第6讲(1) 多项式计算

第06讲：整式的加减一、整式的加减运算法则一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．注意：(1)整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．(2)两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．题型一、整式的加减运算例1.下列运算正确的是()A.x2+x2=x4B.4x+x-3y=3x+3yC.x2y-2x2y=-x2yD.2x+2=2x+2【答案】【答案】C【分析】利用整式的运算法则进行分别计算即可.【详解】解：A x2+x2=2x2故此项错误；B4x+(x-3y)=5x-3y故此项错误；C此项正确；D2(x+2)=2x+4故此项错误.故选C例2.化简7(x+y)-5(x+y)的结果是( )A.2x+2yB.2x+yC.x+2yD.2x-2y【答案】【答案】A【分析】原式去括号合并即可得到结果．【详解】解：原式=7x+7y-5x-5y=2x+2y，故选A．例3.减去2x等于x2+3x-6的多项式是()．A.x2+5x-6B.x2-5x-6C.x2+x-6D.x2-x-6【答案】【答案】A【分析】由减法的意义可得被减数等于差加上减数，列式计算即可得到答案.【详解】解：减去2x等于x2+3x-6的多项式是x2+3x-6+2x=x2+5x-6.故选：A.例4.若A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，则A+B一定是()A.三次多项式B.四次多项式C.七次多项式D.四次七项式【答案】【答案】B【分析】由A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，可得A,B的最高次项一定不是同类项，不能合并，合并后至少保留两个最高次项，从而可得答案.【详解】解：∵A是一个三次四项式，B是一个四次三项式，∴A,B的最高次项一定不是同类项，不能合并，合并后至少保留两个最高次项，所以A+B一定是四次多项式，故选：B.例5.已知a+b=7，ab=10，则代数式(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)的值为()A.49B.59C.77D.139【答案】【答案】B【分析】首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用(a+b)与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．【详解】解：∵(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)=5ab+4a+7b+3a-4ab=ab+7a+7b=ab+7(a+b)∴当a+b=7，ab=10时原式=10+7×7=59．故选B．例6.一个多项式A与多项式B=2x2-3xy-y2的和是多项式C=x2+xy+y2，则A等于()A.x2-4xy-2y2B.-x2+4xy+2y2C.3x2-2xy-2y2D.3x2-2xy【答案】【答案】B【分析】用多项式C-多项式B即可求出多项式A.【详解】由题意得A=C-B=x2+xy+y2-2x2-3xy-y2=x2+xy+y2-2x2+3xy+y2=-x2+4xy+2y2.故选B.例7.已知a+b=4，c-d=3，则(b+c)-(d-a)的值等()A.1B.-1C.7D.-7【答案】【答案】C【详解】分析:原式去括号整理后，将已知的等式代入计算即可求出值.详解:：∵a+b=4，c-d=3，∴原式=b+c-d+a=(a+b)+(c-d)=3+4=7，故选C.例8.化简：2(x-3)-(-x+4)=____．【答案】【答案】3x-10【解析】先去括号，再合并同类项即可.解：原式=2x-6+x-4=3x-10.故答案为3x-10.例9.一个多项式与2x2-xy+3y2的和是-2xy+x2-y2，则这个多项式是______．【答案】【答案】-x2-xy-4y2【分析】题目给出了多项式的和及一个多项式，要求另一个多项式，只要用和减去这个多项式就可得到正确结果．【详解】解：根据题意，这个多项式是，-2xy+x2-y2-(2x2-xy+3y2)，=-2xy+x2-y2-2x2+xy-3y2=-x2-xy-4y2．故答案为-x2-xy-4y2．例10.7a -3b +2与10a +2b -4的和是_____________．【答案】【答案】17a -b -2【分析】直接把两个代数式相加，合并同类项即可得到答案.【详解】解：7a -3b +2+10a +2b -4=17a -b -2. 故答案为：17a -b -2.例11.计算：(1)2(4x -0.5)；(2)-31-16x；(3)-x +(2x -2)-(3x +5)；(4)3a 2+a 2-2a 2-2a +3a -a 2 ．【答案】【答案】(1)8x -1；(2)12x -3；(3)-2x -7；(4)a 2+5a ．【详解】解：(1)2(4x -0.5)=8x -1；(2)-31-16x =12x -3；(3)-x +(2x -2)-(3x +5)=-x +2x -2-3x -5=-2x -7;(4)3a 2+a 2-2a 2-2a +3a -a 2=3a 2+a 2-2a 2+2a +3a -a 2=a 2+5a ．　例12.化简：(1)4x 2+5y -22x 2-3y ；(2)3(2y -2z )-12x -4y -6z+13x ；(3)12x -[2x +(6x -5)-3]+2；(4)-(3x -2y +z )+7-[5x -(x -2y +z )-3]．【答案】【答案】(1)26y ；(2)10y -16x ；(3)4x +10；(4)-7x +10【分析】先去括号，再合并同类项化简求解即可．【详解】解：(1)原式=4x 2+20y -4x 2+6y =26y ；(2)原式=6y -6z -12x +4y +6z +13x =10y -16x ；(3)原式=12x -2x -6x +5+3+2=4x +10；(4)原式=-3x +2y -z +7-5x +x -2y +z +3=-7x +10；例13.先化简下式，再求值-x 2+5+4x +5x -4+2x 2 ，其中x =-2【答案】【答案】x 2+9x +1，-13．【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入x =-2计算解题．【详解】解：原式=-x 2+5+4x +5x -4+2x 2 =-x 2+5+4x +5x -4+2x 2=x 2+9x +1当x =-2时，原式=x 2+9x +1=(-2)2+9×(-2)+1=-13．例14.先化简，再求值：12x -2x -13y 2 +-32x +13y 2 ，其中x =-2，y =23．【答案】【答案】-3x +y 2，589．【分析】先根据整式的加减运算法则把原式化简，再把x =-2，y =23代入求值．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．【详解】解：原式=12x -2x +23y 2-32x +13y 2=-3x +y 2当x =-2，y =23时，原式=-3×-2 +23 2=6+49=589.题型二、应用例15.一个长方形的面积为4a2-2ab，且一边长为2a，则该长方形的周长为()．A.2a-bB.4a-bC.4a2-2abD.8a-2b【答案】【答案】D【分析】根据多项式除以单项式求得另一边，进而求得长方形的周长．【详解】解：∵一个长方形的面积为4a2-2ab，且一边长为2a，∴该长方形另一边的长为：4a2-2ab÷2a=2a-b，∴长方形的周长为：22a+2a-b=8a-2b，故选D例16.已知a2-ab=3,ab-b2=-2，则式子a2-2ab+b2的值为()A.5B.-5C.1D.-1【答案】【答案】A【分析】根据a2-ab=3,ab-b2=-2，将所求式子变形，即可得到所求式子的值．【详解】解：a2-2ab+b2，=(a2-ab)-(ab-b2)=3-(-2)=3+2=5，故选：A．例17.如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a2+b2=300，ab=12，则阴影部分的面积为______．【答案】【答案】144【分析】由图形可得，阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，即可求解．【详解】解：由图形可得，阴影部分的面积等于整个图形面积减去空白部分的面积，∵a2+b2=300，ab=12，∴S阴影=a2+b2-12a×a-12(a+b)b=12(a2+b2)-12ab=12×300-12×12=144故答案为：144．例18.甲、乙两艘轮船分别从A、B两地出发，相向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都为40km/h，水速为v km/h，3h后两船相遇，则甲船速度为__________km/h，乙船速度为_______km/h，A、B两地相距_______km，乙船比甲船少行驶______km．【答案】【答案】(40+v)(40-v)2406v【分析】根据“甲船顺水，乙船逆水，静水速度都为40km/h，水速为v km/h，”可得甲船速度为(40+v)km/h，乙船速度为(40-v)km/h；然后根据A、B两地相距等于两船行驶的路程之和，可得A、B两地相距；最后用甲船行驶的路程减去乙船行驶的路程可得到乙船比甲船少行驶的路程．【详解】解：∵甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都为40km/h，水速为v km/h，∴甲船顺水速度为(40+v)km/h，乙船逆水速度为(40-v)km/h；∴A、B两地相距340+v+340-v=120+3v+120-3v=240km/h；∴乙船比甲船少行驶340+v-340-v=120+3v-120+3v=6v km．故答案为：(40+v)；(40-v)；240；6v．例19.一个三位数的十位为m ，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为________．【答案】【答案】313m -98【分析】根据题意先表示个位数为：3m +2,再表示百位数为：3m -1,从而可得答案.【详解】解：∵一个三位数的十位为m ，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，∴个位数为：3m +2, 百位数为：3m +2-3=3m -1, 所以这个三位数为：1003m -1 +10m +3m +2=313m -98. 故答案为：313m -98例20.已知A =2x 2-3xy +2x -5，B =-3x 2+xy +7，且3A +2B 的值与x 无关，求y 的值．【答案】【答案】67【分析】先去括号，再合并同类项求解3A +2B ，再根据3A +2B 的值与x 无关，可得-7y +6=0,从而可得答案.【详解】解：3A +2B =32x 2-3xy +2x -5 +2-3x 2+xy +7 =6x 2-9xy +6x -15-6x 2+2xy +14=-7xy +6x -1=-7y +6 x -1∵3A +2B 的值与x 无关，∴-7y +6=0,∴y =67.例21.(1)列式表示比a 的5倍大4的数与比a 的2倍小3的数，计算这两个数的和；(2)列式表示比x 的7倍大3的数与比x 的6倍小5的数，计算这两个数的差．【答案】【答案】(1)5a +4,2a -3,7a +1；(2)7x +3,6x -5,x +8【分析】先根据题意列出代数式，再进行整式的加减运算，即可求解．【详解】解：(1)比a 的5倍大4的数是5a +4，比a 的2倍小3的数是2a -3，这两个数的和为5a +4 +2a -3 =5a +4+2a -3=7a +1；(2)比x 的7倍大3的数是7x +3，比x 的6倍小5的数是6x -5，这两个数的和为7x +3 -6x -5 =7x +3-6x +5=x +8．例22.如图，大圆的半径是R ，小圆的面积是大圆面积的49，求阴影部分的面积．【答案】【答案】59πR 2．【分析】大圆的面积为πR 2，小圆的面积为49πR 2，根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆的面积，两式相减即可得到阴影部分的面积．【详解】∵大圆的半径是R ，小圆的面积是大圆面积的49，∴大圆的面积为πR 2，小圆的面积为49πR 2，∴阴影部分的面积=πR 2-49πR 2=59πR 2．例23.已知三角形的第一条边长为4a +3b ，第二条边比第一条边长a -2b ，第三条边比第二条边短a -b ．(1)求第二条边长；(2)求这个三角形的周长．【答案】【答案】(1)5a +b ；(2)13a +6b【分析】(1)用第一条边长加上(a -2b )列出算式，去括号、合并同类项即可得；(2)将三角形三边长度相加列出算式，然后去括号、合并同类项即可得．【详解】解：(1)4a +3b +(a -2b )，=5a +b ；(2)周长为：4a +3b +5a +b +(5a +b )-(a -b )，=4a +3b +5a +b +5a +b -a +b ，=13a +6b ．1.一个多项式减去x 2-2y 2等于x 2+y 2，则这个多项式是( )A.-2x 2+y 2 B.2x 2-y 2C.x 2-2y 2D.-x 2+2y 2【答案】【答案】B【分析】根据：被减式=减式+差，列式计算即可得出答案．【详解】解：这个多项式为：x 2-2y 2+(x 2+y 2)=(1+1)x 2+(-2+1)y 2，=2x 2-y 2，故选B ．2.已知a -b =-3,c +d =2，则(a +c )-(b -d )的值是()A.-1B.-5C.5D.1【答案】【答案】A【分析】先去括号，然后利用加法结合律进行组合，再把值代入计算即可．【详解】解：∵a -b =-3,c +d =2，∴(a +c )-(b -d )=a +c -b +d =a -b +(c +d )=-3+2=-1．故选：A ．3.已知长方形的周长是4a +2b ，一边长为2a -b ，则另一边长为()．A.2a +3bB.2aC.2bD.2a -b【答案】【答案】C【详解】解：4a +2b -(2a -b )×22=4a +2b -4a +2b 2=4b2，=2b ．故选C .4.两个单项式34a 5b 2m与-a n b 6的和是一个单项式，那么m +n =___【答案】【答案】8【分析】根据同类项的定义列出方程, 求出n ,m 的值, 再代入代数式计算.【详解】解:由题意得：34a 5b 2m 与-a n b 6是同类项,得2m =6,m =3;n =5，∴m +n =8,故答案为8.5.若整式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)的值与x的取值无关，则a的值是________．【答案】【答案】1【分析】把多项式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)化简整理成(6-6a)x+8的形式，再根据其值与x无关，可得关于a的方程，解方程即可．【详解】原式=8x2-6ax+14-8x2+6x-6=(6-6a)x+8，∵整式(8x2-6ax+14)-(8x2-6x+6)的值与x无关，∴6-6a=0，解得：a=1，故答案是：1．6.计算：(1)2x-10.3x；(2)3x-x-5x；(3)-b+0.6b-2.6b(4)m-n2+m-n2．【答案】【答案】(1)-8.3x；(2)-3x；(3)-3b；(4)2m-2n2．【详解】解：(1)2x-10.3x=(2-10.3)x=-8.3x；(2)3x-x-5x=(3-1-5)x=-3x；(3)-b+0.6b-2.6b=(-1+0.6-2.6)b=-3b；(4)m-n2+m-n2=(m+m)+(-n2-n2)=2m-2n2．7.计算：(1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)(2)8xy-x2+y2-x2-y2+8xy；(3)2x2-12+3x-4x-x2+12；(4)3x2-7x-(4x-3)-2x2．【答案】【答案】(1)-a+4b+9c；(2)-2x2+2y2，(3)6x2-x-52；(4)5x2-3x-3．【详解】解：(1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)=5a+4c+7b+5c-3b-6a=-a+4b+9c；(2)8xy-x2+y2-x2-y2+8xy=8xy-x2+y2-x2+y2-8xy=-2x2+2y2；(3)2x2-12+3x-4x-x2+12=2x2-12+3x-4x-4x2+2=2x2-12+3x-4x+4x2-2=6x2-x-52；(4)3x2-7x-(4x-3)-2x2=3x2-7x-4x+3-2x2=3x2-7x+4x-3+2x2=5x2-3x-3．8.先化简再求值：-2(3a2-ab+2)-(5ab-6a2)+4，其中a=2，b=-1．【答案】【答案】6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：当a=2，b=-1时，原式=-6a2+2ab-4-5ab+6a2+4=-3ab=69.已知一个三角形的第一条边长为3a +b ，第二条边比第一条边短a -2b ，第三条边比第二条边长2a +b ．(1)则第二边的边长为________，第三条的边长为________．(2)用含a ，b 的式子表示这个三角形的周长，并化简．(3)若a ，b 满足a -8 +b -7 2=0，求这个三角形的周长．【答案】【答案】(1)2a +3b ，4a +4b ；(2)9a +8b ；(3)128【详解】解：(1)第二条边为(3a +b )-(a -2b )=3a +b -a +2b =2a +3b ，第三条边为：(2a +3b )+(2a +b )=2a +3b +2a +b =4a +4b ，故答案为：2a +3b ，4a +4b ；(2)该三角形的周长为：(3a +b )+(2a +3b )+(4a +4b )=3a +b +2a +3b +4a +4b =9a +8b ；(3)∵a -8 +b -7 2=0，且a -8 ≥0，b -7 2≥0，∴a -8=0，b -7=0，∴a =8，b =7，∴该三角形的周长为：9×8+8×7=128．10.两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，甲船在静水中的速度是a km /h ，乙船在静水中的速度是b km /h ，水流速度是c km /h ．甲船航行3h 后到达A 港口，乙船航行4个小时到达B 港口．(1)2h 后甲船比乙船多航行多少千米？(2)求A ，B 两个港口之间的航程．【答案】【答案】(1)(2a -2b +4c )千米；(2)(3a +4b -c )千米【分析】(1)根据题意求得甲乙两船的速度，顺水航行时，船速等于船再静水中的速度加上水流速度；逆水航行时船速等于船再静水中的速度减去水流速度，根据速度×时间=路程，即可求得；(2)根据两船的航程和即为A ，B 两个港口之间的航程．【详解】(1)根据题意，甲船的速度为(a +c )km /h ，乙船的速度为(b -c )km /h ，2小时后，甲的路程为：2(a +c )，乙的路程为：2(b -c )，2(a +c )-2(b -c )=2a +2c -2b +2c =2a -2b +4c (千米)．答：2h 后甲船比乙船多航行(2a -2b +4c )千米，(2)依题意，甲的路程为：3(a +c )，乙的路程为：4(b -c )，A ,B 两港口之间的航程为：3(a +c )+4(b -c )=3a +3c +4b -4c =3a +4b -c ，答：A ,B 两港口之间的航程为(3a +4b -c )千米．11.一个两位数，个位上的数是 x，十位上的数比个位上的数大3．(1)写出表示这个两位数的代数式．(2)若把个位上的数与十位上的数对调，求新数比原数少多少？【答案】【答案】(1)11x+30；(2) 27【分析】(1)根据已知用十位上的数乘以10加上个位数即为这个两位数；(2)相同的方法表示出新的两位数再用原来的两位数减去新的两位数即为所求．【详解】解：(1)∵个位上的数是x，十位上的数比个位上的数大3，即十位上的数为x+3，则这个两位数为：10x+3+x=10x+30+x=11x+30；(2)根据题意，新数的个位是x+3，十位是x，则新数为10x+x+3=11x+3，所以11x+30-11x+3=11x+30-11x-3=27，答：新数比原数少27．12.“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分)，设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．(1)用式子表示“囧”的面积S；(用含a、x、y的式子表示)(2)当a=20，x=5，y=4时，求S的值．【答案】(1)S=a2-2xy；(2)360．【答案】【分析】(1)根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；(2)把x、y的值代入代数式进行计算即可得解．【详解】(1)S=a2-1xy×2-xy，=a2-2xy；2(2)当a=20，x=5，y=4时，S=a2-2xy=202-2×5×4，=400-40=360．。

