拉普拉斯方程、水平集方法等

拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。 定义

三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：

上面的方程常常简写作：

或

其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：

Δφ = 0

其中Δ称为拉普拉斯算子.

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：

则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作

Laplacian。

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。

二维拉普拉斯方程

狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形

两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：

解析函数

解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x+ iy，并且

那么f(z)是解析函数的充要条件是u(x,y)，v(x,y)可微，且满足下列柯西-黎曼方程：

上述方程继续求导就得到

所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。

反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：

则等式

成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：

φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件： 所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数

那么相应的解析函数为

在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。

拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。

幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即

将每一项系数适当地分离出实部和虚部

那么

这便是f 的傅里叶级数。

三维拉普拉斯方程

基本解

拉普拉斯方程的基本解满足

其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由基本解的定义，若对u 作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么

由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r 相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a 的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理

求得在以点源为中心，半径为r 的球面上有

所以

经过类似的推导同样可求得二维形式的解

格林函数

格林函数是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V 的边界S 上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足

现设u 为在V 内满足泊松方程的任意解:

且u 在边界S 上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到

un 和Gn 分别代表两个函数在边界S 上的法向导数。考虑到u 和G 满足的条件，可将上式化简为

所以格林函数描述了量f 和g 对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为a 的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P 的通过球面的“反射镜像”P' 距球心

需要注意的是，如果P 在球内，那么P' 将在球外。于是可得格林函数为

式中R 表示距源点P 的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P 的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z 轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为： 式中

这个公式的一个显见的结论是：若u 是调和函数，那么u 在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。

水平集

在数学领域中, 一个具有n变量的实值函数f的水平集是具有以下形式的集合

{ (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) = c }

其中 c 是常数. 即, 使得函数值具有给定常数的变量集合.

当具有两个变量时, 称为水平曲线(等高线), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时,

水平集被叫做水平超曲面.

集合

{ (x1,...,xn) | f(x1,...,xn) ≤ c }

被称为 f 的 子水平集 .

其他名字

水平集具有很多重要的应用, 在不同的应用领域通常具有不同的名称.

例如, 水平曲线也被叫做隐式曲线(implicit curve)用来强调曲线是由隐函数(implicit function)定义的. 有时也使用等高线(isocontour)的名称, 表示一个具有相同高度(函数值)的轮廓. 在不同的应用领域, 等压线(isobar), 等温线(isotherm),同风向线(isogon), 等时线(isochrone)都属于等值高线.

相应的, 水平曲面有时被叫做隐式曲面(implicit surface)或等值曲面(isosurface).

最后, 更加一般的水平集被叫做纤维(fiber).

例子

例如, 指定一个半径 r, 圆的方程可以定义为一个等高线.

r2=x2 + y2

如果取 r=5, 那么等高值为 c=52=25.

所有使得 x2 + y2=25 的点 (x,y) 构成了它的等高线. 这就是说他们属于等高线的水平集. 如果 x2 +

y2 小于 25 这个点 (x,y) 就在等高线的内部. 如果大于 25 , 这个点就在等高线外部.

水平集与梯度

考虑一个山形函数. 蓝色曲线是它的水平集. 红色曲线沿着梯度的方向. 换句话说, 保守的旅行者走的是蓝色路径, 大胆的旅行者走的是红色路径.

定理. 函数f在一点处的梯度与在该点处 f 的水平集垂直.

这个定理是十分不寻常的. 为更好的理解定理的含义, 设想两个旅行者在一座山峰的统一位置.其中一个人很大胆, 决定从坡度最大的地方走. 另一个人比较保守; 他不想向上爬, 也不想走下去, 选择了一条在同一高度的路. 上面的定理就是说, 这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的.

证明. 设所考虑的点为 x0 . 通过点 x0 的水平集是 {x | f(x) = f(x0)}. 考虑一条通过点x0并且属于水平集的曲线 γ(t) , 不妨假设 γ(0) = x0. 从而得到

使用链锁规则, 在 t = 0 处微分. 我们发现

同时, f 在 x0 处的雅可比行列式 等于 f 在点 x0 的梯度.

因此, f 在点 x0 处的梯度与曲线在该点处的切线 γ′(0) 垂直. 由于曲线 γ(t) 是任意的, 因而断定梯度与水平集垂直.

这一定理的直接推论是, 如果水平集穿过其自身 (不是一个光滑子流形或超曲面) 那么梯度向量在所有交叉点处一定是零. 那么, 每个交叉点都是f的临界点.

水平集方法

水平集方法 (Level Set Method) 是一种用于界面追踪和形状建模的数值技术. 水平集方法的优点是可以在笛卡尔网格(Cartesian grid)上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化(这是所谓的欧拉法(Eulerian approach)).).[1] 水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的拓扑结构改变. 例如当物体的形状一分为二, 产生空洞, 或者相反的这些操作. 所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具, 例如膨胀中的气囊， 掉落到水中的油滴.

理解水平集方法的最简单有效地方式是先学习相应的例子, 然后学习技术性很强的定义. 右侧的图片示例了水平集的几个重要思想. 在左上角有一个形状--由一个良性边界包围的有界区域. 在它的下面, 红色的曲面是相应的水平集函数 φ 的图像, φ 的某个水平面决定了左上角的形状,

假设其中的蓝色平面即为x-y平面, 则形状的边界可以表示为 φ 的零水平集, 并且该形状是平面上满足φ大于等于零的点的集合.

在上面的一行, 形状改变其拓扑结构, 分裂为两个形状. 如果用边界曲线参数表示形状, 这一演化过程是很难表达的. 这需要一个算法能够检测到形状分裂的时刻, 然后为分裂后的曲线构造新的参数. 另一方面, 从下面的一行可以看出水平集函数仅仅是向下方移动了一点. 由于在直接法中我们需要监视所有形状可能发生的变化情况, 水平集方法处理形状曲线要比直接方法容易得多.

在二维情况下, 水平集方法意味着将平面上的闭曲线 Γ (正如示例中的形状) 表示为二维辅助函数

, 的零水平集

然后通过函数 φ 隐式的处理曲线 Γ. 这一函数便被叫做水平集函数. 假设 φ 在曲线 Γ 的内部取正值, 在曲线 Γ 的外部取负值.

水平集方程

如果零水平集以速度v沿着其法线运动, 这一运动可以表示为水平集函数的哈密顿-雅可比方程(Hamilton-Jacobi equation):

这是一个偏微分方程, 并且可以求得数值解, 例如可以在笛卡尔网格上采用有限差分法.

然而, 水平集方程的数值解需要复杂的技术.简单的有限差分法会很快导致不收敛. 迎风方法, 诸如Godunov 方法前进缓慢; 然而在水平对流场中,

水平集方法不保持水平集的体积和形状的守恒.

总变差

在数学领域, 实值函数 ? 定义在区间 [a, b] ? 'R 的总变差(total variation)是一维参数曲线 x → ?(x) , x ∈ [a,b]的弧长.