广东省广州市2013届高三毕业班综合测试理综试题(一)2013广州一模 Word版含答案

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2013.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回相互独立,那么. 线性回归方程中系数计算公式， 其中表示样本均值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40，集合，，则 A． B． C． D． 2. 已知，其中是实数，i是虚数单位，则i A．i B．i C．i D．i 3．已知变量满足约束条件则的最大值为 A． B． C． D． 4. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角是 A． B． C． D． 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是 A． B． C. D. 6. 函数是 A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增 C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增 7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数 的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B. C. D. 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m， 一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头. 已知km，水流速度为km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中 的速度大小为 A． km/h B．km/h 图2 C．km/h D．km/h 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 的解集是 . 10．d . 11．某工厂的使用年限和所支出的维修费用(万元)有表统计资料：234562.23.85.56.57.0 根据上表可得回归方程，据此模型估计使用年限为10年时费用约万元（结果保留两位小数），函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 13. 已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则， . （二）选做题（14～1514．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，的直径，的切线，交于点，若，，则的长为． 已知函数，，）的最大值为2，最小正周 期为. （1）求函数的解析式；2）若函数上点横坐标为，求 的. 17．（本小题满分12分） 甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： 0123(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求，的值； （3) 求的数学期望. 18．（本小题满分14分） 如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形， 平面，，分别是，的中点. （1）求证：∥平面； （2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时， 求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分） 已知数列的前项和为，N. (1) 求数列；是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断 是否成等比数列？并说明理由. 20．（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点. (1) 求椭圆的方程； (2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数，关于的不等式 的解集为，其中为非零常数.设. （1）求的值； （2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点； （3）若，且，求证：N. 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号12345678答案DBCD ACAB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9． 10． 11． 12．或 13．8， 14． 15． 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：Z. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵的最大值为2，且， ∴. ……………1分 ∵的最小正周期为， ∴，得. ……………2分 ∴. ……………3分 （2）解法1：∵， ……………4分 ， ……………5分 ∴. ∴. ……………8分 ∴. ………10分 ∴. ……………11分 ∴△的面积为. ……………12分 解法2：∵， ……………4分 ， ……………5分 ∴. （苏元高考吧： ∴. ……………8分 ∴. ……………10分 ∴. ……………11分 ∴△的面积为. ……………12分 解法3：∵， ……………4分 ， ……………5分 ∴. ∴直线的方程为，即. ……………7分 ∴点到直线的距离为. ……………9分 ∵， ……………11分 ∴△的面积为. ……………12分 17．（本小题满分12分） （本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知， . ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的， 所以至少有一位学生做对该题的概率是. …………3分 （2）由题意知， ……………4分 ， ……………5分 整理得 ，. 由，解得，. ……………7分 （3）由题意知 ， ………9分 =， ……………10分 ∴的数学期望为=. …………12分 18．（本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一： （1）证明：延长交的延长线于点，连接. ∵∥，且， ∴为的中点. ……………2分 ∵为的中点， ∴∥. ……………3分 ∵平面，平面， ∴∥平面. ……………4分 （2）解：∵平面，平面， ∴. ……………5分 ∵△是边长为的等边三角形，是的中点， ∴，. ∵平面，平面，， ∴平面. ……………6分 ∴为与平面所成的角. ……………7分 ∵， 在Rt△中，， ∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分 ∴当时，最大. 此时，. ∴. ……………9分 ∵∥，平面， ∴平面. ……………10分 ∵平面，平面， ∴，. ……………11分 ∴为平面 与平面所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt△中，，.…13分 ∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分 解法二： （1）证明：取的中点，连接、. ∵为的中点， ∴∥，且. ……………1分 ∵∥，且， ∴∥，. ……………2分 ∴四边形是平行四边形. ∴∥. ……………3分 ∵平面，平面， ∴∥平面. （苏元高考吧： ……………4分 （2）解：∵平面，平面， ∴. ……………5分 ∵△是边长为的等边三角形，是的中点， ∴，. ∵平面，平面，， ∴平面. ……………6分 ∴为与平面所成的角. ……………7分 ∵， 在Rt△中，， ∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分 ∴当时，最大. 此时，. ∴. ……………9分 在Rt△中，. ∵Rt△～Rt△， ∴，即. ∴. ……………10分 以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴，，. 设平面的法向量为， 由，， 得 （苏元高考吧： 令，则. ∴平面的一个法向量为. ……………12分 ∵平面， ∴是平面的一个法向量. ∴. ……………13分 ∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：， ∴ 当时，有 解得 . ……………1分 由, ① 得, ② ……………2分 ② - ①得: . ③ ……………3分 以下提供两种方法： 法1：由③式得：， 即; ……………4分 ， ……………5分 ∵， ∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴,即. ……………6分 当时, ， ……………7分 又也满足上式, ∴. ……………8分 法2：由③式得：， 得. ④ ……………4分 当时,, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：. ……………6分 由，得， ∴. ……………7分 ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列. ∴. ……………8分 （2）解：∵成等差数列， ∴. ……………9分 假设成等比数列， 则， ……………10分 即， 化简得：. （*） ……………11分 ∵， ∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴不是等比数列. ……………14分 20．（本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解法1：设椭圆的方程为, 依题意: 解得: ……………2分 ∴ 椭圆的方程为. ……………3分 解法2：设椭圆的方程为， 根据椭圆的定义得，即， ……………1分 ∵， ∴. ……………2分 ∴ 椭圆的方程为. ……………3分 (2)解法1：设点,，则， ， ∵三点共线, （苏元高考吧： ∴. ……………4分 ∴, 化简得：. ① ……………5分 由,即得. ……………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ……………8分 设点，由②③得：， 而，则 . ……………9分 代入②得 ， ……………10分 则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为. ……………11分 若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上， ……………12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点有两个. ……………14分 解法2：设点,，， 由,即得. ……………4分 ∴抛物线在点处的切线的方程为， 即. ……………5分 ∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① ……………6分 同理， . ② ……………7分 综合①、②得，点的坐标都满足方程. ……………8分 ∵经过的直线是唯一的， ∴直线的方程为， ……………9分 ∵点在直线上， ∴. ……………10分 ∴点的轨迹方程为. ……………11分 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，……12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点有两个. ……………14分 解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. ……………4分 设,则. ……………5分 由,即得. ……………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分 ∵， ∴. 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分 由解得 ∴. ……………10分 ∵, ∴点在椭圆上. ……………11分 ∴. 化简得.(*) ……………12分 由, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分） （本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于的不等式的解集为， 即不等式的解集为， ∴. ∴. ∴. ∴. ……………2分 (2)解法1:由(1)得. ∴的定义域为. ∴. ……………3分 方程（*）的判别式 . ……………4分 ①当时，，方程（*）的两个实根为 ……………5分 则时，；时，. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点. ……………6分 ②当时，由,得或， 若，则 故时，，（苏元高考吧： ∴函数在上单调递增. ∴函数没有极值点. ……………7分 若时， 则时，；时，；时，. ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点，有极大值点. ……………8分 综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点； 当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分 (其中, ) 解法2:由(1)得. ∴的定义域为. ∴. ……………3分 若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且 至少有一个零点在上. ……………4分 令, 得, (*) 则,(**) ……………5分 方程（*）的两个实根为, . 设, ①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立. 则时，；时，. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点. ……………6分 ②若,则得 又由(**)解得或, 故. ……………7分 则时，；时，；时，. ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点，有极大值点. ……………8分 综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点； 当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分 (其中, ) (2)证法1：∵， ∴. ∴ . ……………10分 令， 则 . ∵， ∴ ……11分 …12分 . ……………13分 ∴，即. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式. ① 当时，左边，右边，不等式成立； ……………10分 ② 假设当N时，不等式成立，即， 则 ……………11分 ……………12分 . ……………13分 也就是说，当时，不等式也成立. 由①②可得，对N，都成立. ………14分 水流方向。