第6讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式．2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数. 把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大） 的顺序排列叫做降（或升）幂排列法．整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。

3. 灵活地去（添）括号括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉 （或添上）“-”号，括号里各项都变号，若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以 从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果 的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例1 (1997年北京市初二数学竞赛试题)同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个解：设满足条件的单项式为p n m c b a 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7．指数m ，n ，p 只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以满足条件的单项式有;,,;,,334242555c b a bc a c ab bc a c ab abc ;,,244224c b a c b a c ab .,,;,,223232322333333c b a c b a c b a c b a bc a c ab 总计有15个．故选（D ）例2．（1993年第4届“希望杯”邀请赛试题）在多项式42123431993---++m n n m n m n m y x v u y x v u （其中m ，n 为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n=解 若n m v u 1993与n m v u 23是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。

第六周 无理数与实数，二次根式的意义及乘除计算本节目标：1、 明确二次根式具有双非负性。

2、 会逆用公式(•、a)2= a (a _ 0)将多项式在实数范围内进行因式分解。

—2.. i a (a _0)3、 弄懂二次根式的性质： .a = a =(av0)4、 能熟练进行二次根式乘除法、加减法计算。

5、 会进行代入求值的计算。

6、 二次根式的概念及性质 实数部分知识点：1、 实数和数轴上的点是 对应的，数轴上每一个点都表示唯 个实数。

2、 实数集的分类还可以这样分:正分数 i 负分数3、比较有理数的大小(1 )利用数轴，右边 > 左边(2) 正实数 >负实数，两个负数比较，绝对值大的反而小。

(3) 两个无理数比较大小，通常先求出近似值，再比较大小。

(4) 其他常用方法：作差法、作商法、平方法板块一：无理数与实数【例1】-,0,0.5,―工，—2 ,，6,0.1010010001……，-，这些数中，有理数有 ______________________3 7____________________ ，无理数有 _______________________________________________ 。

【例2】求下列各式中的x(1) x =j 2 (2)X —1=2 (3) 2x+5=7【例4】求满足下列等式的字母的取值范围有理数 实数*无理数正有理数*0 负有理数 正无理数 负无理数，有限小数或无限循环小》无限不循环小数有理数、负整数 无理数」'正无理数负无理数(1) x =x(2) x = —x (3) 2a —73=石―2a【例5】比较大小(1) 3-3与.、2 ( 2) 一-10 与一二(3) 2.3 与3...2 (4) ..、6 •2与..3 • ... 5 (平方法)(5) ..2-a与32a-5 (正负法) (6) 2^- 7与、一7 -3 (作差法)(7) 3 3与•、2 (根指数统一)【例6】,5的整数部分是 ________ ，小数部分是___________ 。

第2讲整式与分式考点1整式的有关概念(1)单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式(单独一个数或理也是单项式). 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：儿个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项•(3)整式：单项式与多项式统称为整式.(4)同类项在一个多项式中，所倉字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.注意:在合并同类项时，把同类项的系数相加•字母和字母的指数保持不变，切记非同类项不能合并.考点2幕的性质及运算⑴幕:求相同因数积的运算叫乘方，乘方的结果叫幕，一般表示为:小(a工0,n为正整数), 其中a叫底数，n叫指数•(2)幕的主要运算性质①。

加刃=肝+珥尬、n为正整数,a工0).②@皿)"=小"(机、n为正整数卫H 0).③(a - b)m = • bm(a H Opb H (Xm为正整数).④flE 十 = -“(m、为正整数，且m > n,G 0).⑤a一P = 7 V a H 0,F为常数)⑥a。

