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小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
1 / 6J(5)第一讲 数的整除解答 姓名_______一、例题选讲1、 已知正整数n 是7与8的公倍数，各位上的数码全都是7或8，且数码7与8各至少有一个。
则满足上述条件的最小n 的值为多少？答案：7888888。
分析：事实上，能被8整除的n ，其最后三位必须是888。
注意到1001被7整除，因此，888888是7的倍数，7888888也是7的倍数。
经试验，将其中的任意8用7代替都不能得到7的倍数。
2、一群猴子分挑,桃子共有56个,每只猴子可以分到同样多的桃子。
但在它们正要分桃时,又来了4只猴子,于是重新分配这些桃子,结果每只猴子分到的桃子数量相同,那么最后每只猴子分到多少个桃子？解：分析：7。
提示：56=1×56=2×28=4×14=7×8。
由上式可以看出，在56的因子中只有8与4相差4，且不在一组分解式中。
所以原来有4只猴子，每只分14个桃子，现在有8只猴子，每只分7个桃子。
3、从1，2，3，…，50这五十个数中，取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？解： 23。
1—50中除队7余1、余2、余3的数共有22个，都取出来，再从1—50中取一个7的倍数的数。
这23个数中任意两个数的和都不能被7整除。
4、一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101。
如果2011年最后一个能被101整除的日子是ABCD 2011，那么ABCD 是多少？答案：1221。
分析：20111231÷101＝199121……10；所以ABCD ＝1231－10＝1221。
5、既能被5整除又能被7整除的自然数，自105起从小到大直到第2000个这样的数为止，这2000个数的和被ll 除的余数是多少？解：分析：5。
提示：从105起满足题意的数除以11的余数依次为：6，8，10，1，3，5，7，9，0，2，4，…并且每11个数重复一次。
五年级整除问题练习题五年级的整除问题通常包括对数字的整除性进行判断、找出能整除一个数的数字、解决与整除相关的实际问题等。
以下是一些练习题：1. 判断下列各数是否为质数：- 23- 49- 672. 找出能整除12的数：- 1- 2- 3- 4- 6- 123. 一个数是2的倍数，这个数的个位数字是什么？- 0- 2- 4- 6- 84. 一个数是5的倍数，这个数的个位数字是什么？- 0- 5- 123- 456- 7896. 如果一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数也能被3整除。
请找出下列数字中哪些数满足这个条件：- 111- 222- 3337. 一个数如果能被2和3同时整除，那么这个数的个位数字是什么？ - 0- 68. 找出能同时整除6和9的数：- 1- 3- 6- 9- 18- 279. 一个数如果能被4整除，那么这个数的最后两位数是什么？- 00- 04- 08- 12- 16- 20- 128- 256- 51211. 一个数如果能被9整除，那么这个数的各位数字之和必须是多少？ - 9的倍数12. 一个数如果能被11整除，那么这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是多少？- 0或11的倍数13. 一个数如果能被7整除，那么这个数的两倍与这个数的一半之差是多少？- 3或7的倍数14. 找出下列数字中哪些数是完全平方数：- 16- 25- 36- 4915. 一个数如果能被13整除，那么这个数的各位数字之和与这个数的两倍之和的差是多少？- 0或13的倍数这些练习题可以帮助五年级的学生加深对整除概念的理解，并提高解决相关数学问题的能力。
五年级数学培优：数的整除１、24÷3＝8，所以（）能被3整除，3能整除（）。
２、在括号里填上“能被……整除”或“能整除”，使其说法正确。
⑴45（）9（）⑵3（）9（）⑶9（）9（）３、能被2整除的数有什么特征？能被3整除的数有什么特征？能被5整除的数呢？１、在1、2、3、6、10、12、15、24、30、45、60、7200中⑴能被2整除的数有（）⑵能被3整除的数有（）⑶能被5整除的数有（）⑷能同时被2和3整除的数有（）⑸既能被5整除，又有约数2的数有（）⑹既能被5整除，又能被3整除的数有（）⑺能被12整除的数有（）⑻能整除15的数有（）⑼能同时被2、3、5整除的数有（）２、能被2整除的最小三位数是（）能被3整除的最大两位数是（）能被5整除的最小四位数是（）能同时被3和5整除的最大三位数是（）３、按要求填数。
71□要能被2整除，□最大填（）。
35□要能被3整除，□最小填（）。
444□要能同时被2、3、5整除，□里可以填（）。
