解三角形大题专练(2020更新)

【期末复习】2020年八年级数学上册期末复习专题全等三角形解答题专练1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明.2.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．3.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B4.已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.5.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF=2AE；(2)若CD=1，求AD的长.6.如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．7.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．8.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)求证：AB+AD=2AE.9.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.10.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．11.如图,△ABC中,∠BAC=900，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE,FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．12.如图,在△ABC中,∠ABC=60゜,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于O．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：AC=AE+CD．13.如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．14.如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD.(1)求证：∠B+∠AFD=180°；(2)如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明.15.（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案1.证明：CD=BE，CD⊥BE，理由如下：因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.因为，所以△BAE≌△DAC(SAS).所以BE=DC，∠BEA=∠DCA.如图，设AE与CD相交于点F，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE，所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD⊥BE.2.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE 所以：AE=CE 所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA 所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB 所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG 所以：BD=2CE3.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD ∴AE=AB∵AD平分∠CAB ∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB ∠EAD=∠BAD AD=AD ∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B 且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B4.解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，∴∠BAD＝90°-∠EAC。

解三角形专练1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为2.在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A．B ．2 C．．43.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 1504.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B． C． D．5.在三角形ABC 中，若1tan tan tantan ++=B A B A ，则C cos 的值是B. 22C. 21D. 21-6.在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若22265b c a bc+-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.358.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形9.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，︒=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个10.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥11.在ABC ∆中,已知30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是A ．34B ．38 C．34或38D ．312.在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4π C ．3πD ．23π13.若∆ABC 的三角A:B:C=1:2:3，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ）A.1:2:3B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30B ．60C 90 D.12015.在∆ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为2221()4Sa b c =+-，则角C 为( )A ．30B 45C ．60D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝2，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个17.设∆ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=( ) A ．3πB ．23πC ．34π D.56π18.若三角形ABC 中，sin(A ＋B)sin(A －B)＝sin 2C ，则此三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )A ．a B.2aD20.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形21.已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且120c b B ==︒,则ABC ∆的面积等于________.22.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． 则角B 的大小为_______；23.在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为________． 24.在ABC ∆中.若1b =，c =23C π∠=，则a=___________。

解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）A 、都扩大2倍B 、都扩大4倍C 、没有变化D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32-|5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。