= l(a 主 0).考点3整式的运算(1)整式的加减：实际就是去括号，合并同类项•(2)整式的乘法①单项式乘以单项式：系数相乘得积的系数；同底数的幕柑乘作为积的因式，只在一个单项式中出现的字母连同它的指数，作为积的一个因式.②m(a + b) = ma + mb ③(a + b)(c + d) = ac + ad + be + bd.④(a + b)(a— b)=卫―方2； @ + 方严=a^+2ab +，；(a— b)2 = a^—2ab + b^.(3)整式的除法①单项式除以单项式：把系数.相同字母分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里會有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 考点4因式分解(1)因式分解把一个多项式化成儿个整式的积的形式.(2)因式分解的方法①提取公因式法！am + bm + cm = m(a + b + c)・②运用公式法：平方差公式：a^-b^ = (a + Z?)(a-d).完全平方公式：± 2ab+ b2 = (a±b)2・考点5分式及其基本性质(1)分式：整式A除以整式B,可以表示成£形式，如果除式B中含有字母，那么称£为分DD 式，若BHO,则春有意义：若B = O,则令无意义；若力=0且B H O,贝|£=0.(2)分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变・考点6分式的运算(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，将这种变形称为分式的约分.(2)通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，将这一过程称为分式的通分.(3)分式的加减法①同分母的分式相加减：分母不变・把分子相加减.②异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减.⑷談5) 5为正整数).⑹加汁普=譽经典例题例1 (2010,陕西)计算(-2a2).3a的结果是(A -6启C. 12a^D. 6a^【变式训练】1.(2010,泰州)下列运算正确的是()A.a? • / = (―= —a^C. (ab)? = ab^D.a^一 / =淤例2(2010.陕西)化简.-——+¥?•n-n m+n【变式训练】2.（2010. II 照）化简，求值:总茁十吉其中尤=近一九 例 3 （2010,宿迁）若 2a -b = 2,则 6 + Qa-4b =. 【变式训练】3.己知10加=2, 12 = 3,则103m+2” _ 4. （2010,苏州） 先化简，再求值;2a （a+ b ）- （a +b ）2,其中a = 75,力=屈例4 （2010,潍坊） 分解因式xy2 - 2xy + 2y - 4 =.（2010,济宁）把代数式3x^-6x^y + 3xy^分解因式，结果正确的是（）【变式训练】5. A x （3x + y ）（X - 3y ）B.3x （x^—2xy + y^C.x （3x — 7）^0.3x （x 一 y ）?赢考训练 1.（2010.盐城）20100 的值是（）A. 2010B.OC. 1 D ・一 2. （2010,南京）c?./的结果是（）A.a°B. a7c./D . a 丄23. （2010,宁波）下列运算正确的是（）A X • （xy ）2 = xy2C. （/）3 = x^D.x^+x^ = r4. （2010.安徽）计算（2x ）3-X 的结果正确的是（）A 8仙.6x2 c. 8x3 D 6*35.（2010,金华）如果a — 3b = —3那么代数式5 - a + 3b 的值是（）A, 0 B. 2C.5D ・ 86. （2010,嘉兴）若分式斗 的值为0,则（ 2x + l1 1A X = —2B ・ x = —— C.x = — D. x = 22 27. （2010,广州）因式分解,3a/?2+a2b=.8. 2010.杭州）分解因式m3 - 4m =. 9.（2010,淮安）当兀=时，分式2无意义•X —310. （2010,益阳）己知x-l = >/〒时，求a+ 1）2-4（%+ 1） + 4的值.11.（2010.宁波）先化简，再求值：芳吕+其中a = 3.备考精练1.（2010,宿迁）下列运算中，正确的是（）A 5m —2m = 3B. (m + n)^ = + n^C.^ = — D.m^ •= (mn)2n2.(2010,眉山)把代数式mx^ — 6mx + 9?n分解因式，下列结果中正确的是() A m(x +3)^6. m{x + 3)(x — 3)C.zn(x — 4)5. m(x — 3)?3.化简(—2)+4的结果是()A.—a — IB. —a + IC. —ab + ID. —ab + b4.(2010.威海)计算10 _ (^2009 x(-2)2010的结果是()A. -2B. -1C. 2D. 35.（2010,益阳）若m2—R2 = 6,且m — n = 3,则m + n =•6.（2010,顺义）若Im — n| + （zn +n）= 0,则m"值是.7.（2010,温州）当;t=时，分式今的值等于2.X-18.（2010,沛南）先化简，再求值：（1-»匸誓［其中兀=2.X2-1好题荟萃1.下列运算正确的是（）A. (m — 71)2 = n^B.m~^ =占(m H 0)C • n? = (mn)'*D. (nP)* =2.给出三个单项式：a\ bJ 2ab.（1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解; ⑵当a = 2011,/? = 2010时，求代数式以+以一2必的值.3.己知A =占,B = ^,C =為将他们组合成（力- B）十C或A — B十C的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值，其中x = 3.4. （2010,玉溪）先化简（茫—a + 再从1, -1和返中任选一个你认为合适的数作为a的值代人求值.。

第六讲：整式乘除一：知识点精析：1、整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式2、乘法公式：①平方差：()()22b a b a b a -=+-；②完全平方公式：()2222b ab a b a ++=+、()2222b ab a b a +-=-；③立方和立方差公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+、 ()()2233b ab a b a b a ++-=-；④()3333333b ab b a a b a +++=+； ⑤()ac bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 3、整式除法4、幂的运算法则：（1）n m n m a a a +=；（2）()m m m b a ab =；（3）()mn n m a a =；（4）n m n m a a a -=÷；（5）m m m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 经典例题：1、计算：（1）()3523352yz x y x -- （2）()3322322412⎪⎭⎫ ⎝⎛--bc a c b a （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-4343322141c b a bc a 2、计算（1）()()b a b a 532-+（2）()2223328816y x z y x z y x ÷+3、先化简，再求值：()()525222----+-x x x x ，其中1-=x4、若()y x by axy x y x 21812233+=++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+，那么________________,==b a 5、已知132122+-++x x bx ax 与的积中不含x x 与3的项，求b a 、的值6、已知0132=+-x x ，求下列代数式的值：（1）221x x +；（2）331x x + 7、已知d c b a 、、、都是正整数，并且9,,2345=-==a c d c b a ，则d b -的值___能力提升：1、已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 2、若099052=-+x x ，则1012985623+-+x x x 的值是______3、①把()621+-x x 展开后的012211111212a x a x a x a x a +++++Λ，则024681012a a a a a a a ++++++=________②已知()()()()()8822103222271+++++++=-+x a x a x a a x x Λ，则=+-+-+-7654321a a a a a a a ________4、已知()()B y x A y x y x y xy x +++-=-----267222，求B A 、的值5、是否存在常数q p 、使得q px x ++24能被522++x x 整除？若存在，求出q p 、的值6、是否存在c b a 、、，满足2151691089=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛cb a ？若存在，求出c b a 、、的值 A 层次1、多项式875223-+-x x x 与多项式112++bx ax 的乘积中，没有含有4x 的项，也没有含有3x 的项，则=+b a 2__________2、若多项式7432+-x x 表示成()()c x b x a ++++112的形式，则=a _________ 3、如果多项式()()12-+-x a x 能够写成两个多项式()()b x x ++和3的乘积，那么=a _____;=b _____4、已知20122011321a a a a a 、、、Λ均为正数，又()()2012322011321a a a a a a a M +++++++=ΛΛ，()()2011322012321a a a a a a a N +++++++=ΛΛ,那么与N M 与的大小关系为______5、若133=-x x ，则200973129234+--+x x x x 的值为________B 层次6、已知51=+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+442211x x x x 的值 7、已知785432===c b a 、、，求b c a 28-+8、求证：三个连续奇数的平方和加1能倍12整除，但不能24整除9、数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数10、若()0122334455512a a x a x a x a x a x +++++=-，则=+24a a ________ C 层次11、当1=-y x 时，试求42233433y xy y x y x xy x ++---的值12、已知105252==d c b a ，求证：()()()()1111--=--c b d a13、已知z y x 、、为非零整数，0=++zx yz xy ，c b a 、、是不等于1的正数，且满足z y x c b a ==，求证：1=abc。

第6讲代数式及其计算代数式、单项式与多项式知识点1、字母表示数字母能表示什么：运算律、数量关系、公式法那么、探索与表达规律。

知识点2、代数式代数式：用运算符号把数和字母连接而成的式子，单独的一个数和字母也是代数式。

在代数式中出现的乘号，通常简写成“•〞或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．代数式中不能含有=、>、<、≠等符号。

知识点3 单项式、多项式1.单项式：由数和字母的乘积构成的代数式，单独的一个数和字母也是单项式。

〔1〕单项式的系数：单项式中的数字因数〔2〕单项式的次数：所有字母的指数和2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，称为“几次〔多项式的次数〕几项〔多项式的项数〕式〞。

〔1〕多项式的项：每个单项式都叫做多项式的项〔2〕常数项：不含字母的项〔3〕多项式的次数：次数最高的项的次数3.整式：单项式与多项式统称整式一．选择题〔共10小题〕1．以下代数式中书写正确的选项是〔〕A．ab2×4B．xy C．2ab D．6xy2÷32．以下式子中，符合代数式书写格式的是〔〕A．a÷c B．a×5C．D．3．以下各式：①1x；②2•3；③20%x；④a﹣b÷c；⑤；⑥x﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有〔〕A．5个B．4个C．3个D．2个4．某家用电器商城销售一款每台进价为a元的空调，标价比进价提高了30%，因商城销售方向调整，决定打九折降价销售，那么每台空调的实际售价为〔〕元．A．90%〔1+30%〕a B．〔1+30%〕〔1﹣90%〕aC．〔1+30%〕a÷90%D．〔1+30%﹣10%〕a5．一个三位数，百位上的数字为x，十位上的数字比百位上的数字少3，个位上的数字是百位上的数字的2倍，这个三位数用含有x的代数式表示为〔〕A．112x﹣30B．100x﹣30C．112x+30D．102x+306．现在汽车已成为人们出行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如下图．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？以下结论正确的选项是〔〕A．李刚比王勇低元/升B．王勇比李刚低元/升C．王勇比李刚低元/升D．李刚与王勇的平均单价都是元/升7．以下各式﹣mn，m，8，，x2+2x+6，，，中，整式有〔〕A．3个B．4个C．6个D．7个8．在代数式：x2，3ab，x+5，，﹣4，，a2b﹣a中，整式有〔〕A．4个B．5个C．6个D．7个9．单项式的系数和次数分别是〔〕A ．和3B ．和2C ．和4D ．和210．如果单项式3a m b2c是6次单项式，那么m的值是〔〕A．2B．3C．4D．5二．填空题〔共2小题〕11．多项式﹣2x+4xy2﹣5x4﹣1中，次数是，最高的次项是，三次项的系数是，常数项是．12．假设多项式xy|m﹣n|+〔n﹣2〕x2y2+1是关于x，y的三次多项式，其中m＞0，那么mn ＝．三．解答题〔共2小题〕13．假设多项式2x n﹣1﹣〔m﹣1〕x2+ax+bx﹣5是关于x的三次三项式，其中二次项系数为﹣2．〔1〕求a与b之间的关系；〔2〕求的值．14．a、b互为相反数，c、d互为倒数，多项式﹣5x2y m+1+xy2﹣x3+6是六次四项式，单项式x2n y5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求〔a+b〕m+m n﹣〔cd﹣n〕2021的值．知识点4 合并同类项整式的加减定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相等的项叫做同类项。

个性化教学辅导教案学科：数学年级：八年级任课教师：授课时间年月日教学课题因式分解及提公因式法教学目标1.了解因式分解的概念及与整式乘法的关系；2.熟练掌握提公因式法进行因式分解。

教学重难点提公因式法的灵活运用。

教学过程因式分解1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”.3、注意事项：（1）可用整式乘法来检验因式分解的正确性。

（2）分解因式的结果一定是积的形式。

（3）分解因式结果中的每一个因式都必须是整式。

（4）分解因式的对象是多项式。

典型例题：例1、下列由左到右的变形，哪些是分解因式？哪些不是？为什么？（1）()a x y ax ay+=+（2）(2)(3)(3)(2)x x x x-+=+-（3）227(7)ax a a x+=+（4）221()()1x y x y x y--=+--（5）2222x x y y-+-= 22()2()x y x y---例2、如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a b>），剩下部分可拼成一个矩形，分别计算这两个图中阴影部分面积，验证了公式。

例3、求代数式123U U UR R R++的值，其中120R=，230R=，360R=，6U= .针对练习：一、选择题：1、 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的是 （ ）A 、3353()5x y x y +-=+-B 、2(1)(1)1x x x +-=-C 、2111()()()422x x x -=+-D 、()(1)y x y x x+=+2、 下列分解因式正确的是 （ ）A 、32(1)a a a a -+=-+B 、2422(2)a b a b -+=-C 、224(2)a a -=-D 、2221(1)a a a -+=- 3、 在一个边长为17.55cm 的正方形内剪去一个边长为2.45cm 的正方形，则剩下部分的面积是( )A 、 20 2cmB 、 15.1 2cmC 、 302 2cmD 、 300 2cm4、 下列分解因式错误的是 （ ）A 、2116(14)(14)a a a -=+-B 、32(1)x x x x -=-C 、222()()a b c a bc a bc -=+-D 、224220.01(0.1)(0.1)933m n n m m n -=+- 二、 填空题5、 运算3()33a b a b +=+ 是 运算 。