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）生物参考答案及评分标准三、非选择题：每小题16分。

除特殊说明外，每空2分。

26．标准答案（16分）（1）流动性 4（2）二、三避免细胞非正常死亡（维持细胞内部环境相对稳定）（3）主动运输（4）核糖体排出细胞外或被细胞利用增强26．补充答案（16分）⑴【标准答案】流动性 4【补充答案】第一空：流动性和选择透过性（0分）⑵【标准答案】二、三避免细胞非正常死亡（维持细胞内部环境相对稳定）【补充答案】第一空：只答“二”或“三”不给分，“二、三”可以由“2、3”等其它数字形式代替。

第二空：维持细胞内环境相对稳定、维持细胞生命活动正常进行（2分）维持内环境稳定、维持机体生命活动正常进行、加快细胞代谢速率、有利于机体有氧呼吸的正常进行、促进细胞器的更新、清除衰老受损的细胞器、（0分）（评分依据：严格遵循本题题干开头的第一句话）⑶【标准答案】主动运输【补充答案】无⑷【标准答案】核糖体排出细胞外或被细胞利用增强【补充答案】第一空：核糖体和内质网、核糖体和高尔基体（2分）其余0分第二空：被细胞利用（2分）排出细胞外（1分）用于细胞内物质更新、用于呼吸作用、用于合成细胞器等、自噬体→细胞膜→细胞外液（内环境）（1分）27.标准答案（16分，每空2分）（1）脆性X综合征患病人数/被调查人数×100% （2）基因突变（3）①常染色体显性遗传 3/4②25% 女性Ⅰ2（Ⅰ2和Ⅱ6）③人体的成熟红细胞没有细胞核（不存在该基因）27.补充答案（16分，每空2分）（1）脆性X综合征患病人数/被调查人数×100%补充答案：患病人数/被调查人数×100%缺“人数”、“被调查”、“X100%”视为表述不规范，各扣1分。

（2）基因突变只写“突变”、“基因变异”不给分，多答“基因重组”、“染色体变异”不给分（3）①常染色体显性遗传补充答案：常染色体显性“伴染色体显性遗传”扣1分“染色体遗传”、“显性遗传”不给分3/4 补充答案：75%、0.75②25% 补充答案：1/4女性补充答案：女、雌性Ⅰ2（Ⅰ2和Ⅱ6）只答Ⅱ6 不给分、只答2、6不给分。

2013年高中数学毕业班一模理科试题（广州市带答案）试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件相互独立,那么.线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，，则A．B．C．D．2.已知，其中是实数，i是虚数单位，则iA．iB．iC．iD．i3．已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．4.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A．B．C．D．5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A．B．C.D.6.函数是A．奇函数且在上单调递增B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增D．偶函数且在上单调递增7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A．B.C.D.8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h,若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A．km/hB．km/h图2C．km/hD．km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式的解集是.10．d.11．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元（结果保留两位小数）．12．已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为.13.已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则，.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为，(＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：0123(1)求至少有一位学生做对该题的概率；（2)求，的值；（3)求的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.（1）求证：∥平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且N.(1)求数列的通项公式；（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在满足的点?若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.（1）求的值；（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；（3）若，且，求证：N.。

