立体图形体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量知识讲解

§4立体图形的体积、表面积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量*Ja为棱长，d为对角线a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线体积3aV=表面积26aS=侧面积24aM=对角线ad3=重心G在对角线交点上2aGQ=体积abhV=表面积)(2bhahabS++=侧面积)(2bahM+=对角线222hbad++=重心G在对角线交点上2hGQ=转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标轴分别平行三个棱边mhbJx)(12122+=mhaJy)(12122+=mbaJz)(12122+=mhbaJo)(121222++=(当hba==时,即为正方体的情况)*表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.图形体积V、表面积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量Ja,b,c为边长,h为高a为底边长,h为高,d为对角线n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高体积FhV=表面积MFS+=2侧面积hcbaM)(++=式中F为底面积重心2hGQ=(P、Q分别为上下底重心)转动惯量对于正三棱柱(a=b=c)取G为坐标原点,z轴与棱平行mahaJz1248324==体积hahaV225981.2233≈=表面积ahaahaS61962.563322+≈+=侧面积ahM6=对角线224ahd+=重心2hGQ=(P、Q分别为上下底重心)转动惯量取G为坐标原点,z轴与棱平行mahaJz12583524==体积FhV31=表面积FMS+=侧面积agnnFM2'==式中F为底面积,'F为一侧三角形面积。

（一）、知识梳理：1、空间几何体的侧面积、表面积（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c ，高为h ，则侧面积S ch =侧．若长方体的长、宽、高分别是a 、b 、c ，则其表面积2()S ab bc ca =++表．（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l ，底面半径为r ，那么圆柱的侧面积2πS rl =侧，此时圆柱底面面积2πS r =底.所以圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l =+=+=+侧底．（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则侧面积πS r l =侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l =+=+=+侧底．（4）正棱锥的侧面展开图是n 个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c ，斜高为h '，则它的侧面积12S ch '=侧． （5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是c c '，，斜高是h '，那么它的侧面积是s=(c+c)h '/2（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r '，，母线长为l ，那么它的侧面积是π()S r r l '=+侧．圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即2222π()πππ()S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=+++=+++侧上底下底． （7）球的表面积24πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍．2、空间几何体的体积（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh =柱体．其中底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2πV r h =圆柱．（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是13V Sh =锥体．其中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是21π3V r h =圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的13． （3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h ，那么它的体积是1()3V S S S S h '=++台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221π()3V r Rr R h =++圆台．（4）球的体积公式：334R V π=.3、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。

立体图形知识点梳理总结立体图形是指在三维空间中存在的图形。

它具有体积和表面积的概念。

立体图形是立体几何的研究对象，包括了各种各样的形态，如立方体、长方体、圆柱体、球体、锥体等等。

掌握立体图形的知识对于学生学习数学和物理都是非常重要的。

本文将系统地总结立体图形的相关知识点，包括定义、性质、计算公式等内容，帮助读者更好地理解和掌握立体图形的概念。

一、基本概念1. 立体图形的定义立体图形是在三维空间中存在的图形。

它具有长度、宽度和高度三个方向。

立体图形由许多平面图形组成，例如长方体由6个矩形组成，圆柱体由两个平行的圆面和一个侧面组成。

2. 常见立体图形的名称和特点（1）长方体- 定义：长方体是六个面都是矩形的立体图形。

- 性质：长方体的体积为长×宽×高，表面积为2×(长×宽+长×高+宽×高)。

（2）正方体- 定义：正方体是六个面都是正方形的立体图形。

- 性质：正方体的体积为边长的立方，表面积为6×(边长的平方)。

（3）圆柱体- 定义：圆柱体是由两个相同的平行圆面和一个侧面组成的立体图形。

- 性质：圆柱体的体积为底面积×高，表面积为2×底面积+侧面积。

（4）球体- 定义：球体由无数个与球心距离相等的点组成的立体图形。

- 性质：球体的体积为4/3×π×半径的立方，表面积为4×π×半径的平方。

（5）圆锥体- 定义：圆锥体是由一个圆锥面和一个底面组成的立体图形。

- 性质：圆锥体的体积为1/3×底面积×高，表面积为π×底面半径×斜高+底面积。

二、计算公式1. 计算立体图形的体积和表面积（1）长方体的体积和表面积计算公式- 体积：V=长×宽×高- 表面积：S=2×(长×宽+长×高+宽×高)（2）正方体的体积和表面积计算公式- 体积：V=边长的立方- 表面积：S=6×(边长的平方)（3）圆柱体的体积和表面积计算公式- 体积：V=底面积×高- 表面积：S=2×底面积+侧面积（4）球体的体积和表面积计算公式- 体积：V=4/3×π×半径的立方- 表面积：S=4×π×半径的平方（5）圆锥体的体积和表面积计算公式- 体积：V=1/3×底面积×高- 表面积：S=π×底面半径×斜高+底面积2. 其他常见立体图形的计算公式（1）平面图形组成的立体图形的计算- 若一个立体图形由多个平面图形组成，可以通过计算每个平面图形的面积和相加来得到立体图形的体积和表面积。

高一数学立体图形知识点立体图形是高中数学中一个重要的内容，它通过几何形体的三维表示，可以更直观地观察和分析物体的形状和特征。

在高一阶段，数学教学中的立体图形内容主要包括体积、表面积、欧拉公式等知识点。

本文将系统地介绍这些知识点，希望对广大高中生有所帮助。

一、立体图形的体积计算立体图形的体积是指该图形所占的三维空间的大小。

高一阶段主要研究的立体图形有立方体、长方体、圆柱体、圆锥体以及球体。

下面分别介绍这些图形的体积计算方法：1. 立方体和长方体的体积计算：立方体的体积等于边长的立方，公式为V=a³；长方体的体积等于长、宽和高的乘积，公式为V=lwh。

2. 圆柱体的体积计算：圆柱体的体积等于底面积乘以高，公式为V=πr²h。

其中，r为底面半径，h为高度。

3. 圆锥体的体积计算：圆锥体的体积等于底面积乘以高再除以3，公式为V=πr²h/3。

4. 球体的体积计算：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，公式为V=4/3πr³。

以上是常见立体图形的体积计算方法，掌握了这些公式，我们就可以方便地求解各种实际问题。

二、立体图形的表面积计算立体图形的表面积是指该图形外部各个面的总面积。

对于不同的立体图形，其表面积计算方法也各不相同。

下面介绍几种常见立体图形的表面积计算方法：1. 立方体和长方体的表面积计算：立方体的表面积等于6倍的边长的平方，公式为S=6a²；长方体的表面积等于2倍的底面积加上4倍的长和高的乘积，公式为S=2lw+2lh+2wh。

2. 圆柱体的表面积计算：圆柱体的表面积等于两个底面积加上侧面矩形的面积，公式为S=2πr² + 2πrh。

3. 圆锥体的表面积计算：圆锥体的表面积等于底面积加上一个底面半径与斜高的乘积，公式为S=πr² + πrl。

其中，l为斜高。

4. 球体的表面积计算：球体的表面积等于4倍的半径的平方乘以π，公式为S=4πr²。