解三角形基础大题20道一、解答题1．在△ABC 中，3a cos B ＝b sin A ． （1）求∠B ；（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积． 2．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状．4．ABC 中，角,,A B C 的对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A += （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值. 5．已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，1a =，S 是ABC 的面积，22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较33b c +163S 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为23S =，外接圆直径为4，求ABC 的周长. 7．在ABC ∆中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-. （1）求角A ；（2）若7BC =，·20AB AC =，求||AB AC +. 8．如图，已知△ABC 中，AB ＝362，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°．（1）求AC 的长；（2）若CD ＝5，求AD 的长．9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知7a =2b =，60A =︒.（1）求sin B 的值； （2）求c 的值. 10．若ABC 2,1,6b c ==A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值； (2) 求sin 2sin AC的值. 11．ABC 中，角A B C ,,的对边长分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-=.（1）求角A 的大小； （2）若1a =，3B π=，求ABC ∆的面积.12．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D 监控河流南岸相距150米的A 、B 两处（A 在B 的正西侧）.监控中心C 在河流北岸，测得45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，1206m AB =，监控过程中，保证监控船D 观测A 和监控中心C 的视角为120︒.A ，B ，C ，D 视为在同一个平面上，记ADC 的面积为S ，DAC ∠θ=.（1）求AC 的长度；（2）试用θ表示S ，并求S 的最大值. 13．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ； （2）求∠A ．14．在ABC ∆中，32b =，6cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求cos 2C 的值．15．设ABC 中，()cos cos 3cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c . （1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 16．△ABC 三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，3＝acosC ． （1）求角C 的大小；（2）若b 3=c 11=a .17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 8sin a B A =，π4C =，22265a cb ac +-=．（1）求c 的长；（2）求πcos()6A -的值．18． 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．19．已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2sin a C =． （1）求A ；（2）若2a =，ABC b ，c ． 20．已知函数1()sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a B a B b A =-，求(A)f 的取值范围.参考答案1．（1）3π；（2）3． 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B ，进而可求B ； （2）由余弦定理及已知条件可求a ，c 的值，然后结合三角形的面积公式可求． 【详解】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =， 因为sin A ≠0，sin B B =，所以tan B = 因为0＜B ＜π， 所以3B π=，（2）因为b ＝2，c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 可得22144222a a a a =+-⨯⨯，所以a =，c 3=，所以11223323ABCSacsinB ==⨯⨯=． 【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题 2．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+，所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题 3．（Ⅰ）60A =︒；（Ⅱ）等边三角形. 【分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A ；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin()0A C -=，结合（1）的结论即可知ABC 的形状． 【详解】（Ⅰ）∵22(2)(2)a b c b c b c =-+-，整理得222bc b c a =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==， ∴60A =︒．（Ⅱ）由正弦定理，得sin 2sin cos B C A =，而()B A C π=-+，∴sin()2sin cos sin cos cos sin A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=， ∴sin()0,A C A C -==， ∴60A B C ===︒， ∴ABC 为等边三角形． 【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.4．（1）3π；（2. 【分析】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，可得sin 2sin cos A A A =，化简即可求值；（2）由2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=b c bc bc +-≥， 所以4bc ≤，再根据面积公式即可得解. 【详解】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， 可得sin 2sin cos A A A =，在ABC 中，0A π<<，sin 0A ≠， 可得：1cos 2A =，故3A π=； （2）由（1）知3A π=，且2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=2b c bc bc bc bc +-≥-=， 所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△， 当且仅当4b c ==时取等号，所以ABC 【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.5．（1）当,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）33b c +≥【分析】（1）先化简函数()f x ，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先代入求出角A ，再根据立方和公式与面积公式化简代数式，再根据基本不等式即可比较大小． 【详解】解：（1）∵()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）由题意可得2sin 226A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴62A ππ+=，∴3A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得221b c bc +-=，==，∴()()3322b c b c b c bc +=++--()b c =+-0≥=， 当且仅当b c =时取等号，∴33b c +≥ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数与解三角形，第一问的解题关键在于化简函数解析式，第二问的关键在于熟记立方和公式与基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6．（1）3π；（2）6+. 【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果. 【详解】（1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 82S ac B ac ==⇒=，由正弦定理可知4sin bb B=⇒= 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=，则6a c +=，∴ABC 的周长为6+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.7．（1）3A π=；（2【分析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式222||||2?·cos BC AB AC AB AC A =+-，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出22||AB AC +的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.【详解】（1）原式可化为：sin sin()sin()B A B A B =+--sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B A B A B =+-+=，(0,)B π∈，sin 0B ∴>，1cos 2A ∴=， 又(0,)A π∈，3A π∴=；（2）由余弦定理，得222||||2cos BC AB AC AB AC A =-⋅+，7BC =，···cos 20AB AC AB AC A ==， 22||89AB AC ∴+=，222||||28940129AB AC AB AC AB AC +=++=⋅+=， 129AB AC ∴+=【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，考查了平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握计算公式及法则是解本题的关键，属于基础题. 8．（1）3，（2）7 【分析】（1）在△ABC 中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出120ACD ∠=︒，然后在ACD △中利用余弦定理求解即可 【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，sin sin AC ABABC ACB=∠∠,则sin 45sin 23sin sin 60AB ABC AC ACB ︒⋅∠===∠︒， （2）因为∠ACB ＝60°，所以120ACD ∠=︒, 在ACD △中，由余弦定理得，7AD ===【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．（1）sin B =；（2）3c =. 【分析】由正弦定理求出sin B ，由余弦定理列出关于c 的方程，然后求出c ． 【详解】解：（1）因为a =2b =，60A =︒.由正弦定理sin sin a b A B =，可得2sin 60sin B =︒，所以sin 7B =；（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-22222cos60c c =+-⨯︒， 3c =，1c =-（舍），所以3c =. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．10．（1）cos A =（2）sin 2sin A C =【分析】(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA, (2)先用余弦定理求出边a ，再将式子化简sin22sin cos 2cos sin sin A A A aA C C c⋅==⋅，求解即可. 【详解】（1）因为ABC所以 11sin 1sin 222ABCSbc A A ==⨯=，所以sin 3A = ． 因为 ABC 中，A ∠为锐角，所以cos A ==. （2）在ABC 中，由余弦定理，222222cos 1213a b c bc A =+-=+-⨯=，所以a = 由正弦定理=sin sin a c A C , 所以sin =sin A a C c.所以sin22sin cos 2cos sin sin A A A a A C C c ⋅==⋅==. 【点睛】本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.11．（1）6π；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理可得：222b c a +-=，代入余弦定理，即可得解； （2）根据内角和为π，求出角C ，解得ABC ∆为直角三角形，即可得解. 【详解】（1）因为222sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理可得：222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==， 所以6A π=.（2）因为6A π=，3B π=，所以2C π=，所以b =ABC S ∆=. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题.12．（1）240m ；（2）()2sin 2301S θ︒⎤=+-⎦，2.【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理解三角形即可得AC .（2）由（1）知AC 的长度，利用正弦定理求AD 的长度，结合DAC ∠θ=，利用面积公【详解】（1）在ABC 中，45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，所以60ACB ︒∠=.因为AB =，所以，由正弦定理得sin 60sin 45AB AC︒︒=，所以240m AC =；（2）在ADC 中，设DAC ∠θ=，则60ACD θ︒∠=-， 由正弦定理得sin sin AC ADADC ACD=∠∠.所以()60AD θ︒=-.所以()11sin 24060sin 22S AC AD θθθ︒=⨯⨯=⨯⨯-. ()2cos21)2sin 2301θθθ︒⎤=+-=+-⎦因为060θ︒︒<<.所以当30θ︒=时，S 取到最大值2.答：AC 的长度为240m ，()2sin 2301S θ︒⎤=+-⎦，S 取到最大值2.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题. 13．（1）5b =；（2）∠A ＝120°. 【分析】由正弦定理求得b ，由余弦定理求得cos ∠A ，进而求出∠A 的值． 【详解】（1）由正弦定理得sin bB ＝sin c C可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5． （2）由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为()0,180A ︒︒∈，所以∠A ＝120°．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b 的值，是解题的关键． 14．（Ⅰ）3a =（Ⅱ）79【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合cos A =，可以求出sin A 的值，运用正弦定理，可以求出a 的值；（Ⅱ）由cos 3A =，2B A π=+，运用诱导公式，可以求出sin B 的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出cos B 的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出sin C ，最后利用二倍角的余弦公式求出cos 2C 的值.【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，(0,)A π∈得sin A ==．因为2B A π=+，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin()2a A A π+=，即cos a A =， 所以3a =．（Ⅱ）因为cos 3A =，2B A π=+，所以sin sin()cos 23B A A π=+==，cos 3B ==-． 所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=． 故27cos212sin 9C C =-=． 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.15．（1）π3B =（2）面积S 的最大值为2；此时b =【分析】（1）在三角形中，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，结合条件可得π2sin sin 03A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求出答案；（2）由2248a c +=可得2ac ≤，则11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=，此时2a =，1c =，再由余弦定理即可求出答案． 【详解】解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B+=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 222S ac B =≤⋅=，∴ABC 面积S 且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题．16．（1）6C π=（2）a =【分析】（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC acosC =得acosC =，即可得出.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，代入化简即可得出. 【详解】解（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，cosC =∵0＜C ＜π，∴sinC ≠0，故cosC ≠0∴3tanC =又0＜C ＜π， ∴6C π=.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，得2=a 22+-acos 6π，即a 2﹣3a ﹣8＝0，解得a 32±=， 又a ＞0，∴a =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．（1）（2 【分析】（1）先由正弦定理得8b =，再结合余弦定理求出4sin 5B =，然后结合sin sin c bC B=求解即可；（2）由两角和、差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．因为0πB <<，所以4sin 5B ==，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（2）在ABC 中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+，又3cos 5B =，4sin 5B =，故34cos 525210A =-⨯+⨯=， 因为0πA <<，所以sin A =因此πππ1cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+==． 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.18．（1）34；（2）b =【分析】（1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得3sin cos 4B B =，根据同角三角函数基本关系式即可求得tan B ；（2）由同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据三角形面积公式求得c 的值，代入所给等式，即可求解b 的值. 【详解】（1）在ABC 中， 由三角形面积公式得，1sin 2S ac B =， 由余弦定理得，222cos 2c a b B ac+-=，()2223163c S b a +=-，∴()222316S c a b =+-， 整理可得()22233sin cos 84c a b B B ac+-==， 又()0,B π∈，∴sin 0B >，故cos 0B >，∴sin 3tan cos 4B B B ==. （2）由（1）得3tan 4B =， ()0,B π∈,∴3sin 5B =， 42S =，10a =，∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==， 解得14c =，()2223163c S b a +=-，∴b ===. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属于基础题. 19．（1）3A π=；（2）2b c ==.【分析】（12sin sin C A C =，消去sin C ，可得sin A ，可得答案；（2）由（1）所求A 及1sin 2bc A =可得bc 的值，再由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得b ，c 的值. 【详解】解：（12sin a C =，2sin sin C A C =，因为sin 0C ≠，所以sin A =． 因为A 为锐角，所以3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+-，得：224b c bc +-=．又ABC ∆1sin 2bc A = 所以4bc =．则228b c +=．解得2b c ==． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，需注意公式的灵活运用. 20．（1）5,,.88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）11(,)22- 【分析】（1）根据降幂公式化简()f x 的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间； （2）由正弦定理边化角，从而可求得4B π=，根据锐角三角形可得,42A ππ<<从而可求出答案． 【详解】解：（1）111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+1(sin 2cos 2)2x x =+)24x π=+，由222,Z,242k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈得,88k x k π5ππ+≤≤π+ 所以()f x 的单调递减区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）由正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A B A B B A =-，∵sin 0,A ≠∴cos2cos sin B B B =-，即(cos sin )(cos sin )cos sin B B B B B B -+=-，(cos sin )(cos sin 1)0B B B B -+-=，得cos sin 0B B -=，或cos sin 1B B +=， 解得4B π=，或2B π=（舍），∵ABC 为锐角三角形，3+,4A C π=∴0,230,42A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得,42A ππ<<∴352,444A πππ<+<sin(2),242A π-<+<∴())24f A A π=+的取值范围为11(,)22-．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题．。

