4.平面上的坐标系与坐标变换

平面向量的坐标系和坐标变换在平面向量的研究中，坐标系和坐标变换起着重要的作用。

它们为我们提供了一种方便和有效的方法来描述和计算平面向量的性质和运算。

本文将介绍平面向量的坐标系和坐标变换的基本概念和应用。

一、坐标系的引入为了描述平面上的向量，我们引入了坐标系。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。

1. 直角坐标系直角坐标系是平面上最常见的坐标系。

它由两个相互垂直的轴组成，分别称为x轴和y轴。

在直角坐标系下，一个向量可以用坐标(x, y)来表示，其中x是沿着x轴的分量，y是沿着y轴的分量。

例如，向量A可以表示为A(x, y)。

2. 极坐标系极坐标系是另一种描述平面向量的坐标系。

它由原点O和极轴组成，极轴上有正方向和负方向。

在极坐标系下，一个向量可以用极坐标(r, θ)来表示，其中r是向量的长度，也称为模，θ是向量与极轴的夹角，也称为极角。

例如，向量A可以表示为A(r, θ)。

二、坐标变换的原理在不同的坐标系中，同一个向量可以有不同的坐标表示。

坐标变换可以将某一坐标系下的向量转换为另一坐标系下的向量。

下面分别介绍直角坐标系到极坐标系和极坐标系到直角坐标系的坐标变换。

1. 直角坐标系到极坐标系的坐标变换对于直角坐标系下的向量A(x, y)，要将其转换为极坐标系下的表示，可以按照以下公式进行计算：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，r是向量A的长度，θ是向量A与x轴的夹角。

2. 极坐标系到直角坐标系的坐标变换对于极坐标系下的向量A(r, θ)，要将其转换为直角坐标系下的表示，可以按照以下公式进行计算：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，x是向量A沿着x轴的分量，y是向量A沿着y轴的分量。

三、坐标系和坐标变换的应用坐标系和坐标变换在平面向量的计算和分析中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 向量的加法和减法在直角坐标系中，向量的加法和减法可以通过分别计算向量的x轴和y轴分量来实现。

平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式平面内的坐标旋转变换公式可以通过向量旋转的方式进行推导和表示。

在直角坐标系中，设有一个平面点P(x, y)，其绕原点O逆时针旋转θ角度后的新坐标为P'(x', y')。

为了推导出坐标旋转变换公式，我们可以利用向量的旋转表达式来推导。

首先，我们将点P(x, y)表示为位于原点O(0, 0)到点P(x, y)的向量r = OP。

同理，点P'(x', y')可表示为向量r' = OP'。

然后，我们利用向量的旋转表达式来表示矢量r'，即：r' = r • R,其中R为旋转矩阵。

在平面内的逆时针旋转θ角度的旋转矩阵为：R = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|将向量r表示为坐标形式，则有：r = (x, y)将旋转矩阵R和向量r代入旋转表达式中，就可以得到点P'的坐标表示：(x', y') = (x, y) • |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|根据矩阵乘法的定义，可以得到：x' = x • cosθ - y • sinθy' = x • sinθ + y • cosθ综上所述，平面内的坐标旋转变换公式为：x' = x • cosθ - y • sinθy' = x • sinθ + y • cosθ这个公式表示了坐标旋转变换的关系，可以使用这个公式将原平面上的点P(x, y)绕原点逆时针旋转θ角度后，得到新的坐标P'(x', y')。

在具体应用中，可以使用这个公式来进行坐标旋转变换。

例如，在计算机图形学中，可以使用这个公式将图像绕指定点进行旋转；在机器人学中，可以使用这个公式计算机器人末端执行器的位置；在仿真实验中，可以使用这个公式模拟物体的运动等等。

总之，坐标旋转变换公式提供了一种计算平面内点的旋转后坐标的方法，通过对原点到点P的向量进行旋转矩阵的乘法运算，可以计算出点P'的新坐标。

p坐标系与z坐标系的相互转换在计算机图形学中，p坐标系（平面坐标系）和z坐标系（深度坐标系）是两种常用的坐标系，用于描述二维和三维空间中的图像。

1. p坐标系p坐标系是一个二维平面坐标系，由两个轴组成：x轴和y轴。

在p坐标系中，图像的位置用两个数值表示，分别是x和y坐标。

x轴表示水平方向，从左到右递增；y轴表示垂直方向，从上到下递增。

p坐标系的原点（0，0）通常位于图像的左上角，可以根据具体需求进行调整。

2. z坐标系z坐标系是一个三维空间中的坐标系，由三个轴组成：x轴、y轴和z轴。

在z坐标系中，图像的位置用三个数值表示，分别是x、y和z坐标。

x轴和y轴的意义与p坐标系中相同，而z轴表示图像的深度或距离。

z坐标系常用于三维图形的渲染和投影。

通过调整z坐标值，可以控制图像元素在三维空间中的相对位置和远近程度。

3. p坐标系到z坐标系的转换在将p坐标系转换为z坐标系时，需要考虑图像元素在三维空间中的位置。

一种常见的转换方法是将x、y坐标映射到z轴上。

假设p坐标系中的一个点的坐标为（x，y），则可以通过以下步骤将其转换为z坐标系中的坐标：1.选择一个适当的z值作为基准，例如将z值设置为0，表示将图像元素放置在z轴上。

