高中数学课件-周期与对称
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北师大版高中数学必修4第一章1.1《周期现象》课件(共18张PPT)
试判断下列现象是否属于周期现象。如果 是，请指出最小正周期：
（1）地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化
（2）钟表的分针的运动
（3）连续抛一枚硬币，出现正面向上
周期函数的现实意义 宏观经济调控: 行业分周期性行业和非周期性行业 天文地理： 比如哈雷彗星回归76周年 生物： 高级物种的周期性(人有生，老，病，死 ，人类物种呢） 还有等等各种有趣科学
课后作业
习题1.1 第1、2、3题
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
结论：
对于函数 y=f(x)，如果存在), 称这种函数为“周期函数”，T为周期.
其中，正周期中的最小数T，称为最小正周期 例如：潮汐现象的函数H(t)中，12h、24h、36h 都是一个周期，但是最小的是12h，所以这函数 H(t)的最小正周期是12h.
地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是 时间t的函数吗？这个函数y＝f (t) 是不是周期 函数？若是，指出最小正周期。
下图是钟摆示意图，摆心A到铅垂线MN的距 离y是时间t的函数，即y=g(t)
我们选定自行车车轮边缘上一点A，的中心记 为O，OA与竖直方向的夹角记为α(0o≤α<360o) .当 自行车沿直线做匀速运动时，变量α是时间 t 的 函数吗？
北师大版
必修四
第一章 三角函数
§1 周期现象
江西省乐平中学 数学教研组
高中数学函数的周期性
高中数学函数的周期性一、函数周期性的认识周期性是函数的一个重要性质，指的是函数在一定的时间间隔内重复出现的规律性。
在函数图像上，这种周期性表现为函数图像的重复形状或模式。
函数周期性的理解对于解决与函数相关的数学问题有着重要的意义。
二、函数周期性的判断判断函数是否具有周期性，可以通过以下步骤进行：1、观察函数的图像，看是否存在重复的模式或形状；2、计算函数值之间的差值，看是否存在固定的差值；3、确定函数的定义域，看是否具有周期性；4、根据函数的性质，确定函数的周期。
三、函数周期性的应用函数周期性在数学中有着广泛的应用。
例如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数都是具有周期性的函数，它们的周期与角度有关。
函数周期性在信号处理、图像处理等领域也有着广泛的应用。
四、函数周期性的意义函数周期性是数学中一个重要的概念，它反映了函数变化的规律性。
通过对函数周期性的理解和应用，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，为解决与函数相关的数学问题提供帮助。
函数周期性的概念也渗透到了自然科学和社会科学的各个领域，对于这些领域的研究和发展也有着重要的意义。
高中数学函数的周期性是一个非常重要的概念，对于我们理解函数的性质和解决与函数相关的数学问题都有着重要的作用。
在未来的学习和研究中，我们还需要进一步深入理解和应用函数周期性的概念。
原函数与导函数周期性和奇偶性联系的探究标题：原函数与导函数周期性和奇偶性的探究一、引言在数学分析中，函数的周期性和奇偶性是两个非常重要的性质。
对于一个函数来说，如果其值在每隔一定的区间内重复出现，那么这个函数就被称为具有周期性。
而如果一个函数在与其原点的对称点处的值相等，那么这个函数就被称为具有奇偶性。
这两个性质在很多领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
对于周期函数和奇偶函数，其原函数和导函数之间存在一些有趣的和相互影响。
本文将对此进行深入的探究和分析。
二、原函数与导函数的周期性首先，我们观察一个函数与其导函数之间的周期性关系。
河南省长垣县第十中学高中数学 1.4.3奇偶性、对称性课件 新人教A版
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
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5 3
2
x
y
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x
例1、判断下列函数那些是奇函数，那些 是偶函数，那些是非奇非偶函数：
(1) y sin 3x (x R) (2) y sin x cos x (x R)
(3) y 1 sin x (x R)
4
2
2、对称性
y
1
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2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
(1) y sin x的图象关于点(k ,0)中心对称,
关于直线x k (k Z )轴对称.
2y
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O
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1
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x
(2) y cos x的图象关于点( k ,0)中心
2
对称,关于直线x k (k Z )轴对称.
