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沈河区2018~2019学年度上学期 九年级数学期末质量跟踪监测试卷（考试时间120分钟 试卷满分120分）一、选择题（每小题2分，共20分） 1．若25b a =，则a b a b −+的值为（ ） A ．37−B ．37C ．35D ．732．如图是一个由一个正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在函数3y x =−的图象上有三个点（﹣1，y 1），（14−，y 2），（14，y 3），则函数值y 1，y 2，y 3的大小为（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 34．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD ∥BC ，35BE AE =，CD=16，则DE 的长为（ ）A ．3B ．6C ．485D ．105．下表记录了一名射击运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击A．0.6B．0.8C．0.7D．0.96．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是94，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．23B．8116C．94D．327．下列命题中正确的是（）A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形82A．抛物线开口向下B．抛物线对称轴是直线x=2C．方程240b ac−>D．当13x<<时，6y<9．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（）A．9.6 cm B．10 cm C．20cm D．12 cm10．如图，在正方形网格中，△ABC 的位置如图，其中点A 、B 、C 分别在格点上，则sinA 的值是（ ）AB ．13CD二、填空题（每小题3分，共18分）11．计算：()02cos 30122sin 45 3.14π+−−+−=．12．如图，已知路灯离地面的高度AB 为4.8m ，身高为1.6m 的小明站在D 处的影长为2m ，那么此时小明离电杆AB 的距离BD 为 m ．13．在某校运动会4×400m 接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为 ．14．在平面直角坐标系中，已知点A （-2，4），B （-4，﹣2），现以原点O 为位似中心，位似比为12，将△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是 ．15．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 ．16．在矩形ABCD 中，AB=9，3tan 4ADB ∠=，点E 在射线DA 上，连接BE ，将线段BE 绕点E 旋转90°后，点B 恰巧落在射线DB 上（此时点B对应点为单F ），则线段DF 的长为 ．FEDCBA三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．解方程：()23721x x−=−18．某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，⑴若已选中家长A。
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 2018.11.61.某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体可能是（）A.长方体B.圆锥C.正方体D.球2.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（）A. B. C. D.3.已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（）A. B.C. D.4.一个三角形三遍的长分别为，，，另一个与它相似的三角形的最长边是，则该三角形的最短边是（）A. B. C. D.5.下列各点不在反比例函数上的是（）A. B. C. D.6.如图，在的正方形网格中，连接两格点，，线段与网格线的交点为点，则为（）A. B. C. D.7.小敏不慎将一块矩形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的矩形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A.①②B.?①③C.③④D.‚②④8.如图所示电路，任意闭合两个开关，能使灯亮起来的概率是（）A. B. C. D.9.如图，是三个反比例函数，，在轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为（）A. B.C. D.10.如图，矩形的周长是，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共20分）11.方程的二次项系数是________．12.如图所示，此时的影子是在________下（太阳光或灯光）的影子，理由是________．13.在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点，则的值为________．14.小明和小花在玩纸牌游戏，有两组牌，每组各有两张，分别标有数字，，每天每次从每组中抽出一张，两张牌的数字之积为的概率为________．15.如图，在平行四边形中，交于交于，，，则的长为________．三、解答题（满分50分）16.如图，已知，利用尺规作出一个新三角形，使新三角形与对应线段比为（不写作法，保留作图痕迹）．17.一只不透明的袋子中装有个质地，大小均相同的小球，这些小球分别标有，，，，甲，乙两人每次同时从袋中各随机取出个小球，并计算两个小球数字之和．记录后将小球放回袋中搅匀．进行重复实验，实验数据如表：解答下列问题：如果实验继续进行下去，根据上表提供数据，出现和为的频率将稳定在它的概率附近，估计出现和为的概率是．如果摸出这两个小球上数字之和为的概率是，那么的值可以取吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．18.如图所示，某小区计划在一块长米，宽米的矩形荒地上建造一个花园，使得花园所占面积为荒地面积的一半，其中花园每个角上的扇形都相同，则每个扇形的半径是多少？（精确到 . ）19.已知，如图，，，．请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是________；若，，在的条件下，求的长度．20.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴轴分别交于点，与反比例函数在第一象限交于点．写出点，，的坐标．过轴上的点作平行于轴的直线分别与直线和反比例函数交于点，求的面积．22.对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：如图，四边形是“等对角四边形”，，，．则________度，________度．在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形 ”（如图），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论；已知：在“等对角四边形 ”中，，，，．求对角线的长．答案1. 【答案】A【解析】根据常见几何体的三视图确定即可得．【解答】解：、长方体的主视图和左视图均为矩形，符合题意；、圆锥的主视图和左视图均为等腰三角形，不符合题意；、正方体的主视图和左视图均为正方形，不符合题意；、球的主视图和左视图均为圆，不符合题意；故选：．2. 【答案】B【解析】根据一元二次方程的解的定义把代入方法得到关于的一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：把代入方程得，解得．故选．3. 【答案】D【解析】根据矩形的性质，逐一进行判断即可求解．【解答】解：、对顶角相等，一定相等，故不符合题意；、不确定，可能相等，也可能不相等，故不符合题意；、不确定，可能相等，也可能不相等，故不符合题意；、一定不相等，因为，，故符合题意．故选：．4. 【答案】B【解析】首先设与它相似的三角形的最短边的长为，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：设与它相似的三角形的最短边的长为，∵一个三角形三边的长分别为，，，另一个与它相似的三角形的最长边是，∴，解得：．故选．5. 【答案】C【解析】分别把各点坐标代入反比例函数的解析式进行检验即可．【解答】解：、∵ 时，，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；、∵ 时，，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；、∵ 时，，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；、∵ 时，，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意．故选．6. 【答案】C【解析】构建如图所示的图形，利用平行线分线段成比例得到．【解答】解：如图，∵ ，∴．故选．7. 【答案】B【解析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．【解答】解：∵只有①③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带①③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选．8. 【答案】C【解析】先根据题意画出树状图，得出共有种情况，再根据能使灯亮起来的情况有种，即可得出能使灯亮起来的概率．【解答】解：根据题意画树状图如下：∵共有种情况，能使灯亮起来的情况有种，∴能使灯亮起来的概率是，故选：．9. 【答案】C【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，进而可分析、、的大小关系．【解答】解：读图可知：三个反比例函数的图象在第二象限；故；，在第一象限；且，的图象距原点较远，故有：；综合可得：．故选：．10. 【答案】B【解析】设，，根据题意列出方程，，利用完全平方公式即可求出的值．【解答】解：设，，∵正方形和的面积之和为∴ ，∵矩形的周长是∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴矩形的面积为：故选11. 【答案】【解析】先找出方程的二次项，再找出项的系数即可．【解答】解：方程的二次项系数是，故答案为：．12. 【答案】太阳光,通过作图发现相应的直线是平行关系【解析】连接两个实物顶点与像的对应顶点，得到的两条直线平行可得为太阳光下的投影．【解答】解：此时的影子是在太阳光下（太阳光或灯光）的影子，理由是：通过作图发现相应的直线是平行关系．13. 【答案】【解析】将代入中求出值，进而即可得出点的坐标，由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解．【解答】解：当时，，∴点的坐标为．∵点在反比例函数的图象上，∴ ．故答案为：．14. 【答案】【解析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：画树形图得：由树状图可知共有种可能，两张牌的和为的有种，所以概率，故答案为：．15. 【答案】【解析】由于，所以，又因为，所以，所以，从而可求出的长度．【解答】解：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴∴，，∴故答案为：16. 【答案】解：如图，即为所求作三角形．【解析】平面内任取一点，作射线、、，再射线上分别截取、、，顺次连接、、即可得．【解答】解：如图，即为所求作三角形．17. 【答案】; 假设，则（和为），所以，的值不能为．【解析】利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可；; 假设，根据题意先列出树状图，得出和为的概率，再与进行比较，即可得出答案．【解答】解：根据随着实验的次数不断增加，出现“和为 ”的频率是，故出现“和为 ”的概率是；; 假设，则（和为），所以，的值不能为．18. 【答案】每个扇形的半径大约是 . ．【解析】根据个扇形的面积是长方形荒地面积的一半即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：根据题意得：，解得： . ， . （舍去）．19. 【答案】; ∵ ，，，∴，即，解得．【解析】根据相似三角形的判定定理即可得出结论；; 根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解： ∵ ，，∴ ，∴可以添加的条件是．; ∵ ，，，∴，即，解得．20. 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴ ．又∵ 是等边三角形，∴ （三线合一），即，∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．; （2）∵四边形是平行四边形，∴ ．又∵ 是等边三角形，∴ 平分（三线合一），∴，又∵∴ ，∴ （三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），∵四边形是菱形，∴ ，∴平行四边形是正方形．【解析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得，∴ ，∴ ，∴四边形是菱形；; （2）根据有一个角是的菱形是正方形．由题意易得，∵四边形是菱形，∴ ，∴四边形是正方形．【解答】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴ ．又∵ 是等边三角形，∴ （三线合一），即，∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．; （2）∵四边形是平行四边形，∴ ．又∵ 是等边三角形，∴ 平分（三线合一），∴，又∵∴ ，∴ （三角形的一一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），∵四边形是菱形，∴ ，∴平行四边形是正方形．21. 【答案】解：当时，，∴点的坐标为；当时，，∴点的坐标为；联立两函数解析式成方程组，，解得：或，∴点的坐标为．; 当时，，∴点的坐标为；当时，，∴点的坐标为．∴，，∴．【解析】分别将、代入中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标，再联立两函数解析式成方程组，解之取其正值即可得出点的坐标；; 将分别代入一次函数和反比例函数解析式中求出值，由此即可得出点、的坐标，进而即可得出的长度，由点、的坐标即可得出线段的长度，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．【解答】解：当时，，∴点的坐标为；当时，，∴点的坐标为；联立两函数解析式成方程组，，解得：或，∴点的坐标为．; 当时，，∴点的坐标为；当时，，∴点的坐标为．∴，，∴．22. 【答案】,【解析】过点于点，交于点点作于，则即的最小再根据，分可知是等腰角三角形，由锐角角函数的定义即可出的长．【解答】解：过点作于，于点，点作于，则即为的最值，∵，，平分，等腰角三角形，故的最小值为．。
2019.12.沈河区初三数学期末卷一、选择题（每小题2分）1.方程x 2+x=0的解是（ ）A. x=0B.x=1C.x 1=1，x 2=-1D.x 1=0，x 2=-12.如图所示的几何体，其俯视图是（ ）3.下列判断错误的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形C. 对角线相垂直且相等的平行四边形是正方形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形4.已知点A(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是反比例函数xy 2017图象上的点，若x 1>0>x 2，则一定成立的是（ ）A. y 1>y 2>0B. y 1>0>y 2C. 0>y 1>y 2D. y 2>0>y 15.如图,△AOB 缩小后得到△COD,△AOB 与△COD 的相似比是3,若C(1,2),则点A 的坐标为（ ） A. (2,4) B. (2,6) C. (3,4) D. (3,6)6.若四边形ABCD 的面积记为S 1,四边形EFGH 的面积记为S 2,则S 1与S 2的数量关系是()A. S 1=4S 2B. S 1=3S 2C. S 1=2S 2D. S 1=S 27.在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50只，某学习小组作摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表示活动进行中的一组统计数据：请估算口袋中白球约是（ ）只。
A. 20B. 25C. 30D. 358.如图,已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且BC>AC.若S 1表示以BC 为边的正方形面积,S 2表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积,则S 1与S 2的大小关系为（ ）A. S 1>S 2B. S 1<S 2C. S 1=S 2D. 不能确定9.如图,在矩形COED 中,点D 的坐标是(1,2),则CE 的长是（ ）A.3B. 2C. 5D.610.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是（ ）A. 12(1+x)=17B. 17(1-x)=12C. 12(1+x)2=17D. 12+12(1+x)+12(1+x)2=17二、填空题（每小题3分）11.如图,先将一张长方形的纸沿虚线对折,再对折,然后按图中虚线剪下,将剪下的纸①展开,一定可以得到一个菱形，其理论依据是____________12.已知关于x 的方程5x 2+k x−6=0的一个根2，则m=___，另一个根为___.13.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD 为BC 边上的高。
辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分）1．（2分）方程x2+x＝0的根为（）A．x＝﹣1B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1 2．（2分）如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（2分）下列判断错误的是（）A．对角线相等四边形是矩形B．对角线相互垂直平分四边形是菱形C．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形D．对角线相互平分的四边形是平行四边形4．（2分）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（）A．y1＞y2＞0B．y1＞0＞y2C．0＞y1＞y2D．y2＞0＞y1 5．（2分）如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）A．（2，4）B．（2，6）C．（3，6）D．（3，4）6．（2分）如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH 叫中点四边形．若四边形ABCD的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是（）A．S1＝3S2B．2S1＝3S2C．S1＝2S2D．3S1＝4S2 7．（2分）在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复以上步骤，下表为实验的一组统计数据：摸球的次数n1000150020005000800010000摸到白球的次数m5829601161295448426010摸到白球的频率0.5820.640.58050.59080.60530.601请估算口袋中白球的个数约为（）A．20B．25C．30D．358．（2分）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定9．（2分）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（）A．B．2C．D．10．（2分）某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．12（1+x）＝17B．17（1﹣x）＝12C．12（1+x）2＝17D．12+12（1+x）+12（1+x）2＝17二、填空题（每小题3分）11．（3分）如图，先将一张长方形的纸沿虚线对折，再对折，然后按图中虚线剪下，将剪下的纸①展开，一定可以得到一个菱形，其理论依据是．12．（3分）已知关于x的方程5x2+kx﹣6＝0的一个根2，则k＝，另一个根为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC 边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝秒时，S1＝2S2．14．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到是二次函数的图象．15．（3分）如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP ＝∠时，△APC～△ABC；当AC、AP、AB满足时，△ACP～△ABC．16．（3分）如图，n个全等三角形排列在一条直线BC上，P n为A n∁n的中点，若BP n交A1C1于Q，则C1Q与A1Q的等量关系．三、（17题6分、18题8分、19题8分）17．（6分）补全如图的三视图．18．（8分）解方程（1）x2﹣7x﹣18＝0（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．19．（8分）经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，求下列事件的概率：（1）“两人都左拐”的概率是；恰好有一人直行，另一人左拐的概率是；（2）利用列表法或树状图求出“至少有一人直行”的概率．四、（20题8分、21题8分）20．（8分）我们都知道连接多边形任意不相邻的两点的线段成为多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条（1）六边形的对角线有条，七边形的对角线有条；（2）多边形的对角线可以共有20条吗？如果可以，求出多边形的边数，如果不可以，请说明理由．21．（8分）如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上（1）求m，k的值；（2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣；（3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标．五、（22题10分）22．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB 和AC于点E、F，连接DE、DF．（1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论．（2）若AE＝5，AD＝8，求EF的长．（3）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？六、解答题（共1小题，满分10分）23．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：506070售价x（元/千克）1008060销售量y（千克）（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W 与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？七.（24题12分、25题12分）24．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A （﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F（1）求二次函数y＝ax2+bx﹣3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN＝90°，MD＝MN，请直接写出点M的横坐标．辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（每小题2分）1．C；2．D；3．A；4．B；5．C；6．C；7．C；8．B；9．C；10．C；二、填空题（每小题3分）11．四条边相等的四边形是菱形；12．﹣7；﹣；13．6；14．y＝x2﹣6x+12；15．B；；16．A1Q＝（2n﹣1）C1Q；三、（17题6分、18题8分、19题8分）17．；18．；19．；；四、（20题8分、21题8分）20．9；14；21．；五、（22题10分）22．；六、解答题（共1小题，满分10分）23．；七.（24题12分、25题12分）24．；25．；。
第1页，总9页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………辽宁省沈阳市沈河区2018届九年级（上）期末数学试题考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线相互垂直的平行四边形是菱形C ．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形D ．对角线相互平分的四边形是平行四边形2. 如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC ＞AC ．若S 1表示以BC 为边的正方形面积，S 2表示长为AB 、宽为AC的矩形面积，则S 1与S 2的大小关系为（）A ．S 1＞S 2B ．S 1=S 2 C.S 1＜S 2C ．不能确定3. 方程x 2+x=0的根为（ ）A ．x=﹣1B ．x=0C ．x 1=0，x 2=﹣1D ．x 1=0，x 2=14.如图所示的几何体，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．答案第2页，总9页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 已知点A （x 1，y 1），（x 2，y 2）是反比例函数y=图象上的点，若x 1＞0＞x 2，则一定成立的是（ ）A ．y 1＞y 2＞0B ．y 1＞0＞y 2C ．0＞y 1＞y 2D ．y 2＞0＞y 16. 如图，△AOB 缩小后得到△COD ，△AOB 与△COD 的相似比是3，若C （1，2），则点A 的坐标为（ ）A ．（2，4）B ．（2，6）C ．（3，6）D ．（3，4）7. 如图，我们把依次连接任意四边形ABCD 各边中点所得四边形EFGH 叫中点四边形．若四边形ABCD 的面积记为S 1，中点四边形EFGH 的面积记为S 2，则S 1与S 2的数量关系是（ ）A ．S 1=3S 2B ．2S 1=3S 2C ．S 1=2S 2D ．3S 1=4S 28. 在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复以上步骤，下表为实验的一组统计数据：摸球的次数n 1000 1500 2000 5000 8000 10000 摸到白球的次数m 582 960 1161 2954 4842 6010 摸到白球的频率0.5820.640.58050.59080.60530.601请估算口袋中白球的个数约为（ ）A ．20B ．25C ．30D ．359. 如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是（1，2），则CE 的长是（ ）。