2.将p坐标系中的x、y值分别映射到z轴的x、y轴上，可以使用线性映射或其他变换方式进行处理。

3.得到转换后的z坐标，表示该点在z坐标系中的位置。

需要注意的是，具体的坐标映射方式可以根据实际需求进行调整和优化。

例如，可以根据物体的距离远近调整z轴上的比例因子，以产生更逼真的图像效果。

4. z坐标系到p坐标系的转换将z坐标系转换为p坐标系时，需要将三维空间中的坐标投影到二维平面上。

一种常见的转换方法是将z轴上的坐标映射到p坐标系的x、y轴上。

假设z坐标系中的一个点的坐标为（x，y，z），则可以通过以下步骤将其转换为p坐标系中的坐标：1.如果z值表示了图像元素在z轴上的深度或距离，可以通过调整该值的比例因子来控制转换后的结果。

南方CASS和南方平差易可以计算，正反算，坐标换带下面收集的文章总结，相互转换需根据文章计算方法：1.大地坐标系：WGS84（世界坐标系）坐标以经纬度显示，GPS测得2.平面直角坐标系：高斯投影平面直角坐标系：北京54全国80，平面坐标以数字显示，由WGS84坐标系根据椭球参数转换而得。

北京54和全国80坐标系之间可以相互转换3.全站仪放样测得坐标属于平面直角坐标；GPS测得坐标属于大地坐标，高程是海拔高程。

4.同一个坐标系之间的转换高斯投影坐标系中坐标换带的计算见以下文章，比如80坐标系的6度带坐标，要换带计算为80坐标系的3度带，需要平面坐标先转换为大地坐标后根据经纬度调整再转换为另一度带坐标5.全站仪采用极坐标放样原理：把坐标输入全站仪，全站仪自动转换成方位角和距离，根据后视基准边的夹角和距离来放样。

具体参考WORD直角坐标与极坐标的区别和转换例题：高斯坐标和北京54，西安80坐标有什么区别，举例说一下，行吗？举个例子，野外采集GPS数据，数据是用大地坐标表示的，也就是用经纬度和高程表示。

而采集的数据要在地图上显示出来，就需要将经纬度转化为平面坐标，也就是通常说的x,y 坐标。

因为我国地形图一般采用高斯投影，所以通常转化成高斯平面坐标显示到地图上。

而在经纬度向平面坐标转化的过程中，需要用到椭球参数，因此要考虑所选的坐标系，我国常用的坐标系有北京54，西安80，WGS-84坐标系，不同的坐标系对应的椭球体是不一样的，这里你可能会不明白根椭球体有啥关系，是这样的，我们所说的地理数据都是为了描述大地水准面上的某一个点，而大地水准面是不规则的，我们用一个规定的椭球面去拟合这个水准面，用椭球面上的点来近似表示地球上的点。

每个国家地理情况不同，采用的椭球体也不尽相同。

北京54坐标系采用的是克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体，而西安80采用的是IAG 75地球椭球体WGS84坐标与北京54坐标转换（转）2007-09-20 12:03转自GIS中的坐标系定义与转换戴勤奋1. 椭球体、基准面及地图投影GIS中的坐标系定义是GIS系统的基础，正确定义GIS系统的坐标系非常重要。

§坐标系的分类正如前方所说起的 ,所谓坐标系指的是描绘空间地点的表达形式 ,即采纳什么方法来表示空间地点。

人们为了描绘空间地点，采纳了多种方法，进而也产生了不一样的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。

在丈量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参照椭球的中心，Z 轴指向参照椭球的北极，X 轴指向开端子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈 90°夹角。

某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。

空间直角坐标系可用图2-3来表示：图 2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采纳大地经、纬度和大地高来描绘空间地点的。

纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参照椭球的自转轴所在的面与参照椭球的开端子午面的夹角；大地高是空间点沿参照椭球的法线方向到参照椭球面的距离。

空间大地坐标系可用图2-4 来表示：图 2-4 空间大地坐标系三、平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标经过某种数学变换映照到平面上，这类变换又称为投影变换。

投影变换的方法有好多，如横轴墨卡托投影、 UTM 投影、兰勃特投影等。

在我国采纳的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影。

UTM 投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，不过投影的个别参数不一样而已。

高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影。

从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。

如图左边所示，假想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC’经过椭球中心而与地轴垂直。

高斯投影知足以下两个条件：1、它是正形投影；2、中央子午线投影后应为x 轴，且长度保持不变。

将中央子午线东西各必定经差（一般为 6 度或 3 度）范围内的地域投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线睁开，便组成了高斯平面直角坐标系，以以下图２－５右边所示。

