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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数f (x )＝x －4
x 的零点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
解析： 令f (x )＝0，即x －4
x ＝0.
∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C.
答案： C
2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是(
) A ．－1 B ．1
C ．－2
D ．2
解析： 由根与系数的关系得
－3＋x ＝－2a
a ，∴x ＝1.
即另一个零点是1，故选B.
答案： B
3．设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫1
2x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析： 方法一：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫1
2x －2，
则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫1
2－2＝－4<0，
f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫1
2－2＝－1<0，
f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫1
20＝7>0，
f (3)＝27－⎝⎛⎭⎫1
21＝261
2>0，
f (4)＝43－⎝⎛⎭⎫1
22＝633
4>0，
∴f (1)·f (2)<0，
故x 0所在的区间是(1,2)．
方法二：数形结合法，如图所示．
答案： B
4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋1
1－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则(
) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0
C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0
D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0
解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数
y ＝1
1－x 在(1，＋∞)上是增函数
∴f (x )＝2x ＋1
1－x 在(1，＋∞)上是增函数．
∴y ＝f (x )只有x 0一个零点
∴x 1 x 2>x 0时，f (x 2)>0.故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________． 解析： x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0 解得x ＝－3 x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增 f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0 故在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 答案： 2 6．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________． 解析：∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称， ∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0. ∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1， ∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0. ∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0. ∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6. 答案：－6 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数． 解析：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(2)＝4＋lg 3－2>0， ∴f(x)在(0,2)上必定存在零点， 又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点． 方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图． 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点． 8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围． 解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1 ∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0 ∴12 . 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c . (1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点； (2)设x 1，x 2∈R ，x 1 [f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)． 解析： (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0. ∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根， ∴f (x )必有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12 [f (x 1)＋f (x 2)]，则 g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12 [f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12 [f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14 [f (x 1)－f (x 2)]2， 且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)g (x 2)<0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．