，故选：B ．【点睛】本题考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的定义是解答的关键．3. 下列方程没有实数解的是（ ）A. 20x = B. 2210x x -+=C. 2210x x +-= D. 2220x x ++=【答案】D【解析】【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．【详解】解：A ．方程20x =解120x x ==，故本选项不合题意；B ．2210x x -+=，224(2)4110b ac -=--⨯⨯= ，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；C ．2210x x +-=，224241(1)80b ac -=-⨯⨯-=> ，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意；D ．2220x x ++=，224241240b ac -=-⨯⨯=-< ∴此方程无解，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．4. 一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（ ）A. 11B. 14C. 17D. 20【答案】C【解析】【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】解：设红球的个数为x 个，根据题意得：为∴30.153x=+，解得：17x =，经检验17x =是原方程的解，则红球的个数为17个．故选：C ．【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．5. 已知二次函数2y ax bx c =++部分y 与x 的值如下表：x…1-1234…y …1203-4-3-…根据表格可知，一元二次方程20ax bx c ++=的解是（ ）A. 11x =，25x =B. 11x =-，23x =C. 12x =，27x =D. 10x =，23x =【答案】A【解析】【分析】根据二次函数对称性找到表中对称点，求出对称轴，找到0y =的点，根据对称性求出对称点即可得到答案；【详解】解：由表可得，(4,3)-、(2,3)-是二次函数2y ax bx c =++的对称点，∴2+4==32x 对，∵二次函数2y ax bx c =++与x 轴的一个交点为(1,0)，根据对称性可得，2315⨯-=，∴另一个交点为：(5,0)，∴一元二次方程20ax bx c ++=的解是：11x =，25x =，故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解与二次函数的关系，解题的关键是根据二次函数的对称性求对称轴及对称坐标．6. 两张全等的矩形纸片ABCD ，AECF 按如图所示的方式交叉叠放，AB ＝AF ，AE ＝BC ．AE 与BC 交于点G ，AD 与CF 交于点H ，且∠AGB＝30°，AB ＝2，则四边形AGCH 的周长为（ ）的A. 4B. 8C.D. 16【答案】D【解析】【分析】证明四边形AGCH 是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得AG 的长，即可求解．【详解】解：∵两张全等的矩形纸片ABCD ，AECF 按如图所示的方式交叉叠放，AB ＝AF ，AE ＝BC ，∠AGB＝30°∴,AD BC FC AE ∥∥，90B F ∠=∠=︒，30HAG AGB ∴∠=∠=︒，30FHA HAG ∠=∠=︒，2,2AG AB AH AF ∴==，2AB = ，4AG AH ∴==，,AG HC AH GC ∥∥ ，∴四边形AGCH 是平行四边形，AG AH =，∴四边形AGCH 是菱形．∴四边形AGCH 周长为16．故选D ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形AGCH 是菱形是解题的关键．7. 某公司今年10月份的营业额为2000万元，按计划第四季度的总营业额要达到9500万元，若设该公司11、12两个月营业额的月平均增长率为x ，那么下列方程正确的是( )A. ()2200019500x += B. ()2000129500x +=C. ()()20001129500x x ++= D.()()2200020001200019500x x ++++=【答案】D 【解析】【分析】用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9500万元，即可列方程．【详解】设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x.根据题意得()()2200020001200019500x x ++++=．或()()2200011950[10]x x ++++= ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a ，变化后的量为b,平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.8. 如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，其中点A ，B ，O 均在格点上，则sin AOB ∠的值为（ ）A. 12B. 1【答案】C【解析】【分析】连接AB ，先根据网格特点和勾股定理求得OAB 的三边长，再判断OAB 的形状，然后利用正弦定义求解即可．【详解】解：连接AB ，由图知，AB ==OB ===OA ==，则222AB OA OB +=，∴OAB 是直角三角形，且90OAB ∠=︒，∴sin AB AOB OB ∠===故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理及其逆定理，熟练掌握直角三角形的判定和边角关系是解答的关键．9. 已知反比例函数21k y x+=的图像上有三点()12,A y -，()21,B y -，()31,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A 123y y y << B. 213y y y <<C. 321y y y << D. 231y y y <<【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的性质判断出函数图像所在的象限以及每一个象限内的增减性即可求解即可．【详解】解：∵210k +>，∴此反比例函数图像在第一、三象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，∵()12,A y -，()21,B y -，()31,C y 在此反比例函数的图像上，且2101-<-<<，∴2130y y y <<<，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟知反比例函数的增减性是解答的关键．10. 如图，已知点E ，点F 为正方形ABCD 内两点，C ，E ，F 三点共线且满足90BEC CFD ∠=∠=︒，连接DE 并延长交BC 于点G ，若EG 平分BEC ∠，AB =，则DE 的长为（ ）A. 1C. 2D. 【答案】B【解析】.的【分析】先证明(AAS)BCE CDF ≌ ，得CE DF =，再证明DEF 为等腰直角三角形，设EF DF CE x ===，在Rt CDF △中由勾股定理列出方程求得x ，进而由勾股定理求得DE ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒，∵90BEC ∠=︒，∴90CBE BCE BCE DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴CBE DCF ∠=∠，在BCE 和CDF 中，BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)BCE CDF ≌ ，∴CE DF =，∵EG 平分BEC ∠，∴1452DEF CEG BEC ∠=∠=∠︒＝，∴EF DF CE ==，设EF DF CE x ===，∵222CF DF CD +=，∴()2222x x +=，∴1x =，∴DE ==，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，关键在于证明三角形全等．二、填空题：（每小题3分，共18分）11. 如图，在ABO 中，点A 的坐标为()4,5，以原点O 为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到A B O ''△，则点A 的对应点A '的坐标是______．【答案】()8,10【解析】【分析】根据位似变换的性质求解即可．【详解】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内，把这个三角形放大为原来的2倍，得到A B O ''△，点A 的坐标为()4,5，∴点A '的坐标为()42,52⨯⨯，即()8,10，故答案为：()8,10．【点睛】本题考查位似变换的性质，解答的关键是熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．12. 如图，反比例函数()60y x x=->的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为______．【答案】3【解析】【分析】设(),P x y ，则6xy =，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：设(),P x y ，∵点P 在反比例函数()60y x x=->的图象上，∴6xy =-，∵PA x ⊥轴，∴116322PAB S xy ==⨯= ．故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k 是解题的关键．13. 平面直角坐标系内，一点光源位于()0,5A 处，线段CD⊥x 轴，D 为垂足，点C 的坐标为()3,1，则CD 在x 轴上的影长为______．【答案】34【解析】【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：如图，连接AC 并延长，交x 轴与点E ，∵CD x ⊥轴，∴CD//OA，∴ECD EAO △∽△，∴ED CD OE OA=，∵点A （0，5），点C （3，1），∴5OA =，1CD =，3OD =，∴135ED DE OE DE ==+，解得34DE =，即CD 在x 轴上的影长为34．故答案为：34．【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的知识以及相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形的性质求解．14. 如图，数学实践课上，老师布置任务如下：让小明()AB 站在B 点处去观测10m 外的位于D 点处的一棵大树()CD ，所用工具为一个平面镜P 和必要的长度测量工具（点B ，P ，D 在同一条直线上）．已知小明眼睛距地面1.6m ，大树高6.4m ，当小明与平面镜相距______m 时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．【答案】2【解析】【分析】根据平面镜的反射原理：入射角等于入射角证明ABP CDP ∽△△，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：由题意，得AB BD ⊥，CD PD ⊥，APB CPD ∠=∠，∴ABP CDP ∽△△，∴AB BP CD DP=，∵ 1.6m AB =， 6.4m CD =，10m BD =，∴1.66.410BP BP=-，解得2m BP =，故小明与平面镜相距2m 时，恰好能从平面镜里观测到大树的顶端．故答案为：2．【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，掌握平面镜得原理，会利用相似三角形的性质解决实际问题是解答的关键．15. 如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x ＝1，以下4个结论：①<0abc ；②24b ac >；③()a b m am b +<+，其中1m ≠；④420a b c ++>．其中正确结论的有______．（填序号）【答案】①②④【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，分别观察2x =，=1x -，1x =时的函数值，进而对所得结论进行判断即可．【详解】解：①由图象可知：a<0，0c >，∵02b a->，∴0b >，∴<0abc ，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，∴24b ac >，结论②正确；③当1x =时，y 的值最大．此时，y a b c =++，而当x m =时，2y am bm c =++，其中1m ≠，所以2a b c am bm c ++>++，故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故③错误．④由对称知，当2x =时，函数值大于0，即420y a b c =++>，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．16. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且3AD =，4BE =，连接AE ，BD ，交于点F ，10BD =，cos AFD ∠=，则AE 的长为______．【答案】【解析】【分析】过点A 作AG BE ∥，BG AE ∥交于点G ，连接DG ，勾股定理求得DG ，过点D 作DH BG ⊥，证明,G H 重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作AG BE ∥，BG AE ∥交于点G ，连接DG ，则四边形AGBE 是平行四边形，∴4AG BE ==，∵90C ∠=︒，则BC AC⊥∴AG AC⊥∴ADG △是直角三角形，∴5DG =∵cos AFD ∠=∴30AFD ∠=︒∵AE BG∥∴30DBG ∠=︒∵5,10DG DB ==过点D 作DH BG ⊥，∵1sin 2DBG ∠=∴152DH DB ==∴,G H 重合，∴AE BG BH ===故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17.2452cos 603tan 30tan 45︒+︒-︒+︒．【答案】2【解析】【分析】利用特殊三角函数值计算即可．2452cos 603tan 30tan 45︒+︒-︒+︒212312=⨯-⨯+1111=+-+2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值并正确求解是解答的关键．18. 某剧场设置了三个入口A ，B ，C ．甲，乙两人可以随机选择一个入口入场，用画树状图或列表法求甲、乙两人选择不同入口的概率．【答案】23【解析】【分析】画出树状图，得到所有等可能的3，再找出甲、乙两人选择不同入口的结果数，利用概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：,由图可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择不同入口的有6种结果，∴甲、乙两人选择不同入口的概率为6293=．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．19. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，DE AC ∥，CE BD ∥，连接OE ，交CD 于点F ．（1）求证：四边形DOCE 是矩形；（2）若2EF =，120ABC ∠=︒，直接写出菱形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）先证明四边形DOCE 为平行四边形，再根据菱形的性质得到90DOC ∠=︒，然后根据矩形的判定可证得结论；（2）根据矩形的对角线相等求得2CD =，再根据菱形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵DE AC ∥，CE BD ∥，∴四边形DOCE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，即90DOC ∠=︒，∴四边形DOCE 是矩形；【小问2详解】解：∵四边形DOCE 是矩形，2EF =，∴24CD OE EF ===，∵四边形ABCD 是菱形，∴2BD OB =，2AC OC =，AC BD ⊥，4AB BC CD ===，∴1602CBO ABC ∠=∠=︒，则9030BCO CBO ∠=︒-∠=︒，∴122OB BC ==，OC ==，∴2AC OC ==，24BD OB ==，∴四边形ABCD 的面积为11422BD AC ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30︒的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．四、（每小题8分，共16分）20. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为5元的小商品进行直播销售，如果按每件8元销售，平均每天可卖出200件，通过市场调查发现，售价每上涨1元，销售数量就减少10件，规定销售数量不得低于100件，那么每件售价定为多少元时，平均每天能获得900元的利润？【答案】每件售价定为10元时，平均每天能获得900元的利润．【解析】【分析】设定价为x 元时平均每天能获得900元的利润，根据题意表示出数量与单价之间关系，由利润900元列方程求解即可得到答案；【详解】解：设定价为x 元时平均每天能获得900元的利润，由题意可得，每天的数量为：()()20010828010x x --=-件，则有：()()528010900x x --=，解得：110x =，223x =，当110x =，28010180x -=，符合题意，当223x =，2801050100x -=<，不符合题意，舍去，答：每件售价定为10元时，平均每天能获得900元的利润．【点睛】本题考查一元二次方程解决销售利润问题，解题的关键是根据题意表示出数量与单价之间的关系式及找到等量关系式．21. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所形成的锐角α∠一般要满足4560α︒≤∠≤︒，现有一个梯子长6m ．（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果保留根号）（2）填空：当梯子底端距离墙面时，梯子与地面所成的锐角α的度数是______°，这时人______安全使用这个梯子（填“能”或“不能”）．【答案】（1）使用这个梯子最高可以安全攀上高的墙（2）45，能【解析】【分析】（1）若使BC 最大还要安全，只需α∠最大，即60α∠=︒，利用正弦函数定义求解即可；（2）利用余弦函数定义和特殊角的三角函数值求得α∠的度数，再判断这个角度是否在安全使用范围内即可．【小问1详解】解：根据题意，当60α∠=︒时，使用这个梯子可以安全攀登到最高，在Rt ABC 中，60si n si n BC ABα∠=︒=，6m AB =，∴sin 606BC AB =⋅︒==，答：使用这个梯子最高可以安全攀上高的墙；【小问2详解】解：在Rt ABC 中，AC =，6m AB =，∴cos AC AB α∠===，∴45α∠=︒，在4560α︒≤∠≤︒安全范围内，故梯子与地面所成的锐角α的度数是45︒，这时人能安全使用这个梯子.故答案为：45，能．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数求解是解答的关键．五、（本题10分）22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y kx b =+的图像与反比例函数2m y x=的图像交于点()1,2A -和(),1B a ．（1）求一次函数1y kx b =+和反比例函数2m y x=的表达式；（2）观察图像，直接写出当12y y >时，x 的取值范围；（3）过点B 作直线BC ，交第四象限的反比例函数图像于点C ，当线段BC 被x 轴分成1:2两部分时，直接写出BC 与x 轴所交锐角的正切值．【答案】（1）13y x =+，22y x =-（2）2<<1x --或0x >（3）BC 与x 轴所交锐角的正切值为1或14．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可；（2）根据图像，只需求得一次函数图像位于反比例函数图像上方的点的横坐标取值范围即可求解；（3）设直线AB 交x 轴于H ，设2,C m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0H t ，过B 作BE x ⊥轴于E ，过C 作CF x ⊥轴于F ，易得BEH CFH △∽△，分两种情况：当12BH HC =时或当21BH HC =时，利用相似三角形的性质可得BE EH BH CF HF HC==，列出方程，进而求得m 、t ，利用正切定义求解即可．【小问1详解】解：根据题意，将点()1,2A -代入2m y x =中，得()122m =-⨯=-，∴反比例函数的表达式为22y x =-；将(),1B a 代入22y x=-中，得2a =-，则()2,1B -，将()1,2A -、()2,1B -代入1y kx b =+中，得221k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的表达式为13y x =+；【小问2详解】解：根据图像，当2<<1x --或0x >时，12y y >；【小问3详解】解：设直线AB 交x 轴于H ，设2,C m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),0H t ，0m >，过B 作BE x ⊥轴于E ，过C 作CF x ⊥轴于F ，则1BE =，2EH t =+，2CF m=，HF m t =-，BE CF ∥，∴BEH CFH △∽△，当12BH HC =时，则12BE EH CF HF ===，即12122t m t m+==-，解得1m =，1t =-，经经验1m =，1t =-，是原方程的根，∴121EH =-+=，∴tan 1BE BHE EH∠==．即BC 与x 轴所交锐角的正切值为1．当21BH HC =时，则21BE EH BH CF HF HC ===，即12221t m t m+==-，解得4m =，2t =，经经验4m =，2t =，是原方程的根，∴4EH =，∴1tan 4BE BHE EH ∠==．即BC 与x 轴所交锐角的正切值为14．综上：BC 与x 轴所交锐角的正切值为1或14．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像交点问题，涉及待定系数法求函数表达式、函数与不等式的关系、相似三角形的判定及性质、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．六、（本题10分）23. 如图，为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，且不超过墙的长度，另三边用总长为40米的栅栏围住，设AB 边长为x 米，绿化带的面积为2y 米．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）当AB 边的长度为多少米时，绿化带的面积最大？最大面积是多少米2？【答案】（1）()22401120y x x x =-+≤<；（2）当AB 边的长度为11米时，绿化带的面积最大，是198米2．【解析】【分析】（1）设AB 边长为x 米，则CD AB x ==米，()402BC x =-米，利用矩形面积公式即可得到y 与x 之间的函数关系式，又因为墙长18米，得到018BC <≤，求解即可得到自变量x 的取值范围；（2）将二次函数化为顶点式()2210200y x =--+，根据二次函数性质可知，图象开口向下，当10x >时，y 随x 的增大而增大，根据自变量x 的取值范围得到当11x =时有最大值，代入即可求出最大值．【小问1详解】解： 四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，设AB 边长为x 米，则CD AB x ==米，()402BC x =-米，()2402240y x x x x ∴=-=-+，墙长18米，040218x ∴<-≤，1120x ∴≤<，即自变量x 的取值范围为1120x ≤<，y ∴与x 之间的函数关系式为()22401120y x x x =-+≤<；【小问2详解】解：()22240210200y x x x =-+=--+Q ，20-< ，∴函数图象开口向下，10x >时，y 随x 的增大而增大，1120x ≤<Q ，∴当11x =时，y 有最大值，最大值为198，即当AB 边的长度为11198米2．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．七、（本题12分）24. 如图，在矩形ABCD 中，AD =，在Rt CEF △中（点C ，E ，F 按顺时针方向排列），90ECF ∠=︒，tan EFC ∠=CEF △绕点C 旋转，连接BE 和DF ，所在直线交于点G ．（1）如图1，①填空：BCE ∠与DCF ∠的大小关系是______；②求证：BG DF ⊥；（2）如图2，过点A 作AH BG ⊥于点H ，请直接写出H G 与AH 的数量关系；（3）如图3，连接AG ，AB =，CF =，当AG 最小时，直接写出BE 的长．【答案】（1）①BCE DCF ∠=∠，②见解析；（2）HG =；（3）BE =．【解析】【分析】（1）①由BCD ECD ECF ECD ∠-∠=∠-∠可得到；②由已知可得EC BC FC DC=，结合①易证BCE DCF ，得到CBE CDF ∠=∠，可证明90BGD ∠=︒即可解决；（2）如图，过H 作HN AD ∥交DF 的延长线于N ，易证AHND 是平行四边形，得到HNG HAD ∠=∠，AD HN =再证HNG ABH 即可；（3）如图，过点A 作AH BG ⊥于点H ，由（2）可求得AG =，AG 最小，即AH 最小， 即ABH ∠最小， 即CBE ∠最大，当CE BG ⊥时CBE ∠最大，运用勾股定理即可求解．【小问1详解】解：①90BCD ECF ∠=∠=︒ ，BCD ECD ECF ECD ∠-∠=∠-∠，BCE DCF ∴∠=∠，故答案为：BCE DCF ∠=∠；②证明：tan EC EFC CF∠== 在BCE 与DCF 中，BC AD CD AB==EC CF=EC BC FC DC∴=，BCE DCF ∠=∠，BCE DCF ∴ ，CBE CDF ∴∠=∠，CMB DMG ∠=∠ ，90CBE CMB CDF CMB ∴∠+∠=∠+∠=︒90BGD ∴∠=︒，BG DF ∴⊥；【小问2详解】如图，过H 作HN AD ∥交DF 的延长线于N ，AH BG ⊥ ，BG DF ⊥，90AHB HGN ∴∠=∠=︒，AH DN ∥，AHND ∴是平行四边形，HNG HAD ∴∠=∠，AD HN =，90BAH HAD BAH ABH ∠+∠=∠+∠=︒ ，HAD ABH ∴∠=∠，HNG ABH ∴∠=∠，HNG ABH ∴ ，HG HN AD AH AB AB∴===HG ∴=；【小问3详解】如图，过点A 作AH BG ⊥于点H ，AB = ，CF =AD BC ∴===，3CE ==，由（2）可知HG =，AG ==，AG 最小，即AH 最小，sin AH ABH AB=∠ ，sin AH AB ABH ABH ∴=∠=∠ ，即ABH ∠最小，90ABH CBE ∠=︒-∠ ，即CBE ∠最大，当CE BG ⊥时CBE ∠最大，此时BE ===，故答案为：BE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形；解题的关键是证明三角形的相似，并灵活运用性质求解．八、（本题12分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x c =-+与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(C ，P 是抛物线上一动点（不与点C 重合），过点P 作PD y ∥轴，交过点C 与x 轴平行的直线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）当CDP △为等腰直角三角形时，求点D 的坐标；（3）将CDP △绕点C 顺时针旋转45︒，得到CD P ''△（点D 和P 分别对应点D ¢和P '），若点P '恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P 的坐标．【答案】（1）22y x x =-+；（2）(D 或(D ；（3）(1,3P --+或(3,3P -+．【解析】【分析】（1）由抛物线与y 轴交于点(C ，求出c 的值，即可得到解析式；（2）设(),P x y ，则(D x ，由（1）可知(2,2P x x x -++，得到CD x =，2222PD x x x =-++，由题意可知90CDP ∠=︒故CDP △为等腰直角三角形时，有PD CD =即22x x x -+=，当22x x x -+=或22x x x -+=-时，分别求解方程即可；（3）当P 在y 轴右侧时，如图，点P '恰好落在y 轴上时，45PCP ∠='︒，易证PD CD =，可知(D ，当3x =时可求得(2,3P -+；当P 在y 轴左侧时，如图，点P '恰好落在x 轴上时，易证OC OM ==P D MD '''=，即x x x -=-222解得x代入即可．【小问1详解】解：由题意可知，2y x c =-+与y 轴交于点(C ，c ∴=，故抛物线的解析式为：22y x x =-+；【小问2详解】设(),P x y ，CD x ∥Q 轴，(D x ∴，由（1）可知(2,2P x x x -++，CD x ∴=，2222PD x x x =-+++，PD y 轴，90CDP ∴∠=︒，故CDP △为等腰直角三角形时，PD CD =，即22x x x -+=，22x x x -+=或22x x x -+=-，当22x x x -+=时，即20x x -=，解得：1x =，或0x =（不合题意，舍去），(D ∴，当22x x x -+=-时，即230x x -=，解得：3x =，或0x =（不合题意，舍去），(D ∴，综上所述：(D 或(D ；【小问3详解】如图将CDP △绕点C 顺时针旋转45︒，得到CD P ''△，当P 在y 轴右侧时，如图，若点P '恰好落在y 轴上时，45PCP ∠='︒，45PCD ∴∠=︒，PD CD =，由（2）可知(D ，当3x =时，23233y =-+⨯+=-+即(2,3P -，当P 在y 轴左侧时，如图，若点P '恰好落在x 轴上时，延长D C '交x 轴于点M ，45DCD '∠=︒，90DCO ∠=︒，45OCM ∴∠=︒，45OMC ∠=︒，OC OM ∴==，P D MD '''=，2CM ∴=，由（2）可知，CD CD x '==-，222x x x ∴-=-，解得：=1x -或2x =（不合题意，舍去），当=1x -时，()()21213y =--+⨯-=-加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝33．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．15．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5187．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝98．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝5079．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k＝6，∴反比例解析式为y＝，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率不同，错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.482，错误；故选：A．【点评】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C ＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．【点评】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2＝507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AD＝BC＝8，∵OM∥AB∴OM∥CD∴，且AO＝AC，OM＝3∴CD＝6，在Rt△ADC中，AC＝＝10∵点O是斜边AC上的中点，∴BO＝AC＝5故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号，即可解答．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为：k＞2．