平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是数学中常用的坐标系统之一，它提供了描述平面上任意点位置的方法。

坐标变换则是在不同的坐标系之间进行转换，使得不同坐标系下的点能够相互对应。

一、平面直角坐标系的定义与性质平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常分别称为x轴和y轴。

x轴与y轴的交点称为坐标原点，用O表示。

在同一个直角坐标系中，点的位置可以由其在x轴和y轴上的投影来确定。

在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一对有序实数（x，y）来表示，其中x称为点的横坐标，y称为点的纵坐标。

横坐标决定了点在x轴方向上的位置，纵坐标决定了点在y轴方向上的位置。

通常将坐标表示为一个有序对的形式，如P(x，y)。

平面直角坐标系中，两点之间的距离可以用勾股定理来计算。

设P1(x1, y1)和P2(x2, y2)是直角坐标系中的两点，则P1P2的距离为：√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。

二、坐标变换的基本概念不同的坐标系可以通过坐标变换来相互转换，常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放等。

坐标变换可以应用于多个领域，如计算机图形学、物理学、工程学等。

1. 平移变换平移变换改变了坐标系的原点位置，将原点沿着指定的方向移动一定距离。

平移变换可以表示为：x' = x + a，y' = y + b。

其中，(x, y)是原坐标系中的点，(x', y')是变换后的坐标系中的点，(a, b)是平移的距离。

2. 旋转变换旋转变换改变了坐标系中点的方向和位置，通常围绕原点进行旋转。

旋转变换可以表示为：x' = xcosθ - ysinθ，y' = xsinθ + ycosθ。

其中，(x, y)是原坐标系中的点，(x', y')是旋转后的坐标系中的点，θ是旋转角度。

3. 缩放变换缩放变换改变了坐标系中点的大小，可以进行等比缩放或非等比缩放。

缩放变换可以表示为：x' = ax，y' = by。

初中数学图形的坐标与变换知识点归纳初中数学中，图形的坐标与变换是一个重要且基础的知识点。

它涉及到平面直角坐标系、图形的平移、旋转、翻转等概念和运算。

下面，我们将对初中数学中相关的知识点进行归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。

1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面上点的位置关系的工具。

它由两条互相垂直的数轴（x轴和y轴）组成，原点为坐标原点，分别与x轴和y轴的正方向上的单位长度为1的线段为坐标轴。

2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

这种用数对表示点的方法称为点的坐标。

3. 图形的平移平移是指图形在平面上沿着一定的方向移动一定的距离，但形状和大小保持不变。

平移可以用坐标表示，对于平移向量(a, b)，图形上的每个点(x, y)移动到新位置(x+a, y+b)。

4. 图形的旋转旋转是指图形绕一个固定点旋转一定的角度。

对于顺时针旋转θ度的情况，图形上的每个点(x, y)绕旋转中心点O旋转θ度后的新位置为(x', y')，通过一定的数学公式可以得到旋转后的新坐标。

5. 图形的翻转翻转是指图形相对于某个轴对称的操作。

包括水平翻转和垂直翻转两种情况。

水平翻转是指图形相对于x轴对称，垂直翻转是指图形相对于y轴对称。

翻转后图形上的每个点(x, y)的新坐标可以通过一定的变换公式得到。

6. 点的对称性在平面直角坐标系中，点的对称性也是一个重要的概念。

对称点是指两个在坐标系中关于某个点对称的点，就是它们关于这个点的连线的中点。

7. 图形的对称性除了点的对称性，图形的对称性也是一种重要的性质。

图形如果存在一个中心对称轴，当图形上的每一个点关于该对称轴与对应的对称点重合时，我们说图形具有中心对称性。

如果一个图形既有中心对称性，又有轴对称性，则称为既有中心对称性又有轴对称性。

通过对初中数学中图形的坐标与变换知识点的归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决与图形相关的问题。

平面向量的坐标系和基底平面向量是在平面上有方向和大小的量，一般用箭头表示。

在平面上表示向量时，需要建立坐标系和基底。

坐标系用来描述向量在平面上的位置，基底用来描述向量的方向。

接下来将介绍平面向量的坐标系和基底的相关知识。

1. 坐标系的建立在平面上建立坐标系时，通常选择两条互相垂直的轴作为坐标轴，分别称为x轴和y轴。

x轴和y轴的交点称为坐标原点O。

坐标系中规定x轴正方向为右，y轴正方向为上，这样确定了平面的正交坐标系。

对于任意一点P(x, y)，其坐标可表示为一个有序数对 (x, y)，其中x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。

