图1－1－16图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成．图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成．图③是由一个圆柱和两个圆台组合而成.1．下列几何体是台体的是( )A B C D台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．D2．圆柱的母线长为10，则其高等于( )A．5 B．10 C．20 D．不确定圆柱的母线长和其高相等．B3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( ) A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．D图1－1－174．如图1－1－17的组合体的结构特征是( )A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台该组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥．C5．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．D6．如图1－1－18所示的蒙古包可以看作是由________和________构成的几何体．图1－1－18上半部分为圆锥，下半部分为圆柱．圆锥圆柱7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(1)(2)8．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝42－r2.所以由题意可知1·(2r)·h＝r42－r2＝8，2∴r2＝8，∴h＝2 2.2 29．说出下面几何体的结构特征：(1)某单位的公章(2)运动器材—空竹图1－1－19(1)由一个半球，一个圆柱和一个圆台组合而成．(2)由两个大圆柱，两个小圆柱和两个小圆台组合而成．10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．(1)如图，过圆台的轴作截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，∴AM＝122－－2＝315(cm)，即圆台的高为315 cm.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.1 第1课时 等比数列课时训练 北师大版必修5一、选择题1．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．1或－12B ．1C ．－12D ．－2 【解析】 由数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，得2a 1q 2＝a 1＋a 1q .∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12. 【答案】 A2．(2013·山师大附中高二检测)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 52，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 【解析】 ∵a 3·a 9＝2a 52＝a 62，∴a 6a 5＝ 2.又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 【答案】 B3．(2013·临沂高二检测)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为( )A ．0B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2【解析】 由2a 4＝a 6－a 5得，2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∵a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或2.【答案】 C4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 1(a 1q )·(a 1q 2)·(a 1q 3)·(a 1q 4)，∴a 1qm －1＝a 15·q 10，且a 1＝1， ∴q m －1＝q 10，∴m －1＝10，∴m ＝11.【答案】 C5．(2013·吉林高二检测)各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.1－52或1＋52C.5＋12 D.1－52 【解析】 设{a n }公比为q ，∵a 2，12a 3，a 1成等差数列， ∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q .∴q 2－q －1＝0，解得q ＝1±52. ∵数列各项都是正数，∴q >0，∴q ＝1＋52，∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.故选C. 【答案】 C二、填空题6．设a 1＝1，数列{2a n －1}是公比为－2的等比数列，则a 6＝________．【解析】 ∵2a 6－1＝(2a 1－1)·(－2)5＝－32，∴a 6＝－312. 【答案】 －3127．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 kB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据64 MB (1 MB ＝210kB )．【解析】 由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，设病毒占据64 MB 时自身复制了n 次，即2×2n ＝64×210＝216，解得n ＝15，从而复制的时间为15×3＝45.【答案】 458．(2013·连云港高二检测)三个不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，且a ，c ，b 成等比数列，则a ∶b ∶c ＝________.【解析】 由题意得2b ＝a ＋c ①， c 2＝ab ②，由①得c ＝2b －a ③，将③代入②得a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴c ＝2b －a ＝2b －4b ＝－2b .则a ∶b ∶c ∶＝4∶1∶(－2)．【答案】 4∶1∶(－2)三、解答题9．已知数列{a n }是等比数列，且a 4＋a 7＝9，a 5＋a 8＝18，a n ＝64，求项数n .【解】 法一 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3（1＋q 3）＝9，a 5＋a 8＝a 1q 4（1＋q 3）＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝18. ∴a n ＝18×2n －1＝2n －4. 由a n ＝64，∴2n －4＝64， ∴2n －4＝26， ∴n －4＝6，n ＝10.法二 ∵a 5＋a 8＝q (a 4＋a 7)＝18，且a 4＋a 7＝9. ∴q ＝2，又根据9＝a 4＋a 7＝a 4(1＋q 3)＝a 4(1＋23)，∴a 4＝1. 故a n ＝a 4q n －4＝1×2n －4＝2n －4.由a n ＝64，故64＝2n －4，即2n －4＝26，∴n －4＝6，∴n ＝10. 10．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式．