cos (2)cos a B c b A=-解三角形（周长问题）1、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．2、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．3、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cA bB aC =+)cos cos (cos 2（1）求C（2）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长4、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC ∆的周长最大时，求它的面积．5、在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1BC -=，求ABC C ∆．6、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin(664A A ππ-+=-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．7、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为ABC ∆的面积，且20S AC +⋅=．（1）求A 的大小；（2）若a =1b =，D 为直线BC 上一点，且AD AB ⊥，求ABD ∆的周长．(3sin )sin (1cos cos )b c A C c A C -=-8、已知函数2()sin(sin()2cos 662x f x x x ππ=++--，x R ∈．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2a =且f （A ）0=，ABC ∆3ABC ∆的周长．9、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）在①934ABC S ∆=，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC ∆的周长．10、如图，在四边形ABCD 中，33CD =，7BC =7cos 14CBD ∠=-．（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD ∆周长的最大值．参考答案1、（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A =∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin 2A =，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-=①由正弦定理得sin sin a bB A =⋅，sin sin a cC A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅=②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为32、解：（Ⅰ）∵cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,得sin cos (2sin sin )cos A B c B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，又∵A B C π+=-，sin 2sin cos C C A∴=∵(0,)C π∈，∴1cos ,23A A π==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3A π=432sin 3a R A ==，22sin 2sin 2(sin sin )32(sin()sin )33a b cR A R BB C C C ππ++=++=++=+--+24sin()6C π=++250,3666C C ππππ<<∴<+< ∴当,623C C πππ+==时，ABC ∆周长最大最大值为2+4=6，即ABC ∆周长最大值是63、（1）由正弦定理得：∵，∴∴，∵∴（2）由余弦定理得：∴∴∴周长为4、解：（1）因为222sin sin sin sin sin B A C A C --=，所以222b a c ac --=，可得222a c b ac +-=-，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为(0,)B π∈，所以23B π=．（2）因为23B π=，3b =，所以由余弦定理知，2222222392cos ()()()()24a c b a c ac B a c ac a c a c +==+-=+-+-=+，当且仅当3a c ==所以23a c +ABC ∆的周长最大值为323+3ac =，所以ABC ∆的面积11333sin 322S ac B ==⨯⨯5、解：（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21393sin 22414ABC S bc A c ∆∴===；（2）2b c = ，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -= ，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sinC B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，2122cos 1()33C ∴=-=．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a = ，2b c =，229482c c c ∴=+-，得：23290c c -+=，解得：425c ±=当4253c +=时，82253b +=325ABC C ∆∴=+当4253c =时，82253b -=，3ABC C ∆∴=+．6、解：（1）因为51sin()sin()664A A ππ-+=-，所以111(cos )()22224A A A A --+=-，即22311cos sin cos 444A A A A --=-，3112(1cos 2)cos 2)884A A A ---+=-112cos 244A A +=，所以可得1sin(2)62A π+=，因为(0,)A π∈，可得2(66A ππ+∈，13)6π，所以5266A ππ+=，可得3A π=．（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，且1a =，3A π=，所以b B =，c C =；所以232321sin )1[sin sin(?)]12sin()3336a b c B C B B B ππ++=++=++=++．因为ABC ∆为锐角三角形，所以得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<．所以12sin((16B π++∈+，3]；即ABC ∆周长的取值范围是(1+3]．7、解：（1）20S AC ⋅= ，∴12sin cos 02b c A c A ⨯⋅⋅+⋅⋅=，又0b c ⋅>，∴sin 0A A +=，即tan A =，又(0,)A π∈，∴23A π=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，又a =、1b =，23A π=，260c c ∴+-=，又0c >，2c ∴=，在ABC ∆中，由正弦定理得21sin 14B =，又a b >，B ∴为锐角，∴cos 14B =，在Rt ABD ∆中，cos AB B BD =，∴BD 21sin 14AD BD B =⋅==ABD ∴∆的周长为235710234725145+++=．8、解：（1）23131()sin cos 2cos 22222x f x x x x x =++--cos 12sin(16x x x π=--=--，∴当2sin()16x π-=-时，()f x 取得最小值3-，当2sin()16x π-=时，()f x 取得最大值1，即函数()f x 的值域是[3-，1]．（2）由f （A ）2sin()106A π=--=得1sin()62A π-=，0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，则66A ππ-=，得3A π=，ABC ∆ ，2a =，∴1sin 23bc π==4bc =，又22222cos()23a b c bc b c bc bc π=+-=+--，即24()12b c =+-，得2()16b c +=，即4b c +=，则周长426a b c ++=+=．9、解：（Ⅰ）因为sin )sin (1cos cos )c A C c A C -=-，sin cos()0C c A C c ++-=，即sin cos )sin C B B C -=，因为(0,)C π∈，sin 0C ≠，cos 2sin()16B B B π-=-=，即1sin(62B π-=，因为0B π<<，5666B πππ-<-<，所以66B ππ-=，可得3B π=．（Ⅱ）若选择条件①，因为1sin 23ABC S ac π∆=，所以9ac =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以2218a c +=，可得2()36a c +=，又0a c +>，解得6a c +=，因此ABC ∆的周长为9a b c ++=．若选择条件②4A π=，在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin sin sin 3a b c A B C π====所以4a π==，sin()34c ππ=+=所以ABC ∆的周长为32632366322a b c ++=+=．若选择条件③2a c =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以222492c c c +-=，即23c =，解得c =，a =，因此ABC ∆的周长为3a b c ++=+．10、解：（1）在BCD ∆中，cos CBD ∠=，所以321sin 14CBD ∠===，利用正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，所以321sin 114sin 2BC CBD BDC CD ⋅∠∠==，又因为CBD ∠为钝角，所以BDC ∠为锐角，故6BDC π∠=；（2）在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos214BC BD CD CBD BC BD +-∠===-⋅，解得4BD =或5BD =-（舍去），在ABD ∆中，3A π∠=，设AB x =，AD y =，由余弦定理得22222161cos 222AB AD BD x y A AB AD xy +-+-===⋅，即2216x y xy +-=，整理得2()163x y xy +-=，又0x >，0y >，利用基本不等式得223()()1634x y x y xy ++-=，即2()64x y +，当且仅当4x y ==时，等号成立，所以x y +的最大值为8，所以AB AD BD ++的最大值为8412+=，所以ABD ∆周长的最大值为12．。

解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。

今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。

根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。

代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。

同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。

解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。

根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。

根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。

根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。

代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。

1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。

由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

2020年高考数学押题：三角函数与解三角形综合经典30道。

1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =，332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 2cos a B b A =，3cos 3A =． （1）求角B 的值； （2）若6a =，求ABC ∆的面积．3．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为23，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 3sin A cos B b a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C 3A =，求a ，c ．5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin 2cos cos 02B C B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，（1）求证：B C =； （2）若3cos 5A =，ABC ∆的外接圆面积为254π，求ABC ∆的周长． 6．在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=，求△ABC 的面积．7．如图，在ABC 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=，22sin BAC 3∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC8．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+. （1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC 的面积. 9．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若5sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为22b 的值.11．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．12．在平面四边形ABCD 中，已知26AB =3AD =，2ADB ABD ∠=∠，3BCD π∠=.（1）求BD ；（2）求BCD ∆周长的最大值.13．在平面四边形ABCD 中，ABD △中边BD 所对的角为A ，BCD 中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD △与BCD 的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.14．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量3sin ,3m B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭与(,cos )n a A =垂直. （1）求角A ； （2）若2a =b c +的最大值.15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 16．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=，3c =.（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD CB =，求ABD ∆周长的取值范围． 17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 4sin 2B AC +=. （1）求tan B ；（2）若1b =，求a c +的取值范围.。