153□要能同时被2、3整除，□里应填（）。
４、1880至少减去多少后就能同时被2、3、5整除？５、从0、5、4、3、6五个数字中，选出四个不同的数字组成四位数，其中既能被3整除又能被2整除的最大四位数是（）。
选四个不同的数字组成能同时被２、３、５整除的最小四位数是（）。
６、能被4整除的数有什么特征？能被9整除的数有什么特征？下面哪些数能被4整除？哪些数能被9整除？348 72 416 522 632 700 663834 387 1125 300 4024 441 828通过本课的学习，我明白了能被2整除的特征是，能被3整除的特征是，能被5整除的特征是，能被4整除的特征是，能被9整除的特征是。
第一部分必做题１、(☆)判断。
⑴个位上是3、6、9的数都不能被3整除。
（）⑵一个自然数，不能被2整除，就一定能被3或5整除。
（）⑶能被2整除的数一定不能被3整除。
（）⑷三个连续的自然数(零除外)中，必定有一个数能被3整除。
数的整除练习题A 组1、（1）五位数73□28能被9整除，□里应填上（）。
（2）一个六位数2709□6能被12整除，□里应填上（）。
（3）一个五位数4□1□6是72的倍数，这个五位数是（）。
（4）一个六位数356□□□能被3、4、5整除，这个六位数最小是（）。
（5）能同时被2、3、5整除的三位数中最大的是（）。
（6）四位数36□□能同时被2、3、4、5、6、9整除，则36□□是（）。
（7）一个位数减去它的各位数字之和，其差还是一个四位数362□，那么□填（）。
（8）有一六位数能被11整除，首位是3，其余各位数字各不相同，这个六位数最小是（）。
2、已知五位数154xy _________能被72整除，求x+y 的值3、一个六位数358□□□能同时被4、5、9整除，求这样的六位数中最小的一个。
4、有数字0、1、4、7、9，如果从中选出四个数字组成不同的四位数，把其中能被3整除的从小到大排列起来，第三个数是多少？5、从0、1、3、5这四个数字中任选三个数字排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少个？把他们写出来。
6、在五位数中，数字和等于43且能被11整除的数有那些？7、一个自然数与17的乘积的最后三位数是999，求满足条件的最小的自然数。
8、从1~1996中选出一些数，使得这些数中任意两个数的和都能被18整除。
这样的数最多能取多少个？9、一个四位数能被9整除，如果去掉末位数字后得到的三位数是8的倍数。
这样的四位数中最大的一个是多少？10、从2、3、5、7四个数中任选三个数，组成能同时被3和25整除的三位数，这样的三位数是多少？11、下列这个51位数55...5□99 (9)能被7整除，那么中间方格内的数字是几？25个5 25个912、商店里有六箱货物，分别重20、21、23、12、14、17千克。
两位顾客买走了其中的五箱。
已知一位顾客买的货物重量是另一位顾客的3倍。
那么剩下的一箱货物重多少千克？B组1、如果把1、3、5、7这四个数字进行各种各样的排列，可以组成24个数，其中能被11整除的数从大到小排列的第三个数是多少？2、用数字1～9组成九位数，左起第一位数能被1整除，前两位数能被2整除，前三位数能被3整除……前九位数能被9整除。
数的整除性质练习题1. 数的整除性质在数学中，我们经常研究数的整除性质。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数的除法。
在解决问题时，理解和熟悉数的整除性质是非常重要的。
下面是一些数的整除性质的练习题，通过解答这些题目，我们可以更好地掌握数的整除性质。
2. 练习题一已知数a能够被数b整除，数b能够被数c整除，那么数a能否被数c整除？请给出理由。
解答：根据整除的定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
假设数a能够被数b整除，即a=kb，其中k为整数。
同时，数b能够被数c整除，即b=mc，其中m为整数。
将b代入第一个等式中得到a=k(mc)。
根据乘法结合律，可以得到a=(km)c。
根据定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
因此，数a能够被数c整除。
3. 练习题二已知数a能够被数b整除，数a能够被数c整除，那么数b能否被数c整除？请给出理由。
解答：根据整除的定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
假设数a能够被数b整除，即a=kb，其中k为整数。
同时，数a能够被数c整除，即a=mc，其中m为整数。
将b代入第二个等式中得到kb=mc。
根据乘法结合律，可以得到k(b-c)=0。
根据乘法的性质，当两个数的乘积等于0时，至少有一个数为0。
因此，根据k(b-c)=0，可以得出结论b-c=0，即b=c。
所以，数b能够被数c整除。