2
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
(k ,0) k Z
余弦函数的图象 y
1
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P'
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O
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1
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P
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x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
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例1、判断下列函数那些是奇函数，那些 是偶函数，那些是非奇非偶函数：
(1) y sin 3x (x R) (2) y sin x cos x (x R)
(3) y 1 sin x (x R)
4
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2、对称性
y
1
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(1) y sin x的图象关于点(k ,0)中心对称,
关于直线x k (k Z )轴对称.
2y
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x
(2) y cos x的图象关于点( k ,0)中心
2
对称,关于直线x k (k Z )轴对称.
2
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
(k ,0) k Z
余弦函数的图象 y
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对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
高中数学第一章三角函数1_1周期现象与周期函数课件1北师大版
2.经历数据分析及观察散点图特征，感受周期现
象对实际工作的意义;(重点)
3.能熟练地判断简单的实际问题的周期.（难点）
探究点1 对周期现象的理解
当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化，
为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函
数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t
的关系，那么H就是t的函数.下表1-1是某港口在
( B )年
A.2018 举办一次. 【解析】选B.2014+8=2022. B.2022 C.2026 D.2030
【解题关键】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年
3.某齿轮转动装备如图,大齿轮有44个齿,小齿轮有22 个齿,当大齿轮转动10周时,小齿轮转动 A.10周 B.5周 C.15周 ( D ) D.20周
某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据， 我们来研究H(t)这个函数.
表1-1 时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 水深 /m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 水深 /m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 水深 /m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
【即时训练】
下列现象不是周期现象的是( A.四季交替现象 C.每年春节联欢晚会 B )
B.暴风雪的发生 D.物理中的简谐振动
【解析】A，C，D中的现象都符合周期现象的特征，
而B中暴风雪的发生是一种随机现象.
象对实际工作的意义;(重点)
3.能熟练地判断简单的实际问题的周期.（难点）
探究点1 对周期现象的理解
当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化，
为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函
数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t
的关系，那么H就是t的函数.下表1-1是某港口在
( B )年
A.2018 举办一次. 【解析】选B.2014+8=2022. B.2022 C.2026 D.2030
【解题关键】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年
3.某齿轮转动装备如图,大齿轮有44个齿,小齿轮有22 个齿,当大齿轮转动10周时,小齿轮转动 A.10周 B.5周 C.15周 ( D ) D.20周
某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据， 我们来研究H(t)这个函数.
表1-1 时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 水深 /m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 水深 /m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 水深 /m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
【即时训练】
下列现象不是周期现象的是( A.四季交替现象 C.每年春节联欢晚会 B )
B.暴风雪的发生 D.物理中的简谐振动
【解析】A，C，D中的现象都符合周期现象的特征，
而B中暴风雪的发生是一种随机现象.
高中数学ppt课件全套
多面体
多面体由多个平面多 边形围成，具有顶点 对称的特点，常见的 多面体有四面体、六 面体等。
空间几何体的表面积和体积
总结词
掌握各类空间几何体的表 面积和体积计算公式，能 够进行相关计算。
球体的表面积公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为 球半径。
球体的体积公式
$frac{4}{3}pi r^{3}$，其 中$r$为球半径。
掌握集合的基本运算规则
详细描述
介绍集合的运算，包括并集、交集、差集等，以及这些运算的性质和规则。
逻辑关系与推理
总结词
理解逻辑关系和推理的基本概念
详细描述
介绍逻辑关系和推理的概念，包括命题、条件语句、推理规则等，以及如何运用逻辑关系和推理解决实际问题。
02
函数与极限
函数的基本性质
函数的定义域和值域
高中数学PPT课件全套
• 集合与逻辑 • 函数与极限 • 三角函数与三角恒等变换 • 数列与数学归纳法 • 解析几何初步 • 立体几何初步
01
集合与逻辑
集合的基本概念
总结词
理解集合的基本定义和性质
详细描述
介绍集合的基本概念，包括元素、子集、并集、交集等，以及集合的表示方法 。
集合的运算
总结词
01
02
03
数列的定义
数列是一种按照一定顺序 排列的数集。它可以是无 限的，也可以是有限的。
数列的项
数列中的每一个数被称为 一项。
数列的项数
数列中的数的个数称为项 数。
等差数列与等比数列
1 2
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的差 等于同一个常数，则这个数列被称为等差数列。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数课件2北师大版必修
136.6
P/mmHg 93.35 136.65 115 93.35
115
5
(1)请根据上表提供的数据，在坐标系中作出血压P与时间 t的对应关系的散点图. (2)血压随时间的变化的现象是周期现象吗？ 【解题指南】通过散点图的变化趋势研究周期现象.