建立了坐标系后，可以通过坐标表示向量的位置。

2. 基底的选择在平面向量中，通常考虑单位向量作为基底。

单位向量是长度为1的向量，通常用i和j表示。

其中，i表示x轴正方向的单位向量，j表示y轴正方向的单位向量。

任意向量都可以表示为基底i和j的线性组合。

例如，一个向量a可以表示为a = xi + yj，其中x和y分别为向量在x轴和y轴上的投影长度。

这样，基底的选择也对向量的表示起到了重要作用。

3. 坐标系变换在平面向量的运算中，有时需要将一个向量在不同坐标系下进行表示。

坐标系变换需要考虑坐标系的旋转和平移。

对于旋转，可以通过矩阵乘法来表示向量相对于坐标系的旋转关系；对于平移，可以通过向量的加法来表示向量相对于坐标原点的平移。

坐标系变换的目的是为了方便向量的运算，使得问题更易解决。

总结平面向量的坐标系和基底是描述向量位置和方向的重要工具。

建立坐标系需要确定坐标轴和原点，选择基底需要考虑单位向量。

坐标系变换可以通过矩阵乘法和向量运算来表示。

通过对坐标系和基底的理解和应用，可以更好地解决平面向量的问题。

平面向量的坐标系和基底是向量分析的基础，对于深入理解向量运算和空间几何具有重要意义。

平面直角坐标系与坐标变换在数学中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。

其由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，并以原点作为起点，用于确定点的位置。

而坐标变换则是对平面直角坐标系进行转换的过程，可以将点从一个坐标系映射到另一个坐标系上。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条相互垂直的直线组成的，通常分别被称为x轴和y轴。

x轴表示水平方向，与纵向垂直的y轴表示竖直方向。

这两条直线的交点被称为原点O，是整个坐标系的起点。

在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以通过一组有序的实数（x，y）来表示。

其中，x表示该点在x轴上的坐标，y表示该点在y轴上的坐标。

这一对坐标值可以用一个有序对表示，记作P(x，y)，其中P代表该点。

二、坐标变换坐标变换是指将点从一个坐标系映射到另一个坐标系上的过程。

在平面直角坐标系中，常用的坐标变换包括平移、旋转和缩放等。

1. 平移平移是指将平面上的点在不改变其朝向和大小的前提下，沿着指定的方向移动一定的距离。

平移可以通过改变点的坐标来实现。

假设有一个点P(x，y)，如果要将其平移d个单位长度，可以将其坐标变为P'(x+d，y)。

2. 旋转旋转是指将平面上的点按照指定的角度绕某一固定点旋转。

旋转可以通过改变点的坐标来实现。

设有一个点P(x，y)，以原点O为中心，按逆时针方向旋转θ角度后得到的点记作P'(x'，y')。

旋转的坐标变换公式为：```x' = x * cosθ - y * sinθy' = y * cosθ + x * sinθ```3. 缩放缩放是指将平面上的点按照指定的比例在x轴和y轴方向上进行拉伸或收缩。

缩放也可以通过改变点的坐标来实现。

设有一个点P(x，y)，在x轴和y轴方向上分别缩放sx和sy倍后得到的点记作P'(x'，y')。

缩放的坐标变换公式为：```x' = x * sxy' = y * sy```三、应用场景平面直角坐标系与坐标变换在数学和物理等领域有广泛的应用。

平面直角坐标系与坐标变换平面直角坐标系是一个由两条互相垂直的线所确定的平面坐标系，常用于表示平面上的点的位置。

在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以由其横坐标(x)和纵坐标(y)来确定。

坐标变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标转换为另一个平面直角坐标系中的点的坐标的过程。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，它们互相垂直，并且在原点处交叉。

横轴被称为x轴，纵轴被称为y轴。

在平面直角坐标系中，点的位置可以由其横坐标和纵坐标的数值来确定。

横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。

坐标轴上的正半轴方向被规定为正方向，负半轴方向被规定为负方向。

平面直角坐标系的单位长度可以任意选择，通常选择单位长度为1。

二、坐标变换1. 平移变换平移变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标移动到另一个平面直角坐标系中的点的坐标的过程。

平移变换可以沿着横轴或纵轴方向进行。

沿着横轴方向的平移变换将横坐标增加或减少某个数值，不影响纵坐标。

沿着纵轴方向的平移变换将纵坐标增加或减少某个数值，不影响横坐标。

平移变换可以用下列公式表示：新点的横坐标 = 原点的横坐标 + 平移量新点的纵坐标 = 原点的纵坐标 + 平移量2. 旋转变换旋转变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标绕一个固定点旋转一定角度后，得到另一个平面直角坐标系中的点的坐标的过程。

旋转变换可以是顺时针方向或逆时针方向。

旋转变换可以用下列公式表示：新点的横坐标 = 原点的横坐标* cosθ - 原点的纵坐标* sinθ新点的纵坐标 = 原点的横坐标* sinθ + 原点的纵坐标* cosθ其中，θ表示旋转的角度，cosθ表示θ的余弦值，sinθ表示θ的正弦值。