第6讲解方程—去括号（教案）西师大版五年级下册数学教学目标：1. 让学生掌握解方程的基本步骤，理解去括号的方法。

2. 培养学生运用去括号的方法解方程的能力。

3. 培养学生运用数学语言表达解题过程的能力。

教学重点：1. 去括号的方法。

2. 解方程的基本步骤。

教学难点：1. 理解去括号的方法。

2. 运用去括号的方法解方程。

教学准备：1. 教学课件。

2. 教学黑板。

3. 学生练习本。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习解方程的基本步骤。

2. 提问：解方程时，如果方程中有括号，我们应该怎么处理？二、探究去括号的方法（15分钟）1. 出示例题：解方程2(x 3)=8。

2. 引导学生观察方程中的括号，思考如何去掉括号。

3. 讲解去括号的方法：将括号内的数与括号外的数分别相乘，然后将结果相加或相减。

4. 示范去括号的过程，板书计算过程。

5. 学生跟随教师一起练习去括号。

三、巩固练习（15分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。

2. 学生互相交流解题过程，教师点评。

四、总结（5分钟）1. 让学生回顾解方程的基本步骤，强调去括号的重要性。

2. 提醒学生在解方程时要注意细节，避免出错。

教学反思：本节课通过讲解去括号的方法，让学生掌握了解方程的基本步骤。

在教学过程中，要注意引导学生观察方程中的括号，理解去括号的方法。

在巩固练习环节，要让学生独立完成练习题，提高解题能力。

在总结环节，要让学生回顾解方程的基本步骤，加深对去括号方法的理解。

总体来说，本节课教学效果较好，学生能基本掌握解方程的方法。

但在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学效果。

需要重点关注的细节是“去括号的方法”。

这个细节是解方程过程中的关键步骤，学生能否正确理解和运用去括号的方法，直接影响到解方程的准确性。

在解方程时，如果方程中含有括号，我们需要先去掉括号，然后再进行其他运算。

去括号的方法是将括号内的数与括号外的数分别相乘，然后将结果相加或相减。

数学培训小组资料第6讲 从数到式（一）——归纳与推理例1：有一列数123,,,,n a a a a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2007a 为（ ） A ．2007 B ．2C ．12D ．1-分析：对探索性试题，既要大胆猜想，又要小心求证. 当n =1, 2, 3, 4, …时，算出a n 的值，再猜想，求证.解：23451111111,11,12,1.1221222a a a a =-==-=-=-==-=-根据以上计算结果看出，1a 的值与4a 相同，而且每隔3个数重复，故对123,,,,n a a a a 这n 个数，若n 能被3整除，则n a 的值与3a 相同；若n 被3除余数为2，则n a 的值与2a 相同；若n 被3除余数为1，则n a 的值与1a 相同；由于2007能被3整除，故200731a a ==-，故选D.变式题：如图，平面内有公共端点的六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…. （1）“17”在射线_________上；（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律； （3）“2007”在哪条射线上？例2：将图（1）所示的正六边形进行分割得到图（2），再将图（2）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图（3），再将图（3）中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有__________个正六边形.分析：可通过特殊情形推测一般情形.解：当n =1, 2, 3, 4, …时，第n 个图形分割后依音乐会 共有1，4，7，10，…个正六边形，即n 每增加1，分割后共有的正六边形就增加3个，所以第n 个图形中共有13(1)3 2.n n +-=-故填3 2.n -变式题：右图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（n为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数为_______________.例3：已知正方形ABCD 的边长AB=k （k 是正整数），正三角形P AE 的顶点P 在正方形内，顶点E 在边AB 上，且AE =1，将△P AE 在正方形内按右图中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB ，…连接地翻转n 次，使顶点P 第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看做是△P AE 在直线上做连续的翻转运动，下图是当k =1时，△P AE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图，请你探索：若k =1，则△P AE 沿正方形的边连续翻转的次数n =__________时，顶点P 第一次回到原来的起始位置.（2）若k =2时，则n =_____时，顶点P 第一次回到原来的起始位置；若k =3，则n =_______时，顶点P 第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P 第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系.（请用含k的代数式表示n ）分析：（1）通过实验完成；（2）寻求问题的数学模型；（3）不确定可分类讨论.解：由上图知P 点每翻转3次又是朝上，P 在四条边上翻转完才第一次回到起始位置.（1）k =1时，P 点每翻转3次又是朝上，每4次又回到起始位置. 所以，当n 为3，4的最小公倍数（注：通常用[a, b ]表示两个正整数a 和b 的最小公倍数）时，顶点P 第一次回到起始位置，此时n =12. （2）k =2时，P 点仍每翻转3次又是朝上，每428⨯=次又回到起始位置，∴n =[3,8]=24, k =3时，[3,34]12.n =⨯= （3）猜想：使顶点P 第一次回到起始位置，则n =[3, 4k ]. ∴当k 为3的倍数时，n =4k ；当k 不是3的倍数时，n =12k .变式题：如图，依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为1，则第n 个正方形的面积是___________.例4：化简9999991999.n n n ⨯+个个个分析：先考察n =1, 2, 3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.解法1：n =1时，29919811910010⨯+=+==；n =2时，49999199(1001)991999900991991000010,⨯+=-⨯+=-+==猜想：2999999199910.n n n n ⨯+=个个个计算过程类似于n =2，29999991999(101)9991999999000999199910.n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2：n =1时，2991999109(999)1091010101010;⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=n =2时，49999199999910099(999999)1009910010010010010.⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯= 猜想：原式=210.n 验证如下：299999919999999991000999999999999109991010109991010.n n n n n n n n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++=⨯+==个个个个个个个个个个个个反思结论必为一个数的平方形式，不妨设999n a =个，得另一种解法. 解法3：原式=22222(1)21(1)(10)10.n n a a a a a a +++=++=+==1．一组按规律排列的多项式：233547,,,,a b a b a b a b +-+- ，其中第10个式子是（ ） A ．1019a b + B ．1019a b - C ．1017a b - D ．1021a b -2．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷瓷砖，按如图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖________块；第n 个图形中有黑色瓷砖__________块.（用含n 的代数式表示）3．如图，正方形ABCD 边长为1，动点P 从A 点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P 所在位置为__________；当点P 所在位置为D 点时，点P 的运动路程为___________.（用含自然数n 的式子表示） 4．已知22222334422,33,44,33881515+=⨯+=⨯+=⨯ ，若288a ab b+=⨯（a, b 为正整数），则a b +=________.5．观察下面的单项式：234,2,4,8,a a a a -- ，根据你发现的规律，第8个式子是________. 6．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看1本书，租期不超过3天，每天租金a 元；租期超过3天，从第4天开始每天另加收b 元，如果租看1本书7天归还，那么租金为___________元.7．我市某水泥厂以每年年产量增长10%的速度发展，2003年的年产量为a 吨，则2005年的年产量为_________吨. 8．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m 米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 的大小关系是（ ）A ．m>nB ．m<nC ．m=nD ．不能确定9．已知10,01b a -<<<<，那么在代数式22,,,a b a b a b a b -+++中，对任意的a, b 对应的代数式的值最大的是（ ） A ．a+b B ．a b - C ．2a b + D ．2a b +10．将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依此类推，将一根绳子对折n 次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成__________段. 11．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11,112=---的差倒数是11.1(1)2=-- 已知121,3a a =-是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…依此类推，则2009a =_________. 12第_________个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍.13．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有______个.14．设a, b, c 的平均数为M ，a, b 的平均数为N ，又N 、c 的平均数为P ，若a b c >>，则M与P 的大小关系是（ ） A ．M=P B ．M>P C ．M<P D ．不能确定 15．如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C=2BC ，C 1A =2CA ，顺次连结A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连结A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5=____________.16．提出问题：如图（1）所示，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手. （1）当12AP AD =时（如图2）： ∵12AP AD =，△ABP 和△ABD 的高相等，∴1.2ABP ABD S S ∆∆=∵12PD AD AP AD =-=，△CDP 和△CDA 的高相等， ∴12CDP CDA S S ∆∆=，∴1122PBC ABP CDP ABD CDA ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=--四边形四边形11()()22DBC ABC ABCD ABCD ABCD S S S S S ∆∆=----四边形四边形四边形1122DBC ABC S S ∆∆=+（2）当13AP AD =时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系，写出求解过程；（3）当16AP AD =时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为_______________________；（4）一般地，当1AP AD n=（n 表示正整数）时，探求PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系，写出求解过程. 问题解决：当01m m AP AD n n ⎛⎫=⎪⎝⎭≤≤时，PBC S ∆与ABC S ∆和DBC S ∆之间的关系式为__________.。

