重庆市2012届高三上学期期末考数学试题

高2014届数学（理）试题考试时间：120分钟 试题总分：150分第一部分选择题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.错误！未找到引用源。

为虚数单位，复平面内表示复数2i z i=-错误！未找到引用源。

的点在 ( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 2. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“对任意,R x ∈均有210x x -+>”的否定是：“存在,R x ∈使得210x x -+>”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 3. 函数()32x f x x =+的零点所在的区间是（ ） A ．（一2，一1） B ．（一1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）4. 按照程序框图执行，最后输出的数是（ ） A. 13 B. 10 C. 7 D. 45．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为6.517.5y x =+，那么表中t 的值为( )A ．40B ．50C ．60D ．706．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( ) A ．7[-,)4+∞ B ．7[,)4+∞ C．)+∞ D．[3)++∞ 7.已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可以表示为7911++，我们把7,9,11叫做33的“质数因子”，若3n 的一个“质数因子”为2013，则n 为 （ ） A ．43 B ．44 C ．45 D ．468． 直线440kx y k +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若5AB =，则AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A.114 B. 3 C. 94D. 5 9．设集合{}{}2(,)2,(,),A x y x y B x y A y x =+≤=∈≤从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是（ ） A ．112B ．23C ．1724D ．5610．已知数列{}n a 满足：121,2,a a ==且2(2cos )(1) 3 , n N n n a n a π*+=+-+∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和。