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()PA B P A PB ⋅=⋅.线性回归方程y b x a =+ 中系数计算公式 121n i i i n i i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A,,=，{}24B,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð2. 已知11a b i i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3图1俯视图侧视图正视图4. 直线0x -=截圆()2224x y-+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C .23D .136. 函数()()y x x x x s i n c o s s i n c o s =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+- 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知A B =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为A ．8 km/hB ．C ．D ．10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x c o s ⎰d x = .图3C11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）． 12．已知01a a ,>≠，函数()()()11x a x fx x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 .13. 已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线c o s sin 0ρθθ+=上运动，当线段A B 最短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，A B 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D 若3B C =，165A D =，则A B 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知函数()s in ()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△P O Q 的面积.图4ABC A 1C 1B 1DE 17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n(m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111AB C A B C -中，△A B C 是边长为2的等边三角形， 1A A ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1C C ，A B 的中点.（1）求证：C E ∥平面1A B D ；（2）若H 为1A B 上的动点，当C H 与平面1A A B 2求平面1A B D 与平面A B C 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a n a n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212P F P F A F A F +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()21fx xa x m =+++，关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1fx g x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()gx =-()1k x l n-存在极值点，并求出极值点； （3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nnng x gxn (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22nn -+14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2s in ()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2s in 2c os244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， (4)分(4)2s in 2s in 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭，……………5分∴(2,(4,P Q -. ∴O P P Q O Q ===……………8分∴222222c o s 23O P O Q P QP O Q O P O Q+-+-∠===. ………10分∴P O Q s i n ∠==3……………11分∴△P O Q的面积为11223S O P O Q P O Q s i n =∠=⨯⨯⨯=.……………12分解法2：∵(2)2s in 2c o s244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………4分(4)2s in 2s in 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,(4,P Q -. （苏元高考吧： ）∴(2(4,O P O Q ==. ……………8分∴c o s c o s ,3O PO Q P O Q O P O Q O PO Q⋅∠=<>===……………10分∴P O Q s i n ∠==3……………11分∴△P O Q的面积为11223S O P O Q P O Q s i n =∠=⨯⨯⨯=.……………12分解法3：∵(2)2s in 2c o s244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………4分(4)2s in 2s in 44f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭……………5分∴(2,(4,P Q .∴直线O P的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线O P的距离为d ==……………9分∵O P = ……………11分∴△P O Q 的面积为1122S O P d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分（2）由题意知()()()()1101124P PA B Cmn ξ===--=， ……………4分()()113224PPA B Cm n ξ====， ……………5分整理得 112m n =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P PA B C PA B C PA BC ξ===++()()()()11111111122224mn m n mn=--+-+-=， ………9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交A C 的延长线于点F ，连接B F .H FABC A 1C 1B 1DE∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴C 为A F 的中点. ……………2分 ∵E 为A B 的中点，∴C E ∥B F . ……………3分∵B F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . ……………4分 （2）解：∵1A A ⊥平面A B C ，C E ⊂平面A B C ，∴1A A ⊥C E . ……………5分 ∵△A B C 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E A B ⊥，2C E A B==.∵A B ⊂平面1A A B ，1A A ⊂平面1A A B ，1A B A A A = ，∴C E ⊥平面1A A B . ……………6分 ∴E H C ∠为C H 与平面1A A B 所成的角. ……………7分∵C E =在R t △C E H 中，tan C E E H C E HE H∠==，∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……………8分 ∴当1E HA B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E E H CE HE H∠===2∴5E H =……………9分∵C E ∥B F ，C E ⊥平面1A A B ，∴B F ⊥平面1A A B . ……………10分 ∵A B ⊂平面1A A B ，1A B ⊂平面1A A B ，∴B F ⊥A B ，B F ⊥1A B . ……………11分A ∴1AB A ∠为平面1A B D 与平面A BC 所成二面角（锐角）. ……………12分在R t △E H B中，B H ==5，c o s 1A B A∠5B H E B==.…13分∴平面1A B D 与平面A B C所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接D F 、E F .∵E 为A B 的中点， ∴E F ∥1A A ，且112E F A A =. ……………1分∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴E F ∥C D ，E F =C D . ……………2分 ∴四边形E F D C 是平行四边形.∴C E ∥D F . ……………3分 ∵D F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . （苏元高考吧： ） ……………4分 （2）解：∵1A A ⊥平面A B C ，C E ⊂平面A B C ，∴1A A ⊥C E . ……………5分 ∵△A B C 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E A B ⊥，2C E A B==.∵A B ⊂平面1A A B ，1A A ⊂平面1A A B ，1A B A A A = ，∴C E ⊥平面1A A B . ……………6分∴E H C ∠为C H 与平面1A A B 所成的角. ……………7分∵C E =在R t △C E H 中，tan C E E H C E HE H∠==，∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……………8分 ∴当1E HA B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E E H CE HE H∠===2.∴5E H=. ……………9分在R t △E H B中，5B H==.∵R t △E H B ～R t △1A A B ，∴1E H B H A A A B=，即1552A A =.∴14A A =. ……………10分 以A 为原点，与A C 垂直的直线为x 轴，A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A x y z -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D()02,,2.∴1A A =()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A B D 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî（苏元高考吧： ）令1y =，则1z x ==,∴平面A B D 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A=()004,,是平面A B C 的一个法向量.∴c o s111,⋅==n A A n A A n AA 5. ……………13分∴平面1A B D 与平面A B C 所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a n a n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a n a n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a n a n a n S n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a n S n S +++=--+. ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S n S n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a n S n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分 即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222prq+>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. (3)分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a A F A F =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧： ）∴B C B A //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212P F P F A F A F +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002，……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212P F P F A F A F +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y kx =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x k x k -+-=. ……………4分设()()1122B x y Cxy ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212P F P F A F A F +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230kk --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x mx m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x mm ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1xm x m ---.∴()2212x am x mm ++-++=()()2211xm x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分 (2)解法1:由(1)得()()1fx gx x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x l n-()11m xx =-+-()1k x l n--的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x---()()22211xkx k m x-++-+=-. ……………3分方程()2210x kx k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m km =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-112x ,=<212x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，（苏元高考吧： ） ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >时，1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x xx ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12xx ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1fx gx x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x gx ϕ=-()1k x l n-()11m xx =-+-()1k x l n--的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x---()()22211xkx k m x-++-+=-. ……………3分若函数()()x gx ϕ=-()1k x l n-存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211xkx k m x-++-+=-0=,得()221x kx k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m km =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x kx k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩ 又由(**)解得k >k <-故k >. ……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x xx ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()gx =()111x x -+-.∴()()1111nnnn n gx gx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111nn n n nn n n nnn nn xC xC xC x C x xxxxx ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C xC x C x----=+++ . ……………10分令T 122412n n n nn n nC x C xC x----=+++ ， 则T 122412n nn nn nnn C xC xC x-----=+++122412nnn n n n nC xC xC x----=+++ .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n nn nn nn n nnC xxC xxC xx-------=++++++ ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n nC C C -=+++()012102n n nn n n n n n nC C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22n T ≥-，即()()1122nnng x gx⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-， 则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k≥⋅-+……………12分122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nnng x gx⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

