【中考数学复习】一次函数与反比例函数知识提要初中代数中涉及的函数有：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数.每种函数一般从下面四个方面研究：定义，图象，性质，求解析式.本讲研究一次函数和反比例函数.一、一次函数1、定义：函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，若0=b 则称函数为正比例函数.2、图象：一次函数是过点（0，b ）和点（kb -，0）的直线.当b=0时的正比例函数)0(≠=k kx y 是过原点的一条直线，若k 与b 的符号不同，则直线经过的象限也不同，如图所示：3、性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；当0<k 时，y 随x 的增大而减小.（此性质为一次函数的单调性）另外，正比例函数关于原点O 中心对称4、求解析式：求一次函数的解析式，一般需要两个条件，求出表达式b kx y +=中的k 及b 的值，常用待定系数法来求一次函数.而正比例函数的解析式只需要一个条件.二、反比例函数1、定义：形如)0(≠=k x k y 形式称为反比例函数，定义域为0≠x 的所有实数.2、图象：反比例图象为双曲线，如图所示：3、性质：反比例函数x k y =在0>k 且0>x 时，函数值y 随x 的增大而减小；在0>k 且0<x 时，函数值y 随x 的增大而减小.即：当0>k 时，反比例函数x k y =分布在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，如图（1）所示.当0<k 时，反比例函数xk y =分布在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如图（2）所示.反比例函数x k y =图象上的点关于原点O 成中心对称的.当0>k 时，函数的图象关于直线x y =成轴对称；当0<k 时，函数的图象关于直线x y -=成轴对称.4、求解析式：反比例函数的解析式，只需要一个条件，求出xk y =)0(≠k 中的k 即可.在解决有关一次函数及反比例函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想方法.待定系数法是研究函数表达式的基本方法，同时紧密结合图象寻求思路，是处理这类问题的重要方法.例1、已知正比例函数x y =和)0(>=a ax y 的图象与反比例函数xky =（k>0）的图象在第一象限内分别相交于A 、B 两点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设△AOC 和△BOD 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系怎样？例2、两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象如图所示，点1P ，2P ，3P ，…2005P 在反比例函数x y 6=图象上，它们的横坐标分别是1x ，2x ，3x ，…2005x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点1P ，2P ，3P ，…2005P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次是)(111y x Q ，，)(222y x Q ，，)(333y x Q ，，…)(200520052005y x Q ，，则_________2005=y .例3、平面直角坐标系内有A （2，－1）、B （3，3）两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标.例4、已知一次函数的图象经过点（2，2），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.例5、已知A （-2，0）、B （4，0），点P 在直线221+=x y 上，若△PAB 是直角三角形，求点P 的坐标.例6、已知两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供两个方面的信息，如图所示，请根据图中提供的信息，求：（1）第2年全县生产甲鱼的只数及甲鱼池的个数；（2）到第6年，这个县的甲鱼养殖规模比第1年是扩大了还是缩小了，请说明理由.例7、如图，已知C 、D 是双曲线xm y =在第一象限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是（11y x ，）、（22y x ，），连接OC 、OD.（1）求证：111y m y OC y +<<；（2）若α=∠=∠AOD BOC ，31tan =α，10=OC ，求直线CD 的解析式.（3）在（2）的条件下，双曲线是否存在一点P ，使POD POC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.例8、有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示，若20分钟后只放水不进水，求多长时间能将水放完？例9、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图），观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息解答下列问题：（1）药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为__________，自变量x 的取值范围是___________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为____________.（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室.（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？例10、某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表所示：家电名称空调器彩电冰箱工时/个213141产值/千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）练习1、已知0≠abc 并且p b a c a c b c b a =+=+=+而直线p px y +=一定通过（）A 第一、二象限B 第二、三象限C 第三、四象限D 第一、四象限2、函数kx y =和)0(<=k x k y 在同一坐标系中的图象是（）3、一次函数b kx y +=过点)(11y x ，和)(22y x ，，且0>k ，b<0，当210x x <<时，有（）A 21y b y >>B 21y b y <<C b y y <<<210D 012<<<y b y 4、若点（-2，1y ），（1，2y ），（2，3y ）在反比例函数x y 21=的图象上，则下列结论正确的是（）A 123y y y >>B 312y y y >>C 132y y y >>D 321y y y >>5、反比例函数x k y =的图象是轴对称图形，它的一条对称轴是下列正比例函数图象中的（）A kxy -=B x k y =C x k k y =D kxy =6、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（-1，-25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）A 4个B 5个C 6个D 7个7、如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数xk y =（0>k ）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ，2S ，…20S ，则__________2021=+++S S S .8、不论k 为何值，解析式0)11()3()12(=--+--k y k x k 表示函数的图象都经过一定点，则这个定点是_________.9、如图所示，直线l 和双曲线x k y =（0>k ）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP.设△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，△POE 的面积为3S ，则321S S S 、、的大小关系是______________.10、甲、乙两车出发后再同一条公路行驶，行驶路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：（1）出发行驶在前面的车是_________，此时两车相隔_________；（2）两车的速度分别为甲：___________千米/小时，乙：_________千米/小时，经过___________小时，快车追上慢车；（3）甲、乙两车均行驶600千米时各用的时间分别是：甲用_________小时，乙用__________小时.11、如图，函数221+-=x y 的图象交y 轴于M ，交x 轴于N ，MN 上两点A ，B 在x 轴上射影分别为11B A 、，若411>+OB OA ，则A OA 1∆的面积1S 与B OB 1∆的面积2S 的大小关系是_____________.12、已知非负数x 、y 、z 满足323=++z y x ，433=++z y x ，则z y x w 423+-=的最大值为_________，最小值为__________.13、在直角坐标系中，有四个点：A （-8，3），B （-4，5），C （0，n ），D （m ，0）,当四边形ABCD 的周长最短时，求nm 的值.14、设直线1)1(=++y k kx （k 是自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为1S ，2S ，…，2000S .求200021S S S +++ 的值.15、如图（1），已知直线m x y +-=21与反比例函数xk y =的图象在第一象限内交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），分别于x 、y 轴交于C 、D ，AE ⊥x 轴于E.（1）若OE·CE=12，求k 的值；（2）如图（2），作BF ⊥y 轴于F ，求证：EF ∥CD ；（3）在（1）（2）的条件下，5=EF ,52=AB ，P 是x 轴正半轴上一点，且△PAB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求P 点的坐标.（1）（2）16、已知直线62+-=-k y x 和143+=+k y x ，若它们的交点在第四象限内.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为非负整数，点A 的坐标为（2，0），点P 在直线62+-=-k y x 上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.17、A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台，现决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元，从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元，从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元.（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费w （元）关于x （台）的函数式，并求w 的最大值和最小值；（2）设从A 市调x 台到D 市，从B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x ，y 表示总运费w （元），并求w 的最大值和最小值.18、直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中∠BAC=90°.如果第二象限内有一点P （a ，21），使△ABP 的面积和△ABC 的面积相等，求a 的值.文式思维教育，传播知识，分享快乐19、如图，在直角坐标系中，点1O 的坐标为（1，0），⊙1O 与x 轴交于原点O 和点A ，又点B 、C 的坐标分别为（-1，0），（0，b ），且30<<b ，直线l 是过B 、C 点的直线.（1）当点C 在线段OC 上移动时，过点1O 作l D O 直线⊥1，交l 于D ，若a S S CBO BOC=∆∆1，试求b a 与的函数关系式及a 的取值范围.20、某仓储系统有20条输入传送带、20条输出传送带.某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（b ）,而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（c ），则在0时至2时有多少条输入传送带在工作？在4至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？。
中考数学复习考点知识归类讲解专题13 反比例函数与一次函数的综合知识对接考点一、与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC =S△OPE＞S△BOD专项训练 一、单选题1．如图，一次函数5y kx =+（k 为常数，且0k ≠）的图像与反比例函数8y x=-的图像交于(2,)A b -，B 两点．若将直线AB 向下平移(0)m m >个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则m 的值为（）A ．1B ．1或8C ．2或8D ．1或92．如图，直线1-22y x =与x 轴交于点B ，与双曲线k y x=(x >0)交于点A ，过点B 作x 轴的垂线，与双曲线k y x=交于点C ．且AB =AC ，则k 的值为（）A ．8B ．12C ．10D ．163．如图，反比例函数11k y x=的图象和正比例函数22y k x =的图象交于点(1,2)A --，(1,2)B ．若12y y >，则x 的取值范围是（）A ．10x -<<B ．11x -<<C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >4．如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于A ,B 两点，其中点A的横坐标为2，当12y y <时，x 的取值范围是（）A ．