2012年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学1.在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ). A ．7 B ．15 C ．20 D ．25B 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ＝1，a 4＝a 1＋3d ＝5，解得a 1＝﹣1，d ＝2，所以S n ＝n 2﹣2n ，S 5＝15，故选B ． 2.不等式121x x -+≤0的解集为( ).A ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪[1，＋∞)D ．1,-2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[1，＋∞)A 不等式可化为(1)(21)0,210,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解不等式组得﹣12<x ≤1，故选A ． 3.对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ). A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心C 直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，而02＋12<2，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＝2内部，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2相交且直线不经过圆心，故选C ．4.8的展开式中常数项为( ). A ．3516B ．358C ．354D ．105B 二项式8的通项为T r ＋1＝8C r8﹣r ﹣r ＝2﹣r 8228C rr x -，令822r -＝0得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2﹣448C ＝358，故选B ．5.设tanα，tanβ是方程x 2﹣3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ). A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．3A 因为tanα，tanβ是方程x 2﹣3x ＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝tan tan 1tan ?tan αβαβ+-＝312-＝﹣3，故选A ．6.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，﹣4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ).AB C ．D ．10B 由a ⊥c ，得a·c ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2.由b ∥c 得12＝y 4-，解得y ＝﹣2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，﹣2)，a ＋b ＝(3，﹣1)，|a ＋b|，故选B ．7.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的( ).A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件D 若f(x)为[0，1]上的增函数，则f(x)在[﹣1，0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3，4]上的减函数;若f(x)为[3，4]上的减函数，则f(x)在[﹣1，0]上也为减函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数，故选D ．8.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f '(x )，且函数y ＝(1﹣x )f '(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ).A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(﹣2)D ．函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(2)D 由图可得函数y ＝(1﹣x)f'(x)的零点为﹣2，1，2，则当x<1时，1﹣x>0，此时在(﹣∞，﹣2)上f(x)>0，f'(x)>0，在(﹣2，1)上f(x)<0，f'(x)<0;当x>1时，1﹣x<0，此时在(1，2)上f(x)>0，f'(x)<0，在(2，＋∞)上f(x)<0，f'(x)>0.所以f(x)在(﹣∞，﹣2)为增函数，在(﹣2，2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(﹣2)，极小值f(2)，故选D ．9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a a 的取值范围是( ).A ．(0B ．(0C ．(1D ．(1A 四面体如图1所示，设AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，AD BC ＝a ，则a>0.当A ，B ，C ，D 四点共面时，BC 如图2所示).而此时A ，B ，C ，D 四点不能构成四面体，所以A ．图1图210.设平面点集A ＝1(x,y)(y x)y 0x ⎧⎫⎛⎫--≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，B ＝{(x ，y)|(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2≤1}，则A∩B 所表示的平面图形的面积为( ). A ．34πB ．35πC ．47πD ．2πD 不等式(y ﹣x)1y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0可化为y x 0,1y 0x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩或y x 0,1y 0.x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩集合B 表示圆(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B 所表示的平面区域如图所示.由线y ＝1x，圆(x ﹣1)2＋(y ﹣1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D ．11.若(1＋i )(2＋i )＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________. 4 (1＋i )(2＋i )＝1＋3i ＝a ＋b i ，所以a ＝1，b ＝3，a ＋b ＝4.12.n ＝__________.25n limn →∞＝n lim→∞115+＝25. 13.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝__________.145 由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b Bsin ＝c Csin 得c ＝145.14.过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|＝2512，|AF|<|BF|，则|AF|＝__________.56 F 点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2.因|AF|<|BF|，故直线AB 不垂直于x 轴.设直线AB 为y ＝k 1x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2﹣(k 2＋2)x ＋2k 4＝0 ①，则x 1＋x 2＝22k 2k +，又|AB|＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2﹣13x ＋3＝0，即(3x ﹣1)(4x ﹣3)＝0.而|AF|<|BF|，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF|＝x 1＋12＝56. 15.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答).35基本事件总数为66A ＝720，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有3334A A ＝144;第二类：有两节艺术课相邻有3221133223A C A C C ＝216;第三类：三节艺术课相邻有133233C A A ＝72.由古典概型概率公式得概率为14421672720++＝35. 16.设f(x)＝a ln x ＋12x＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a 的值;(2)求函数f(x)的极值.解：(1)因f(x)＝a ln x ＋12x＋32x ＋1，故f'(x)＝a x﹣212x ＋32.由于曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f'(1)＝0，从而a ﹣12＋32＝0，解得a ＝﹣1.(2)由(1)知f(x)＝﹣ln x ＋12x＋32x ＋1(x>0)，f'(x)＝﹣1x ﹣212x ＋32＝223x 2x 12x --＝2(3x 1)(x 1)2x +-. 令f'(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣211x ,33⎛⎫=- ⎪⎝⎭因不在定义域内舍去.当x ∈(0，1)时，f'(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数;当x ∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数. 故f(x)在x ＝1处取得极小值f(1)＝3.17.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.(1)求甲获胜的概率;(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望.解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P(A k )＝13，P(B k )＝12(k ＝1，2，3).(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A 1)＋P(11A B A A 2)＋P(1122A B A B A A 3)＝P(A 1)＋P(1A A )P(1B A )P(A 2)＋P(1A A )P(1B A )P(2A A )P(2B A )P(A 3)＝13＋23×12×13＋223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1，2，3.由独立性知P(ξ＝1)＝P(A 1)＋P(1A B 1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(11A B A 2)＋P(112A B A B 2)＝23×12×13＋223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝29，P(ξ＝3)＝P(1122A B ?A ?B )＝223⎛⎫ ⎪⎝⎭×212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝19.综上知，ξ有分布列从而，Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次).18.设f(x)＝4cos ωx 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin ωx ﹣cos (2ωx ＋π)，其中ω>0.(1)求函数y ＝f(x)的值域;(2)若f(x)在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.解：(1)f(x)＝41ωx ωx 2sin ⎫+⎪⎪⎝⎭sin ωx ＋cos 2ωx ＝ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ﹣sin 2ωx2ωx ＋1.因﹣1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[11(2)因y ＝sin x 在每个闭区间2k ,2k 22ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )上为增函数，故f(x)2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间k k ,ω4ωω4ωππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )上为增函数.依题意知3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⊆k k ,ω4ωω4ωππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是3,24ω.24ωππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 解得ω≤16，故ω的最大值为16.19.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点. (1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离;(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1﹣CD ﹣C 1的平面角的余弦值.解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ．又CD ⊥AA 1.故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD(2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1﹣CD ﹣C 1的平面角.因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ．因此1AA AD＝111A B AA ，即A 21A ＝AD·A 1B 1＝8，得AA 1＝从而A 1D所以，在Rt △A 1DD 1中，AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ．因此1AA AD＝111A B AA ，即A 21A ＝AD·A 1B 1＝8，得AA 1＝从而A 1D所以，在Rt △A 1DD 1中， cos ∠A 1DD 1＝11DD A D＝11AA A D.解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直.以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz.设直三棱柱的高为h ，则A(﹣2，0，0)，A 1(﹣2，0，h)，B 1(2，0，h)，C(00)，C 1(0h)，从而1AB ＝(4，0，h)，1A C ＝(2h).由11AB A C ⊥，有8﹣h 2＝0，h ＝故1DA ＝(﹣2，0，，1CC ＝(0，0，，DC ＝(00). 设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC ，m ⊥1DA，即1110,2x 0.⎧=⎪⎨-+=⎪⎩取z 1＝1，得m ＝0，1).设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC ，n ⊥1C C，即220,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 取x 2＝1，得n ＝(1，0，0)，所以cos <m ，n>＝m?n |m||n |所以二面角A 1﹣CD ﹣C 120.如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程.解：(1)如图所示，设所求椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a>b>0)，右焦点为F 2(c ，0).因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA|＝|OB 2|，得b ＝c 2，结合c 2＝a 2﹣b 2得4b 2＝a 2﹣b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故12AB B S ＝12·|B 1B 2|·|OA|＝|OB 2|·|OA|＝c 2·b ＝b 2.由题设条件12AB B S＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20，因此所求椭圆的标准方程为2x 20＋2y 4＝1.(2)由(1)知B 1(﹣2，0)，B 2(2，0).由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my ﹣2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2﹣4my ﹣16＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝24m m 5+，y 1·y 2＝﹣216m 5+，又2B P ＝(x 1﹣2，y 1)，2B Q ＝(x 2﹣2，y 2)，所以2B P A ·2B Q ＝(x 1﹣2)(x 2﹣2)＋y 1y 2＝(my 1﹣4)(my 2﹣4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2﹣4m(y 1＋y 2)＋16＝﹣2216(m 1)m 5++＝2216m m 5+＋16＝﹣2216m 64m 5-+. 由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0，即16m 2﹣64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x ﹣2y ＋2＝0. 21.设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0， (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列;(2)若a 2>﹣1，求证：S n ≤n 2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件.(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，因a 2≠0，故a 1＝1，得21a a ＝a 2，又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1， 两式相减得S n ＋2﹣S n ＋1＝a 2(S n ＋1﹣S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1， 由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此n 2n 1a a ++＝a 2，综上，n 1na a +＝a 2对所有n ∈N *成立.从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列.证法二：用数学归纳法证明a n ＝n 12a -，n ∈N *. 当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，所以结论成立.假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k 12a -，那么a k ＋1＝S k ＋1﹣S k ＝(a 2S k ＋a 1)﹣(a 2S k ﹣1＋a 1)＝a 2(S k ﹣S k ﹣1)＝a 2a k ＝k 2a . 这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立.综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝n 12a -.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列. (2)证法一：当n ＝1或2时，显然S n ＝n 2(a 1＋a n )，等号成立.设n ≥3，a 2>﹣1且a 2≠0.由(1)知a 1＝1，a n ＝n 12a -，所以要证的不等式化为1＋a 2＋22a ＋…＋n 12n a 2-≤(1＋n 12a -)(n ≥3)， 即证：1＋a 2＋22a ＋…＋n 2n 1a 2+≤(1＋n 2a )(n ≥2). 当a 2＝1时，上面不等式的等号成立.当﹣1<a 2<1时，r 2a ﹣1与n r2a +﹣1(r ＝1，2，…，n ﹣1)同为负; 当a 2>1时，r 2a ﹣1与n r 2a +﹣1(r ＝1，2，…，n ﹣1)同为正. 因此当a 2>﹣1且a 2≠1时，总有(r 2a ﹣1)(n r 2a +﹣1)>0，即r 2a ＋n r 2a -<1＋n 2a (r ＝1，2，…，n ﹣1). 上面不等式对r 从1到n ﹣1求和得2(a 2＋22a ＋…＋n 12a -)<(n ﹣1)(1＋n 2a )， 由此得1＋a 2＋22a ＋…＋n 2a <n 12+(1＋n 2a ). 综上，当a 2>﹣1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1，2或a 2＝1时等号成立.证法二：当n ＝1或2时，显然S n ＝n 2(a 1＋a n )，等号成立.当a 2＝1时，S n ＝n ＝n 2(a 1＋a n )，等号也成立.当a 2≠1时，由(1)知S n ＝n221a 1a --，a n ＝n 12a -.下证： n 221a 1a --<n 2(1＋n 12a -)(n ≥3，a 2>﹣1且a 2≠1). 当﹣1<a 2<1时，上面不等式化为(n ﹣2)n 2a ＋na 2﹣n n 12a -<n ﹣2(n ≥3).令f(a 2)＝(n ﹣2)n 2a ＋na 2﹣n n 12a -. 当﹣1<a 2<0时，1﹣n 22a ->0，故f(a 2)＝(n ﹣2)n 2a ＋na 2(1﹣n 22a -)<(n ﹣2)|a 2|n <n ﹣2， 即所要证的不等式成立.当0<a 2<1时，对a 2求导得f'(a 2)＝n[(n ﹣2)n 12a -﹣(n ﹣1)n 22a -＋1]＝ng(a 2). 其中g(a 2)＝(n ﹣2)n 12a -﹣(n ﹣1)n 22a -＋1，则g'(a 2)＝(n ﹣2)(n ﹣1)(a 2﹣1)n 32a -<0，即g(a 2)是(0，1)上的减函数，故g(a 2)>g(1)＝0，从而f'(a 2)＝ng(a 2)>0，进而f(a 2)是(0，1)上的增函数，因此f(a 2)<f(1)＝n ﹣2，所要证的不等式成立.当a 2>1时，令b ＝21a ，则0<b<1，由已证的结论知n2211a 11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<n 12n 112a -⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以n 12a -得所要证的不等式. 综上，当a 2>﹣1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1，2或a 2＝1时等号成立.。