7．在水溶液中能大量共存的一组离子是A．Al3+、+、HCO3－、SO42－B．+、Fe2+、ClO－、Cl－ C．Mg2+、K+、SO42－、NO3－D．NH4+、Ag+、OH－、Br－ ．下列叙述正确的是 A． B．都是高分子化合物C．D． 9．下列实验能达到目的的是 ．用制备B．用 C．用 D．用FeCl2溶液中的FeCl3杂质 10．设nA为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是 A．g CH4含有nA电子 B．常温常压下，22.4L C2含有nA个原子 ．1 mol与足量稀HNO3反应，转移nA个电子 ．1L 0.1 mol·L－1 Na2SO3溶液中含有0.1nA个SO32－ ．下列陈述ⅠⅡ正确并且有因果关系的是 选项陈述Ⅰ陈述ⅡAH2SO4有吸水性浓H2SO4可用NH3BSO2有氧化性SO2尾气可用NaOH溶液吸收C Mg有还原性电解MgCl2饱和溶液可制备MgD锌金属性比铁强海轮外壳上装锌块可减缓腐蚀12．对于常温下pH的酸，正确的是 A．c(H+)＝c(CH3COO－) + c(OH－) B．pH变为4 C．加入少量乙酸钠固体，溶液pH降低 D．与等体积H为11的混合后液c(Na+)＝c(CH3COO－) 22．短周期元素的X、Y、Z、W原子序数依次增大，X原子最外层电子数电子层数Y与XY2X2和Y2XZ原子的核外电子数比原子Y原子1，WX同主族，则 A．原子半径：Y＜Z＜W B．Y＞Z C．气态氢化物的稳定性W D．YZ两者最高价氧化物 23．在密CO(g)+2H2(g)CH3OH(g) ，其在和n(CH3OH)-反应时间t的变化曲线如图所示，下列说法正确的是A．H＜0 ．其他条件不变，升高温度反应的平衡常数增大 ．300℃时CH3OH的平均速率为mol·L－1 －1 D．300℃升高到500℃，达到平衡时减小 30．（16分）液晶高分子新型液晶基元---化合物的合成线路如下： 1．化合物Ⅰ的分子式__________ ，1mol化合物Ⅰ最多可与_____molNaOH溶液反应。