4. 练习题三已知数a能够被数b整除且b不为0，数c能够被数a整除且c不为0，那么数c能否被数b整除？请给出理由。
解答：根据整除的定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
假设数a能够被数b整除，即a=kb，其中k为整数，且b不为0。
同时，数c能够被数a整除，即c=ma，其中m为整数，且a不为0。
将a代入第二个等式中得到c=mkb。
根据定义，如果一个数能够被另一个数整除，那么它们的商一定是一个整数。
数的整除专题简析：数的整除是研究自然数之间关系的学问。
我们在课本中已经学习了能被2、3、5整除的数的特征，本讲让我们来探讨能被4或25,8或125,9,7,11,13整除的数的特征。
例1研究能被4或25整除的数的特征。
有四组数如下：（1）424 316 9840 628 880（2）7354 126 766 894 9343（3）925 575 850 1000 8075（4）835 355 360 1005 495把第（1）、（2）两组数分别除以4，第（3）、（4）两组数分别除以25，找出能被4或25整除的数的特征。
分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被4整除，而第（2）组的数都不能被4整除；同样，第（3）组的数都能被25整除，第（,4）组的数都不能被25整除.。
仔细观察这四组数的末两位数会发现：第（1）组中的每个数的末两位数都能被4整除，而第（2）组中的每个数的末两位数都不能被4整除；同样，第（3）组中的每个数的末两位数都能被25整除，而第（4）组中的每个数的末两位数都不能被25整除。
所以能被4或25整除的数的特征：一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
随堂练习：1、判断312、142、280能否被4整除。
2、判断375、260、165能否被25整除。
例2研究能被8或125整除的数的特征。
有四组数如下：（1）4840 3160 7544 6112 2248（2）5551 9854 4886 1102 4540（3）3750 3500 3875 2625 5375（4）2005 1050 2795 7350 1985把第（1）、（2）两组数分别除以8，第（3）、（4）两组数分别除以125，找出能被8或125整除的数的特征。
分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被8整除，而第（2）组的数都不能被8整除；同样，第（3）组的数都能被125整除，第（4）组的数都不能被25整除.。
2021五年级下册数学寒假培训内容《数的整除》一．选择题（共19小题）1．m是n的倍数，m、n两数的最大公因数是（）A．m B．n C．12．x和y都是非零自然数，如果x÷y＝6，那么x和y最大公因数是（）A．x B．y C．1D．63．两个数的乘积一定是这两个数的（）。
A．公因数B．最大公因数C．公倍数D．最小公倍数4．甲数是乙数的5倍（甲、乙均是不为0的自然数），甲、乙两数的最大公因数是（）。
A．甲数B．乙数C．甲，乙两数的积5．自然数甲的质因数包含两个2和三个3，自然数乙的质因数包含三个2和两个3。
它们的最大公因数是（）。
A．4B．9C．36D．126．19和20是（）。
A．质数B．互质数C．合数D．质因数7．如果a÷b＝5（a、b是非0自然数），那么a和b的最大公因数是（）。
A．a B．b C．ab D．58．如果a÷b＝5（a、b为非零自然数），那么a、b两数的最大公因数是（）A．a B．b C．59．两个质数的和是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．合数10．下面各式中，分解质因数正确的是（）。
A．12＝2×2×2B．13＝1×13C．30＝2×3×511．如果a÷b＝5（a与b是非零自然数），那么a与b的最小公倍数是（）A．a B．5C．b12．如果a、b表示两个不同的自然数（0除外），且a÷b＝3，那么a和b的最大公因数是（）。
A．因为a和b都是3的倍数，所以a和b的最大公因数是3B．因为a和b都无法确定到底是几，所以求不出来C．因为a是b的倍数，且a＞b、所以a和b的最大公因数是b13．一个数既是21的因数，又是21的倍数，这个数是（）A．1B．3C．7D．21 14．一个数的倍数与这个数的因数相比，（）A．倍数大B．因数大C．倍数等于因数D．无法比较15．李老师为幼儿园买下面玩具中的一种用去114元，李老师买的玩具是（）A．9元B．5元C．6元16．下面说法错误的是（）A．A和B的最大公因数是2B．A和B的最小公倍数是144C．A和B只有公因数1和2D．A和B都是偶数，也都是合数17．如果甲数是乙数的倍数，那么甲、乙两数的最大公因数是（）A．1B．甲数C．乙数D．甲数与乙数的积18．如果A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C的（）A．倍数B．因数C．无法确定19．一个数，它最大的因数是1。