重庆市七校2012届高三上学期期末联考文科综合试题文综合能力测试卷分为选择题和综合题两部分。

第一部分(选择题)1-7页，第二部分(非选择题)8-12页，共12页。

满分300分，考试用时150分钟。

第Ⅰ卷（选择题共140分）本部分共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

图1是“北半球1000百帕等压面分布的高程示意图”，其中a、b、c、d的高程分别是1000、1020、1040、1060m，回答1-2题。

1．M处的风向是A.东北风B.东南风C.西南风D.西北风2．当该图所示天气系统控制长江流域时，下列说法不可能的是A．重庆地区主要为晴热少雨天气B．长江中下游地区阴雨连绵C．东北华北地区正值多雨季节D．我国东南沿海多狂风暴雨恶劣天气可能蒸发量是指在下垫面足够湿润条件下，水分保持充分供应的蒸发量，它表示一个地方自然条件下潜在的蒸发能力。

图2是“四个不同流域降水量与最大可能蒸发量之差”。

据此回答3-4题。

3．图中四个地区河流可能因冰雪融化而形成汛期的是A．① B．② C．③ D．④4．图中②地区可能位于A．欧洲西部地区 B．地中海沿岸地区 C．我国西北 D．我国东南图3是“某大洲自西向东沿30°N的地形剖面示意图”，读图回答5-6题。

5. 图示有关信息说法正确的是①运河a处是世界石油运输量最大航线通过处②此剖面线穿过了世界第一长河尼罗河③此剖面图穿过了世界四个文明古国④此剖面图东西两侧地区所受主要外力作用是不同的⑤此剖面图东西两侧受大气环流影响，所处温度带不同A.①③④B. ②④⑤C. ③④⑤D. ②③⑤6．有关b、c、d三地说法正确的是A．三地都有丰富的太阳能可以开发利用B．b地年、日较差都比c、d大C．三地农作物产量都很高，是因为三地所处纬度都较低，热量条件好D．b的隆起抬升对c、d两地气候的形成影响较大表1是我国2010年四川、江苏、黑龙江和内蒙古自治区土地利用类型百分比。

2012届高三理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1、已知集合(){}|lg 1M x y x ==-，{}|21x N x =>，则M N = （ ） A.∅ B.{}|01x x << C.{}|0x x > D.{}|1x x <2、设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<，若数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．153、已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A 、0.16B 、0.32C 、0.68D 、0.844、在以下关于向量的命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x ), (x y ≠ 0 )，则a ⊥b B ．满足0))((=-+AD AB AD AB 的平行四边形ABCD 是菱形；C ．满足O A xO B yO C =+的三点A 、B 、C 共线（其中,x y R ∈）；D ．△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°－A 。

5、关于函数()sin 2+y x ϕ=的表述正确的是（ ）A. 周期是2π；B. 最小值为2-；C. 当2πϕ=时为偶函数； D. 当3πϕ=时,可以由sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到该函数图像。

6、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩，则“103a <<” 是“()f x 在(,)-∞+∞上单调递减”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数， 则可以输出的函数是（ ） A ．2()f x x = B ．()cos f x x π=C ．()x f x e =D ．()sin f x x =8、点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线于点A 、B （A 在y 轴左侧）。

12（春）高三考前模拟测试卷 数学（理工类）参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1～5 CADBD 6～10 DCDCA 10．提示：，令，则或，等于点与点 连线的斜率，用数形结合法即得；故选A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

11． 12． 13． 14． 15． 15．提示：设，由于过焦点，所以有， 再设，则有， 将点代入直线方程有，两边同乘以有， 又，所以，同理， 故所求直线为． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题可知：； 当时，，则：……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：；欲使在上单调递增， 则有：，于是：……13分 17．（本小题满分13分） 解：记“甲在第次获胜”为事件 （Ⅰ）……4分 （Ⅱ）的可能取值为：2、4、6，则：由（Ⅰ）知： ，则的分布列为：……9分 246因此的数学期望为：……13分 18．（本小题满分13分） 解：法一：（Ⅰ）取的中点，连结，，则 又由题意可知，所以面， 所以，所以面，所以……6分 （Ⅱ）过作于，连结，由（Ⅰ）可知面， 由三垂线定理可知为二面角的平面角 ，，，在中， 所以……13分 法二：如图建立直角坐标，则， 则 （Ⅰ）， ……6分 （Ⅱ）取的中点， 取面的法向量 设面的法向量为 ， 所以……13分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）对求导得：；……2分 则显然有 当时，即，时，，则：在单调递增； 当时，即；当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 综上可知：1)时，在单调递增； 2)时，在单调递减；在单调递增.……6分 （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知：；于是： 当时，，则：在单调递减； 当时，，则：在单调递增； 当时，，，； 欲使方程恰有两个不等实根，则有：……12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题知点到的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，方程为；……4分 （Ⅱ）设，则即 由直线是圆的切线知即 同理，所以是方程的两根 ……8分 又由题知令则 当即时，取“” 面积的最小值为．……12分 21．（本小题满分12分） 解: （Ⅰ）由题可知： ∴ ……2分 （Ⅱ）设 ∵ 的解集为 ∴ 且 ∴ 且 ∴ 又代入得 ∴ ∴ ……6分 （Ⅲ） ∴ ∵ ∴ ∴是等比数列． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 原不等式成立．……12分 高考学习网（ 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

