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第7章 涡度、散度与垂直速度涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。
在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。
本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。
§7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s 1。
根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。
从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。
更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：w v uz yx k j i∂∂∂∂∂∂=Λ∇ 3V k yu x v j y w z u i z v y w )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= k j i ζηξ++= (7.1.1)其中)(3k w j v i u ++=V 是三维风矢。
虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度ζ。
ζ的表达式为：yu x v ∂∂-∂∂=ζ (7.1.2) 需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度ζ，其全称应是垂直相对涡度。
将式(7.1.2)变微分为差分，得：yu x v ∆∆-∆∆= ζ (7.1.3)§7.1.2 相对涡度ζ的计算方法犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度ζ有实测风涡度o ζ与地转风涡度g ζ两种。
下面分别介绍它们的计算方法。
1. 实测风涡度o ζ计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。
首先把实测风分解为u 、v 分量，然后分别读取图7.1.1所示的A 、C 点的u 值和B 、D 点的v 值，最后代入式(7.1.3)即得O 点的涡度：y u u x v v C A B D o ∆--∆-=ζ (7.1.4)图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)2. 地转风涡度g ζ计算方法假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。
天气诊断分析（讲义）尚可政王式功靳立亚兰州大学大气科学学院内容简介本书简明介绍了天气分析和预报中各种常用物理量场特别是涡度、散度、垂直速度、水汽通量散度、能量场、Q矢量、位涡度、条件性对称不稳定、粗Ri数、螺旋度、能量-螺旋度指数、雷暴大风指数等的诊断分析方法和数值预报产品的应用技术。
全书约13万字，共分八章。
可做为高等院校大气科学专业本科生的教材，也可供相关专业的教师、研究生及气象台站预报人员使用。
前言诊断分析方法是大气科学研究中常用的一种方法。
在天气分析中有一些十分重要的物理量，如涡度、散度、垂直速度和水汽通量散度以及各种能量场等等，这些物理量与一般的气象要素(温、压、风、湿)不同，它们通常是无法由观测直接得到的，而必须通过其它要素由计算间接获得。
这些物理量在某时刻的空间分布被称为“诊断场”。
诊断场和预报场是不同的，预报场是对未来时刻某物理量场的预报结果，在反映大气环流演变的流体动力学天气方程组中有一些十分重要的物理量即属于可以通过时间积分作预报的“预报方程”一类；而诊断场是物理量方程中不含有它对时间的微商项。
反映各气象要素场之间关系的不含有对时间微商的方程称为“诊断方程”。
研究这些物理量的计算方法、分析其空间分布特征，以及它们和天气系统发生、发展的关系称为诊断场分析。
诊断分析方法是加深认识天气系统及其发生、发展过程的一种重要途径。
可应用于大气科学中的各个领域，如气候诊断分析，大气环流模式和天气预报模式的诊断分析以及物理量场的诊断分析等等，随着计算机的发展和普及诊断分析方法已在气象台站业务中得到广泛应用，并且越来越受到广大气象工作者的重视。
本书着重介绍天气分析和预报中各种物理量场的诊断分析方法，其中不少是作者近年来在科研中改进应用的新方法。
由于作者学术水平的限制，可能会有不少错误和不妥之外，欢迎广大读者批评指正。
作者 2012年03月于兰州大学目录第一章地图投影诊断分析中需要计算某些物理量(如涡度、散度等)的空间导数，如何计算，这就涉及到坐标的选取问题。
第七章第一节降水的形成与诊断一、降水形成过程(一)一般降水的形成过程（有三个条件）1、水汽条件：水汽由源地水平输送到降水地区2、垂直运动条件：水汽在降水地区辐合上升，在上升中绝热膨胀冷却凝结成云3、云滴增长条件：云滴增长变为雨滴而下降前两个条件决定于天气学条件，是降水的宏观过程，第三个条件主要决定于云物理条件，是降水的微观过程。