3. 缩放变换缩放变换是指将一个平面直角坐标系中的点的坐标在横轴和纵轴方向上进行拉伸或压缩的过程。

缩放变换可以分别在横轴和纵轴上进行，也可以在两个方向上同时进行。

缩放变换可以用下列公式表示：新点的横坐标 = 原点的横坐标 * 缩放因子新点的纵坐标 = 原点的纵坐标 * 缩放因子其中，缩放因子表示缩放的比例。

教案平面直角坐标系与坐标变换教案：平面直角坐标系与坐标变换一、平面直角坐标系的定义与特点平面直角坐标系是我们研究平面几何问题时常用的工具，它由两条相互垂直的坐标轴和一个原点组成。

其中一条坐标轴称为x轴，另一条坐标轴称为y轴，原点是坐标轴的交点。

在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对数字(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的投影的长度，y表示点在y轴上的投影的长度。

x 和y称为该点的横坐标和纵坐标。

平面直角坐标系的特点如下：1. 坐标轴相互垂直，能够准确表示点的位置关系；2. 坐标轴上的单位长度相等，方便进行长度、距离的计算；3. 坐标轴上的刻度线便于读取坐标值。

二、平面直角坐标系中的基本运算1. 点的坐标运算在平面直角坐标系中，可以进行点的加法、减法和数的乘法运算。

- 点的加法：对于两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的和可表示为C(x1+x2, y1+y2)。

- 点的减法：对于两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的差可表示为C(x1-x2, y1-y2)。

- 数的乘法：对于一个点A(x, y)和一个实数k，点A与k的乘积可表示为B(kx, ky)。

2. 坐标变换在平面直角坐标系中，我们经常需要进行坐标变换。

常见的坐标变换有平移、旋转和对称等。

- 平移变换：将点A(x, y)平移向右（或左）a个单位，向上（或下）b个单位，得到新的点B(x+a, y+b)。

- 旋转变换：围绕原点O(x0, y0)将点A(x, y)逆时针旋转θ角度，得到新的点B(x', y')。

旋转公式如下：x' = (x-x0) * cos(θ) - (y-y0) * sin(θ) + x0y' = (x-x0) * sin(θ) + (y-y0) * cos(θ) + y0- 对称变换：对于点A(x, y)，存在一个直线L，当L为x轴、y轴或原点O时，分别得到关于x轴、y轴或原点对称的新点B。

