8.3 空间点、线、面的位置关系

第03节空间点、线、面的位置关系【考纲解读】1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．对点练习：下列命题：①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共线．其中正确命题是________．【答案】③④⑤2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 对点练习：【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l .若直线m ，n 满足则（ ）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C【解析】由题意知，．故选C ．3.异面直线所成的角 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 对点练习：【2017课标II ，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C4.直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e·n||e||n|.对点练习：【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题解析：MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角． 设CD=1．在△PCD 中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN 中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH 中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=， 所以直线CE 与平面PBC所成角的正弦值是．5.二面角1．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．对点练习：【2017浙江，9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α【答案】B【解析】【考点深度剖析】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，少有在大题中间接考查．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，在浙江卷中频频出现．【重点难点突破】考点一平面的基本性质【1-1】下列叙述中错误的是（）．A. 若且，则B. 三点，，确定一个平面C. 若直线，则直线与能够确定一个平面D. 若，且，，则【答案】B【1-2】【江西卷】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．【答案】4【解析】取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.【1-3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．【答案】见解析.【解析】如图所示，∵A1A∥C1C，∴A1A，C1C确定平面A1C.∵A1C平面A1C，O∈A1C，∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．【1-4】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC 的交线．【答案】见解析.【领悟技法】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.【触类旁通】【变式1】如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是，则直线和平面的位置关系一定是（）．A. 平行B. 相交C. 平行或相交D.【答案】C【变式2】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.（Ⅰ）求证：E ，F ，G ，H 四点共面；（Ⅱ）设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 【答案】见解析.【解析】（Ⅰ）∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD .在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH . ∴E ，F ，G ，H 四点共面．（Ⅱ）∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG 平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．【变式3】如图，在四面体ABCD 中 ，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3.求证：EF ，GH ，BD 交于一点．【答案】见解析.设GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两个平面的交线上．因为这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．综合点评：(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上.考点二空间两直线的位置关系【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】设是两条不同的直线，时一个平面，则下列说法正确的是（）A. 若则B. 若则C. 若则D. 若则【答案】C【2-2】【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知平面和共面的两条不同的直线，下列命题是真命题的是（）A. 若与所成的角相等，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】本题考查空间直线与直线的位置关系如图甲示，直线与平面均成角，但与不平行，故错；如图乙示，，直线，且，但与不平行，故错；如图丙示，，且但，故错；如图丁示，，由知；又，则；又共面，则故正确答案为.【2-3】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【答案】②③④【2-4】如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线 B．平面C．D．平面【答案】C【领悟技法】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.【触类旁通】【变式1】【2017届浙江省丽水市高三下学期测试】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. 若，，且，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】C【解析】A,若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m、n平行、相交、或异面，不正确；B,α∥β,mα,nβ,m,n共面时,m∥n，不正确；C，m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，正确；D，m⊥n，mα，nβ，则α、β平行或相交，不正确。

【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平 面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否 定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用 到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经 过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面 展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)， 设异面直线AC1与CD1所成角为θ， 则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直

正确;命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
2
解析
关闭
答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-11-
考点 1
平面的基本性质及应用
例1
(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD= 1 1 ∠FAB=90°,BC= 2AD,BE= FA ,G,H分别为FA,FD的中点. 2 ①四边形BCHG的形状是 ; ②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是 . (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点 O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是 . 答案: (1)①平行四边形 ②C,D,E,F
关闭
只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面 直线,故选D.
关闭
D
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b ( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
)
关闭
由已知得,直线c与b可能为异面直线,也可能为相交直线,但不可能为平行 直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.
关闭
C
解析 答案
第八章
知识梳理 考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-9-
1

