北师大版九年级数学下册 1.4解直角三角形 课件

c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:

自主学习
认真阅读课本P16例1，体会什么 是解直角三角形？
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c，且
a= 15 ,b= 5 ,求这个三角形的其它元素.
解：在Rt△ABC中，a2 b2 c2, a 15,b 5,c 2 5
在Rt△ABC中，sin B b 5 1 , c 25 2
(D)10 cm
3、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D
为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则
tan∠DBCA的值为(
)
A、1 B、 2 -1C、2 - 2D、1
3
4
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是 ∠A,∠B,∠C的对边,求下列直角三角形中的未 知量:
练习
B
c
1.在⊿ABC中，已知a,b,c分别为 a
∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900， C b
A
根据下列条件解直角三角形.
（1）b =10，∠ B =60° （2）c =20， ∠A = 60°
1 （3）a =20， SinＡ= 2
1 2 3
2.已知在Rt⊿ABC中，∠C=90°，a=5, ∠B=60°,求∠A和b，c
B 30，A 60.
********************************
在直角三角形中，由已知的一些边、
角，求出另一些边、角的过程，叫做
解直角三角形 z.xx.k
.
********************************
做一做
【例2】在RtABC中，C为直角，A，B，C所对的边 分别为a，b，c，且b 30，B 25 ，求这个三角形 的其他元素（边长精确到1）(tan25≈0.466;sin25≈0.422)

20 sin 35

20 0.57
35.1
你还有其他 方法求出c吗？
灿若寒星
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a=30,b=20;
解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13
tan A a 30 3 1.5 b 20 2
灿若寒星
例2：如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个
直角三角形（精确到0.1）
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
A
tan B b
c
b
a
35°
20
a
b tan B

20 tan 35

20 0.70
28.6
B
a
C
sin B b c
c
b sin B

a， b
tanB

B的对边 B的邻边

b a
灿若寒星
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形
A
解： tan A BC 6 3 AC 2
A 60
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
一角一边 A
60 30
在Rt△ABC中,
（1）根据∠A=60°,斜边AB=30, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
∠BACBC
两边
C
你发现 了什么
（2）根据AC=，1BC=

第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
知识回顾 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
知识回顾
在直角三角形中：
①三边之间关系： a2+b2=c2（勾股定理）.
②锐角之间关系： ∠A＋∠B＝90°.
A
③边角之间关系：
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
5
则AC的长为（ B ）
A．3
B．3.75
C．4.8 D．5
4. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50 °，AB=3.求∠B 和 a，b（边长精确到0.1）
解：在Rt△ACB中, ∠B=90°- 50°=40°,
sin A a , AB
∴a=AB• sinA=3sin50°≈2.3.
c， 且b = 30, ∠B = 25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
sin B b , b 30, c
∴c b 30 71. sin B sin 25
A
c
b
30
25°
B
a
C
tan B b ,b 30, ∴a b 30 64.
解：在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2， a 15, b 5,
A
2
2
c a2 b2 15 5 2 5.
5
在 Rt△ABC 中，sinB = b 5 1 ,
c 25 2
C
∴∠B = 30°.
∴∠ A = 60°.

c
b
C
a
（锐角三角函数）
b
cos A sin B ,
c
a
tan A ,
b
b
tan B ,
a
B
考点 三 解直角三角形
* 匹配例题
B
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若AB=2 ， ∠ A=30°,则 AC= 3 ;
（2）若AB=4，AC=3，则BC=
7
sinA=
7
4 ;
即： x
2+10
x -50=0
x1 5 5 3, x2 5 5 3 (舍去)
∴sin ∠CAE=
CE 5 5 3

AC
10 2
∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在视察站A的北偏西15°
的方向
45°
A
考点
*
四 解直角三角形知识的应用问题
2.方位角:
常见模型
匹配例题
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D
米，路基高是4米，则路基的下底宽是
.
15
3
4
6
3
6
考点
四 解直角三角形知识的应用问题——模型总结
A
D
C
翻折
一个
Rt△
平移一个Rt△
B
C
D
小结
辨认
数形结合
熟记
实际问题
数学问题
应用
答
模型求解
直角三角形
构造直角三角
特殊角的三角函数值
谢
谢
方位角
h
α
l
考点 一
1. 定义:
锐角三角函数