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件相互独立,那么.线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则A． B．C． D．2. 已知，其中是实数，i是虚数单位，则iA．i B．i C．i D．i3．已知变量满足约束条件则的最大值为A． B． C． D．4. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A． B．C． D．5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A． B． C. D.6. 函数是A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是A． B.C. D.8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，水流方向一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A． km/h B．km/h 图2C．km/h D．km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式的解集是 .10．d .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：234562.23.8 5.5 6.57.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．12．已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 13. 已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则， .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△ 的面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率；（2) 求，的值；（3) 求的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.（1）求证：∥平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且 N.(1) 求数列的通项公式；（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数.设.（1）求的值；（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；（3）若，且，求证：N.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案D B C D A C A B二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9． 10． 11． 12．或 13．8，14． 15．说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：Z.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵的最大值为2，且， ∴. ……………1分∵的最小正周期为， ∴，得. ……………2分∴. ……………3分（2）解法1：∵，……………4分，……………5分∴.∴. ……………8分∴. ………10分∴. ……………11分∴△的面积为.12分解法2：∵，……………4分，……………5分∴. （苏元高考吧：）∴. ……………8分∴. ……………10分∴. ……………11分∴△的面积为.12分解法3：∵，……………4分，……………5分∴.∴直线的方程为，即. ……………7分∴点到直线的距离为. ……………9分∵， ……………11分∴△的面积为. ……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知，. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是. …………3分（2）由题意知， ……………4分 ，……………5分整理得，.由，解得，. ……………7分（3）由题意知， ………9分=， ……………10分∴的数学期望为=.12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）解法一：（1）证明：延长交的延长线于点，连接.∵∥，且，∴为的中点. ……………2分∵为的中点，∴∥. ……………3分∵平面，平面，∴∥平面. ……………4分（2）解：∵平面，平面，∴. ……………5分∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，.∵平面，平面，，∴平面. ……………6分∴为与平面所成的角. ……………7分∵，在R t△中，，∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分∴当时，最大. 此时，.∴. ……………9分∵∥，平面，∴平面. ……………10分∵平面，平面，∴，. ……………11分∴为平面与平面所成二面角（锐角）. (12)分在R t△中，，.…13分∴平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分解法二：（1）证明：取的中点，连接、.∵为的中点，∴∥，且. ……………1分∵∥，且，∴∥，. ……………2分∴四边形是平行四边形.∴∥. ……………3分∵平面，平面，∴∥平面. （苏元高考吧：） (4)分（2）解：∵平面，平面，∴. ……………5分∵△是边长为的等边三角形，是的中点，∴，.∵平面，平面，，∴平面. ……………6分∴为与平面所成的角. ……………7分∵，在R t△中，，∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分∴当时，最大. 此时，.∴. ……………9分在R t△中，.∵R t△～R t△，∴，即.∴.……………10分以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，.∴，，.设平面的法向量为，由，，得 （苏元高考吧：）令，则.∴平面的一个法向量为. ……………12分∵平面， ∴是平面的一个法向量.∴. ……………13分∴平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）(1) 解：，∴ 当时，有 解得 . ……………1分由, ①得, ② ……………2分② - ①得: . ③ ……………3分以下提供两种方法：法1：由③式得：，即; ……………4分， ……………5分∵，∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.∴,即. ……………6分当时, ， ……………7分又也满足上式,∴. ……………8分法2：由③式得：，得. ④ ……………4分当时,, ⑤ ……………5分⑤-④得：. ……………6分由，得，∴. ……………7分∴数列是以为首项，2为公比的等比数列. ∴. (8)分（2）解：∵成等差数列，∴. ……………9分假设成等比数列，则， ……………10分即，化简得：. （*） ……………11分∵，∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆的方程为,依题意: 解得: ……………2分∴椭圆的方程为. ……………3分解法2：设椭圆的方程为，根据椭圆的定义得，即，……………1分∵，∴. ……………2分∴椭圆的方程为. ……………3分(2)解法1：设点,，则，，∵三点共线, （苏元高考吧：）∴. ……………4分∴,化简得：. ① ……………5分由,即得. ……………6分∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ②同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ……………8分设点，由②③得：，而，则 . ……………9分代入②得，……………10分则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为.11分若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上，12分∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.……………13分∴满足条件的点有两个. ……………14分解法2：设点,，，由,即得. ……………4分∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ……………5分∵，∴ .∵点在切线上, ∴. ① ……………6分同理， . ② ……………7分综合①、②得，点的坐标都满足方程. ……………8分∵经过的直线是唯一的，∴直线的方程为，……………9分∵点在直线上， ∴. ……………10分∴点的轨迹方程为. ……………11分若 ，则点在椭圆上，又在直线上，……12分∵直线经过椭圆内一点,∴直线与椭圆交于两点.……………13分∴满足条件的点有两个. ……………14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去，得. ……………4分设,则. ……………5分由,即得. ……………6分∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分∵，∴.同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分由解得∴. ……………10分∵,∴点在椭圆上. ……………11分∴.化简得.(*) ……………12分由, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，∴.∴.∴.∴. ……………2分(2)解法1:由(1)得.∴的定义域为.∴. ……………3分方程（*）的判别式. ……………4分①当时，，方程（*）的两个实根为……………5分则时，；时，.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点. ……………6分②当时，由,得或，若，则故时，，（苏元高考吧：）∴函数在上单调递增.∴函数没有极值点. ……………7分若时，则时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点，有极大值点. ……………8分综上所述,当时，取任意实数, 函数有极小值点；当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分(其中, )解法2:由(1)得.∴的定义域为.∴. ……………3分若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上.……………4分令,得, (*)则,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为, .设,①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.则时，；时，.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点.……………6分②若,则得又由(**)解得或,故. ……………7分则时，；时，；时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴函数有极小值点，有极大值点.……………8分综上所述,当时，取任何实数, 函数有极小值点；当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分(其中, )(2)证法1：∵， ∴.∴. ……………10分令，则.∵，∴ ……11分…12分. (13)分∴，即. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式.① 当时，左边，右边，不等式成立；10分② 假设当N时，不等式成立，即，则……………11分……………12分. ……………13分也就是说，当时，不等式也成立.由①②可得，对N，都成立. ………14分。