平面直角坐标系与坐标变换在我们的数学世界中，平面直角坐标系就像是一个神奇的地图，能够清晰地定位和描述点的位置。

而坐标变换则像是这个地图上的魔法，让我们可以从不同的角度去观察和理解这些点的位置关系。

先来说说平面直角坐标系。

想象一下，在一个平坦的平面上，我们画两条互相垂直的线，一条水平的线称为 x 轴，一条垂直的线称为 y 轴。

这两条线的交点被称为原点，通常标记为 O 。

通过这两条轴，我们可以给平面上的任何一个点赋予一个特定的坐标。

比如，有一个点 P ，它距离 x 轴 3 个单位长度，距离 y 轴 2 个单位长度，并且在 x 轴上方和 y 轴右侧，那么它的坐标就是（3, 2) 。

这里的 3 叫做横坐标，2 叫做纵坐标。

横坐标表示点在 x 轴上的位置，纵坐标表示点在 y 轴上的位置。

平面直角坐标系的出现，让我们能够用数学的语言来精确地描述平面上的位置和图形。

比如，一条直线可以用一个方程来表示，一个圆也可以用特定的方程来描述。

接下来，咱们再聊聊坐标变换。

坐标变换就是改变点的坐标表示方式，但点在平面上的实际位置并没有改变，只是我们观察它的角度或者参照系发生了变化。

最常见的坐标变换有平移、旋转和缩放。

平移变换就像是把整个坐标系在平面上移动。

假设我们把整个平面直角坐标系向右移动 2 个单位，向上移动 3 个单位。

那么原来坐标为（x, y) 的点，在新的坐标系中的坐标就变成了（x 2, y 3) 。

旋转变换则是让坐标轴绕着原点旋转一定的角度。

比如说，我们把坐标轴逆时针旋转 90 度。

原来坐标为（x, y) 的点，在新的坐标系中的坐标就变成了（y, x) 。

缩放变换呢，就是把坐标轴的单位长度进行放大或者缩小。

如果 x 轴和 y 轴的单位长度都扩大 2 倍，那么原来坐标为（x, y) 的点，在新的坐标系中的坐标就变成了（x/2, y/2) 。

坐标变换在很多领域都有着重要的应用。

在物理学中，当我们研究物体的运动时，可能需要在不同的参考系下观察和描述物体的位置和速度，这就需要用到坐标变换。

第4讲 平面直角坐标系中的变换已知点P （a ，b ），则点P 到x 轴的距离为 ； 点P 到y 轴的距离为 ． 若点P （a ，b ）在第一、三象限的角平分线上，则 ，即横、纵坐标 ； 若点P （a ，b ）在第二、四象限的角平分线上，则 ，即横、纵坐标 ．【例1】基础过关（1）点A （3，-1）在第______象限，点B （-1，-3）在第______象限，点C （3， 1）在第______象限，点A （-3，1）在第______象限．（2）若点P （a ，b ）在第二象限，则点（-b ，a ）在第______象限．（3）如果点P 在轴上，则____，此时P 的坐标为_____ ；当____时，点P 在横轴上，此时P 点坐标为 ______ ；（4）点P(x ，y)，若xy=0，则点P 在____________上．（5）已知点P （-x+1，2x-7）在第三象限的角平分线上，则x=______．（6）已知点P （2x ，x+3）在第二象限坐标轴夹角平分线上，则点Q （-x+2，2x+3）的坐标为 ．（7）如果点A （2，m ），点B （n-6） 且AB//y 轴，则_______．（8）点P 在第四象限，且到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，则点P 的坐标为_______．（9）点P （-a 2-2，b 2+1）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为______．【例2】基础过关（1）如果a －b ＜0，且ab ＜0，那么点(a ，b)在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限,D 、第四象限.()5,2a a +-y a =a =(),1a a -板块一 平面直角坐标系的基础知识（2）如果＜0，那么点P （x ，y ）在（ ）A 、第二象限B 、第四象限C 、第四象限或第二象限D 、第一象限或第三象限（3）点(x ，1-x )不可能在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限（4）已知点P （2x-10,3-x ）在第三象限，则x 的取值范围是（ ）A 、53<<xB 、3≤x ≤5C 、5>x 或3<xD 、x ≥5或x ≤3 点P (m ，n)关于x 轴的对称点为 ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；点P (m ，n)关于y 轴的对称点为 ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；点P (m ，n)关于原点的对称点为 ，即横、纵坐标都互为相反数；点P (m ，n)关于点Q （a ，b ）的对称点是 ．【例3】基础过关（1）点P （3，-5）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．（-3，-5）B ．（5，3）C ．（-3，5）D ．（3，5）（2）点P （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）A ． （-2，-1）B ．（2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，1）（3） 在平面直接坐标系中，P （-4，5）关于x 轴对称点的坐标是 ，关于y 轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点是 ．（4）点P （2，3）关于直线x ＝3的对称点为 ，关于直线y ＝5的对称点为 ．（5）点（-2，3）关于点（1，2）对称的点是 ．（6）已知点P （a ＋1，2a-1）关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．xy 板块二 坐标系中的对称【例4】对称的应用如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．（1）观察与探究：由图观察已知A（2，0）关于直线l的对称点A’的坐标为（0，2），请在图中分别标明B（5，3），C（-2，5）关于直线l的对称点B’、C’的位置，并写出它们的坐标：B’，C’;（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P’的坐标为（不必证明）；（3）运用与拓展：点A（a，b）在直线l的下方，则a，b的大小关系为；若在直线l的上方，则．板块三坐标系中的平移将点（x，y）向右平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：____________；将点（x，y）向左平移a个单位长度，得到的对应点的坐标是：____________；将点（x，y）向上平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：____________；将点（x，y）向下平移b个单位长度，得到的对应点的坐标是：．将一个图形各个点的横坐标加上（或减去）一个正数a，相应的新图形将向（或向）平移个单位长度；将一个图形各个点的纵坐标加上（或减去）一个正数a，相应的新图形将向（或向）平移个单位长度；平移只改变图形的，图形的和不发生改变．平行于x轴(或横轴)的直线上的点的相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的相同．【例5】基础过关（1）点M（-3，-5）向上平移7个单位得到点M1的坐标为；再向左平移3个单位得到点M2的坐标为．（2）在平面直角坐标系中，若将点p(x,y)向右平移a个长度单位得到点的坐标是，若向下平移b个长度单位，得到的点的坐标是．（3）平面直角坐标系中，线段A1B1是由线段AB经过平移得到的，点A（-1，-4）的对应点为A1（1，-1），点B(1，1)的对应点B1为．（4）将点P（m-2，n+1）沿x轴负方向平移3个单位，得到P1（1-m，2），则点P坐标是．【例6】平移的应用（1）如图1，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛坐标分别是（-4，2）（-2，2），右边图案中左眼的坐标是（3，4），则右边图案中右眼的坐标是．（2）如图2是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作出将“蘑菇”ABCDE绕A点逆时针旋转90°再向右平移2个单位的图形（其中C、D为所在小正方形边的中点）．图1 图2 图3 图4 板块四坐标系中的面积与规律问题【例7】面积问题（1）如图3，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中点A的坐标为（2，-1），则△ABC的面积为平方单位．（2）如图4，已知直角坐标系中A（-1，4）、B（0，2），平移线段AB，使点B移到点C （3，0），此时点A记作点D，则四边形ABCD的面积是．（3）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各项点的坐标分别为A（0，0），B（9，0），C（7，5），D（2，7）．求四边形ABCD的面积．【例8】找规律问题（1）如图5，在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有个．（清华附中期中）（2）如图6，在平面直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将三角形OAB 变换成OA 2B 2，第三次将△OAB 变换成△OA 3B 3．已知A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3），B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）.观察每次变化前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则点A 4的坐标是 ，则点B 4的坐标是 ，则点A n 的坐标是 ，则点B n 的坐标是 ．（北京十二中期中）（3）如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到（1，0），而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在1989min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【巩固练习】1．已知点A ()4,x y -，点()1,2B y x -关于x 轴对称，求x y 的值．2．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向边连续翻转2006次，点P 依次落在点1232006,,P P P P 的位置，则2006P 的横坐标2006x =______，2006P 的纵坐标2006y =______.3．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的顶点A 的坐标为（2，2）．（1）若底边BC 在x 轴上，设点B 、C 坐标分别为（m ，0）、（n ，0），你认为m 、n 应满足怎样的条件？答：____________． （2）若底边BC 两端点分别在x 轴、y 轴上，设点B 、C 的坐标分别为（m ，0）、（0，n ），你认为m 、n 应满足怎样的条件？答：____________．课后作业1．（1）在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（）A．（-5，-2）B．（-2，-5）C．（-2，5）D．（-2，-5）（2）已知点P（x，y），Q（m，n），如果x＋m＝0，y＋n＝0那么点P,Q（）A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于过点（0，0）（1，1）的直线对称（3）已知：｜x-1｜＋（y+2）²＝0，则（x，y）关于原点对称的点为．（4）已知点P（a+3b，3）与点Q（-5，a+2b）关于x轴对称，则a=b= 2．（1）将点P（-4，3）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则得到点P’的坐标为．（2）点A向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点（-1，3），则点A的坐标为．（3）在平面直角坐标系中有一个已知点A，现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A的坐标系下点A的坐标为（-1，2），在旧的坐标系下点A的坐标为．（4）在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（）A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位（5）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中画出△ABC向右平移3个单位，再向下平移2个单位的图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位．（1）线段DC是线段AB经过怎样的平移得到的？（2）若C点的坐标是（4，1），A点的坐标是（-1，-2），你能写出B、D两点的坐标吗？（3）求平行四边形ABCD的面积．5．如图，长为1，宽为2的长方形ABCD以右下角的顶点为中心顺时针旋转90°，此时A 点的坐标为；依次旋转2009次，则顶点A的坐标为．。