【解】 (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2×2n －1＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.11．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明 由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.又a1－1＝1，所以数列{a n－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n－n＝4n－1，于是数列{a n}的通项公式为a n＝4n－1＋n.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 归纳推理课后知能检测 北师大版选修2-2一、选择题1．已知数列23，1,112，214，338，…，猜想该数列的第6项为( )A ．4516B ．4316C ．5316D ．5116【解析】 将各项均写成假分数的形式为23，11，32，94，278，…，即3－12－1，3020，3121，3222，3323，…，故猜想第6项为3424＝8116＝5116.【答案】 D2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49【解析】 ∵75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 011＝74×502＋3，故其末两位数字为43.【答案】 B3．(2013·厦门高二检测)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…， 根据上述规律第n 个等式为( ) A ．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2B ．13＋23＋…＋n 3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2C ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝(1＋2＋3＋…＋n )2D ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2【解析】 将各等式中的变化规律同n 对应起来可知选D. 【答案】 D4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图1－1－6A ．26B ．31C ．32D ．36【解析】 设第n 个图案有a n 个菱形花纹的正六边形，则a 1＝6×1－0，a 2＝6×2－1，a 3＝6×3－2，故猜想a 6＝6×6－5＝31.【答案】 B5．把正偶数列{2n }的各项从小到大依次排成如下的三角形状数表，记M (r ，t )表示该表中第r 行的第t 个数，则表中的数2 014对应于( )2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……A ．M (45,14)B ．M (45,27)C ．M (46,14)D ．M (46,27)【解析】 由题意2 014是数列{2n }中的第1 007项，而数阵中的前r 行共有1＋2＋3＋…＋r ＝r r ＋2，令r r ＋2≤1 007知r 最大值为44.当r ＝44时，前44行共有990项，故2 014位于第45行，第1 007－990＝27个数，即M (45,27)．【答案】 B 二、填空题6．如图1－1－7所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N ＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.图1－1－7【解析】 依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)． 【答案】 15 3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)7．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】 由题意f (21)＝32，f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，故一般的结论为f (2n)≥n ＋22.【答案】 f (2n)≥n ＋228．(2013·深圳高二检测)设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n.所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝xn－1x ＋2n.【答案】 xn－x ＋2n三、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为什么？【解】 不等式左边项数分别为3,4,5时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，其分子依次为32,42,52，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，故当不等式左边项数为n个时，归纳猜想右边应为n 2n －π(n ≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．【解】 一般性的命题为sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝32.证明如下：sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝1－cos 2θ2＋1－＋2θ2＋1－＋2θ2＝32－12[cos 2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)] ＝32－12[2cos 60°cos(60°＋2θ)＋cos(180°＋60°＋2θ)] ＝32－12[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)] ＝32. 11．设{a n }是集合{2t＋2s|0≤s <t ，且s ，t ∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，……将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如右的三角形数表：3 5 6 9 10 12 … … … … … … … … …(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行； (2)求a 100.【解】 (1)由题意，a 1，对应的有序数对(s ，t )为(0,1)．a 2，a 3对应的有序数对(s ，t )分别为(0,2)，(1,2)；a 4，a 5，a 6对应的有序数对(s ，t )分别为(0,3)，(1,3)，(2,3)，故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为 (0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)． 故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s ，t )依次为(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5) 故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表．(0,1) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) (2,3) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)可以归纳出行数与t 相等，且各行中的项数与t 相等， 故前t 行共有t t ＋2项，令t t ＋2≤100，得t ≤13， 当t ＝13时，t t ＋2＝91.故a 100位于第14行中第9个数． 故a 100对应的有序数对(s ，t )为(8,14)． 所以a 100＝28＋214.。