2012年高考重庆理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则{}n a 的前5项和5S =（A ）7 （B ）15 （C ）20 （D ）25（2）不等式1021x x -≤+的解集为 （A ）1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ （B ） 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ） [)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ （D ）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦ （3）对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A ）相离 （B ）相切（C ）相交但直线不过圆心 （D ）相交且直线过圆心（4）8的展开式中常数项为 （A ）3516 （B ）358 （C ）354（D ）105 （5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ，且,//a c b c ⊥ ，则||a b +=（A ） （B （C ） （D ）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件 （B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件 （D ）充要条件（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 的棱与长为a 的取值范围是（A ） （B ）（C ） （D ）(1（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π （B ）35π （C ）47π （D ）2π 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）若1+i (2+i ())=a +b i，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += .（12）n = .（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c = .（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = . （15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

重庆市2012届高三上学期期末考试理科综合能力测试理科综合能力测试卷满分300分。

考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Al 27 Ca 40 Fe 56 Ba 137第一部分（选择题共126分）本部分包括21小题，每小题6分，共126分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．下列有关细胞结构和功能的叙述正确的是（）A．癌细胞中的糖蛋白和核糖体的数量明显少于衰老细胞B．用蛋白酶处理胰岛细胞的生物膜将改变其结构，但不影响选择透过性C．氨基酸进入细胞的方式与神经元释放递质的方式不同D．进入线粒体中的葡萄糖被彻底氧化分解成二氧化碳和水2．接种乙肝疫苗早已纳入了全国免费预防接种的范围，按种时，需在一定时期内间隔注射三次，下列相关叙述中正确的是（）A．首次注射疫苗时，参与识别抗原的是T细胞和记忆细胞B．多次注射疫苗有助于提高人体内抗体和记忆细胞的数量C．病原体易发生变异，会使抗体失效，所以要多次注射疫苗D．注射的疫苗相当于抗体，可以清除体内的各种肝炎病毒Array 3．题3图为膝反射的示意图，相关叙述错误．．的是（）A．若在II处给予足够强的有效刺激，则在a处可检测到电信号B．在b处发生的信号转换为：电信号→化学信号→电信号C．突触前膜释放的递质作用于突触后膜后会被酶分解D．在II处施加有效刺激引起的屈肌收缩不属于非条件反射4．玉米是常见的粮食作物，下列关于玉米的叙述正确的是（）A．生殖生长开始后营养生长也会持续加快以利种子积累有机物B．玉米叶片从幼到老的过程中，矿质元素有输入也有输出C．玉米有多对相对性状，但纯种玉米自交后代只有一种性状D．种子萌发过程中不断消耗储存在子叶中的营养物质5．题5图为某种遗传病的家族系谱图，有关该遗传病的分析中正确的是（）A．III5与正常男性结婚，生下一个患该病男孩的概率是l／8B．若III2与III4结婚，后代患该遗传病的几率将大大增加C．从优生的角度出发，建议III1在怀孕期间进行性别检查D．III4与Ⅲ5为旁系血亲题5图6．下列有关日常生活中涉及到的化学知识的描述不正确．．．的是（）A．用煮面汤洗涤餐具上的油污B．用碘水检测土豆中含有淀粉C．用料酒清洗热水瓶中的水垢D．利用丁达尔效应区别鸡蛋清和浓盐水7．25℃时，把0.2mol/L的醋酸加水稀释，则题7图中的纵坐标y表示的是（）A．溶液中OH—的物质的量浓度B．溶液的导电能力C．溶液中的D．醋酸的电离程度8．已知：，在NH4CuSO3中加入足量3mol/L硫酸后，下列叙述正确的是（）A．有刺激性气味的氨气产生B．若有1mol NH4CuSO3参加反应，将转移3mol e—C．硫酸在反应中作氧化剂D．所得溶液呈蓝色9．下列物质不能按“→”所示关系实现转化的是（“→”表示反应一步完成）A．氮B．钠C．硫D．硅10．下列有关实验的描述中，正确的是（）A．用10mL的量筒准确量取9.28mL 0.l0mol/L的稀硫酸B．用玻璃棒蘸取30%双氧水点在PH试纸上，再与标准比色卡比较，可测出其PHC．测定中和热时，可用稀硫酸和稀氢氧化钡溶液混合后，根据记录的温度变化来计算D．配制一定物质的量浓度的稀硫酸溶液时，用量筒量取浓硫酸时仰视读数，其它操作符合要求，最后所配溶液的浓度将偏高11．用N A表示阿伏加德常数的值，下列说法正确的是（）A．1molCaC2晶体中含有的离子总数为3N AB ．常温常压下，3g –CH 3中含有的电子数为1.8N AC ．N A 个HC1分子与22.4L H 2和Cl 2的混合气体所含的原子数均为2N AD ．80mL 12mol/L 的浓盐酸与足量MnO 2反应，生成的Cl 2分子数目为0.48N A12．下列说法正确的是（ ）A ．分别在0.1mol/L 的盐酸和0.1mol/L 的NaOH 溶液中加入足量铝粉，后者产生的H 2多B ．通常情况下，溴是液态，碘是固态，所以I —I 键比Br-Br 强C ．向K 2SO 4溶液中滴加盐酸，得到PH=3的溶液，则溶液中c （K +）=2c （SO 2-4）D ．PCl 5分子中各原子最外层都满足8电子稳定结构13．有关物质的燃烧热数据如下表所示，则1mol CH 3OH （1）与CO （g ）反应生成CH 3COOH（1）的反应热为（ ）A ．-135kJ/molB ．-331kJ/molC ．+135kJ/molD ．+148kJ/mol14．下列关于热学的说法中，正确的是（ ）A ．自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向性B ．分子间距离减小，分子势能一定增大C ．气体体积是指所有气体分子体积的总和D ．温度升高，分子间距离一定增大15．如题15图所示，物块处于倾角为θ的固定斜面上，对物块施一与水平向右方向夹角为的拉力F ，使物体沿斜面向上运动．若物块沿斜面运动的加速度为a ，对斜面摩擦力为f ，以下说法正确的是（ ）A ．若a=0，且，则有f=0B ．若a=0，且，则有f=0C ．若a ≠0，且，则有f =0D ．若a ≠0，且，则有f=016．如题16-1图所示为某振源的振动图象，题16-2图为该振源振动在t 时刻在介质中形成的沿x 轴传播的简谐横波．以下说法正确的是（ ）A ．质点p 的振幅为0B ．如果Q 点是振源，则P 点至少振动了C ．如果Q 点是振源，则Q 点至少振动了D ．如果t 时刻P 点沿y 轴正向振动，则波沿-x 方向传播17．质量为m 的物体以v 0的速度水平抛出，经过一段时间速度大小变为，不计空气阻力，重力加速度为g，以下说法正确的是（）A．该过程平均速度大小为B．速度大小变为时，重力的瞬时功率为C．运动时间为D．运动位移的大小为18．质量为m的带电量为+q的可视为质点的小球与一个绝缘轻弹簧右侧相连，弹簧左侧固定在墙壁上，小球静止在光滑绝缘水平面上，位于水平向右的x坐标轴原点0．当加入如题18图所示水平向右的匀强电场E后，小球向右运动的最远处为x=x0，空气阻力不计，下列说法正确的是A．弹簧的劲度系数B．质点在x=0处与在x=x0处加速度相同C．小球运动速度的最大值为D．运动过程中，小球的电势能、动能互相转化，且总量保持不变19．某质点做直线运动，运动速率的倒数与位移x的关系如题19图所示，关于质点运动的下列说法正确的是（）A．质点做匀加速直线运动B．图线斜率等于质点运动加速度C．四边形AA′B′B面积可表示质点运动时间D．四边形BB′C′C面积可表示质点运动时间20．电源电动势为E，R1和R2是两个大电阻，电源内阻和电流表电阻均可忽略不计．如题20-1图所示，闭合电键S，电压表读数为3V，电流表读数为I1；如题20-2图所示，闭合电键S，电压表读数为6V，电流表读数为I2，两个电路的电压表和电流表相同，以下说法正确的是（）A ．I 1=I 2B ．R 1=2R 2C ．E<9VD ．E=9V21．如题21图所示，光滑圆形管道固定在竖直面内．直径略小于管道内径可视为质点的小球A 、B 质量分别为m A 、m B ，A 球从管道最高处由静止开始沿管道下滑，与静止于管道最低处的B 球相碰，碰后A 、B 球均能刚好达到与管道圆心O 等高处，关于两小球质量比值的说法正确的（ ） A ．B ．C ．D ． 第二部分 （非选择题共174分）22．（19分）（1）在“验证力的平行四边形定则”的实验中，某同学根据实验数据画出力的图示，如题22-1图所示．图上标出了F 1、F 2、F 、F ′四个力，其中力 （填上述字母）不是由弹簧秤直接测得的．（2）在“测金属丝电阻率”实验中，提供以下实验器材；待测金属丝、螺旋测微器（千分尺）、直尺；电源E （电动势约3V ）；电压表V （量程3V ，内阻约5k Ω）：电流表A （量程0.6A 、内阻为1.0Ω）；滑动变阻器、开关及导线若干．某同学进行了如下操作：①如题22-2图所示，用直尺测金属丝的长度L= m ；②如题22-3图所示，用螺旋测微器测金属丝直径d= m ；③按照实验设计进行了实物连接如题22-4图并进行了相应测量，利用电压表和电流表读数画出了如题22-5图的U —I 图象。

