天门市2020-2021学年度秋季学期高一期末联考数学试卷2021.1本试题卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|5,U x x x *=<∈N，{}2|540M x xx =-+=，则U M =（ ）A ．{2,3}B ．{1,5}C ．{1,4}D ．{2,3,5}2．已知命题:,||0P x x x ∀∈+R ，则（ ）A ．¬:,||0p x x x ∀∈+R B ．¬:,||0p x x x ∃∈+R C ．¬:,||0p x x x ∃∈+<R D ．¬:,||0p x x x ∀∈+<R3．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）A ．sin y x =B ．tan 2y x =C ．1sin2y x = D ．cos2y x = 4．若角α顶点在原点，始边在x 的正半轴上，终边上一点P 的坐标为45sin ,cos 33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α为（ ）角．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．要得到cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位6．已知,a b +∈R ，且23a b ab +=，则2a b +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．97．已知a ，b ，c 为正实数，满足122211log ,,222abc a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是风经过桥面时产生旋涡，形成了卡门涡街现象．设旋涡的发生频率为f （单位：赫兹），旋涡发生体两侧平均流速为u （单位：米/秒），漩涡发生体的迎面宽度为d （单位：米），表体通径为D （单位：米），旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m ，根据卡门涡街原理，满足关系式：r s uf m d⋅=⋅，其中：r s 称为斯特罗哈尔数．对于直径为d （即漩涡发生体的迎面宽度）的圆柱21,sin ,0,2d m D πθθθπ⎤⎡⎤⎥=-=∈⎢⎥⎣⎦⎥⎦．设d D α=，当0.005α时，在近似计算中可规定0α≈．已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，当漩涡发生的频率为640赫兹时，斯特罗哈尔数r s 等于0.16，则旋涡发生体两侧平均流速u 约为（ ）米/秒（ ） A ．20 B ．40 C ．60 D ．80二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列各题中，p 是q 的充要条件的有（ ）A ．:p 四边形是正方形；:q 四边形的对角线互相垂直且平分B ．:p 两个三角形相似；:q 两个三角形三边成比例C ．:0p xy >；:0,0q x y >>；D ．:1p x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根；:0(0)q a b c a ++=≠10．如图是函数sin()(0)y A x B ωϕϕπ=++<<的部分图象，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数的周期是16B ．该函数在区间(2021,2025)上单调递增C ．该函数图象的一个对称中心为(18,20)D ．该函数的解析式是310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭11．若,a b ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0a b <<，则11a b b a +<+ B ．若a b >，则122a b -> C ．若0ab ≠，且a b <，则11a b > D ．若0,0a b >>，则22b a a b a b++ 12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”1,()0,R x Qy f x x Q∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有()()0f x f x -+=B ．对任意1x ∈R ，都存在()()2121,x Q f x x f x ∈+=C ．若0a <，1b >，则有{|()}{|()}x f x a x f x b >=<D ．存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使ABC 为等腰直角三角形．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为________弧度． 14．幂函数24()()mf x x m -=∈Z 在定义域内为奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减，则m =______．15．已知函数0()1,0x f x x x >=+⎪⎩，若,()()m n f m f n <=，则n m -的取值范围是_________．16．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形 EFGH 拼成的个大正方形ABCD ，若直角三角形中,AF a BF b ==，较小的锐角FAB α∠=．若2()196a b +=，正方形ABCD 的面积为100，则cos 2α=______，sincos 22αα-=________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（本题满分10分）在①{}2{1,}22,1,0a a a a ⊆-+-，②关于x 的不等式13ax b <+的解集为{|34}x x <，③一次函数y ax b =+的图象过(1,1),(2,7)A B -两点，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知__________，求关于x 的不等式250ax x a -+>的解集．18．（本题满分12分）已知函数211()cos cos 224f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最值及相应的x 的值；（2）若函数()f x 在[0,]a 上单调递增，求a 的取值范围．19．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，角,αβ的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若7,,1212ππαπβ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，且点A 的坐标为(2,)A m -．（1）若4tan 23α=-，求实数m 的值； （2）若3tan 4AOB ∠=-，求cos 2α的值． 20．（本题满分12分）已知函数2()1x f x a e =-+为奇函数， （1）求实数a 的值，判断函数()f x 的单调性并用函数单调性的定义证明；（2）解不等式(ln )0f x <．21．（本题满分12分）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元）．在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元）．每件产品售价为25元．通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22．（本题满分12分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数a ，b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1）设14214()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ．若不等式22()3()0h x h x t ++<在[4,16]x ∈上有解，求实数t 的取值范围．（2）设函数()1132()log 91,()1x g x g x x -=+=-，是否能够生成一个函数()h x ．且同时满足：①(1)h x +是偶函数；②()h x 在区间[2,)+∞上的最小值为32log 102-，若能够求函数()h x 的解析式，否则说明理由．2020-2021年度秋季学期高一期末联考数学参考答案及评分标准一二、单选题和多选题三、填空题13．14 14．1± 15．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．