【课堂新坐标】（教师用书）2021-2021学年高中数学 2.1 流程图课时训练 北师大版选修1-2一、选择题1．如图2－1－5所示的工艺流程图，设备采购的下一道工序是( )图2－1－5A ．设备安装B ．土建设计C ．厂房土建D ．工程设计【解析】 由流程图易看出设备采购的下一道工序是设备安装． 【答案】 A2．执行如图2－1－6所示的算法框图，输出的s 值为( ) 图2－1－6A ．－3B ．－12 C.13D ．2【解析】 i ＝1，s ＝2－12＋1＝13；i ＝2，s ＝13－113＋1＝－12；i ＝3，s ＝－12－1－12＋1＝－3；i ＝4，s ＝－3－1－3＋1＝2.应选D.【答案】 D3．图2－1－7是用函数解决实际问题的流程图，那么矩形框中应填入( ) 图2－1－7A ．整理数据、求函数表达式B ．画散点图、进行模型修改C ．画散点图、求函数表达式D ．整理数据、进行模型修改【解析】 依照用函数解决实际问题时的实际进程可知，选C.4．如图2－1－8，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络相连，连线标注的数字表示该段网线单位时刻内能够通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的网线同时传递，那么单位时刻内传递的最大信息量是( )图2－1－8A．26 B．24 C．20 D．19【解析】最大信息量是6＋8＋12＝26.【答案】A5．阅读如图2－1－9所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是( )图2－1－9A．3 B．4 C．5 D．6【解析】S＝2 010，n＝0；S＝1 002，n＝1；S＝498，n＝2；S＝246，n＝3；S＝120，n＝4；S＝57，n＝5.【答案】C二、填空题6．清朝画家郑板桥在描述自己的画竹体会时，曾说过：“江馆清秋，晨起看竹，烟光、日影、露气，皆浮动于疏枝密叶之间，胸中勃勃遂有画意．其实胸中之竹，并非是眼中之竹也，因此磨墨展纸，落笔倏变相，手中之竹又不是胸中之竹也．”如图是郑板桥竹画创作进程的简图．试将①眼中之竹，②画中之竹，③现实之竹，④脑中之竹填入框图中．【解析】依照郑板桥的画竹进程填写．【答案】③①④②7．(2021·江苏高考)如图2－1－10是一个算法的流程图，那么输出的n的值是________．图2－1－10【解析】算法流程图执行进程如下：n＝1，a＝2，a＜20；a＝8，n＝2，a＜20；a＝26，n＝3，a＞20.输出n＝3.8．(2021·南昌高二检测)如图2－1－11，假设框图所给的程序运行的结果为S ＝156，那么判定框中应填入的关于k 的判定条件是________．图2－1－11【解析】 S ＝1，k ＝13；S ＝13，k ＝12；S ＝156，k ＝11.即输出S ＝156时，k ＝11，故应填入的条件是“k ≤11？”．【答案】 k ≤11? 三、解答题9．设汽车托运重量为P (kg)的货物时，每千米的费用(单位：元)标准为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2P ，P ≤20，0.3×20＋1.1×P －20，P ＞20.画出求行李托运D 千米时费用的框图． 【解】10．某工厂加工某种零件的工序流程图如图2－1－12所示： 图2－1－12依照那个工序流程图，一件成品至少通过几道加工和查验程序．【解】 由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行查验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工，返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处置；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要通过粗加工、查验、精加工、查验四道程序．11．某工厂装配一辆轿车的工序所花的时刻及各工序的前后关系如下表所示：工序代号工序名称 工序所花时间(小时) 紧前工序 A 装配车身 6 无B 外表喷漆 3 A 、IC 装配发动机 11 无D 安装发动机 5 C E安装水泵4D(1)试在已画出装配该轿车的工艺流程图上标上工序代号；(2)装配一辆轿车的最短时刻是多少小时？图2－1－13【解】(1)(2)装配一辆轿车的最短时刻是11＋5＋4＋12＋5＋3＝40(小时).。

第2课时排列的应用1．进一步加深对排列概念的理解．(重点)2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理排列的综合应用阅读教材P10“例2”“例3”“例4”部分，完成下列问题．1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．【解析】从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．【答案】482．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A35种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A35＝240种选派方案．【答案】240[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[再练一题]1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有______种．【解析】(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有A35＝5×4×3＝60.【答案】(1)720(2)6074人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．【自主解答】(1)先考虑甲有A13种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A 13A 66＝2 160(种)．(2)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)．(3)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)．解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式进行排列．3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．[再练一题]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端．【解】 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A 36种站法，然后再排其他位置，有A 44种站法，所以共有A 36·A 44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A 22种站法，其余5人全排列，有A 55种站法．故共有A 22·A 55＝240种不同站法．