【解析】(1)作出血压P与时间t的散点图.如下：
(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相 同的数值，因此血压随时间的变化的现象是周期现象.
【方法技巧】应用周期现象解决实际问题的两个要点
【变式训练】今天是星期五，则168天后是_______，170 天后是_______. 【解题指南】一星期是7天，一个循环. 【解析】因为168=7×24，,170=7×24+2，所以168天 后仍是星期五，170天后是星期天. 答案：星期五 星期天
依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据 上表可以判断，一天内的8:00至20:00时之间，有多少时 间可以供冲浪者运动？
【解题探究】1.从图像观察，函数值有没有重复出现？ 2.对题(2)中的数据如何提取有效信息？ 【探究提示】1.有，当x分别在[0,2],[3,5],[6,8]取值时， 对应的y值会重复出现. 2.将实际问题中的数据转化为散点图，利用散点图解决实 际问题.
【微思考】 (1)重复出现的现象是周期现象吗？ 提示：不一定，重复出现，还要有规律. (2)有规律可循的现象是周期现象吗？ 提示：不一定，有规律可循，还要重复出现.
【即时练】 下列现象不是周期现象的是_________(填序号). ①挂在弹簧下方上下震动的小球； ②游乐场中摩天轮的运行； ③抛一枚骰子，向上的数字是奇数； ④每四年出现1个闰年. 【解析】①②④都有规律可循，而抛一枚骰子，向上的数 字可能是奇数，也可能是偶数,无规律可循.故③不是周期 现象. 答案：③
最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 再利用 T＝|2ωπ|求得．
高中理科数学第一轮复习：解析几何对称问题精选课件
真正的爱情，不论贫富，不论远近。千般情怀，万般眷恋。红尘陌上，心系悠长。约言迢迢千里，只因情怀而来；邈路遥遥朝暮到洛阳出差一周了。 下午忙完，我便决定回趟老家。夕阳余光游走在城市楼房的轮廓中，呆板大街上车来人往。我不喜欢城里的热闹，会吓跑夕阳，家里这时候，风是轻的，田野是静的，夕阳是害羞的。 大巴车只到镇上，离老家还有十里路。一下车就听到有人喊我，是父亲。父亲一手接过我行李，一手拿着手机说话：“接到了，接到了，我们就回来。”说罢把电话递给我。电话里母亲问我晚饭想吃什么，我说：“妈，我想吃你擀的捞面条。”
xy0 直线对称都要熟练掌握。2.解决最值
问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对 称曲线的常用思想方法：代入转移法
【布置作业】
优化设计P108
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
xy0 直线对称都要熟练掌握。2.解决最值
问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对 称曲线的常用思想方法：代入转移法
【布置作业】
优化设计P108
世间有一种相互的情愿、一种情感的眷恋、一种情怀的着落，一种甜情密意的爱。 爱情在彼此之间、难得珍贵。需要包容和蔼，需要俩情相续。人生没有任何情感能抵得上爱情来的强烈。真爱从心底滋生，滋润着的爱；能让岁月变得丰满幸福。 爱情经历过静默欢喜的心跳，心潮澎湃的悸动，小心翼翼的呵护。挚爱灵魂的降临，柔情蜜意的体会，爱情的情愫引诱着彼此之间的情怀。爱情就像一团火焰，热情奔放在彼此之间燃烧；爱就像颜丽的山花，烂漫开放在彼此之间芬芳的岁月里。 爱情在彼此之间是愉悦、是幸福的向往，有一种渴念，一种欲望。一个人如果没有了爱情的支撑，剩下的只有精神空虚，孤独寂寞。无论多么痛苦，爱情只是人生的一个部分。在现实面前，只有理顺思路，忘掉不愉，打点精神生活，才能继续愉悦自己的人生。 当然爱情很美好，但有时也会不如意。人生本来就在旅途中，有阳光与暗淡的一面，难免会经历过低谷，不必过于焦虑不安。如果一方有离去的企图，千万不得挽留，留下的人也留不住心。人走了茶也就凉了，再温了也没了芳香。在拥有时好好地珍惜，爱情本来就需要真情来相待。 做人要懂得思考，一个愚痴的人，一旦跳进了失恋的漩涡、难以挣脱。忧忧寂寞、郁郁寡欢、心劳意攘不可自拔。一个明智的人，通情达理，一切顺其自然，不会执着于曾经的美好。既然她执意要走，爱情就已经失去了光泽。那么，何必再度留念她的光彩。 情感确实曼妙。有时机遇恰巧会眷顾了爱情。在擦肩而过的人群中谁能与你并肩同行；谁能理会同你一道上船、驶往爱的彼岸。在滚滚红尘中，只有俩厢情愿，情投意合，才能算是一见钟情，顺理成章。 在这世界上有一种爱情叫着缘分。在谈笑中相遇、在不经意中发生。爱情在几度转角处相识，最终还是选择初恋的那个好。这不要说偶尔、也不能说凑巧，他们在冥冥之间自然的形成。那是一种力量的无形缠绕，在偶遇中滋生存在着相遇的机会与可能。 树靠营养吸收生长，开花结果。人也需要吸收养分，也需要茁壮成长。特别在爱恋之间那微妙的时刻，得像春花一样灿烂，滋润着培育成绚丽多姿让人羡慕，让人欣赏。人靠衣装马靠鞍，一个人的内涵显示在品位上，整洁大方是对对方的尊重。
北师版高中数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 §1 周期变化