已知向量(sin cos ,2cos )x x x =+m ，sin co,s )s in (x x x =-n ，()1f x =⋅+m n ． （1）求()f x 的解析式，并求函数()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在[0,]2π上的值域．【肢解1】在已知条件下求出，函数()f x 的解析式.【肢解2】在“肢解1”的基础上，完成问题：函数()f x 的单调增区间. 【肢解3】在已知条件下，求()f x 在[0,]2π上的值域.【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k x k π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（6分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)14x π≤-≤，（8分）大题肢解一三角函数的图象及其性质所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（12分）此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为si (n )y A x B ωϕ++=的形式，再结合正弦函数sin y x =的性质研究其相关性质．（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略：①对函数sin y x =，sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为x ωϕ±.②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.【拓展1】已知向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，x ∈R ，已知函数()()f x =⋅+a a b . 求()f x 的最值与最小正周期；【解析】由向量()sin ,cos x x =a ，()cos ,cos x x =b ，所以()sin cos ,2cos x x x +=+a b ， 所以()()()2sin sin cos 2cos f x x x x x =⋅+=++a a b ()111sin 2cos 2122x x =+++32224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又[]sin 2-1,14x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()f x的最大值是322+，最小值是322-，()f x 的最小正周期是22T π==π. 【拓展2】已知函数23()cos cos 2f x x x x =++，当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域.【解析】由题得1cos 23()2sin(2)22226x f x x x +π=++=++， ∵[,]63x ππ∈-， ∴2[,]666x ππ5π+∈-， ∴1sin(2)126x π-≤+≤， ∴函数()y f x =的值域为3[,3]2.（2019年河北省存瑞中学高三上一质检）已知向量)1cos ,,,cos2,2x x x x ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭R a b ,设函数()f x =⋅a b .（1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【解析】由已知可得：变式训练一()11·cos cos2cos2sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭a b ,（3分）（1）()f x 的最小正周期2π2T π==；（5分） （2）由3222,262k x k k ππππ+≤-≤π+∈Z ,可得5,36k x k k πππ+≤≤π+∈Z , ()f x ∴的单调递减区间为()5,36k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（7分）（3）0,2x π⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦,52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,（10分）()f x ∴的最大值为1,最小值为12-．（12分）在锐角ABC △中，角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，已知ππsin 2)cos()44B B B =+-. （1）求角B 的大小；（2）若1b =，ABC △的面积为2，求ABC △的周长．【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理求解即可.大题肢解二解三角形【解析】（1）因为在锐角ABC △中，ππsin 2)cos()44B B B =+-，所以ππsin 2cos()sin()44B B B =++，所以sin 22B B =，（3分） 因为cos20B ≠，所以tan 2B =因为π02B <<， 所以π6B =.（6分） （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212cos a c ac B =+-，所以221a c =+，（8分）因为ABC △的面积为2，所以1πsin 26ac =，即ac = 所以227a c +=，（10分）所以22()7(2a c +=+=+，所以2a c +=+所以3a b c ++=+ABC △的周长为3（12分）（1）利用正、余弦定理求边和角的方法：①根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．②选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.③在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． （2）求三角形面积的方法：①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【拓展1】已知在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ca bA B A C +=--sin sin sin sin , （1）求角C 的大小; （2）若3=c ,求b a +的取值范围. 【答案】（1）由c a b A B A C +=--sin sin sin sin ,则ca ba b a c +=--.⇒ab c b a =-+222,所以2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 而),0(π∈C 故3π=C , （2）由ab c b a =-+222 且3=c ,⇒ab ab b a =--+92)(2, ⇒22)2(339)(b a ab b a +≤=-+, ⇒36)(2≤+b a 所以6≤+b a ,又3=>+c b a ,所以b a +的取值范围是]6,3(.【拓展2】在ABC ∆中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，cos cos 2A aC b c=-+. （1）求角A 的大小；（2）若2,bc =ABC ∆的周长为3，求a 的值.【答案】（1）23A π=（2）a =【解析】（1）因为cos cos 2A aC b c=-+ 由正弦定理得cos sin cos 2sin sin A A C B C=-+ sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ++=sin()2cos sin 0A C A B ++=sin 2cos sin 0B A B +=,(0,)B π∈, 1cos 2A =-,(0,)A π∈,23A π=（2）由余弦定理得2222222cos 2a b c bc Aa b c =+-⇒=++因为周长3a b c ++=，又222a b c =+-（），所以2232a a =+-（），所以a =【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题．（百校联盟2019-2020学年高三上学期10月尖子生联考数学理科试题）已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .且cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若ABC △的面积为ABC ∆周长的最小值.【解析】（1）cos 2sin cos 6B C A π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，且A B C ++=π，()1cos 2cos cos 2A C C C A ⎫∴-+=-⋅⎪⎪⎝⎭，（2分）sin sin cos A C C A ∴⋅=，0C <<π，且0A <<π，sin 0,sin C A A ∴>∴=，3A π∴=.（6分） 变式训练二（2）由1sin 2S bc A ==，得8bc =.（8分） 又222a b c bc =+-，28a bc ∴≥=，（当且仅当b c =时取等号），（10分） ()2224b c a ∴+=+，l a b c a a ∴=++=+≥，l ∴≥=ABC∴△周长的最小值为.（12分）已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数的最小正周期及在区间π2π[,]123上的值域；（2）在ABC△中，ABC △的面积.【肢解1】在已知条件下化解二倍角公式和余弦和差公式. 【肢解2】根据正、余弦定理及三角形的面积公式求解即可.()f x ()f x 5AB =大题肢解三三角函数与解三角形的综合问题【解析】（1）∵πππ()cos(2)2sin()cos()344f x x x x =-+--1πcos 22sin(2)222x x x =++-12cos 2cos 2x x x =+-12cos 22x x =- πsin(2)6x =-.（3分）的最小正周期为2ππ2T ==；∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈，（4分） ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴在区间π2π[,]123（6分）（2π1sin(2)62A -=，即π6A =，（7分） 由余弦定理得2725(0b b b =+-⇒--=，∴b =b =（10分）)(x f ∴()f x∴ABC △（12分）此类问题是将三角函数的图象与性质、解三角形综合命题进行考查，解题时，只需从条件出发，其间只需熟练掌握三角函数的图象与性质的求解方法以及解三角形的相关知识即可顺利解决.【拓展1】已知函数()22sin 24f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且12C c f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若sin 2sin B A =，求,a b 的值.【解析】（1）1cos 22()221sin 2212sin 223x f x x x x x π⎛⎫-+ ⎪π⎛⎫⎝⎭=-=+=+- ⎪⎝⎭，所以22T π==π.（4分） （2）因为12sin 1sin 0233C f C C ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⇒-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0C <<π，所以3C π=.（5分） 因为222222cos 3c a b ab C a b ab =+-⇒=+-①，因为sin sin a b A B=，sin 2sin B A =，所以2b a =②，联立方程①②得：1,2a b ==.（12分）[广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3A π=；（2【解析】（1）(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，m n ⊥，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正变式训练三弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.1．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b、c ，且22sin 30C C -++=．（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC △sin A B ，求sin A 及c 的值．【解析】（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴=，sinA C ∴=，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．2．（2019·沙雅县第二中学押题卷）已知点)P，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅.（1）求函数()f x 的解析式及最小正周期;（2）若A 为ABC △的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆ABC △的周长. 【解析】（1）.()3,1OP =，()3cos ,1sin QP x x =-.∴()f x OP QP =⋅)3cos 1sin x x =-+-42sin 3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π.（2）.因为()4f A =，所以sin 03A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0A <<π，所以23A π=，因为1sin 2ABC S bc A ∆=12sin 234bc π==，所以3bc =，根据余弦定理22222cos3a b c b π=+-2()29b c bc bc =+-+=，所以b c +=即三角形的周长为3+3．（四川省遂宁市射洪县射洪中学2020届高三上学期10月月考数学试题）锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin C c B +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC △的周长的取值范围．【解析】（1cos sin C c B +=，cos sin sin B C C B A +=， 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入整理得sin sin sin C B B C =，又由(0,)C ∈π，则sin 0C >，所以sin B B =，即tan B =又因为(0,)B ∈π，所以3B π=. （2）因为3b B π==,且由正弦定理，可得2sin sin sin a b cA B C====， 即2sin ,2sin a A c C ==，所以周长22(sin sin )2(sin sin())3L a b c a c A C A A π=++=+=+=+-32(sin ))26A A A π=+=+，即)6L A π=+又因ABC △为锐角三角形，且23A C π+=， 所以203202A A ππ⎧<-<⎪⎪⎨π⎪<<⎪⎩，解得62A ππ<<，所以2(,)633A πππ+∈，则有sin()6A π+∈ 即(3L ∈， 即ABC △的周长取值范围为(3+.4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学试题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知ABC △的面积21tan 6S b A =. （1）证明：3cos b c A =；（2）若a c ==，求tanA .【解析】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==得3sin tan c A b A = ． 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b A c A A=， 又因为0A π＜＜，所以0sinA ≠ ， 因此3b ccosA =．（2）由（1）得3cos b c A A ==，所以2230bccosA cos A =由余弦定理得2222a b c bccosA =+-，所以22845530cos A cos A -=+，解得21cos 5A =因此24sin 5A =，即2tan 4A = 由（1）得cos 0A ＞，所以tan 0A ＞ ， 故tan 2A =．5．（黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+.（1）求角A 的大小；（2）若cos 7B =，a =ABC △的面积S 的值. 【解析】（1）∵由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， ∴有sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=， 则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222b c a bb c a c R R R R⋅+⋅=⋅+⋅， 即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-， 又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =， 由()0,A ∈π，得3A π=； （2）由（1）知，3A π=，则sin 2A =，1cos 2A =，∵cos B =，()0,B ∈π，∴1sin 7B ==， ∴()1113sin sin 272714C A B =+=+⨯=，由正弦定理得，13sin 13sin a C c A===，∴111sin 132272S ac B ==⨯⨯=. 6．（河南省郑州市第一中学2019届高三高考适应性考试数学试题）在ABC △中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，已知3a =，cos cos cos sin cos B A C B C b+=.（1）若c =，求sin A ；（2）若AB 边上的中线长为2，求ABC △的面积.【解析】（1）因为cos cos cos sin cos B A C B C b+=，由正弦定理，得cos cos cos sin cos B A C B C +=，所以cos()cos cos sin cos A C A C B C -++=.所以sin sin cos A C A C =.又因为sin 0A ≠，所以tan C =因为(0,)C ∈π，所以3C π=.又因为sin sin a c A C =，所以3sin A =，所以3sin 4A =. （2）设AB 边上的中线为CD ，则2CD CA CB =+，所以22224()2cos CD CA CB b a ab C =+=++，即23793b b =++，23280b b +-=. 解得4b =或7b =-（舍去）.所以11sin 4322ABC S ab C ∆==⨯⨯=.7．（河南、河北两省重点高中2019届高三考前预测试卷数学试题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC △的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==. 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.8．（重庆市2019届高三高考全真模拟考试数学试题）已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，sin cos (sin )0A C B B -+=．（1）求角C ；（2）若b =c =AB 边上的高长．【解析】（1）()sin cos sin 0A C B B -=，()()sin cos sin 0B C C B B ∴+-=， ()cos sin 0B C C ∴=，tan C ∴=3C π∴=．（2）由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，可得：210a -=，可得：a =，由等面积可得：11sin 22S ab C ch ==，可得：h =． 9．[惠州市2020届高三第三次调研考试数学（理）]【答案】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，π3ABC ∠=，1sin 22ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=，所以22AB =，解得3AB =． 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，因为0AC >，所以AC =（2）设ACD α∠=，则ππ33ACB ACD α∠=∠+=+． 在Rt ACD ∆中，因为AD =sin AD AC α==． 在ABC ∆中，ππ3BAC ACB ABC α∠=-∠-∠=-， 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2πsin()3α=-， 所以2sin()sin 3παα-=，所以12(cos sin )sin 22ααα-=，2sin αα=，所以tan α=，即tan ACD ∠=。