2012年秋高三(上)期末测试卷 数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1～5 DCADB6～10 ACBBB10．提示：由圆C 与直线12,PF PF 均相切，知点(1,0)C 在12F PF ∠的平分线上，又由角平分线定理知联单1122||||3||||PF C F PF C F ==，再由点P在椭圆上可得12||||PF PF +=1||PF =最后根据点00(,)P x y 到左焦点1F 的距离1||P F 与00(,)P x y 到左准线4x =-的距离04x +之比为离心率2，可解得02x =.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

11．四 12．4313．(,0)a ∈-∞（注：(,2)a ∈-∞的任一真子集．．．均可） 14．315．(,2)-∞三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲有三种选择：,,AB AC BC ，故甲选做了A 题的概率是23.……………6分（Ⅱ）甲乙两考生选做题目的情况有：(,)(,)(,)(,)(,)(,)AB AB AB AC AB BC AC AB AC AC AC BC(,)(,)(,)BC AB BC AC BC BC ……………9分所以甲乙选择相同两题的概率是3193=.……………13分17．（本小题满分13分） 解：化简得)62sin(2)(π+=x x f ……………3分（Ⅰ）当]2,0[π∈x 时,πππ67≤ 62≤ 6+x ∴ 1≤ )62sin(≤ 21π+-x ∴ 值域]2,1[-……………6分（Ⅱ）由1)(=A f 得 2sin(2)16A π+=21)62sin(=+πA因为π<<A 0 ∴ πππ613626<+<A∴ππ6562=+A ∴ 3π=A ……………8分由余弦定理得：732722222=-+⇒⋅-+=bc c b bc c b π（1）由2ABC S ∆=得6233sin 21=⇒=bc A bc (2)……………11分由（1）得 73)(2=-+bc c b ，将（2）代入得 25)(2=+c b ∴ 5=+c b ……………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：BC AC = ，D 为AB 的中点，∴AB CD ⊥．……………2分又C D ⊥ 平面B B AA 11．1BB CD ⊥∴……………4分D CD AB AB BB =⊥ ,1，⊥∴1BB 平面ABC ．……………6分（Ⅱ）解：因为BC AC ⊥，=2A C B C =，所以CD = 又在1Rt C D A ∆中，16C AD π∠=，所以1sin6C D A C π==9分又在1Rt C AA ∆中，222124AA =-=，所以12AA = 所以所求体积31242V =⨯=……………13分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）4a =-时，令2()()g x f x x =+2ln 24x x x =+-，只要知道()g x 在(1,)+∞上的零点个数即可.由1'()44g x x x=+-2(21)x x-=在(1,)+∞上恒大于0知，()g x 在(1,)+∞是单调递增的函数，又由于(1)20,(2)ln 20g g =-<=>，则()g x 在(1,)+∞上恰有一个零点.……………6分（Ⅱ）2121'()2x ax f x x a xx++=++=在(0,)+∞上恰有两个互不相等的零点即可，则对于分子上的二次式，有20280aa ⎧->⎪⎨⎪∆=->⎩，解得a <-.……………12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）化简可得23()log 2f x x =，则233(2)log 222n naa n f a ==，故43n a n =-.………5分（Ⅱ）易得22n S n n =-.要使{}n b 为等差数列，则12()2n n n n S b n n λλ-==++是n 的一次函数，又因为0λ≠，故12λ=-，此时2n b n =，24nn c n =⋅.………8分以下应用错位相减计算n T ：123424446484(2)4nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅， 23451424446484(2)4n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式对应次数相减得1234132424242424(2)4n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅128(2)433n n +=-⋅-，故1228()4399n n T n +=-⋅+.………12分21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由准线方程得2ac=又点P3=，所以123ca ==联立解得2,1a c b ===.故22:14xC y +=.……………5分（Ⅱ）设点00(,)A x y，则||AQ ==.又由于点A 在椭圆上，则220014x y +=，所以0||2AQ x ==（00x >，因为切点Q 在y 轴右侧）.……………8分另由焦半径公式可得0||22AF x =-，……………10分于是||||2AQ AF +=.要使AQF ∆的周长最小，则只要||QF 最小即可， 显然当Q 的坐标为(1,0)时，||QF1. 所以AQF ∆1.……………12分。