且平面EFGH∩平面ACD=GH， 且平面EFGH∩平面ACD=GH， EFGH ACD ∴EF∥GH.而EF∥AC， EF∥GH. EF∥AC， ∴AC∥GH. AC∥GH. AH CG AH∶HD=3∶1. ∴ = = 3, 即AH∶HD=3∶1. HD GD EF 1 GH 1 EF∥GH, （2）证明 ∵EF∥GH,且 = , = , AC 3 AC 4 EF≠GH， 四边形EFGH为梯形. EFGH为梯形 ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形. 令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD， EH∩FG= EH， EH平面ABD， ⊂ ABD P∈FG,FG⊂ BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 平面BCD ABD BCD ∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. BD.∴EH、FG、BD三线共点. .∴EH 三线共点
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探究提高 所谓线共点问题就是证明三条或三条 以上的直线交于一点. 以上的直线交于一点.
（1）证明三线共点的依据是公理3. 证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于 证明三线共点的思路是： 一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化 一点，再证明第三条直线经过该点， 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、 为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共 点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. 点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.
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由（1）知BG
CH， EF∥CH， CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面. EF与CH共面. 共面 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面. FH， 四点共面. 方法二 如图所示，延长FE， 如图所示，延长FE， FE DC分别与AB交于点M DC分别与AB交于点M，M′， 分别与AB交于点 1 AF， MA中点 中点. ∵BE AF，∴B为MA中点. 2 1 AD， ∵BC AD， 2 中点， ∴B为M′A中点， ∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′）， 重合， FE与DC交于点M 交于点 ∴C、D、F、E四点共面. 四点共面.

考法二 求异面直线所成角的方法
例2 (1)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中 点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3
3
3
3
(2)(2018四川泸州模拟,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1
C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为 ( )
如图,直线a,b是异面直线,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,相交直
线a',b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
特别地,当两条异面直线所成的角是直角时,称这两条异面直线互相垂直.
注意 异面直线所成的角的范围是
0,
π 2
,所以空间两直线垂直有
两种情况——异面垂直和相交垂直.
知能拓展
考法一 平面的基本性质及应用
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线. 解题导引
证明 如图. (1)连接B1D1, 由已知得EF是△D1B1C1的中位线, ∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD. ∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. (2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF确定的平面为β. ∵Q∈A1C1,∴Q∈α.又Q∈EF,∴Q∈β,故Q是α与β的公共点.同理P是α与β 的公共点,∴α∩β=PQ.又A1C∩β=R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ.故 P,Q,R三点共线.

第3讲
空间点、直线、平面间的 位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了 解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共 点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)

A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同 点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两 直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能 平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一 个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.

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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分

2．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 位置关系共面直线相 平交 行直 直线 线： ：在 在同 同一 一平 平面 面内 内， ，有 没且 有只 公有 共一 点个公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)基本事实 4 和定理 ①基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线 □01 平行 ． ②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个 角 □02 相等或互补 ．
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线．
证明 (2)在正方体 AC1 中，设平面 A1ACC1 为 α，平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又 Q∈EF，∴Q∈β， ∴Q 是 α 与 β 的公共点，同理，P 是 α 与 β 的公共点，∴α∩β＝PQ. 又 A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且 R∈β，∴R∈PQ， ∴P，Q，R 三点共线．
2．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为 所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN⊥OP 的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为 2，对于 A，如图 1 所示，连接 AC，则 MN∥AC， 故∠POC 或其补角为异面直线 OP，MN 所成的角，在直角三角形 OPC 中， ∠PCO＝90°，则∠POC≠90°，故 MN⊥OP 不成立，故 A 错误；对于 B， 如图 2 所示，取 MT 的中点为 Q，连接 PQ，OQ，则 PQ⊥MN，OQ∥TD， 由正方体 SBCN－MADT 可得 TD⊥平面 SNTM，故 OQ⊥平面 SNTM，又 MN ⊂ 平面 SNTM，所以 OQ⊥MN，而 OQ∩PQ＝Q，所以 MN⊥平面 OPQ，而 OP⊂ 平面 OPQ，故 MN⊥OP，故 B 正确；对于 C，如图 3，连接 BD，则 BD∥MN，由 B 的判断可得 OP⊥BD，故 OP⊥MN，故 C 正确；对于 D，如

.( )
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
-12-
知识梳理 双基自测
12345
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则 下列直线与直线EF相交的是( )
A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1
关闭
只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面 关闭
-11-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( ) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.
() (3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平 行直线.( ) (4)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,那么就说平面α,β 相交,并记作α∩β=a.( ) (5)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线
D直线,故选D
解析 答案
-13-
知识梳理 双基自测
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3.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为 所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的 是( )
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易知选项B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面
MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面
C.√33
D.13
思考如何求两条异面直线所成的角?
考点1
考点2
考点3
-23-
解析:(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平 面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.