[探究共研型]探究1多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．探究3如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？【提示】先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[再练一题]3．用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．【解】(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A45个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A14·A34个．故满足条件的五位数的个数共有A45＋A14·A34＝216(个)．(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A14·A35个；第二类，形如14□□，15□□，共有A12·A24个；第三类，形如134□，135□，共有A12·A13个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．[构建·体系]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.【答案】 C2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1 440种B．960种C．720种D．480种【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有A25种排法，2位老人的排法有A22种，其余3人和老人排有A44种排法，共有A25A22A44＝960种不同的排法．【答案】 B3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.【导学号：62690010】【解析】先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．【答案】1444．(2016·莆田高二检测)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．【答案】245．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分成以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮流放映方法有()A．25种B．55种C．A55种D．53种【解析】其不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即A55.【答案】 C2．某天上午要排语文，数学，体育，计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有()A．6种B．9种C．18种D．24种【解析】先排体育有A13种，再排其他的三科有A33种，共有3×6＝18(种)．【答案】 C3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】先排除A，B，C外的三个程序，有A33种不同排法，再排程序A，有A12种排法，最后插空排入B，C，有A14·A22种排法，所以共有A33·A12·A14·A22＝96种不同的编排方法．【答案】 C4．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有() A．24种B．36种C．48种D．72种【解析】分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理，共有A24＋2A24＝36种不同的安排方案．【答案】 B5．(2016·韶关检测)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A．288个B．240个C．144个D．126个【解析】第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A13种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A13A34个数；第2类，个位数字是4，有A13A34个数；第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A14种排法，排其余数字有A34种排法，所以有A14A34个数．由分类加法计数原理，可得共有2A13A34＋A14A34＝240个数．【答案】 B二、填空题6．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．【解析】若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．【答案】187．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．【答案】968．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________. 【导学号：62690011】【解析】可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法．由分步乘法计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．【答案】40三、解答题9．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影照(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？【解】(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．10．(2016·上饶二模)有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．【解】所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个颜色互不相同有4A33＝4×3×2×1＝24种，所以这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．[能力提升]1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．10种B．12种C．9种D．8种【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．【答案】 B2．(2016·武汉调研)安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A．180 B．240C．360 D．480【解析】不同的排法种数先全排列有A66，甲、乙、丙的顺序有A33，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×A66A33＝480种．【答案】 D3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．【解析】法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20种排法，其余5天再进行排列，有A55＝120种排法，所以共有20×120＝2 400种安排方法．法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A77＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040种方法，其中不符合要求的有A22A55＋A12A15A22A55＝2 640种方法，所以共有5 040－2 640＝2 400种方法．