因式分解（一）内容分析本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．知识结构模块一：提取公因式法知识精讲1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式整式的积（积的形式）整式乘法2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab 中，6 、a 、b 就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式ma +mb- mc中都含有因式m ，则m 就是这个多项式的公因式．3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1 ）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—” 号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】 填空：（1）单项式12a 2b 2c ，- 8a 2b 3 ，4a 3b 2c 2 应提取的公因式是；（2）多项式2a 2b - 6ab 2c 应提取的公因式是；（3） 9(b - a )2(x - y ) - 21(a - b )2 ( y - x ) 应提取的公因式是 ；（4）多项式4a 3b - 8a 2b 2 +12ab 3 提取公因式后，另一个因式是 ； （5）多项式-9x 2 - 6xy + 3x 提取公因式后，另一个因式是；（6） 4x (x - y ) - 3( y - x )2 提取公因式(x - y )后，另一个因式是 ．【难度】★【答案】（1） 4a 2b 2 ； （2） 2ab ；（3） 3(a - b )2 (x - y ) ；（4） a 2 - 2ab + 3b 2 ； （5） 3x + 2y -1 ； （6） x + 3y ．【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“ + ”号或“－”号，使等式成立．（1） (a - b )2= (b - a )2 ；（2） (a - b )3= (b - a )3 ； （3） (-a - b )2 =(a + b )2 ；（4） (-a - b )3=(a + b )3 ；（5） (a -1)2 (2 - b )3 =(1- a )2 (b - 2)3 ；（6） (1- x )(2 - x ) = (x -1)(x - 2) ．【难度】★【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+． 【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析2【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（A .1+ 2x + 3x 2 = 1+ x (2 + 3x )B . 24 = 2⨯ 2⨯ 2⨯8C . xy -1 = xy (1 - 1)xyD . 1 4 a 2 - 3a + 9 = ⎛ 1 ⎝⎫2a - 3⎪⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式；B 选项左侧不是多项式；C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式a 2n - a 2 (n ≥ 1) 提取公因式后，另一个因式是（）．A . a n【难度】★ 【答案】DB ．a n -1C . a 2n -1 -1D . a 2n -2 -1【解析】原式= a 2 (a 2n -2 -1) ，故选择 D ．【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把 4 a 3b 3 - 2a 2b 4 分解因式的结果是．3 9 【难度】★ 【答案】 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【解析】原式= 2a 2b 3 (6a - b ) ．9【总结】本题考察了提公因式法因式分解．）．【例6】（1）如果2x +y = 4, xy =3 ，那么2x2 y +xy2 的值是；（2）多项式5(a + 2b)2 -2a(a + 2b) 的值等于15 ，且3a +10b =3 ，则a + 2b = ．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5．【解析】（1）原式= xy(2x +y) = 12 ；（2）由已知得： (a + 2b)[5(a + 2b) - 2a] =15 ，即(a + 2b)(3a +10b) = 15 3a +10b = 3，∴a + 2b = 5 ．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）-15a3b3 + 45a2b -30ab ；（2）16a3b2c3 + 48a4b3c2 - 96a2b2c4 ；（3）-2ax2 + 6x - 4a ；（4）(m -n)( p -q) - (n -m)2 (q -p) ；3（5）3x(4x -y) - (4x +y)(-4x +y) ；（6）-p(q +r -1) -q(r +q -1) + (1-q -r)2 ；（7）x n+1-x n+2x n-1（n为大于1的整数）；（8）4x n+2y n+1-6x n y n+12x2y n-1（n是大于2的整数）．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= -15ab(a2b2 - 3a + 2) ；（2）原式=16a2b2c2 (ac + 3a2b - 6c2 ) ；（3）原式= -2(ax2 - 9x + 6a) ；3（4）原式= (m -n)( p -q) + (m -n)2 ( p -q) = (m -n)( p -q)[1+ (m -n)] = (m -n)( p -q)(1+m -n) ；（5）原式= 3x(4x -y) + (4x +y)(4x -y) = (4x -y)(7x +y)（6）原式= -p(q +r -1) -q(q +r -1) + (q +r -1)2= (q +r -1)(-p -q +q +r -1)= -(q +r -1)( p -r +1) ；（7）原式= x n-1 (x2 -x + 2) ；（8）原式= 2x2 y n-1 (2x n y2 - 3x n-2 y + 6) ；【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.78⨯12 + 47 ⨯5.78 + 5.78⨯41 ；（2）5⨯102017 -102016 ．【难度】★★【答案】（1）578；（2）4.9 ⨯102017 ．【解析】（1）原式= 5.78(12 + 47 + 41) = 578 ；（2）原式=102016 (50 -1) = 4.9 ⨯102017 ．【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式2x2 +mx +n 因式分解的结果是(2x -1)⎛x +1 ⎫，求m、n 的4 ⎪⎝⎭ 值．【难度】★★【答案】m =-1，n =-1．2 4【解析】由已知得：2x2 +mx +n = (2x -1)(x +1) ，4∴2x2 +mx +n = 2x2 -1x -1，2 4∴m =-1，n =-1．2 4【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断518 + 519 + 520 能否被31整除．【难度】★★【答案】能．【解析】原式= 518 (1+ 5 + 52 ) = 518 ⨯ 31 ，能被31 整除．【总结】本题考察了提公因式法的应用．（ （ （【例11】已知代数式 1 x +1) + 1 (x +1）+ 1 x +1) + 1 (x +1) + ··· + 1x + 1）的值是 27 ，求 x 的值． 【难度】★★★ 【答案】 x = 29 ．2 6 12 20 90【解析】由已知得： (x +1)(1 + 1 + + 1) = 272 6 90 (x +1)( 1 + 1 + ) = 27 1⨯ 2 2 ⨯ 3(x +1)(1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1) = 272 23 9 10 (x + 1)(1 - 1) = 2710解得： x = 29【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式 M = b (a - b )(a - c ) + c (a - b )(c - a ) ，且 a = b = c ，求 M的值．【难度】★★★2 3 4 abc 【答案】- 1．12【解析】 M = b (a - b )(a - c ) - c (a - b )(a - c ) = (a - b )(a - c )(b - c ) ，设a = 2k ，b = 3k ，c = 3k ， 则原式=(-k )(-2k )(-k ) =- 1 ．2k ⋅ 3k ⋅ 4k 12【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？+1 9 ⨯10模块二：公式法知识精讲1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．2、平方差公式： a2 -b2 = (a +b)(a -b)运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．3、完全平方公式： a2 ± 2ab +b2 = (a ±b)2运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2 倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．4、补充公式（1）a3 +b3 = (a +b)(a2 -ab +b2 ) ；（2）a3 -b3 = (a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（3）a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 = (a +b)3 ；（4）a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 = (a -b)3 ；（5）a2 +b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a +b +c)2 ．【例13】因式分解(x -1)2- 9 的结果是（）．A . (x + 8)(x +1)B . (x + 2)(x - 4)C . (x - 2)(x + 4)D . (x -10)(x + 8)【难度】★ 【答案】B【解析】原式= (x -1+ 3)(x -1- 3) = (x + 2)(x - 4) ． 【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）．A . x 2 + 4x + 4 = (x + 4)2B . 4x 2 - 2x +1 = (2x -1)2C . 9 - 6(m - n ) + (m - n )2 = (3 - m - n )2D . -a 2 - b 2 + 2ab = -(a - b )2【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为： (x + 2)2 ； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解；C 选项应为： [3 - (m - n )]2 = (3 - m + n )2 ；D 选项正确．【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）4a2 - 9b2 = ；（2）4 -x2n = ；（3）(a+b)2-(c-d)2=；（4）9a3b-ab=；（5）-9a2 +1=；（6）25a2 -80a + 64 =；9（7）-16-8xy-x2y2=；（8）(a+b)2-6(a+b)+9=．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (2a +3b)(2a -3b) ；（2）原式= (2 +x n )(2 -x n ) ；（3）原式= (a +b +c -d)(a +b -c +d) ；（4）原式= ab(9a2 -1) =ab(3a +1)(3a -1) ；（5）原式= -1(81a2 -1) =-1(9a +1)(9a -1) ；9 9（6）原式= (5a - 8)2 ；（7）原式= -(16 + 8xy +x2 y2 ) =-(4 +xy)2 ；（8）原式= (a +b - 3)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出264 -1 的两个因数．【难度】★【答案】(232+1)、(216+1)、255、17、5、3、1（任写两个）．【解析】∵264 -1 = (232 +1)(216 +1)(28 +1)(24 +1)(22 +1)(2 +1)(2 -1) ，∴264 -1的因数是：(232 +1) 、(216 +1) 、255 、17 、5 、3、1．【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）a6 -b6 ；（2）8x3 +y3 ；（3）9x5 - 72x2 y3 ．【难度】★★【答案】见解析；【解析】（1）原式= (a3 +b3 )(a3 -b3 ) = (a +b)(a2 -ab +b2 )(a -b)(a2 +ab +b2 ) ；（2）原式= (2x +y)(4x2 - 2xy +y2 ) ；（3）原式= 9x2 (x3 - 8y3 ) = 9x2 (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2 ) ．【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式：（1）-4(x-y)2+25(x+y)2；（2）(x+y)4-(x-y)4；（3）(a+b)3-4a-4b；（4）xy -1 -x2 y2 ；4（5）x2 (m -n) - 4x(n -m) - 4(n -m) ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= [5(x +y) + 2(x -y)][5(x +y) - 2(x -y)] = (7x + 3y)(3x + 7y) ；（2）原式= [(x +y)2 + (x -y)2 ][(x +y)2 - (x -y)2 ] = 8xy(x2 +y2 ) ；（3）原式= (a +b)3 - 4(a +b) = (a +b)[(a +b)2 - 4] = (a +b)(a +b + 2)(a +b - 2) ；（4）原式= -1(4x2 y2 - 4xy +1) =-1(2xy -1)2 ；4 4（5）原式= x2 (m -n) + 4x(m -n) + 4(m -n) = (m -n)(x + 2)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式：（1） 7a m +1 -14a m + 7a m -1 ；（2） (a + b )2- 4(a + b -1) ；（3） (a 2 + 4a )2+ 8(a 2 + 4a ) +16 ； （4） (x 2 - y 2 )n +2-10(x 2 - y 2 )n +1+ 25(x 2 - y 2 )n．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= 7a m -1 (a 2 - 2a +1) = 7a m -1 (a -1)2 ；（2）原式= (a + b )2 - 4(a + b ) + 4 = (a + b - 2)2 ；（3）原式= (a 2 + 4a + 4)2 = (a + 2)4 ；（4）原式= (x 2 - y 2 )n [(x 2 - y 2 )2 -10(x 2 - y 2 ) + 25]= (x + y )n (x - y )n (x 2 - y 2 - 5)2 ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1） 50420172- 20152； （2） 9982 - 4 ；（3）152 +15⨯10 + 52 ； （4）1982 - 2 ⨯198⨯ 98 + 982 ．【难度】★★【答案】（1） 116； （2）996000； （3）400； （4）10000．【解析】（1）原式= 504 =504 = 1 ； (2017 + 2015)(2017 - 2015) 4032⨯ 2 16（2）原式= (998 + 2)(998 - 2) = 996000 ； （3）原式= (15 + 5)2 = 400 ；（4）原式= (198 - 98)2 = 10000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⎛1 -1 ⎫⋅⋅⋅⎛1 -1 ⎫． 22 ⎪32 ⎪42 ⎪ n2 ⎪【难度】★★⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】n + 1．2n【解析】原式= (1 -1)(1 +1)(1 -1)(1 +1) (1 -1)(1 +1) 2 2 3 3 n n= 1⨯3⨯2⨯4 2 2 3 3= 1⨯n + 1n -1⨯n +1n n 2 n= n + 1．2n【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知x2 -x = 2016，y2 -y = 2016 且x ≠y ，求x2 + 2xy +y2 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(x2 -x) - ( y2 -y) = 0 ，即x2 -y2 -x +y = 0 ，∴x2 -y2 - (x -y) = 0 ，即(x -y)(x +y -1) = 0 ．∴原式= (x +y)2 = 1．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式S = 4a + 4b - 2a+b+1 ，问：S 是否一定是非负数？请说明理由．【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】S = (2a )2 - 2 ⋅ 2a ⋅ 2b + (2b )2 = (2a - 2b )2 ≥ 0 ，∴ S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．x ≠y【例24】已知a2 + 2ab +b2 - 2a - 2b +1 = 0 ，求a2 -a +b -b2 的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由已知，得：(a +b)2 - 2(a +b) +1 = 0 ，即(a +b -1)2 = 0 ．∴a +b -1 = 0 ，∴原式= (a2 -b2 ) - (a -b) = (a -b)(a +b -1) = 0 ．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式： x4 - 6x2+1． 解： x4 - 6x2 +1 =x4 - 2x2 - 4x2 +1=(x4 - 2x 2 +1)- 4x 2=(x2 -1)2 - (2x)2=(x2 -1 + 2x)(x2 -1 - 2x)以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4 - 7a2 + 9 ．