信号检测及估计试题-答案(不完整版)

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一、概念：
1. 匹配滤波器。

概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。

应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。

在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。

2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。

该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H X(k)+V(k)
上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。

A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。

Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。

W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。

他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。

假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)
式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。

式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。

但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k 状态下X(k|k)的covariance ：
P(k|k)=（I-Kg(k) H ）P(k|k-1) (5)
其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。

当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。

这样，算法就可以自回归的运算下去。

卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。

根据这5个公式，可以很容易用计算机编程实现。

3. 白噪声的概念
白噪声定义：将噪声用n(t)表示，功率谱密度为常数，具有这种特性的噪声称为白噪声。

说明：这种称呼来源于光学。

因为光学中将包括全部可见波长的光称为白光，所以我们也将包括了全部频率成分的噪声称为白噪声。

说明：实际上，完全理想的白噪声是不存在的，但只要噪声功率谱均匀分布的范围超过电子系统工作的频率范围很多时，就可以近似认为是白噪声。

例如，热噪声功率谱密度均匀分布的部分高达1013Hz ，因此可将它看成白噪声。

4. 二元信号检测理论模型
第三章ppt 第4页开始
5. 谱、功率谱、频谱的联系与区别。

区别：
1、一个信号的频谱,只是这个信号从时域表示转变为频域表示,只是同一种信号的不同的表示方式而已, 而功率谱是从能量的观点对信号进行的研究,其实频谱和功率谱的关系归根揭底还是信号和功率,能量等之间的关系。

2、频谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier 变换，是一个时间平均（time average ）概念；功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。

保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

3、功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier 变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。

（随机的频域序列）
4、功率概念和幅度概念的差别。

此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程
2
)(0
n P n =ω
谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier 变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier 变换是否收敛。

联系：
1、功率谱可以从两方面来定义，一个是自相关函数的傅立叶变换，另一个是时域信号傅氏变换模平方然后除以时间长度。

第一种定义就是常说的维纳辛钦定理，而第二种其实从能量谱密度来的。

根据parseval 定理，信号傅氏变换模平方被定义为能量谱，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。

2、在频域分析信号分两种：
（1）.对确定性信号进行傅里叶变换，分析频谱信息。

（2）.随机信号的傅里叶信号不存在，转向研究它的功率谱。

随机信号的功率谱和自相关函数是傅里叶变换对（即维纳辛钦定理）。

功率谱估计有很多种方法
6. 二元通信系统的检测性能与那些因素有关。

（可能不准确）
概率转移机构，观测空间R ，最佳判决准则第三章ppt 第4页开始
二、计算：
1. 在二元数字通信系统中，假设为H1时，信源输出为正电压A ，假设为H0时，信源输出为零电平。

信号在通信信道传输过程中叠加了高斯噪声n(t)；每种信源的持续时间为T ，在接收端对接收到的信号 x (t ) 在T 时间内进行N 次独立采样，样本为x k （k=1,2,…,N)。

已知噪声样本n k 是均值为零、方差为 σn2的高斯噪声。

（1)试建立信号检测系统的信号模型；
（2）若似然检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；
（3）计算判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)。

解：
（1）接收信号模型为: 01()(),
0()(),0H x t n t t T H x t A n t t T =≤≤=+≤≤：：
在（0，T ）内进行N 次独立采样后，接收信号模型为：
01,
1,2,...,,1,2,...,k k k k H x n k N H x A n k N ===+=：：其中 x k 之间相互独立。

《信号检测与估计》第九章习题解答

T x 2 (t )dt −2 A
0
Tx(t
0
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
+
A
2
T 0
sin
2
(ω
0
t
+θ
)dt
⎟⎞ ⎠
由于 ∫0Tsin 2 (ω0t
+ θ )dt
=
1 2
∫0T(1 − cos 2(ω0t
+ θ ))dt
=
T 2
，得到
( ) ∫ ∫ f
x A,θ
−1
= Fe N0
T x 2 (t )dt 2 A
ω0
ω0
s(t
)
=
⎪ ⎨
A
⎪
⎪ ⎪⎩
A（1
+
cos
ω0t）
− 2mπ < t ≤ 2mπ
ω0 2mπ
<t
≤
(2ωm0 +1)π
ω0
ω0
试证明时延τ
的无偏估计量的方差为
σ
2 τˆ
≥
3 + 4m
(2E / N0 )ω02
。其中 E 为信号能量。
解：略
9.4 接收信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t)的到达有时延τ ，求时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差。其中 n(t)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] = 4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T /2
E
−T / 2
n(t )n(u )
∂s(u −τ ) dudt