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………8分 ∴cos cos ,6OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABCm n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===∴EH =……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，A ∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ， ∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在R t △EHB中，BH ==5cos 1ABA∠5BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ，∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===∴EH =……………9分 在R t △EHB中，BH ==. ∵R t △EHB ～R t △1A AB ， ∴1EH BH AA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B )10,，D ()02,,2.∴1AA =()004,,，1A B=)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分 ∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分 ∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分 又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分 法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. ……………8分 （2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上， ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时，由0Δ>,得k <-k >若k <-11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1：∵1m =， ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++. ……………10分 令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22nT ≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk kx x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）英语2013.3本试卷共12页，三大题，满分135分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市> 县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A)填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

I语言知识及应用（共两节，满分45分）第一节完形填空（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从1〜15各题所给的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

Johnny, a lizard (蜥蜴），lived between some rocks in the country, where he liked sunbathing every morning. One day, he felt so I doing so1_____that he didn‟t notice some boys coming up behind him. The boys 2 _____Johnny, and he could only escape from their hands by losing his tail and running to 3 _____.Shocked and 4 _____ ，the trembling lizard spied on the children watching his tail moving about, even though it was no longer 5 _____ to his body. The children soon grew 6 _____, threw the tail away and left. Johnny came out to look for his tail, but could find no 7 _____ of it.Determined to recover his “lost belongings" , Johnny abandoned everything else in his life, devoting himself entirely to the 8 _____ Days and months passed, and Johnny kept looking, asking everyone whether they had seen his tail.One day, someone he asked 9 _____replied, “Why do you need two tails?”Johnny turned and saw that he had grown a new, stronger tail. He suddenly realised how 10 _____ it had been to waste so much time on a problem for which there was no 11 _____ Johnny turned back and headedfor home.On the way, he found his old tail on the roadside. Although it looked horrible, Johnny was still 12 _____to have it back. He picked it up and was about to 13 _____ his journey when the truth finally hit him ：he was looking at the past.He then decided to 14 _____ his old tail there, leaving with it all his past worries. As he continued his journey, all he took with him were thoughts of the 15 _____ .1 .A interested B Relaxed C lonely D.Nervous2.A.caught B.discovered C.stopped D.teased3. A.sleep B.sunbathe c.hide D.cry4. A.disabled B.confused c.disappointed D.frightened5 .A.added B.attached c.related D.tied6. A.cautious B.desperate c.bored D.worried7. A.proof B.sign c.mark e8. A.search B.journey c…countrysideD.hope9. A .hopefully B . generously c. surprisedly D. understandingly 10,. A. riskyB . hard c. careless D silly 11. A. solution B . response c. evidence D. reason 12,.A.encouragedB ashamed c. upset D. delighted 13,.A , changeB . continue c. plan D. end 14. A, ,returnB .cut c. remove D. drop 15 A, .tail B children c. future D.past 1.【答案】B【解析】考查形容词及语境的理解。

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）英语本试卷共12页，三大题，满分135分。

考试用时120分钟。

I语言知识及应用（共两节，满分45分）第一节完形填空（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从1〜15各题所给的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

Johnny, a lizard (蜥蜴），lived between some rocks in the country, where he liked sunbathing every morning. One day, he felt so I doing so 1_____that he didn’t notice some boys coming up behind him. The boys 2 _____Johnny, and he could only escape from their hands by losing his tail and running to 3 _____.Shocked and 4 _____ ，the trembling lizard spied on the children watching his tail moving about, even though it was no longer 5 _____ to his body. The children soon grew 6 _____, threw the tail away and left. Johnny came out to look for his tail, but could find no 7 _____ of it. Determined to recover h is “lost belongings" , Johnny abandoned everything else in his life, devoting himself entirely to the 8 _____ Days and months passed, and Johnny kept looking, asking everyone whether they had seen his tail.One day, someone he asked 9 _____replied, “Why do you need two tails?”Johnny turned and saw that he had grown a new, stronger tail. He suddenly realised how 10 _____ it had been to waste so much time on a problem for which there was no 11 _____ Johnny turned back and headed for home.On the way, he found his old tail on the roadside. Although it looked horrible, Johnny was still 12 _____to have it back. He picked it up and was about to 13 _____ his journey when the truth finally hit him ：he was looking at the past.He then decided to 14 _____ his old tail there, leaving with it all his past worries. As he continued his journey, all he took with him were thoughts of the 15 _____ .1 AA. interestedB. relaxedC. lonelyD. nervous2. A. caught B. discovered C. stopped D. teased3. A. sleep B. sunbathe c. hide D. cry4. A. disabled B. confused c. disappointed D. frightened5 A. added B. attached c. related D. tied6. A. cautious B. desperate c. bored D. worried7. A. proof B. sign c. mark D. use8. A. search B. journey c‘countryside D. hope9.A. hopefully B. generously c. surprisedly D. understandingly 10,. A. ,risky B. hard c. careless D silly11. A. ,solution B. response c. evidence D. reason 12,. A. .encouraged B ashamed c. upset D. delighted 13,. A, .change B. continue c. plan D. end14. A, ,return B. cut c. remove D. drop15 A, .tail B. children c. future D. past第二节语法填空（共10小题；每小题I. 5分，满分15分)阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空，并将答案填写在答题卡标号为16〜25的相应位置上。

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科综合 2013. 3 本试卷共12页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签 .字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A) 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