【难度】★★★【答案】(a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【解析】原式= a4 - 6a2 -a2 + 9= (a4 - 6a2 + 9) -a2= (a2 - 3)2 -a2= (a2 - 3 +a)(a2 - 3 -a) ．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式S=(a2 +b2 -c2 )2 -4a2b2 ，求：（1）对于S进行因式分解；（2）当a、b、c 是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）(a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）S < 0 ．【解析】（1）原式= (a2 +b2 -c2 + 2ab)(a2 +b2 -c2 - 2ab)= [(a +b)2 -c2 ][(a -b)2 -c2 ]= (a +b +c)(a +b -c)(a -b +c)(a -b -c) ；（2）由已知得： a +b +c > 0，a +b -c >，a -b +c > 0，a -b -c < 0 ，∴S < 0 ．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】分解因式：（1）a(a +b)(a -b) -a(a +b)2 ；（2）a(1-b +b2 ) -1+b -b2 ；（3）-2x2 +1y2 ；（4）a4 -b4 ；2（5）x3 - 6x2 + 9x ；（6）3x2 (x -y)2 - 27( y -x)4 ；（7）(p-q)2m+1+(q-p)2m-1；（8）4(x+y)2+5-20(x+y-1)．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）原式= a(a +b)(a -b -a -b) =-2ab(a +b) ；（2）原式= a(1-b +b2 ) - (1-b +b2 ) = (1-b +b2 )(a -1) ；（3）原式= -1(4x2 -y2 ) =-1(2x +y)(2x -y) ；2 2（4）原式= (a2 +b2 )(a2 -b2 ) = (a2 +b2 )(a +b)(a -b) ；（5）原式= x(x2 - 6x + 9) =x(x - 3)2 ；（6）原式= 3x2 (x -y)2 - 27(x -y)4= 3(x -y)2[x2 - 9(x -y)2 ]= 3(x -y)2[x + 3(x -y)][x - 3(x -y)]= -3(x -y)2 (4x - 3y)(2x - 3y) ；（7）原式= ( p -q)2m+1 - ( p -q)2m-1= ( p -q)2m-1[( p -q)2 -1]= ( p -q)2m-1 ( p -q +1)( p -q -1) ；（8）原式= 4(x +y)2 - 20(x +y) + 25 = (2x + 2y - 5)2 ．【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式a2 +b2 -c2 - 2ab 的值( )．A．大于零B．小于零C．大于或等于零D．小于或等于零【难度】★【答案】B【解析】原式= (a -b)2 -c2 = (a -b +c)(a -b -c)a -b +c > 0, a -b -c < 0∴原式< 0 ，选择B．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】已知长方形的长为2x - 3y ，面积为4x2 - 9 y2 ，则此长方形的周长为．【难度】★【答案】8x ．【解析】4x2 - 9y = (2x + 3y)(2x - 3y) ，∴宽为：2x+3y，∴周长= 2(2x - 3y + 2x + 3y) = 8x ．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】已知x -y =1，xy = 2 ，则x3 y - 2x2 y2 +xy3 的值为．【难度】★【答案】2．【解析】原式= xy(x2 - 2xy +y2 ) =xy(x -y)2 = 2 ．【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】分解因式：（1）(a -b)7 + (b -a)5 ；（2）64x6 -y12 ；（3）4a2-b2+c2-9d2+4ac+6bd；（4）(x2 +4)2 +8x(x2 +4)+16x2 ；（5）x2 -y2 -z2 - 2yz ；【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= (a -b)7 - (a -b)5= (a -b)5[(a -b)2 -1]= (a -b)5 (a -b +1)(a -b -1) ；（2）原式= (8x3 +y6 )(8x3 -y6 )= (2x +y2 )(4x2 - 2xy2 +y4 )(2x -y2 )(4x2 + 2xy2 +y4 ) ；（3）原式= (2a +c)2 - (b - 3d)2 = (2a +c +b - 3d)(2a +c -b + 3d) ；（4）原式= (x2 + 4 + 4x)2 = (x + 2)4 ；（5）原式= x2 - ( y +z)2 = (x +y +z)(x -y -z) ．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．⎩【习题6】 分解因式：（1） (x - y )2n +1 - (x - z )(x - y )2n + 2( y - x )2n ( y - z ) ， n 为正整数；（2） (a + b )2 (b + c - a )(c + a - b ) + (a - b )2 (a - b + c )(a - b - c ) ；（3） x 3 (x + y - z )( y + z - a ) + x 2 z (z - x - y ) + x 2 y (z - x - y )(x - z - a ) ．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式= (x - y )2n (x - y - x + z + 2y - 2z ) = (x - y )2n ( y - z ) ；（2）原式= (b + c - a )(c + a - b )[(a + b )2 - (a - b )2 ]= (b + c - a )(c + a - b )(a + b + a - b )(a + b - a + b ) = 4ab (b + c - a )(a + c - b ) ；（3）原式= x 3 (x + y - z )( y + z - a ) - x 2 z (x + y - z ) - x 2 y (x + y - z )(x - z - a )= x 2 (x + y - z )[x ( y + z - a ) - z - y (x - z - a )]= x 2 (x + y - z )(xz - ax - z + yz + ay ) ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．⎧2x + y = 6 【习题7】 不解方程组⎨x - 3y = 1 ，求代数式7 y (x - 3y ) 2 - 2(3y - x )3的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式= 7 y (x - 3y )2 + 2(x - 3y )3= (x - 3y )2[7 y + 2(x - 3y )]= (x - 3y )2 (2x + y ) ，∴原式=12 ⨯ 6 = 6 ．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】利用分解因式证明：257 - 512 能被120 整除．【难度】★★【答案】略．【解析】原式= 514 - 512 = 512 (52 -1) = 512 ⨯ 24 = 511 ⨯120 ，∴原式能被120 整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】已知x = 3.43 ，y = 3.14 ，求-2x2 - 2xy -1y2 的值．2【难度】★★【答案】-50 ．【解析】原式= -1(4x2 + 4xy +y2 ) =-1(2x +y)2 ，2 2当x = 3.43 ，y = 3.14 时，原式= -1⨯102 =-50 ．2【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】求代数式的值：(3x -2)2 (2x +1) - (3x -2)(2x +1)2 +x(2x +1)(2 -3x) ，其中x =-2 ．3【难度】★★【答案】-4 ．【解析】原式= (3x - 2)2 (2x +1) - (3x - 2)(2x +1)2 -x(2x +1)(3x - 2) = (3x - 2)(2x +1)(3x - 2 - 2x -1-x)= -3(3x - 2)(2x +1) ，当x =-2时，原式= -3⨯ (-4) ⨯ (-4+ 1) =-4 ．3 3【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】 化简下列多项式：1+ x + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3+x )2016．【难度】★★★ 【答案】(1 + x )2016 ．【解析】原式= (1+ x ) + x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2016= (1+ x )[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2015 ]= (1+ x )2[1+ x (1+ x ) + x (1+ x )2 + x (1+ x )3 ++ x (1+ x )2014 ]= (1+ x )2015 (1+ x )= (1 + x )2016 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】 已知a 2 + 4ab + 4b 2 - 2a - 4b +1 = m 2 ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★【答案】m = ±(a + 2b -1) ．【解析】化简得： (a + 2b )2 - 2(a + 2b ) +1 = m 2 ，即(a + 2b -1)2 = m 2 ，所以m = ±(a + 2b -1) ． 【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】 已知： b + c - a = -2 ，求2 a (a - b - c ) + b ( 2 c - 2 a + 2 b ) + 1c (2b + 2c - 2a ) 的值． 3 3 3 3 3 【难度】★★★ 8【答案】 ．3【解析】原式= 2 a (a - b - c ) + 2 b (c - a + b ) + 2c (b + c - a )3 3 3= 2 a (a - b - c ) - 2 b (a - b - c ) - 2c (a - b - c ) 3 3 3 = 2(a - b - c )(a - b - c ) 3 = 2(a - b - c )2 ， 3b +c - a = -2 ，∴原式= 2 ⨯ 22 = 8．3 3【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意观察所求的式子的特征．+ x (1+【习题14】若a ，b ，c 为正数，且满足a4 +b4 +c4 =a2b2 +b2c2 +c2a2 ，那么a 、b 、c 之间有什么关系？【难度】★★★【答案】a =b =c ．【解析】化简得：a4+b4 +c4 -a2b2 -a2c2 -b2c2 = 0 ，则1[(a2 -b2 ) + (a2 -c2 ) + (b2 -c2 )] = 0 ．2∴a2 =b2 =c2 ，∵ a ， b ， c 为正数，∴a =b =c ．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式-6m2n2 -12m3n4 +9n3 分解因式时，应提取的公因式是（）．A . -6m2 n2【难度】★【答案】D【解析】略B . -6n2C . -3m2 n2D . -3n2【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解1- 4x2 - 4y2 + 8xy 的结果是（）．A . (1+ 2x)(1- 2x)- 4y( y - 2x) C . (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y)B .1- (2x - 2 y)2D . (1+ 2x + 2y)(1- 2x - 2y)【难度】★【答案】C【解析】原式=1- 4(x2 - 2xy +y2 ) = 1- 4(x -y)2 = (1+ 2x - 2y)(1- 2x + 2y) ，选择C；【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知x +y = 2 ，求1x2 +1y2 +xy 的值．2 2 【难度】★【答案】2．【解析】原式= 1(x2 + 2xy +y2 ) =1(x +y)2 =1⨯ 4 = 2 ．2 2 2【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x的多项式4(2x-1)2-7(ax+b)可提取公因式2x-1，且整数，则a = ，b = ．a -b = 3 ，a、b 为【难度】★【答案】2，－1．【解析】设a = 2k ，b =-k ，则：2k - (-k) = 3 ，解得：k =1，∴a = 2，b =-1 ．【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式：（1）xy3 - 4xy ；（2）-26xy3 z2 +13xy2 z2 + 52x5 y2 z4 ；（3）a2 (x -y) +b2 ( y-x) ；（4）(m + 5n)2 - 2(5n +m)(n -3m) + (n -3m)2 ；（5）9(a +b)2 + 6(a2 -b2 ) + (a -b)2 ．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式= xy( y2 - 4) =xy( y + 2)( y - 2) ；（2）原式= -13xy2 z2 (2y -1- 4x4 z2 ) ；（3）原式= (x -y)(a2 -b2 ) = (x -y)(a +b)(a -b) ；（4）原式= [(m + 5n) - (n - 3m)]2 = 16(m - 2n)2 ；（5）原式= (3a + 3b +a -b)2 = 4(2a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）1.1⨯102017 -102016 ；（2）105⨯ 95 ；（3）1.25⨯142 -125⨯8.62 ．【难度】★★【答案】（1）102017 ；（2）9975；（3）－9000．【解析】（1）原式=102016 (1.1⨯10 -1) = 102016 ⨯10 = 102017 ；（2）原式= (100 + 5)(100 - 5) = 10000 - 25 = 9975 ；（3）原式=1.25⨯142 -1.25⨯862 = 1.25(142 - 862 ) = 1.25⨯100⨯ (-72) =-9000 ．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知a = 96，b = 92 ，求a2 - 2ab +b2 - 6a + 6b + 9 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】原式= (a -b)2 - 6(a -b) + 9 = (a -b - 3)2 ，当a = 96，b = 92 时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知10x2+6xy+y2-2x+1=0，求(2x+y)2010 的值．【难度】★★【答案】1．【解析】由已知得：(9x2 + 6xy +y2 ) + (x2 - 2x +1) = 0 ，即(3x +y)2 + (x -1)2 = 0 ．∴3x +y = 0，x -1 = 0 ，解得：x =1，y =-3 ，∴原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x=a-b，y=a+b时，求代数式(x2 +y2 )2 -(x2 -y2 )2 的值．【难度】★★【答案】4(a -b)2 (a +b)2 ．【解析】原式= (x2 +y2 +x2 -y2 )(x2 +y2 -x2 +y2 )= 4x2 y2 ，当x =a -b ，y =a +b 时，原式= 4(a -b)2 (a +b)2 ．【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：3(a-b)n-9(b-a)n+1．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式= 3(a -b)n + 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1+ 3a - 3b) ；（2）当n 为奇数时，原式= 3(a -b)n - 9(a -b)n+1 = 3(a -b)n (1- 3a + 3b) ．【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，n3 -n 的值必定是6 的倍数．【难度】★★★【答案】略．【解析】原式= n(n2 -1) =n(n + 1)(n -1) ．n -1、n、n +1为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3 的倍数，∴n3 -n 必定是6 的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4 + 4 ．解： x4 + 4 =x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2=（x2+2x+2)(x2-2x+2)．以上解法中，在x4 + 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与x4 + 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）x4 +x2 y2 +y4 ；（2）x4 y4 + 64 ．【难度】★★★【答案】（1）(x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ； （2）(x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy)【解析】（1）原式= x4 + 2x2 y2 +y4 -x2 y2 = (x2 +y2 )2 --x2 y2 = (x2 +y2 +xy)(x2 +y2 -xy) ；（2）原式= x4 y4 +16x2 y2 + 64 -16x2 y2 = (x2 y2 - 8)2 -16x2 y2= (x2 y2 - 8 + 4xy)(x2 y2 - 8 + 4xy) ．。