人教版五年级奥数精讲精练（一）数的整除姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、填空题1 . 在能被7整除的两位数中，最小的一个两位数是．2 . 一个数，如果用（2）（3）5去除，正好都能被整除，这个数最小是（），如果这个数是两位数，它最大是（）。
3 . 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.4 . 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是______．5 . 两个数的和是363，用较大的数除以较小的数，得商16余6，则这两个数中较大的数是_____.6 . 已知六位数19□88□能被35整除,空格中的数字依次是_______.7 . 在947后面添上三个不同的数字，组成一个被2、3、5同时整除的最小的六位数，这个数是_________。
8 . 与的和被11除，商等于______与______的和。
二、解答题9 . 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了1073棵，那么平均每人种了棵树？10 . 试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13．11 . 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
12 . 今天是星期日，再过23天是星期几？参考答案一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、二、解答题1、2、3、4、。
数的整除数的整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断13574是否是11的倍数？例如：判断1059282是否是7的倍数？例如：判断3546725能否被13整除？例1、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.例2、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.例3、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除.例4、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除.例5、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个？例6、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多）例7、一个整数a与108的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
例8、问24共有多少个约数？全部约数之和是多少？例9、2×3×4×…×9×10，这个连乘积的末尾有几个0？例10、225×72×（），要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在括号内最小应填什么自然数？※拓展练习：1、个位数是6，且能被3整除的三位数有多少个？2、用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪几个？3、一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？4、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元(□表示不明数字)。
数学五年级暑假培优训练1《数的整除》[同步巩固演练]1、小光买了3支铅笔、5支圆珠笔、8支 笔记本和12块橡皮，共用去12元1角，铅笔1角2分1支，圆珠笔8角1支，售货员的账算错了没有？2、光华小学为同学们代买179支铅笔和179块橡皮，铅笔8角1支，橡皮3角1块，营业员告诉采购员要付186.9元，采购员并没有具体核算就告诉营业员算错了。
他怎么知道的呢？3、整数6427B A 能被72整除，求A 和B 各表示多少？4、能被4、5、6整除的最大三位数是多少？5、已知一个自然数A ，它能被15整除，且它的各个数位上的数字只有2、5两种，则这种最小的六位数A 是多少？6、在532后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除 ，这样的六位数中最小的是多少？7、四位数B A 18能同时被5、6整除，则这个四位数是多少？8、一个两位数，将它的十位数字与个位数字互换所成的两位数与原数的乘积是3154，求原数。
9、有一个六位数□1989□能被44整除，求这个六位数。