【答案】 2 4004．(2016·西安月考)有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)女生互不相邻．【解】(1)法一：元素分析法．先排甲有6种，再排其余人有A88种，故共有6·A88＝241 920(种)排法．法二：位置分析法．中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×730＝241 920(种)排法．法三：等机会法.9个人全排列有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．法四：间接法．A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．(2)先排甲、乙，再排其余7人．共有A22·A77＝10 080(种)排法．(3)插空法．先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880(种)排法．。

【课堂新坐标】（教师用书）2021-2021学年高中数学 1.1 命题课时训练北师大版选修2-1一、选择题1．以下语句不是命题的是( )A．3是15的约数B．3小于2C．0不是自然数D．正数大于负数吗？【解析】选项D是疑问句，没有对正数与负数的大小关系作出判定，应选D．【答案】D2．假设一个命题p的逆命题是一个假命题，那么以下判定必然正确的选项是( )A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，应选B.【答案】B3．命题“假设x2＜1，那么－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．假设x2≥1，那么x≥1或x≤－1B．假设－1＜x＜1，那么x2＜1C．假设x＞1或x＜－1，那么x2＞1D．若x≥1或x≤－1，那么x2≥1【解析】此命题的逆否命题为：假设x≥1或x≤－1，那么x2≥1.【答案】D4．假设坐标平面上一非空集合S内的点(x，y)，具有以下性质：“假设x＞0，那么y＞0”，试问以下哪个表达对S内的点(x，y)必然成立( )A．假设x≤0，那么y≤0 B．假设y≤0，那么x≤0C．假设y＞0，那么x＞0 D．若y＞0，那么x≤0【解析】假设x＞0，那么y＞0⇔若y≤0，那么x≤0，应选B.【答案】 B5．有以下四个命题，其中真命题是( )①“假设x ＋y ＝0，那么x ，y 互为相反数”的逆命题；②“假设a ＋b ≥2，那么a ，b 中至少有一个不小于1”的否命题；③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“假设x ≠π4＋2k π(k ∈Z )，那么tan x ≠1”的逆否命题． A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解析】 ①逆命题为“假设x ，y 互为相反数，那么x ＋y ＝0”，真命题；②否命题为“假设a ＋b ＜2，那么a ，b 都小于1”，假命题；③否命题为“面积不相等的三角形不全等”，真命题；④逆否命题为“假设tan x ＝1，那么x ＝π4＋2k π(k ∈Z )”，假命题． 【答案】 C二、填空题6．假设命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，那么s 是p 的逆命题t 的________命题．【解析】 依照四种命题的关系，易知s 是t 的否命题．【答案】 否7．在命题“假设a ＞b ，那么a 2＞b 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为________．【解析】 当a ＝1，b ＝－2时，a 2＜b 2，故原命题为假，因此它的逆否命题为假；当a ＝－2，b ＝1时，a ＜b ，故原命题的逆命题为假，因此原命题的否命题为假，故假命题的个数为3.【答案】 38．命题“负数的平方是正数”的否命题是________．【解析】 负数的否定是非负数，是正数的否定是不是正数，故命题的否定是：非负数的平方不是正数．【答案】 非负数的平方不是正数三、解答题9．将以下命题改写成“假设p ，那么q ”的形式．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称；【解】(1)假设一个数是偶数，那么它能被2整除；(2)假设一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称．10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“假设a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判定其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判定其真假，并证明你的结论．【解】(1)逆命题是：假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.它是成立的，可用反证法证明：假设a＋b＜0，那么a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，那么f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，逆命题真．(2)逆否命题是：假设f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，那么a＋b＜0.它为真，可用证明原命题为真来证明：由a＋b≥0，得a≥－b，b≥－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴逆否命题为真．11．a，b，c为三个人，命题A：“若是b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“若是c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，那么a，b，c的年龄的大小顺序是不是能确信？请说明理由．【解】显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此咱们应该从它的逆否命题来看．由命题A为真可知，b不是最大时，那么a是最小，∴c最大，即c＞b＞a；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，那么b是最大”为真，即b＞a＞c.同理由命题B为真可得：a＞c＞b或b＞a＞c.故由A与B均为真可知b＞a＞c.∴a，b，c三人的年龄的大小顺序是：b最大，a次之，c最小.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.1 第2课时排列的综合应用课后知能检测新人教B版选修2-3一、选择题1．(2013·广州高二检测)数列{a n}共有6项，其中4项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列{a n}共有( )A．30个B．31个C．60个D．61个【解析】在数列的6项中，只要考虑两个非1的项的位置，即可得不同数列共有A26＝30个．【答案】 A2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A．720种 B．360种C．240种 D．120种【解析】捆绑法．甲、乙看作一个整体，有A22种排法，再和其余4人，共5个元素全排列，有A55种排法，故共有排法A22·A55＝240种．【答案】 C3．