7,255-（第一空2分，第二空3分）四、解答题17、解：若选①，若2122a a =-+，解得1a =，不符合条件（2分）；若11a =-，解得2a =，则2222a a -+=符合条件（5分）． 将2a =代入不等式整理得(2)(21)0x x -->，（7分）解得2x >或12x <，（9分）故原不等式的解集为：1,(2,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭．（10分） 若选②，因为不等式13ax b <+≤的解集为{|34}x x <≤，所以31,43,a b a b +=⎧⎨+=⎩（3分）解得2,5.a b =⎧⎨=-⎩（5分）将2a =代入不等式整理得(2)(21)0x x -->（7分），解得2x >或12x <（9分），故原不等式的解集为：1,(2,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭．（10分） 若选③，由题得1,27,a b a b -+=⎧⎨+=⎩（3分）解得2,3.a b =⎧⎨=⎩（5分）将2a =代入不等式整理得(2)(21)0x x -->（7分），解得2x >或12x <（9分），故原不等式的解集为：1,(2,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭．（10分）18、（1）∵11cos21111()22cos2sin 22242226x f x x x x x π⎫+⎛⎫=⋅-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3分）当2262x k πππ+=+时，max 1(),f ()62x k k z x ππ=+∈=（5分） 当2262x k πππ+=-时，min 1(),()32x k k z f x ππ=-∈=- （6分） （2）因为1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，令222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，（8分）令0k =，得,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，（10分） 若[0,]a 上单调递增，则06a π<≤，所以a 的取值范围是06a π<≤ （12分） 19、（1）由题意可得22tan 4tan 21tan 3ααα==--，∴1tan 2α=-，或tan 2α=． （3分） ∵7,12παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴1tan 2α=-，即122m =--，∴1m =． （5分） （2）sin 312tan tan()tan 124cos 12AOB παπ∠αβαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， （7分） 2211sin cos 1,,121212212πππππααα⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴34sin ,cos 125125ππαα⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （9分） ∴24sin 22sin cos 6121225πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 161225ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （11分）∴cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （12分） 20、解：（1）∵10xe +≠的解集是R ，()f x 的定义域是R ． （1分） 又∵()f x 是奇函数，∴(0)0f =．∴(0)10f a =-=，即1a =． （3分）经检验知，当1a =时，()()f x f x -=-，符合题意． （4分）2()11xf x e =-+，经判断可知()f x 在R 上是增函数． （5分） 证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()12121212222111111x x x x xx e e f x f x e e e e --=--+=++++， （6分）∴x y e =为增函数，12x x <，∴120xxe e <<．∴110xe +>，210xe +>，120xxe e -<．∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．∴()f x 在R 上是增函数． （8分）（2）方法一：由2()11x f x e =-+，可得ln 221(ln )11111x x f x e x x -=-=-=+++ （10分）∴1010x x x -⎧<⎪+⎨⎪>⎩等价于(1)(1)00x x x -+<⎧⎨>⎩解得01x <<，∴原不等式的解集为(0,1) （12分）方法二：由（1）()f x 在R 上是增函数，且(0)0f =，∵(ln )0f x <，∴ln 0x <，∴1x <， 综合得01x <<． （12分）21．（1）因为每件商品售价为25元，则x 万件商品销售收入为25x 万元，依题意得，当019x <<时，2222()251002410033L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭， （2分）当19x ≥时，400400()2526320100220L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， （4分）所以2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （5分）（2）当019x <<时，22()(18)1163L x x =--+，此时，当18x =时，()L x 取得最大值(18)116L =万元， （7分） 当19x ≥时，400()22022022040180L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭万元，（9分） 此时，当且仅当400x x =，即20x =时，()L x 取得最大值118万元， （11分）因为116180<，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大， 最大利润为180万元． （12分）22、（1）由题意14214()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，124144()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=， （2分）不等式22()3()0h x h x t ++<在[4,16]x ∈上有解，等价于22442()3()2log 3log t h x h x x x <--=--在[4,16]x ∈上有解，令4log s x =，则[1,2]s ∈，由22442log 3log 23y x x s s =--=--， （4分）知y 取得最大值5-，∴5t <-． （5分）（2）设()13()log 91(1)x h x m n x -=++-，则()3(1)log 91x h x m nx +=++． 由(1)(1)h x h x -+=+，得()()33log 91log 91x xm nx m nx -+-=++，整理得391log 291x x m nx -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即3log 92x m nx -=， 即22mx nx -=对任意x 恒成立，所以m n =-． （7分） 所以()()1133()log 91(1)log 91(1)x x h x m m x m x --⎡⎤=+--=+--⎣⎦ ()111333191log 91log 3log 3x x x x m m ----⎛⎫+⎡⎤=+-= ⎪⎣⎦⎝⎭． （8分） 设11913x x y --+=，2x ≥，令13(3)x u u -=≥，则211u y u u u +==+， 由对号函数的性质可知y 在(0,1)单调递减，(1,)+∞上单调递增 ∴21u y u +=在[3,)+∞单调递增，（9分）∴21103u y u +=≥，且当3u =时取到“=”． ∴13319110log log 33x x --⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，（10分）又()h x 在区间[2,)+∞的最小值为()32log 101-， ∴0m >，且2m =，此时，2n =-所以()13()2log 9122x h x x -=+-+ （12分）。