10、已知75|563B A ，这个五位数最大是多少？11、五位数H H 974能被3整除，且末两位H 7能被6整除，求这个五位数。
12、九位数AB AB AB 222是91的倍数，求这个九位数是多少？13、填上适当的数字，使36□□这个四位数能同时被2、3、4、5、9整除。
14、连续三个自然数的积一定是6的倍数，为什么？15、连续四个自然数的积一定是12的倍数，为什么？16、如果六位数□1993□能被33整除，这样的六位数有哪些？17、已知整数a a a a a 54321能被11整除，则a= 。
18、四位数7□4□能被55整除，这样的四位数有哪些？19、一个七位数的各位数字均不相同，并且它能被11整除，这样的七位数中，最大的一个是多少？20、从0、3、5、7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有多少？21、一个无重复数字的五位数3□6□5，千位与十位数字看不清了，但知这个数是75的倍数，问这种五位数有哪几个？22、一个五位数，各个数位上的数字均不相同，它能被3、5、7、11整除，这样的数中最大的是多少？23、一个六位数的各位数字均不相同，最左边一位的数字是3，且它能被11整除，这样的六位数中最小的是多少？24、商店里有6只不同的货箱，分别装有货物15、16、18、19、20、31千克。
两个顾客买走了其中5箱货物 ，而且一个顾客的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里剩下的那箱货物是多少千克？25、731□是一个四位数，在□内依次填入三个数字，使组成的三个四位数依次能被9、11、6整除，这三个数字之和是多少？26、将1，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数除以11的余数。
27、55个苹果分给甲、乙、丙三人，甲的苹果个数是乙的2倍，丙最少，但也多于10个，则甲、乙、丙分别得苹果多少个？28、三个数分别是346，734，983，请再写一个比996大的三位数，使这四个数的平均数是一个整数，这个三位数是多少？29、在1至100这100个自然数中，有多少个不能被3或7整除？30、在368后面补上三个数字组成一个六位数，使它同时能被3，4，5整除，这样的六位数中最小的是多少？31、用1至9这九个数字每个数字各一次，组成三个能被9整除的三位数，要求这三个数的和尽可能大，则这三个数分别是多少？32、已知A 是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和4两种，A 最小是多少？[能力拓展平台]1、从0、2、3、7、9这五个数字中选出三个数字组成三位数。
在所有这样的三位数中，能被3整除的数多，还是能被9整除的数多？多多少个？2、有一类自然数111…1，它的各位数字都是1，并且它们都是7的倍数，也是37的倍数，还是11的倍数。
这样的自然数中最小的一个是多少？3、有一类三位数，它能被11整除，如果去掉末位数字，所得的两位数又能被18整除，这样的三位数有哪些？4、一个六位数，六个数字各不相同，且是17的倍数。
符合条件的最大六位数是多少？5、三位数的百位、十位、个位的数字分别是5、a 、b ，将它们接连重复写99次成为：abab ab ab 599555个如果此数能被91整除，这个三位数5ab 是多少？ 6、将自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？7、某小学四、五六年级学生下午参加劳动，其中一个班的学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余学生到校办工厂劳动，且到建筑工地搬砖人数是到校办工厂劳动人数的28、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字每字各用一次，写出三个能被9整除的尽可能大的三位数，这三个数各是多少？9、某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？10、将自然数1、2、3、4、…依次写下去组成一个数12345678910111213……如果写到某个自然数时，所形成的数恰好第1次能被72整除，那么这个自然数是多少？11、将自然数10，11，…，50从左到右右依次排列成一个多位数101112…4950，求这个多位数除以11的余数。
12、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除。
13、一个位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是2002，问这个六位数是多少？14、一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。