北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22-（C ）1i22-+ （D ）1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83 （C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若32PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ； （Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n --； 13.，6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan x =………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan x =π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-）………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-+. (13)分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)32x -=-. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===； 2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B . 所以 (1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC =. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=. ………………12分即12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分（Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………………7分设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+--11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =. 由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+ 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--， 1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-， 所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列.Ω是等差数列.即1Ω成等差数列. (13)所以i分。

重庆市2012届高三上学期期末考试文科综合测试文科综合能力测试卷满分300分。

考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

第—部分（选择题共140分）本部分共35题，每题4分，满分140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项．．．．是最符合题目要求的。

音响生产通常需要成百上千的零件，整机厂家要从多个专业化工厂购买零件。

广东以惠州音响整机厂生产为核心，形成大批音响零件生产厂家的集聚。

整机厂82％的零件来自周围的专业厂家。

读图1完成1～2题。

1．图1中惠州音响生产厂家交通联系的主要方式最可能是（）A．河运B．公路C．铁路D．空运2．关于图1中惠州音响专业化零件厂布局说法合理的是（）A．机箱等体积大的布局在中山、广州B．机芯等质量小的主要布局在惠州、深圳C．各零件供应厂之间的联系并不密切D．零件来源比重没有明显的地域分布规律城市健身步道是一种集文化、环保、人性于一体，兼顾交通的城市设施。

图2为“某山区城市局部城区道路网分布图”，图3为该城区某健身步道沿线等高线图，读图回答3～5题。

3．下列关于图2中城市城区道路网的说法正确的是（）A．受制于地形水文条件，道路弯曲无一定的几何图形B．为方便人们出行，采用方格一环行一放射式道路网C．考虑河流分布的水文因素，主要采用条带式道路网D．为方便城区与郊区的联系，采用环行放射式道路网4．隆冬季节的晴天，漫步在图3的步道上，下列现象不可信．．．的是（）A．早晨，长江上大雾弥漫B．午后，步道上常吹偏南风C．傍晚，长江边可以欣赏落日D．凌晨比午后的空气更清新5．图3所示步道的相对高差可能是（）A．95米B．100米C．105米D．110米图4为某大洲局部地区自然带分布图，读图4回答6～7题。

