2023年高二(上)数学期末试卷一下卷 北师大版
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北师大版高二（上）数学期末试卷一
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三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知数列{a
n}的前n项和为S
n，且2S
n＝3a
n﹣3．
（Ⅰ）求数列{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n＝log
3a
n，，求数列{c
n}的前n项和T
n．
18．（12分）设a＞0
，，a
1＝1，a
n+1＝f（a
n）n∈N
+．
（1）求a
2，a
3，a
4的值，猜想数列{a
n}的通项公式；
（2）试证明通项公式的正确性．（用数学归纳法证明）
19．（12分）已知F是抛物线C：y2
＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l与抛物线C交于A，B
两点，若
•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定
点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．（12分）已知a∈R，命题p
：函数的定义域为R；命题q；关于x的不
等式x2
﹣ax+1≤0
在上有解．
（Ⅰ）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
21．（12分）（1）已知双曲线＝1的左、右顶点分别为A
1、A
2，点P（x
1，y
1），点Q（x
1，
﹣y
1
）是双曲线＝1上不同的两个动点，求直线A
1P与直线A
2Q的交点的轨迹E的方程；
（2）设直线l
1：y＝k
1x+2交轨迹E于C、D两点，且直线l
1与直线l
2：y＝k
2x交于点F，若k
1k
2
＝﹣，
试证明F为CD的中点．
22．（12
分）已知椭圆
经过如下四个点中的三个，，P
2
（0，1
），，．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过椭圆M的右顶点C，求△ABC
面积的最大值．北师大版高二（上）数学期末试卷一
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参考答案与试题解析
三、填空题
13.【解答】解：因为函数f（x
）可导，所以
＝
．故答案为：．
14.【解答】解：若“∃x∈
[，2]，使得2x2
﹣λx+1＜0成立”是假命题，即
“∃x∈
[，2]，使得λ＞2x
+成立”是假命题，
由x∈
[，2]，当x
＝时，函数y＝2x
+
≥2＝2，
取最小值
2；
所以实数λ的取值范围为（﹣∞，2
]．故答案为：（﹣∞，2]．
15.
【解答】解：由的解集为（﹣1
，﹣
）
，得的解集
为（﹣1，﹣），即的解集为．
故答案为：
16.【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA
1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA
1＝2AB＝2AC＝2，BM＝a，CN＝b，
则A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，0，a），N（0，1，b）
，＝
（1，0，a）
，＝（0，1，b），
设平面AMN
的法向量＝（x，y，z），
由，取z＝1
，得＝（﹣a，﹣b，1），
平面ABC
的法向量＝（0，0，1），
∵平面AMN与平面ABC
所成（锐）二面角为，
∴
cos
＝
＝
，得a2+b2
＝3，
∴当B
1M|最小时，BM＝a最大，此时a
＝，b＝0，
∴tan∠AMB
＝，
∴∠AMB
＝．
故答案为：．
三、解答题
17．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，2a
1＝2S
1＝3a
1﹣3，
∴a
1＝3，
当n≥2时，2a
n＝2S
n﹣2S
n﹣1＝（3a
n﹣3）﹣（3a
n﹣1﹣3）即：
，
∴数列{a
n}为以3为首项，3为公比的等比数列．
∴
（Ⅱ）由b
n＝log
3a
n，
得
则，
．
18．【解答】解：（1）a
1＝1，，a
n+1＝f（a
n）n∈N
+，
∴，
，
，
猜想数列{a
n}
的通项公式为
；证明：（2）①当n＝1
时，，猜想正确；
②假设n＝k（k≥1且k∈N
+
）时，猜想成立，即，
当n＝k+1时，a
k+1＝f（a
k）＝＝
．即n＝k+1时，猜想成立．
由①②知，对于任何n∈N
+
时，都有．
19.【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|＝
1+＝2，∴p＝2，
∴抛物线C的方程为：y2
＝4x．
（2）设AB的方程为：x＝my+n，代入y2＝4x有y2﹣4my﹣4n＝0，设
A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），则y
1•y
2＝﹣4n，
∴x
1•x
2＝，
∴＝x
1•x
2+y
1•y
2＝n2﹣4n＝﹣4，
∴n＝2，
∴AB的方程为：x＝my+2，恒过点N（2，0）．
20.【解答】解：（1）命题p
：函数的定义域为R；当
p为真时，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，
①当a＝0，不等式化为0x2+0x+1＞0，符合题意．
②当a≠0时，有a＞0，且△＝a2
﹣4a＜0故0＜a＜4，即
当p真时有0≤a＜4．
（2）命题q；关于x的不等式x2﹣ax+1≤0
在上有解．由
题意知当q
为真时，
在上有解．
令，则y＝g（x）
在上递减，在[1，2]上递增，所
以a≥g（x）
min＝g（1）＝2
所以当q假时，a＜2，
由（1）知当p假时a＜0或a≥4，又
因为p∨q为真，p∧q为假，所以或，
即a的取值范围是[0，2）∪[4，+∞）．
21.【解答】（1）解：
由已知得
，，则
①
②
①×②
得，又
．得．
（2）证明：
得，
由韦达定理得，
设CD的中点G（x，y），
则，，
联立，得，
，，
解得，，，
则点F与点G重合，知F为CD的中点．
2.【解答】（Ⅰ）由题意，点P
1（﹣
，）与点P
3（
，）关于原点对称，根
据椭圆的对称性且椭圆过其中三个点可知，
点P
1（﹣
，）和点P
3（
，）都在椭圆上，
又因为P
3（
，）与点P
4（，1）不可能同时在椭圆上，即
椭圆过点P
1（﹣
，），P
3（
，），P
2（0，1
），所以+＝1，且+＝1，
故a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为+y2
＝1．
（Ⅱ）由题意，可设直线AB的方程为x＝ky+m（m≠2），联
立，得（k2+4）y2+2kmy+m2﹣4＝0，
设A（x
1，y
1），B（x
2，y
2），
则由y
1+y
2
＝，y
1y
2
＝，①
又以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，
所以
•＝0，
所以（x
1﹣2）（x
2﹣2）+y
1y
2＝0，
将x
1＝ky
1+m，x
2＝ky
2+m代入上式可得，
（k2+1）y
1y
2+k（m﹣2）（y
1+y
2）+（m﹣2）2＝0，
将①代入上式可得m
＝或m＝2（舍），则
直线l恒过点D
（，0），
所以S
△ABC
＝|DC||y
1﹣y
2|
＝×＝，
设t
＝（0＜t
≤），
则S
△ABC＝在t∈（0
，]上单调递增，所
以当t＝时，S
△ABC取得最大值．