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!【解析】把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．【答案】 C4．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )A．9 B．10 C．18 D．20【解析】从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg 3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.【答案】 C5．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有( )A．A36A58 B．A55A33C．A55A35 D．A55A38【解析】 插空法．先排5个独唱节目，有A 55种排法，再在隔出的6个空中除开始的一个，在剩下的5个空中安插舞蹈节目，有方法数A 35，故共有A 55·A 35种排法．【答案】 C 二、填空题6．已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝________.【解析】 由题意知⎩⎨⎧n >2n －4>2n (n -1)=7(n -4)(n -5)解得n ＝7. 【答案】 77．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)【解】 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A 24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．【答案】 368．(2013·永定高二检测)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．【解析】 可分为三步来完成这件事： 第一步：先将3,5进行排列，共有A 22种排法； 第二步：再将4,6插空排列，共有2A 22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A 15种排法； 由分步乘法计数原理得，共有A 222A 22A 15＝40种不同的排法． 【答案】 40 三、解答题9．解不等式A x 9＞6A x －29. 【解】 原不等式化为9！－x ！＞6·9！－x ＋！(其中2＜x ≤9)，即(11－x )(10－x )＞6.∴x ＜8或x ＞13，但2＜x ≤9，x ∈N *. ∴2＜x ＜8，x ∈N *，故x ＝3,4,5,6,7， ∴原不等式的解集为x ∈{3,4,5,6,7}． 10．5个人站成一排，(1)甲站中间共有多少种不同的排法？(2)其中甲、乙两人必须相邻的有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？【解】(1)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有A44＝24(种)排法．(2)甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人有A44种排法，而甲、乙两人有A22种排法，由分步乘法原理知，共有A22·A44＝48(种)排法．(3)甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可以从其余3人中选2人来站，有A23种排法，剩下的人有A33种排法，共有A23·A33＝36(种)排法．11．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？【解】(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 数列教案苏教版必修52．1数列(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；(2)了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；(3)培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．2.过程与方法(1)通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；(2)通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力；(3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．3．情感、态度与价值观(1)体会数列是一种特殊的函数，借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力．(2)在参与问题讨论和解决过程中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣．●重点、难点重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：认识数列的本质是一类离散函数.对于数列概念这个重点内容的教学，教师应该强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列，这样可以加深学生对函数概念和性质的理解，有利于对数列本质的把握．建构数列的概念首先要经历大量的实例观察与分析，关键是让学生理解数列的顺序性；其次教师启发学生对几个不同数列的共性进行探究，通过分组讨论，逐步完善，然后揭示出数列的定义．如何理解数列的本质是一类离散函数呢？教师首先可以从分析一个简单的数列入手，启发学生发现数列的函数解析式，进而可以用列表法、图象法来表示，由此发现数列的图象是一系列孤立的点，可谓水到渠成；然后因势利导，进行一般化的抽象，通过数列的定义域与值域之间的一一对应关系的列表，深化对数列是一种特殊函数即离散函数的认识．(教师用书独具)●教学建议1．对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有一直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生的学习兴趣．2．对数列概念的把握，教学中应注意：(1)数列是按照一定顺序排列着的一列数，教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地；(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．3．重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价，关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式或递推公式．4．正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方法．●教学流程创设问题情境，引入数列等概念及数列的一般形式.⇒引导学生从生活实际感受数列概念，并给出数列的分类.⇒通过引导学生回答所提问题理解数列的通项公式.⇒结合具体事例总结数列的各种表示方法.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握已知数列前几项求通项公式的方法技巧.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握数列通项的应用技巧.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握求数列最大项与最小项的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第17页)(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是________．