5.本卷所用相对原子质量：H-1、C-12、0-16、S-32、Cu-64 一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1.下列关于生物膜系统的叙述，正确的是 A.原核细胞无核膜及细胞器膜因而不具生物膜 B.细胞膜功能的复杂程度取决于脂的种类和数量 C.内质网膜为多种酶提供了大量的附着位点 D.有丝分裂过程中核膜随着丝点的分裂而消失 2-眼虫属于原生动物（其眼点能感光），如右图所示。

对其分 析恰当的是 A.眼虫的细胞质中不含RNA B.眼虫具有趋光性，因其眼点能感受化学信息 C.眼虫鞭毛摆动所需的ATP来自叶绿体 D.眼虫的伸缩泡有助于提高物质运输的效率 3.人食用被诺如病毒（NV)NV极易变异，下列推断 不合理的是 A.酸能杀死部分NV属于特异性免疫 B.NV极易变异，人类很难研究相应的疫苗 C.人体有多种抗NV的抗体，可能是因为NV表面存在多种抗原蛋白 D.特异性的效应T细胞能促使被NV入侵的靶细胞裂解 4.有关育种的说法，正确的是 A.多倍体育种过程都要使用秋水仙素 B.利用基因工程技术可定向培育优良品种 C.用于大田生产的优良品种都是纯合子 D 杂交育种与单倍体育种的原理都是基因重组 5 下列对实验的分析，正确的是 A-用洋葱鳞片叶内表皮细胞能观察到质壁分离现象 B.斐林试剂能与蔗糖反应产生砖红色沉淀 C.加人无水乙醇越多，叶绿体色素提取液的绿色越深 D.观察洋葱根尖分生区细胞有丝分裂可用健那绿染色 6.下列关于“转化”的说法不正确的是 A.ATP水解释放的能量可转化成光能、电能等 B.细胞内多个基因发生突变，细胞就转化成癌细胞 C.在含适量DNA酶和S型菌DNA的培养基中，R型菌不能转化为S型菌 D.目的基因导入受体细胞，并在细胞内维持稳定和表达的过程称为转化 7.在水溶液中能大量共存的一组离子是A. Al3+、Na+、HCO3－、SO42－B. H+、Fe2+、ClO-、Cl－C. Mg2+、K+、SO42、NO3-D. NH4+ Ag+、OH-、Br- 8.下列说法正确的是 A.食盐、醋酸和蔗糖都是电解质 B.纤维素、淀粉和蛋白质都是高分子化合物 C.甲烷和乙烯均可使酸性KMnO4溶液褪色 D.乙酸乙酯和植物油均可水解生成乙醇 9.下列实验不能达到目的的是 A.用AlCl3溶液和过量氨水制备Al(OH)3 B.用NH4Cl和Ca(0H) 2固体混合加热制备NH3 C.用NaOH溶液除去苯中的溴 D.用足量铜粉除去FeCl2溶液中的FeCl3杂质 10.设nA为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是 A.16g CH4含有10nA个电子 B.常温常压下，22.4L Cl2含有2nA个Cl原子 C.1 mol Cu与足量稀HNO3反应，转移3nA个电子 D.1L O.1 mol.L-1 Na2SO3 溶液中含有 O. 1nA个S032_ 11.下列陈述I、II正确并且有因果关系的是 选项陈述I陈述IIA浓H2SO4有吸水性浓H2SO4可用于干燥氨气BSO2有氧化性SO2尾气可用NaOH溶液吸收CMg有还原性电解MgCl2饱和溶液可制备MgD锌金属活动性比铁强海轮外壳上装锌块可减缓腐蚀12.对于常温下pH=3的乙酸溶液，下列说法正确的是 A. C(H+)=c(CH3COO-) + c(OH-) B.加水稀释到原体积的10倍后溶液pH变为4 C.加入少量乙酸钠固体，溶液pH降低 D.与等体积pH=11的NaOH溶液混合后所得溶液中：c(Na+)=c(CH3COO- ) 13.水压机是利用液体来传递压强的。

2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科综合（生物）试卷类型：A一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1，下列关于生物膜系统的叙述，正确的是A．原核细胞无核膜及细胞器膜因而不具生物膜B．细胞膜功能的复杂程度取决于磷脂的种类和数量c．内质网膜为多种酶提供了大量的附着位点D．有丝分裂过程中核膜随着丝点的分裂而消失2．眼虫属于原生动物（其眼点能感光），如右图所示。

对其分析恰当的是A．眼虫的细胞质中不含RNAB．眼虫具有趋光性，因其眼点能感受化学信息c．眼虫鞭毛摆动所需的ATP来自叶绿体D．眼虫的伸缩泡有助于提高物质运输的效率眼点3．人食用被诺如病毒（NV）污染的食物会导致呕吐与腹泻，而NV极易变异，下列推断不．合理．．的是A．胃酸能杀死部分NV属于特异性免疫B．NV极易变异，人类很难研究相应的疫苗c．人体有多种抗NV的抗体，可能是因为NV表面存在多种抗原蛋白D．特异性的效应T细胞能促使被NV入侵的靶细胞裂解4．有关育种的说法，正确的是A．多倍体育种过程都要使用秋水仙素B．利用基因工程技术可定向培育优良品种c．用于大田生产的优良品种都是纯合子D．杂交育种与单倍体育种的原理都是基因重组5．下列对实验的分析，正确的是A．用洋葱鳞片叶内表皮细胞能观察到质壁分离现象B．斐林试剂能与蔗糖反应产生砖红色沉淀c．加入无水乙醇越多，叶绿体色素提取液的绿色越深D．观察洋葱根尖分生区细胞有丝分裂可用健那绿染色6．下列关于“转化”的说法不正确．．．的是A．ATP水解释放的能量可转化成光能、电能等B．细胞内多个基因发生突变，细胞就转化成癌细胞c．在含适量DNA酶和S型菌DNA的培养基中，R型菌不能转化为S型菌D．目的基因导人受体细胞，并在细胞内维持稳定和表达的过程称为转化二、双项选择题：在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，选对的得6分，只选1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。