下面是小明画出的四个
函数的图象,其中不具有
周期性的是(
)
解析:A,B,D都具有周期性,C不具有周期性,C中,x∈[-2,2]时的
图象在前后都没有重复出现.
答案:C
三、周期
【问题思考】
1.对于函数f(x),如果存在x0满足f(x0+3)=f(x0),那么3是f(x)的周
期吗?
提示:不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时,都有x+3
第一章 三角函数
§1 周期变化
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解现实生活中的周期现象.
2.结合函数的图象,理解周期的概念.
3.掌握周期的概念,会求函数的周期.
4.体会数学抽象的过程,加强直观想象能力的培
养.
一、周期现象
【问题思考】
1.“钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运
f(x+2)=-(),
探究三 周期的应用
【例3】 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),当-2≤x<0
时,f(x)=(x+1)2;当0≤x<1时,f(x)=-2x+1,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)+f(2 022)=
.
解析:根据题意,函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),
y=f(x)称作周期函数,非零常数T 称作这个函数的周期.
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那
么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
函数的图象,其中不具有
周期性的是(
)
解析:A,B,D都具有周期性,C不具有周期性,C中,x∈[-2,2]时的
图象在前后都没有重复出现.
答案:C
三、周期
【问题思考】
1.对于函数f(x),如果存在x0满足f(x0+3)=f(x0),那么3是f(x)的周
期吗?
提示:不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时,都有x+3
第一章 三角函数
§1 周期变化
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.了解现实生活中的周期现象.
2.结合函数的图象,理解周期的概念.
3.掌握周期的概念,会求函数的周期.
4.体会数学抽象的过程,加强直观想象能力的培
养.
一、周期现象
【问题思考】
1.“钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运
f(x+2)=-(),
探究三 周期的应用
【例3】 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),当-2≤x<0
时,f(x)=(x+1)2;当0≤x<1时,f(x)=-2x+1,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)+f(2 022)=
.
解析:根据题意,函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),
y=f(x)称作周期函数,非零常数T 称作这个函数的周期.
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那
么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)
∴函数f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数．
③f(x)＝
（1－cos2x）＋sin 1＋sin x
x
＝
sin2x＋sin 1＋sin x
x
＝sin
x，但函数应满足1＋sin
x≠
0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考题3 (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin
x－tan x
x；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1－cossi2nx
； x
④f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
【答案】 ①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶 函数
(2)函数f(x)＝7sin(23x＋152π)是( A )
(2)若本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“
11π 12
”，其他
条件不变，结果如何？
【解析】 f5π 3 ＝f5π 3 －111π2 ×2＝f－π6 ＝－fπ6 ＝－sin π6 ＝－12.