(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是________．(3)对于函数y ＝3x，当自变量x 依次取－2，－1,1,2,3时，其函数值依次是________． (4)“一尺之棰，日取其半，万世不褐”，如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”……如此下去，即得一列数________．那么，以上问题的结果，有什么共同特点？【提示】 共同特点是：都是一列数；都有一定的次序．1．数列按照一定次序排列的一列数称为数列． 2．项数列中的每个数都叫做这个数列的项． 3．数列的一般形式可写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }.项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列1．数列1，－12，13，－14，…的第n 项与序号n 之间有何关系？【提示】 第n 项是序号n 的倒数，且奇数项为正，偶数项为负． 2．数列2,4,6,8,10，…与函数y ＝2x 有何关系？【提示】 该数列是函数y ＝2x 的自变量x 依次取1,2,3,4，…时所得到的一列函数值． 如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.数列可以用通项公式、列表或图象来表示.(对应学生用书第17页)写出下列数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…； (2)－1，32，－54，78，－916，…；(3)3，3，15，21，33，…； (4)9,99,999,9999，….【思路探究】 观察→归纳a n 与n 的关系→验证结论→得出答案【自主解答】 (1)根据题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n ，分母比分子的平方小1，所以a n ＝2n2n 2－1. (2)该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值为11，32，54，78，916，….所以a n ＝(－1)n2n －12n －1. (3)该数列的各项都可以写成根式3，9，15，21，27，…. 即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…. 所以a n ＝3 2n －1 ＝6n －3.(4)因为9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－1，…，所以a n ＝10n－1.1．本例中探寻数列中的项与项数n 之间的关系时应注意： (1)对于分式应分母分子分别考虑，各个击破； (2)正负项交替出现时要引入控制符号的因式(－1)n.2．此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系，具体方法为：(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征．根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式． (1)45，12，411，414，…； (2)1,3,6,10,15，…； (3)7,77,777，…； (4)12，－34，58，－716，…；【解】 (1)注意前四项中有三项的分子为4，不妨把分子统一为4，即45，48，411，414，…，因而有a n ＝43n ＋2(n ∈N *)． (2)6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n n ＋1 2(n ∈N *)． (3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n－1)(n∈N *)．(4)经过观察符号为一正一负：(－1)n ＋1，分子为2n －1，分母为2n ，所以a n ＝(－1)n ＋12n －12n .已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n， (1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【思路探究】 (1)分别把n ＝1,2,3代入通项公式即可． (2)令a n 分别等于110和1627，解方程求n ，再检验n 是否为正整数．【自主解答】 (1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8. 又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， ∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N *，343∉N *，∴68不是该数列的项.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3，求它的最大项．【思路探究】 数列是特殊的函数，可将问题转化为二次函数的最值问题，利用二次函数的知识求解．【自主解答】 已知－2n 2＋9n ＋3＝－2(n －94)2＋1058.由于函数f (x )＝－2(x －94)2＋1058在(0，94)上是增函数，在[94，＋∞)上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.1．解决本题的关键是转化为二次函数的最值问题，并注意n ∈N *.2．数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列问题，但要注意函数的定义域．对于通项公式为二次函数的数列，其最值不一定是在对称轴上取得，当对称轴不是正整数时，最值应是离对称轴最近的项的值，且对应的值可能是一项或两项．若例题中通项公式改为“a n ＝－2n 2＋29n ＋3”，结果是什么？ 【解】 由题意得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818，又∵n ∈N *，∴当n ＝7时，a n 有最大值108.∴数列a n 中的最大项为a 7＝108.(对应学生用书第19页)忽略数列的函数特性而致误已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－3n ＋4，求a n 的最小值．【错解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74，所以a n 的最小值为74.【错因分析】 将a n ＝n 2－3n ＋4看成关于n 的二次函数，当n ＝32时，取得最小值为74，而数列中n ∈N *，故n 取不到32，最小值并不是在顶点处取得．【防范措施】 解题时不要把数列当成一般的二次函数，数列是特殊的函数，其定义域为正整数集N *(或它的有限子集)，图象不连续，是一群孤立的点．【正解】 因为a n ＝n 2－3n ＋4＝(n －32)2＋74，可知图象的对称轴方程为n ＝32，又n ∈N *，故当n ＝1或n ＝2时，a n 取得最小值．其最小值为22－3×2＋4＝2.1．基础知识： (1)数列的概念； (2)数列的分类； (3)数列的通项公式； (4)数列的表示法． 2．基本技能：(1)利用观察法求数列的通项公式； (2)运用通项公式研究数列的项； (3)求数列的最大项与最小项． 3．思想方法： (1)函数思想； (2)转化思想.(对应学生用书第19页)1．若数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋n ＋1n ＋1，则它的前4项为________．