教育最新K122018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3反证法作业新版华东师大版

八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法,利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为(a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形,有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b—a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积;②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出。

【解】①②可以验证勾股定理。

【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2)x+22222(14)56--=，解x x=+=，两式相减得：2215,13AD x AD得:5x=．在Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响?如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。

图K－３8－9
1１.2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图Ｋ-38－10①所示.在图②中，若正方形ＡＢCD的边长为14，正方形IJKＬ的边长为2,且ＩＪ∥AＢ，则正方形ＥFＧH的边长为__＿＿_＿__.
图Ｋ-３8-10
三、解答题
１２．如图K－３8-11,在由边长为１的小正方形组成的网格中,△ＡBC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
根据题意，得
解得
由勾股定理得直角三角形的弦（斜边)为 ＝ ＝１0，
即正方形ＥFGＨ的边长为1０.
12.[解析] （1)根据AＤ=ＢC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，ＣＤ，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出ＡC，CD，AD的长．
解:（1)如图．
(２) 5
13．解：根据图中的数据得ＡC＝9０－40＝５0(mm)，BＣ＝160-40＝120（ｍm)，根据勾股定理，得AB＝ =130(ｍm）．
图K-38－７
9．如图Ｋ－３8－8，学校有一块长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”.他们仅仅少走了_＿_＿＿___步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
图K-3８-8
1０.如图K-38-９,已知在Rt△ABC中,∠BＣＡ＝９0°，AB=10,分别以ＡC,ＢC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2=______＿_．
图K－３8－１４
问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理）”用探索飞船带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
这与____已__知_矛盾，故____假__设_不成立． ∴____l_1与__l_2_不__平__行______．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，
要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设_∠__C__＝__9_0_°__，根
据_勾__股__定__理__，一定有_A__C_2_＋__B_C_2_＝__A_B_，2 但这与已知___A_C_2_＋__B_C__2≠__A__B_2_相 矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证 明这个命题过程中的四个推理步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应该是( C) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②

14.1 勾股定理
2．勾股定理在四边形中的应用： (1)梯形的问题，通常通过作高，构造直角三角形，利用勾股定理 求解． (2)有内角为直角的四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直 角三角形的问题，再应用勾股定理求解．
14.1 勾股定理
例 3 如图 14－1－7 是一个蔬菜大棚的简单示意图，大棚宽为 6 m，高为 8 m，大棚的斜面是一个长方形，将该长方形用塑料薄膜 遮盖，求所需塑料薄膜的面积．
2019/8/3
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谢谢欣赏！
2019/8/3
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(2)如果MB＝a，BQ＝b，AB＝c，那么利用这个图形中的面积 关系，你能得到勾股定理吗？请说明理由．
图14－1－5
14.1 勾股定理
解：(1)正方形 ABCD 的面积＝正方形 MNPQ 的面积－4×三角形 BCM 的面积＝ 7×7－4×12×3×4＝25. (2)能．理由如下：正方形 MNPQ 的面积＝(a＋b)2 ＝a2 ＋b2 ＋2ab， 正方形 MNPQ 的面积＝4×12×ab＋c2＝2ab＋c2， 所以 a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， 得 a2＋b2＝c2.
14.1 勾股定理
【归纳总结】拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以 下步骤： 拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 导出勾股定理．
14.1 勾股定理
目标二 能用勾股定理解决简单问题
例 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，AD＝4，求 AB 的长．
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理在三角形及四边形中的应用： 1．勾股定理在三角形中的应用： (1)添线应用． 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，当题目中没有直角 三角形时，可以通过作高等方式，把非直角三角形的问题转化为 直角三角形的问题，应用勾股定理求解．

证明：已知：如图所示，直线 AB∥EF，CD∥EF. 求证：AB∥CD.
证明：假设 AB 与 CD 不平行，则直线 AB 与 CD 相 交，设它们的交点为 P，于是经过点 P 就有两条直线(AB、 CD)都和直线 EF 平行，这就与经过直线外一点有且只有 一条直线和已知直线平行相矛盾．所以假设不能成立．故 AB∥CD.
则 m 2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1. ∵4n2，4n 均为偶数，∴4n2＋4n 为偶数． 而 1 为奇数， ∴4n2＋4n＋1 为奇数，那么 m 2 为奇数． 这与已知条件“m 2 为偶数”相矛盾， ∴假设不成立，∴m 为偶数．
9. 求证：如果两条直线都和第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行．
1. “a≤b”的反面是( B )
A．a≠b
B．a＞b
C．a＝b
D．a＝b 或 a＞b
2. 用反证法证明，在直线 a，b，c 中，若 a∥b，c
与 a 相交，则 c 与 b 也相交，第一步应假设( C )
A．c 与 a 平行
B．c 与 b 相交
C．c 与 b 不相交 D．以上都不对
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线互相平行”，用反证法证明时，若先假设这两条直线 不平行，则它们必相交，最终推出与下面选项相矛盾的 是( B )
A．两点确定一条直线 B．过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．定义
4. 用反证法证明“平行于同一直线的两条直线平行”的第 一步是 假设“平行于同一条直线的两条直线不平行” ．
5. 用反证法证明(填空)： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行． 已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1＋∠2＝180°. 求证：l1∥l2.