第6讲小节单项式、多项式及整式的概念1.掌握单项式、单项式整式的定义；2.掌握单项式的系数、次数及多项式的系数、次数和项数；知识点01 单项式定义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式系数：单项式中数字因数；次数：所有字母的指数的和。

1．下列代数式中，为单项式的是()A．B．a C．D．x2+y2【解答】解：A、分母中含有字母，不是单项式；B、符合单项式的概念，是单项式；C、分母中含有字母，不是单项式；D、不符合单项式的概念，不是单项式．故选：B．2．单项式2a的系数是()A．1B．a C．2D．2a【解答】解：单项式2a的系数是2，故选：C．3．单项式22xy2的次数是()A．5B．4C．3D．2【解答】解：单项式22xy2的次数是1+2＝3．故选：C．4．单项式的系数和次数分别是()A．和3B．和2C．和4D．和2【解答】解：单项式的系数、次数分别是，3．故选：A．5．若单项式2xy3﹣b是三次单项式，则()A．b＝0B．b＝1C．b＝2D．b＝3【解答】解：因为单项式2xy3﹣b是三次单项式，所以3﹣b＝2，所以b＝1．故选：B．6．单项式ah的次数是2．【解答】解：单项式ah的次数是：1+1＝2．故答案为：2．7．某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是2xy2或2x2y(答案不唯一)．【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2或2x2y(答案不唯一)．8．指出下列各单项式的系数和次数(1)3xy(2)﹣xy(3)﹣7x2y3(4)﹣2a2b4c【解答】解：(1)系数为3，次数为2；(2)系数为﹣1，次数为2；(3)系数为﹣7，次数为5；(4)系数为﹣2，次数为7；知识点02 多项式定义：几个单项式的和；次数：多项式中次数最高的单项式的次数。

单项式和多项式都统称为整式9．多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是()A．2B．3C．4D．7【解答】解：多项式3m3+4m2n2﹣1的次数是4，故选：C．10．多项式4x2﹣﹣x+1的三次项系数是()A．3B．﹣3C．﹣D．﹣【解答】解：多项式4x2﹣﹣x+1的三次项是﹣，三次项系数是﹣．故选：C．11．多项式的各项系数之积是()A．B．C．D．【解答】解：多项式的各项系数分别为：，﹣，则．故选：C．12．关于整式，下列说法正确的是()A．x2y的次数是2B．0不是单项式C．3πmn的系数是3D．x3﹣2x2﹣3是三次三项式【解答】解：A、x2y的次数是3，所以A选项错误；B、数字0是单项式，所以B选项错误；C、3πmn的系数是3π，所以C选项错误；D、x3﹣2x2﹣3是三次三项式，所以D选项正确．故选：D．13．多项式3x2y+2xy的次数为3．【解答】解：∵多项式3x2y+2xy的最高次项为3x2y，其次数是3，∴多项式3x2y+2xy的次数是3．故答案为：3．14．多项式3a2﹣2a﹣7a3+4是三次四项式．【解答】解：∵多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，∴多项式3a2﹣2a﹣7a3+4中次数最高的项是三次，由四个单项式组成，故答案为：三；四．15．已知(m+1)x3﹣(n﹣2)x2+(2m+5n)x﹣6是关于x的多项式．(1)当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式？(2)当m，n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式？【解答】解：(1)由题意得：m+1＝0，且n﹣2≠0，解得：m＝﹣1，n≠2，则m＝﹣1，n≠2时，该多项式是关于x的二次多项式；(2)由题意得：m+1≠0，n﹣2＝0，且2m+5n＝0，解得：m≠﹣1，n＝2，把n＝2代入2m+5n＝0得：m＝﹣5，则m＝﹣5，n＝2时该多项式是关于x的三次二项式．知识点03 整式定义：单项式和多项式都统称为整式16．下列各式中不是整式的是()A．3a B．C．D．0【解答】解：A、3a是单项式，是整式，故本选项不符合题意；B、既不是单项式，又不是多项式，不是整式，故本选项符合题意；C、是单项式，是整式，故本选项不符合题意；D、0是单项式，是整式，故本选项不符合题意；故选：B．17．代数式ab，2m﹣n，，﹣4，中整式共有()个．A．2B．3C．4D．5【解答】解：代数式ab，2m﹣n，，﹣4，中整式有：ab，2m﹣n，﹣4，共4个．故选：C．18．在①1﹣a；②；③；④﹣；⑤；⑥(x+1)(x+2)＝0中，①②④是整式．(填写序号)【解答】解：①1﹣a；②；③；④﹣；⑤；⑥(x+1)(x+2)＝0中①1﹣a；②；④﹣是整式．故答案为：①②④．19．把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，，，，5，﹣xy，a2﹣2ab+1．代数式整式单项式多项式非整式【解答】解：单项式：3a，5，﹣xy；多项式：，a2﹣2ab+1；非整式：，+b．一．选择题1．下列各式中是单项式的是()A．m+n B．2x﹣3y C．2xy2D．(5a+2b)2【解答】解：A、m+n是多项式，不合题意；B、2x﹣3y是多项式，不合题意；C、2xy2是单项式，符合题意；D、(5a+2b)2是多项式，不合题意；故选：C．2．在式子a2+2，，ab2，，﹣8x，3中，整式有()A．6个B．5个C．4个D．3个【解答】解：在式子a2+2，，ab2，，﹣8x，3中，整式有：a2+2，ab2，，﹣8x，3共5个．故选：B．3．单项式﹣ab2的系数是()A．B．C．2D．3【解答】解：单项式﹣ab2的系数是﹣．故选：A．4．多项式﹣5xy+xy2﹣1是()A．二次三项式B．三次三项式C．四次三项式D．五次三项式【解答】解：多项式﹣5xy+xy2﹣1是三次三项式，故选：B．5．单项式﹣的系数和次数分别是()A．﹣2，2B．3，1C．﹣，2D．，1【解答】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是2，故选：C．6．多项式x2﹣3xy2﹣4的次数和常数项分别是()A．2和4B．2和﹣4C．3和4D．3和﹣4【解答】解：多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是3，常数项是﹣4，故选：D．7．下列说法正确的是()A．﹣3mn的系数是3B．多项式m2+m﹣3的次数是3C．3m3n中n的指数是0D．多项式a2b﹣3ab+5的项分别为a2b、﹣3ab和5【解答】解：A、单项式﹣3mn的系数是﹣3，故原题说法错误；B、多项式m2+m﹣3的次数是2，故原题说法错误；C、单项式3m3n中n的指数是1，故原题说法错误；D、多项式a2b﹣3ab+5的项分别为a2b、﹣3ab和5，故原题说法正确；故选：D．二．填空题8．有下列式子：a，，，，4a2﹣b，，其中整式有4个．【解答】解：∵整式的分母上不能含有字母，∴，不是整式，∴整式有4个，故答案为4．9．多项式2x3﹣x2y2﹣1是四次三项式．【解答】解：次数最高的项为﹣x2y2，次数为4，一共有3个项，所以多项式2x3﹣x2y2﹣1是四次三项式．故答案为：四，三．10．单项式﹣xy3的系数是m，次数是n，则mn＝﹣．【解答】解：∵单项式﹣xy3的系数是m，次数是n，∴m＝﹣，n＝4，则mn＝﹣．故答案为：﹣．11．观察下列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是﹣6061x2021．【解答】解：∵一列关于x的单项式：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6……，∴第n个单项式为：(﹣1)n•(3n﹣2)x n，∴第2021个单项式是(﹣1)2021•(3×2021﹣2)x2021＝﹣6061x2021，故答案为：﹣6061x2021．三．解答题12．下列单项式的系数与次数：32x2y3z；ab2；a2b3；﹣x；30%mn．【解答】解：32x2y3z系数与次数分别为：32；6；ab2系数与次数分别为：1；3；a2b3系数与次数分别为：；5；﹣x系数与次数分别为：﹣1，1；30%mn系数与次数分别为：30%；2．13．把下列代数式的序号填入相应的横线上：①a2b+ab2+b3②③④⑤0⑥﹣x+⑦⑧3x2+⑨⑩(1)单项式④⑤⑩(2)多项式①③⑥(3)整式①③④⑤⑥⑩(4)二项式③⑥．【解答】解：(1)单项式④⑤⑩(2)多项式①③⑥(3)整式①③④⑤⑥⑩(4)二项式③⑥．故答案为：(1)④⑤⑩；(2)①③⑥；(3)①③④⑤⑥⑩；(4)③⑥．14．已知关于x，y的多项式x4+(m+2)x n y﹣xy2+3，其中n为正整数．(1)当m，n为何值时，它是五次四项式？(2)当m，n为何值时，它是四次三项式？【解答】解：(1)因为多项式是五次四项式，所以m+2≠0，n+1＝5．所以m≠﹣2，n＝4．(2)因为多项式是四次三项式，所以m+2＝0，n为任意正整数．所以m＝﹣2，n为任意正整数．。

典题精练例题4答案解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：配方求最值配方法求下列式子的最值：当为何值时，有最小值．(1)当为何值时，有最大值．(2)．(1)．(2)，故当时，最小值为．(1)，故当时，最大值为．(2)例题5答案解析标注式>整式的加减>整式的定义配方法求的最值．，所以有最小值．例题6典题精练标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：利用完全平方公式计算例题12答案解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：和与差的立方公式已知，求证：．证明见解析例题13答案解析已知：，，求：．(1)．(2)．(3)．(4)．(1)．(2)．(3)．(4)．(1)．(2)(3)标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：配方思想的运用；或．；或．(4)例题14答案解析已知，，求的值．．方法一：∵，∴．又因为，∴，．标注式>整式的乘除>整式的乘除运算>题型：多乘多∵，∴．方法二：可得，则，．例题15答案解析已知：，求下列各式的值．．(1)．(2)．(3)．(1)．(2)．(3)∵，∴，∴，即．(1)∵，∴，∴．(2)∵，∴，∴．(3)解析标注式>整式的乘除>乘法公式>题型：利用完全平方公式计算得，，原式巩固8答案解析若，求的值．．方法一：由，故．方法二：．标注式>整式加减>整式加减化简求值>题型：整体代入化简求值方法三：由，故， 从而可知，．方法四：由，故．巩固9答案解析标注式>因式分解>因式分解综合应用已知，求的值．．由题意得，．巩固10答案解析已知，．求下列各式的值．．(1)．(2)．(1)．(2)由可知，．(1)，(2)。