【解析】 把n ＝1,2,3,4逐一代入即可． 【答案】 32，73，134，2152．数列12，－45，910，－1617，…的一个通项公式是a n ＝________.【解析】 偶数项均为负，奇数项均为正，故应用(－1)n ＋1控制符号，分子显然为序号的平方，分母均比相应分子大1.【答案】 (－1)n ＋1n 2n 2＋13．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是该数列的第________项． 【解析】 令2n －1＝35，则2n －1＝45，∴n ＝23. 【答案】 234．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 【解】 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2，∴a n ＝4n －2.(2)令a n ＝88，解得n ＝452∉N *，∴88不是{a n }中的项.(对应学生用书第84页)一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(n 2＋1)，则a 3等于________．【解析】 a 3＝(－1)3＋1(32＋1)＝10.【答案】 102．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x 的值是________．【解析】 观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x 为15.【答案】 153．数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是________．【解析】 数列中奇数项均为负，偶数项均为正，要用(－1)n控制符号，除首项为1外其余各项均为分式，故把1改写成11，从而分母依次为1,3,5,7，…，通项为2n －1，分子依次为1,4,9,16，…，通项为n 2.【答案】 a n ＝(－1)nn 22n －14．已知数3，3，15，21，…，那么9是数列的第______项． 【解析】 根据观察可知，通项公式为a n ＝3 2n －1 ， 令3 2n －1 ＝9，解得n ＝14. ∴9是数列的第14项． 【答案】 145．根据图2－1－1中的5个图形，及相应点的个数变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)图2－1－1【解析】 设第i 个图形中有a i 个点(i ＝1,2，…，n )，则a 1＝1，a 2＝1＋1×2，a 3＝1＋2×3，a 4＝1＋3×4，a 5＝1＋4×5，…，a n ＝1＋(n －1)n .【答案】 1＋(n －1)n6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋17n ＋8，则数列的最大项的值为________． 【解析】 由a n ＝－n 2＋17n ＋8＝－(n －172)2＋3214得，n ＝8或9时，a n 最大，把8或9代入得a 8＝a 9＝80.【答案】 80 7．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，则数列{a n }的一个通项公式为________．【解析】 令n ＝1得a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，∴a 1＝1＝1×1；令n ＝2得a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，∴a 3＝15＝3×5；令n ＝3得a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，∴a 4＝28＝4×7，又a 2＝6＝2×3 ∴a n ＝n (2n －1) 【答案】 a n ＝n (2n －1)8．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0＜a n＜12，2a n－1，12＜a n＜1，若a 1＝67，则a 20的值为________．【解析】 逐步计算，可得a 1＝67，a 2＝127－1＝57，a 3＝107－1＝37，a 4＝67，a 5＝127－1＝57，…，这说明数列{a n }是周期数列，T ＝3，而20＝3×6＋2，所以a 20＝a 2＝57. 【答案】 57二、解答题9．数列{a n }中，已知a n ＝n 2＋n －13(n ∈N *)．(1)写出a 2，a 10；(2)7923是不是该数列中的项？若是，是第几项？【解】 (1)在a n 的表达式中，令n ＝2,10， 即得a 2＝22＋2－13＝53，a 10＝102＋10－13＝1093.(2)由n 2＋n －13＝7923，即n 2＋n －240＝0，得n ＝15或n ＝－16. ∵n ∈N *，∴n ＝15，即7923是该数列中的项，是第15项．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 【解】 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3. ∴数列中有两项是负数．(2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2(或32－5×3＋4＝－2)．11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 012；(2)若b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 012＝2×2 012＋1＝4 025. (2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).(教师用书独具)根据如图所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第(n )个图中有________个点．(1) (2) (3) (4) (5)【解析】本题关键看每增加一个分支后，各分支点数多了多少个．序号n决定了每个图的分支数，而每个分支有(n－1)个点，中心再加一点，故有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．【答案】n2－n＋1有些数列的关系以图形的方式给出，要从图形中善于观察总结出规律，即归纳概括．另外信息蕴含在图中，所以要具有较强的信息整合能力．如图所示的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在图中的4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在平面直角坐标系中画出它的图象．(1) (2) (3) (4)【解】这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，且指数等于相应的序号减1，所以这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1(n∈N*)．在平面直角坐标系中的图象如图所示．拓展数列是如何出现的呢？我国最早的数学起源，当为结绳和刻划，体现了数的顺序性．这有可能是数列的一个起源吗？1953年春，我国首次发现西安半坡遗址(距今5 600～6 700年之间).1954－1957年，中国科学院考古研究所进行了5次规模较大的科学发掘，获得了大量珍贵的科学资料，其中发现了半坡先民使用的指甲纹壶(如图)与陶器工艺品中的图案(如图)后者每边都是八个孔的等边三角形，反映了半坡人已经有了数量和几何形状的概念，这与“三角形数”何其相似！这说明半坡人已经有了数列的初步概念，遗憾的是在半坡文明中还没有发现对数列进行理论研究的足够证据.。