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，∴m2﹣2m＝0且m≠0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2+4．【分析】先把y＝x2﹣2x+3配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，此抛物线的顶点坐标为（1，2），把点（1，2）向上平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4．故答案为：y＝（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，由题意知DE∥BC且DE＝BC，从而△ADE得＝（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，△ADE∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，则＝（）2，即＝，解得：x＝9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△AOD中，AD＝1，OD＝2，则tan∠AOB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+6x+24＝0，△＝62﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】解：原式＝×+4×﹣（）2+1＝+2﹣+1＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．【分析】列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【解答】解：画出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y＝，可求出k 的值；（Ⅱ）先分别求出x＝1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，∴，即可得：k＝x A•y A＝﹣8，令x＝2，得：m＝4；（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，令x＝1，得：y＝﹣8；令x＝4，得：y＝﹣2，所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）先根据勾股定理计算BP，再求t的值．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理是解题的关键．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）【分析】（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN＝xm．想办法构建方程即可解决问题．（2）求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．【解答】解：（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN ＝xm．在Rt△PCM中，PM＝x•tan32.3°＝0.63x（m），在Rt△PDN中，PN＝x•tan55.7°＝1.47x（m），∵CD＝MN＝42m，∴1.47x﹣0.63x＝42，∴x＝50，∴AB的长为50m．（2）由（1）可知：PM＝31.5m，∴AD＝90﹣42﹣31.5＝16.5（m），AC＝90﹣31.5＝58.5，∵16.5÷3＝5.5，58.5÷3＝19.5，∴冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．六、（本题10分）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？【分析】（1）根据题意，设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，所以商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，即y＝（40﹣x）（20+2x）；（2）用“配方法”求出y的最大值，并求出每件衬衫的降价钱数．【解答】解：（1）设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800；（2）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x+225）+800+450＝﹣2（x﹣15）2+1250所以当x＝15时，y的最大值为1250，答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，是1250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出每件衬衫的利润以及销量是解题关键．七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4﹣x，＝•x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+2，∴S△BMN∵﹣＜0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．∴EG＝m+m＝（1+）m，∵S＝•EG•BN＝•BG•EH，△BEG∴EH＝＝m，在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式，然后把解析式（2）把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），利用题意得到|x2﹣3x|＝1，然后•解绝对值方程即可；（4）若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图，证明∠DBH＝∠MBG，再计算出tan∠MBG＝＝tan∠DBH＝，则BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），所以t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，然后解t的方程得到此时D点的横坐标．若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，则GB′＝1，所以G（2，4），接着求出直线BG的解析式为y＝x+3，然后解方程组得D点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把B（0，3）代入得a•（0﹣3）•（0+1）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），即y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）∵DE＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|x2﹣3x|∴|x2﹣3x|＝1，解方程x2﹣3x＝1得x1＝，x2＝；解方程x2﹣3x＝﹣1得x1＝，x2＝，∴D点的横坐标为或或或；（4）存在．抛物线的对称轴为直线x＝1，则M（1，0），若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图2，∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，AB＝3，∴∠HBA＝45°，∴∠DBH＝∠MBG，在Rt△AMG中，AG＝MG＝AM＝，∴BG＝2，在Rt△MBG中，tan∠MBG＝＝＝，在Rt△DBH中，tan∠DBH＝＝，∴BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），∴t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，整理得2t2﹣5t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D点坐标为（，），若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，∴tan∠GBB′＝＝，∴GB′＝1，∴G（2，4），易得直线BG的解析式为y＝x+3，解方程组得或，∴D点坐标为（，），综上所述，D点的横坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2018-2019学年上学期期末考试九年级数学试题(含答案)2018-201年第一学期期末考试九年级数学注意事项:1.答卷前，考生务必在答题卡第1、3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考号、姓名，再用2B铅笔把对应的卡号的标号涂黑。
2.选择题和判断题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，不能答在试卷上。
3.填空题和解答题都不要抄题，必须用黑色字迹的钢笔和签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答案必须写在答题卡，题目指定区域内的相应位置上改动，原来的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4.考生可以使用计算器，必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分选择题(共30分)一、选择题(本题有十个小题，每小题三分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
)1.下列图形是中心对称而不是轴对称的图形是( )。
2.下列事件是必然事件的是()。
A.抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B.打开电视频道，正在播放《今日在线》C.射击运动员射击一次，命中十环D.方程x²-x=0必有实数根3.对于二次函数y=(x-1)²+2的图像，下列说法正确的是()。
A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是(1，2)D.与x轴有两个交点4.若函数的图像y=x经过点(2，3)，则该函数的图像一定不经过()。
A.(1，6)B.(-1，6)C.(2，-3)D.(3，-2)5.Rt ABC中，∠C=90º，AC=8cm，BC=6cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是( )。
A.相切B.相交C.相离D.无法确定6.下列一元二次方程中，两个实数根之和为1的是()。
A.x²+x+2=0B.x²+x-2=0C.x²-x+2=0D.x²-x-2=07.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式()。
2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.若，则的值为（）A. B. C. D.2.如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A.B.C.D.3.若反比例函数y=-的图象上有三个点（-1，y1），（-，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A. B. C. D.4.如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD=16，则DE的长为（）A. 3B. 6C.D. 105.下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击中9环的概率约是（）6.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A. B. C. D.7.下列命题正确的是（）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8.2A. 图象开口向下B. 抛物线的对称轴是直线C. D. 当时，9.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为（）A. B. 10cm C. 20cm D. 12cm10.如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：cos230°+|1-|-2sin45°+（π-3.14）0=______．12.如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为______m．13.在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为______．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，4），B（-4，-2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是______．15.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．16.在矩形ABCD中，AB=9，tan∠ADB=，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解方程：（x-3）2=7x-21．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）18.节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是______．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．19.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD=30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是茭形；（2）填空：若AC=8，则线段CF的长为______．20.我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）21.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1=-2x的图象与反比例函数y2=的图象交于A（-1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．23.一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为______．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入=租出收入-租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．24.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF=45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC______∠ACG；（填“＞”或“＜”或“=”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE=m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．25.如图，直线y=x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为______，抛物线的解析式为______；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以b=，把b=代入则=，故选：B．根据比例的性质解答即可．此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答．2.【答案】C【解析】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．俯视图是从上面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．3.【答案】C【解析】解：∵y=-中k=-3＜0，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y=-的图象上有三个点（-1，y1），（-，y2），（，y3），∴点（-1，y1）和（-，y2）在第二象限，点（，y3）在第四象限，-1＜-，∴0＜y1＜y2，y3＜0，即y3＜y1＜y2，故选：C．根据反比例函数的图象和性质比较即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE=CE：ED=3：5，∵CD=16．CE+ED=CD，∴DE=，故选：D．根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，即可求得△CBE∽△AED，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质．注意数形结合思想的应用．5.【答案】C【解析】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.7附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.7，故选：C．根据大量的试验结果稳定在0.7左右即可得出结论．本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：D．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．7.【答案】A【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：A．根据平行四边形的判定方法可得A说法正确；根据菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得B说法错误；根据对角线相等且平分的四边形是矩形可得C说法错误；根据正方形的判定方法：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可得D说法错误．此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法．8.【答案】D【解析】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x==2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】B【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10（cm），故选：B．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS推出BC=CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC=2，∴S△ABC=BC×4=4，∵AB==4，∴CD==，∵AC==2，∴sinA===，故选：A．根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数的定义，构造∠A所在的直角三角形是解题的关键．11.【答案】【解析】解：原式=（）2+-1-2×+1=+-1-+1=．故答案为：．直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.【答案】4【解析】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴=，即=，∴CB=6，∴BD=BC-CD=6-2=4（m）．故答案为4．利用中心投影的性质可判断△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质求出BC的长，然后计算BC-CD即可．本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．13.【答案】【解析】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率==．故答案为．画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．14.【答案】（-1，2）或（1，-2）【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即点A′的坐标为：（-1，2）或（1，-2）．故答案为：（-1，2）或（1，-2）．利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把A点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点A′的坐标．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15.【答案】k≤5且k≠1解：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．根据一元二次方程有实数根可得k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解之即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键．16.【答案】或105【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=9，tan∠ADB=，∴AD=12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB=，∴设DH=4x，FH=3x，∴DF=5x，∵∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，∴∠ABE=∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF（AAS），∴AE=HF=3x，EH=AB=9，∴AE+DH=AD-EH=3x+4x=12-9=3，∴x=，∴DF=5x=；如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AB=9，tan∠ADB=，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB=，∴设DH=4x，FH=3x，∴DF=5x，∵∠BEF=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，∴∠ABE=∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF，∴AE=HF=3x，EH=AB=9，∴DH-AE=AD+EH=4x-3x=12+9=21，∴x=21，∴DF=5x=105，综上所述，线段DF的长为或105．故答案为：或105．解直角三角形得到AD=12，过F作FH⊥AD于H，设DH=4x，FH=3x，根据勾股定理得到DF=5x，根据余角的性质得到∠ABE=∠HEF，根据全等三角形的性质得到AE=HF=3x，EH=AB=9，列方程即可得到结论．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．17.【答案】解：∵（x-3）2-7（x-3）=0，∴（x-3）（x-10）=0，则x-3=0或x-10=0，解得：x1=3，x2=10．【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：（1）∵有三位孩子，分别是a，b，c，∴家长A恰好选中孩子的概率是；故答案为：．（2）画树状图如下：∵共有9种等情况数，恰好是同一家庭成员的有3种情况数，∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是=．（1）根据概率公式直接得出答案即可；（2）先画出树状图，得出所有等情况数和恰好是同一家庭成员的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，根据题意画出树状图是解题的关键．19.【答案】2【解析】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OB=BD，OC=AC，∴OB=OC，∴平行四边形OBEC是菱形；（2）∵BE∥AC，∴∠OAF=∠BEF，∵AO=BO=BE，在△AOF与△EBF中，，∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF=BF，∵AC=8，∴BD=8，∴OC=OB=4，∴∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF=OC=2．故答案为：2．（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形OBEC是平行四边形，根据矩形的性质得到AC=BD，OB=BD，OC=AC，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠OAF=∠BEF，根据全等三角形的性质得到OF=BF，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到CF⊥OB，解直角三角形即可得到结论．本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题的关键．20.【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1-x）2=12150，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1-0.98）=24300，方案②可优惠：250×100=25000，25000-24300=700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【解析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．21.【答案】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE==，∴∠FHE=45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM=AB，HN=EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=，∴AB=BC tan60°=1×=，∴GM=AB=，在Rt△ANH中，∠FAN=∠FHE=45°，∴HN=AH sin45°=×=，∴EM=EG+GM=+，答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．【解析】（1）由cos∠FHE==可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM=AB，HN=EG，Rt△ABC中，求得AB=BCtan60°=；Rt△ANH中，求得HN=AHsin45°=；根据EM=EG+GM可得答案．本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．22.【答案】解：（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得n=2，∴A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得k=-2，∴反比例函数的表达式为y=-，∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，-2）．（2）∵A（-1，2），∴y≤2的取值范围是x＜-1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN=S△POB=1，设P（m，-），则（2+）（m-1）=1或（2+）（1-m）=1整理得，m2-m-1=0或m2+m+1=0，解得m=或m=，∴P点的横坐标为．【解析】（1）把A（-1，n）代入y=-2x，可得A（-1，2），把A（-1，2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=-，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；（2）观察函数图象即可求解；=S△POB=1，可得方程（2+）（m-1）=1或（3）设P（m，-），根据S梯形MBPN（2+）（1-m）=1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．23.【答案】y=-x+50【解析】解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y=kx+b，则，解得：，即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y=-x+50；故答案为：y=-x+50；（2）设公司获得的日收益为w，则w=（x-30）（-x+50）=-x2+60x-1500；（3）z=w-12（10-y）=-x2+56x-1020=-（x-84）2+1332（x≥120），∵当x＞84时，z随x的增大而减小，∴当x=120时，z取得最大值，最大值=-（120-84）2+1332=900，答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式；（2）根据租出汽车每天的实际收入=租出收入-租出汽车维护费即可得到结论；（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司月收益，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．24.【答案】=【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=CD=DA=4，∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°，∴AC==4，∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，∴∠AHC=∠ACG．故答案为=．