专项一 解三角形考点2 解三角形大题 拆解技巧【母题】(2020年全国Ⅱ卷)△ABC 中,sin 2A-sin 2B-sin 2C=sin Bsin C. (1)求A;(2)若BC=3,求△ABC 周长的最大值.【拆解1】△ABC 中,已知sin 2A-sin 2B-sin 2C=sin B sin C,求A. 【解析】由正弦定理可得BC 2-AC 2-AB 2=AC·AB, ∴cos A=AC 2+AB 2-BC 22AC ·AB=-12,∵A∈(0,π),∴A=2π3.【拆解2】若BC=3,A=2π3,求证(AC+AB)2-AC·AB=9.【解析】由余弦定理得BC 2=AC 2+AB 2-2AC·ABcosA ∴AC 2+AB 2+AC·AB=9,即(AC+AB)2-AC·AB=9.【拆解3】已知BC=3,且(AC+AB)2-AC·AB=9,求△ABC 周长的最大值. 【解析】∵AC·AB≤（AC+AB 2）2(当且仅当AC=AB 时取等号),∴9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-AC+AB22=34(AC+AB)2,解得AC+AB≤2√3(当且仅当AC=AB时取等号),∴△ABC的周长L=AC+AB+BC≤3+2√3,∴△ABC周长的最大值为3+2√3.小做变式训练△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3c=b(sin A+√3cos A).(1)求B;(2)若b=3,求△ABC周长最大时,△ABC的面积.【拆解1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√3c=b(sin A+√3cos A),求B.【解析】∵√3c=b(sin A+√3cos A),∴√3sin C=sin B·(sin A+√3cos A),∴√3sin(A+B)=sin Bsin A+√3sin Bcos A,∴√3sin Acos B+√3sin Bcos A=sin Bsin A+√3sin Bcos A,∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴√3cos B=sin B,∴tan B=√3, ∵0<B<π,∴B=π3.【拆解2】已知B=π3,若b=3,求△ABC 周长的最大值.【解析】∵cos B=a 2+c 2-b 22ac,B=π3,∴12=a 2+c 2-b 22ac,∴b 2=a 2+c 2-ac,∴9=(a+c)2-3ac,∴9≥(a+c)2-3a+c 22=(a+c )24,当且仅当a=c=3时等号成立, a+c 的最大值为6, ∴周长的最大值为9.【拆解3】已知条件不变,求△ABC 周长最大时,△ABC 的面积. 【解析】当a=c=3时,a+c 取得最大值,即周长取得最大值, 此时S △ABC =12×3×3×sin π3=9√34.通法 技巧归纳1.三角形中的最值、范围问题的解题策略解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形的性质求解即可.2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.突破实战训练<基础过关>1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=√3sin(A+B)+1.2sin2A+B2(1)求角C的大小;(2)若a=√3,c=1,求△ABC的面积.【解析】(1)在△ABC中,A+B+C=π,即A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin C,因为2sin 2A+B 2=√3sin(A+B)+1,所以2sin 2π-C 2=√3sin C+1,可得2cos 2C2=√3sin C+1,所以1+cos C=√3sin C+1,即cos C=√3sin C,所以tan C=√33, 因为C∈(0,π),所以C=π6.(2)由正弦定理可得asinA =csinC,因为a=√3,c=1,所以sin A=√32,因为a>c 且A∈(0,π),所以A=π3或A=2π3,所以B=π2或B=π6, 当B=π2时,S △ABC =12acsin B=√32;当B=π6时,S △ABC =12acsin B=√34.2.在①2asin C=ctan A;②2acos B=2c -b;③2cos 2B+C2=cos 2A+1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知________. (1)求A 的值;(2)若△ABC 的面积为√34,周长为5,求a 的值.【解析】选①.(1)已知2asin C=ctan A,利用正弦定理得2sin Asin C=sin C·sinAcosA,因为0<A<π,0<C<π,所以sin A≠0,sin C≠0,整理得cos A=12,由于0<A<π,所以A=π3.(2)由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√34,解得bc=1.由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c),利用余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=(5-a)2-3,解得a=115.选②.(1)已知2acos B=2c-b,利用余弦定理得2a·a 2+c 2-b 22ac=2c-b,整理得b 2+c 2-a 2=bc=2bccos A,化简得cos A=12,由于0<A<π,所以A=π3.(2)由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√34,解得bc=1.由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c),利用余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=(5-a)2-3, 解得a=115.选③.(1)已知2cos 2B+C 2=cos 2A+1,整理得cos(B+C)+1=2cos 2A,所以2cos 2A+cos A-1=0,解得cos A=12或cos A=-1(舍去),由于0<A<π,所以A=π3.(2)由S △ABC =12bcsin A=√34bc=√34,解得bc=1.由于a+b+c=5,所以a=5-(b+c),利用余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=(5-a)2-3,解得a=115.3. 已知函数f(x)=4cos xsin(x-π3)+√3.(1)求函数f(x)在区间[π4,π2]上的值域.(2)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若角C 为锐角,f(C)=√3,且c=2,求△ABC 面积的最大值. 【解析】(1)f(x)=4cos xsin(x-π3)+√3=4cos x(sin xcos π3-cos xsin π3)+√3=4cos x(12sin x-√32cos x)+√3=2sin xcos x-2√3cos 2x+√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin(2x-π3),由π4≤x≤π2,得π6≤2x -π3≤2π3,∴12≤sin (2x-π3)≤1,∴函数f(x)的值域为[1,2].(2)由f(C)=√3,得sin(2C-π3)=√32,∵C 为锐角,∴2C -π3=π3,∴C=π3.∵c=2,∴由余弦定理得a 2+b 2-ab=4,∵a 2+b 2≥2ab,∴4=a 2+b 2-ab≥ab(当且仅当a=b 时等号成立).∴S △ABC =12absin C=√34ab≤√3,当a=b=2,即△ABC 为正三角形时,△ABC 的面积有最大值,最大值为√3.4.已知函数f(x)=λsin(ωx+φ)(λ>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,A 为图象与x 轴的交点,B,C 分别为图象的最高点和最低点,在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,△ABC 的面积S=√34(a 2+c 2-b 2).(1)求角B 的大小;(2)若b=√3,点B 的坐标为(13,λ),求f(x)的最小正周期及φ的值.【解析】(1)∵S=√34(a 2+c 2-b 2),∴由余弦定理得S=√32accos B, 又S=12acsin B,∴√32accos B=12acsin B,即tan B=√3,∵B∈(0,π),∴B=π3.(2)由题意得,a=2c,b=√3,B=π3,∴由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B,得4c 2+c 2-4c 2cos π3=3,解得c=1,设边BC 与x 轴的交点为D,则△ABD 为正三角形, ∴λ=√32且AD=1,∴函数f(x)的最小正周期为2,∴ω=2π2=π,∴f(x)=√32sin(πx+φ),又点B (13,√32)在函数f(x)的图象上,∴f (13)=√32,即√32sin (π3+φ)=√32,即sin (π3+φ)=1,∴π3+φ=π2+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z,又0<φ<π2,∴φ=π6.<能力拔高>7.已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足bc=1,a 2-bc=(b-c)2.(1)求sin B+sin C 的最大值; (2)若cos Bcos C=14,求b+c 的值.【解析】(1)∵a 2-bc=b 2+c 2-2bc, ∴b 2+c 2-a 2=bc, ∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=bc2bc =12,∴A=π3,∴B+C=2π3,∴sin B+sin C=sin B+sin (2π3-B)=sin B+sin2π3cos B-cos2π3sin B=√32cos B+32sin B =√3(12cosB +√32sinB) =√3sin (B +π6),当B=π3时,sin B+sin C 取得最大值,最大值为√3.(2)由(1)可得cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C=12.∵cos Bcos C=14,∴sin Bsin C=34.∴bc4R2=34. ∵bc=1,∴R=√33,∴由正弦定理可得a=2R·sin A,即a=1, ∴(b+c)2-2bc-1=bc,即(b+c)2=4, 解得b+c=2.6. 已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a(1+cos B)=b(2-cos A).(1)求角B 的最大值.(2)若B 取(1)中最大值,a>1,c=b+12,当△ABC 的周长最小时,求a 的值.【解析】(1)∵a(1+cos B)=b(2-cos A),∴a (1+a 2+c 2-b 22ac )=b(2-b 2+c 2-a 22bc ),∴2b=a+c,∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-(a+c 2) 22ac =38×a 2+c 2ac -14. 又∵a 2+c 2≥2ac,∴a 2+c 2ac ≥2,即cos B=38×a 2+c 2ac -14≥12(当且仅当a=c 时取等号). 又∵B∈(0,π),∴B 的最大值为π3. (2)由(1)可知B=π3,c=b+12, 则b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+(b+12)2-a(b+12).又a>1, ∴b=a 2-a 2+14a -1.记△ABC 的周长为l,则l=a+b+c=2×a 2-a 2+14a -1+a+12 =3(a-1)+32(a -1)+92≥2√3(a -1)·32(a -1)+92=92+3√2. 当且仅当3(a-1)=32(a -1),即a=1+√22时取等号,∴当△ABC 的周长最小时,a 的值为1+√22. <拓展延伸>7.如图,△BCD 为等腰三角形,点A,E 在△BCD 外,且DE=8,若∠BCD=∠BAE=2π3,BC=2√3. (1)从以下三个条件中任选一个,求BE 的长度.①∠CDE=2π3;②cos∠DBE=35;③锐角△DBE 的面积为12√3. (2)在你所选的(1)的条件下,求BA+AE 的最大值.【解析】(1)选择①∠CDE=2π3, 在△BCD 中,由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC·CDcos∠BCD=36, ∴BD=6,又BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=π6,∵∠CDE=2π3, ∴∠BDE=π2, 在Rt△BDE 中,BE=√BD 2+DE 2=√36+64=10.选择②cos∠DBE=3,5在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=36,解得BD=6.由BD=6,DE=8,在△BDE中,利用余弦定理可得DE2=BD2+BE2-(舍去).2BD·BEcos∠DBE,解得BE=10或BE=-145选择③锐角△DBE的面积为12√3,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=36,×6×8×sin∠BDE=12√3,∴BD=6,又DE=8,S△BDE=12∴∠BDE=π,3在△BDE中,利用余弦定理得BE2=BD2+DE2-2BD·DEcos∠BDE,解得BE=√52=2√13.(2)若选择①和②,解答如下:在△BAE中,∠BAE=2π,BE=10.3由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos∠BAE,即100=AB2+AE2+AB·AE,故(AB+AE)2-100=AB·AE≤(AB+AE2)2,即34(AB+AE)2≤100,∴AB+AE≤20√33,当且仅当AB=AE时等号成立,∴BA+AE的最大值为20√33.若选择③,解答如下:在△BAE中,∠BAE=2π3,BE=2√13.由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AEcos∠BAE,即52=AB2+AE2+AB·AE,故(AB+AE)2-52=AB·AE≤(AB+AE2)2,即34(AB+AE)2≤52,∴AB+AE≤4√393,当且仅当AB=AE时等号成立,∴BA+AE的最大值为4√393.8.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C+ccos B=2acos A.(1)求角A的值;(2)若△ABC的周长为3,求实数a的最小值.【解析】(1)由已知条件及正弦定理得sin Bcos C+cos Bsin C=2sin AcosA,即sin(B+C)=2sin Acos A,∵sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,∴cos A=12. 又A∈(0,π),∴A=π3. (2)cos A=12=b 2+c 2-a 22bc =(b+c )2-2bc -a 22bc ,化简得3bc=(b+c)2-a 2.①∵a+b+c=3,∴a=3-(b+c),代入①式得3bc=6(b+c)-9.∵bc≤(b+c 2)2,∴6(b+c)-9≤34(b+c)2, 即(b+c)2-8(b+c)+12≥0,解得b+c≤2或b+c≥6(舍去),当且仅当b=c=1时等号成立,∴a=3-(b+c)≥1,即实数a 的最小值为1,此时b=c=1.。