空间点直线平面之间的位置关系例题空间几何是数学中一个非常重要的分支，在空间几何中，点、直线和平面是最基本的元素。

它们之间的位置关系既复杂又深刻，需要我们用深度和广度兼具的方式进行全面评估。

在本文中，我们将从简到繁，由浅入深地探讨空间点、直线和平面之间的位置关系，以及解决一些典型的例题。

一、空间点、直线和平面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它是没有大小，没有形状，只有位置的。

点在空间中是唯一的，通过坐标来表示。

2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中是一条无限延伸的路径。

直线有方向和长度，可以根据方向向量来表示。

3. 平面：平面是由无数个点和直线组成的，在空间中是没有边界的二维图形。

平面可以通过点和法向量来表示。

二、点、直线和平面之间的位置关系1. 点和直线的位置关系：（1）点是否在直线上：给定点P(x,y,z)，直线L:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在直线L上，可以将点P的坐标代入直线方程，若等式成立，则点P在直线L上。

（2）点到直线的距离：点P到直线L的距离可以通过点到直线的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和直线的位置关系还包括点在直线的上、下、左、右、内、外等方面。

2. 点、直线和平面的位置关系：（1）点是否在平面上：给定点P(x,y,z)，平面π:Ax+By+Cz+D=0，要判断点P是否在平面π上，可以将点P的坐标代入平面方程，若等式成立，则点P在平面π上。

（2）点到平面的距离：点P到平面π的距离可以通过点到平面的公式来计算，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。

（3）点和平面的位置关系还包括点在平面的前、后、内、外等方面。

三、例题解析：空间点、直线、平面的位置关系1. 例题一：已知点A(1,2,3)、直线L:2x-3y+z+4=0和平面π:3x+y-2z-7=0，判断点A是否在直线L上和平面π上，若不在，求点A到直线L和平面π的距离。

空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、选择题:1.以下四个命题中,正确命题的个数是( )①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A 、B 、C 、D 共面,点A 、B 、C 、E 共面,则A 、B 、C 、D 、E 共面;③若直线a 、b 共面,直线a 、c 共面,则直线b 、c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0B.1C.2D.32.已知a,b 是异面直线,直线c∥直线a,则c 与b( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线3.如图,α∩β=l,A 、B∈α,C∈β,且C ∉l,直线AB∩l=M,过A 、B 、C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M4.已知直线l,若直线m 同时满足以下三个条件:m 与l 是异面直线;m 与l 的夹角为3(定值);m 与l 的距离为π.那么,这样的直线m 的条数为( )A.0B.2C.4D.无穷5.如图,E 、F 是AD 上互异的两点,G 、H 是BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与CD 互为异面直线;②FH 分别与DC 、DB 互为异面直线;③EG 与FH 互为异面直线;④EG 与AB 互为异面直线.其中叙述正确的是( )A.①③B.②④C.①④D.①②6.以下命题中：①点A ，B ，C ∈直线a ，A ，B ∈平面α，则C ∈α；②点A ∈直线a ，a ⊄平面α，则A ∈α；③α，β是不同的平面，a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．37.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是A 1B 1、CC 1的中点,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( ) 1342 (5555)A B C D 8.正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，则A 1B 与D 1E 所成角的余弦值为( ) A.510 B.1010 C.55 D.10510．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE ，SD 所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23二、填空题:1.在空间四边形ABCD 中,各边边长均为1,若BD=1,则AC 的取值范围是________.2.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DD 1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成角的大小等于________.3.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下列五个命题:①直线AC 1在平面CC 1B 1B 内;②设正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心分别为O 、O 1,则平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1;③由点A 、O 、C 可以确定一个平面;④由A 、C 1、B 1确定的平面是ADC 1B 1;⑤若直线l 是平面AC 内的直线,直线m 是平面D 1C 内的直线;若l 与m 相交,则交点一定在直线CD 上.其中真命题的序号是________.4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线;③直线BN 与MB 1是异面直线;④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．三、解答题:1、如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥ 12AD,BE ∥ 12FA,G 、H 分别为FA 、FD 的中点.(1)证明:四边形BCHG 是平行四边形.(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么?2. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．3.如图所示,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、N 分别是AB 和SC 的中点,求异面直线SM 和BN 所成角的余弦值.4、空间四边形ABCD 中,AB=CD 且AB 与CD 所成的角为30°,E、F 分别是BC 、AD 的中点,求EF 与AB 所成角的大小.。