理由：∵∠AHC=∠ACG，∠CAH=∠CAG=135°，∴△AHC∽△ACG，=，∴AC2=AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH=•AH•AG=AC2=×（4）2=16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC=GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG=BC=4，AH=BG=8，∵BC∥AH，∴==，∴AE=AB=．如图2中，当CH=HG时，易证AH=BC=4，∵BC∥AH，∴AE=BE=2．如图3中，当CG=CH时，易证∠ECB=∠DCF=22.5°．在BC上取一点M，使得BM=BE，∴∠BME=∠BEM=45°，∵∠BME=∠MCE+∠MEC，∴∠MCE=∠MEC=22.5°，∴CM=EM，设BM=BE=x，则CM=EM=x，∴x+x=4，∴m=4（-1），∴AE=4-4（-1）=8-4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8-4．（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】（0，-3）y=x2-x-3【解析】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y=x+a，解得：a=-3，则：直线表达式为：y═x-3，令x=0，则：y=-3，则点B坐标为（0，-3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c=-3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b-3=0，解得：b=-，故：抛物线的解析式为：y=x2-x-3，故：答案为：（0，-3），y=x2-x-3；（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，m-3），N（m，m2-m-3），∴PN=m-3-（m2-m-3）=-（m-2）2+3，∵a=-＜0，∴抛物线开口向下，∴当m=2时，PN有最大值是3，②当∠BNP=90°时，点N的纵坐标为-3，把y=-3代入抛物线的表达式得：-3=m2-m-3，解得：m=3或0（舍去m=0），∴m=3；当∠NBP=90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为-1，设：直线BN的表达式为：y=-x+n，把点B的坐标代入上式，解得：n=-3，则：直线BN的表达式为：y=-x-3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m=或0（舍去m=0），当∠BPN=90°时，不合题意舍去，故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；（3）∵OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，tanα=，则：cosα=，sinα=，∵PM∥y轴，∴∠BPN=∠ABO=α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n=m2-m-3，过点N作AB的平行线，则点N所在的直线表达式为：y=x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y=x+（n-m），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2-12x-12+3m-4n=0，△=144-3×4×（0=-12+3m-4n）=0，将n=m2-m-3代入上式并整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2，则点N的坐标为（2，-），则：点P坐标为（2，-），则：PN=3，∵OB=3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y=x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2-4x-4=0，解得：x=2±2，则点N′、N″的横坐标分别为2，2-2，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h=NH=NPsinα=，作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′=α，ON′==（2+2），=BP•h=×=6，S四边形OBPN=S△OP′N′+S△OBP′=6+6，则：S四边形OBP′N′″=6-6，同理：S四边形OBN″P故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6-6．（1）把点A坐标代入直线表达式y=x+a，求出a=-3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①设：点P（m，m-3），N（m，m2-m-3）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况，求解即可；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N的位置是本题的难点，核心是通过△=0，确定图中N点的坐标．。
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．08．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．24．（12分）在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5，则sin A＝＝．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．【解答】解：∵a＝＞0，∴抛物线开口向上，所以①正确；∵y＝（x﹣）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．0【分析】由小颖周末到公园走到十字路口处，则可知共有3条路供选择，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小颖周末到公园走到十字路口处，∴她能一次选对路的概率是：．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，难度一般．9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为3：5．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：25，∴两个相似三角形的相似比是3：5，∴对应边上的中线的比为3：5，故答案为：3：5．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是10cm．【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面BC的坡比以及铅直高度AC的值，通过解直角三角形即可求出斜面BC的长．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tan B＝1：；∴AB＝AC÷tan B＝5m，∴BC＝＝5＝10m．答：坡面BC的长度是10m，故答案为：10cm．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是根据已知条件求出AB．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a＝3，解得：a＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长．【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣2，4），设y＝a（x+4）（x﹣4），把D（﹣2，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4），得4＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．【分析】先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．【解答】解：∵把x＝2分别代入、，得y＝1、y＝﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB＝1﹣（﹣）＝．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线x＝2的距离为2，∴△PAB的面积＝AB×2＝AB＝．故答案是：．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为2﹣或2+或．【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P 在线段AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，求出EM的长，并证明△PEM是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，推出△BCE为等边三角形，证明△PME是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，证△ABE为等边三角形，求出∠ABP＝30°，即可求出AP的长．【解答】解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×﹣6×﹣×＝﹣2﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）【分析】画出树状图即可解决问题．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长16．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，等量代换得到AD＝CE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，∵sin∠CAD＝，∴CD＝AC＝4，∴AD＝＝3，∴平行四边形ACED的周长＝2×（3+5）＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．【解答】（1）证明：∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△AED∽△BCE．（2）∵△AED∽△BCE，∴＝，∵AE＝EB，∴AE2＝AD•BC＝36，∴AE＝EB＝6，∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，∴CD＝＝＝15．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．【分析】过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB ＝90，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝90，∴AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝30km，∴AC＝AE+CE＝90+30，∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．五、（本题10分）22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【分析】（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x ≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝6，b＝5；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（1，6）代入y＝可求出k的值；（2）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△OBC与△OBA的面积比为2：3，可推出＝，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出CM＝4，即为点C的纵坐标，把y＝4代入y＝x+5中，可求出点C坐标；（3）过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，由旋转可知S△OBC ＝S△OB'C′，可求出B'F＝，在Rt△OB'F中，通过勾股定理求出OF的长度，即可写出点B'的坐标，将其坐标代入y＝可知没有落在函数y＝（x＞0）的图象上．【解答】解：（1）将A（1，6）代入y＝x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝6，故答案为：6，5；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵△OBC与△OBA的面积比为2：3，∴＝，又∵点A的坐标为（1，6），∴AN＝6，∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，把y＝4代入y＝x+5中，得，x＝﹣1，∴C（﹣1，4）；（3）由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，如图2，过点B '作B 'F ⊥x 轴，垂足为F ，∵S △OBC ＝S △OB 'C ′，由一次函数y ＝x +5可知B （﹣5，0），∴OB •CE ＝OC '•B 'F ，即5×4＝B 'F ， ∴B 'F ＝，在Rt △OB 'F 中，∵OF ＝＝＝，∴B '的坐标为（，）， ∵×≠6， ∴点B '不在函数y ＝的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．七、（本题12分）24．（12分）在正方形ABCD 中，点E 是直线AB 上动点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．【分析】（1）①由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；②过点N作NP∥DE，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质分别求出GM＝3MF，PN＝MF，即可求解；（2）利用勾股定理可求DE，GN的长，即可求解．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝【点评】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．【分析】（1）根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C （0，2）代入可得：a＝﹣，即可求解；（2）只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA△∽AOC，可得方程，解方程可得P的横坐标；（3）如图1，先确定△PCB的面积最大时，PD最大，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；（4）由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2）代入得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设P（x，﹣x2+x+2），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，此时，即＝，3x2﹣2x﹣16＝0，（x+2）（3x﹣8）＝0，x＝﹣2（舍）或，则点P的横坐标为；（3）如图1，△PCB的面积＝，∵OB＝4是定值，∴当PD的值最大时，△PCB的面积最大，∵B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣+2）＝﹣+x＝﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是，此时△PCB的面积＝＝×4＝2；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4，MG＝2，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+KG的最小值为10．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列图形是我们日常生活中经常看到的一些标志，则其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．23．下列事件中是必然事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次B．任意一个六边形的外角和等于720°C．同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同D．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日4．如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4cm，EM＝6cm，则⊙O的半径为（）A．5B．3C．D．45．抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标是（）A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（2，2）D．（﹣2，﹣2）6．已知方程x2+2018x﹣3＝0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2018α的值为（）A．1B．0C．2018D．﹣20187．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB'等于（）A．30°B．25°C．15°D．10°8．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．30°9．已知a、b是等腰三角形的两边，且a、b满足a2+b2+29＝10a+4b，则△ABC的周长为（）A．14B．12C．9或12D．10或1410．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴为直线l，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＞0；③a+c＞0；④a+b＞0，正确的是（）A．①②④B．②④C．①③D．①④二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是．12．抛物线y＝x2的对称轴是直线．13．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．14．小明和他的哥哥、姐姐共3人站成一排，小明与哥哥相邻的概率是．15．圣诞节，小红用一张半径为24cm，圆心角为120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子，则这个圆锥形帽子的高为cm．16．已知关于x的方程x2+x﹣m＝0有实数解，则m的取值范围是．17．某校规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽度的三条小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是．18．已知二次函数y＝ax2+bx﹣2自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表，则在实数范围内能使得y﹣1＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：（7个小题，共78分）19．（8分）解方程（1）x2﹣2x﹣48＝0．（2）2x2﹣4x＝﹣1．20．（10分）将抛物线y1＝2x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到抛物线y2．（1）直接写出平移后的抛物线y2的解析式；（2）求出y2与x轴的交点坐标；（3）当y2＜0时，写出x的取值范围．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（3，4）、B（1，2）、C（5，3）（1）将△ABC平移，使得点A的对应点A1的坐标为（﹣2，4），在如图的坐标系中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1并直接写出A2、B2的坐标；（3）求△A2B2C1的面积．22．（12分）传统节日“元宵节”时，小丽的妈妈为小丽盛了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅，一个汤圆是黑芝麻馅，两个汤圆草莓馅，这4个汤圆除了内部馅料不同外，其他均相同．（1）若小丽随意吃一个汤圆，刚好吃到黑芝麻馅的概率是多少？（2）小丽喜欢草莓馅的汤圆，妈妈在盛了4个汤圆后，又为小丽多盛了2个草莓馅的汤圆，若小丽吃2个汤圆，都是草莓馅的概率是多少？23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，E为BC 的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径．24．（12分）一年一度的“春节”即将到来，某超市购进一批价格为每千克3元的桔子，根据市场预测，该种桔子每千克售价4元时，每天能售出500千克，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10千克，物价部门规定，该种桔子的售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给这种桔子定价，使得超市每天销售这种桔子的利润为800元．25．（12分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2．【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；C、任同时掷两枚质地均匀的骰子，两个骰子的点数相同是随机事件；D、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．【分析】如图，连接OC．设⊙O的半径为r．首先证明EN经过圆心O，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．设⊙O的半径为r．∵CM＝DM＝2cm，EM⊥CD，∵EM经过圆心O，在Rt△COM中，∵OC2＝OM2+CM2，∴r2＝22+（6﹣r）2，∴r＝，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．【分析】已知抛物线的一般式，利用配方法转化为顶点式，直接写成顶点坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝x2﹣4x+4+2＝（x﹣2）2+2，∴抛物线y＝x2﹣4x+6的顶点坐标为（2，2）．故选：C．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．6．【分析】由根与系数的关系得到α+β＝﹣2018，将其代入整理后的代数式求值．【解答】解：依题意得：αβ＝﹣3，α+β＝﹣2018，α2+2018α﹣3＝0，所以α2+αβ+2018α＝α（α+β）+2018α＝﹣2018α+2018α＝0．故选：B．【点评】考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，解题的巧妙之处在于将所求的代数式转化为α（α+β）+2018α的形式，然后代入求值．7．【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝70°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′＝40°，所以∠BAB′＝40°，然后计算∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′即可．【解答】解：∵C′C∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，∴AC＝AC′，∠CAC′＝∠BAB′，∴∠ACC′＝∠AC′C＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAB′＝40°，∴∠CAB′＝∠CAB﹣∠BAB′＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．8．【分析】在四边形OBCD中，利用四边形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°，∠BOD＝2∠A＝160°，∴∠ODC＝360°﹣160°﹣60°﹣100°＝40°，故选：A．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．【分析】利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．【解答】解：a2+b2+29＝10a+4b，a2﹣10a+25+b2﹣4b+4＝0，（a﹣5）2+（b﹣2）2＝0，a﹣5＝0，b﹣2＝0，解得，a＝5，b＝2，∵2、2、5不能组成三角形，∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12，故选：B．【点评】本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．10．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线的对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．所以abc＞0．故正确；②如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故错误；③由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以a+a+c+c＜0．所以2a+2c＜0．所以a+c＜0．故错误；④由图可知，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以4a+2b+b﹣a＞0，所以3a+3b＞0．所以a+b＞0．故正确．故选：D．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．二、填空题（8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．【解答】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．12．【分析】直接利用y＝ax2图象的性质得出其对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2的对称轴是直线y轴或（x＝0）．故答案为：y轴或（x＝0）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．13．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1，故答案为：1或2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．14．【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：设小明为A，哥哥为B，姐姐为C，则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），∴他的哥哥相邻的概率是＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是16π，列出方程求解即可求得半径，然后利用勾股定理求得高即可．【解答】解：半径为24cm、圆心角为120°的扇形弧长是：＝16π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝16π，解得：r＝8cm．所以帽子的高为＝16故答案为：16．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．【分析】方程有解时△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．【解答】解：依题意得：△＝12﹣4×1×（﹣m）≥0．解得m≥﹣．故答案是：m≥﹣．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17．【分析】设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合草坪部分的总面积为112m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设小路的宽为xm，则草坪部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（9﹣2x）m的矩形，依题意，得：（16﹣x）（9﹣2x）＝112．整理，得：2x2﹣41x+32＝0．故答案为：2x2﹣41x+32＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y＝1的自变量x 的值即可．【解答】解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∵x＝﹣1时，y＝1，∴x＝3时，y＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y﹣1＞0成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3，故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．三、解答题：（7个小题，共78分）19．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可；（2）直接利用配方法将原式变形，进而解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣48＝0（x+6）（x﹣8）＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝8；（2）2x2﹣4x＝﹣1（x2﹣2x）＝﹣（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题主要考查了十字相乘法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键．20．【分析】（1）利用点平移规律写出平移后的顶点坐标为（3，﹣2），然后利用顶点式写出抛物线y2的解析式；（2）通过解方程2（x﹣3）2﹣2＝0得y2与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）平移后的抛物线y2的解析式为y2＝2（x﹣3）2﹣2；（2）当y2＝0时，2（x﹣3）2﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝4，所以y2与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）；（3）当2＜x＜4时，y2＜0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）由点A及其对应点A1的位置得出平移方向和距离，再将点B和点C分别按此方式平移得出其对应点，继而首尾顺次连接即可得；（2）由旋转的性质作出变换后的对应点，再首尾顺次连接即可得；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，其中A2的坐标为（﹣1，1）、B2的坐标为（1，﹣1）；（3）△A2B2C1的面积为2×4﹣×2×2﹣×1×2﹣×1×4＝3．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）所有等可能结果中，满足吃一个汤圆，吃到黑芝麻馅的结果只有1种，∴吃到黑芝麻馅的概率为；（2）列表如下：由表知，共有30种等可能结果，2个都是草莓馅的结果有12种，所以都是草莓馅的概率是．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE＝∠DCE，由∠ODC＝∠OCD且∠OCD+∠DCE＝90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2可得r＝3，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OD、CD，∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ACB＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF＝90°，∴OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】本题主要考查切线的判定与圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握切线的判定与圆周角定理是解题的关键．24．【分析】设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的200%即可确定x的值，此题得解．【解答】解：设每千克桔子的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（500﹣10×）千克桔子，依题意，得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，整理，得：x2﹣12x+35＝0，解得：x1＝5，x2＝7．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x＝5．答：每千克桔子的定价为5元时，每天的利润为800元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）【点评】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．。