九年级数学试题（十月月考试题）一、选择题（12×3分=36分）1．如果∠A是锐角，且Asin=，那么∠A＝（）cosAA.30°B.45°C.60°D.90°2.点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）3．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3i，坝外斜坡的坡度1:1=:1i，=则两个坡角的和为（）A.060 C.075 D.090 B.01054．如图所示在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为（）A．9 B．12 C．16 D．185．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα6．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．87．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于（）A．B．C．D．8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m9.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（）A B C D10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝8，BD ＝4，则DC的长等于（）A．B．C．D．11．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③12．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3 C．D．4二、填空题（7×3分=21分}13．已知α是锐角，且tan（90°﹣α）＝，则α＝．14．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A﹣|+（sin B﹣）2＝0，则∠C＝．15．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是．16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．17．如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若∠BAD＝20°，，则∠EAC＝．18．如图，以▱ABCD中，如果点M是CD中点，AM与BD相交于点N，那么S△DMN：S▱ABCD＝．19．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB离地面的距离为m．三、解答题（共63分）20．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的A、B、C三点坐标为A（2，0）、B（2，2）、C（6，3）．（1）请在图中画出△ABC的一个以坐标原点为位似中心，相似比为2的位似图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′的顶点坐标．21．如图，如图所示，已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8．求：△ABC的面积(结果可保留根号)．22．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100m，到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，已知在以C为圆心，120m长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，有没有搁浅的危险？（ 1.73）23．如图，已知：△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC 上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的长．25．如图，△ABC中，BC＝24cm，高AD＝12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF：EH＝4：3，求EF、EH的长．26、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽10米，坝高BE=CF=30米，斜坡AB的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1:3，求坝底宽AD的长.（答案保留根号）AB CE F D305.2:1i．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．【解答】解：∵sin60°＝，cos60°＝，∴点M（﹣）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．故选：B．2．如图所示，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为（）A．9 B．12 C．16 D．18【分析】根据等边三角形性质求出∠B＝∠C＝60°，根据等式性质求出∠BAD ＝∠EDC，即可证明△ABD∽△DCE，对应边成比例得出＝，列方程解答即可．【解答】解：∵△ABC为正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB+∠BAD＝120°，∵∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴＝，设正三角形边长为x，则＝，解得x＝9，即△ABC的边长为9，故选：A．3．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝知BC＝＝．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．4．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知＝，由位似图形性质得＝（）2，即＝，据此可得答案．【解答】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴＝，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴＝（）2，即＝，解得：S△ABC＝8，故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于（）A．B．C．D．【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝．∴cos A＝，故选：D．6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴解得：AB＝40，故选：B．7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝6cm，AB＝8cm，把AB边翻折，使AB 边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则sin∠DBE的值为（）A．B．C．D．【分析】解：根据折叠的性质，利用三角形的面积求出AD的长，再利用勾股定理即可求出BD的长，问题也就解决了．【解答】解：根据折叠的含义可以知道：△ABD≌△EBD，则AD＝DE＝x，在直角△ABC中利用勾股定理解得：BC＝10，S△ABC＝S ABD+S△BCD，即：AB•AD+BC•DE＝AB•AC则8x+10x＝48，解得：x＝．在直角△ABD中，BD＝＝＝，因而：sin∠DBE＝sin∠ABD＝．故选：D．8．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得．【解答】解：∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴＝，又∵AD：DE＝3：5，AE＝8，∴AD＝3，DE＝5，∵BD＝4，∴＝，∴DC＝，故选：A．9．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．10．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3 C．D．4【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴Rt△ACF中，AF＝＝4，又∵AB＝3，∴BF＝4﹣3＝1，∴石坝的坡度为＝＝3，故选：B．11．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：①＝；②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③【分析】根据平行四边形的性质得到AE＝CE，根据相似三角形的性质得到＝＝，等量代换得到AF＝AD，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到S△BCE＝36；故②正确；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝12，故③正确；由于△AEF与△ADC只有一个角相等，于是得到△AEF与△ACD不一定相似，故④错误．【解答】解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵AD＝BC，∴AF＝AD，∴＝；故①正确；∵S△AEF＝4，＝（）2＝，∴S△BCE＝36；故②正确；∵＝＝，∴＝，∴S△ABE＝12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选：D．12．如图①是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC＝∠BDC′，∠CBD＝∠ABD＝30°，∠ADE＝∠A′DE，然后求出∠BDE＝90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC＝∠BDC′，∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE＝∠A′DE，∴∠BDE＝∠A′BD+∠A′DE＝×180°＝90°，在Rt△BCD中，BD＝BC÷cos30°＝4÷＝cm，在Rt△BDE中，DE＝BD•tan30°＝×＝cm．故选：A．二．填空题（共6小题）13．已知α是锐角，且tan（90°﹣α）＝，则α＝30°．【分析】先求出90°﹣α的度数，然后求出α的度数．【解答】解：∵tan（90°﹣α）＝，∴90°﹣α＝60°，∴α＝30°．故答案为：30°．14．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A﹣|+（sin B﹣）2＝0，则∠C＝75°．【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cos A﹣＝0，sin B﹣＝0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．【解答】解：∵|cos A﹣|+（sin B﹣）2＝0，∴cos A﹣＝0，sin B﹣＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故答案为：75°．15．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是250m．【分析】求出∠AOB，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∠AOB＝90°﹣60°＝30°，∵∠ABO＝90°，OA＝500m，∴AB＝OA＝250m，故答案为：250m．16．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC 表示出AB与CD，即可求得答案．【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B＝45°，∴AB＝AC，∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，∴CD＝＝AC，∴＝＝．故答案为：．17．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．【分析】因为阴影部分的面积＝S正方形BCQW﹣S梯形VBCF，根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了．【解答】解：∵VB∥ED，三个正方形的边长分别为2、3、5，∴VB：DE＝AB：AD，即VB：5＝2：（2+3+5）＝1：5，∴VB＝1，∵CF∥ED，∴CF：DE＝AC：AD，即CF：5＝5：10∴CF＝2.5，∵S梯形VBFC＝（BV+CF）•BC＝，∴阴影部分的面积＝S正方形BCQW﹣S梯形VBCF＝．故答案为：18．如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若∠BAD＝20°，，则∠EAC＝20°．【分析】由条件可证得△ADE∽△ABC，可得∠DAE＝∠BAC，即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，可得∠BAD＝∠CAE，可得出答案．【解答】解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠EAC＝∠BAD＝20°，故答案为：20°．19．如图，以▱ABCD中，如果点M是CD中点，AM与BD相交于点N，那么S△DMN：S▱ABCD＝1：12 ．【分析】由平行四边形可证三角形的相似性，然后根据相似比求出面积比．【解答】解：∵AB∥CD∴△ABN∽△MDN∴AN：MN＝AB：DM＝2：1∴S△DMN：S△ADN＝1：2，即S△DMN＝S△ADM又S△ADM＝S▱ABCD故S△DMN：S▱ABCD＝1：12．20．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB ＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB离地面的距离为 1.8 m．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出两三角形的相似比，再利用对应高的比也等于相似比进而得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∵AB＝2m，CD＝6m，∴＝，∵点P到CD的距离是2.7m，设AB离地面的距离为：xm，∴＝，解得：x＝1.8，故答案为：1.8．三．解答题（共6小题）21．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝50，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝50×＝25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．22．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cos C＝，求出∠C＝45°，求出AE＝CE＝1，根据tan B＝，求出BE的长即可；（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cos C＝，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC•cos C＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE+CE＝4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD﹣CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝．23．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100m，到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，已知在以C为圆心，120m长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，有没有搁浅的危险？（ 1.73）【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在直角△ACD和直角△BDC中，AD，BD都可以用CD表示出来，根据AB的长，就得到关于CD的方程，就可以解得CD 的长，与120米进行比较即可．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，设BD＝x，∵CD⊥AB且∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x在Rt△ACD中，tan30°＝∴＝，解得x＝50（+1）≈137∵137＞120，故如果这条船继续前进，有没有搁浅的危险．24．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4．（1）求AD的长；（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．【分析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD 的长；（2）相似比即为是对应边的比．【解答】解：（1）由已知得MN＝AB，MD＝AD＝BC，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，，∵MN＝AB，DM＝AD，BC＝AD，∴AD2＝AB2，∴由AB＝4得，AD＝4；（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为＝．25．如图，△ABC中，BC＝24cm，高AD＝12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF：EH＝4：3，求EF、EH的长．【分析】如图，证明△AGH∽△ACB，运用相似三角形的性质列出比例式，问题即可解决．【解答】解：∵EF：EH＝4：3，∴设EF＝4λ，则EH＝3λ；由题意得：HG∥BC，KD＝EH＝3λ，HG＝EF＝4λ；∴△AGH∽△ACB，而AD⊥BC，AK⊥HG，∴，解得：λ＝，∴EF＝4λ＝，EH＝3λ＝．26．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．①当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQP＝90°＝∠ABC，在△APQ与△ABC中，∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，①当点P在线段AB上时，如题图1所示．∵∠QPB为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，由（1）可知，△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，解得：PB＝，∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP，点B为线段AP中点，∴AP＝2AB＝2×3＝6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6。

