事件的关系与运算
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事件的关系与运算专题介绍
内容简介
帮助高二学子对事件的关系与运算知识进行理解和运用，介绍了事件的关系与运
算的几种出题形式．对事件的关系与运算的各知识点进行详细介绍，同时运用例
题加深学生印象．例举出该知识可能出现的考点，针对考点设置例题供学生快速
提升，并设置了详细的解析让学生参考，快速提升解答能力．
适用人群
适合中等及中等以下学生的难度．
学习效果
通过汇总快速解决问题的技巧以及相应的例题解析，巩固本学期内容，夯实基础，
查缺补漏，为接下来的考试以及后续学习做好准备．
事件的关系与运算
本节知识点与题型快速预览
知识点课前预习与精讲精析
核心知识点1：事件的概念及分类 事
件 确定事件 不可能事件 在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然事件 在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条 件S的必然事件
随机事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件
S的随机事件
核心知识点2：事件的关系与运算 定义 表示法 图示
事件的关系 包含 关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)
互斥 事件 若A∩B为不可能事件，则称事件
A与事件B互斥 若A∩B＝，则
A与B互斥
对立 事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 若A∩B＝，且
A∪B＝U，则A与B对立
事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
核心知识点3：概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0，1]； (2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0； (3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B). P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
核心知识点4：事件与集合间的对应关系 事件 集合
必然事件 全集
不可能事件 空集()
事件B包含于事件A(B⊆A) 集合B包含于集合A(B⊆A)
事件B与事件A相等(B＝A) 集合B与集合A相等(B＝A)
事件B与事件A的并事件(B∪A) 集合B与集合A的并集(B∪A)
事件B与事件A的交事件(B∩A) 集合B与集合A的交集(B∩A)
事件B与事件A互斥(B∩A＝) 集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝)
事件A的对立事件 集合A的补集(∁UA)
1．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是（ ）
A．3件都是红色 B．3件都是白色
C．至少有1件红色 D．有1件白色 【解析】解：在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3
件，
对于A，3件都是红色是随机事件，故A正确；
对于B，3件都是白色是不可能事件，故B错误；
对于C，至少有1件红色是确定性事件，故C错误；
对于D，有1件白色是随机事件，故D正确．
故选：AD． 2．抛掷一枚质地均匀的硬币三次，有如下三个事件A，B，C，其中A为有3
次正面向上，B为只有1次正面向上，C为至少有1次正面向上，试判断A，B，C之间的包含关系．
【解析】解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，
事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；
当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，
事件A一定不发生，因此A与B之间不存在包含关系，
综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C．
3．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，
其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成
绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校
参加竞赛，则A1或B1仅一人被选中的基本事件有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．10
【解析】解：现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，
其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成
绩优秀．
从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，
则A1或B1仅一人被选中的基本事件有：
（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A3，B1，C1），
（A3，B1，C2），共6个．
故选：C．
4．在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数
字的和小于5”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
【解析】解：根据题意，在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的
数字，那么这三个数字的和的最小值为1+2+3＝6，
所以事件“这三个数字的和小于5”一定不会发生，是不可能事件，
故选：B．
5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出
后不放回，连续取两次．
（1）写出这个试验的所有结果；
（2）设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A；
（3）把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请
你回答上述两个问题．
【解析】解：（1）这个试验的所有可能结果为：
Ω＝{（a1，a2），（a1，b），（a2，b），（a2，a1），（b，a1），（b，a2）}．
（2）A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．
（3）①这个试验的所有可能结果为：
Ω＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b），（b，a1），
（b，a2），（b，b）}．
②A＝{（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2）}．
典型题型与解题方法
必考必会题型1：事件类型的判断
【典型例题】给出下列四个命题，其中正确的命题为（ ）
A．“一元二次方程有解”是必然事件
B．“飞机晚点”是不可能事件
C．“冬天会下雪”是必然事件
D．“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件
【解析】解：A、“一元二次方程不一定有解”，“一元二次方程有解”是随机事
件，故A错误． B、“飞机晚点”是随机事件，故B错误． C、“冬天会下雪”是随机事件，故C错误． D、“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件，故D正确．
故选：D．
【题型强化】下列事件中是随机事件的个数有（ ）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓
住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；是随机事件，
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；是必然事件．
③某人买彩票中奖；是随机事件．
④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．是不可能事件．
故选：B．
【收官验收】从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件
的是（ ）
A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球
C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球
【解析】解：根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球，
分析可得：A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件；
故选：D．
【名师点睛】
对事件分类的两个关键点
（1）条件：事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件
是否发生.
（2）结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况.
必考必会题型2：确定试验的样本空间
【典型例题】从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个
试验的样本空间Ω＝ ．
【解析】解：取出的4件产品中，最多有4件次品，最少是没有次品．
所以样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}．
故答案为：{0，1，2，3，4}．
【题型强化】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，
每次取出后不放回，连续取两次，写出这个试验的样本空间．
【解析】解：根据题意，试验的样本空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），
（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}．
【收官验收】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币是出现正面还是反面．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）用集合表示事件：M＝“恰有两枚正面朝上”．
【解析】解：（1）这个试验的基本事件为：Ω＝{（正，正，正），（正，正，反），
（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），
（反，反，反）}，
（2）M＝{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．
【名师点睛】
确定试验的样本空间的注意点：
（1）写试验的样本点时，要按照一定的顺序，避免重复和遗漏，常用的方法有
列举法，列表法和树状图法等.
（2）试验的样本空间最终要写成集合的形式.
必考必会题型3：事件关系的判断
【典型例题】将黑桃A、红心A、方块A、梅花A四张不同花色的扑克牌分给甲、
乙、丙、丁四人，每人分得一张牌，则事件“甲分得黑桃A”与事件“乙分得黑
桃A”是（ ）
A．不可能事件 B．对立事件
C．不是互斥事件 D．互斥但不对立事件
【解析】解：甲、乙两人不可能同时分得黑桃A，所以是互斥事件；
甲、乙两人可能都得不到黑桃A，所以不是对立事件，因此是互斥但不对立事件．