2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2．（5分）（2012•重庆）不等式＜0的解集为（）解：不等式4．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）的展开式中x的系数为（）=•=5．（5分）（2012•重庆）=（）﹣解：==．6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）2通过向量的垂直，求出向量，推出，向量=），=⊥，，所以=所以||=7．（5分）（2012•重庆）已知a=log 23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）3＞2=log b==＞），，）AD=∴＜10．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x﹣4x+3，g（x）=3﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g=13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．cosC=，sinC=，sinC=∴由正弦定理得：sinB==故答案为：14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．y=，双曲线﹣x）在双曲线﹣=故答案为：15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排种排法，故所有的排法种数为节艺术课的概率为．故答案为：．16．（13分）（2012•重庆）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式，则由题意可得，解得=），再由=a，则由题意可得=n成等比数列，∴17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；解此方程组即可得出，即，化简得18．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求乙获胜的概率；，乙第二次投球获胜的概率等于•=，乙第三次投球获胜的概率等于=，+=．×=．19．（12分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=的值域．，且=x=所以=2x+）；20．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；CD==因此，得=ADD==2D=2．=从而），•h=2=），=2），，=），则，⊥，即取，得，，则⊥，，即得，，=．．1 F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅰ）设椭圆的方程为为直角，从而，利用，可求S=可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，，∴S=|B∴椭圆标准方程为；，，=，∴，∴|B×。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数52i( )（A ）2i （B ）21i 55 （C ）105i （D ）105i 33（2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD -（B ）1142AB AD +（C ）1132AB DA +（D ）1223AB AD -（3）若数列{}n a 满足：119a ，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 （4）已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ，则（A ）垂直于平面β的平面一定平行于平面α （B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α （C ）垂直于平面β的平面一定平行于直线l （D ）垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 （5）函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕR 的部分图象如图所示，那么(0)f （ ）（A ）12 （B ）32 （C ）1 （D ）3FED C BA（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数 （B ）()f x 在[,0]π上恰有一个零点 （C ）()f x 是周期函数 （D ）()f x 在(,2π5π)6上是增函数 （8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是 （ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）51)的展开式中2x 的系数是 . （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,xy xyxy 则2zxy 的最大值为 .（11）抛物线2xay 过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为 .（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C ）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C ：22(1)2x y -+=，过点(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为 . （14）已知正三棱柱'''ABC A B C 的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周期为 .8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ， 2A B =，sin 3B =. （Ⅰ）求cos A 及sinC 的值； （Ⅱ）若2b ，求ABC ∆的面积.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. (17)（本小题满分14分）甲城市 乙城市9 08 7 73 1 24 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ，2AB PB PC BC CD ，平面PBC平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90）的大小； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1),Q 为椭圆C 的左顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）PABC D已知集合{1,2,3,,}(*)M n n N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m N ，且对任意的bM ，存在,(1)i ja a A ijm ，使得12i j ba a λλ（其中12,{1,0,1}λλ），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A，{1,2,3,4,5}M ； ②{2,3}A，{1,2,3,4,5,6}M.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n ；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．01[一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）5 （10）7 （11）54（12）乙，乙 （13）3(1)3yx 或3(1)3y x （14）8；3π 注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以2cos cos 212sin A B B . ………………………………………2分因为sin 3B =， 所以11cos 1233A. ………………………………………3分 由题意可知，(0,)2Bπ. 所以26cos 1sin 3BB. ………………………………………5分 因为22sin sin 22sin cos 3A B B B.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()CA B A B π53sin cos cos sin 9A B A B. ………………………………………8分 （Ⅱ）因为sin sin b aB A，2b ，………………………………………10分223a .所以463a. ………………………………………11分 所以1202sin 29ABCS ab C ∆. ………………………………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则()23!15!10P A ⨯==. ………………………………………4分 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===. ………………………………………10分随机变量X 的分布列为：因为 01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以 随机变量X 的数学期望为1. ………………………………………13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 90ABC，所以 AB BC ⊥. ………………………………………1分 因为 平面PBC平面ABCD ，平面PBC平面ABCDBC ，AB 平面ABCD ，所以 AB 平面PBC . ………………………………………3分 （Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC ， 所以 PO BC ⊥. 因为 平面PBC平面ABCD ，平面PBC平面ABCDBC ，PO 平面PBC ，所以 PO 平面ABCD . ………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直 线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设2BC .由直角梯形ABCD 中2ABPB PC BC CD可得P ，(1,1,0)D ，(1,2,0)A .所以 (1,1,3)DP ，(2,1,0)DA .设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAm m所以(,,)(1,1,3)0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z即30,20.x y z x y令1x ，则2, 3y z .所以 (1,2,3)=m . ………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=.所以cos ,2⋅==-m n m n m n . 所以 平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90）的大小为4π. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB. 理由如 下： ………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 则 MN ∥PA ，12ANAB . 因为 2AB CD ， 所以 AN CD . 因为 AB ∥CD ，所以 四边形ANCD 是平行四边形. 所以 CN ∥AD . 因为 , MNCN N PA AD A ，所以 平面MNC ∥平面PAD . ………………………………………13分 因为 CM 平面MNC ，所以 CM ∥平面PAD . ………………………………………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]xf x x a x =++. ………………………………………2分 当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =. ………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，即4e 3e y x =-. ………………………………………5分 （Ⅱ） 令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………6分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞NMPABCD上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-. ………………………………………11分 所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. ……………………………………13分 (19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222ab c由题意可知：1b ，32ca . ………………………………………2分所以24a.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.………………………………………5分则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-， 所以 AQBQ .所以 2AQB π∠=. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6(,0)5在椭圆C 的内部，显然0∆>. 21222122240,25100144100.25100k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+ 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++.所以 QA QB ⊥.所以 QAB ∆为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则QA=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB .记点6(,0)5为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520Mx x k k x k k ，所以 点M 的纵坐标266()5520M Mky k x k. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k222601320(520)k k .所以 QM 与NM 不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A 不是{1,2,3,4,5}M 的一个二元基底.理由是 1212315(,{1,0,1})λλλλ；②{2,3}A 是{1,2,3,4,5,6}M的一个二元基底.理由是 11213,21203,30213， 41212,51213,61313.………………………………………3分（Ⅱ）不妨设12m a a a ，则形如10i j a a (1)i j m 的正整数共有m 个；形如11i i a a (1)i m 的正整数共有m 个； 形如11ij a a (1)ij m 的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a (1)ijm 的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底. 故22mmmm C C n ，即(1)m m n . ………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m ，所以4m .当4m 时，(1)191m m ，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设1234{,,,}A a a a a 为{1,2,3,,19}M 的一个4元基底，不妨设1234a a a a ，则410a . 当410a 时，有39a ，这时28a 或7.如果28a ，则由1109,198,1899,18108，与结论*矛盾.如果27a ，则16a 或5.易知{6,7,9,10}A 和{5,7,9,10}A都不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当411a 时，有38a ，这时27a ，16a ，易知{6,7,8,11}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当412a 时，有37a ，这时26a ，15a ，易知{5,6,7,12}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当413a 时，有36a ，25a ，14a ，易知{4,5,6,13}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当414a 时，有35a ，24a ，13a ，易知{3,4,5,14}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当415a 时，有34a ，23a ，12a ，易知{2,3,4,15}A不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当416a 时，有33a ，22a ，11a ，易知{1,2,3,16}A 不是{1,2,3,,19}M的4元基底，矛盾.当417a 时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A ；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为 5. ………………………………………14分。

2012届高三上学期期中考试试题数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 ．若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤1，则B A =A. {}x x -1≤<0B. {}x x 0<≤1C. {}x x 0≤≤2D. {}x x 0≤≤1 2．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞3.已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log)(2x x x x f x，若21)(=a f ，则实数a 的值为A ．－1 B.2 C ．－1或2 D ．1或2-4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．函数y ＝ln1|2x －3|的大致图象为()6．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则 AG →＝A.27a ＋17bB.27a ＋37bC.37a ＋17bD.47a ＋27b 7.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则221y x ++的最大值是A. 5B. 6C. 8D. 108．函数11x y x +=-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．2B ． 4C ． 6D ．8二.填空题：本大题共6小题，考生做答6小题，每小题5分, 共30分． （一）必做题（9～12题）9．不等式212-<-x x 的解集为 .10．若6x x ⎛- ⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 11 ．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m =（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且C c A b B a sin cos cos =+，则角B ＝ .12．已知8,0,0=++>>ab b a b a ，，则b a +的最小值是 .13．如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行． 其中真命题是是 _______.（填写真命题的序号） （二）选做题：（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为3)6sin(=-πθρ，点)3, 2(πA 到曲线C 上点的距离的最小值 ．15.如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的大小为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , 已知4A π=，4cos 5B =.（I ）求cos C 的值；（II ）若10,B C D =为A B 的中点，求CD 的长.17．(本题满分12分)图乙图甲M 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18. (本题满分14分)如图甲，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2D AB π∠=，点M 、N 分别在A B ，CD 上，且MN AB ⊥，MC CB ⊥，2BC =，4M B =，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）.（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）当DN 的长为何值时，二面角D BC N --的大小为30︒？19. （(本题满分14分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1～5 CDABC 6～10 BCDBA102,)a a（与(b 之间的距离，即函数2y x=的图象上的 点与上半圆221(0)x y y +=≥上的点之间的距离， 由图知，它们的距离的最小值为1．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