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.2三角形的认识大题专练（分层培优解答30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2021春•广陵区校级期中）已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是多少？2．（2020春•相城区期中）若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．3．（2019春•大丰区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？4．（2022春•盱眙县期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求：（1）△ABE的面积；（2）AD的长度．5．（2022春•姜堰区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上．（1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D；（2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积．6．（2022春•高港区校级月考）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．7．（2022春•锡山区校级月考）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．8．（2022春•亭湖区校级月考）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．（1）若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长．（2）若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数．9．（2022春•泗阳县月考）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．10．（2022春•阜宁县期中）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？（2）试说明CD是△ABC的高．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•东台市月考）如图，已知△ABC的周长为24cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD 的周长为16cm，求AC的长．12．（2019春•锡山区期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC ＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．13．（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．14．（2022春•秦淮区期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．15．（2020春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数；②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝°．16．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；（2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系．17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由．18．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明：（1）OB+OC＜AB+AC；（2）OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）．19．（2021秋•铁东区校级月考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．20．（2022秋•乌鲁木齐县月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x．（1）求c与x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春•宝应县校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．22．（2020春•如东县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．23．（2019春•无锡期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在CD上．（1）若∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠B，求证：EF∥AB；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，试求△ABC的面积．24．（2019秋•江阴市期中）如图，P是长方形ABCD内一点，三角形ABP的面积为a．（1）若长方形ABCD的面积为m，则三角形CPD的面积为；（用含m、a的代数式表示）（2）若三角形BPC的面积为b（b＞a），则三角形BPD的面积为．（用含a、b的代数式表示）25．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．（1）当t＝时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？26．（2022秋•西城区校级期中）已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝．27．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．28．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为．29．（2021秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝；（3）当t为何值时，△BPC的面积为18．30．（2022春•沭阳县月考）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．（1）求∠ACB的度数；（2）试说明∠CEF＝∠CFE；（3）若AC＝3CE，AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S＝60，则S△CEF﹣S△BDF＝（仅填结果）．△ABC。

解三角形专题（高考题）练习1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→•=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A =，cos B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长ＡＢ Ｃ120°θ边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。