§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系2014高考会这样考 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(即可以确定一个平面) 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [难点正本 疑点清源] 1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；平行公理是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒ αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．lα，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，lα⇒l∩α＝A题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a α②a ∩b ＝P ，b β⇒a β③a ∥b ，a α，P ∈b ，P ∈α⇒b α ④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1与正方体其他顶点的连线与直线BC 1成60°角的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 三、解答题(共22分)8．(10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB 的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6．(2012·四川)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．三、解答题7．(13分)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．。

空间中点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点重点：空间直线、平面的位置关系。

难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面LA ·α C ·B·A· α P· αLβ3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.空间中直线与平面的位置关系
直线CD与平面ABCD ——有无数个公共点； 直线AA1与平面ABCD ——有只且有一个公共点A； 直线D1C1与平面ABCD ——没有公共点．
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行
直线与平面的位置关系有且只有三种
直线在 平面外
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
数学
XXX
由上一小节“平面”的学习，我们认识了空 间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如 点在平面内，直线在平面内，两个平面相交， 等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位 置关系吗？
点线关系 线线关系 面面关系 点面关系 线面关系
在长方体ABCD-A1B1C1D1中：
观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与 直线之间有哪些不同的位置关系？
D1 A1
D
A
C1
B1 C
B
1.空间中直线与直线的位置关系
直线DC与AB在同一个平面ABCD内，它们 D1
没有公共点，它们是平行直线；
A1
直线DC与BC也是在同一个平面ABCD内， 它们只有一个公共点B，它们是相交直线；
CA
G DB
HE F
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，
哪些线段所在直线是异面直线？
CA
C G
A
E G
DB HE
F
H D
BF
例题6 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，

8.3 空间点、线、面的位置关系五年高考考点空间点、线、面的位置关系 1．（2013安徽．3。

5分）在下列命题中，不是公理的是 ( ) A ．平行于同—个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2．（2013课标全国II ，4,5分）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面⊥n ,α平面⋅β直线L 满足,,,,βα⊂/⊂/⊥⊥l l n l m l 则 ( )αβα////.l A 且 ββα⊥⊥l B 且.C ．α与β相交，且交线垂直于L D.α与β 相交，且交线平行于L 3．（2013江西，8,5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么=+n m ( )智力背景对数符号（一） 对数的发明被称为17世纪世界三大数学成果之一．虽然纳皮尔是举世公认的对数 发明者，但蹿数的基本思想，早在德国数学家施蒂费尔的《整数算术》一书中就出现了．他在书中指出几 何级数2,1r r ，，…(1)的各项与其指数所形成的算术级数O ，1，2，…(2)的各项相对应．(1)中每两项的乘积的指数等于(2)中相应的两项之和；(1)中两项相除，商的指数等于(2)中相应的两项之差．纳皮尔正 是在这种启发下发明对数的.8.A 9.B 10.C 11.D4．（2013浙江，10,5分）在空间中、，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记).(A f B π=设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点)],([,1p f f Q P αβ=)],([2P f f Q βα=恒有,21PQ PQ =则( ) A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45 C ．平面α与平面β 平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为 605．（2012江西，10,5分）如图，已知正四棱锥S - ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记),10(<<=x x SE 截面下面部分的体积为),(x V 则函数)(x V y =的图象大致为 ( )6．（2012重庆．9,5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( ))2,0.(A )3,0.(B )2,1.(C )3,1.(D7．（2010全国II ．11）与正方体1111D C B A ABCD -的三条棱、AB 111.D A CC 所在直线的距离相等的点 A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．有且只有3个 D ．有无数个 8．（2010浙江．6）设L ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )A ．若αα⊥⊂⊥l m m l 则,,B ．若αα⊥⊥m m l l 则,//,C ．若m l m l //,,//则αα⊂D ．若m l m l //,//,//则αα9．（2010辽宁．12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 ( ))26,0.(+A )22,1.(B )26,26.(+-C )22,0.(.D10.（2011湖北．18,12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． (1)当CF =1时，求证：;1C A EF ⊥(2)设二面角C-AF -E 的大小为θ，求θtan 的最小值．解读探究智力背景对数符号（二) 符号“log 也是纳皮尔发明的．纳皮尔对数实际上是以 l/e 为底的 这种对数虽然在三角计算中大有用武之地，但仍不够方便，1615年，伦敦的一位数学教授布里格斯专程来访问纳皮尔，纳皮尔建议把0作为l 的对数。