在行为习惯方面，大部分学生能够按时完成作业，认真听讲，积极参与课堂讨论；但也有部分学生课堂注意力不集中，容易分心，对于课堂内容不能完全吸收。此外，部分学生在完成作业时存在依赖心理，喜欢寻求老师和同学的帮助，缺乏独立思考的能力。
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。

[推荐学习]2018年秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时[14.1 1. 第2课时勾股定理的验证及简单应用]一、选择题1．如图K－38－1，△ABD的面积是( )A．18 B．30 C．36 D．60图K－38－12．如图K－38－2，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，则AD的长为( )图K－38－2A．1 B．2 C. 5 D. 33．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )图K－38－5A．6 B. 6C. 5 D．4二、填空题7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A，B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC ＝90°，并测得AC的长为18 m，BC的长为30 m，则最宽处A，B两点间的距离为________．图K－38－68．在如图K－38－7所示的图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是________．图K－38－79．如图K－38－8，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．图K－38－810．如图K－38－9，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝________．图K－38－911．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K－38－10①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________.图K－38－10三、解答题12．如图K－38－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD；(2)线段AC的长为______，CD的长为______，AD的长为________．图K－38－1113．在如图K－38－12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm).图K－38－1214．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K－38－13摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程.图K－38－1315．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地，A，E，B三点在同一条直线上，如图K－38－14所示，有C，D两个农庄，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD＝8千米，BC＝2千米，要使C，D两农庄到基地的距离相等，那么基地E应建在距离A 地多远的位置？图K－38－14问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．定理表述请根据图K －38－15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．图K －38－15尝试证明以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a ，b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形(如图②)，请你利用图②验证勾股定理．知识拓展利用图②中的直角梯形，我们可以证明a ＋b c <2，其证明如下：∵BC＝a＋b，AD＝________．又∵在直角梯形ABCD中，有BC________AD(填“>”“<”或“＝”)，即______________，∴a＋bc＜ 2.详解详析【课时作业】[课堂达标]1．B2．D3．D4．[解析] C设旗杆的高度为x m，则绳子的长为(x＋1)m，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12.5．[解析] B由题意知∠AOB＝90°，由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝322＋242＝40(m)．6．[解析] B∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴由勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝32－22＝ 5.又∵DC＝1，∴AC ＝DC 2＋AD 2＝ 6.7．24 m8．[答案] 49 cm 2[解析] 如图，∵a 2＋b 2＝x 2，c 2＋d 2＝y 2， ∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝x 2＋y 2＝72＝49(cm 2).9．410． 12.5π11．10 [解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a ，股(较长的直角边)为b.根据题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＝14，b －a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝8.由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62＋82＝100＝10，即正方形EFGH的边长为10.12．[解析] (1)根据AD＝BC和AD∥BC即可确定点D；(2)把AC，CD，AD放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出AC，CD，AD的长．解：(1)如图．(2)20 5 513．解：根据图中的数据得AC＝90－40＝50(mm)，BC＝160－40＝120(mm)，根据勾股定理，得AB＝502＋1202＝130(mm)．即两孔中心A和B的距离为130 mm.14．证明：如图，∵S 五边形＝S 左边梯形＋S 右边梯形＝S 大正方形＋2S 直角三角形，∴12(b ＋a ＋b)·b＋12(a ＋a ＋b)·a＝c 2＋2×12ab ， 即12ab ＋b 2＋a 2＋12ab ＝c 2＋ab ， ∴a 2＋b 2＝c 2.15．解：∵C，D 两农庄到基地E 的距离相等，∴CE ＝DE.在Rt △CBE 和Rt △DAE 中，由勾股定理，得CE 2＝BE 2＋BC 2，DE 2＝AD 2＋AE 2，∴BE 2＋BC 2＝AD 2＋AE 2.设AE ＝x 千米，则BE ＝(10－x)千米，而BC ＝2千米，AD ＝8千米，所以(10－x)2＋22＝82＋x2，解得x＝2，即基地应建在距离A地2千米的位置．[素养提升]解：[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD ＝S Rt△ABE＋S Rt△ECD＋S Rt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.[知识拓展]2c ＜a＋b＜2c。