平面直角坐标系平面直角坐标系，又称直角坐标系或笛卡尔坐标系，是在数学和物理学中常用的坐标系统之一。

它以两条相互垂直的数轴（通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴）作为基准，用来确定平面上的点的位置。

这个坐标系的引入，使得我们可以方便地表示、计算和研究平面上各个点的位置和关系。

一、坐标轴平面直角坐标系中的坐标轴通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴。

在坐标轴上，我们选取一个点作为原点（O），两条轴相交于原点，原点的位置被定义为坐标轴的交点。

二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对 (x, y) 来表示。

其中，x 表示与 x 轴的水平距离，称为横坐标；y 表示与 y 轴的垂直距离，称为纵坐标。

三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

在第一象限中，x 和 y 的值都为正；在第二象限中，x 的值为负，y 的值为正；在第三象限中，x 和 y 的值都为负；在第四象限中，x 的值为正，y 的值为负。

在坐标系中，我们可以通过坐标的正负值和象限来确定点所在的位置。

例如，点 (3, 4) 位于第一象限，点 (-2, 3)位于第二象限，点 (-5, -1) 位于第三象限，点 (4, -2) 位于第四象限。

四、距离和斜率在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标来计算点之间的距离和直线的斜率。

1. 距离公式：设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 斜率公式：设直线上两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，直线的斜率可以使用以下公式计算：k = (y2-y1) / (x2-x1)根据以上公式，我们可以根据给定的坐标计算点之间的距离，或确定直线的斜率，帮助我们解决各种几何和物理问题。

五、应用平面直角坐标系广泛应用于几何、物理、经济学等学科中。

如何进行坐标系转换与坐标变换在我们的生活中，经常会涉及到坐标系转换与坐标变换的问题。

无论是在地理导航中确定位置，还是在机器人定位中进行路径规划，坐标系转换与坐标变换都扮演着重要的角色。

本文将深入探讨如何进行坐标系转换与坐标变换，并介绍一些常见的应用案例。

一、什么是坐标系转换与坐标变换坐标系转换是指从一个坐标系向另一个坐标系的转换，它是通过一组变换公式将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系。