2x <-或2x >B ．20x -<<或2x >C ．20x -<<或02x <<D ．2x <-或02x <<5．如图所示的是反比例函数()10k y x x=>和一次函数2y mx n =+的图象，则下列结论正确的是（）A ．反比例函数的解析式是16y x= B ．当6x =时，1y = C ．一次函数的解析式为26y x =-+D ．若12y y <，则16x <<6．如图在平面直角坐标系中反比例函数k y x=与直线y =-x 交于点A ，过点A 作AE //y 轴交x 轴于点E ，点O 关于AE 对称点为点B ，点C 为y 轴上一点，且38OE OC =，连接BC 与直线OA 交于点D ，若以AD 为边的正方形面积为27，则k 的值为（）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-47．如图，已知A （1，a ），B （b ，1）为反比例函数y ＝2x图象上y 的两点，动点P 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之和最小时，则点P 的坐标是（ ）A．（35，0）B．（1，0）C．（53，0）D．（2，0）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝mx（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞mx的解集为（）A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜29．在平面直角坐标系xOy中，直线y x=向上平移1个单位长度得到直线l，直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为(),2A a，则k（）A．2 B．6 C．2-D．110．函数kyx=与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（）A．B．C ．D ．二、填空题11．如图，已知直线112y x =+交x 轴于点A ，交反比例函数(0)ky x x =>于点B ，过点B 作BC AB ⊥交反比例函数(0)k y x x=>于点C ，若12BC AB =，则k 的值为___．12．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与反比例函数1y x =的图像有唯一交点，若直线y x b =-+与反比例函数1y x =的图像没有公共点，则b 的取值范围是________．13．如图，一次函数y x b =-+的图象与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，与反比例函数k y x=的图象交于点()1,4E 和点F ．则不等式kx b x-+<的解集是___________．14．如图，已知AOB，点A在反比例函数图像上，点B在x轴正半轴上，4OB=，OA=直线AB与反比例函数的图像只有一个公共点，则k=______．15．如图，点A，B在反比例函数ykx=第一象限的图象上，点A坐标为（1，2），AB的延长线交x轴于点C．点D在x轴上，BD的延长线交双曲线的另一支于点E，AB＝BC＝BD．则点C的坐标为____，△CDE的面积等于____．三、解答题16．如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P ，P 在反比例函数4y x=的图象上． （1）求点P 的坐标； （2）若OA =OB ，则： ①∠P 的度数为．②求出此时直线AB 的函数关系式；．（3）如果直线AB 的关系式为y kx n =+，且02n <<，作反比例函数n y x=-，过点（0，1）作x 轴的平行线与4y x=的图象交于点M ，与n y x=-的图象交于点N ，过点N 作y 轴的平行线与y kx n =+的图象交于点Q ，是否存在k 的值，使得MN +ON 的和始终是一个定值d ，若存在，求出k 的值及定值d ；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，直线1y mx n =+与双曲线2k y x=交于点()3,2M --和点N ．正方形ABCD 的边长为2，且顶点A 和顶点D 在x 轴上，顶点B 在直线1y mx n =+上，顶点C 在双曲线2ky x=上，过点N 向x 轴作垂线，垂足E 是AD 的中点． （1）求直线与双曲线的解析式； （2）求点N 的坐标；（3）在11a x a -≤≤+范围内，总有不等式12y y >，请直接写出此时a 的取值范围．18．如图，点A 为双曲线2y x=（0x >）上一点，//AB x 轴且交直线y x =-于点B ．（1）若点B 的纵坐标为2，比较线段AB 和OB 的大小关系；（2）当点A 在双曲线图像上运动时，代数式“22AB OA -”的值会发生变化吗？请你作出判断，并说明理由．19．如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于(2,)C n ，D 两点，与x 轴，y 轴分别交于A 、(0,2)B 两点，如果AOC △的面积为6．（1）求点A 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．20．如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，已知∠A =90°，AB =AC ，A (-4，0)、B (0，2)、C (d ，4)． （1）求d 的值：（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B ′、C ′正好落在某反比例函数y 1的图象上．请求出这个反比例函数y 1和此时的直线B ′C ′的解析式y 2； （3）当x 满足什么条件时，y 1＞y 2．21．如图，直线y ＝kx +3与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与反比例函数y mx=交于点A 、D ，过D 做DE ⊥x 轴于E ，连接OA ，OD ，若A （﹣2，n ），S △OAB ：S △ODE ＝1：2． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点C 的坐标．22．如图，一次函数y mx n =+（m ≠0）的图象与反比例函数ky x=（k ≠0）的图象交于第二、四象限内的点A （a ，4）和点B （8，b ）．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，△AOC 的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出kmx nx+<的解集；（3）在x轴上取点P，使|PA﹣PB|取得最大值时，求出点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2与一次函数y＝﹣x+m的图象交于点P，与反比例函数y＝2mx的图象交于点Q，点A（2，2）与点B关于y轴对称．（1）直接写出点B的坐标；（2）求点P，Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）若P，Q两点中只有一个点在线段AB上，直接写出m的取值范围．11 / 11。