云滴增长的条件主要决定于云层厚度，而云层厚度，由决定于水汽和垂直运动的条件，所以在降水预报中，通常只要分析水汽条件和垂直运动条件即可。
一般任务云滴增长的过程有两种：一种是“冰晶效应”可促使云滴迅速增长而产生降水，在中高纬度，这种过程起着重要作用；另一种是云滴的碰撞合并作用，尤其是云层发展较厚时，这种过程更明显。
（二）暴雨的形成条件凡是日降水量达到和超过50.0毫米的降水称为暴雨。
有三个普遍的主要条件，分别是充分的水汽供应、强烈的上升运动、较长的持续时间，另外还有一个地形条件，就是有利的地形条件。
1、充分的水汽供应暴雨是在大气饱和比湿达到相当大的数值以上才形成的，700hpa上比湿≥8克/千克（对北京来说，比湿≥5克/千克），是出现大、暴雨的必要条件；有了相当高的饱和比湿条件，还必须有充分的水汽供应，因为只靠某一地区大气柱中所含的水汽凝结下降量很小，因此必须研究水汽供应的环流形势。
2、强烈的上升运动强烈的上升运动只有在不稳定能量释放时，才能形成，因此暴雨预报必须分析不稳定能量的储存和释放问题，研究形成暴雨的中、小尺度系统。
二、水汽方程和降水率（一）水汽方程水汽方程是表示水汽输送和变化的基本方程。
单位时间内通过某一单位面积的水汽量，称为水汽通量。
水汽方程表达式：此式说明，一个运动的单位质量湿空气块，其比湿的变化等于凝结率及湍流扩散率之和。
单位时间内，某一体积所含水汽的变化量主要有四个方面的因素决定：水平方向上水汽的净流入量，垂直方向上水汽的净流入量，凝结量，湍流扩散。
（二）降水率单位时间内降落在地面单位面积上的总降水量，称为降水率或降水强度。
暴雨物理量的诊断分析众所周知暴雨一般发生在中小尺度天气系统中，其时间尺度从几十分钟到十几小时，空间尺度从几千米到几百千米，而形成暴雨的中小尺度系统又是处于天气尺度系统内，两者通常有着密切的关系。
因而上两类天气系统的集合系统称为降水系统。
而降水系统中降水的形成和强度主要与3个条件有密切的关系，它们分别是：（1）水汽条件（2）动力条件（3）热力条件。
各种大中小尺度的天气系统和下垫面的有利组合可产生较大的暴雨。
所以我们将分别从以下这3个方面来分析这场暴雨，通过对于不同参数化方案模拟结果的比较来选取最适合模拟该地暴雨特征的参数化方案。
1.1 水汽条件分析1.1.1水汽通量散度暴雨发生的必要条件之一即是有充沛的水汽条件，即所形成暴雨上空要求满足含水量高、饱和层厚，水汽供应充沛等条件。
水汽通量散度是指单位时间汇入单位体积或从该体积辐散出的水汽量，即净流失量，它对于暴雨的发生有着较好的指示意义。
它的表达式为：散度为正的地区表示水汽从该地区的四周辐散，称该地区为水汽源，在这种情况下，水汽源的降水比较少；反之，散度为负的地区，表示四周有水汽向该地区汇集，称该地区为水汽汇，降水比较多。
由以下7张图分析可知，7种方案都大致模拟出了水汽通量散度的垂直剖面分布，且均表现为时间上从2012年7月29日世界时12时开始，而空间分布上则表现为800hpa至500hpa之间存在着水汽通量散度的极值中心。
图a图b图c图d图e图f图g图1.1 分别表示7种方案下OBS点的水汽通量散度的垂直剖面图图a-g分别代表方案1-7图a、b、c分别采用了不同的微物理参数化过程的方案，它们对于该物理量的模拟有着较大的差异。
其中方案一所模拟出的结果最为明显，在世界时12时，在400hpa至500hpa的高度上存在一个弱水汽通量辐合中心，中心值达到-5×10-10kg/(hPa•m2•s)。
然而，在世界时15时附近，这里的等值线也非常密集说明这里也有着很强的水汽通量散度梯度，中心达到约-1.5×10-9kg/(hPa•m2•s)，比12时大了约一个量级，且负值越高，说明这里的水汽幅合越剧烈，降雨雨势越强，而实际情况显示在世界时15时之后，雨势以逐渐减弱，在这以后的降水仅占到总降水量的8.5%，说明Thompson方案在对水汽通量散度场时间变化的模拟上存在着不足。
第7章 涡度、散度与垂直速度涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。
在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。
本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。
§7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s 1。
根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。
从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。
更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：w v uz yx k j i∂∂∂∂∂∂=Λ∇ 3V k yu x v j y w z u i z v y w )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= k j i ζηξ++= (7.1.1)其中)(3k w j v i u ++=V 是三维风矢。
虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度ζ。
ζ的表达式为：yu x v ∂∂-∂∂=ζ (7.1.2) 需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度ζ，其全称应是垂直相对涡度。
将式(7.1.2)变微分为差分，得：yu x v ∆∆-∆∆= ζ (7.1.3)§7.1.2 相对涡度ζ的计算方法犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度ζ有实测风涡度o ζ与地转风涡度g ζ两种。
下面分别介绍它们的计算方法。
1. 实测风涡度o ζ计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。
首先把实测风分解为u 、v 分量，然后分别读取图7.1.1所示的A 、C 点的u 值和B 、D 点的v 值，最后代入式(7.1.3)即得O 点的涡度：y u u x v v C A B D o ∆--∆-=ζ (7.1.4)图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)2. 地转风涡度g ζ计算方法假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。
用地转风计算得到的相对涡度称地转风涡度，也有人也简称地转涡度。
地转风涡度g ζ的几何意义是代表等压面凹凸的程度。
把等压面上的地转风公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂-=x H f v y H f u g g 8.98.9 (7.1.5)代入式(7.1.2)中，略去地转参数f )sin 2(ϕΩ=的空间变化后，即可得到地转风涡度g ζ的表达式：H fy H x H f g 222228.9)(8.9∇=∂∂+∂∂=ζ (7.1.6) 上式中H 为位势高度，H 2∇为高度场的拉普拉斯。
在实际业务中可用图7.1.1所示网格进行计算，并把上式改写为差分形式：)4(8.98.922O D C B A C O O A B O O D g H H H H H d m f m d m d H H m d H H m d m d H H m d H H f -+++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+---=ζ (7.1.7) 式中m 为地图投影放大系数。
由上式可见，读取网格上A 、B 、C 、D 、O 五点的高度值，代入式(7.1.7)，便得O 点的地转风涡度g ζ。
§7.2 散度的计算(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp618～620)。
1. 定义及表达式散度是衡量速度场辐散、辐合强度的物理量，单位为1/s ，辐散时为正，辐合时为负。
水平散度的表达式为：yv x u D ∂∂+∂∂= (7.2.1) 水平散度D 的大小是从同一水平面(或等压面，请读者牢牢记住这个条件)上的实测风场计算求得的。
2. 计算方法把式(7.2.1)写成差分形式：yv x u D ∆∆+∆∆= (7.2.2) 若用图7.1.1所示网格计算水平散度，变微分为差分，则上式就改写为：m d v v m d u u D C A B D 22-+-=)(2C A B D v v u u dm -+-= (7.2.3) 式中d 为在天气图上所取网格点的距离。
这样把图7.1.1中B 、D 点的u 值和A 、C 点的v 值代入式(7.2.3)，便得O 点的散度。
3. 注意事项当气象测站不在同一个海拔高度上时，地面图上散度的计算方法，我们将在后面介绍。
关于对上面计算散度值的修正方法，将在§7.3介绍。
§7.3 垂直速度ω的诊断(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp620～635)。
大气垂直运动是天气分析和预报中必须经常考虑的一个重要物理量。
需要提请读者注意的是，这里说的垂直速度(或运动)，仅仅指大尺度的。
垂直速度不是直接观测到的物理量，它是通过间接计算而得到的。
垂直速度的计算方法很多，下面只介绍O’Brie(1970)提出的运动学法(积分连续方程法)。
1. 计算原理在),,(p y x 坐标系中，连续方程可写为：0=∂∂+∂∂+∂∂py v x u ω (7.3.1) 或)(y v x u p ∂∂+∂∂-=∂∂ω (7.3.2) 将上式两端对p 积分得：⎰∂∂+∂∂-=-p p p p dp yv x u 00)(ωω ))((0p p yv x u -∂∂+∂∂= (7.3.3) 令)(yv x u D ∂∂+∂∂=为0p 和p 两层等压面之间的平均散度，则式(7.3.3)可改写成：)(00p p D p -+=ωω (7.3.4)式中p ω和0ω分别为p 和0p 高度处的垂直速度。