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜45．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）6．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2＝18．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣89．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm10．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝9两根的积为．12．（3分）若＝，则＝．13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是．14．（3分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为．15．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．（8分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，请直接写出EF的长为．20．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．21．（8分）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱AC的高为12米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为21米，从D，E两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），点A1是否在反比例函数y＝的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．23．（10分）某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x（x＞5）元，该店日销售利润为y元．（日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围．（2）该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α≤180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．25．（12分）如图①，抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式．（2）如图②，当m＝2时，连接AC，过点A做AD⊥AC交抛物线C2于点D，连接CD．①求抛物线C2的解析式．②直接写出点D的坐标为．（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出此时m的值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cos A的值是（）A．B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出斜边长，再根据锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A进行计算即可，【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，∴cos A＝，故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义．2．如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．2＜a＜3D．3＜a＜4【分析】由tan45°＝1，tan60°＝且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，知tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，从而得出答案．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，则1＜a＜2，故选：B．【点评】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握特殊锐角的三角函数值及tanα随∠α的增大而增大．5．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（）A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB＝2（﹣1）cm，则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，故选：A．【点评】本题考查的是黄金分割，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．6．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）【分析】由抛物线的解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝2（x+3）2+5，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2＝1【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．【解答】解：A、a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，b2﹣4ac＝4+12＝16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；B、a＝1，b＝﹣1，c＝1，b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，没有实数根，故此选项正确；C、a＝1，b＝2，c＝1，b2﹣4ac＝4﹣4＝0，有两个相等的实数根，故此选项错误；D、a＝1，b＝0，c＝﹣1，b2﹣4ac＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．8．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣8【分析】由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．【解答】解：由x2+x﹣1＝0得x2+x＝1，∴x3+2x2﹣7＝x3+x2+x2﹣7，＝x（x2+x）+x2﹣7，＝x+x2﹣7，＝1﹣7，＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．9．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设正方形的边长为xmm，则AK＝AD﹣x＝80﹣x，∵EFGH是正方形，∴EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48mm，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．10．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）A．300（1+x）＝450B．300（1+2x）＝450C．300（1+x）2＝450D．450（1﹣x）2＝300【分析】设快递量平均每年增长率为x，根据我国2016年及2018年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设快递量平均每年增长率为x，依题意，得：300（1+x）2＝450．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）方程x2＝9两根的积为﹣9．【分析】首先根据一元二次方程求出x的两个值，将他们乘积即可．【解答】解：∵x2＝9，∴x＝±3，∴两根的积﹣9．故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟记解方程的方法是解答本题的关键．12．（3分）若＝，则＝﹣2．【分析】由＝可设x＝k、y＝3k，代入所求代数式消去k即可得．【解答】解：∵＝，∴设x＝k、y＝3k，则＝＝＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查比例的性质，解题的关键是熟练掌握设k法求比例式的值．13．（3分）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么这个圆锥的左视图的面积是4．【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2＝4π，解得r＝2，因为圆锥的主视图是等边三角形，所以圆锥的母线长为4，所以它的左视图的高＝＝2，所以左视图的面积为×4×2＝4．故答案为4．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．（3分）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（2，1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为3：1，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，A（6，3）、∴点C的坐标为（6×，3×），∴点C的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．15．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2019个三角形周长为．【分析】根据题意可以写出前几个三角形的周长，从而可以发现三角形周长的变化规律，进而写出第2019个三角形周长．【解答】解：由题意可得，第1个三角形的周长是1，第2个三角形的周长是，第3个三角形的周长是，第4个三角形的周长是，则第2019个三角形的周长是，故答案为：．【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形周长的变化规律．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为或5．【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB＝5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【解答】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5∵点D是AB的中点，∴BD＝BA＝∵B1D⊥BC，∠C＝90°∴B1D∥AC∴∴BE＝EC＝BC＝2，DE＝AC＝∵折叠∴B1D＝BD＝，B1P＝BP∴B1E＝B1D﹣DE＝1∴在Rt△B1PE中，B1P2＝B1E2+PE2，∴BP2＝1+（2﹣BP）2，∴BP＝如图，若点B1在BC右侧，∵B1E＝DE+B1D＝+，∴B1E＝4在Rt△EB1P中，B1P2＝B1E2+EP2，∴BP2＝16+（BP﹣2）2，故答案为：或5【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三、解答题（共62分）17．（6分）计算：4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式＝4×﹣3×+2××＝1﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0．【分析】把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）＝0，推出方程x﹣2＝0，x+1＝0，求出方程的解即可【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0，x+1＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的选择等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，请直接写出EF的长为．【分析】（1）由矩形的性质可得∠ACB＝∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，即可证四边形AECF是菱形；（2）由菱形的性质可得AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO，由勾股定理可求CE、EO的长，即可求【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，且AO＝CO∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（2）∵四边形AECF是菱形∴AE＝EC，AO＝CO，EO＝FO∵AB2+BE2＝AE2，∴36+（8﹣CE）2＝CE2，∴CE＝∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10∴AO＝CO＝5∵EO＝＝∴EF＝2EO＝故答案为：【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．20．（8分）超市水果货架上有四个苹果，重量分别是100g、110g、120g和125g，小明妈妈从货架上随机取下两个苹果，请用列表法或画树状图的方法求取下的两个苹果总重量超过223g的概率．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出它们总重量超过223g的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中它们总重量超过223g的结果数为8，所以它们总重量超过223g的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．21．（8分）如图是某路灯在铅垂面内示意图，灯柱AC的高为12米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为21米，从D，E两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝，求灯杆AB的长度．【分析】过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC＝12．设BF＝3x知EF＝4x、DF＝，由DE＝21求得x，据此知BG＝BF﹣GF，再求得∠BAG ＝∠BAC﹣∠CAG＝30°可得AB＝2BG．【解答】解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG＝AC ＝12．由题意得∠BDE＝α，tan∠β＝．设BF＝3x，则EF＝4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF＝，∴DF＝，∵DE＝21，∴x+4x＝21．∴x＝．∴BF＝14，∴BG＝BF﹣GF＝14﹣12＝2，∵∠BAC＝120°，∴∠BAG＝∠BAC﹣∠CAG＝120°﹣90°＝30°．∴AB＝2BG＝4，答：灯杆AB的长度为4米．【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），点A1是否在反比例函数y＝的图象上？若在请直接写出该点坐标，若不在请说明理由．【分析】（1）将点A代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式（2）先由射影定理求出BC＝3，那么B，计算出S＝△AOB（3）先解△AOB，得出∠ABO＝30°，再根据旋转的性质求出A1点坐标为，即可求解．【解答】解：（1）∵点A，在反比例函数的图象上，∴∴反比例函数的表达式为（2）∵点A，AB⊥x轴于点，∴OC＝，AC＝1，由射影定理得OC2＝AC•BC，可得BC＝3，点B，＝∴S△AOB故△AOB的面积为（3）点A1在该反比例函数的图象上．理由如下：∵OA⊥OB，OA＝2，OB＝，AB＝4∴sin∠ABO＝，∴∠ABO＝30°∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BO1A1（点O、A的对应点分别为O1、A1），如图∴△BOA≌△BO1A1，∠OBO1＝60°∴BO＝BO1＝，OA＝O1A1＝2，∠BOA＝∠BO1A1＝90°∠ABO1＝30°+60°＝90°，而BO1﹣OC＝，BC﹣O1A1＝1，∴点A1的坐标为∵∴点A1在该反比例函数的图象上【点评】此题考查的是反比例函数的图象求函数解析式，此类题型相对容易，但要注意反比例函数的性质．第（3）题中，判断点是否在函数图象上，只要该点满足该函数解析式即可．23．（10分）某饭店推出一种早点套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x（x＞5）元，该店日销售利润为y元．（日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出）（1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围．（2）该店要想获得最大日销售利润，又要吸引顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？【分析】（1）根据日销售利润＝每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出，得出y与x的函数关系式；（2）分别求出当不超过10元时的最大利润和超过10元时的最大利润，再结合题意选择方案．【解答】解：（1）由题意，得当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600＝400x﹣2600；当x＞10时，y＝[400﹣40（x﹣10）]（x﹣5）﹣600＝﹣40x2+1000x﹣4600；（2）当5＜x≤10时，y＝400x﹣2600，当x＝10时，y＝1400元，最大当x＞10时y＝﹣40x2+1000x﹣4600＝﹣40（x﹣12.5）2+1650，当x＝12时，y＝1640，当x＝13时，y＝1640，∵要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，∴每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元．【点评】本题考查了一次函数的运用、二次函数的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α≤180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为2﹣；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度为．（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．【分析】（1）如图①中，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可解决问题；（2）①证明：如图②中，根据HL即可证明△ACD≌△CAE；②如图②中，由△ACD≌△CAE，推出∠ACD＝∠CAE，推出AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，根据AD2+DH2＝AH2，构建方程即可解决问题；（3）存在．如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．由题意：PF＝PC＝1，由AG＝EF＝1，∠G＝∠F＝90°，推出PA＝PE＝，推出S＝•PE•BM＝BM，推出当△PBEBM的值最大时，△PBE的面积最大，求出BM的最大值即可解决问题；【解答】（1）解：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝1，∠D＝90°，∵矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到，∴AE＝AB＝2，在Rt△ADE中，DE＝＝，∴CE＝2﹣，故答案为2﹣．（2）①证明：如图②中，∵当点E落在线段CF上，∴∠AEC＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC和Rt△AEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；②解：如图②中，∵△ACD≌△CAE，∴∠ACD＝∠CAE，∴AH＝HC，设AH＝HC＝m，在Rt△ADH中，∵AD2+DH2＝AH2，∴12+（2﹣m）2＝m2，∴m＝∴DH＝2﹣＝，故答案为．（3）解：存在．理由：如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．由题意：PF＝PC＝1，∵AG＝EF＝1，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝，∴S＝•PE•BM＝BM，△PBE∴当BM的值最大时，△PBE的面积最大，∵BM≤PB，PB≤AB+PA，∴PB≤2+，∴BM≤2+，∴BM的最大值为2+，∴△PBE的面积的最大值为+1．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（12分）如图①，抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的解析式．（2）如图②，当m＝2时，连接AC，过点A做AD⊥AC交抛物线C2于点D，连接CD．①求抛物线C2的解析式．②直接写出点D的坐标为（5，）．（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△PAC为等边三角形，请直接写出此时m的值．【分析】（1）把原点（0，0）与（2，0）代入抛物线C1：y＝+bx+c，解方程组求得b，c 的值，即可得出抛物线C1的解析式；（2）①根据抛物线的平移规律可得抛物线C2的解析式；②由抛物线C2的解析式，求得点C（0，4），A（2，0），B（4，0），作DH⊥x轴于点H，设点D（x，），证明△DHA∽△AOC，得，求得点D的横坐标，再代入抛物线求得纵坐标，即可得出点D的坐标；（3）设抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），可得A（m，0），B（m+2，0）．C （0，m2+m），对称轴为直线x＝m+1，延长AP至K，使PK＝AP，连接KC，作KG⊥y轴于G，证明△AOC∽△CGK，可得GK＝（m2+m），利用中点坐标公式得出点P的横坐标为：，所以＝m+1，解方程即可得出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝+bx+c经过原点（0，0），与x轴的另一个交点为（2，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为：y＝﹣x，（2）①∵y＝﹣x＝（x﹣1）2﹣，当m＝2时，抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣，②当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2或x＝4，∴C（0，4），A（2，0），B（4，0），如图，作DH⊥x轴于点H，设点D（x，），∵AD⊥AC，∴∠DAH＝90°﹣∠CAO＝∠ACO，∵∠DHA＝∠AOC＝90°，∴△DHA∽△AOC∴，即，解得x＝5，此时y═，∴点D的坐标为（5，），故答案为：（5，），（3）由题意，抛物线C2的解析式为：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），A（m，0），B（m+2，0）．C（0，m2+m），对称轴为直线x＝m+1，延长AP至K，使PK＝AP，连接KC，作KG⊥y轴于G，∵△PAC为等边三角形，∴∠PKC＝∠PCK＝∠APC＝30°，∴∠ACK＝60°+30°＝90°，同理可证△AOC∽△CGK，∴，∴GK＝（m2+m），即点K的横坐标为：（m2+m），∴点P的横坐标为：，∴＝m+1，化简，得，（m+2）（m﹣2）＝0，∴m＝或m＝﹣2（舍去），∴存在点P，使△PAC为等边三角形，此时m的值为，【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质．解决（3）问的关键是构造三角形相似得出点K的横坐标．。