(3)若本例(1)中的条件不变，求当x∈[－π，0]时函数的解析式．
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 因为x∈0，π2 时，f(x)＝sin x， 所以当x∈－π2 ，0时，－x∈0，π2 ，所以 f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝f(x)， 即当x∈－π2 ，0时，f(x)＝－sin x，
π (2)已知函数f(x)＝ 2sin(x＋ 4 ＋φ)是奇函数，则φ的值可以是( B )
A．0
B．－π4
《高中数学课件：几种常见函数的图像和性质》
高中数学课件：几种常见 函数的图像和性质
探索几种常见函数的图像和性质，包括一次函数、二次函数、反比例函数、 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和常函数。
一次函数
一次函数是指具有形式y = kx + b的函数，图像为一条直线，斜率k决定了直 线的倾斜程度，纵截距b决定了直线与y轴的交点。
二次函数
Step 3
根据底数a的不同，求解指数函 数的通式。
推导对数函数的通式
1
Step 2
2
代入任意一点的坐标和底数a到对数函数
的通式y = log_a(x)中。
3
Step 1
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算 底数a：a = 10^((y1 - y2) / (x1 - x2))。
Step 3
推导反比例函数的通式
1 Step 1
2 Step 2
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算比例 系数k：k = y1 * x1 = y2 * x2。
代入一个点的坐标(x, y)和比例系数k到反比例 函数的通式y = k/x中，得到反比例函数的通 式。
推导幂函数的通式
Step 1
取幂函数的对数y = log_a(x)， 其中a为底数。
二次函数是指具有形式y = ax^2 + bx + c的函数，图像为一条开口向上或向下 的曲线，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
反比例函数
反比例函数是指具有形式y = k/x的函数，图像为一条曲线，呈现出一个反比 例的关系，x越大，y越小。
幂函数
幂函数是指具有形式y = kx^n的函数，图像的形态取决于指数n的值，n为正 偶数时，图像在原点右侧上升，n为正奇数时，则图像在全范围上升。
探索几种常见函数的图像和性质，包括一次函数、二次函数、反比例函数、 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和常函数。
一次函数
一次函数是指具有形式y = kx + b的函数，图像为一条直线，斜率k决定了直 线的倾斜程度，纵截距b决定了直线与y轴的交点。
二次函数
Step 3
根据底数a的不同，求解指数函 数的通式。
推导对数函数的通式
1
Step 2
2
代入任意一点的坐标和底数a到对数函数
的通式y = log_a(x)中。
3
Step 1
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算 底数a：a = 10^((y1 - y2) / (x1 - x2))。
Step 3
推导反比例函数的通式
1 Step 1
2 Step 2
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算比例 系数k：k = y1 * x1 = y2 * x2。
代入一个点的坐标(x, y)和比例系数k到反比例 函数的通式y = k/x中，得到反比例函数的通 式。
推导幂函数的通式
Step 1
取幂函数的对数y = log_a(x)， 其中a为底数。
二次函数是指具有形式y = ax^2 + bx + c的函数，图像为一条开口向上或向下 的曲线，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
反比例函数
反比例函数是指具有形式y = k/x的函数，图像为一条曲线，呈现出一个反比 例的关系，x越大，y越小。
幂函数
幂函数是指具有形式y = kx^n的函数，图像的形态取决于指数n的值，n为正 偶数时，图像在原点右侧上升，n为正奇数时，则图像在全范围上升。
高中数学同步课件 培优课 直线系方程与对称问题
√C.(－3，1)
D.(－2，1)
直线 l 的方程可化为 解得xy＝＝1－，3，
m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令x－＋x2－y＋3y1＝＝0，0，
∴直线 l 恒过定点(－3，1).
1 234
2.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
√A.(－1，－3)
C.(－1，3)
B.(17，－9) D.(－17，9)
第一章 §1 直线与直线的方程
课标要求
1.熟悉常见的直线系方程，能运用直线系方程简化运算； 2.掌握对称原理，能解决常见的对称问题.
内容索引
一、直线系方程的应用 二、几类常见的对称问题 三、利用对称解决最值问题
课堂达标
课时精练
一
直线系方程的应用
例1
求证：无论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定 点，并求出这个定点的坐标.
思维升华
2.在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延 长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大 值 为 |AB|. 如 图 ③ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|AB| ＝ ||PB|－|PA||. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接 BA′并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最 大 ， 最 大 值 为 |A′B|. 如 图 ④ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|A′B|＝||PB|－|PA||.