单位为s hPa ；正值为下沉运动，负值则为上升运动。
若平均散度D 在0p 和p 两层之间的变化是线性的，即： )(210D D D +=，那么，在求得各层散度之后，根据式(7.3.4)便可自下而上一层一层地算出各层的垂直速度来。
2. 下边界条件假定：(a)地面海拔高度很低，且是平坦的(读者要特别注意这个假定)，(b)hPa p 10000=处，0=ω，则各主要等压面上的垂直速度ω可分别用式(7.3.4)推算出来。
3. 必须对ω和D 进行修正的原因原则上，可以用这种方法计算出任意层次的ω。
但在实际上，用这种方法来计算高层的ω常常很不准确。
原因是：(a)风在高层观测的精确度较低；(b)误差随高度有积累。
上述原因的详细解释是，在作散度计算时，既有风的观测、分析方面的误差，又有计算中带来的误差，这些误差都随高度升高而有积累，从而导致ω的计算值的精确度随高度升高而不断下降。
结果到了气柱的顶部，ω的值往往不能满足0=上界ω的边界条件，这就违背了“补偿原理”。
因此必须对上述运动学方法或“补偿作用”进行修正。
4. 对D 和ω的修正根据实际资料的分析,D 的修正量可以假定为气压的线性函数。
即(证明略)： p M k D D T N k k ∆--=/)('ωω (7.3.5) 式中∑+==N M N N k M 1),1(21是一个只与总层数N 有关的常数。
对D 作了上述修正后，ω也应作相应的修正(证明略)。
)(2)1('T N k k Mk k ωωωω-+-= (7.3.6) 其中，N k ,,2,1 =，是层次序号。
N 为需要计算的总层数，N ω是未经修正的最高层垂直速度(一般即100hPa 处的9ω)，N ω是经过修正后的最高层垂直速度。
式(7.3.6)中的N ω是借用其它方法(例如绝热法等方法)求出的。
实例分析表明，N ω一般都在3～s hPa 3105-⨯，最大可达20～s hPa 31030-⨯。
而由绝热法或其他方法求出的100hPa 上ω的数值一般很小(大约为0～s hPa 3105.0-⨯)，因此T ω较之N ω是很小的。
这样，在精度允许的情况下，为了计算的方便，可取T ω0≈。
这样，式(7.3.5)与(7.3.6)便可简化成下列形式：p M k D D N k k ∆-=ω ' (7.3.7) N k k Mk k ωωω⋅+-=2)1(' (7.3.8) 5. w 与ω的换算关系在很多情况下，人们需将上面计算出的)(dt dp =ω换算成)(dt dz w =。
例如，在计算z -螺旋度ζw h z =时以及绘制垂直剖面图上的环流时就遇到上述情况。
垂直速度在),,,(t p y x 坐标系里为)(dt dp =ω，在),,,(t z y x 坐标系里为)(dt dz w =，两者有以下的关系：zp w p t p dt dp ∂∂+∇⋅+∂∂==V ω (7.3.9) 通常，式(7.3.9)的右边前两项之和很小，因此近似有： zp w dt dp ∂∂==~ω (7.3.10) 代入静力学关系，则得： gw dt dp ρω-==~ (7.3.11) 再代入状态方程，则得：gw T R p dt dp vd -==~ω (7.3.12) 式(7.3.12)即为ω与w 的换算关系式。
ω的单位多取s a hP ，w 的单位多取s cm 。
§7.4 地转偏差与散度、垂直速度的关系1. 定义地转风虽然可以作为实际风的近似，但一般情况下实际风和地转风总是有差别的。
为了量度实际风偏离地转风的程度，人们将实际风与地转风的矢量差定义为地转偏差。
令地转偏差用'V 表示，则有：g V V V -=' (7.4.1) 或 g gv v v u u u -=-='' (7.4.2)2. 计算方法考虑到有关教科书中地转风的定义式后，可将式(7.4.2)改写为：)1()1(''x f v v y f u u ∂∂-=∂∂--=φφ (7.4.3) 将公式(7.4.3)变为差分形式，得：)1()1(''x f v v y f u u ∆∆-=∆∆--=φφ (7.4.4) 根据式(7.4.4)，可以计算出地转偏差矢量的两个分量'u 与'v ，进而得到地转偏差矢量：j v i u '''+=V (7.4.5) 3. 地转偏差与水平散度、垂直速度的关系将式(7.4.2)代入水平散度公式，得：)()(''v v yu u x y v x u D g g +∂∂++∂∂=∂∂+∂∂= yv x u y v x u g g ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂='' (7.4.6) 若取f 为常数，则有：0)(1)(1=∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂+∂∂xy f y x f y v x u ggφφ (7.4.7)将式(7.4.7)代入(7.4.6)，得：y v x u y v x u D ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂='(7.4.8) 式(7.4.8)表明，实际风的水平散度是由地转偏差决定的。