广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A,B 相互独立,那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y axy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121, 其中y x ,表示样本均值。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}4,2{=B ,则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia+=-11,其中a,b 是实数,i 是虚数单位,则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ,则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是 A.6π B.3π C.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.31 6.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数,函数2)(-+=x e x f x 的零点为a,函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b,则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度d=600m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往 河对岸的码头B.已知km AB 1=,水流速度为2km/h,若客船行驶完航程所用最短时 间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=,据此模型估计,该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元(结果保留两位小数).12.已知1,0≠>a a ,函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ,若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25,则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分,则.________)(______,)3(n f f = (二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点)23,2(πA ,点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为______.15.(几何证明选讲选做题)如图3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O交于点D,若BC=3,516=AD ,则AB 的长为______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函)4sin()(πω+=x A x f (其中0,0,>>∈ωA R x )的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P,Q 的横坐标依次为2,4,O 坐标原点,求POQ ∆的 面积.17.(本小题满分12分)甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为,21乙,丙做对的概率分别为m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.(本小题满分14分)如图4,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,ABC ∆是边长为2的等边三角形,⊥1AA 平面ABC,D,E 分别是CC 1,AB 的中点.(1)求证:CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点,当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时,求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的前n 项和为S n ,且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数,且p,q,r 成等差数列,试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点,两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -,点A(2,3)在椭圆C 1上,过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B,C 两点,抛物线C 2在点B,C 处的切线分别为21,l l ,且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标)；若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ,关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ,其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时,函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点,并求出极值点； (3)若m=1,且x>0,求证:*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+参考答案说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.9.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.1sin 11.12.38 12.12或27 13.8,22n n -+ 14.1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >, ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8, ∴28T πω==,得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分(2)解法1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ …………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===…10分 ∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴(2,2),(4,OP OQ ==.……………8分 ∴cos cos ,6OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===.……………10分 ∴POQ sin ∠== (11)分 ∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法3:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =,即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==……………9分∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)解:设“甲做对”为事件A ,“乙做对”为事件B ,“丙做对”为事件C ,由题意知, ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 (1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的,所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144Pξ-==-=.…………3分 (2)由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=, ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====, ……………5分 整理得 112mn =,712m n +=.由mn >,解得13m =,14n =. ……………7分 (3)由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=, …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14, ……………10分 ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一:(1)证明:延长1A D 交AC 的延长线于点F ,连接BF . ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点,∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ,CE ⊥平面1A AB ,z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分 ∵AB ⊂平面1A AB ,1A B ⊂平面1A AB , ∴BF ⊥AB ,BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角). ……………12分 在R t △EHB 中,BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为5. ……………14分 解法二:(1)证明:取1A B 的中点F ,连接DF 、EF . ∵E 为AB 的中点, ∴EF ∥1AA ,且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ,且CD 12=1AA ,∴EF ∥CD ,EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ,CE ⊄平面1A BD , ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 (2)解:∵1AA ⊥平面ABC ,CE ⊂平面ABC ,∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形,E 是AB 的中点, ∴CE AB ⊥,CE AB ==∵AB ⊂平面1A AB ,1AA ⊂平面1A AB ,1AB AA A =,∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在R t △CEH 中,tan CE EHC EH ∠==, ∴当EH 最短时,tan EHC ∠的值最大,则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH A B ⊥时,EHC ∠最大. 此时,tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ……………9分 在R t △EHB 中,BH ==∵R t △EHB ～R t △1A AB , ∴1EH BHAA AB =,即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点,与AC 垂直的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,1AA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,,1A ()004,,,B )10,,D ()02,,2.∴1AA =()004,,,1A B=)14,-,1A D =()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,,由n A 1⋅,n 01=⋅A ,得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =,则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC , ∴1AA =()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 5. ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角(锐角) ……………14分 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+,∴ 当1n =时,有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法:法1:由③式得:11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+,即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+, ……………5分∵112240S a +=+=≠,∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=, ……………7分 又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分 法2:由③式得:()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++,得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得:12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+,得24a =,∴212a a =. ……………7分 ∴数列{}n a 是以12a =为首项,2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 (2)解:∵p q r ,,成等差数列,∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列, 则()()()2111p r q a a a --=-, …………10分即()()()2212121prq--=-,化简得:2222p r q +=⨯. (*) ……………11分 ∵p r ≠,∴2222p r q +>=⨯,这与(*)式矛盾,故假设不成立.…13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ……………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =, ……………10分 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理, 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>, ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k > ……………7分 则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. ……………10分 令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++,则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++ 122412nnn n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>,∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++…11分≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅…12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分 ∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说,当1n k =+时,不等式也成立. 由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。