北师大版-九年级（上）期末数学复习试卷一、选择题（每2分共20分）请将正确答案的序号填写在下面表格里． 1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是( ) A ．8y x =-B ．8(0)y x x=->C ．8(0)y x x=<D ．8(0)y x x=>2．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x 米，则可列方程为( )A ．(10)200x x -=B ．22(10)200x x +-=C ．22(10)200x x ++=D ．(10)200x x +=3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．若AC =2BC =，则sin ACD ∠的值为( )A B C D ．234．将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．23(2)1y x =-- B ．23(2)1y x =-+C ．23(2)1y x =+-D ．23(2)1y x =++5．对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是( ) A ．图象开口向下B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．图象的对称轴是直线1x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A ．3.5B ．4C ．7D ．147．若点1(2,)y -、2(1,)y -、3(1,)y 在反比例函数1y x=的图象上，则下列结论中的正确的是()A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >> 8．在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且//DE BC ，已知45AD DB =，那么ACCE等于( ) A ．94B ．59C ．54 D ．959．如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为( )A ．B ．米C ．D ．60米10．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B '处，若2AE =，6DE =，60EFB ∠=︒，则矩形ABCD 的面积是( )A ．12B ．24C ．D ．二、填空题（每题3分共18分）1104sin 45(3)|4|π-︒+-+-= ． 12． 如图，已知反比例函数6y x =的图象与正比例函数23y x =的图象交于A 、B 两点，B 点坐标为(3,2)--，则A 点的坐标为( )13．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为 ．14．某小区2014年底绿化面积为1000平方米，计划2016年底绿化面积要达到1440平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 ．15．如图，ABC ∆中，AD 是中线，8BC =，B DAC ∠=∠，则线段AC 的长为 ．16．若二次函数22y x x k =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x k -++=的一个解13x =，另一个解2x = ．三、解答题17．已知二次函数2(1)4y a x =-+的图象经过点(1,0)-． （1）求这个二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．18．如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y kx b =+的图象经过一、二、四象限的概率．19．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，2BD BC =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点． 求证：（1）BE AC ⊥； （2）EG EF =．20．如图，已知MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30︒，在M 的南偏东60︒方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75︒，已知400MB m =，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？21．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于一、三象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为(2,)m ，点B 的坐标为(,2)n -，2tan 5BOC ∠=． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上有一点(E O 点除外），使得BCE ∆与BCO ∆的面积相等，求出点E 的坐标．22．（9分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种产品每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？23．（9分）如图，在ABC ∆中，AD 是B 边上的中线，且AD AC =，DE BC ⊥，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ． （1）求证：ABC FCD ∆∆∽；（2）过点A 作AM BC ⊥于点M ，求:DE AM 的值； （3）若5FCD S ∆=，10BC =，求DE 的长．24．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A B CD '''，B C '与AD 交于点E ，AD 的延长线与A D ''交于点F ． （1）如图1，当60a =︒时，连接DD '，求DD '和A F '的长；（2）如图2，当矩形A B CD '''的顶点A '落在CD 的延长线上时，求EF 的长； （3）如图3，当AE EF =时，连接AC ，CF ，求证：90ACF ∠=︒．25．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3,0)，顶点C 的坐标为(1,4)．（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使BDQ ∆中BD 边上的高为出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．2018-2019学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每2分共20分）请将正确答案的序号填写在下面表格里．1．下列函数中，y随x增大而增大的是()A．8y x=-B．8(0)y xx=->C．8(0)y xx=<D．8(0)y xx=>【解答】解：A、80-<，y∴随x的增大而减小，故本选项错误；B、0k<，0x>，∴此函数图象随x的增大而增大，故本选项正确；C、80k=>，0x<，∴此函数图象随x的增大而减小，故本选项错误；D、80k=>，0x>，∴此函数图象随x的增大而减小，故本选项错误．故选：B．2．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为()A．(10)200x x-=B．22(10)200x x+-=C．22(10)200x x++=D．(10)200x x+=【解答】解：花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，∴长为(10)x+米，花圃的面积为200，∴可列方程为(10)200x x+=．故选：D．3．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，CD AB⊥，垂足为D．若AC=2BC=，则sin ACD∠的值为()A B C D．2 3【解答】解：在直角ABC∆中，根据勾股定理可得：3AB===．90B BCD ∠+∠=︒，90ACD BCD ∠+∠=︒， B ACD ∴∠=∠．sin sin AC ACD B AB ∴∠=∠==， 故选：A ．4．将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．23(2)1y x =-- B ．23(2)1y x =-+C ．23(2)1y x =+-D ．23(2)1y x =++【解答】解：抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为(2,1)--，所得抛物线为23(2)1y x =+-． 故选：C ．5．对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是( ) A ．图象开口向下B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．图象的对称轴是直线1x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小【解答】解：二次函数2(1)(3)y x x =+-可化为22(1)8y x =--的形式， 此二次函数中20a =>，∴抛物线开口向上，对称轴为1x =，∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，故选：D ．6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于( )A ．3.5B ．4C ．7D ．14【解答】解：菱形ABCD 的周长为28， 2847AB ∴=÷=，OB OD =，H 为AD 边中点，OH ∴是ABD ∆的中位线，117 3.522OH AB ∴==⨯=． 故选：A ．7．若点1(2,)y -、2(1,)y -、3(1,)y 在反比例函数1y x=的图象上，则下列结论中的正确的是()A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >>【解答】解：0k >，函数图象在一，三象限；由题意可知：横坐标为2-，1-的在第三象限，横坐标为1-的在第一象限． 第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，那么3y 最大， 在第三象限内，y 随x 的增大而减小，所以21y y <． 故选：C ．8．在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且//DE BC ，已知45AD DB =，那么ACCE等于( ) A ．94B ．59C ．54 D ．95【解答】解：//DE BC ， ∴AC ABCE BD =， 又45AD DB =， ∴95AB DB =， ∴95AC CE =． 故选：D ．9．如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为( )A ．B ．米C ．D ．60米【解答】解：在Rt BDE ∆中， 30EBD ∠=︒，30BD =米， ∴tan 30DEBD=︒，解得：ED =)，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，2AB DE ∴==（米)．故选：B ．10．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B '处，若2AE =，6DE =，60EFB ∠=︒，则矩形ABCD 的面积是( )A ．12B ．24C ．D ．【解答】解：在矩形ABCD 中， //AD BC ，60B EF EFB ∴∠'=∠=︒，由折叠的性质得90A A ∠=∠'=︒，2A E AE '==，AB A B =''， 18060120A EF AEF ∠'=∠=︒-︒=︒，1206060A EB A EF B EF ∴∠''=∠'-∠'=︒-︒=︒．在Rt △A EB ''中，906030A B E ∠''=︒-︒=︒，2B E A E ∴'='，而2A E '=，4B E ∴'=，A B ∴''=AB =，2AE =，6DE =，268AD AE DE ∴=+=+=，∴矩形ABCD 的面积238AB AD ===故选：D ．二、填空题（每题3分共18分）1104sin 45(3)|4|π-︒+-+-= 5 ．【解答】解：原式414=-++5=-5=． 故答案为：5． 12． 如图，已知反比例函数6y x =的图象与正比例函数23y x =的图象交于A 、B 两点，B 点坐标为(3,2)--，则A 点的坐标为( 3，2 )【解答】解：根据题意，知点A 与B 关于原点对称，点B 的坐标是(3,2)--，A ∴点的坐标为(3,2)．故答案是：3，2．13．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为【解答】解：四边形ABCD 是矩形，OB OD ∴=，OA OC =，AC BD =，OA OB ∴=，AE 垂直平分OB ，AB AO ∴=，3OA AB OB ∴===，26BD OB ∴==，AD ∴===；故答案为：．14．某小区2014年底绿化面积为1000平方米，计划2016年底绿化面积要达到1440平方米，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．【解答】解：设平均增长率为x ，根据题意可列出方程为：21000(1)1440x +=． 解得：2(1) 1.4x +=，1 1.2x +=±．所以10.2x =，2 2.2x =-（舍去）．故0.220%x ==．答：这个增长率为20%，故答案为：20%15．如图，ABC ∆中，AD 是中线，8BC =，B DAC ∠=∠，则线段AC 的长为【解答】解：在ABC ∆中，AD 是中线，8BC =，4CD ∴=，B DAC ∠=∠，ACD BCA ∠=∠，ACD BCA ∴∆∆∽， ∴AC CD BC CA=， 即48AC AC =，解得，AC =．16．若二次函数22y x x k =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x k -++=的一个解13x =，另一个解2x = 1- ．【解答】解：由图可知，对称轴为1x =，根据二次函数的图象的对称性，2312x +=， 解得，21x =-．故答案为：1-．三、解答题17．已知二次函数2(1)4y a x =-+的图象经过点(1,0)-．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）把(1,0)-代入二次函数解析式得：440a +=，即1a =-，则函数解析式为2(1)4y x =--+；（2）10a =-<，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线1x =．18．如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y kx b =+的图象经过一、二、四象限的概率．【解答】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y kx b =+的图象经过一、二、四象限时，0k <，0b >，情况有4种， 则41123P ==． 19．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，2BD BC =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点．求证：（1）BE AC ⊥；（2）EG EF =．【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，12BO BD ∴=，即2BD BO =， 又2BD BC =，OB BC ∴=， 又点E 是OC 的中点，BE AC ∴⊥；（2）E 、F 分别是OC 、OD 的中点，12EF CD ∴=， 点G 是Rt ABE ∆斜边AB 上的中点，12GE AB ∴=， 又平行四边形ABCD 中，AB CD =，EG EF ∴=．20．如图，已知MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30︒，在M 的南偏东60︒方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75︒，已知400MB m =，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？【解答】解：不会穿过居民区．理由是：如图，过A 作AH MN ⊥于H ，作//BE MQ ，交AM 于点F ．30EBN QMB FMN ∠=∠=∠=︒，30NMA ∴∠=︒，30NBE NMQ ∠=∠=︒，75EBA ∠=︒，45ABH BAH ∴∠=∠=︒，AH BH ∴=，设AH x =，则BH x =，MH ∴==，400MH BM BH x =+=+，∴400x =+，200546.4500x ∴=≈>∴不会穿过居民区．21．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于一、三象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为(2,)m ，点B 的坐标为(,2)n -，2tan 5BOC ∠=． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上有一点(E O 点除外），使得BCE ∆与BCO ∆的面积相等，求出点E 的坐标．【解答】解：（1）过B 点作BD x ⊥轴，垂足为D ，(,2)B n -，2BD ∴=，在Rt OBD ∆中，tan BD BOC OD ∠=，即225OD =， 解得5OD =，又B 点在第三象限，(5,2)B ∴--， 将(5,2)B --代入k y x=中，得10k xy ==， ∴反比例函数解析式为10y x =， 将(2,)A m 代入10y x=中，得5m =， (2,5)A ∴， 将(2,5)A ，(5,2)B --代入y ax b =+中，得2552a b a b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩． 则一次函数解析式为3y x =+；（2）由3y x =+得(3,0)C -，即3OC =，BCE BCO S S ∆∆=，3CE OC ∴==，6OE ∴=，即(6,0)E -．22．（9分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种产品每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【解答】解：（1）根据题意得，22(20)(280)212016002(30)200w x x x x x =--+=-+-=--+， ∴当30x =时，每天的利润最大，最大利润为200元；（2）令22(30)200150x --+=，解得：35x =或25x =，这种产品的销售价不高于每千克28元，25x ∴=，答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．23．（9分）如图，在ABC ∆中，AD 是B 边上的中线，且AD AC =，DE BC ⊥，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．（1）求证：ABC FCD ∆∆∽；（2）过点A 作AM BC ⊥于点M ，求:DE AM 的值；（3）若5FCD S ∆=，10BC =，求DE 的长．【解答】（1）证明：D 是BC 边上的中点，DE BC ⊥，BD DC ∴=，90EDB EDC ∠=∠=︒，BDE EDC ∴∆≅∆，B DCE ∴∠=∠，AD AC =，ADC ACB ∴∠=∠，ABC FCD ∴∆∆∽；（2）AD AC =，AM DC ⊥， 12DM DC ∴=， BD DC =， ∴23BD BM =， DE BC ⊥，AM BC ⊥，//DE AM ∴， ∴23DE BD AM BM ==． （3）：过点A 作AM BC ⊥，垂足是M ，ABC FCD ∆∆∽，2BC CD =，∴4ABC FCDS S ∆∆=， 5FCD S ∆=，20ABC S ∆∴=，又10BC =，4AM ∴=；//DE AM ， ∴DE BD AM BM= 1522DM CD ==，BM BD DM =+，152BD BC ==， ∴55452DE =+，83DE ∴=．24．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A B CD '''，B C '与AD 交于点E ，AD 的延长线与A D ''交于点F ．（1）如图1，当60a =︒时，连接DD '，求DD '和A F '的长；（2）如图2，当矩形A B CD '''的顶点A '落在CD 的延长线上时，求EF 的长；（3）如图3，当AE EF =时，连接AC ，CF ，求证：90ACF ∠=︒．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形，3AB CD ∴==，4AD BC ==，将矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转60︒角，3CD CD '∴==，4A D AD ''==，60DCD '∠=︒，90ADC A D C ''∠=∠=︒， DCD '∴∆是等边三角形，3DD CD '∴==，60CDD CD D ''∠=∠=︒，30FDD FD D ''∴∠=∠=︒，如图1，连接CF ，CD CD '=，CF CF =，Rt CDF Rt ∴∆≅△()CD F HL '30DCF D CF '∴∠=∠=︒tan DF DCF CD ∠==，3DF ∴==D F '∴=4A F A D D F ''''∴=-=-，（2）在Rt △A B C ''中，5A C '===， 3CD =，2A D A C CD ''∴=-=，DCE A CB ''∠=∠，90CDE B '∠=∠=︒，ECD ∴∆∽△A CB ''， ∴CD DE B C A B =''' ∴343DE = 94DE ∴=//A D B C ''' ∴A D DF CD DE'= ∴2934DF = 32DF ∴= 154EF DE DF ∴=+=（3）如图3，过点F 作FG B C '⊥于G ，3FG CD CD '∴===，1122CEF S EF CD EC GF ∆=⨯⨯=⨯⨯， EF EC ∴=AE EF =，AE EF EC ∴==，90ACF ∴∠=︒25．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为(3,0)，顶点C 的坐标为(1,4)．（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使BDQ ∆中BD 边上的高为出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)，∴可设抛物线解析式为2(1)4y a x =-+，点(3,0)B 在该抛物线的图象上，20(31)4a ∴=-+，解得1a =-，∴抛物线解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++， 点D 在y 轴上，令0x =可得3y =，D ∴点坐标为(0,3)，∴可设直线BD 解析式为3y kx =+，把B 点坐标代入可得330k +=，解得1k =-， ∴直线BD 解析式为3y x =-+；（2）设P 点横坐标为(0)m m >，则(,3)P m m -+，2(,23)M m m m -++，2223923(3)3()24PM m m m m m m ∴=-++--+=-+=--+， ∴当32m =时，PM 有最大值94； （3）如图，过Q 作//QG y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH BD ⊥于H ，设2(,23)Q x x x -++，则(,3)G x x -+， 22|23(3)||3|QG x x x x x ∴=-++--+=-+， BOD ∆是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=︒，45HGQ BGE ∴∠=∠=︒，当BDQ ∆中BD 边上的高为QH HG ==，4QG ∴==，2|3|4x x ∴-+=，当234x x -+=时，△9160=-<，方程无实数根， 当234x x -+=-时，解得1x =-或4x =， (1,0)Q ∴-或(4,5)-，综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为(1,0)-或(4,5)-．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）一元二次方程2x x =的实数根是( ) A ．0或1B ．0C ．1D ．1±2．（2分）如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）如图是某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是( )A ．抛一枚硬币，出现正面朝上B ．掷一枚均匀的正六面体骰子，出现2点朝上C ．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D ．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 4．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A ．220x x -=B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=5．（2分）如果将抛物线2(1)2y x =-+向下平移1个单位，那么所得的抛物线解析式是()A ．2(1)3y x =-+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．22y x =+6．（2分）若0234x y z==≠，则下列各式正确的是( )A．234x y z==B．2252x y z+=C．1123x y++=D．1224x z+-=7．（2分）在平面直角坐标系中，若点1(2,)y-，2(1,)y-，3(1,)y都在反比例函数4yx=-的图象上，则1y，2y，3y的大小关系是()A．312y y y<<B．321y y y<<C．123y y y<<D．132y y y<<8．（2分）如图，在ABC∆中，点D，E分别是AC和BC的中点，连接AE，BD交于点F，则下列结论中正确的是()A．12DFDB=B．14CD CE DEAC BC AB++=++C．14ABCABEDSS∆=四边形D．12DEFADFSS∆∆=9．（2分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象的一部分，给出下列命题：①0a b c++=；②2b a>；③方程20ax bx c++=的两根分别为3-和1；④240b ac->，其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC延长线上的一点，且AC EC=，连接AE，交CD于点F，若1AB=，则线段DF的长是()A ．12B ．25C ．22-D ．21-二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）小明测得2m 高的标杆在太阳光下的影长为1.2m ，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m ，则这棵树的高度是 m ．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为(2.5,5)A ，(5,0)B ，以坐标原点为位似中心，将线段AB 在第一象限内缩小得到线段CD ，其中点A 对应点C ，点B 对应点D ，若点C 的坐标为(1.25,2.5)，则点D 的坐标为 ．13．（3分）从数字1，2，3，4中任取两个不同数字相加，和为偶数的概率是 ． 14．（3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意，可列方程 ．15．（3分）如图，点P 是线段AB 上的一个点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，点M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，连接MN ，PM ，PN ，若60DAP ∠=︒，2232AP PB +=，则线段MN 的长为 ．16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 是边AC 的中点，点E ，F 在边AB 上，当DEF ∆是等腰三角形，且底角的正切值是45时，DEF ∆腰长的值是 ．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）2g︒︒+︒-︒2sin60tan454cos30tan6018．（8分）2019年沈阳国际马拉松赛事设有“马拉松”（A），“半程马拉松”（B），“10公里跑”（C），“迷你马拉松”（D）四个项目，小明和小亮参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到四个项目组，被分配到每个项目组的机会是相同的．（1）小明被分配到“马拉松”（A）项目组的概率为；（2）利用画树状图或列表法求小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的概率．（项目名称可用字母表示）19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE BC⊥于点E，延长BC至F，使CF BE=，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若10ABC∠=︒，则矩形AEFD的面积是．AC=，60四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在Rt ABCBC cm=．点P从点A开始沿AB=，7∆中，90AB cmB∠=︒，5边向终点B以1/cm s的速度移动，cm s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向终点C以2/当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P，Q分别从点A，B同时出发．（1）求出发多少秒时PQ的长度等于5cm；（2）出发秒时，BPQ∆中有一个角与A∠相等．21．（8分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高308∠=︒，在D处测得山顶A的仰角为45︒，DBCBD=米，30AC=米，步行道336求电动扶梯DA 的长．（结果保留根五、（本题10分）22．（10分）某经销商以每千克30元的价格购进一批原材料加工后出售，经试销发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）符合一次函数y kx b =+，且35x =时，55y =；42x =时，48y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）设该商户每天获得的销售利润为W （元)，求出利润W （元)与销售单价x （元/千克）之间的关系式；（3）销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润？最大利润是多少元？（销售利润=销售额-成本） 六、（本题10分）23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点(0,4)A ，(1,)B m 都在直线2y x b =-+上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点B ．（1）直接写出m 和k 的值；（2）如图2，将线段AB 向右平移n 个单位长度(0)n …，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ． ①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB 有交点，求n 的取值范围；②在平移过程中，连接BC ，若BCD ∆是直角三角形，请直接写出所有满足条件n 的值．24．（12分）（1）如图1，在ABC ∆中，AB AC >，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且//DE BC ，若2AD =，32AE =，则BD CE 的值是 ；（2）如图2，在（1）的条件下，将ADE ∆绕点A 逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD ，BDCE的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值； （3）如图3，在四边形ABCD 中，AC BC ⊥于点C ，BAC ADC θ∠=∠=，且3tan 4θ=，当6CD =，3AD =时，请直接写出线段BD 的长度．