人教版高中数学函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数的对称性1. 对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2. 轴对称：()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）3. 中心对称（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()(2)2f x f a x b +-=⇔函数()y f x =图象关于点(,)A a b 中心对称练习1：已知()y f x =的图象关于点(1,2)-成中心对称，写出该函数几何特征的代数形式。
解：()y f x =的图象关于点(1,2)-成中心对称的代数含义：()f x 取和为2-的两个值，如x 和2x --，其对应的函数值的和为4符号语言：()(2)4f x f x +--=函数的周期性1. 定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期。
对定义的理解：周期为T 的函数()f x 的自变量取差为T 或-T 的两个值x T +和x 时，对应的函数值相等。
例1：若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，怎么理解？分析：这个等式从左往右看，可以理解为函数()y f x =取了两个自变量1x -、1x +，当自变量增加2个单位时，对应的函数值相等，这两个自变量的特征也可以理解为差为常数（这里是2或-2）根据周期函数概念，我们知道()y f x =的一个正周期为2例2：若函数()y f x =满足(1)(1)2f x f x -++=，则()y f x =有什么性质呢？分析：（1）等式变形为(1)2(1)f x f x -=-+ ①∴()y f x =的自变量增加2个单位后所得到的函数值的相反数加2与原函数值相等（2）据此性质，我们不难得出，(1)2(3)f x f x +=-+ ②（3）由①②可知，[](1)22(3)(3)f x f x f x -=--+=+这个等式的含义是()y f x =取1x -和3x +这两个自变量的值的时候，其对应的函数值总相等。
高中数学-抽象函数的周期与对称轴
抽象函数的周期与对称轴一. 内容：抽象函数的周期与对称轴二. 重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。
难点：结论的推导证明，利用结论解决问题。
三. 具体内容1. 若)()(T x f x f +=则)(x f 的周期为T 。
2. 若)()(x b f a x f +=+则)(x f 的周期为a b T -= 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+=3. )()(b x f a x f +-=+则)(x f 的周期a b T -=2 证：令a x x -= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a b T -=2 4. 若)()(x b f x a f -=+则)(x f 图象的对称轴为2ba x +=证：要证原结论成立，只需证)2()2(x ba f xb a f -+=++ 令x a b x +-=2代入)()(x b f x a f -=+ 则 )2()2(x ba f xb a f -+=++5. 若)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。
证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x ba f xb a f -+-=++方法二：设)(x f y =它的图象为CC y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+' )()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵ 00)(y x f = ∴ 00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'【典型例题】[例1] 对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。
2023新教材高中数学正余弦函数的周期性奇偶性课件新人教A版必修第一册
12．求下列函数的周期： (1)y＝2sin12x＋π6，x∈R； (2)y＝1－2cosπ2x，x∈R； (3)y＝|sinx|，x∈R.
解 (1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋6π＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4π，
函数 y＝2sin12x＋π6，x∈R 的值才能重复出现，
知周期 T＝π2；选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝2π.故选 BD. 4
9．f(x)＝cosωx－π6 的最小正周期为π5，其中 ω>0，则 ω＝________.
答案 10 解析 ∵T＝2ωπ＝π5，∴ω＝10.
10．已知函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期是32π，当 x∈－π2，π时，
答案 A
解析 分别作出函数 y＝|cosx|与 y＝sin|x|的图象，观察可得，y＝|cosx| 是周期函数，y＝sin|x|不是周期函数．故选 A.
8．(多选)下列函数中，周期为π2的是(
)
A．y＝sin2x B．y＝|sin2x|
C．y＝cos4x D．y＝cos4x
答案 BD
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，作出函数 y＝|sin2x|的图象易 2
解析 根据周期函数的定义，任意非零有理数都是 f(x)的周期．
2．(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函 数的是( )
答案 ABC
解析 显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而 A， C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过 2 个单位长度， 图象重复出现．所以 A，B，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．故 选 ABC.
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函数y f (x)的图像关于点 (0,0)对称.
2、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 0 函数y f (x)的图像关于点(a b ,0)对称. 2
3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) c 函数y f (x)的图像关于点( a b , c )对称. 22
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考点二 函数的周期性及其应用
【训练 2】 (1)(2018·南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝
x(1＋x)，则 f－92＝(
) A.－34 B.－14
解析 当 x>12时，由 f(x＋12)＝f(x－12)，
13 C.4 D.4
∴f－92＝－f92＝－f12，
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一、函数的对称性 轴对称
1、函数y f (x)满足f (x) f (x)
函数y f (x)的图像关于直线 x 0对称.