尽量选
择原始
数据,避
免累积
误差
随堂练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 2 ,BC = 6 ,
解这个直角三角形.
解：由勾股定理得：
AB AB2 BC2 解：tanA
BC AC
6 2
3
22
2
6
A 60
2 2
B 90 - A
在Rt △ABC中，
90 - 60 30
AB=2AC
有三条边和两个角
1、在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素? 2、这5个元素之间有什么关系?
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
B
(3)边角之间的关系: 锐角三角函数
sinA＝ a c
cosA＝ b c
tanA＝ a b
c a
（4）在Rt△ABC中，30°角所对的直角边 A
bC
等于斜边的一半；
（5）面积公式：
S▲ABC
1 2
a•b
1 2
c•h
3、知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
在Rt△ABC中,
一角一边
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这三个角
的其他元素吗？ ∠B
AC 两边BC
（2）根据AC= 2 ，BC= 6 ，你能求出这个三角形
的其他元素吗？ ∠A ∠B 两角AB
• 解直角三角形的一般步骤：
(1)画示意图； (2)分析已知量与待求量的关系,选择适当 的边角关系；
“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），
无斜（斜边）用切（正切）”
(3)求解；
“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”

学楼多远？
A
抽象出几何图形
12m ?
明确已知和未知
60
B? C
谈一谈你的收获
测塔高
作业一：
D
感兴趣的同学完成
30º
60º ┌
A
50m
B
Cபைடு நூலகம்
加固灯柱，预算需要准备的钢缆DE的长 E
2m
C
？
40°
D
5m B
作业二：所有同学完成
课本中习题1.5的1题、2题。
已知：一边一锐角（一直角边和一锐角、斜边和一锐角）
形的已知 元素
所有未知元素 一条直角边和一锐角
巩固与运用
例1 在 R t A B C 中 ， C = 9 0 ， A , B , C 所 对 的 边 分 别 为
a ,b ,c ,且 a1 5 ,b5 ,求 这 个 三 角 形 的 其 他 元 素 。
B
a 15 c
C 5A
b
例2
在 RtABC中 ， C=90， A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且 ,b30， B25,求 这 个 三 角 形 的 其 他 元 素
边 长 精 确 到 1。
B
25
a
c
C
A
b 30
实际运用
我校一年一度的校园文化艺术节即将来到，为了增加
节日的喜庆气氛，学校决定在我们的教学楼前悬挂彩色条
幅，我们都知道我们的教学楼有四层，平均每层高三米，
据了解条幅与地面的夹角为 6 0 时最为美观，请同学们帮
忙计算一下，我们需要制作多长的条幅？悬挂时底部距教
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你如果每 而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了，都累病 在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能砸倒10个 却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米，那边挖几 而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你�

求出另一个锐角．
(4)已知一条边和一锐角的三角函数
❓
任务二：解直角三角形--已知两边
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
且 a 15 ， b 5 ，求这个直角三角形的其他元素.
无斜用切
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a 15, b 5,
①三边之间的关系：
，
②两锐角之间的关系：
，
③边与角之间的关系：sinA=cosB=
tanA=
，tanB=
c
.
A
，cosA=sinB=
a
C
b
，
任务一：解直角三角形概念（指向目标一）
30°， 45°，60°角的三角函数值：
三角函数值
三角函数
sinα
cosα
tanα
角a
30°
45°
60°
1
2
1
任务一：解直角三角形概念（指向目标一）
且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(sin25°≈0.42，
cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠ A=65°.
b
∵sin B=
，b=30，
c
b
30
c

71.
sin B sin 25
b
tan B , b 30,
a
b
30
a

64.
tan B tan 25
取原避中
任务二：解直角三角形--已知一边及一角的三角函数值
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，

c
b
10 20 3
∴c＝ sinB ＝ sin60 ＝ 3 .
由勾股定理得a＝
c2
b2
＝
10 3
3
.
知－练
(3) c =20， ∠A＝60°; 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ b ，c＝20，
c
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20×
3 2
解：∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 由cos A＝
a c
,
得a＝c·sin 得b＝c·cos
A＝100·sin 26°44′≈44.98. A＝100·cos 26°44′≈89.31.
b
,
c
知－练
1 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a, b, c，根据以下条 件求出直角三 角形的其他元素〔角度精确到1° ): (1) a = 4, b =8;
在Rt△ABC中，如果其中两边的长，你能求出 这个三角形的其他元 素吗？
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ a ＝cos B， c
cos A＝ b ＝sin B， c
tan A＝ a 1 . b tan B
知－讲
两直角边：
应用勾股定理求斜边， 应用角的正切值求出 一锐角，再利用直角 三角形的两锐角互余，求 出另一锐角．一般不用正 弦或余弦值求锐角，因为 斜边是一个中间量，如果 是近似值，会影响结果的 精确度．
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.
知－练