多项式综合除法具体步骤讲解好嘞，今天咱们聊聊多项式综合除法，这个名字听着有点高大上，其实操作起来并不复杂，咱们就像在做一道简单的菜，慢慢来，没事儿的。

多项式就像一堆混合的水果，有的甜，有的酸，有的还带点苦味，真是五味俱全。

综合除法呢，就像是把这些水果放进搅拌机里，搅拌得当，最后能喝上一杯美味的果汁。

哎，别看我开玩笑，这其中的奥妙可真不少呢！好，咱们开始吧。

想象一下，你手里有个多项式，比如说 (2x^3 + 3x^2 x + 5)，然后你还有一个除数，比如 (x 2)。

你就像在准备做饭，得先把材料准备好。

先写下被除式，下面留个空位，接着把除式放到旁边，这样做很方便，心里也有个谱。

然后，想象一下这个被除式就像是一条长长的街道，街道上车水马龙，而除式就像是开着小车的司机，准备上路了。

咱们要把最高次项的系数拿出来，咱们看看，最高次项是 (2x^3)，除以 (x)，哦，那就是 (2x^2)。

这时候你心里得想，司机已经开上路了，真是个老司机。

把 (2x^2) 乘以 (x 2)，咱们来点小计算，得到 (2x^3 4x^2)。

这时候，把它从被除式里减去，就好比在街道上把小车的行李卸下来，瞬间整洁多了。

减完之后，咱们看到，剩下的是(3x^2 + 4x + 5)，就像街道上又多了一些小商铺，热闹非凡。

这时候，你要重复这个过程，继续往下走。

拿着 (3x^2)，除以 (x)，得出 (3x)。

把它乘回去，得到 (3x^2 6x)，接着再减去，这就好比小商铺又关掉了一家，剩下的是(10x + 5)，简直就像有家新开张的小店，越开越热闹。

继续这一路走下去，咱们再来一次，10x 除以 x 得 10，乘上去是 (10x 20)，再减去，剩下的就是 (25)。

嘿，咱们终于来到了终点，街道的尽头有一座小房子，住着常数25。

咱们得出结论，原来的多项式 (2x^3 + 3x^2 x + 5) 除以 (x 2) 的结果就是 (2x^2 + 3x + 10)，余数是25。

第06讲 整式的乘法（一）模块一：单项式与单项式相乘1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行． 例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y ⋅-=⋅-=-．【例1】 计算： （1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【例2】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【例3】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111a b c =-==-，，．【例4】 化简：()75122xy x y -⋅--．模块二：单项式与多项式相乘1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++．【例5】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅- ；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【例6】 先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【例7】 已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值．2 a + ba + 2b2a2b模块三：多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++．【例8】 计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【例9】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示）【例10】 若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值．1. （2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列多项式乘法运算正确的是（ ） A ．22(32)(32)94x y x y x y +--=-； B ．22(32)(23)94x y y x x y --=-； C ．22(32)(32)94x y y x x y -+=-；D ．22(23)(23)94y x y x x y ---=-．2. （2022秋·上海虹口·七年级校考期中）下列计算中，正确的是（ ） A ．233a a a +=B ．2a a a ⋅=C ．2333a a a ⋅=D ．3222a a a -=3. （2022秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考期中）把多项式3x mx +分解因式得1()2x x n x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时，m 、n 的值分别可能是( )A ．1184m n ==、B ．1142m n =-=、C ．1184m n ==-、D ．1142m n =-=-、4. （2022秋·上海杨浦·七年级统考期中）下列多项式中，与3x y -+相乘的结果是223103x xy y 的多项式是（ ） A ．3x y +B ．3x y -C ．3x y +D ．3x y -5. （2021秋·上海·七年级期中）现有下列算式：(1)2aa=2； (2)2a·3a=5a²; (3)ax(1a²x)=axa³xax²;(4)()43x x -·x²=x³其中错误的有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. （2022秋·上海·七年级校考期中）设P 、Q 都是关于x 的四次多项式，下列判断一定正确的是（ ） A ．P Q +是关于x 的四次多项式 B ．P Q +是关于x 的八次多项式 C ．P Q 是关于x 的四次多项式 D ．P Q 是关于x 的八次多项式7. （2022秋·上海青浦·七年级校考期中）在代数式22x y 中，x 与y 的值各减少50%，则该代数式的值减少了（ ） A ．25%B ．50%C ．75%D ．87.5%8. （2022秋·七年级单元测试）若()()24223x x n x x k ++=+-，则n ，k 的值分别是（ ）A ．5、20B ．5、20C ．5、20D ．5、209. （2022秋·上海宝山·七年级校考期中）计算：()2111025x xy x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭___________；10. （2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算：()21ax ax ⋅-=___________．11. （2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）计算：221(236)3ab a ab b --+= __________．12. （2022秋·上海普陀·七年级统考期中）计算：()()32236x y x x -⋅+-=______．13. （2022秋·上海·七年级专题练习）已知x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝（x ＋1）（x ﹣2）（x ＋3），则a ＋b ＋c ＝________． 14. （2022秋·上海·七年级专题练习）已知35x x -=，35y y -=，且x y ≠，则22x xy y ++=__________15. （2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）如果()()22x x m x x n -+=++，那么m =___________，n =___________．16. （2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）计算：（1）()33a -=__________， （2）()()432a a a -⋅-⋅=__________，（3）()()443a a ⎡⎤-⋅-=⎣⎦__________，（4）()()3112a a --=__________．17. （2022秋·上海虹口·七年级校考期中）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：()()2321x x x ++-；(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？18. （2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）计算： (1)()2231322xy xy xy ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭(2)()()23322322a a a a a -+--⋅⋅19. （2022秋·上海闵行·七年级统考期中）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道1(4)(25)(36)2x x x ++-的结果是一个多项式，并且最高次项为：312332x x x x ⋅⋅=，常数项为：45(6)120⨯⨯-=-．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：15(6)2(6)434532⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯=-，即一次项为3x -． 参考材料中用到的方法，解决下列问题：(1)计算(2)(31)(53)x x x ++-所得多项式的一次项系数为 ．(2)如果计算22(1)(3)(21)x x x x a x ++-+-所得多项式不含一次项，求a 的值； (3)如果202220222021202001220212022(1)x a x a x a x a x a +=+++⋯++，求2021a 的值．1. 如图，正方形ABCD 与正方形BEFG ，点C 在边BG 上，已知正方形ABCD 的边长a ，正方形BEFG 的边长为()b a b <，用a 、b 表示下列面积，DE 与GB 相交于点H ，下列各选项中不正确的是（ ）A ．DAE ABGD S S =梯形△B ．DHG HBE S S =△△C ．DEG ABCD S S =正方形△D ．DEG GBE S S =△△如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +C ．一定是四次D ．无法确定2. 计算：()()22x y xy -⋅=___________．3. 若2531207x b ax x x c ，则()ba c +=______．4. 已知2332A x ax y =+-+，22243B bx x y =--+，且A 与B 的3倍的差的值与x 的取值无关，求代数式()221114632263ab a b a ab a b ab ⎡⎤⎛⎫-+-+--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值．5. 计算：(1)()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；(2)()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．。

整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式及完全平方公式基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，而后续的因式分解则是整式的乘法的逆运算，因此这一部分的学习可以让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-整式的乘法（一）知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲内容分析【例1】 计算： （1）2445y y ⋅；（2）()234163x y x y ⋅-；（3）()2223623a b ab a b ⋅⋅-．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 计算：（1）()()23333z x y -⋅；（2）()()3224247a xy a x y -⋅-；（3）()()2322x y x y ⎡⎤---⎣⎦（把x y -作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 计算：（1）()322233x y xyz ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）()()2231263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()232232130.432x y xy xy ⎛⎫⎡⎤-⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例4】 计算：（1）()23243335453xy x y xy x y ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()3222362325333x y z x y z x y z xy ⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例5】 计算：2233()2()x y a x y ab ⎡⎤⎡⎤+⋅⋅-+⋅⎣⎦⎣⎦（把x y +作为整体看作一个因式的底数）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 已知：()()()32327823530m n x y x y x y x y ⋅-⋅=-，求m n +的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 先化简，后求值：233322221391233，已知，x y x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 先化简，再求值：()()2333211222a b bc a bc ⎛⎫⎛⎫-⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中111，，a b c =-==-． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例9】 化简：()75122xy x y -⋅--．【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项．再把所得的积相加．例如：()m a b c ⋅++=ma mb mc ++【例10】 计算：（1）2211313242x x x ⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()22232ab a b ab ⋅- ；（3）()2121243x x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】【例11】 计算：（1）()322211263a b a b ab -⋅；（2）2222432345x y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：单项式与多项式相乘知识精讲例题解析【例12】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 先化简，再求值：()()2232212102x x x x x x x -+--+，其中12x =-．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】 先化简，后求值：()223222133444,34xy x y x y x y xy xy ⎛⎫⎛⎫-+-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中13,3x y =-=．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】 已知26ab =，求()253ab a b ab b --的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 解关于x 的方程：()13538n n x x x ++=+． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 已知：()22525200m m n -+-+=，求()()()()22252365345m m n m n m n n m n ---+---的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 对任意有理数,x y 定义运算如下：x y ax by cxy ∆=++，这里a 、b 、c 是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a =1，b =2，c =3时：131********∆=⨯+⨯+⨯⨯=，现已知所定义的新运算满足条件，1∆2=3，2∆3=4，并且有一个不为零的数d 使得对任意有理数x ∆d =x ，求a 、b 、c 、d 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用公式表示为：()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++【例19】 计算：（1）134624x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）11113232x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】 计算：（1）()()22x y x xy y +-+；（2）22152xy x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】模块三：多项式与多项式相乘知识精讲例题解析【例21】 计算：（1）()()()2345x x x x +-+-；（2）()()()222333xy x y x xy xy y +-++；（3）()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 若()()2233x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 已知a 、b 、m 均为正整数，且()()215x a x b x mx ++=++，则m 可能取的值有多少个？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 已知：多项式43222111122123324x x x x mx x nx ⎛⎫⎛⎫-++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求()311222n m m n ⎛⎫⎡⎤---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S ．（结果用含a 、b 的式子表示） 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 解不等式：()()()()()6971725x x x x x -----<-． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】学校在运动场上举行200米的赛跑，每条跑道的道宽为1.22米，比赛的终点线定在如图所示的C处，由于不同跑道上的运动员要经过不同的弯道，因此他们不应从同一起跑线上起跑，第一、第二两条跑道上运动员的起跑线应相隔多远才比较公平？（ 取3.14，精确到0.01米）【难度】★★★【答案】【解析】师生总结【习题1】 计算：（1）()225x xy ⋅-；（2）()()232323a b c a -⋅- ；（3）()232123xy xy ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（4）()3224142xy x y ⋅-．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 计算：（1）()23223255x y xy x y ⎛⎫-⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）()222322233a b a b a b ⎛⎫⋅--- ⎪⎝⎭；（3）()223235453xy xy xy x y ⎛⎫⋅+-⋅ ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 计算：（1）222133224ab a b a a b ⎛⎫⋅-+⋅ ⎪⎝⎭（2）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测【习题4】 计算：()2222223362322a b ab a ab a b a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题5】 计算：（1） ()2133235n n n n n n a b a b b a b +-+-+⋅（n 为正整数，1n >）； （2）()222214322x xy yx xy x y ⎛⎫-⋅--⋅- ⎪⎝⎭；（3）()()221367x x x +--+；（4）21111132469m m m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题6】 计算：()()()()23325361245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 计算：()()()()242422325235333x x x x x x +++-+++．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 若20x y +=，则代数式()3342x xy x y y +++的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 先化简，再求值：12x =，1y =，求()()()22223x x x y y y x x y y xy y x ++-+++-的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 先化简，再求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题11】 某地有一块梯形实验田，它的上底为m 米，下底为n 米，高是h 米． （1）写出这块梯形的面积公式；（2）当8m =米，14n =米，7h =米时，求它的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题12】 解方程：()()22526x x x x x --+=-．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题13】 已知：()()523323229251342m n n m x y x y x y ax y ⎛⎫⋅-⋅=- ⎪⎝⎭．求：()()22122m n m n m mn n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 计算：（1）3223123x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）232231162a b ab c ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()2221263x x y yz ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 计算：（1）3221213232x y y xy ⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()3212243ab a a b b ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 计算：（1）()()123243x y x y x y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭；（2）()()233222x y x y x y -⋅-．【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业【作业4】 计算：（1）()()3222221122342x y xy x y xy x y z ⎛⎫⋅-+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()3322543124752a ab ab a b ab ⎛⎫-⋅--⋅-- ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 计算：（1）()()()2221a a a -++；（2）()()32225231x x x x -+-⋅-+．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 当14t =时，代数式()3221723228t t t t t t ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭的值为__________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 已知：多项式()()43222212x x x x mx x nx +++=++++，求m 与n 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 已知：()()22345x x ax bx c +-=-+，求代数式：()()()()222222a a b a a b a b a b b c +-+---的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业9】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的乘法时，发现有些整式乘法结果有很明显的特点．例如：()()23111x x x x -++=-，()()22332428a b a ab b a b +-+=+小明：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”， 小强：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）” 小明：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点类似”小强：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系......” 亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？ （1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算()()22224x y x xy y ---+吗？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】。