2、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 函数y f (x)的图像关于直线x a b 对称. 2
二、函数的对称性中心对称
1、函数y f (x)满足f (x) f (x) 0
解析 (1)∵f(x)满足 f(x＋5)＝f(x)，
∴f(x)是周期为 5 的函数，
∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)，
∵f(x)是奇函数，且当 x∈0，25时，f(x)＝x3－3x， ∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，故 f(2 018)＝－2.
函数补充部分
终边相同的角的集合
{ | k 2 , k z}
终边相同 点的坐标相同
同一函数值相等
公式一：
sin(α k 2π) sin α cos(α k 2π) cosα tan(α k 2π) tan α
(k z)
1.函数的周期性 周期函数：当x取定义域内的任何值时，都 有f(x＋T)＝_f_(x_)，那么就称函数y＝f(x)为周 期函数，称T为这个函数的一个周期．最小 正周期：
练习
1.已知函数 y f (x)是定义在R上的偶函数，且满
足 f (x 2) f (x) , 当 0 x 1 时，f (x) 2x 1 ，
则 f (15.5） ———。
2.已知定义域为R的偶函数f(x)满足 f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =__________.
答案 (1)D
7
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2.周期性变形
(1)周期函数：T=2a
f
x
f
x
a,
f
x
f
1
x
a,
f
x
f
013·阜阳月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数 x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时， f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)．
又 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x)， 故 f－92＝－f12＝－121＋12＝－34.
答案 (1)A
6
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考点三 函数性质的综合运用(多维探究)
角度 2 函数的奇偶性与周期性 【例 3－2】 (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋5)＝f(x)，且当 x∈0，52 时，f(x)＝x3－3x，则 f(2 018)＝( ) A.2 B.－18 C.18 D.－2
2、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 0 函数y f (x)的图像关于点(a b ,0)对称. 2
3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) c 函数y f (x)的图像关于点( a b , c )对称. 22
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考点二 函数的周期性及其应用
【训练 2】 (1)(2018·南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝
x(1＋x)，则 f－92＝(
) A.－34 B.－14
解析 当 x>12时，由 f(x＋12)＝f(x－12)，
13 C.4 D.4
∴f－92＝－f92＝－f12，
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一、函数的对称性 轴对称
1、函数y f (x)满足f (x) f (x)
函数y f (x)的图像关于直线 x 0对称.
2、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 函数y f (x)的图像关于直线x a b 对称. 2
二、函数的对称性中心对称
1、函数y f (x)满足f (x) f (x) 0
解析 (1)∵f(x)满足 f(x＋5)＝f(x)，
∴f(x)是周期为 5 的函数，
∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)，
∵f(x)是奇函数，且当 x∈0，25时，f(x)＝x3－3x， ∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2，故 f(2 018)＝－2.
函数补充部分
终边相同的角的集合
{ | k 2 , k z}
终边相同 点的坐标相同
同一函数值相等
公式一：
sin(α k 2π) sin α cos(α k 2π) cosα tan(α k 2π) tan α
(k z)
1.函数的周期性 周期函数：当x取定义域内的任何值时，都 有f(x＋T)＝_f_(x_)，那么就称函数y＝f(x)为周 期函数，称T为这个函数的一个周期．最小 正周期：
练习
1.已知函数 y f (x)是定义在R上的偶函数，且满
足 f (x 2) f (x) , 当 0 x 1 时，f (x) 2x 1 ，
则 f (15.5） ———。
2.已知定义域为R的偶函数f(x)满足 f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =__________.
答案 (1)D
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2.周期性变形
(1)周期函数：T=2a
f
x
f
x
a,
f
x
f
1
x
a,
f
x
f
013·阜阳月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数 x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时， f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)．
又 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x)， 故 f－92＝－f12＝－121＋12＝－34.
答案 (1)A
6
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考点三 函数性质的综合运用(多维探究)
角度 2 函数的奇偶性与周期性 【例 3－2】 (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋5)＝f(x)，且当 x∈0，52 时，f(x)＝x3－3x，则 f(2 018)＝( ) A.2 B.－18 C.18 D.－2