(1)定义：不同在 任何 一个平面内的两条直线． (2)异面直线的画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用 一个或两个平面衬托.
（二）空间点、直线、平面的位置关系
知识点二 空间两条直线的位置关系
【探究2】分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有 一个 公 共点
第八章 立体几何初步
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第四节《空间点、 直线、平面之间的位置关系》。以下是本节的课时安排：
课时内容 所在位置 新教材内 容分析
核心素养 培养
教学主线
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
（三）典型例题
1.空间直线与直线的位置关系
例1.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ④直线AB与直线B1C的位置关系是
重点、难点
1.重点：了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示 2.难点：了解空间中两条直线的三种位置关系， 理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线。
（一）新知导入
观察你所在的教室.
【问题】 (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？ (3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？ (4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？ 提示 (1)平行. (2)平行. (3)二者是异面直线. (4)平行.

§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案C2.(2015广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案B3.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.(2013江西,8,5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=( )A.8B.9C.10D.11答案A教师用书专用(5—8)5.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D6.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l答案D7.(2013安徽,3,5分)在下列命题中,不是．．公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A8.(2013浙江,10,5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°答案A考点二异面直线所成的角1.(2017课标全国Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案C2.(2016课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.答案A3.(2017课标全国Ⅲ,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③4.(2015四川,14,5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ 上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为.答案教师用书专用(5)5.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解析(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)由(1)可知,PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义,可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角. 在Rt△PDE中,PE==,所以tan∠PDC==.从而二面角P-AD-C的正切值为.(3)连接AC.因为==,所以FG∥AC.易求得AC=3,PA==5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC, 在△PAC中,cos∠PAC==.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一点、线、面的位置关系1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β答案D2.(2018四川泸州模拟,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A.4B.5C.6D.7答案C3.(2017河北邢台二模,5)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;②若m∥n,m∥β,则n∥β;③若m∥α,m∥β,则α∥β;④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案A4.(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是( )A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案B考点二异面直线所成的角5.(2018广东东莞模拟,6)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为( )A.90°B.60°C.45°D.30°答案C6.(2017广东汕头模拟,8)已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE 与PD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案C7.(2016黑龙江哈尔滨四模,7)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形,则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A.90°B.75°C.60°D.45°答案AB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2017广东惠州三调,11)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案B2.(2016湖南长沙模拟,8)如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.答案A二、填空题(共5分)3.(2018安徽皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为.答案三、解答题(共15分)4.(2018上海普陀一模,18)如图所示的圆锥的体积为π,底面直径AB=2,点C是的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积;(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.解析(1)∵圆锥的体积为π,底面直径AB=2,∴π×12×PO=π,解得PO=,∴PA==2,∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π.(2)连接OC.∵圆锥中,点C是的中点,O为底面圆心,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O为原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),P(0,0,),D,B(0,1,0),C(1,0,0),=(0,1,-),=,设异面直线PB与CD所成角为θ,则cos θ===,∴θ=.∴异面直线PB与CD所成角为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 点、线、面位置关系的判断方法1.(2018湖南衡阳模拟,6)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线CC1B.直线C1D1C.直线HC1D.直线GH答案C2.(2016四川泸州模拟,4)若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且m⊥α,n⊥β,则下列命题中的假命题是( )A.若m∥n,则α∥βB.若α⊥β,则m⊥nC.若α、β相交,则m、n相交D.若m、n相交,则α、β相交答案C3.(2017湖北武昌调研,16)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.答案②④⑤方法2 异面直线所成角的求法4.(2018四川泸州模拟,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E专业文档所成角的正切值为( )A. B. C. D.答案C5.(2017河北唐山3月模拟,10)已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案A6.(2017广东惠州调研,14)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.答案45°珍贵文档。