坐标变换则是指在同一个坐标系中，通过一定的规则将原始坐标进行变换，以实现特定的目的。

二、坐标系转换的原理与方法1. 坐标系转换原理坐标系转换是基于坐标系的相对关系来实现的。

在进行坐标系转换时，我们需要明确两个坐标系之间的关系，比如它们的原点位置、方向以及坐标轴的长度和单位。

通过这些关系，我们可以建立起坐标系之间的变换公式。

2. 坐标系转换方法坐标系转换的方法有多种，常见的有仿射变换、欧式变换和相似变换等。

仿射变换是一种常用的坐标系转换方法，它保持了原始坐标系上的平行线在转换后仍然保持平行。

通过选择适当的仿射变换矩阵，我们可以将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系。

欧式变换是另一种常见的坐标系转换方法，它包括平移、旋转和缩放等操作。

通过将原始坐标系中的点进行平移、旋转和缩放等变换，我们可以将其转换到另一个坐标系。

相似变换是欧式变换的一种特殊情况，它保持了原始坐标系上的比例关系。

相似变换通常用于图像处理中，通过将原始图像进行平移、旋转和缩放等操作，可以得到与原图相似的图像。

三、坐标变换的原理与应用1. 坐标变换原理坐标变换是指在同一个坐标系中，通过一定的规则将原始坐标进行变换，以实现特定的目的。

坐标变换可以基于线性代数的原理，通过矩阵运算来实现。

2. 坐标变换的应用案例2.1 地图导航与定位在地图导航与定位中，坐标变换常用于将地理坐标转换为平面坐标，以便进行路径规划和位置确定。

通过选择适当的投影方式和坐标变换公式，我们可以将地球表面上的经纬度坐标转换为平面上的坐标，从而实现地图显示和导航定位。

数学中的坐标系与坐标变换数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而坐标系和坐标变换则是数学中的重要概念。

本文将介绍什么是坐标系，坐标变换的概念以及它们在数学和现实生活中的应用。

一、坐标系坐标系是在某一平面或空间中确定点的位置的一种方式。

它由坐标轴和原点组成。

常见的坐标系包括二维笛卡尔坐标系和三维笛卡尔坐标系。

1. 二维笛卡尔坐标系二维笛卡尔坐标系由两条垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴。

原点是坐标系的交点，用(0,0)表示。

在二维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

2. 三维笛卡尔坐标系三维笛卡尔坐标系在二维笛卡尔坐标系的基础上增加了一条垂直于x轴和y轴的z轴。

在三维笛卡尔坐标系中，每个点都可以表示为一个有序组(x, y, z)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。

二、坐标变换坐标变换是指将一个点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。

坐标变换在数学和物理学中都有着广泛的应用。

1. 平移平移是一种坐标变换，通过向所有的点添加一个常量向量，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。

例如，将一个点的坐标由(x, y)变为(x+a, y+b)，其中(a, b)表示平移的向量。

2. 旋转旋转是一种坐标变换，通过围绕一个给定的中心点将点按照一定角度旋转，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。

旋转可以使用旋转矩阵或旋转角度表示。

3. 缩放缩放是一种坐标变换，通过改变点的坐标的比例，从而将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。

缩放可以使点的坐标变大或变小，可以根据缩放因子在x方向和y方向上进行分别缩放。

三、数学与现实生活中的应用坐标系和坐标变换在数学和现实生活中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用情景：1. 几何学中的图形表示：坐标系可以用来表示几何图形，例如在平面上绘制直线、圆等图形，或者在空间中绘制立方体、球体等图形。

平面向量的坐标变换和坐标旋转在二维平面上，平面向量的坐标变换和坐标旋转是数学中重要的概念和技巧。

通过变换和旋转，我们可以改变向量在平面上的位置和方向，从而得到新的向量。

本文将讨论平面向量的坐标变换和坐标旋转的原理和应用。

一、平面向量的坐标变换平面向量的坐标变换是指将一个向量的坐标表示从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。

这种变换常用于解决不同坐标系下的向量运算和几何问题。

假设有一个平面向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)，在坐标系B下的坐标表示为(Bx, By)。

我们需要将向量A的坐标从坐标系A转换到坐标系B下。

设坐标系A的基向量为{i_i, i_i}，坐标系B的基向量为{i_i, i_i}。

坐标变换的关键在于找到从基向量{i_i, i_i}到基向量{i_i, i_i}的转换矩阵。

转换矩阵i的列向量就是基向量{i_i, i_i}在坐标系A下的坐标表示。

假设i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)，i_i在坐标系A下的坐标表示为(i_ii, i_ii)。

则转换矩阵i可以表示为：i = [(i_ii, i_ii), (i_ii, i_ii)]那么向量A在坐标系B下的坐标表示可以通过以下运算得到：(Bx, By) = i * (Ax, Ay)这样，我们就完成了向量A的坐标变换。

二、平面向量的坐标旋转坐标旋转是指在平面上绕一个固定点进行旋转变换的过程。

对于平面向量的坐标旋转，我们常用旋转矩阵来描述旋转的规律。

以逆时针旋转为正方向，设旋转角度为θ。

对于一个向量A，它在坐标系A下的坐标表示为(Ax, Ay)。

我们需要将向量A绕原点逆时针旋转θ角度后的坐标表示为(Bx, By)。

旋转后的坐标可以通过以下公式计算得到：Bx = Ax * cosθ - Ay * sinθBy = Ax * sinθ + Ay * cosθ这样，我们就得到了向量A在旋转后的坐标表示。

三、坐标变换与坐标旋转的应用平面向量的坐标变换和坐标旋转在几何问题和计算机图形学中有广泛的应用。