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点是D ，对称轴交x 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线在第四象限内的一点，过点P 作//PQ y 轴，交直线AC 于点Q ，设点P 的横坐标是m ．①求线段PQ 的长度n 关于m 的函数关系式； ②连接AP ，CP ，求当ACP ∆面积为358时点P 的坐标； （3）若点N 是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M ，使得以点B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN 的长度；若不存在，请说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）一元二次方程2x x=的实数根是()A．0或1B．0C．1D．1±【解答】解：方程整理得：20-=，x x分解因式得：(1)0x x-=，解得：0x=，x=或1故选：A．2．（2分）如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是()A．B．C．D．【解答】解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．3．（2分）如图是某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是()A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一枚均匀的正六面体骰子，出现2点朝上C．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【解答】解：A 、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是10.52=，故本选项错误； B 、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数频率约为：310.562==，故本选项错误；C 、从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是10.333≈，故本选项正确；D 、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是130.2552=，故本选项错误； 故选：C ．4．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A ．220x x -=B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=【解答】解：（A ）△4=，故选项A 有两个不同的实数根； （B ）△440=-=，故选项B 有两个相同的实数根； （C ）△1429=+⨯=，故选项C 有两个不同的实数根； （D ）△187=-=-，故选项D 有两个不同的实数根； 故选：D ．5．（2分）如果将抛物线2(1)2y x =-+向下平移1个单位，那么所得的抛物线解析式是()A ．2(1)3y x =-+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．22y x =+【解答】解：2(1)2y x =-+Q 的顶点坐标为(1,2)，∴把抛物线向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为(1,1)，Q 平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是2(1)1y x =-+．故选：B ． 6．（2分）若0234x y z==≠，则下列各式正确的是( ) A ．234x y z == B ．2252x y z+= C ．1123x y ++=D ．1224x z +-=【解答】解：Q0234x y z==≠，∴设2x a =，3y a =，4z a =，234x y z ∴≠≠，故A 选项错误；2246425522x y a a a za ++====， 故B 选项正确； 1211223x a y +++=≠， 故C 选项错误； 1211222x a a ++==+， 2421442z a a --==-， 故D 选项错误； 故选：B ．7．（2分）在平面直角坐标系中，若点1(2,)y -，2(1,)y -，3(1,)y 都在反比例函数4y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．312y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．132y y y <<【解答】解：40k =-<Q ，∴图象在二、四象限，210-<-<Q 210y y ∴>>， 30x >Q ， 30y ∴<， 312y y y ∴<<，故选：A ．8．（2分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，连接AE ，BD 交于点F ，则下列结论中正确的是( )A ．12DF DB = B ．14CD CE DE AC BC AB ++=++ C ．14ABC ABED S S ∆=四边形 D ．12DEF ADF S S ∆∆= 【解答】解：Q 点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，12DE AB ∴=，12CD AC =，12CE BC =，//DE BC ， DEF BFA ∴∆∆∽， ∴12DF DE BF AB ==， ∴13DF DB =，故A 选项错误； ∴12CD CE DE AC BC AB ++=++，故B 选项错误； //DE AB Q ，CDE CAB ∴∆∆∽， ∴21()4CDE CAB S DE S AB ∆∆==， ∴43ABCABED S S ∆=四边形，故C 选项错误； DEF BAF ∆∆Q ∽， ∴12EF DF AF BF ==， ∴12DEF ADF S S ∆∆=． 故选：D ．9．（2分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的一部分，给出下列命题：①0a b c ++=；②2b a >；③方程20ax bx c ++=的两根分别为3-和1；④240b ac ->，其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，过(1,0)点， 把(1,0)代入2y ax bx c =++得，0a b c ++=，因此①正确；对称轴为直线1x =-，即：12b a-=-，整理得，2b a =，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为(1，0)(3-，0)，因此方程20ax bx c ++=的两根分别为3-和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以240b ac ->，故④正确；故选：C ． 10．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上的一点，且AC EC =，连接AE ，交CD 于点F ，若1AB =，则线段DF 的长是( )A ．12B ．25C ．22D 21【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，1AB =，1AB CD AD ∴===，2AC CE ==//AD CE ，ADF BCF ∴∆∆∽，∴AD DF CE CF=， ∴12DF DF =- 21DF ∴故选：D ．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）小明测得2m高的标杆在太阳光下的影长为1.2m，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m，则这棵树的高度是3m．【解答】解：根据题意可得：ADE ABC∆∆∽，即AE DEAC BC=，设这棵树的高为x，则2 1.21.8x=，解得3x m=．即这棵树的高度为3米．故答案为：3．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为(2.5,5)A，(5,0)B，以坐标原点为位似中心，将线段AB在第一象限内缩小得到线段CD，其中点A对应点C，点B对应点D，若点C的坐标为(1.25,2.5)，则点D的坐标为(2.5,0)．【解答】解：Q将线段AB缩小得到线段CD，点(2.5,5)A的对应点C的坐标为(1.25,2.5)，∴线段AB缩小12得到线段CD，∴点D的坐标为(2.5,0)．故答案为：(2.5,0)．13．（3分）从数字1，2，3，4中任取两个不同数字相加，和为偶数的概率是13．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中和为偶数的有4种，则和为偶数的概率是41123=； 故答案为：13． 14．（3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意，可列方程 2100(1)81x -= ．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：2100(1)81x -=．故答案为：2100(1)81x -=．15．（3分）如图，点P 是线段AB 上的一个点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，点M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，连接MN ，PM ，PN ，若60DAP ∠=︒，2232AP PB +=，则线段MN 的长为 22．【解答】解：连接PM 、PN ．Q 菱形APCD 和菱形PBFE ，60DAP ∠=︒，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点， PM AC ∴⊥，PN BE ⊥，30CAB NPB ∠=∠=︒．90MPC NPC ∴∠+∠=︒，即MPN ∆是直角三角形．在Rt APM ∆中，2AP PM =，在Rt PNB ∆中，3PB =．2231AP PB +=Q ，22(2)3()23PM ∴+=，整理得2212PM PN += 在Rt MPN ∆中，222MN PM PN =+，所以2MN =． 故答案为：2． 16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 是边AC 的中点，点E ，F 在边AB 上，当DEF ∆是等腰三角形，且底角的正切值是45时，DEF ∆腰长的值是 34110或123100 ．【解答】解：90C ∠=︒Q ，4AC =，3BC =，22345AB ∴=+=，Q 点D 是边AC 的中点，122AD AC ∴==，作DM AB ⊥于M ，如图1所示： sin BC DM A AB AD ==Q ， 即352DM =， 65DM ∴=， 分三种情况：①当DE DF =时，4tan 5DM DFE FM ∠==Q ， 55634452FM DM ∴==⨯=， 222263341()()52DE DF DM FM ∴==+=+ ②当ED EF =时，作EN DF ⊥于N ，如图2所示：由①得：65DM =，32FM =，341DF =； EN DF ⊥Q ，13412FN DN DF ∴===， 4tan 5EN EFD FN ∠==Q ， 4341525EN FN ∴==， 22341341123()()2520100ED EF ∴==+=； ③当FE FD =时，作FG DE ⊥于G ，如图3所示：则EG DG =，同①得：32EM =，341DE =， 34120EG ∴=， 4tan 5GF DEF EG ∠==Q ， 43415GF EG ∴==， 22341341123()()2520100EF ∴=+=； 综上所述，当DEF ∆是等腰三角形，且底角的正切值是45时，DEF ∆腰长的值是341或123100； 故答案为：341或123100．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）22sin60tan 454cos 30tan60︒︒+︒-︒g【解答】解：22sin60tan 454cos 30tan60︒︒+︒-︒g233214()3=+⨯- 333=3=．18．（8分）2019年沈阳国际马拉松赛事设有“马拉松”（A ），“半程马拉松”（B ），“10公里跑”（C ），“迷你马拉松”（D ）四个项目，小明和小亮参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到四个项目组，被分配到每个项目组的机会是相同的．（1）小明被分配到“马拉松”（A ）项目组的概率为 14； （2）利用画树状图或列表法求小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的概率．（项目名称可用字母表示）【解答】解：（1）Q 共有4各项目，分别是“马拉松”（A ），“半程马拉松”（B ），“10公里跑”（C ），“迷你马拉松”（D ），∴小明被分配到“马拉松”（A ）项目组的概率为14； 故答案为：14； （2）根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的有4种，则小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的概率是41 164=．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE BC⊥于点E，延长BC至F，使CF BE=，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若10AC=，60ABC∠=︒，则矩形AEFD的面积是503．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是菱形，//AD BC∴，AD BC=，CF BE=Q，BC EF∴=，//AD EF∴，AD EF=，∴四边形AEFD是平行四边形，AE BC⊥Q，90AEF∴∠=︒，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：AB CD=Q，BE CF=，90AEB DFC∠=∠=︒，Rt ABE Rt DCF∴∆≅∆()HL，∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积，60ABC∠=︒Q，ABC∴∆是等边三角形，10AC=Q，152AO AC ∴==，10AB =，53BO =， ∴矩形AEFD 的面积=菱形ABCD 的面积1101035032=⨯⨯=， 故答案为：503．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =．点P 从点A 开始沿AB 边向终点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向终点C 以2/cm s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发．（1）求出发多少秒时PQ 的长度等于5cm ；（2）出发 3517或2519． 秒时，BPQ ∆中有一个角与A ∠相等．【解答】解：（1）设出发t 秒时PQ 的长度等于5cm ，5PQ =，则22225PQ BP BQ ==+，即2225(5)(2)t t =-+，解得：0t =（舍)或2．故2秒后，PQ 的长度为5cm ．（2）设出发x 秒时，BPQ ∆中有一个角与A ∠相等．5AB cm =Q ，7BC cm =(5)PB x cm ∴=-，2BQ xcm =当BPQ A ∠=∠时，又B B ∠=∠QABC PBQ ∴∆∆∽∴PB BQ AB BC=∴5257x x -= 解得：3517x =； 当BQP A ∠=∠时，又B B ∠=∠QABC QBP ∴∆∆∽∴PB BQ BC AB = ∴5275x x -= 解得：2519x = 故答案为：3517或2519． 21．（8分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B 到山腰D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D 到A 修建电动扶梯，经测量，山高308AC =米，步行道336BD =米，30DBC ∠=︒，在D 处测得山顶A 的仰角为45︒，求电动扶梯DA 的长．（结果保留根【解答】解：作DE BC ⊥于E ，则四边形DECF 为矩形，FC DE ∴=，DF EC =，在Rt DBE ∆中，30DBC ∠=︒，11682DE BD ∴==， 168FC DE ∴==，308168140AF AC FC ∴=-=-=，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，21402AD ∴==（米)，答：电动扶梯DA 的长为1402米．五、（本题10分）22．（10分）某经销商以每千克30元的价格购进一批原材料加工后出售，经试销发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）符合一次函数y kx b =+，且35x =时，55y =；42x =时，48y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）设该商户每天获得的销售利润为W （元)，求出利润W （元)与销售单价x （元/千克）之间的关系式；（3）销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润？最大利润是多少元？（销售利润=销售额-成本）【解答】解：（1）将35x =、55y =和42x =、48y =代入y kx b =+，得：35554248k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：190k b =-⎧⎨=⎩， 90y x ∴=-+；（2）根据题意得：2(30)(90)1202700W x x x x =--+=-+-；（3）由221202700(60)900W x x x =-+-=--+，∴销售单价每千克定为60元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是900元．六、（本题10分）23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点(0,4)A ，(1,)B m 都在直线2y x b =-+上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ． （1）直接写出m 和k 的值；（2）如图2，将线段AB 向右平移n 个单位长度(0)n …，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ． ①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB 有交点，求n 的取值范围；②在平移过程中，连接BC ，若BCD ∆是直角三角形，请直接写出所有满足条件n 的值．【解答】解：（1）Q 点(0,4)A 在直线2y x b =-+上，204b ∴-⨯+=，4b ∴=，∴直线AB 的解析式为24y x =-+，将点(1,)B m 代入直线AB 的解析式24y x =-+中，得214m -⨯+=， 2b ∴=，(1,2)B ∴，将(1,2)B 在反比例函数解析式(0)k y x x=>中，得122k xy ==⨯=； （2）①Q 将线段AB 向右平移n 个单位长度，(,4)A n ∴，把(,4)A n 代入2y x =中，得，24n=， 12n ∴=， ∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB 有交点，n 的取值范围为102n 剟； ②Q 将线段AB 向右平移n 个单位长度(0)n …，得到对应线段CD ， //AB CD ∴，90CDB ∴∠≠︒，当90CBD ∠=︒时，BCD ∆是直角三角形，CB BC ∴⊥，(1,4)C ∴，1n ∴=；当90BCD ∠=︒，BCD ∆是直角三角形，则(,4)C n，(1,2)D n+，222BC CD BD+=Q，22222(1)(42)1(42)n n∴-+-++-=，解得：5n=，综上所述，若BCD∆是直角三角形，n的值为1或5．24．（12分）（1）如图1，在ABC∆中，AB AC>，点D，E分别在边AB，AC上，且//DE BC，若2AD=，32AE=，则BDCE的值是43；（2）如图2，在（1）的条件下，将ADE∆绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，BDCE的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，AC BC⊥于点C，BAC ADCθ∠=∠=，且3tan4θ=，当6CD=，3AD=时，请直接写出线段BD的长度．【解答】解：（1）//DE BCQ，∴24332BD ADCE AE===；故答案为：43； （2）BD CE 的值不变化，值为43；理由如下： 由（1）得：//DE B ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴AD AE AB AC=， 由旋转的性质得：BAD CAE ∠=∠，ABD ACE ∴∆∆∽， ∴43BD AD CE AE ==； （3）作AE CD ⊥于E ，DM AC ⊥于M ，DN BC ⊥于N ，如图3所示： 则四边形DMCN 是矩形，DM CN ∴=，DN MC =，BAC ADC θ∠=∠=Q ，且3tan 4θ=， ∴34BC AC =，34AE DE =， ∴35AE AD =， 3393555AE AD ∴==⨯=，41235DE AE ==， 1218655CE CD DE ∴=-=-=，AC ∴=34BC AC ∴= ACD ∆Q 的面积1122AC DM CD AE =⨯=⨯，9659CN DM ⨯∴===，BN BC CN ∴=+=AM ==DN MC AM AC ∴==+=，22225151253()()1092054BD BN DN ∴=+=+=．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点是D ，对称轴交x 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线在第四象限内的一点，过点P 作//PQ y 轴，交直线AC 于点Q ，设点P 的横坐标是m ．①求线段PQ 的长度n 关于m 的函数关系式；②连接AP ，CP ，求当ACP ∆面积为358时点P 的坐标； （3）若点N 是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M ，使得以点B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：2(1)(3)(23)y a x x a x x =+-=--， 故33a -=-，解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--；（2）设点2(,23)P m m m --，①将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC 的表达式为：33y x =--，则点(,33)Q m m --， 222333n PQ m m m m m ==--++=+；②连接AP 交y 轴于点H ，同理可得：直线AP 的表达式为：(3)3y m x m =-+-， 则3OH m =-，则CH m =，ACP ∆面积1135()(1)228CH xP xA m m =⨯⨯-=⨯+=， 解得：52m =（不合题意的值已舍去）， 故点5(2P ，7)4-；（3）点(0,3)C -，点(3,0)B ，设点(,)P m n ，223n m m =--，点(1,)N s ， ①当BC 是边时，点C 向右平移3个单位向上平移3个单位得到B ， 同样点()M N 向右平移3个单位向上平移3个单位得到()N M ， 即13m ±=，3s n ±=，解得：4m =或2-，2s =或0，故点(1,2)N 或(1,0)，则22BN =2；②当BC是对角线时，由中点公式得：31=+，m=+，3s n解得：6N，则BN= s=，故点(1,6)综上，BN=或2或。
2018—2019学年度上学期期末教学质量监测试题九年级数学温馨提示：1．本试题共4页，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上；选择题答案选出后，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，请先用橡皮擦拭干净，再改涂其他答案；非选择题，请用0.5毫米的黑色签字笔笔直接答在答题卡上．试卷上作答无效．3．请将名字与考号填写在本卷相应位置上．一、选择题(共12小题，下列各题的四个选项中只有一个正确)1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解.【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确；D.既不轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的定义. 轴对称图形的关键是找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要找对称中心，旋转180°后两部分能够完全重合.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A. x2＋3x＝0 B. y2－2x＋1＝0C. x2－5x＝2D. x2－2＝(x＋1)2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,即可进行判定,【详解】A选项,x2＋3x＝0,因为未知数出现在分母上,是分式方程,不符合题意,B选项,y2－2x＋1＝0,因为方程中含有2个未知数,不是一元二次方程,不符合题意,C选项,x2－5x＝2,符合一元二次方程的定义,符合题意,D选项,将方程x2－2＝(x＋1)2整理后可得:-2x-3=0,是一元一次方程,不符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.3. “明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是（）A. 明天降水的可能性较小B. 明天将有30%的时间降水C. 明天将有30%的地区降水D. 明天肯定不降水【答案】A【解析】【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依此分析选项可得答案．【详解】解：A. 明天降水概率是30%，降水的可能性较小，故选项正确；B. 明天降水概率是30%，并不是有30%的时间降水，故选项错误；C. 明天降水概率是30%，并不是有30%的地区降水，故选项错误；D. 明天降水概率是30%，明天有可能降水，故选项错误．故选：A．【点睛】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小．4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A. 30°B. 45°C. 90°D. 135°【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，=，=，AC=4，∵OC 2+AO 2=22+=16， AC 2=42=16，∴△AOC 是直角三角形， ∴∠AOC=90°． 故选C ．【点睛】考点：勾股定理逆定理.5. 圆外一点P 到圆上最远的距离是7，最近距离是3，则圆的半径是（ ） A. 4 B. 5C. 2或5D. 2【答案】C 【解析】【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和． 【详解】解：∵点P 到⊙O 的最近距离为3，最远距离为7，则： 当点在圆外时，则⊙O 的直径为7-3=4，半径是2； 当点在圆内时，则⊙O 直径是7+3=10，半径为5， 故选：C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．6. 关于x 的方程kx 2+2x -1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. k ＞-1且k≠0 B. k≥-1且k≠0C. k ＞-1D. k ≥-1【答案】D 【解析】【分析】由于k 的取值范围不能确定，故应分0k =和0k ≠两种情况进行解答． 【详解】解：(1)当0k =时，原方程为：210x -=，此时12x =有解，符合题意； (2)当0k ≠时，此时方程式一元二次方程∵关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根， ∴()2242410b ac k =-=--≥即44k ≥- 解得1k ≥-综合上述两种情况可知k 的取值范围是1k ≥- 故选D ．【点睛】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分0k =和0k ≠两种情况进行分类讨论解答． 7. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为5，AB=8，则CD 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【详解】试题分析：已知AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO 中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A. 考点：垂径定理；勾股定理.8. 用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A. （x ﹣6）2=﹣4+36 B. （x ﹣6）2=4+36C. （x ﹣3）2=﹣4+9D. （x ﹣3）2=4+9【答案】D 【解析】【分析】配方时，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，据此进行求解即可. 【详解】x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9，（x ﹣3）2=4+9， 故选D.9. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A. 23(1)2y x =++ B. 23(1)2y x =+- C. 23(1)2=--y x D. 23(1)2y x =-+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象平移判断即可；【详解】23y x =向右平移1个单位得到()231y x =-，再向下平移2个单位得到()2312x y =--； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像平移，准确分析判断是解题的根据．10. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共50个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球实验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在26%和44%，则口袋中白色球的个数可能是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解．【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1-0.26-0.44=0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50=15． 故选：B ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 11.（）A. 2B. 1C. 3D.3 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【详解】因为圆内接正三角形的面积为3， 所以圆的半径为23， 所以该圆的内接正六边形的边心距23×sin60°＝23×3＝1， 故选B ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．12. 如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（共6小题）13. 在平面直角坐标系中，点P(-2，3)关于原点对称点的坐标为________． 【答案】(2，-3) 【解析】【分析】直接利用点关于原点对称点的性质，平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），从而可得出答案．得出答案．【详解】解：点P （-2，3），关于原点对称点坐标是：（2，-3）． 故答案为：（2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 14. 如图，在⊙O 中，点C 是弧AB 的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于_____度．【答案】40． 【解析】【分析】由于点C 是弧AB 的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC 是∠BOA 的一半；在等腰△AOB 中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA 的度数，由此得解． 【详解】△OAB 中，OA ＝OB ， ∴∠BOA ＝180°﹣2∠A ＝80°， ∵点C 是弧AB 的中点， ∴AC BC =， ∴∠BOC ＝12∠BOA ＝40°， 故答案为40．【点睛】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键. 15. 方程的()()121x x x +-=+解是______.【答案】11x =-，23x = 【解析】【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可. 【详解】解：()()121x x x +-=+，()()12(1)0x x x +--+=， ()()1210x x +--=，即10x +=或210x --=，解得121,3x x =-=， 故填：121,3x x =-=.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解决本题时需注意：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根. 需通过移项，将方程右边化为0.16. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，则这个扇形的面积为_____cm 2． 【答案】3π 【解析】【分析】根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：扇形的面积＝21203360π⨯＝3πcm 2．故答案是：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键．17. 分别写有-1，0，-3，2.5，4的五张卡片，除数字不同，其它均相同，从中任抽一张，则抽出负数的概率是___ 【答案】25【解析】【分析】根据概率的计算公式直接得到答案．【详解】解：-1，0，-3，2.5，4五张卡片中是负数的有：-1，-3， ∴P （抽出负数）=25，故答案为：25． 【点睛】此题考查概率的计算公式，负数的定义，熟记概率的计算公式是解题的关键． 18. 正方形边长3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为______． 【答案】y=x 2+6x 【解析】【详解】解：22(3)3y x =+-=26x x +，故答案为26y x x =+．三、解答题（共7小题）19. 解方程：x 2－4x －7＝0.【答案】12211211x x ，=+=- 【解析】【详解】x²－4x －7＝0, ∵a=1,b=-4,c=-7, ∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0, ∴x=--4444211211±±==±（） , ∴12211,211x x =+=-.20. 如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P =50º，求∠BAC 的度数．【答案】25° 【解析】【分析】由PA ，PB 分别为圆O 的切线，根据切线长定理得到PA=PB ，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P 的度数，求出底角∠PAB 的度数，又AC 为圆O 的直径，根据切线的性质得到PA 与AC 垂直，可得出∠PAC 为直角，用∠PAC-∠PAB 即可求出∠BAC 的度数． 【详解】解：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 点，AC 是⊙O 的直径， ∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB ， 又∵∠P ＝50°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝180502︒︒-＝65°，∴∠BAC ＝∠P AC ﹣∠P AB ＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．21. 某种商品每件的进价为30元，在某段时向内若以每件x 元出售，可卖出(100-x )件，应如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元 【解析】【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】解：设最大利润为y 元， y=(100－x)(x －30)=－(x －65)2+1225 ∵-1＜0，0＜x ＜100，∴当x=65时，y 有最大值，最大值是1225∴当定价为65元时，才能获得最大利润，最大利润是1225元．【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22. 一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字． （1）从袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率；（2）从袋中随机摸出一只小球，再从剩下的小球中随机摸出一只小球，求两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率． 【答案】（1）12；（2）13． 【解析】【详解】试题分析：（1）用奇数的个数除以总数即可求出小球上所标数字为奇数的概率；（2）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数即可求出其概率．试题解析：（1）∵质地完全相同的4只小球，小球上分别标有1、2、3、4四个数字，∴袋中随机摸出一只小球，求小球上所标数字为奇数的概率=24=12；（2）列表得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球上所标数字之和为5的情况数为4，∴两次摸出的小球上所标数字之和为5的概率=412=13．考点：列表法与树状图法；概率公式．23. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BE＝CF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以22BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24. 有一条长40m的篱笆如何围成一个面积为275m的矩形场地？能围成一个面积为2101m的矩形场地吗？如能，说明围法；如不能，说明理由．【答案】能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由见解析【解析】【分析】设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，根据矩形场地的面积为75m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；不能围成一个面积为101m2的矩形场地，设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，根据矩形长度的面积为101m2，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△=-4＜0，可得出不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【详解】解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20-x）m，依题意得：x（20-x）=75，整理得：x2-20x+75=0，解得：x1=5，x2=15，当x=5时，20-x=15；当x=15时，20-x=5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20-y）m，依题意得：y（20-y）=101，整理得：y2-20y+101=0，∵△=（-20）2-4×1×101=-4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=5，CD=4，求BE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【详解】分析：（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；（2）过O作OM垂直于BE，可得出四边形ODCM为矩形，在直角三角形OBM中，利用勾股定理求出BM的长，由垂径定理可得BE=2BM．详解：（1）连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB．∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD．∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC．∵∠C=90º，∴∠ODC=90º，∴OD⊥AC．∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．（2）过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O的弦，且OM⊥BE，∴BM=EM，∵∠ODC=∠C=∠OMC= 90°，∴四边形ODCM为矩形，则OM=DC=4．∵OB=5，∴BM =22-=3=EM，54∴BE=BM+EM=6．点睛：本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键．26. 已知，二次函数y=x2+bx+c 的图象经过A(-2，0)和B(0，4)．（1）求二次函数解析式；（2）求AOB S；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+4x+4；（2）4；（3）x=-2；（4）存在，(﹣2，4)或(﹣2，﹣4)【解析】【分析】（1）由待定系数法，把点A、B代入解析式，即可求出答案；（2）由题意，求出OA=2，OB=4，即可求出答案；（3）由2bxa=-，即可求出答案； （4）由题意，可分为两种情况进行讨论：①当点P 在点A 的上方时；②当点P 在点A 的下方时；分别求出点P 的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）∵y=x 2+bx+c 的图象经过A （－2，0）和B （0，4）∴42b 04c c +=⎧⎨=⎩－ 解得：b 44c =⎧⎨=⎩；∴二次函数解析式为：y=x 2+4x+4； （2）∵A （﹣2，0），B （0，4）， ∴OA=2，OB=4， ∴S △AOB =12OA•OB=12×2×4=4； （3）对称轴方程为直线为：4221x =-=-⨯； （4）∵以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形， ∴AP=OB=4，当点P 在点A 的上方时，点P 的坐标为（﹣2，4）， 当点P 在点A 的下方时，点P 的坐标为（﹣2，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P ，A ，O ，B 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。
2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（2分）如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（2分）若反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2≤y1＜y3 4．（2分）如图，AB与CD相交于点E，AD∥BC，，CD＝16，则DE的长为（）A．3B．6C．D．105．（2分）下表记录了一名设计运动员在同一条件下的射击成绩，这名射击运动员射击一次，射击中9环的概率约是（）6．（2分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A．B．C．D．7．（2分）下列命题正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形89A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm10．（2分）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）计算：cos230°+|1﹣|﹣2sin45°+（π﹣3.14）0＝．12．（3分）如图，已知路灯离的面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．13．（3分）在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是．15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是．16．（3分）在矩形ABCD中，AB＝9，tan∠ADB＝，点E在射线DA上，连接BE，将线段BE绕点E旋转90°后，点B恰好落在射线DB上（此时点B的对应点为点F），则线段DF的长为．三、解答题17．（6分）解方程：（x﹣3）2＝7x﹣21．18．（8分）节假日期间向、某商场组织游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩于参加游戏，A、B、C分别表示一位家长，他们的孩子分别对应的是a，b，c．若主持人分别从三位家长和三位孩予中各选一人参加游戏．（1）若已选中家长A，则恰好选中孩子的概率是．（2）请用画树状图或列表法求出被选中的恰好是同一家庭成员的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD＝30°，连接AE交BD于点F、连接CF．（1）求证：四边形BECO是菱形；（2）填空：若AC＝8，则线段CF的长为．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房的产的新政策出台后，购房者持币观望，房的产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）21．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC 的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到的面的距离．（结果保留根号）五、（本题10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．六、（本题10分）23．（10分）一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．八、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．25．（12分）如图，直线y＝x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N．（1）填空：点B的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．2018-2019学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．【解答】解：因为，所以b＝，把b＝代入则＝，故选：B．2．【解答】解：如图所示：它的俯视图是：．故选：C．3．【解答】解：∵y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y＝﹣的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），∴点（﹣1，y1）和（﹣，y2）在第二象限，点（，y3）在第四象限，﹣1＜﹣，∴0＜y1＜y2，y3＜0，即y3＜y1＜y2，故选：C．4．【解答】解：∵AD∥BC，∴△CBE∽△AED，∴BE：AE＝CE：ED＝3：5，∵CD＝16．CE+ED＝CD，∴DE＝，故选：D．5．【解答】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.7附近，所以这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.7，故选：C．6．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：D．7．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确；B、对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误，应为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；C、对角线相等的四边形是矩形，说法错误，应为对角线相等且平分的四边形是矩形；D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：A．8．【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线x＝＝2，故选项B正确，该函数的顶点坐标是（2，7），有最大值，开口向下，故选项A正确，该函数与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故选项C正确，当1＜x＜3时，6＜y≤7，故选项D错误，故选：D．9．【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，∴AB＝＝10（cm），故选：B．10．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，∴CD＝＝，∵AC＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【解答】解：原式＝（）2+﹣1﹣2×+1＝+﹣1﹣+1＝．故答案为：．12．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴CB＝6，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4（m）．故答案为4．13．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率＝＝．故答案为．14．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣2×，4×）或[﹣2×（﹣），4×（﹣）]，即点A′的坐标为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．15．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．16．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝9，tan∠ADB＝，∴AD＝12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB＝，∴设DH＝4x，FH＝3x，∴DF＝5x，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠ABE＝∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF（AAS），∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，∴AE+DH＝AD﹣EH＝3x+4x＝12﹣9＝3，∴x＝，∴DF＝5x＝；如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝9，tan∠ADB＝，∴AD＝12，过F作FH⊥AD于H，∵tan∠ADB＝，∴设DH＝4x，FH＝3x，∴DF＝5x，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠HEF＝90°，∴∠ABE＝∠HEF，在△ABE与△HEF中，，∴△ABE≌△HEF，∴AE＝HF＝3x，EH＝AB＝9，∴DH﹣AE＝AD+EH＝4x﹣3x＝12+9＝21，∴x＝21，∴DF＝5x＝105，综上所述，线段DF的长为或105．故答案为：或105．三、解答题17．【解答】解：∵（x﹣3）2﹣7（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣10）＝0，则x﹣3＝0或x﹣10＝0，解得：x1＝3，x2＝10．18．【解答】解：（1）∵有三位孩子，分别是a，b，c，∴家长A恰好选中孩子的概率是；故答案为：．（2）画树状图如下：∵共有9种等情况数，恰好是同一家庭成员的有3种情况数，∴被选中的恰好是同一家庭成员的概率是＝．19．【解答】解：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴平行四边形OBEC是菱形；（2）∵BE∥AC，∴∠OAF＝∠BEF，∵AO＝BO＝BE，在△AOF与△EBF中，，∴△AOF≌△EBF（AAS），∴OF＝BF，∵AC＝8，∴BD＝8，∴OC＝OB＝4，∵∠ABD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴CF⊥OB，∴CF＝OC＝2．故答案为：2．四、（每小题8分，共16分）20．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．21．【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，∴∠FHE＝45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC tan60°＝1×＝，∴GM＝AB＝，在Rt△ANH中，∠F AN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝×＝，∴EM＝EG+GM＝+，答：篮板底部点E到的面的距离是（+）米．五、（本题10分）22．【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得n＝2，∴A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B与点A关于原点对称，∴B（1，﹣2）．（2）∵A（﹣1，2），∴y≤2的取值范围是x＜﹣1或x＞0；（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，设P（m，﹣），则（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m+1＝0，解得m＝或m＝，∴P点的横坐标为．六、（本题10分）23．【解答】解：（1）根据题意得，y与x满足一次函数关系，设y＝kx+b，则，解得：，即每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为：y＝﹣x+50；故答案为：y＝﹣x+50；（2）设公司获得的日收益为w，则w＝（x﹣30）（﹣x+50）＝﹣x2+60x﹣1500；（3）z＝w﹣12（10﹣y）＝﹣x2+56x﹣1020＝﹣（x﹣84）2+1332（x≥120），∵当x＞84时，z随x的增大而减小，∴当x＝120时，z取得最大值，最大值＝﹣（120﹣84）2+1332＝900，答：将每辆汽车的日租金定为120元，才能使公司获得最大日收益，公司的最大日收益是900元．八、（本题12分）24．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．25．【解答】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝x+a，解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═x﹣3，令x＝0，则：y＝﹣3，则点B坐标为（0，﹣3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：×16+4b﹣3＝0，解得：b＝﹣，故：抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，故：答案为：（0，﹣3），y＝x2﹣x﹣3；（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，m﹣3），N（m，m2﹣m﹣3），∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）＝﹣（m﹣2）2+3，∵a＝﹣＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝2时，PN有最大值是3，②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝m2﹣m﹣3，解得：m＝3或0（舍去m＝0），∴m＝3；当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，设：直线BN的表达式为：y＝﹣x+n，把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣x﹣3，将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝或0（舍去m＝0），当∠BPN＝90°时，不合题意舍去，故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或；（3）∵OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tanα＝，则：cosα＝，sinα＝，∵PM∥y轴，∴∠BPN＝∠ABO＝α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB 上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n＝m2﹣m﹣3，过点N作AB的平行线，则点N所在的直线表达式为：y＝x+b，将点N坐标代入，解得：过N点直线表达式为：y＝x+（n﹣m），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，△＝144﹣3×4×（0＝﹣12+3m﹣4n）＝0，将n＝m2﹣m﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣），则：点P坐标为（2，﹣），则：PN＝3，∵OB＝3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y ＝x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±2，则点N′、N″的横坐标分别为2，2﹣2，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h＝NH＝NP sinα＝，作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON ′＝＝（2+2），S四边形OBPN＝BP•h ＝×＝6，则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+6，同理：S四边形OBN″P″＝6﹣6，故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+6或6﹣6．surferteacherdiver writerinspector（检查员）wash——washingpack——packing（包装）hikingShopping第页（共22页）21第页（共22页）22。