15、四个连续自然数的和是一个在400至440之间的三位数，并且这个和能被9整除，求这四个连续自然数。
16、两个自然数的各位数字中都只用到1、4、6、9这四种数码。
问：是否有可能使其中的一个自然数恰好是另一个自然数的17倍？17、将自然数N 接在任一自然数的右面（例如将2接在35的右面得352），如果所得的新数都能被N 整除，那么称N 为“神奇数”问：在小于130的自然数中有多少个“神奇数”？[全讲综合训练]1、a 、b 是两个小于10的任意自然数(a ≠b)试证明由这两个数字组成的两个两位数的差能被9整除。
2、甲乙两数，甲数=4004000若干个，甲数÷乙数=4000，且甲数与乙数的和的万位数字不是0，甲、乙两数分别是几？3、一类四位数，能同时被5、6、7整除。
如果把这样的四位数按从小到大的顺序排成一列，位于最中间的是哪一个四位数。
4、试求三个不同的自然数a 、b 、c ，使其中任两个数的积都能被它们的和整除（即 a ×b ÷（a ＋b ），a ×c ÷（a ＋c ），b ×c ÷（b ＋c ）都是整除）。
5、四个小朋友计算一道两个加数是四位数并且互为倒序数的加法（如：1537＋7351、6124＋4216等）。
甲的答案是14221；乙的答案是14222；丙的答案是14223；丁的答案是14224。
已知甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学的结果是正确的。
那么做对的同学是谁？为什么？6、（第四届国际数学奥赛题）求适合下列条件的最小自然数：（1）它的个位数字是6；（2）把它的个位数字6去掉并移至最前面，所得数是原数的四倍。
7、1～9九个数字按图所示的顺序，排成一个圆圈，请在某两个数字之间剪开，然后分别按顺时针方向排列成两个九位数，如果所得两数的差能被396整除，应在何处剪？第7题8、有一个1999位的数A 能被9整除，它的各位数字之和为a,a 的各位数字之和为b,b 的各位数字之和为c 等于多少？9、甲、乙两人进行了下面的游戏，两人先约定一个整数N 然后由甲开始，轮流把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这六位数不能被N 整除，就算甲胜，设N 小于15，那么当N 取哪几个数时，乙才能取胜？10、将12至2000这1989个自然数依次写出得一位数1213141516…1998119992000，试求这个多位数除以9的余数。
11、下图是一个由三个相同的小正方形组成的“L ”形，问能否用足够多的这种小“L ”形盖满1997×1999的长方形棋盘？第11题12、用数字1～9组成九位数，左起第一位能被1整除,前两位能被2整除，前三位能被3整除，…，前九位能被9整除，已知第七位是7，求这个九位数。
数的整除 解析：[同步巩固演练]1、算错了因为1角2分=12（分），每种商品的总价是4的倍数。
一共的总价也应是4的倍数。
而12元1角=1210（分），不是4的倍数，所以算错了。
2、算错了因为应付钱数（以角作单位）是8×179+3×179=11×179，即应付数是11的倍数，而1869不是11的倍数，所以算错了。
3、A=5，B=3或A=1，B=7因为72=8×9，所以67B 能被8整除，根据6427B A 能被9整除，可知B=3或7，当B=3时，A=5；当B=7时，A=1。
4、960因为[4，5，6]=60，60×16=960 60×17=1020，所以是960。
5、222225因为15=3×5，这个数既能被3整除，又能被5整除，且各个数位上的数字只有2、5两种，所以末位是5，各位数字和能被3整除的最小六位数是222225。
6、532020因为能被5整降，所以末位最小是0，末两位能被4整除是20，40，60，80，最小是20，而5+3+2+2=12，，能被3整除，所以满足条件的最小六位数是532020。
7、8010，8310，8610，8910 因为B A 18能被5，6整除，而6=2×3，所以B A 18能同时被2，3，5整除，既能被2，又能被5整除的末位是0，即B=0，当B=0时，8+A+1+0=9+A ，被3整除A 为0，3，6，9，故这样的四位数有8010，8310，8610，8910。
8、38或83因为3154=2×19×83=38×83，所以这个两位数是38或83。
9、419892或81989644=11×4，所以□1989□能被11和4同时整除，419□时是92，96，而当末位是2时，9+9+□=18+□，1+8+2=11，18+□—11=7+□，所以□=4，当末位是6时 9+9+□—（1+8+6）=3+□，□=8，故六位数为419892或819896。
10、3967575=3×25，所以563B A 能同时被3和25整除，则5B 能被25整除，B 为2，7，当B=2时，3+A+6+2+5=16+A ，A 为2，5，8，即五位数为32625，35625，38625，当B=7时，3+A+6+7+5=21+A ，则A=3，6，9，所以五位数为33675，36675，39675。