11．2 12．3- 13．]2,41[14．]3,41[]0,( -∞15．13三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）解：22:33xxp -<22{|12}x x A x x ⇒-<⇒=-<<…………………4分44:{|}22a a q B x x -+=<<…………………8分 因为p 是q 的充分不必要条件则故412422a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤02a ⇒≤≤…………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）214cos 214sin 232cos 2cos 2sin 3)(2--=-=x x x x x x f2164sin(--=πx ∴2π=T …………………5分（Ⅱ）∵a 、b 、c 成等差数列． ∴2ca b +=∴21826 ≥82332)2(2cos 22222222=--+=+-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac c a c a ac b c a B ………9分当且仅当c a =时，21)(cos min =B ∵ B B cos ,0π<<在),0(π上递减．∴3≤ 0πB < 21)64sin()(--=πB x f 且πππ67≤646-<-B 1≤ 64(sin ≤ 21π--B ∴)(B f 的值域为21,1[-．…………………13分解：（Ⅰ）当1>n 时，525161+=+--+=-=-n n n n n S S a n n n ))(()(711==S a 52+=∴n a n 同理78-=n b n ；…………………6分（Ⅱ）647852-=⇔-=+⇔=m n m n b a m n ∴公共项是 ,,,1062a a a 即数列}{24-n a此数列依然是等差数列，其首项是92=a ，公差是8=d …………………10分∴它的前n 项和为：n n n n n 5482)1(92+=⋅-+．…………………13分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）),(32--=-mx 由题意得23-=-mx mx 所以21=mx ；…………………5分 （Ⅱ）31032)(03)2(2<<-⇔<--⇔<--mx mx mx mx mx当0>m 时，m x m 31<<-当0=m 时，R x ∈ 当0<m 时，mx m 13-<<．…………………12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得()()f x g x +=221x a a a -，将x 换为x -得()()f x g x -+=221xa a a --，联立解得 2()()1x x a f x a a a -=--，…………………4分 （Ⅱ）当1>a 时,x a 与xa --均为R 上的增函数,且012>-a a ． ∴此时)(x f 在R 上递增. 当01a <<时，x a 与xa --均为R 上的减函数，且201aa <-， 所以)(x f 在R 上为单增函数. 综上:)(x f 在R 上为单增函数. …………………8分∴25)(-x f 在R 上也是增函数,当2<x 时, )(x f ()aa f 122+=<.要使25)(-x f 在)2,(-∞上恒为负值，只需0≤25)2(-f ． 即0≤ 2512-+a a 解得：2≤ ≤ 21a 又∵1≠a ∴a 的取值范围为]2,1()1,21[ ．……12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题知，90=∠BPA75sin 2,75cos 2==∴BP AP 6)4575sin(22=+=+ PB PA211262===∴b c a ,,所以椭圆方程为1212322=+y x 即123222=+y x ；…………5分 （Ⅱ）设θPAB =∠，则θPA cos 2= θθPA PQ 24222cos cos -=-=梯形周长为5214242422+--=+-+)(cos cos cos θθθ当21=θcos 即3πθ=时 周长最大…………9分 此时，31==BP AP ,2312312==+=∴b c a ,, 椭圆方程为12323122=++y x ．…………………12分数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试卷(文史类)数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若p 则q ”的逆命题是 （ ）A .若q 则pB .若p ⌝则q ⌝C .若q ⌝则p ⌝D .若p 则q ⌝ 2.不等式102x x -<+的解集为（ ）A .(1,)+∞B .(,2)-∞-C .(2,1)-D .(,2)(1,)-∞-+∞3.设,A B 为直线y x =与圆221x y +=的两个交点,则||AB =（ ）A .1 BCD .2 4.5(13)x -的展开式中3x 的系数为（ ）A .270-B .90-C .90D .2705.sin 47sin17cos30cos17-=（ ）A.B .1-C .12D6.设x ∈R ,向量(,1)x =a ,(1,2)=-b ,且⊥ab ,则||+=a b（ ）AB C.D .107.已知22log 3log a =+,22log 9log b =-,3log 2c =,则,,a b c 的大小关系是（ ）A .a b c =<B .a b c =>C .a b c <<D .a b c >>8.设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则 函数()y xf x '=的图象可能是（ ）ABCD9.设四面体的六条棱的长分别为和a ,且长为a 的棱异面,则a 的取值范围是（ ）A .B .C .D .10.设函数2()43f x x x =-+,()32xg x =-,集合{|(())0}M x f g x =∈>R ,{|()2}N x g x =∈<R ,则M N 为（ ）A .(1,)+∞ B.(0,1)C .(1,1)-D .(,1)-∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页） 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.首项为1,公比为2的等比数列的前4项和4S = . 12.若()()(4)f x x a x =+-为偶函数,则实数a = .13.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1a =,2b =,1cos 4C =,则sin B = .14.设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支的交点,1F 是左焦点,1PF垂直于x 轴,则双曲线的离心率e = .15.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 .（用 数字作答）.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分.）已知{}n a 为等差数列,且138a a +=,2412a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ,若1a ,k a ,2k S +成等比数列,求正整数k 的值.17.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问6分,（Ⅱ）小问7分.）已知函数3()f x ax bx c =++在点2x =处取得极值16c -. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最小值.18.（本小题满分13分,（Ⅰ）小问7分,（Ⅱ）小问6分.）甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响. （Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.19.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分.）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,ππA ωϕ>>-<≤）在π6x =处取得最大值2,其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数426cos sin 1()π()6x x g x f x --=+的值域.20.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问4分,（Ⅱ）小问8分.）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,4AB =,3AC BC ==,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；（Ⅱ）若11AB AC ⊥,求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.21.（本小题满分12分,（Ⅰ）小问5分,（Ⅱ）小问7分.）如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ,且12AB B △是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B 作直线交椭圆于,P Q 两点,使22PB QB ⊥,求2PB Q ∆的面积.题（21）图题（20）图1A5(3)r rx-，令33527C=-⨯【提示】由-(15(3)r rx-，令3r=即可求得【考点】二项式系数的性质。