《信号检测与估计》第十章习题解答

《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。

解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。

考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。

对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。

()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。

要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。

信号检测与估计模拟试卷

XXX 大学（学院）试卷《信号检测与估计》试卷第 1 页共 2 页《信号检测与估计》模拟试卷一、（10分）名词解释（每小题2分）1．匹配滤波器 2．多重信号 3．序列检测 4．非参量检测 5．最佳线性滤波二、（10分）简述二元确知信号检测应用贝叶斯、最大后验概率、极大极小、纽曼-皮尔逊及最大似然准则的条件及确定门限的方法。

三、（10分）简述信号参量估计的贝叶斯估计、最大后验估计、最大似然估计、线性最小均方误差估计及最小二乘估计的最佳准则及应用条件。

四、（10分）概述高斯白噪声情况下的信号检测和高斯色噪声情况下信号检测所采用方法的特点。

五、（10分）设线性滤波器的输入为)()()(t n t s t x +=，其中)(t n 是功率谱密度为2/0N 的白噪声，信号为⎩⎨⎧><≤≤=00,000)(ττt t t t t s 对输入)(t x 的观测时间为),0(T ，且0τ>T 。

（1）试求匹配滤波器的冲激响应及对应于)(t s 的输出信号。

（2）求匹配滤波器输出的信噪比。

六、（10分）一个三元通信系统的接收机观测到的样本为n s x i +=，3,2,1=i 。

其中，i s 是发射信号，n 是均值为0、方差为的2σ高斯白噪声。

i s 取值分别为5、6和7，分别对应假设1H 、2H 和3H ，并且所有假设的先验概率相等。

根据一次观测样本进行检测判决，（1）确定检测判决式和判决区域；（2）求最小平均错误概率。

七、（10分）在T t ≤≤0时间范围内，二元通信系统发送的二元信号为0)(0=t s ，)()(1t As t s =，其中，)(t s 是能量归一化确知信号；A 是正的确知常量，并假定发送两种信号的先验概率相等。

信号在信道传输中叠加了均值为0、功率谱密度为2/0N 的高斯白噪声)(t n 。

（1）试确定信号最佳检测的判决式。

（2）画出最佳检测系统的结构。

八、（15分）设观测方程为k k n b a x +=，M k ,,2,1 =，其中a 和b 是非随机参量，k n 是均值为0、方差为1的高斯随机变量，且观测样本M x x x ,,,21 之间互不相关。

信号检测与估计试题及答案

P( x) 1 2 1 exp ln x , x 0 ， X1 , X 2 ,..., X N 是 X 的 N 个样本值。 2 2
(1). 若为常数，求的最大似然估计。
ˆ 1 N ln xiБайду номын сангаасN i 1
(2). 判断的最大似然估计是否是有效估计？因为
ˆ HX B ，其中 H C M N , B C M 1
(1). 用最小均方误差准则确定矩阵 H , B 。（用 , x 的一阶和二阶统计量表示。）
H cov( , x ) cov1 ( x , x ) B E ( ) cov( , x ) cov 1 ( x , x ) E ( x)
2 ) ，做 H1 判决，反之做 H 0 判决。 ln 2 3
2
4. 求解下列问题 (1). 什么是序贯检测？
A1 , D1 ( x) A0 , D0 other , more obervation
(2). 对二元检测 P D1 H 0 ， P D0 H1 若，推导瓦尔特序贯检测的门
1 (2). 若是线性调频信号，即 s1 (t ) A1 cos(1t t 2 ) 0 t T , 2 / 1 T ， 2
是常数，再求 Pe 结果相同。
3. 设有两种假设分别为：
H 0 : P0 ( x)
x2 1 exp 2 2 2 1 x A, A 0 H1 : P 1 ( x) 2 A 0 x >A
(2). ˆ 是否无偏
是无偏估计。
7. 求解下列问题。 (1). 什么是卡尔曼滤波，写出卡尔曼滤波的状态方程，观测方程和滤波方程

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